浅析排列组合中的“平均分组”问题
排列组合中的分组问题
2 4 2 2
2 2 C4 C2 x 2 A2
6人平均分为三组有多少种不同的结果？ 处理方法相同
C
3 9
2 2 2 C6 C4 C2 3 A3
混合分组也称为局部平均分组，对于平均 分组部分一定要注意按照平均分组处理。
排列组合中的分组问题
分组问题的类型
一、平均分组
二、不平均分组 三、混合分组
所谓“平均分组”是指将所有元素分成所有 组元素个数相等的组。
例如. 将4个人分成两组，每组都是2人，有多少种不同的分法？ 由分步计数原理： 2 第1步： C4 2 第2 步: C 2 2 2 共计: C4 C2 6 现在我们利用列举法列出6种可能：假设4人分别为A、B、C、D。 1 2 3 4 5 6 (A、B),（A、C）,（A、D）,（B、C）,（B、D）,（C、D） （C、D),（B、D）,（B、C）,（A、D）,（A、C）,（A、B） 实际只有3种
2 2 2 C6 C4 C2 3 A3
对于n个元素，平均分为m组时，我们一定要在分组后要除以
A m!
m m
• 所谓“非均匀分组”是指将所有元素分成 元素个数彼此不相等的组。 例如. 将6人分别以1人、2人、3人分成三 组，有多少种不同的分组方法？
3 2 C C C 4 3
1 6
• 所谓“混合分组”是指即有平均分组又有 不平均分组。 例如，将9人分成人数为3人、2人 、2人、2 四组，有多少种分配方法？ 方法相类似利用分步计数原理
排列组合中的分组分配问题(分享)
排列组合中的分组分配问题（分享）分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是624222C C C=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C CA=15(种)。
(2)先分组，方法是615233C C C，那么还要不要除以33A？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C=60(种) 分法。
(3)分组方法是642111C C C=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
所以实际分法是41162122C C CA=15(种)。
通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。
排列组合中的分组问题
MBA重难点研究之一：排列组合中的分组问题分组问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分组问题，实际上可运用分组问题的方法来解决。
下面就排列组合中的分组问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。
一、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，每组两本，有多少种分法？分析：分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数624222C C C33P，所以分法是62422233C C CP=15(种)。
例2 六本不同的书，分为三组，一组一本，一组二本，一组三本，有多少种分法？分析：先分组，方法是615233C C C，那么还要不要除以33P？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有=60(种) 分法。
61C C C5233例3 六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法？分析：先分组，方法是=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
所以实际分法是642111C C C64211122C C CP=15(种)。
通过以上三个例题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。
原理一一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m，m，…，m，其中k组内元素数目相等，那么分组方案是12 pnmn mmn m mmmmkkC C C CPpp112123−−−…。
二、分组后分配的问题例4 将上面三个例题中的“分为三组”改为“分给甲、乙、丙三人”，那么各有多少种分法？分析：由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。
排列组合平均分组不平均分组问题
1
2
3
4
C 42 C 21C11 A22
A44
C
41C
31C
2 2
A22
A44
C
2 4
A44
144
例14、将六本不同的书分给三人， 一人1本，一人1本，另一人4本，有 多少种不同的分法？
1
2
3
4
5
6
C
4 6
2 4
6
例6、将六本不同的书分成三堆，一 堆1本，一堆1本，另一堆4本，有多 少种不同的分法？
1
2
3
4
5
6
C
4 6
C
21C11
A22
C
61C
51C
4 4
A22
15
三、完全不平均分组
例7、将三本不同的书分成两堆，一 堆1本，一堆2本，有多少种不同的 分法？
1
2
3
C
31C
2 2
C
2 3
C
1 1
排列组合平均分组问题
一、完全平均分组
例1、将两本不同的书分成两堆，有 多少种不同的分法？
1
2
例2、将三本不同的书分成三堆，有 多少种不同的分法？
1
2
3
例3、将四本不同的书分成两堆，每 堆两本，有多少种不同的分法？
1
2
3
4
12 34 13 24 14 23 34 12 24 13 23 14
C42C
2 2
A22
3
例4、将六本不同的书分成三堆，每 堆两本，有多少种不同的分法？
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是指将一组元素分成不同的组，每个组中的元素个数可以不同，同时每个元素只能属于一个组。
这类问题在实际生活中非常常见，比如将不同班级的学生分配到不同的宿舍，将不同商品分配到不同的仓库等。
在解决这类问题时，可以使用回溯法进行穷举搜索，具体步骤如下：1. 定义一个空的结果集，用来存储所有的有效分组分配方案。
2. 定义一个空的临时集合，用来存储当前正在处理的分组分配方案。
3. 使用回溯法进行搜索，从第一个元素开始，尝试将其放入不同的组中。
4. 对于每个选择，如果选择当前组的元素数量小于或等于规定的数量，则将该元素加入到临时集合中，并递归处理下一个元素。
5. 如果当前组的元素数量大于规定的数量，则回溯到上一层，并尝试选择其他组进行分配。
6. 当所有元素都被分配完毕时，将临时集合存入结果集中。
7. 返回结果集，即为所有的有效分组分配方案。
这种解法的时间复杂度为O(k^n)，其中n为元素的个数，k为分组的个数。
在实际使用中，由于组合数目可能非常大，可能需要进行一些剪枝优化，以提高运行效率。
还可以使用动态规划方法解决分组分配问题。
动态规划方法将问题分为多个子问题，然后利用子问题的解来求解原问题。
具体步骤如下：1. 定义一个二维数组dp，dp[i][j]表示将前i个元素分配到j个组中的方案数。
2. 初始化dp数组，将所有元素分配到一个组中的方案数为1，其他地方为0。
3. 使用动态规划进行求解，从第一个元素开始，依次遍历所有可能的组合情况。
4. 对于每个元素，从1到j（j为组的数量）进行遍历，分别计算分配到该组和不分配到该组的方案数之和，并更新dp数组。
5. 当所有元素都遍历完毕后，dp[n][k]即为最终的解。
这种解法的时间复杂度为O(nk^2)，可以在不超出计算能力的情况下求解大规模的分组分配问题。
排列组合中的分组分配问题可以使用回溯法和动态规划方法进行求解。
高中数学排列组合中的“分组分配”问题详解
高中数学排列组合中的“分组分配”问题详解
数学好教师 2020-02-06
不同种元素
分组问题
将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。
分组问题有平均分组、不平均分组、和部分平均分组三种情况。
1. 平均分组
1
2. 不平均分组
2
3. 部分平均分组
3
分配问题：
如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后分配的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
所以针对分配问题，需要遵守的原则是：先分组，后分配
同种元素
分组问题：
1
分配问题：
对于同种元素的分配问题，通常有两种解法：常规法和隔板法
常规法：
隔板法：
常规法：
隔板法：
经典练习题
1：将五位老师分到三个学校任教，每个学校至少分一位老师，总共有多少种分法。
(答案：150种)
2：有4个不同小球放入4个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法？(答案：144种)
3：7个人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3个人，有多少种不同分法？(答案：70种)
4：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？(答案：84种)
5：现有7个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3的三个盒子中
(1)若每个盒子至少放一个球，共有多少种不同的放法？(答案：15种)
(2)若允许出现空盒，共有多少种不同的放法？(答案：36种)
6：现有12个相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？(答案：10种)。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。
该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。
解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。
下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。
一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。
这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。
具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。
2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。
设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。
其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。
3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。
二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。
在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。
多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。
具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。
通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。
2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。
利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。
3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，在实际生活中也有很多应用。
这类问题通常涉及将一定数量的对象分配到一定数量的组中，而且每组对象的数量有限制。
解决这类问题需要运用排列组合的知识，有时也需要借助图论等数学工具。
下面将介绍一些有效的解法。
一、基本概念在讨论排列组合中的分组分配问题之前，先来了解一下相关的基本概念。
在排列组合中，排列是指不同元素按照一定规则排成的一列，而组合是指从给定的元素中取出一定数量的元素组成的一个集合。
分组分配问题则是指将一定数量的对象分配到一定数量的组中的问题。
在分组分配问题中，通常会遇到一些特殊的情况，比如分组中的对象需要满足一定的条件，或者每个对象只能分配到某个特定的组中。
这些特殊情况需要根据具体问题进行分析，选择合适的解法。
二、贪心算法贪心算法是解决分组分配问题的一种常用方法。
贪心算法的基本思想是每一步都选择当前最优的解，从而希望最终得到全局最优的解。
在分组分配问题中，贪心算法通常可以通过排序来实现。
以将一定数量的对象分配到一定数量的组中，每组对象数量固定为例，贪心算法的解法如下：1. 将所有对象按照一定的规则排序，比如按照对象的重要性、价值等；2. 依次将对象分配到各个组中，每次都选择当前剩余空间最大的组，并将对象放入其中；贪心算法的优点是简单易实现，但并不是对所有分组分配问题都有效。
有些情况下，贪心算法得到的解并不一定是最优解，因此在使用贪心算法时需要谨慎选择排序规则和验证算法的有效性。
三、动态规划动态规划是解决分组分配问题的另一种常用方法。
动态规划的基本思想是将原问题分解成若干个子问题，然后依次求解这些子问题，最终得到原问题的解。
1. 定义状态dp[i][j]表示将前i个对象分配到前j个组中的方案数；2. 根据分组条件，构造状态转移方程dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]*j；动态规划的优点是能够得到全局最优解，但需要分析问题的子结构并构造合适的状态转移方程，整个过程相对复杂。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，也是现实生活中经常遇到的问题之一。
在这个问题中，我们需要将一组物品或者对象分成若干个部分，并且满足一定的条件。
分组分配问题在很多领域都有应用，比如在工程设计中，人力资源分配中，商品生产中等。
解决这类问题需要用到排列组合的知识，以及一些有效的解法。
本文将介绍一些排列组合中的分组分配问题的有效解法。
一、排列组合的基本概念在开始介绍分组分配问题的有效解法之前，我们需要先了解一些排列组合的基本概念。
排列和组合是数学中的两个基本概念，它们都是用来描述从一个集合中选取若干元素的方式。
1. 排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，称为一个排列。
在排列和组合中，元素的重复情况也是一个需要考虑的问题。
比如在排列中，元素的重复次序是不同的排列，而在组合中，只考虑元素的选择而不考虑顺序。
二、分组分配问题的有效解法1. 贪心算法贪心算法是一种解决分组分配问题的有效方法。
贪心算法的基本思想是每一步都选择局部最优解，最终将得到全局最优解。
在分组分配问题中，我们可以根据一定的标准进行分组，比如按照物品的重量、价格、大小等进行分组。
在每一步中，选择当前最优的分组方案，经过若干步之后得到整体最优解。
贪心算法的优势在于可以快速得到一个较好的解，但是也有一定的局限性，可能不能得到全局最优解。
在实际应用中，可以根据具体情况选用贪心算法。
2. 动态规划动态规划是解决分组分配问题的另一种有效方法。
动态规划是一种求解最优化问题的方法，它将问题分解成若干子问题进行求解，最终得到全局最优解。
3. 回溯算法回溯算法是解决分组分配问题的一种基本方法。
回溯算法的基本思想是逐步尝试每一种可能的分组方案，直到找到满足条件的分组方案为止。
在回溯算法中，需要考虑到可能的分支和剪枝，以及如何快速得到解。
在解决分组分配问题时，可以根据具体情况选择贪心算法、动态规划、回溯算法等不同的解法。
排列组合中的“平均分组”与“不平均分组”
排列组合中的“平均分组”与“不平均分组”小数老师说排列组合对于高中理科生来说，简直是一个噩梦！因为即使你费劲九牛二虎之力算出了结果，也不能确定自己的答案是对还是错！不是遗漏就是重复，反正距离正确答案永远“差一点”！其实，解排列组合题目要建立模型，如果同学们能从题目中抽象出模型来，难度就大大降低了！今天，小数老师带大家研究一下“平均与不平均分组”的模型！下面先看模型（1）6本不同的书分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，一共有几种分法？解：这里分三步取书即可，有种方法。
那这里有重复的吗？没有。
（2）6本不同的书平均分成3堆，一共有几种分法？解：先分三步取书，有种方法，但是这里出现重复计数的情况。
不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取AB,第二步取CD，第三步取EF，则该分法可以记为（AB,CD,EF），但是中还包括以下情况，（AB, EF , CD）（CD, AB,EF）（CD, EF , AB）（EF ,AB,CD）（EF,CD, AB），而后面的情况，其实与（AB,CD,EF）一样，因为题目要求平均分成3堆就可以了，不用管顺序，所以，正确答案应该是：。
（3）6本不同的书分成3堆，一堆4本，另2堆各1本，共用几种分法？解：先分3步取书，有种方法，但是同样也出现了重复计数的情况。
不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取ABCD，第二步取E，第三步取F，则该分法可以记为（ABCD，E，F），但是中还包括下面情况，（ABCD，F，E），而实际上，这两种情况是一样的，不用管后面两堆的顺序问题，所以，正确答案是：。
总结1，通过上面模型（2）与（3），可以总结出来，对于平均分组问题，先按照顺序选择得到组合数，然后根据平均分成的组数得到排列数，用组合数除以排列数即可。
2，组合不考虑顺序，排列是需要考虑顺序的！（4）6本不同的书平均分给3个人，一共有多少种分法？解：这个可以分成两步，第一步，先把6本书平均分成3堆，由（2）可得，；第2步，把3堆书分给3个不同的人，有种方法，根据分步相乘的原理，得到最后结果，。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到对象的排列和组合方法。
在实际生活中，排列组合可以帮助我们解决很多实际问题，尤其是在分组分配问题上。
分组分配问题是指将一些对象按照一定的规则分配到不同的组中，这个问题在实际生活中常常出现，比如分班分组、分工分配等。
在这篇文章中，我们将探讨排列组合中的分组分配问题，并提出有效的解法。
我们需要了解一下排列组合中的基本概念。
排列指的是从一组对象中按照一定的顺序选出一部分对象的方法，而组合指的是从一组对象中选出一部分对象并将其无序排列的方法。
在分组分配问题中，我们通常需要考虑的是对象的分组和分配顺序。
在实际生活中，有时我们需要将一组对象分成若干个组，并且每个组中的对象数量可能是不同的，这就涉及到了排列组合中的分组分配问题。
我们需要将一些学生分成若干个班级，每个班级的人数可能是不同的；又如，我们需要将一些任务分配给若干个团队，每个团队的任务量可能是不同的。
如何有效地解决这些问题呢？下面我们将介绍一些常见的有效解法。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单而高效的算法，它通常适用于求解最优化问题。
在分组分配问题中，我们可以通过贪心算法来求解最优的分组方案。
具体来说，我们可以按照一定的规则来选择对象并将其分配到不同的组中，直到所有对象都被分配完为止。
对于任务分配的问题，我们可以按照任务的难易程度或者工作量来排序，然后依次将任务分配给团队，直到所有任务都被分配完为止。
贪心算法的好处是简单易实现，但它并不能保证得到全局最优解，因此需要根据具体情况来选择是否使用贪心算法。
2. 动态规划动态规划是一种常见的求解最优化问题的方法，它适用于分组分配问题中复杂的情况。
动态规划的基本思想是将原问题分解为若干个子问题，然后分别求解这些子问题的最优解，最后将这些子问题的最优解组合起来得到原问题的最优解。
在分组分配问题中，我们可以通过动态规划来求解最优的分组方案。
具体来说，我们可以定义一个状态转移方程，根据这个状态转移方程来对每个子问题进行求解，最终得到整个问题的最优解。
高中数学排列组合 平均分组(分配问题)
五、当堂训练
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C132
C
39 C 36
C
3 3
A
4 4
练习2
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分成四
堆有多少种不同的分法？ (1)
（2）按2∶2∶2∶4分给甲、
乙、丙、丁四个人有多少 (2)
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
(2)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
(3)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
A
3 3
(4)
C
4 6
C
1 2
C
1 1
(5)
A
1 3
C
4 6
C
1 2
C
1 1
练习4：12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列 条件，各有多少 种不同的分法？
（1）一人三本，一人四本，一人五本；
（2）甲三本，乙四本，丙五本；
1.有分配对象和无分配对象
2.分配对象确定和不固定
三、效果检测
1.把abcd分成平均两组有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
C
2 4
C
2 2
A
2 2
3
这两个在分组时只能算一个
2.平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，
所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表示组数。
例谈排列组合中的分组分配问题
例谈排列组合中的分组分配问题1.编号分组：（1）相同元素编号分组“编号分组”的意思是：即使分出来两个或多个组中元素的个数相同，仍然看成不同的组例题1：10个相同的小球，放入5个不同的盒子里面，每个盒子至少要放一个球。
问有几种放法？方法（隔板法）：10个相同小球排成一行，中间有9个空，将4块隔板，插入从这9个空中任意选取的4个空，就得到5组小球，再放入5个不同的盒子，有. 种分组方法。
（2）不同元素编号分组分成两种情况：(i)非均匀编号分组（每组元素个数不同）例题2：10个人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同（在这里体现“编号分组”）劳动，问有几种安排方法？方法：分步选人，分别选各组人数，然后要乘以组数的全排列。
有 .种(ii)均匀编号分组（包括部分均匀、全部均匀）例题3：10个人分成三组，各组人数分别为2、2、6，去参加不同劳动，问有几种安排方法？方法：分步选人，分别选各组人数。
但是，由于有两个组人数相同，而选人时又是分步选人的（即有顺序在里面），所以必然会造成重复。
比如：甲乙、丙丁和丙丁、甲乙是一种情况，我们却多算了。
要除以元素相同的2个组的组数的全排列 . ，选人完之后要放进编好号码的组里面，所以乘以总组数的全排列. ，即有 . 种。
2.不编号分组：与编号分组不同的是，在不编号分组中，各个组元素的个数成为了区别不同组的唯一标志，换言之，只要有两个或者多个组有相同个数的元素，它们就被视为相同的组。
在这里，由于组已经没有编号了，如果要放进组里面的元素再不可区分，那问题就变得没什么意义，而且很简单了。
比如：三个相同的球，放入两个相同的盒子里面，只有一种放法，那就是其中一个盒子放一个球，另外那个盒子放剩下的那两个球。
所以用列举法就可以了。
在这里主要讨论不同元素的情况。
（1）不同元素，不编号不均匀分组。
例题4：10个人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加相同（在这里体现“不编号分组”）劳动，问有几种安排方法？方法：和“不同元素，编号不均匀分组”相比，不必乘以组数的全排列，因为三个组参加的是相同的劳动（这里“相同”的言下之意是：劳动内容相同，又是同时去的，如果不同时，还要当作编号分组）有 . 种（2）不同元素不编号均匀分组（部分均匀、全部均匀）例题5：10个人分成三组，各组人数分别为2、2、6，去参加相同劳动，问有几种安排方法？方法：要除以相同元素个数的那几个组的组数的全排列.，但是不必乘以总组数的全排列。
浅析排列组合中分组分配问题的解题策略
浅析排列组合中分组分配问题的解题策略ʏ成都经济技术开发区实验中学校 杜海洋排列组合问题是高考数学中的必考题型,题型多变,解题方法也多种多样㊂其中分组分配问题是排列组合中的一类综合性问题,也是排列组合中的难点,两者之间既有区别又有联系,稍不留意就会引发混淆㊂为了解决这一棘手问题,下面将结合几个例题谈一谈解答分组分配问题的策略㊂一、分组问题1.完全均匀分组例1 6本不同的书,按下列要求分配,求各有多少种不同的分法:(1)分给甲㊁乙㊁丙三人,每人2本;(2)分为三份,每份2本㊂解析:(1)将6本不同的书分给甲㊁乙㊁丙三人,每人2本,可以分为三步完成:第一步,先从6本书中选2本给甲,有C 26种选法;第二步,从剩余的4本中选2本给乙,有C 24种选法;第三步,最后剩余的2本给丙,有C 22种选法㊂由分步乘法计数原理知,共有C 26C 24C 22=15ˑ6ˑ1=90(种)不同的分法㊂(2)本题属于无序均匀分组问题㊂按有序分组,则有C 26C 24C 22种方法,但出现了重复㊂不妨记6本书为A ,B ,C ,D ,E ,F ,第一步取A B ,第二步取C D ,第三步取E F ,记该种分法为(A B ,C D ,E F )㊂但还有(A B ,E F ,C D ),(C D ,A B ,E F ),(C D ,E F ,A B ),(E F ,A B ,C D ),(E F ,C D ,A B ),这A 33种情况只能记为一种方法㊂故分配方法有C 26C 24C 22A 33=15(种)㊂2.部分均匀分组例2 2023年亚运会在杭州举办期间,将6位志愿者分成四组,其中两组各2人,另两组各1人,分赴亚运会的4个不同场馆服务,不同的分配方案的种数为( )㊂A.4320 B .1080C .180D .90解析:将6位志愿者分成四组,其中两组各2人,另两组各1人,有C 26C 24C 12C 11A 22A 22=45(种)方法,进而将其分配到4个不同场馆,有A 44=24(种)方法㊂由分步计数原理可得,不同的分配方案有45ˑ24=1080(种)㊂选B ㊂点评:该问题属于先平均分组(堆)再分配的问题,先将6位志愿者分成四组,其中两组各2人,另两组各1人,再将其分配到4个不同场馆即可㊂在分组过程中,要注意分组重复的情况,理解C 26C 24C 12C 11A 22A 22中分母的意义㊂3.完全非均匀分组例3 要把9本不同的课外书分给甲㊁乙㊁丙3名同学,如果要求一人得4本,一人得3本,一人得2本,则不同的分法共有多少种解析:要完成分配任务,可以分为两步:第一步,将9本书按照4本㊁3本㊁2本分为三组,有C 49C 35C 22种方法;第二步,将分好的3组书分别给3个人,有A 33种方法㊂因此,不同的分法数为C 49C 35C 22A 33=9ˑ8ˑ7ˑ64ˑ3ˑ2ˑ1ˑ5ˑ42ˑ1ˑ1ˑ3ˑ2ˑ1=7560㊂点评:完全均匀分组和部分均匀分组在计数过程中易出现重复现象,注意计算公式的应用㊂重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m 组元素个数相等,则分组时应除以m !㊂关于分组问题,有完全均匀分组㊁完全非均匀分组和部分均匀分组三种:①完全均匀分组,每组元素的个数都相等;②部分均匀分组,应注意不要重复;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复情况㊂无论分成几组,应注意只要有一些组中元素的个数相等,就存在均分现象,解决这类问题必须按照均匀分组的公式来解决㊂例4 将6本不同的书分给甲㊁乙㊁丙㊁丁4个人,每人至少一本的不同分法共有2 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月种㊂解析:先把6本不同的书分成4组,再分给4个人,但该题易出错的地方有两个:一是分组考虑不全造成漏解,分组方式有2种,即3,1,1,1与2,2,1,1;二是2,2,1,1分组时,忽视均匀分组问题造成增解㊂把6本不同的书分成4组,每组至少一本的分法有2种㊂①1组有3本,其余3组每组1本,不同的分法共有C 36㊃C 13C 12C 11A 33=20(种);②有2组每组2本,其余2组每组1本,不同的分法共有C 26C 24A 22㊃C 12C11A 22=45(种)㊂不同的分组方法共有20+45=65(种)㊂然后把分好的4组分给4个人,所以不同的分法共有65ˑA 44=1560(种)㊂二、分配问题1.相同元素的分配问题相同元素的分配问题,常用 隔板法 ,即将n 个相同的元素分成m 份(n ,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用m -1块隔板,插入n 个元素排成一排形成的n -1个空隙中,共有C m -1n -1种方法㊂例5 方程x 1+x 2+x 3+x 4=12的正整数解共有( )组㊂A.165 B .120 C .38 D .35图1解析:如图1,将12个完全相同的球排成一排,在它们之间形成的11个空隙中任选3个插入3块隔板,把球分成四组,每一种分法所得球的数目依次是x 1㊁x 2㊁x 3㊁x 4,显然满足x 1+x 2+x 3+x 4=12,故(x 1,x 2,x 3,x 4)是方程x 1+x 2+x 3+x 4=12的一组解㊂反之,方程x 1+x 2+x 3+x 4=12的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式,故方程x 1+x 2+x 3+x 4=12的正整数解的数为C 311=11ˑ10ˑ93ˑ2ˑ1=165,选A ㊂点评:相同元素分配问题的常见处理策略如下㊂①隔板法:将放有小球的盒子紧挨着成一排放置,便可看作排成一排的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个 盒㊂每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称为隔板法㊂隔板法专门解决相同元素的分配问题㊂②将n 个相同的元素分给m 个不同的对象(n ȡm ),每个对象至少分得一个元素,有C m -1n -1种方法㊂可描述为在n -1个空中插入m -1块隔板㊂③将n 个相同的元素分给m 个不同的对象(n ȡm ),有C m -1n +m -1种方法㊂可转化为将n +m 个相同的元素分给m 个不同的对象(n ȡm ),每个对象至少分得一个元素,有C m -1n +m -1种方法㊂即在n +m -1个空中插入m -1块隔板㊂2.不同元素的分配问题不同元素的分配问题,一般利用分步乘法计数原理,先分组,后分配㊂例6 将4名大学生分配到3个乡村去支教,每个乡村至少1名大学生,则不同的分配方案有种㊂解析:(方法一)分两步完成:第一步,将4名大学生按2,1,1分成三组,其分法有C 24C 12C 11A 22种;第二步,将分好的三组大学生分配到3个乡村,其分法有A 33种㊂所以满足条件的分配方案有C 24C 12C 11A22A 33=36(种)㊂(方法二)根据题意知必有2名大学生去同一个村,从4名大学生中任选2名捆绑在一起,故有C 24A 33=36(种)方案㊂总之,解答排列组合问题的关键在于判断问题属于不均分问题㊁整体均分问题,还是部分均分问题㊂有关 分组与分配 的问题还有很多内容,上述的研究仅仅是冰山一角,希望能为同学们的数学学习提供帮助㊂(责任编辑 徐利杰)12解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月。
排列组合中的分组、分派问题
排列组合中的分组、分派问题学习目标：1、体会分组、分派问题的联系与区别2、体会算两次思想在平均分组问题中的应用学习进程:例1：（1）把4本不同的书平均分给2个人，有几种分法？（2）把4本不同的书平均分成2堆，有几种分法？分析：（1）从人的角度：第1人有24C 种，第2人有22C 种，按照分步乘法原理得分法数2224C C N ⋅=从书的角度：先把书平均分成2堆，再把书进行排队，把书平均分成2堆有3种223A N ⋅= （2）把书平均分成2堆有3种，注意：不是24C ，而是2224A C 例2：（1）把6本不同的书平均分给3个人，有几种分法？（2）把6本不同的书平均分成3堆，有几种分法？（3）把6本不同的书分给3个人，其中一人3本，一人2本，一人1本，有几种分法？（4）把6本不同的书分成3堆，其中一堆3本，一堆2本，一堆1本，有几种分法？ 分析：（1）的本质是平均分派问题（2）的本质是平均分组（3）的本质是不平均分派（4）的本质是不平均分组从人的角度去分析（1）：第1人有26C 种，第2人有24C 种，第3人有22C 种，按照分步乘法原理得分法数222426C C C N ⋅⋅= 从书的角度：先把书平均分成3堆，再把书进行排队，把书平均分成3堆的方式数可用列举法，但数字大时要找好方式。
现设把6本书平均分成3堆得方式数为x ，把3堆书排队的方式数为33A 。
按照算两次取得结果一致得：22242633C C C A x ⋅⋅=⋅“平均分组”对学生来讲是难点。
练习1：现有9本不同的书，求下列情况下各有多少种不同的分法？（1）分成3组，一组4本，一组3本，一组2本（1260）（2）分给3个人，一人4本，一人3本，一人2本（7560）（3）平均分成3组（280）练习2:4个不同的球，4个不同的盒子，把球全数放入盒内（1）恰有1个盒子不放球，共有几种方式？114（2）恰有一个盒子放2球，共有几种方式？114（4）恰有2个盒子不放球，共有几种方式？84。
高中数学排列组合-平均分组(分配问题)
解：均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列
C
132C
3 9
C62
C 42 C22
A
3 3
A
2 2
A
5 5
四、部分均分无分配对象的问题
例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有多少 种分法
C64C21C11 A22
五、非均分组无分配对象问题
例5 6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种 不同的分法？
种不同的分法？
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本.
1.有分配对象和无分配对象
2.分配对象确定和不固定
三、效果检测
1.把abcd分成平均两组有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
C
2 4
C
2 2
A
2 2
3
这两个在分组时只能算一个
2.平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，
所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表示组数。
(1)
C
2 6
C
2 4
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浅析排列组合中的“平均分组”问题
作者：郑晓华
来源：《读写算》2014年第15期
在排列组合中，有不少涉及到“平均分给”问题，学生在解题过程中容易重复计算，这类问题．如果通过注意观察、对照、比较，可以提高分析问题和解决问题的能力，涉及平均分组问题可以先组(分组)后排(排序)使复杂问题简单化，同时提高分析问题和解决问题的能力。
一、整体平均问题分组问题
例1有6本不同的书
(1)平均分给甲、乙、丙三人，有多少种不同的分法。
(2)平均分成三堆有多少种不同的分法。
（2）同解法1共有
下面我们对解法（2）进行分析：设有A、B、C、D、E、F六本书。
所以种方法中有重复分堆，应该剔除，事实上AB、CD、EF的所有排列有种，种排列只有一种分堆，所以本题正确解答是：所以就有 =15种方法。
从（2）的解法中知道，若平均分成m组，则m组的所有排列有种，种排列只对应一种分组，所以要除以。
二、部分均匀问题分组问题
分组中若n组中有m组均匀，则需除以。
例2把5本不同的书分成3堆，其中2堆各2本，1堆1本，有多种不同的方法。
解：3堆中有2堆都是2本，即有2部分均匀，所以共有： =10种方法
三、用先组（分组）后排（排序）的方法解决排列组合问题
例3（1）有5本不同的书，借给甲、乙、丙三人其中两人各2本，1人1本，有多少种不同的借法。
（2）有6本不同的书，借给甲、乙、丙三人其中两人各2本，另2人1本，有多少种不同的借法。
解：（1）先分堆，由于有2堆数相同（部分均匀），所以共有：
再排序：种方法。
所以共有60种不同的借法。
本题也可以用分类计数原理，分借1本的是甲或乙或丙三类；
种不同的方法。
（2）本题用分类计数原理显然比较繁琐，若采用先组的排的方法，就简单得多。
再排序： =1080种方法
所以共有1080种方法。
例4把10人分成三组，一组4人，其它两组各3人，其中甲、乙、丙3人必须分别在各组，一组4人，其它两组各3人，其中甲、乙、丙3人必须分别在各组，则有多少种不同的分法。
解：先把无限制条件的7人分成3组，一组3人，另两组各2人，有
再将3人分到各组共有种方法。
所以共有630种方法。
例5将6名报告员分配到4所学校作报告，每校至少1人，有多少不同的分配方法。
解：先分组，有（A）2、2、1、1 （B）3、1、1、1两种分组方案，每种分组总数再乘以4所学校的全排列，所以共有：
熟练掌握用“先组后排”的方法，解较复杂的排列组合题，可以带来很大的方便。