排列组合中的分组问题

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排列组合中的分组问题

个单位，有多少种不同的分法？方法1（以甲，乙单位为主体）第1步： C 第2步: C 共计 C42 C22 方法2（以4名人主体）第1步： x 2 2 A 第2步: 2 共计 x A2
2 4 2 2
2 2 C4 C2 x 2 A2
6人平均分为三组有多少种不同的结果？处理方法相同
C
3 9
2 2 2 C6 C4 C2 3 A3
混合分组也称为局部平均分组，对于平均分组部分一定要注意按照平均分组处理。
排列组合中的分组问题
分组问题的类型
一、平均分组
二、不平均分组三、混合分组
所谓“平均分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等的组。
例如. 将4个人分成两组，每组都是2人，有多少种不同的分法？由分步计数原理： 2 第1步： C4 2 第2 步: C 2 2 2 共计: C4 C2 6 现在我们利用列举法列出6种可能：假设4人分别为A、B、C、D。 1 2 3 4 5 6 (A、B),（A、C）,（A、D）,（B、C）,（B、D）,（C、D）（C、D),（B、D）,（B、C）,（A、D）,（A、C）,（A、B）实际只有3种
2 2 2 C6 C4 C2 3 A3
对于n个元素，平均分为m组时，我们一定要在分组后要除以
A m!
m m
• 所谓“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。例如. 将6人分别以1人、2人、3人分成三组，有多少种不同的分组方法？
3 2 C C C 4 3
1 6
• 所谓“混合分组”是指即有平均分组又有不平均分组。例如，将9人分成人数为3人、2人、2人、2 四组，有多少种分配方法？方法相类似利用分步计数原理

排列组合中的分组问题

Ｃｉ・Ｃ！・Ｃ｛一６０．
中
学生数理化
■ 湖南
点评：由于是不同的书，故分组后并无序，所以切忌乘以Ａｉ．２．分组后有序倒２不同的６本书，分给甲、乙、丙３人，使得１人得３本，１人得２本，１人得１本．问共有多少种不同的分法．解：由于题设并没有指定哪个人得３本书，冈此甲、乙、丙３人都有得到３本书的町能．于是问题可转化为先将６本不同的书分成三堆，一堆３本，一堆２本，一堆１本；然后再将ｉ堆书再分给甲、乙、丙３人．
在解排列组合的有关府用题时，经常会遇到将所给元素或对象进行分组的问题．主要涉及平均分组与不平均分组、有序与无序等问题．很多同学在解答此类问题时要么束手无策，要么出现错解或漏解．本文就这类问题加以剖析说明，希望引起重视．
一、不平均分组问题
１．分组后无序倒，不同的６本书。分成三堆，使得一堆３本，一堆２本，一堆１本，问有多少种分法．解：本例属于不平均分组问题，令３本的为甲堆，２本的为乙堆，１本的为丙堆．故我们只需将它们分开即可，属于无序问题．
本文链接：/Periodical_zxsslh-geb200905014.aspx 下载时间：2010年4月16日
Ｃｉ・Ｃ；・Ｃｊ・Ａｉ一３６０．
高二
向剑疃
版
点评：此例与上例的区别在于分组后有序．二、平均分组问题１．分组后有序倒芎将不同的６本书分给甲、乙、丙３人，每人２本，问有多少种不同的分法．解：此类问题属于平均分组后的有序问题．由于是不同的６本书，不妨把６本书编号为１，２，３，４，５，６．不失一般性，设甲分得标号为１，２的２本书，乙得标号为３，４的２本书，丙得标号为５，６的２本书；与甲分得标号为３，４的２本书，乙得标号为１，２的２本书，丙仍得标号为５，

排列组合中的分组问题

知识点在课本解题方法学教辅排列组合中的分组问题分组问题，涉及的面比较广，分成下面几种情况来考虑。

一、非均匀分组所谓“非均匀分组”是指将元素分成的组中，各组元素的个数彼此都不相等。

例1 七个人参加义务劳动，按下列方法分组，有多少种不同的分法？（1）分成三组，每组分别有1人，2人，4人；（2）选出五人再分成两组，一组2人，另一组3人。

例2 将十个不同的零件，按下列方法分堆，有多少种不同的分法？（1）分成四堆，每堆分别有1个，2个，3个，4个；（2）选出8个零件分成两堆，一堆3个，另一堆5个。

二、均匀分组所谓“均匀分组”，是指将元素分成的组，各组元素的个数，全部相等，或一部分相等。

例3 从七个参加义务劳动的人中，选出六人，分成两组，每组都是3人，有多少种不同的分法？例4 将十个不同的零件分成四堆，每堆分别有2个，2个，2个，4个，有多少种不同的分法？三、编号分组上面的四个例题分成的组与组，或堆与堆之间是没有区别的，这可称为不编号的分组，如果在例1、例3中分成的几组，分别编号为第一组，第二组，或者说各组担任不同的工作，如挖土、运土等等；例2、例4中分成的几堆零件，分别送给几个不同的车床加工，这就相当于要编号地分组了。

将不编号的组变成编号的组，只需乘以组数的全排列，我们将上面四个例题，略作修改如下：例5 从七个人参加义务劳动的人中，选出2人一组，3人一组，轮流挖土、运土，有多少种不同的分法？例6 将十个不同的零件分成1个、2个、3个、4个四堆，分别送给四个不同的车床加工，有多少种不同的分法？例7 从七个参加义务劳动的人中，选出3人一组，3人一组，轮流挖土、运土，有多少种不同的分法？例8 将十个不同的零件分成2个、2个、2个、4个四堆，分别送给四个不同的车床加工，有多少种不同的分法？四、复合分组如果有两类或两类以上的元素，各自分组以后再互相结合起来，这就是复合分组。

例9 六个运动员分成四组，每组人数分别为1人、1人、2人、2人;三个教练分成两组，一组1人，一组2人，一组教练指导一组运动员，问有多少种不同的配合方法？练习：1按下列要求，三个教师分配到六个班里，各人教不同的班级，有几种分配方法？（1）甲教一个班，乙教两个班，丙教三个班；（2）一人教一个班，一人教两个班，一人教三个班；（3）每人都教两个班。

高中数学排列组合中的“分组分配”问题详解

高中数学排列组合中的“分组分配”问题详解
数学好教师 2020-02-06
不同种元素
分组问题
将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。

分组问题有平均分组、不平均分组、和部分平均分组三种情况。

1. 平均分组
1
2. 不平均分组
2
3. 部分平均分组
3
分配问题：
如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后分配的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。

所以针对分配问题，需要遵守的原则是：先分组，后分配
同种元素
分组问题：
1
分配问题：
对于同种元素的分配问题，通常有两种解法：常规法和隔板法
常规法：
隔板法：
常规法：
隔板法：
经典练习题
1：将五位老师分到三个学校任教，每个学校至少分一位老师，总共有多少种分法。

(答案：150种)
2：有4个不同小球放入4个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法？(答案：144种)
3：7个人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3个人，有多少种不同分法？(答案：70种)
4：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？(答案：84种)
5：现有7个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3的三个盒子中
(1)若每个盒子至少放一个球，共有多少种不同的放法？(答案：15种)
(2)若允许出现空盒，共有多少种不同的放法？(答案：36种)
6：现有12个相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？(答案：10种)。

排列组合中的分组分配问题的有效解法

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题在数学和计算机科学中是一个重要的问题，它涉及到如何将一组对象分配到不同的集合中，使得每个集合包含的对象满足特定的条件。

在实际生活中，这种问题也经常出现，比如在制定班级或团队分组、分配资源等方面。

在这篇文章中，我们将讨论排列组合中的分组分配问题，并介绍一些有效的解法，希望能够帮助读者更好地理解和解决这类问题。

1. 理解排列组合中的分组分配问题排列组合中的分组分配问题，通常可以描述为以下几种形式：（1）将N个对象分成K个组，每个组的大小不同；（2）将N个对象分成K个组，每个组的大小相同；（3）将N个对象分成K个组，每个组的大小不同，但满足一定条件。

在实际应用中，这些问题可能会涉及到一些约束条件，比如每个组中的对象之间有特定的关系，或者每个组中的对象有特定的属性，这将在具体问题中得到体现。

2. 有效解法为了解决排列组合中的分组分配问题，我们介绍一些有效的解法，包括暴力穷举、动态规划和回溯法等。

（1）暴力穷举暴力穷举是一种简单直接的方法，它通过遍历所有可能的组合来寻找符合条件的分组分配。

这种方法的优点是容易理解和实现，但是当问题规模较大时，时间复杂度会非常高，需要花费大量的计算资源。

暴力穷举一般适用于问题规模较小的情况。

（2）动态规划动态规划是一种常用的解决排列组合问题的方法，它通过将原问题分解成若干个子问题，并且这些子问题之间存在重叠的性质。

通过记录中间结果，可以避免重复计算，从而提高效率。

在分组分配问题中，动态规划可以用来求解不同组合的分配方案数量、找到最优的分组方案等。

通过定义状态转移方程和设计合适的算法，可以高效地解决大规模的分组分配问题。

（3）回溯法回溯法是一种递归地穷举所有可能的解决方案，通过不断地试探和回溯来寻找最优的解决方案。

在分组分配问题中，回溯法可以用来找到满足条件的分组方案，或者列举所有可能的分配方案。

回溯法的优点是能够找到所有可能的解，但是在问题规模较大时，时间复杂度会很高，需要耗费大量的计算资源。

排列组合中的分组问题

排列组合中的分组问题分组问题有两大类：一类是相同元素的分组问题，另一类是不同元素的分组问题。

在不同元素的分组问题中包含平均分组和非平均分组及其部分平均分组，以及有序和无序之分。

一、相同元素的分组问题方法：隔板法例1、（1）6人带10瓶矿泉水参加春游，每人至少带1瓶，共有种不同的方法（2）分别从4所学校选拔6名报告员，每校至少1人，有种不同的方法解：（1）解法（一）隔板法：只需把10瓶矿泉水分成6份，每份至少有一瓶，共有59C方法（二）：首先每个人拿一瓶，然后把4瓶矿泉水分成6份，每一份对应一种方法。

分别有1,1,1,1,0,0、2,1,1,0,0,0、3,1,0,0,0,0、4,0,0,0,0,0、2,2,0,0,0,0.共有43121126636266126C C C C C C C++++=方法（三）：首先每个人拿一瓶，然后把4瓶矿泉水分成6份，每一份对应一种方法。

需要5块隔板，把5块隔板与4瓶放在一起，每一种放法就是一种分配方案，共有59C（2）方法（一）：实质是把6个人分成4份，有2,2，1，1、3,1,1,1。

共有214410C C+=种方法方法（二）：设置有3块隔板，有3510C=方法。

二、不同元素的分组问题方法：使用分步计数原理例1、将6本不同的书，按下列方式分配，各有多少种分法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人得2本（2）分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本（3）甲、乙、丙三人3人，其中一人得1本，一人得2本，1人得3本。

（4）若平均分成三堆，有几种分法？解：（1）按照分类计数原理222642C C C （属于有序平均分组）（2）按照分类计数原理123653C C C （属于无序非平均分组）（3）按照分类计数原理12336533C C C A （属于有序非平均分组）（4）22264233C C C A 注意：分类计数原理是有序的，（1）、（4）的区别在于一个有序，另一个无序。

排列组合中分组分配问题

分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。

排列组合中的分组分配问题的有效解法

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。

该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。

解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。

下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。

一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。

这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。

具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。

2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。

设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。

其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。

3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。

二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。

在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。

多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。

具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。

通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。

2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。

利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。

3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。

6、排列组合问题之分组分配问题

排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。

解：①先选出1人，有C；种，再由剩下的6人选出2人，有C：种，最后由剩下的4人为一组，有C：种。

由分步计数原理得分组方法共有C；C：C： =105（种）。

②可选分同步。

先从7人中选出2人，有©种，再由剩下的5人中选出3人，有C；种，分组方法共有C；C：=210（种）。

也可先选后分。

先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有C；C；C；=210 （种二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。

先选3人为一组，有E种；再选3人为另一组，有C：种。

又有2 组都是3人，每Af种分法只能算一种，所以不同的分法共有亠L = 70 （种）。

C3C3也可先选后分。

不同的分法共有C；・-4^ = 70 （种）。

A?㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有C：、C：、C；、C；种，又有3堆都C1 c2c2是2个元素,每&种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有|（）^ 6= 3150 （种）。

【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有加个组的元素是均匀的，都有A：；种顺序不同的分法只能算一种分法。

】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方法共有C；C；A；=420 （种）。

排列组合分组分配问题公式

排列组合分组分配问题公式排列组合分组分配问题，这可是数学里挺有意思的一块呢！咱先来说说排列。

比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，有多少种排法？这就是排列问题。

排列的公式是 A(n, m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。

再讲讲组合。

还是从 5 个水果里选 3 个，不考虑顺序，这就是组合问题。

组合的公式是 C(n, m) = n! / [m!(n - m)!] 。

那分组分配问题又是什么呢？给您举个例子，有 6 本不同的书，分成 3 组，每组 2 本，这就是分组问题。

如果再把这 3 组书分别分给 3 个人，这就是分配问题啦。

我记得有一次，学校组织活动，要从班里选几个同学去参加不同的项目。

这可就用到了排列组合分组分配的知识。

当时老师说要从 20 个同学里选 5 个参加绘画比赛，选 8 个参加歌唱比赛，剩下的 7 个参加朗诵比赛。

这可把我难住了，我就在心里默默算着。

先算选 5 个参加绘画比赛，用组合公式 C(20, 5) 得出结果，再算选 8 个参加歌唱比赛的组合数 C(15, 8) ，最后选 7 个参加朗诵比赛的组合数 C(7, 7) 。

然后把这三个结果乘起来，就是总的分组方案数啦。

分组问题里还有平均分组的情况，要注意除以重复的组数的阶乘。

比如说把 8 个人平均分成 4 组，那就要先算出总的分组数 C(8, 2)×C(6,2)×C(4, 2)×C(2, 2) ，然后再除以 A(4, 4) ，这样才能得到不重复的分组方案数。

分配问题也有不同的情况，比如相同元素的分配，可以用隔板法。

比如说把 10 个相同的苹果分给 3 个小朋友，每人至少一个，那就在 9 个空隙里插 2 个隔板，方案数就是 C(9, 2) 。

总之，排列组合分组分配问题，看起来挺复杂，但是只要咱把公式弄明白，多做几道题，其实也不难。

排列组合中的分组分配问题的有效解法

排列组合中的分组分配问题的有效解法1. 引言1.1 什么是排列组合中的分组分配问题在排列组合中的分组分配问题中，我们面临着将一组元素分为多个子集的问题。

在这个问题中，我们通常需要满足一定的条件，比如每个子集的元素个数必须相等，或者每个子集的元素之和必须满足某个条件。

这种问题在实际生活中有很多应用，比如排班问题、分组比赛问题等。

具体来说，我们可以将排列组合中的分组分配问题看作将n个元素分为m个子集的问题。

每个子集中的元素个数可以不同，也可以相同。

我们需要找到一种方法，使得每个子集满足特定的条件，同时保证所有子集之间没有重复元素。

在解决这类问题时，我们通常需要考虑不同算法的效率和准确性。

通过选择合适的算法，我们可以更快地找到问题的解决方案，提高问题的求解效率。

对于排列组合中的分组分配问题，需要有效的解法来解决复杂的组合问题，提升计算效率。

【200字】1.2 为什么需要有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，通常涉及到如何将一组元素分成若干组，使得每个元素恰好属于一组，并且每个组的元素数量符合特定的条件。

这类问题在实际生活中也有着广泛的应用，比如在分配任务、资源、奖励等方面。

为了解决这类问题，需要找到一种有效的解法。

有效解法可以帮助我们节省时间和精力。

排列组合中的分组分配问题往往有着庞大的搜索空间，如果没有一个高效的解法，我们可能需要耗费大量的时间和资源来找到最优解。

而通过有效的解法，我们可以在较短的时间内找到满足要求的分组方案，提高工作效率。

有效解法可以帮助我们减少错误和避免漏解。

在解决排列组合中的分组分配问题时，如果没有一个清晰的解题思路和方法，容易导致错误的分组方案或者遗漏可能的解决方案。

而使用有效的解法，可以系统地进行搜索和分析，减少出错的可能性，提高解题的准确性和完整性。

找到排列组合中的分组分配问题的有效解法是非常重要的。

有效解法不仅可以节省时间和精力，提高工作效率，还可以减少错误和遗漏，保障解题的准确性和完整性。

排列组合中的分组问题

排列组合中的分组问题有关排列组合中的分组问题学生在做题时易混淆、易出错，下面我们通过几个例子辨析这类问题，总结归纳这种题型的解题规律和方法。

问题：1、有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有几种分法？2、有6本不同的书，平均分成三份，有几种分法？3、有6本不同的书，分成三份，一份一本，一份两本，一份三本，有几种分法？4、有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，其中有一人一本，一人两本，一人三本，有几种分法？5、有6本不同的书，分给甲一本，乙两本，丙三本，有几种分法？6、有5本不同的书，分成三份，一份3本，另外两份都1本，有几种分法？7、有5本不同的书，分给甲、乙、丙三人，其中有一人3本，另外两人1本，有几种分法？8、有5本不同的书，分给甲3本，乙1本，丙1本，有几种分法？9、有5本不同的书，分成三份，其中一份1本，另外两份都2本，有几种分法？10、有5本不同的书，分给甲、乙、丙三人，其中有一人1本，另外两人2本，有几种分法？11、有5本不同的书，分给甲1本，乙2本，丙2本，有几种分法？解析：问题1：分三步，第一步，从6本不同的书中任取两本给甲26C ；第二步，从剩余的4本中任取两本给乙24C ；第三步，剩下的2本自然是丙的22C ；所以有222426C C C 种分法。

问题2：与问题1的区别在于问题1三份给甲、乙、丙三人，这三份是有区别的，而问题2只是分成三份，这三份是没有区别的，所以有33222426A C C C 种分法。

问题3：也是分成三份，但由于每份的本数不一样，所以三份是有区别的，因此有332516C C C 种分法。

问题4：把问题3中的三份分给甲、乙、丙三人，有33332516A C C C 种分法。

问题5：和问题3的分法种数是一样的，因为一本的那份只能给甲，两本的那份只能给乙，三本的那份只能给丙。

问题6：把5本书分成三份，因为其中有两份是一样的，所以有31152122C C C A 种分法；这个问题我们也可以这样想，只要从5 本书中任取三本35C ，剩下的2本自然就是两份，这样就把这5本书分成了三份，就是35C 种分法。

排列组合中的分组问题

排列组合中的分组问题分组问题，由于涉及的面比较广，所以是排列、组合中的难点，如果只是断章取义的去教学，不从根本上去加以理解、归纳，那么就很难正确的解答各类题型，下面通过例题予以浅谈。

一、非均匀分组所谓“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

例1. 七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？（1）分成三组，分别为1人、2人、4人；（2）选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人。

解：（1）选出1人的方法有种，再由剩下的6个人中选出2人的方法有种，剩下的4人为一组有种，依分步计数原理得分组的方法有（种）（2）可直接从7人中选出2人的方法有种，再由余下的5个人中选3人的方法有种，所以依分步计数原理，分组的方法有：（种）。

也可先选取5人，再分为两组有（种）。

二、均匀分组所谓“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

1. 全部均匀分组例2. 从7个参加义务劳动的人中，选出6个人，分成两组，每组都是3人，有多少种不同的分法？分析：记7个人为a、b、c、d、e、f、g写出一些组来考察表1由表1可见，把abc ，def 看作2个元素顺序不同的排列有种，而这只能算一种分组方法。

解：选3人为一组有种，再选3人为另一组有种，依分步计数原理，又每种分法只能算一种，所以不同的分法有（种）。

也可以先选再分组为＝70（种）2. 部分均匀分组例3. 将十个不同的零件分成四堆，每堆分别有2个、2个、2个、4个，有多少种不同的分法？分析：记十个零件为a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 、j 写出一些组来考察表2由表可见，把ab 、cd 、ef 看作三个元素顺序不同的排列时有种排法，而这种只能算一种分法。

解：因为分成2个、2个、2个、4个元素的四个堆，分别为种，由分步计数原理及每中只能算一种不同的分组方法得（种）由此可见，不论全部均匀分组还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有种顺序不同的排法只能算一种分法。

6、排列组合问题之分组分配问题

排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非平均分组（分步组合法）“非平均分组”是指将全部元素分成元素个数互相不相等的组。

例 1、 7 人参加义务劳动，按以下方法分组有多少种不相同的分法？①分成 3组，分别为 1人、 2 人、 4 人；②选出 5个人分成 2 组，一组 2 人，另一组 3人。

解：①先选出 1人，有 C 17 种，再由剩下的 6 人选出 2 人，有 C 62 种，最后由剩下的 4 人为一组，有 C 44 种。

由分步计数原理得分组方法共有C 71C 62 C 44 105 （种）。

②可选分同步。

先从 7 人中选出 2 人，有 C 72 种，再由剩下的 5 人中选出 3 人，有 C 53种，分组方法共有 C 72C 53210 （种）。

也可先选后分。

先选出 5 人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有C 75C 52 C 33 210 （种）。

二、平均分组（去除重复法）“平均分组”是指将全部元素分成全部组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部平均分组（去除重复法）23例 2、 7人参加义务劳动，选出6人，有多少种不相同的分法？个人，分成组，每组都是解：可选分同步。

先选 3 人为一组，有 C 73 种；再选 3 人为另一组，有 C 43 种。

又有 2 组都是 3人，每 A 22 种分法只能算一种，因此不相同的分法共有 C 73C 43 70 （种）。

A 22也可先选后分。

不相同的分法共有 C 76 C 63C 3370 （种）。

A 22㈡部分平均分组（去除重复法）例 3、 10个不相同零件分成 4 堆，每堆分别有 2 、 2 、 2 、 4 个，有多少种不相同的分法？解：分成 2 、 2 、 2 、 4 个元素的 4 堆，分别有 C 102 、 C 82 、 C 62 、 C 44 种，又有 3 堆都是 2个元素，每 A 33 种分法只能算一种，因此不相同的分组方法共有C 102C 82 C 62 C 44 3150 （种）。

排列组合分组分配问题

(1)平均分组,没有分配对象
例6: 6本不同的书平均分成3组,有多少种分法? 15种
(2)非平均分组,没有分配对象
例7: 6本不同的书分成3组,一组3本,一组2 本,一组1本,有多少种分法? 60种例8: 6本不同的书,分成3组,一组4本,其余两组各1本,有多少种分法? 15种
1.有分配对象的分组:元素分组后,又分配给具体对象,而分组是确定
例1: 6本不同的书分给3人,甲得1本,乙得2 本,丙得3本,有多少种不同的分法?
60种
(2)各组元素数目确定,分配对象不确定
例2: 6本不同的书分给3人,1人1本,1人2 本,1人3本,有多少种分法?
360种
(3)平均分配给具体对象
例3: 6本不同的书平均分给3人,有多少种分法?
90种
(4)部分均分给若干对象
例4: 6本不同的书分给3人,1人4本,其余2人各1本,有多少种分法? 90种例5: 6本不同的书全部分给4名学生,每人至多2本,至少1本,有多少种分法? 1080种
2.无分配对象的分组:元素分组以后,没有分配对象或所分配给的对象不具体不确定,可以不加以区别.

排列组合问题之分组问题

排列组合问题之分组问题简介排列组合是数学中经常遇到的问题，而分组问题是其中一种常见的情况。

分组问题涉及将一组元素分成几个不同的子组，每个子组中的元素之间没有顺序关系。

本文将介绍分组问题的相关概念和解决方法。

分组问题的定义分组问题即将一组元素划分为若干个不同的子组。

每个子组中的元素之间没有顺序关系，而不同的子组之间有明确的区分。

例如，将10个不同的数字划分为3个子组，每个子组中的元素数量可能不同，但不同的子组之间有明确的区分。

解决方法解决分组问题需要运用排列组合的知识和技巧。

下面是一些常用的解决方法：1. 枚举法：通过穷举的方式列举出所有可能的分组情况。

对于元素数量较小的情况，这种方法可以得到准确的结果。

但是对于元素数量较大的情况，枚举法的计算量很大且不切实际。

2. 生成函数法：将分组问题转化为生成函数的问题。

通过构建适当的生成函数，可以通过多项式运算得到分组的不同方案数目。

3. 动态规划法：将分组问题转化为动态规划问题。

通过定义状态和状态转移方程，可以利用动态规划的思想求解分组问题。

4. 递归法：将分组问题划分为较小规模的子问题，然后利用递归的方式解决。

递归法需要定义递归函数和递归终止条件。

应用领域分组问题广泛应用于组合数学、离散数学和计算机科学等领域。

在实际生活中，分组问题也有很多实际应用，如分配任务、安排座位等。

结论分组问题是排列组合问题中的一种，涉及将一组元素分成若干个不同的子组。

解决分组问题需要掌握适当的解决方法和技巧。

本文介绍了一些常用的解决方法，并指出分组问题的应用领域。

希望本文能对读者理解和解决分组问题提供帮助。

以上是关于排列组合问题之分组问题的简要介绍。

【注意：本文为创作性文档，所有内容仅供参考，不得用于法律取证等正式场合。

】。

6、排列组合问题之分组分配问题

排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？① 分成3组，分别为1人、2人、4人；② 选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。

解：①先选出1人，有C ；种，再由剩下的6人选出2人，有C ；种，最后由剩下的4人为一组，有C 4种。

由分步计数原理得分组方法共有C 7C 6C 4 105 （种）。

②可选分同步。

先从7人中选出2人，有C ；种，再由剩下的5人中选出3人，有C 532 3种，分组方法共有C 7C 5 210 （种）。

也可先选后分。

先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有210 （种）。

、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出 6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？解：可选分同步。

先选3人为一组，有C ；种；再选3人为另一组，有C ：种。

又有2组都是3人，每 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成 4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？70 （种）。

也可先选后分。

不同的分法共有C6c ；c ； C 7T70 （种）。

解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有G：、C；、C（2、C4种，又有3堆都是2个c2c2c2元素，每A种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有10 3 6 C： 3150 （种）。

A【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m个组的元素是均匀的，都有A：种顺序不同的分法只能算一种分法。

】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法? 解：分组方法共有C；C；A| 420 （种）。

排列组合中的分组与分配问题

排列组合中的分组分配问题一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是624222C C C=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。

我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C CA=15(种)。

(2)先分组，方法是615233C C C，那么还要不要除以33A？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C=60(种) 分法。

(3)分组方法是642111C C C=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。

所以实际分法是41162122C C CA=15(种)。

结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp ，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。

排列组合问题之分组分配问题

排列组合问题之分组分配问题（—）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法① 分成3组，分别为1人、2人、4人；② 选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。

解：①先选出1人，有C ；种，再由剩下的6人选出2人，有C ；种，最后由剩下的4人为一组，有C 4种。

由分步计数原理得分组方法共有 C 7C 6C 4 105 （种）。

②可选分同步。

先从7人中选出2人，有C ；种，再由剩下的5人中选出3人，有C 3 种，分组方法共有 C ^C l 210 （种）。

也可先选后分。

先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有 C l C ；C ； 210 （种）。

、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出 6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。

先选3人为一组，有C ；种；再选3人为另一组，有C ：种。

又有2组都㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成 4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有C 0、C ；、Cf 、C ：种，又有3堆都是2个_3元素，每A 3种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有A m 种顺序不同的分法只能算一种分法。

】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出 2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方是3人，每 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有 C y'C 70 （种）。

也可先选后分。

不同的分法共有C 6 CeC 70 （种）。