推导长方体的体积计算公式
长方体正方体表面积体积公式
长方体正方体表面积体积公式
长方体和正方体的表面积和体积公式是数学中常用的公式，可以用来计算立体图形的面积和体积。
下面是具体的公式:
长方体表面积公式:S(表面积) = 2(a1a2a3) (其中 a1、a2、a3 分别为长、宽、高)
长方体体积公式:V(体积) = a1a2a3 (其中 a1、a2、a3 分别为长、宽、高)
正方体表面积公式:S(表面积) = 6a2 (其中 a 为正方体的棱长) 正方体体积公式:V(体积) = a3 (其中 a 为正方体的棱长)
其中，a1、a2、a3 分别表示长方体或正方体的一个面的面积，V 表示体积，S 表示表面积，正方体有 6 个面，每个面都是相同的正方形，所以正方体的表面积为 6a2。
长方体和正方体的体积和表面积公式都是用来描述立体图形大
小和形状的公式，可以用来计算立体图形的面积和体积，帮助人们更好地理解和探究数学问题。
高中数学立体几何体积计算公式的推导与应用
高中数学立体几何体积计算公式的推导与应用在高中数学中，立体几何是一个重要的内容，其中体积计算是其中的一个重点。
掌握了立体几何体积计算公式的推导与应用，不仅可以帮助我们更好地理解几何概念，还可以提高解题的效率。
本文将以常见的几何体为例，详细介绍体积计算公式的推导与应用。
一、立方体的体积计算公式我们首先来推导立方体的体积计算公式。
立方体是一种所有边长相等的六面体，假设边长为a，则立方体的体积V等于边长的立方，即V = a³。
例如，如果一个立方体的边长为2cm，则它的体积为8cm³。
在解题时，我们可以利用立方体的体积计算公式来计算未知量。
例如，已知一个立方体的体积为64cm³，我们需要求解它的边长。
根据立方体的体积计算公式，我们可以得到a³ = 64，进而得到a = 4。
因此，该立方体的边长为4cm。
二、长方体的体积计算公式接下来，我们来推导长方体的体积计算公式。
长方体是一种所有相邻面都是矩形的六面体，假设长、宽、高分别为l、w、h，则长方体的体积V等于长乘以宽乘以高，即V = lwh。
例如，如果一个长方体的长为3cm，宽为4cm，高为5cm，则它的体积为60cm³。
在解题时，我们可以利用长方体的体积计算公式来计算未知量。
例如，已知一个长方体的体积为120cm³，长为4cm，宽为3cm，我们需要求解它的高。
根据长方体的体积计算公式，我们可以得到4 * 3 * h = 120，进而得到h = 10。
因此，该长方体的高为10cm。
三、圆柱体的体积计算公式接下来，我们来推导圆柱体的体积计算公式。
圆柱体是一种由两个平行圆面和一个连接两个圆面的侧面组成的几何体，假设底面半径为r，高为h，则圆柱体的体积V等于底面积乘以高，即V = πr²h。
例如，如果一个圆柱体的底面半径为2cm，高为5cm，则它的体积为20πcm³。
在解题时，我们可以利用圆柱体的体积计算公式来计算未知量。
长方体体积公式推导
长方体体积公式推导
长方体是一个立方体，它的体积可以通过计算它的长、宽和高的乘积得到。
假设长方体的长为l、宽为w、高为h，则其体积V可以表示为：
V = l * w * h
推导过程如下：
1. 假设长方体可以被划分为n层，每一层的体积都相同。
2. 第一层的体积为lw，第二层的体积也为lw，以此类推，直到第n层。
3. 将这些层的体积相加，得到总体积。
总体积 = lw + lw + lw + ... + lw (共有n个lw)
= nlw
4. 当n趋近于无穷大时，每一层的高度趋近于无穷小。
5. 此时，每一层的体积也趋近于无穷小。
6. 由于无穷小的体积是可以忽略的，我们可以认为每一层的体积为0。
7. 因此，长方体的体积在数学上可以表示为：
V = lim(n→∞) nlw = lwh
所以，长方体的体积公式为V = lwh。
长方体正方体体积计算公式
长方体正方体体积计算公式
长方体和正方体都是我们生活中常见的立体图形。
在日常生活中，很多物体都是长方体或正方体的形状，比如说糖果盒、鞋盒、书本、
电视机等等。
计算长方体和正方体的体积是我们在应用数学中经常碰
到的问题。
首先，我们来了解一下长方体和正方体的定义。
长方体是一种由
六个矩形围成的立体图形，其中相邻的矩形之间有四个直角，也就是说，每个角都是九十度。
正方体是一种由六个正方形围成的立体图形，也是有八个顶点、十二个棱和六个面。
计算长方体的体积的公式是：体积 = 长× 宽× 高，其中长、宽和高分别是长方体的三条边。
例如，一个盒子的长是15cm、宽是
10cm、高是20cm，那么它的体积就是15cm × 10cm × 20cm =
3000cm³。
计算正方体的体积的公式是：体积 = 边长³，其中边长是正方
体的一条边长。
例如，一个立方体的边长是5cm，那么它的体积就是
5cm × 5cm × 5cm = 125cm³。
需要注意的是，长方体和正方体的计算公式完全不同，因为它们
的形状和大小也完全不同，每个立方体的计算方法都是独立的。
同时，我们也要确保使用正确的单位来计算体积，比如说用 cm³或 m³来
表示体积。
最后，了解长方体和正方体的体积计算公式对我们日常生活中的
应用非常有帮助，帮助我们更好地理解立体图形的性质和特点，提高
我们的数理能力。
长方体体积公式及表面积公式
长方体体积公式及外表积公式长方体是底面为长方形的直四棱柱〔或上、下底面为矩形的直平行六面体〕，其由六个面组成的，相对的面面积相等。
长方体是底面为长方形的直四棱柱〔或上、下底面为矩形的直平行六面体〕，其由六个面组成的，相对的面面积相等。
体积长方体的体积=长×宽×高。
设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么它的体积:V=abc=Sh
因为长方体也属于棱柱的一种，所以棱柱的体积计算公式它也同样适用。
长方体体积=底面积×高，即V=Sh〔S是底面积〕外表积因为相对的2个面面积相等，所以先算上下两个面，再算前后两个面，最后算左右两个面。
设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么它的外表积为S=(ab+bc+ca)×2，也等于2ab+2bc+2ca，还等于2〔ab+bc+ca〕；
公式：长方体的外表积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×2，或：长方体的外表积=〔长×宽+宽×高+长×高〕×2。
性质(1)长方体有6个面。
每组相对的面完全一样。
(2)长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等。
按长度可分为三组，每一组有4条棱。
(3)长方体有8个顶点。
每个顶点连接三条棱。
三条棱分别叫做长
方体的长，宽，高。
(4)长方体相邻的两条棱互相垂直。
长方体正方体的统一的体积计算公式
2、用15根规格完全相同的木板堆成一个体积是3.6立方米的 长方体，已知每根木板宽3分米，厚2分米， 求每根木板的长。
有6m3的煤渣，均匀铺在一块 长50m，宽4m的场地上，能铺几 厘米厚？
答：体积是45立方厘米。
2、一个长方体水箱体积是320立方分米，这 个水箱的底面是一个边长为0.8米的正方形， 水箱的高是多少分米？
0.8米=8分米 h=V÷S=320÷ (8×8)=5(分米） 答：水箱的高是5分米。
想一想 1、一块长方体高6厘米，沿水平方向横 切成两个小长方体，表面积就增加了80 平方厘米，求原来长方体的体积。
长方体的体积=长×宽×高 ﹉﹉﹉ ↑ 底面积 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 ﹉﹉﹉ ﹉﹉ ↑ 底面积
长方体（或正方体）的体积=底面积×高 V = S h
一个长方体的下底面积是12平方厘 米的长方形，它的高是5厘米，体 积是多少立方厘米？
V=S h=12×5=60( cm3 ) 答：体积是60立方厘米。
你知道吗？
西汉末年我国古代数学家编撰了一本不
朽的传世名著《九章算术》.这本书共九章， 其中一章叫商功章，它收集的都是一些有 关体积计算的题．书中是这样叙述有两个 面是正方形的长方体体积的计算方法的： “方自乘，以高乘之即积尺．”就是说， 先用边长乘边长得底面积，再乘高就得到 长方的正方体容器装 满水后,倒入一只长8分米，宽6分 米的长方体水箱里，水深多少分米？ 2、一块长方体的石头，底面积是 55平方厘米，高是8厘米，求它的 体积。如果每立方厘米石头重0.2 千克，这块石头重多少千克？
11、在一个长方体水池内测量， 长3米，宽1.5米，水深1.2米， 投入一个石块后，水面上升0.2 米，这个石块的体积是多少？
小磊要从左边的长方体上 切下一个最大的正方体。这个 正方体的体积是多少？
体积和重量计算公式
体积和重量计算公式体积和重量计算是在日常生活和工作中经常会遇到的问题。
无论是在购物、运输还是科学实验中，我们都需要准确地计算物体的体积和重量。
本文将介绍一些常见的计算公式，并通过实例来说明如何应用这些公式进行计算。
一、体积的计算公式1. 立方体体积计算公式：体积 = 边长³立方体是最简单的几何体之一，边长相等，因此只需要知道一个边长，就可以计算出立方体的体积。
2. 长方体体积计算公式：体积 = 长× 宽× 高长方体是我们常见的物体，如盒子、书本等，通过测量长、宽、高，就可以计算出长方体的体积。
3. 圆柱体体积计算公式：体积= π × 半径² × 高圆柱体是一个上底和下底都为圆形的几何体，通过测量底面圆的半径和高，就可以计算出圆柱体的体积。
4. 球体体积计算公式：体积= 4/3 × π × 半径³球体是一个完全由曲面构成的几何体，通过测量球的半径，就可以计算出球体的体积。
二、重量的计算公式重量是物体所受重力的大小，它与物体的质量有关。
在计算重量时，我们需要用到重力加速度的数值，通常取9.8 m/s²。
1. 质量和重力的关系：重量 = 质量× 重力加速度质量是物体所含物质的量，通过质量和重力加速度的乘积，就可以计算出物体的重量。
2. 体积和密度的关系：质量 = 体积× 密度密度是物体单位体积的质量，通过体积和密度的乘积，就可以计算出物体的质量。
三、实例演练为了更好地理解和应用上述计算公式，我们来看几个实际的例子。
例1：计算一个边长为5厘米的立方体的体积。
根据立方体体积计算公式，体积 = 边长³ = 5³ = 125立方厘米。
例2：计算一个长为10厘米、宽为5厘米、高为8厘米的长方体的体积。
根据长方体体积计算公式，体积 = 长× 宽× 高= 10 × 5 × 8 = 400立方厘米。
长方体与正方体体积推导公式及应用
推导公式:a=V÷b÷h ， b=V÷a÷h， h=V÷a÷b, h=V÷S ， 1、用60立方米的沙，铺一条路长 S=V÷h 200米，宽3米
的路，可以铺多厚？ 2、将40L 水倒入一个棱长是20分米的正方体鱼缸 中，鱼缸中的水有多深？
3、将40L水倒入一个底面积为20平方分米的空水 池中，水池中水有多高？
•有一块棱长为2米的正方体水池可以容纳多 少升的水？
高
=右面面积×
长
15平方厘米 6分米
=前面面积×
5厘米
宽
体积
1、有一个底面积是36平方分米的水池，高是3 分米，求水池可以容纳多少升的水？
2、有一个横截面是24平方厘米的木条，长2米 ，求它的体积是多少平方分米？
体积（单位）： 立方厘米、立方分米、立方米!进率1000！ 长方体的体积= 长×宽×高 V=abh 正方体的体积= 棱长×棱长×棱长 V=aaa
长方体和正方体体积公式推导与应用
长方体（或正方体）的体积= 底面积×高 用字母表示：V=Sh
一、求体积类型（V=aaa,V=abh）
•一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长3 米，宽2米，深2分米，每立方米沙子重2000 千克，这个沙坑里共装沙子多少吨？
7、一个长方体的容器长10cm，宽8cm,高6cm里 面的水深3cm，把这个容器盖紧后竖放，使长10 cm、宽6cm的面朝下，这时里面的水深是多少厘 米？
8、有一个长方形玻璃鱼缸长为5分米，宽为3分米 ，高为3分米里面装有2.5分米高的水，现在需要将 该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5分米的正方体 鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装 得下正方体鱼缸内的水有多高？
4、把一个棱长为6分米的正方体铁块铸成一 个长9分米，宽4分米的长方体铁块，求长方 体铁块的高是多少？
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宽/分米 1 3 2
高/分米 2 5 4
体积/分米 3
5 4 10
10 60 80
练一练A
2、我会计算。
4 厘 米
3×2×4=24（立方厘米）
3厘米
2 厘 米 6厘米
6×2×2=24（立方厘米）
练一练A
3、 一个长方体长4分米、宽3分 米、高3分米，它的体积是多少立方 分米？
4×3×3=36（立方分米）
1 1
12 12
12 12
长/厘米 宽/厘米
高/厘米
体积/厘米
3
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3
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3
2
2
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12
1
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6
2
1
12
1、这些长方体有什么共同点?不同点? 体积都相同，而长、宽、高不同。 2、为什么这些长方体的长、宽、高不同, 即形状不同而体积相同呢? 因为它们都含有同样多的体积单位-----12个1厘米 3
4 3
3 2
1 2
12 12
12 12
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
4 3
3 2
1 2
12 12
12 12
12
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
2 3
摆 2层
4
高/厘米
4
3
2
24
想一想:如果要摆一个长5厘米,宽4厘米,
高3厘米的长方体,该如何摆?体积是多少?
一排摆5个 一共摆4排 上下摆3层
这些数据与长方体的体积 有没有关系?是什么关系? 长5厘米 长方体的体积正好等于它的长、宽、高的乘积.
高 3 厘 米
即:长方体的体积=长×宽×高
V=abh
4 3
3 2
1 2
12
12
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
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3 2
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用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
4 3
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1 2
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12 12
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1
1
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
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3 2
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12 12
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1
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用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
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用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
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1
12
12
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
4
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
答：它的体积是36立方分米。
练一练A
4、 建筑工地要挖一个长50米， 宽30米，深50厘米的长方形土坑， 挖出多少方的土？
练一练B
长 宽
高 体积
1、填表:
７厘米 ３厘米
５厘米 105厘米3
８分米 ５分米
６分米 240分米3
0.4米 0.2米
0.3米 0.024米3
练一练B
2、下面的图形都是由棱长为1厘米的小正方体 拼成的,它们的体积各是多少呢?你是怎么知道的?
(3)运货集装箱的体积约是40( 立方米 );
(4)常用的公制体积单位有:立方( 厘米 );立 方( 分米 );立方( 米 ) .
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
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3 2
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12 12
12
1
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12
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
5、 牙膏盒长15厘米，宽和高 都是3厘米。现有一纸箱，内侧的 尺寸如图，这个纸箱中最多能放多 少盒牙膏？
4 3
3 2
1 2
12 12
12 12
12 6
1 2
1 1
12 12
12
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
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长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
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12 12
12
1
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
义务教育课程标准实验教科书《小学数学》五年级下册
新授课
1、什么叫做物体的体积呢?
每个物体都占有一定的空间,我们把 “物体所占空间的大小,叫做物体的体积”.
2、体积单位的认识.
1分米
1平方分米
1立方分米
长度单位
一条线段
面积单位
一个平面
体积单位
一个立体图形(6个面)
3、填空:
用多么大的体积单位表示下面物体的体积比 较适当? (1)一块橡皮擦的体积约是8( 立方厘米 ); (2)一台录音机的体积约是20( 立方分米 );
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
4 3
3 2
1 2
12 12
12 12
12 6
1 2
1 1
12
12
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
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1 2
12 12
12 12
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1
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12
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)
4 3
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1 2
12 12
12 12
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12
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长方体的体积=长×宽×高 v=a×b×h v=abh
例1:一个长方体,长7厘米,宽4厘米,高3厘
米,它的体积是多少?
厘 米
4
7厘米
?
例1:一个长方体,长7厘米,宽4厘米,高3厘
米,它的体积是多少?
3 厘 米
7厘米
7×4×3=84(厘米 ) 答:它的体积是84厘米.
3
3
练一练A
1、口答填表:
长/分米
36立方厘米
24立方厘米
27立方厘米
练一练B
3、一个长方体长8厘米、宽5厘米， 体积是160立方厘米，它的高是多少 厘米？
练一练B
4、一块水泥板,长5分米,宽3分米, 厚2分米,这块水泥板的体积是多 少分米 ?
2 分 米
5分米 3
5×3×2=30(分米 ) 答:这块水泥板的体积是30立方分米.
练一练B
观察:右图这个长方体,长、宽、高的数,除
了表示出长、宽、高的长度外,还表示什么?
表示长的数,除了表示4厘米长外,还表示 出一排摆了4个1厘米的正方体. 表示宽的数,除了表示3厘米宽外,还 表示出摆了3排. 表示高的数,除了表示2厘米高外,还 表示出摆了2层. 一排摆出4个1厘米的正方体 长/厘米 宽/厘米 一共摆了3排 体积/厘米
4
3
用12个棱长为1厘米的小正方体摆出不同的长方体
长(厘米) 宽(厘米) 高(厘米) 第一个长 方体 第二个长 方体 第三个长 方体 第四个长 方体 正方体的个数 体积(厘米3)