Strongart数学笔记：内射模的种种推广与反例

内射模的种种推广与反例(2015-07-0613:38:59)
内射模（injective module）是环论中的一个非常重要的概念，通过Baer判定，这样的内射性质等价于任何理想的可扩张性，我们用单子模、主理想等简单概念代替任何理想，就可以得到关于内射模的很多有趣的推广。

我们主要处理右R-模的情形，对左R-模都是类似定义的，对环的定义与模的情形一致。

记r（Y）与l（Y）分别为Y的右零因子与左零因子，S_r与S_l分别为R作为右R-模与左R-模的底座（Socle），Z_r与Z_l分别为R作为右R-模与左R-模的奇异理想（singular ideal）.
R-模M是内射模，若对任何右R-模的单同态f：A→B与任何R-同态g：A→M，总存在R-同态h：B→M，使得g=h·f.换句话说，M是内射模iff Hom（-，M）是（右）正合的。

对内射模我们有著名的Baer判定：若对R的任何理想I，任何R-同态g：I→M可扩为h：R→M，则M是内射的。

换句话说，我们可以取A为R的任何理想I，B=R来判定右R-模M的内射性。

Baer判定带来了这样的启发，我们还可以在模上面定义（相对）内射模。

设M与G是右R-模，G是M-内射的，若对M的任何子模X，任何R-同态g：X→G都可以扩张为R-同态h：M→G.若模M自己就是M-内射的，则M称为拟内射的（quasi-injective）.
对于相对内射模，我们有可以通过内射包（injective hull）来进行刻画。

模G是M-内射的iff对任何R-同态f：E（M）→E（G），f（M）≤G.由此可得下面的Johnson-Wong引理：模M是拟内射的iff M在其内射包E（M）内的完全不变的，即对任何R-同态f：E（M）→E （M），f（M）≤M.
由此可得，Z/p^n，n≥1作为Z-模就是拟内射的，但可以证明Q⊙Z/p作为Z-模不是拟内射的。

所谓自内射环（self-injective ring），顾名思义就是环R自己作为右R-模是内射的。

显然，整数环Z不是自内射的，但Z/nZ，n＞0就是自内射环。

更一般的，若S是
PRID（主右理想整环），b≠0满足bS=Sb，则商环R=S/bS
总是自内射环。

右自内射环是Morita性质，我们有如下等价命题：
（1）R是右自内射的
（2)M_n（R）是右（拟）连续的，n≥1
（3）M_n（R）是右自内射的，n≥1
这里的模M是连续的，指它满足下列条件（C1）与（C2）；是拟连续的，若它满足下列条件（C1）与（C3）：（C1）若M的任何子模在M的直和加项内本性
（C2）M的任何同构于直和加项的子模的直和加项
（C3）M的两个不相交的直和加项的直和还是直和加项我们有（C2）→（C3），因此拟连续模都是连续的，更一般的关系如下：
半单→拟内射→连续→拟连续→CS
自内射环的自然推广是F-内射环，R是右F-内射环，若它的有限生成右理想都是可扩张的。

右F-内射环满足良好的零因子条件，我们有下面的Ikeda-Nakayama引理：
R是右F-内射环iff它满足下列零因子条件：
（1）对R的任何右理想S与T，l（S∩T）=l（S）+l （T）
（2）对R的任何有限生成左理想L，lr（L）=L
在下文中，从这两个条件出发，我们将导出
Ikeda-Nakayama环（简称IN环）与对偶环的概念。

在抽象代数中，我们常常会考虑所谓的单对象，由此可以得到右极小内射模（mininjective module）的概念。

右R-模M是极小内射的，若对任何R的单右理想K，任何R-同态g：K→M均可扩张为R-同态h：R→M.实际上，这就相当于g=m·，这里m=g（1）.
关于极小内射模，我们有下面的等价条件：（1）R是右极小内射的
（2）若kR单，k∈R，则lr（k）=Rk
（3）若kR单且r（k）≤r（a），k，a∈R，则Ra≤Rk
（4）若kR单且g：kR→R是R-线性的，k∈R，则g （k）∈Rk
显然，多项式环R[x]都是极小内射的，因为它的底座是零。

若一个环的右底座S_r作为左理想是单的，则由上面的等价条件（3）可得，它是极小内射的。

我们还可以通过底座来刻画极小内射模，称R的右底座是非平方的，若它不包含某个单模的重复拷贝，对此我们有下列等价条件：
（1）右底座S_r是非平方的
（2）若kR单且g：kR→R是R-同态，则g（k）∈kR
（3）若kR是单的，则lr（k）≤kR
与前面右极小内射的等价条件相比，我们发现其中有一个kR与Rk的差异。

为此我们定义环R是双环（duo ring），若对任何a∈R，aR=Ra.这样我们就有：若R是双环，则R是右极小内射的iff S_r是非平方的。

记右R-模M的对偶为M*=Hom（M，R），它自然构成左R-模，若M=mR，则M*=lr（m）.通过对偶，我们可以得到下列等价条件：
（1）R是右极小内射的
（2）对任何单右R-模M，M*是单或零
（3）对R的任何极大右理想T，l（T）是单或零
（4）对R的任何单右理想K，K*是单的
为了排除这里可能为零的情况，我们引入Kasch条件。

环R是右Kasch的，若任何单右R-模K均可嵌入R内，即R上生成K.对此我们有下列等价条件：
（1）R是右Kasch的
（2）对任何有限生成右R-模M，M*≠0
（3）对任何R的极大右理想T，l（T）≠0
（4）对任何R的极大右理想T，rl（T）=T
加上了Kasch条件，我们有下面的等价关系：
（1）R是右Kasch右极小内射的
（2）对任何单右R-模M，M*是单的
（3）对R的任何极大右理想T，l（T）是单的
在这个右Kasch右极小内射的条件下，R的极大右理想到极小左理想之间的映射T→l（T）是单射，它是双射iff 对任何R的极小左理想K，lr（K）=K.
与极小内射模类似，我们还可以定义主内射模（principally injective）的概念。

右R-模M称为主内射模（简称P-内射模），若任何R-同态g：aR→M，a∈R均可扩为R→M.我们有环R是正则的iff任何R-模都是主内射模。

类似于极小内射环，我们也有下面的等价命题：
（1）R是右P-内射的。

（2）lr（a）=Ra，a∈R
（3）若r（a）≤r（b），a，b∈R，则Rb≤Ra
（4）若g：aR→R是R-线性的，a∈R，则g（a）∈Ra
与极小内射环的等价条件相比，我们发现省去了“若kR单“这个条件，显然有P-内射环都是极小内射环，反之
则容易得到整数环Z与多项式环R[x]都是极小内射环，但却不是P-内射环。

若R作为右R-模满足C2条件，则称R为右C2环，对此我们有下列等价条件：
（1）R是右C2环
（2）任何R-同构aR→eR，a∈R，e=e^2∈R可扩张到R上
（3）若r（a）=r（e），a∈R，e=e^2∈R，则Re=Ra.
（4）若aR是投射的，a∈R，则aR是R的直和加项
比较两个等价条件的（3），可得右P-内射环是右
C2环，但反之未必。

我们可以取域F通过二维向量空间的平凡扩张R={ae_11+ve_12+ae_14；a∈F，v∈V}，它是交换局部C2环，但对V=uF=wF，ue_12a→we_12a是ue_12R→R的R-同态，但它却是不可扩张到R上的，因此R不是P-内射环。

右C2环是不是Morita性质，这个问题尚未有定论，但右P-内射性是不是Morita性质呢？为此我们来定义右n-内射模的概念。

右R-模M称为n-内射模，若从R的任何由n 个元素生成的右理想到M的R-同态都可以扩张得到R上，它有下列基本性质：
（1）R是F-内射的iff对任何n≥1，R是n-内射的。

（2）若M_n（R）是右P-内射环，则R是右n-内射环。

（3）关于Kasch条件的2-内射引理：若R是右2-内射右Kasch的，则R是左P-内射的。

假若右P-内射是Morita性质，则它一定是右n-内射的，但下文中Bjork的反例说明了存在右P-内射但非右2-内射的环，因此右P-内射环不是Morita性质。

这里的关键问题是Morita性质不保持数量关系，为此我们定义FP-环。

右R-模M称为FP-内射的，若对任何自由右R-模F的有限生成子模K，任何R-同态K→Q均可扩张为F→Q.
P-内射的等价条件也可以类似推广，此时我们自然会出现矩阵，先记M^n与M_n的n个拷贝直和的行与列矩阵。

关于右R-模Q的下列条件是等价的：
（1）Q是FP-内射的
（2）若K≤R_n是有限生成的，则任何R-同态K→R 都可以扩张到R_n上
（3）若q∈Q^n，A∈M_n（R）满足r_(R_n)（A）≤r_(R_n)（q），则对某x∈Q^n，q=xA
（4）若q∈Q^n，A∈M_(m×n)（R）满足r_(R_n)（A）≤r_(R_n)（q），则对某x∈Q^m，q=xA
FP-内射环的意义，体现在下列等价条件中：
（1）R是FP-内射的
（2）若a_1，…，a_m与b∈R^n满足∩(1≤i≤
n)r_(R_n)（a_i）≤r_(R_n)（b），则b∈Σ(1≤i≤n)Ra_i.
（3）M_n（R）是右P-内射的，对任何n≥1
由（3）可得，若R是FP-内射环，则任何n≥1，M_n （R）是右P-内射环，故R是右n-内射环，因此R是F-内射环。

反之，F-内射环是不是一定是FP-内射环呢？这个问题至今尚未解决，一个比较好的结论是在右半遗传环R上，右R-模的F-内射与FP-内射是等价的（参见【4】）.
下面我们来加上Kasch条件，利用这里的Morita 性质与2-内射引理，我们可以得到满足Kasch条件的右FP-环一定是左PF-环，此时它满足一系列的良好条件：
（1）对R的任何有限生成右理想T与左理想L，rl （T）=T且lr（L）=L
（2）左理想K≠0极小iff r（K）极大
（3）若右理想T≠0极大，则l（T）极小
（4）S_l=S_r在R内本性且J=Z_l=Z_r
极小内射环要求原像是单的，我们还可以定义一类像为单的简单内射环（simple injective ring）.环R是右简单内射环，若对R的任何右理想T，使得g（T）为单R-同态g：T→R可扩张到R上。

可以证明，这里g（T）为单的条件可以放宽到半单且有限生成。

显然，右底座为零的环一定是简单内射的，而简单内射环一定的极小内射的。

反之，Z是简单内射的但不是P-内射的，更复杂一点的例子包括Camillo，Clark与Bjork 的反例，我们将放到文章末尾来统一处理。

设R是右Kasch的右简单内射环，则R满足下列性质：
（1）对任何右理想T，rl（T）=T
（2）R是左P-内射的
（3）S_r=S_l
更多的良好条件需要考虑双边性质，我们定义R是对偶环（dual ring），若对R的任何右理想T与左理想L，rl（T）=T且lr（L）=L.在对偶环内，对任何右理想族{T_i；i∈I}与左理想族{R_i；i∈I}，有
l（∩(i∈I)T_i）=Σ(i∈I)l（T_i），r （∩(i∈I)L_i）=Σ(i∈I)r（L_i）
对偶环R有下面良好性质：
（1）R是右且左Kasch的
（2）S_r=S_l
（3）R是右且左连续的
更进一步，我们有R是对偶环iff R是双边Kasch的双边简单内射环。

借助于对偶环，我们可以得到一个令人惊讶的结论，简单内射环不满足Morita性质。

为此可取R为Chark的例子，则S=M_n（R）是左与右Kasch的，进而是对偶环，因此
还是左与右连续的，右自内射环的Morita性质可得R是自内射的（！）
与对偶环相应，我们还有IN环。

R是右IN环，若对任何右理想S与T，有
l（S∩T）=l（S）+l（T）
由此可知，任何右（P-内射的）IN环都是F-内射环，还可以证明右IN环都是右拟连续的。

而对偶环则等价于左右IN 且任何单右R-模的对偶是单的。

结合上面关于右自内射的Morita等价命题，我们有R是右自内射环iff M_n（R）是右IN环，n≥2.但Z是IN的，却不是自内射的，同时也不是对偶的。

最后，我们把关于内射模的各类环的包含关系与反例小结如下：
（1）Camillo的例子：令R=k[x_1，…，x_n]/
（x_ix_j=0，若i≠j；x_i^2=x_j^2≠0，任何i，j；x_i^3=0，对任何i），其中jk是域。

这样的环R是局部交换环，
J=span{m，x_1，…，x_n)，其中m=x_1^2.Soc（R）=km单，故R是（带单本性底座的）极小内射环。

下面取k=Z/2，定义g：J→R为g（a）=a^2，有g （J）=Z/2m单，但g不可扩张到整个R上，故此时的R不是简单内射的，更不是自内射的。

（2）Clark的例子：取离散赋值环D=k[[x]]，k是域，记其单位群是U，商域Q={up^k；u∈U，k∈Z}，定义左D-模V=Q/.D与v_m=p^(-m)+D∈V，m≥0.取R为D通过V的
平凡扩张，即R=D+V，其乘法定义为（d+v）（d'+v'）=dd'+（dv'+d'v），这样得到的R有理想格：0=Rv_0＜Rv_1＜Rv_2＜…＜V＜…＜Rx^2＜Rx＜R.
显然，V=∪Rv_m是唯一的非主理想，而且V无极大子模，故有R是P-内射与简单内射的，而R-同态g：V→R；g（0+dv_m）=0+dv_(m-1)不能扩张到R上，故R不是自内射的。

（3）Bjork的例子：设F是域，有同构a→a~给出F →F~＜F，记R是基为{1，t}的左向量空间，通过t^2=0，
ta=a~t，a∈F构成右F-代数，这样得到的R有唯一真左理想J=Rt=Ft，因此它是右P-内射的。

令X≠Y是F的一维F~-子空间，有右R-同态g：Xt+Yt →Xt自然定义为g（xt+yt）=xt，它是不可扩张的，因此这样的R是右P-内射但不是右2-内射的。

考虑它的若干直和，可以得到一般右n-内射不是右（n+1）-内射的例子。

扩展阅读：
【1】Lam T Y.A first course in noncommutative rings[M].Springer Science&Business Media,2013.（初级环论参考书，主要讲非交换环的基本结构）
【2】Lam T Y.Lectures on modules and rings[M]. Springer Science&Business Media,2012.（中级环论参考书，更多的强调了同调代数的方法）
【3】Nicholson W K,Yousif M F.Quasi-Frobenius Rings[M].Cambridge University Press,2003.（高级环论参考书，可以与【1】和【2】组合为环论三部曲，本文主要参考书）
【4】Sánchez Campos E,Smith P F.Generalizations of injective modules[J].Int.electron.j.algebra, 2012:96-110.（与内射模有关的论文，包括了一些比较新的结论）
本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。

然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。

这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！
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