初中数学常见几何动点问题专题分类归纳汇总

初中数学常见几何动点问题专题分类归纳汇总近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题.最值题目类型多:作图、计算;求和最小,差最大;求周长最小、求时间最短;求最值、已知最值求待定系数等;对称载体多，几乎涉及到初中全部的轴对称图形(角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴)我们知道“对称、平移、旋转”是三种保形变换．通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形.通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的．数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效．(1)去伪存真．剔除不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长．(2)科学选择．捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连─平移、碰头─旋转、同侧─对称”是一般的思路;对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息．(3)怎么变换?对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点(直线)的对称点(直线)，如有多个动点就必须作多次变换;平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”;旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°．(4)怎么求值?几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，求出最小值．忠告:任何数学知识,都必须立足于基础，以教材为根本.本作品所涉及的内容灵活性较强,难度较大,若挑选一二拓宽视野，尚有营养，如忽视基础，以难题为主，则贻害无穷！请慎之！慎之！！再慎之！！！目录一．一条线段最值.1．单动点型 (3)1.1动点运动轨迹──直线型 (3)1.2动点运动轨迹──圆或圆弧型 (8)1.2.1定点定长 (8)1.2.2定弦定角 (11)1.3动点轨迹为其他曲线，构造三角形 (17)2．双动点型 (19)2.1利用等量代换实现转化 (19)2.2利用和差关系实现转化 (20)2.3利用勾股定理实现转 (20)2.4利用三角形边角关系实现转 (21)二．两条线段最值 (21)1．P A＋PB型 (21)1.1两定一动(将军饮马) (21)1.2两定两动 (28)过河造桥 (28)四边形周长最小 (29)一定两动 (31)两动点不随动 (31)1.4三动点 (33)2．PA＋kPB型 (34)2.1“胡不归”模型 (34)2.2阿氏圆 (42)三．“费马点”模型 (47)线段极值解题方略 (54)编后语 (55)一．一条线段最值1．单动点型所谓的单动点型指:所求线段两端点中只有一个动点的最值问题.通常解决这类问题的思考步骤为三步:(一)分析“源动点”的不变量．(二)分析“从动点”与“源动点”问关系．(三)分析“从动点”的不变量．1.1动点运动轨迹─直线型．动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”．例1．如图1，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝30°，BC ＝1，D 为AB 上一动点(不与点A 重合)，△AED 为等边三角形，过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任一点，G 为EF 的中点，则线段CG 长的最小值是．方法指导:1.当动点的运动轨迹是一条直线(射线、线段)时，可运用“垂线段最短”性质求线段最值.2.有时动点轨迹不容易确定，如例1，建议看到“中点”联想“三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线”等性质．3.试着观察“动点运动到一些特殊位置时，该动点与其他定点连结的线段是否与已知边有一‘定角’产生”，若成立，则动点轨迹为直线”．如何在动态问题中找寻“不变量”特征是突破这类问题的关键．①当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线;1.在平面直角坐标系中，点P (0，2)，点M (m －1，－34m －94)(其中m 为实数)，当PM 的长最小时，m 的值为．2.如图，在平面直角坐标系中，A (1，4)，B (3，2)，C (m ，－4m ＋20)，若OC 恰好平分四边形．．．O ．ACB ．．．的面积，求点C 的坐标.②当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；1.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE:ED＝1:3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．EF⊥PE交射线BC于F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为．（第1题图）（变式1图）（变式2图）【变式1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在BC边上，且BE:EC＝1:3．动点P从点B出发，沿BA运动到点A停止．EF⊥PE交AD边或CD边于点F，设M 是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为．【变式2】如图，在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1，E是AB上的一个动点，连接PE，过点P作PE的垂线，交BC于点F，连接EF，设EF的中点为G，当点E从点B运动到点A时，点G移动的路径的长是．【变式3】在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P是AD边的中点，点E在AB边上，EP 的延长线交射线CD于F点，过点P作PQ⊥EF，与射线BC相交于点Q．(1)如图1，当点Q在点C时，试求AE的长；(2)如图2，点G为FQ的中点，连结PG．①当AE＝1时，求PG的长；②当点E从点A运动到点B时，试直接写出线段PG扫过的面积．（变式3图1）（变式3图2）（变式3备用图）AB＝1．点P是线段CD上一个动点，2．如图，C，D是线段AB上两点，且AC＝BD＝16在AB同侧分别作等边△PAE和等边△PBF，M为线段EF的中点，在点P从点C移动到点D时，点M运动的路径长度为．（第2题图）（变式1图）（变式2图）（变式3图）【变式1】已知AB＝10，点C，D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形PBGH，点Q1和Q2是这两个正方形的中心，连接Q1Q2，设Q1Q2的中点为Q；当点P从点C运动到点D时，则点Q移动路径的长是．【变式2】等边△ABC中，BC＝6，D，E是边BC上两点，且BD＝CE＝1，点P是线段DE 上的一个动点，过点P分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，连接MN，AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为．【变式3】如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C，D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，点E，F分别为MN，QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为．3．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，连接PD并延长到点E，使得PD:PE＝1:3，以PE，PC为边作□PEFC，连接PF，则PF的最小值为．（第3题图）（延伸题图）【延伸】在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝3，CD＝4，在BC上取点P(P不与B，C重合)，连接PA延长至E，使PE:PA＝x:1，连接PD并延长到F，使PF:PD＝y:1(x，y＞1)，以PE，PF为边作平行四边形，另一个顶点为G，求PG长度的最小值(用x，y表示)．【同型练】如图，已知□OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为③当某一动点与定线段一个端点连接后成的角度不变，则该动点轨迹是直线．1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，点O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE 的最小值是【变式1】如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段BN长度的最小值是2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB的中点.D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，连接ED，N为ED的中点，连AN，MN.(1)如图1，当BD＝2时，AN＝____，NM与AB的位置关系是___(2)当4＜BD＜8时，①依题意补全图2;②判断(1)中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论;(3)连接ME，在点D运动的过程中，求ME的长的最小值?3.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，线段BC上一动点P从C点开始运动到B点停止，以AP为边在AC的右侧做等边△APQ，则Q点运动的路径长为【秒杀训练】1.如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为()2.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为()3．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝60°，M是BC的中点．(1)求证：△MDC是等边三角形；(2)将△MDC绕点M旋转，当MD(即MD′与AB交于一点E，MC(即MC′)同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．1.2动点运动轨迹──圆或圆弧型动点轨迹为定圆，利用三点共线方法指导:1.当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到.圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解.2.试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。

1.2.1定点定长I动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或圆弧．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．;1.如图1，在正方形ABCD中，边长为2，点E是AB的中点，点F是BC边上任意一点，将△BEF沿EF所在直线折叠得到△PEF，连接AP，则CP的最小值是，AP的最小值是2．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A→B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为【变式1】在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上)，按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积是【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E，F分别为AD，DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA＋PG的最小值为．【变式3】如图，一根木棒AB长为2a，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，与地面的倾斜角∠AB0＝60°，若木棒沿直线NO下滑，且B端沿直线OM向右滑行，则木棒中点P也随之运动，已知A端下滑到A′时，AA′＝(3－2)a，则木棒中点P随之运动到P′所经过的路线长是．3．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3．当∠B最大时，BC的长为．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点(不与点B重合)，将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．(第4题图)(第5题图)(第6题图)5．如图，在□ABCD中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝33，M是AD边的中点，N是AB 边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD．若∠BAD＝25°，∠CAB＝75°，则∠BDC＝，∠BCD＝．7．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动到点B时，点M运动的路径长是．(第7题图)(第8题图)8．如图，矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，长度为2的动线段AE绕点A旋转，连接CE，取CE的中点F，连接DF，则DF的取值范围为．例2.如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为【变式】如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD的长为例3．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝70º，点P在△ABC的外部，且与C点均在AB的同侧，如果PC＝BC，那么∠APB＝.例4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为AB边的中点，F是线段BC边上的动点．将△EFB沿EF所在的直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值为例5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝23，BC＝6，F为AC边的中点，E是线段BC边上的动点．将△CEF沿EF所在的直线折叠得到△PEF，连接BP，则PB的最小值为Ⅱ.定边对定角模型1.2.2定弦定角II当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧．见直角→找斜边(定长)→想直径→定外心→现“圆”形；见定角→找对边(定长)→想周角→转心角→现“圆”形．一般解题步骤①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧．②寻找不变的张角(这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等)③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆．④确定圆心位置，计算隐形圆半径．⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离．⑥计算最值:在此基础上，根据点到圆的距离求最值(最大值或最小值)．1．如图，以G (0，1)为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF ⊥AE 于F ，当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为．2．如图，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(7，3)，点E 在边AB 上，且AE ＝l ，若点P 为y 轴上一动点，连接EP ，过点O 作OH ⊥EP 于H ，点P 从F (0，254)运动到原点O 的过程中，点H 的运动路径长为．(第2题图)(第3题图)3．在正方形ABCD 中，AD ＝2，点E 从D 出发向终点C 运动，点F 从C 出发向终点B 运动，且始终保持DE ＝CF ，连接AE 和DF 交于点P ，则P 点运动的路径长是．4．等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，CH ⊥BD于H ，连接AH ，则AH 的最小值为．（第4题图）（第5题图）5．如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为．6．如图，在边长为23的等边△ABC 中，动点D 从C 向终点B 运动，同时点E 以相同的速度从A 出发向终点C 运动，连接BE ，AD 相交于点P ，则点P 的路径长为．（第6题图）（第7题图）7．如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB ︵上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是．8．如图，已抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于C (0，2)，连结AC ，BC ．(1)求抛物线解析式；(2)BC 的垂直平分线交抛物线于D ，E 两点，求直线DE 的解析式；(3)若点P 在抛物线的对称轴上，且∠CPB ＝∠CAB ，求出所有满足条件的P 点坐标．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E，F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF，BE相交于点P，则线段DP的最小值为．(第9题图）（变式图）【变式】直线y＝x＋4分别与x轴，y轴相交与点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交与点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点(0，2)长度的最小值是．10．如图，边长为3的正方形ABCD，两顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上滑动，点C 与点D都在第一象限，点E为正方形ABCD的对称中心，连结OE，则OE的长的最大值是．(第10题图）（变式图）【变式】如图，直线y＝kx(k≠0)经过点C(a，3a)(a＞0)．线段BC的两个端点分别在x轴与直线y＝kx上(B，C均与原点O不重合)滑动，且BC＝2，分别作BP⊥x轴，CP⊥直线y＝kx，交点为P，经探究在整个滑动过程中，P，O两点间的距离为定值.11．如图，抛物线y ＝a (x －2)2＋k 交x 轴于点A ，B 两点，交y 轴正半轴于C ，顶点为P ，PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，连结CP ，CM ，∠CPM ＝45°，tan ∠CMP ＝0.8．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)若点D 为射线PC 上动点，BD 交△PMD 的外接圆于点Q ，求PQ 的最小值．12．如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝42，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P ，交BC 于E ，AE ︵＝PC ︵，则AD 的最小值为．13．如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作⊙O ，连接BD 交⊙O 于E ，连CE ，则CE 的最小值为．14．如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝42，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连接BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为．15．如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为23，点P 为优弧AB ︵上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是．16．如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB ︵上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是．17．如图，边长为3的等边△ABC ，D ，E 分别为边BC ，AC 上的点，且BD ＝CE ，AD ，BE 交于P 点，则CP 的最小值为．（第17题图）（第18题图）（第19题图）18．如图，A (1，0)，B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E ，P 两点，C为AB ︵的中点，D 为EF 的中点，当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为．19．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为．20．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC于E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有DE AB ＝22，则点C 到AB 的距离的最大值是．（第20题图）（第21题图）21．如图，以BC 为直径的⊙O ，A 为BC ︵中点，P 为AC ︵上任意一点，AD ⊥AP 交BP于D ，连接CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为．1．3动点轨迹为其他曲线，构造三角形【方法指导】1．当动点轨迹不是“定线”或“定圆”时，不妨将此线段转化为一个三角形中，其中在该三角形中其他两条边位置不确定，但长度确定，则所求线段的最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之差；2．在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线；3.这类问题归属为滑杆问题．例1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当B在边ON 上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，求运动过程中，点D到点O的最大距离．1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，tan∠BAC＝12，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，连接BD，F为BD中点，求线段CF长度的最大值．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴，y轴上，点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为．（提示:取AC中点D，由B0≤OD＋BD＝1＋2，可求OB的最大值）3．如图，∠MON＝90°，线段AB两端点分別在连OM，ON上．当A在边OM上运动时，B 随之在边ON上运动．AB＝2保持不変，以AB为边向外作等边△ABC，在运动过程中，四边形AOBC的面积的最大値是．（第3题图）（第4题图）4．如图，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限，其斜边两端点A，B分別落在x轴，y轴上，且AB＝l2．(l)若OB＝6．①求点C的坐标;②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离;(2)点C与点O的距离的最大值．．2双动点型解决双动点问题的常用方法是转化为单动点问题，接着再用单动点的方法解决线段最值问题．有这样一类双动点，它是由某一动点所产生的，同样就可用“源动点”和“从动点”的分析方法来处理，现总结思考前三个步骤:(一)分析“源动点”的不变量；(二)分析“双动点”与“源动点”间关系；(三)转化为单动点问题．显然确定“双动点”与“源动点”间关系是实现转化的关键．2．1利用等代换实现转化例1．△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P是AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BF于F，求EF的最小值．【分析】点P带动点E，F，显然点P是双动点，E，F的“源动点”．第一步，“源动点”P在定边AB上运动；第二步，由条件可知四边形PECF为矩形，所以双动点EF与“源动点”P存在等量关系：EP＝CP；第三步，C是定点，P是动点，且在一边上运动，可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”．提示：双动点线段能否等于图中“源动点”与某一定点连接的线段?2．2利用和差关系实现转化例2．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是．(例2图)(例3图)【分析】本题的双动点P，Q可看成由“源动点”E产生．第一步，“源动点”E在定边上运动，且保持OE⊥AB；第二步，双动点PQ是圆上的动弦且所对圆周角为直角，因此PQ 为⊙O直径．源动点与双动点满足PQ＝CO＋OE；第三步，PQ长转化为△COE三边关系，当C，O，E三点共线时CE最短，可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”．当CE⊥AB时，PQ长度最小．提示:双动点线段能否表示成与“源动点”相关线段的和(差)?2．3利用勾股定理实现转化例3．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过．点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线PQ的最小值为分析:PQ为⊙切线，PQ⊥OQ，双动点PQ与“源动点”P满足勾股定理PQ2＝OP2－OQ2，而OQ为定值1，因此要PQ最小，只需OP取最小．问题可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”提示:双动点的线段出现“垂直”信息时能否与“源动点”构成“直角三角形”，从而利用勾股定理实现单一动点的转化．2.4利用三角形边角关系实现转化例4．如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，AB ＝2，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交于AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为．【分析】本题的难点就在于确定双动点EF 与“源动点”D 的关系，即EF 与AD 之间的数量关系．连半径构造等腰△OEF ，将定角即圆周角∠EAF 转化为圆心角∠EOF ，直径AD 转化为半径OE ，OF ，使EF 与AD 共存于一个三角形中，解三角形得EF ＝32．因为A 是定点，D 在线段BC 上运动，问题最终转化为“动点轨迹为一条直线的单动点型”．二．两条线段最值PA ＋PB 型1.1两定一动(将军饮马)出现一个动点的解题方法这类试题的解决方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧．当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”，可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长．【引】如图，在直线l 上找一点P 使AP ＋BP 最短解:(1)如果两点在直线异侧，如图(1),连接AB 交直线1于点P ,则点P 为所示作的点；(2)如果两点在直线同侧，如图(2)，可通过轴对称把问题转化为两点在直线异侧的情形．说明：如下图所示，从B 出发向河岸引垂线，重足为D ．在BD 的延长线上，取B 关于河岸的对称点B'，连结AB'，与河岸线相交于P ．则P 点就是所求作的点，只要从A 出发，沿直线到P ，再由P 沿直线走到B ，所走的路程就是最短的．如果在河边的另外任一点C，则CB＝C B'，但AC＋CB＝AC＋C B'＞A B'＝AP＋P B'＝AP＋PB．可见，在P点外任何一点C，它与A，B两点的距离和都比AP＋PB都长．本质:两点之间，线段最短．【小结】通过“对称”及构建“两点间的线段”基本图形，将动态变化中的线段通过转换，达到变化过程中的极限状态，得到最小值即“两点间的距离"．路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解，所以最短路径问题需要考虑轴对称．两个关键点:(1)找准对称轴．动点所在的直线即为对称轴．(2)同侧化异侧．同侧的两个点，通过作对称点，转化为对称轴异侧的两个点，连线即与对称轴相交，交点即是所求．将军饮马口诀:“和最小，对称找"．例1．如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1,0).(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．1．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点，则PB ＋PE 的最小值是．2．如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为．3．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为．4．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是BM ︵的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN ＝1，则△PMN 周长的最小值为．(第1题图)(第2题图)(第3题图)(第4题图)5．已知A (－2，3)，B (3，1)，P 点在x 轴上，若PA ＋PB 长度最小，则最小值为．6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，点D 是BC 边上的点，CD ＝1，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是．(第5题图)(第6题图)例题2．定义一种变换:平移抛物线F 1得到抛物线F 2，使F 2经过F 1的顶点A ．设F 2的对称轴分别交F 1，F 2于点D ，B ，点C 是点A 关于直线BD 的对称点．如图l ，若F 1:y ＝13x 2－23x ＋73，经过变换后，AC ＝23．点P 是直线AC 上的动点，求点P 到点D 的距离和到直线AD 的距离之和的最小值．（图1）（图2）【分析】如何找对称点进行变换是本题的难点，注意到点P 是直线AC 上的动点，所以直线AC 就是对称轴，从而运用对称变换把线段PD 转化为线段PB 进行求解．解题策略：在不改变线段长度的前提下，运用对称变换把对称轴同侧的两条线段放在了对称轴的两侧，把复杂的最值问题转化为基本问题，根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“两折线拉直”，找出最小位置，并求出最小值．变换的奥秘是：动点在哪条直线上，就以这条直线为对称轴，构建某一定点的对称点．对称变换是转化的手段，也是解决问题的关键．7．如图，有一圆形透明玻璃容器，高15cm ，底面周长为24cm ，在容器内壁上边缘4cm 的A 处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬3cm 到B 处时(B 处与A 处恰好相对)，发现了小飞虫，问蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近?它至少要爬多少路?(厚度忽略不计)．8．如图，一个薄壁圆柱形容器的高为12cm ，底面圆周长为10cm ，在容器内壁离底部3cm 的点B 处有一蜜粒，此时一只蚂蚁在容器外壁离上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁去吃蜜粒需爬行的最短路径是cm ．（第7题）（第8题）。