考研数学一笔记

高等数学常用公式 ⒈等比数列 ⒉等差数列⒊)12)(1(613212222++=++++n n n n⒋233332)1(321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n 极限一、 对于和式nu u u++∑=2n111进行适当放缩有两种典型的方法①当 为无穷大时，则 ②当 为有限项，且 时，则 二、 常用极限：三、 常见等价无穷小代换总结四、7种未定型（注意正真的0和1与极限为0和1的区别）设，⒉求水平渐近线：A x f x =∞→)(lim⒊求斜渐近线：（∞=∞→)(lim x f x 时才需求斜渐近线，因为水平渐近线和斜渐近线不同时存在）六、 极值点的来源：①不可导点：②驻点 七、需要考虑左右极限的情况⒈式子中含有x e ⒉式子中含有x arctan⒊式子中含偶次方根⒋式子中含有取整符号][x⒌含有||0x x - ⒍分段函数①x x x ≤<-][1②][lim 0x x →不存在涉及)(x f 的中值定理，即连续函数在闭区域[a,b]上的性质 ⒈设)(x f 在[a,b]上连续，则 定理一（有界性）：0)k(k |)(|>≤x f定理二（最值定理）：M x f m ≤≤)(，其中m ，M 分别是)(x f 在[a ，b]上的最小值与最大值。

定理三（介值定理）：当M u m ≤≤时，其中m ，M 分别是)(x f 在[a ，b]上的最小值与最大值，],[b a ∈∃ξ使得u f =)(ξ定理四（零点定理）：当0)()(<⋅b f a f 时，),(b a ∈∃ξ使得0)(=ξf ⒉涉及导数）x f('的中值定理 定理五（费马引理）：设)(x f 在 的某领域 内有定义，且在 处可导如果对任意的 有)()(0x f x f ≤（或)()(0x f x f ≥），那么0)(0'=x f 。

补充一（导数零点定理）设)(x f 在[a,b]内可导，且0)()(''<⋅-+b f a f ，则),(b a ∈∃ξ,使得0)('=ξf定理六（罗尔定理）：如果函数)(x f ⑴在闭区间],[b a 上连续, ⑵在开区间),(b a 内可导,⑶且在区间端点的函数值相等，即)()(b f a f =,那末在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf 。

该定理的逆否命题：若0)x ('=f 在(a,b)内没有实根，即0)x ('≠f ，则 在上至多只有一个实根。

推广：若0)x ((n)=f 在 上没有实根，即0)x ((n)≠f ，则 在 上至多只有n 个实根。

定理七（拉格朗日中值定理）：如果函数)(x f ⑴在闭区间],[b a 上连续, ⑵在开区间),(b a 内可导那么在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使等式))(()()('a b f a f b f -=-ξ成立。

定理八（柯西中值定理）：如果函数)(x f 及)(g x 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且)('x g 在),(b a 内每一点处均不为零，那末在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式)()()()()()(''ξξg f a g b g a f b f =--成立。

定理九（Taylor 公式）：如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到n+1阶的导数，则对任意),(b a x ∈，有10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 这里的是介于 与x 之间的某个值。

注：Taylor 公式常用于处理含二阶及二阶以上导函数代数式的问题，证明的一般思路如下：①将)(x f 在 处展开成比高阶导数低一阶的Taylor 展开式②关键在于如何确定x 与0x ，一般把题目中已知某点的函数及各阶导数值设为0x 区间端点为x ，闭区间的中点有时也会用到③对②得到的式子进行适当运算。

⒊涉及积分⎰bdx x f a )(的中值定理定理十（积分中值定理）设)(x f 在 上连续则在 上至少存在一点ξ使得 推广一：设)(x f 在 上连续则),(b a ∈∃ξ使得))(()(a a b f dx x f b-=⎰ξ推广二（第二积分中值定理）：设)(x f 与)(g x 在 上连续，且)(g x 在 不变号，则],[b a ∈∃ξ，使得dx x g f dx x g x f ba b ⎰⎰=)()()()(a ξ⑵||||||b a b a +≤± ⑶||||||||b a b a -≤-推广：⑴离散情况：设n a a ,,,a 21 为实数，则 ⑵连续情况：设)(x f 在],[b a 可积，则 ⒉均值不等式⑴+∈R ,b a ，)(221a 1222时取等号当且仅当b a b a b a ab b=+≤+≤≤++∈R a a n ,,,a 21 ，)(1112122221212121时取等号当且仅当n nnn n na a a na a a n a a a a a a a a a n===+++≤+++≤≤+++推广：设k m m m b ,,,021i ≥是正整数，则⒊杨氏不等式：设111,0,0,0,0=+>>>>qp q p y x ，则q y p x xy q p +≤⒋柯西不等式：()()()22222bd ac d c b a +≥++⒌施瓦茨不等式：若)(),(x g x f 在],[b a 可积，且平方可积，则 ⒍其他不等式⑴若d y c b x a <<<<<<0,0，则da x y bc <<⑵)0(sin ),20(tan sin ><<<<<x x x x x x x π⑶)0(,1)11ln(11+∞<<<+<+x xx x 积分1. 有理函数积分设有真分式， 已被因式分解，若分母中有一个一因子 ，则分解式对应项为：若分母中有一个因子 ， ，则分解式对应项为：ex:求积分的方法，则常见互换积分限为：① ， ② ， ③，2. 比较广义积分的敛散性比较判别法的极限形式⑴设函数 及 都是在区间 非负连续函数，若l x g x f =∞→)()(lim n ，则 当 时，和同时收敛或同时发散； 当 时， 若收敛，则也收敛； 当 时，若 发散，则也发散。

⑵设函数 及 都是在区 非负连续函数，，+∞=+→)(x lim x f a+∞=+→)(x g ax linl x g x f ax lin ==+→)()(，则 时 和同时收敛或同时发散。

多元函数lim→→y x点可微⒉0)()(),(),(),(),(lim 20200000000=-+----=→→y y x x dyy x fy dx y x f y x f y x f x y x在),(00y x 可微y 2)(x 令212)(a D a D D F ++=，则)(1D F 有如下重要性质（注：D 表示微分，D1表示积分） ①0)(,)(1)(1≠=k F e k F e D F kxkx 当0)(=k F 时，0)(,)(1)(1)(1"""≠==k F e k F x e D F x e D F kx kx kx 当0)("=k F 时，kx kx kx e x e D F x e D F 2""221)(1)(1== ②0)(,sin )(1sin )(1222≠--=a F ax a F ax D F 当0)(2=-a F 时，ax D F x ax D F sin )(1sin )(12"2= ③)()(1)()(1x v k D F e x v e D F kx kx += ④))(()()(1110110p p p p p p b x b x b D Q b x b x b D F +++=+++-- 其中)(D Q 为1除以)(D F 按升幂排列所得商式，其D 的最高次数为右边多项式的最高次数p 。

1除以)(D F 的运算如下k 21k 21n a a a k =+++ 21，则分组方法的总数为k k a a a a a n a a n a n C C C C 321211---⒉无序分组n 个元素分成k 个组，其中1k 各组的元素为1l ，2k 各组的元素为2l 个，…，m k 各组的元素为m l 个，n k l k l k l k k k k m m m =++=++ 221121，则分组方法的总数为Γ函数⒈定义0,)(01>=Γ⎰+∞--s dx x e s s x ⒉性质①)()1(s s s Γ=+Γ，0>s ②s 为正整数n 时：!)1(n n =+Γ③π=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21参数μ的置信区间 ⒈2σ已知)1,0(~N n X U σμ-=，置信区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-n X n X z z σσαα22, ⒉2σ未知)1(~--=n t nsX T μ，置信区间为)1(),1(22-+--n nsX n nsX t t αα参数2σ的置信区间（μ未知）)1(~)1(2222--=n s n χσχ，置信区间为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2212222n s n n s n χχαα 微积分常用公式αβ=2βα+2βα-αβ2βα+2βα-αβ=2βα+2βα-αβ=2βα+2βα-导数部分⒈⒉α⒊⒋⒌⒍⒎⒏⒐⒑⒒⒓⒔⒕⒖⒗积分部分⒈⒉⒊⒋⒌⒍⒎⒏9⒑⒒⒓⒔⒕⒖⒗⒘⒙⒚⒛21.22.23.26.。