(2020精选)中考数学几何综合试卷精选汇编(含解析答案)

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2020年中考数学专题分类试题：几何综合5精品版

河北周建杰分类（泰州市）27．在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3．（1）在边CD 上找．一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明；（3分）（2）若P 为BC 边上一点，且BP =2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ．①求证：点B 平分线段AF ；（3分）②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．（4分）（南京市）21．（6分）如图，在ABCD 中，E F ，为BC 上两点，且BECF ，AFDE ．求证：（1）ABF DCE △≌△；（2）四边形ABCD 是矩形．以下是河南省高建国分类：（巴中市）已知：如图9，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．（1）求证：BCE △和FDE △全等（2）连结BD CF ，，判断四边形BCFD 的形状，并证明你的结论．17．（每小题7分，满分14分）（1）（2008福建福州）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，M 是AD 的中点，求证：MB MC ．以下是河北省柳超的分类（遵义市）4．如图，OA OB ，OCOD ，50O，35D ，则AEC 等于（）A ．60B ．50C ．45D ．30第27题图（第21题）ABCDEF（遵义市）22．（10分）在矩形ABCD 中，2AD AB ，E 是AD 的中点，一块三角板的直角顶点与点E 重合，将三角板绕点E 按顺时针方向旋转．当三角板的两直角边与AB BC ，分别交于点M N ，时，观察或测量BM 与CN 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．以下是江西康海芯的分类:1. （郴州市）如图8，ΔABC 为等腰三角形，把它沿底边BC 翻折后，得到ΔDBC ．请你判断四边形ABDC 的形状，并说出你的理由．辽宁省岳伟分类（桂林市）已知：△ＡＢＣ为等边三角形，Ｄ为ＡＣ上任意一点，连结ＢＤ（１）在ＢＤ左下方，以ＢＤ为一边作等边三角形ＢＤＥ（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（２）连结ＡＥ，求证：ＣＤ＝ＡＥ解：（１）如图：OEABDC（4题图）CABD图8BAOD CE图8 郴州市2．如图5，D 是AB 边上的中点，将ABC 沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ，则BDF__________度．以下是安徽省马鞍山市成功中学的汪宗兴老师的分类1.(·东莞市)（本题满分9分）（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.答案：图7O654321EDCBA2．（?南宁市）以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有：（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个，3．（?南宁市）如图8，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BE=CF 。

2020年中考数学选择填空压轴题汇编几何综合结论含解析

几何综合结论1. （2020深圳）如图，矩形纸片個8中,AB=6. 5（7=12.将纸片折叠，使点3落在边"的延长线上的点 G 处，折痕为肪点E 、尸分别在边血和边證上.连接％,交CD 于点、K, FG 交CD 于点、H.给出以下结论： ① EF1BG ；② GE=GF ：③ 冰和2X00的而积相等；④ 当点尸与点Q 重合时，Z/?£F=75° ,其中正确的结论共有（）【解答】解：如图，连接宓设EFG BG 交于点0,•••将纸片折叠，使点〃落在边〃的延长线上的点G 处,B. 2个 C. 3个D. 4个:.EFIBG, BO=GO. BE=EG, BF= FG,故①正确,AD//BC.:・ZEGO= ZFBO、又T ZEOG= ZBOF,:.、BOZ'GOE (ASA\:・BF=EG,:・BF=EG=GF、故②正确，•: BE=EG=BF=FG、・••四边形购沪是菱形，:•乙BEF= ZGEF,当点尸与点Q重介时，则BF=BC=BE=\2,TsinZ 遊「，•••ZM5=30° ,:・ZDEF=W,故④正确，由题意无法证明△宓和△GAZf的而积相等，故③错误：故选：C.2.（2020贵州铜仁）如图，正方形個力的边长为4,点厅在边曲上，BE=\,ZQLW=45°，点尸在射线刖上，且过点尸作“的平行线交BA的延长线于点H, 67■与初相交于点G,连接EC、EG、EF.下列结论：①尸的而积为S②△庇G的周长为&③必=亦+血：其中正确的是（）A.①(D ③B. @@C.①②【解答】解：如图，在正方形個8中，AD//BC. AB=BC=AD=49AZZ£W=90° ,HF//AD.AZ J ^=90° ,VZ2£4F=90° - ZMQ45° >AAFH=AHAF.:.AH=HF=\=BE.:.EH=AE^AH=AB- BE ・AH=4 = BC 、:AEHFg'CBE (SAS'、:・EF=EC, ZHEF= ZBCE,•:乙BCE+乙BEC=9$ ,:・HEHZBEC=9y »:.ZFEC=9Q° ,:■ \ CEF 是等腰直角三角形, 在 R 仏CBE 中，BE=1. BC=A. H 刀D.②③ ZB=ZBAD=9Q Q ,:.EC=BE+BC = 17.=i=g =兰：£g云EF・EC 2EC 2\故①正确；过点尸作FQLBC于0,交.AD于P,•••Z 时=90° = ZH= ZHAD.・••四边形北明是矩形，•: AH=HF,.•・矩形册叨是正方形，:.AP=PH=AH=\,同理：四边形测是矩形，:.PQ=AB=\y BQ=AP1、FQ=FP-PQ=z. CQ=BO BQ=3、•: AD〃BC,•••△/TVs △磁，FP _况. 五一&在RtAEAG 中，根据勾股宦理得，EG°V/i^=4,=空 Is t 2旳工空 Is 产云 :・E C 羊D C+B E,故③错误，・•・正确的有①故选：C.:.AG=AP^PG'AEG 的周长为 AG-E&rAEI r 3=8,敬②正确; 25:.DG^BE 1£7•: EC= ( 3:.DG=AD- AG3. （2020黑龙江鹤岗）如图，正方形馭7?的边长为⑦ 点&在边月万上运动（不与点川3重合），ADAM= 45°，点尸在射线凡『上，且AF ^^BE,仔■与血相交于点G,连接应'、EF 、EG.则下列结论： ① ZECF= 45° :② △近的周长为（1 <3：③ B »D C=E C ；④△轩的而积的最大值是肚其中正确的结论是（）•:BE=BH, Z 翊=90° ,:・AF=EH,⑤当BE 二;a 时，G 是线段初的中点.A.①②③B.②④⑤C.①®®D.①④⑤ 【解答】解：如图1中, 任BC 上截取BH=庞,连接筋•: ZDAM=ZEHB=45° , Z馳?=90° ,:・ZFAE=ZEHC=\35° ,•: BA=BC, BE= BH,:.AE=HC.:仏FAE^HEHC (SAS)、:・EF=EC, ZAEF= ZECH,•:乙EC出乙CEB=90° ,:.AAEF^ACEB=W y•••Z亦*90° ,:•乙ECF= ZEFC='M ,故①正确，如图2中.延长初到/ 使得BE,则厶CBMHCDH ISAS). :・ZECB= ZDCH、：.2LECH= ABCD=W ,:.ZECG=ZGCH=45° ,•: CG=CG、CE=CH.:.HGCE^HGCH (SAS),:・EG=GH,V GH=D&rDH. DH=BE、:・EG=BE+DG.故③错误，'AEG的周长=AE^EG-AG= AE-AH= AD-DH^AE= AE^E&vAD= A&rAD= 2a.故②错误,二屈设殆F 贝^AE=a-x. AF 阳=—- 十一■ ■£> 2 W.Y ax解得-Y •:.AG=GD.故⑤正确,故选:D.4. （2020黑龙江绥化）如图，在Rt △磁中，G9为斜边初的中线，过点。

2020年中考数学5.几何综合选择填空压轴题(含解析)

几何综合-填空选择压轴题51、以正方形ABCD勺边AD作等边△ ADE则/ BEC勺度数是 __________2、如图.在厶ABC中, / ACB=60 , AC=1, D是边AB的中点，E是边BC上一点.若DE平分△ ABC的周长，则DE的长是 ____ .3、已知CD是△ ABC的边AB上的高，若CD・3,AD=1AB=2AC则BC的长为__4、如图，将面积为32V2的矩形ABCC沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.若BE=J，贝U AP的长为____ .p5、如图，△ ABC是等边三角形，△ ABD是等腰直角三角形，/ BAD=90 , AE L BD 于点E,连CD分别交AE AB于点F, G过点A作AH L CD交BD于点H.则下列结论：①/ ADC=15 :② AF=AG ③ AH=DF ④厶AF3A CBQ ⑤AF= (V3 - 1)EF.其中正确结论的个数为（）A. 5 B . 4 C . 3 D . 26 已知O 0的半径为10cm AB CD是O O的两条弦，AB// CD AB=16cm CD=12cm则弦AB和CD之间的距离是cm513 13 13 7 77、如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点B 落在AD 边上的点G 处，点C 落在点H 处，已知/ DGH=30，连接BG 则/ AGB ________ .8、如图，？ABCD 勺对角线相交于点 0,且A 》CD 过点0作OM L AC,交AD 于点 M.如果△ CDM 勺周长为8,那么？ABCD 勺周长是 _____ .9、如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为 49，则 sin a - COS a =( ) A 13 B10、如图，P是厶ABC的内心，连接PA PB PC, △ PAB △ PBG △ PAC的面积分别为S、S、S.则Si ____ S2+S3.（填“v” 或“二”或“〉”）11、如图，△ ABC中, AB=AC AD L BC 于D点，DEL AB 于点E, BF 丄AC 于点F,DE=3cryi 则BF= ______ cm12、如图，已知半圆O与四边形ABCD勺边AD AB BC都相切，切点分别为DE、C,半径OC=1 则AE?BE=_.13、《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，冋该直角二角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是____________ 步.14、如图，以AB为直径的。

2020年九年级数学中考几何图形综合题专题训练(含答案)

2020年九年级数学中考几何图形综合题专题训练1、如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF=BE ，BE 与CD 交于点G（1）求证：BD ∥EF ；（2）若=，BE=4，求EC 的长．2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E .点M 是线段AD 上的动点，连接BM 并延长分别交DE ，AC 于点F ，G .(1)求CD 的长；(2)若点M 是线段AD 的中点，求EF DF的值；(3)请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得∠CPG ＝60°？3、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△AC D∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．4、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．5、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF（1）根据题意，补全原形；（2）求证：BE=DF．6、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD的内部，延长AF交CD于点G.(1)猜想并证明线段FG与CG的数量关系；(2)若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段FG与CG之间的数量关系是否改变？请证明你的结论；(3)若将图①中的正方形改成平行四边形，其他条件不变，如图③，那么线段FG与CG 之间的数量关系是否会改变？请证明你的结论．7、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．8、如图，□A BCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N。

中考数学复习专题：几何综合题(含答案解析)

几何综合题1.已知△ABC 中，AD 是的平分线，且AD =AB ，过点C 作AD 的垂线，交 AD 的延长线于点H ．（1）如图1，若①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．答案：（1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD =2可得DE =1，AE 3. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1. ∴AC 31.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH 33+=；（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明：延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =，∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==.2.正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．（1）如图1，当045α︒<<︒时， ①依题意补全图1．②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．BAC ∠60BAC ∠=︒（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明．（3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．答案：（1）①补全的图形如图7所示．② ∠NCE =2∠BAM ．（2）当45°<α<90°时，=1802NCE BAM ∠︒-∠．证明：如图8，连接CM ，设射线AM 与CD 的交点为H ．∵ 四边形ABCD 为正方形， ∴ ∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，直线BD 为正方形ABCD 的对称轴，点A 与点C 关于直线BD 对称． ∵ 射线AM 与线段BD 交于点M ， ∴ ∠BAM=∠BCM=α． ∴ ∠1=∠2=90α︒-． ∵ CE ⊥AM ， ∴ ∠CEH=90°，∠3+∠5=90°．又∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5， ∴ ∠1=∠3．∴ ∠3=∠2=90α︒-．∵ 点N 与点M 关于直线CE 对称，∴ ∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=1802BAM ︒-∠．（31CDBA图1备用图C DBAM3. 如图，已知60AOB ∠=︒，点P 为射线OA内，且满足DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=. （1）当DP PE =时，求DE 的长；（2）在点P 的运动过程中，请判断是否存在一个定点M答案：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=， ∴30OPE ∠=.∴30DPA OPE ∠=∠=. ∴120EPD ∠=. ∵DP PE =,6DP PE +=,∴30PDE ∠=,3PD PE ==. ∴cos30DF PD =⋅︒=∴2DE DF ==（2）当M 点在射线OA 上且满足OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下：当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =. ∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠, ∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPM DPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △.∴MK MD =.作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N . ∵60MO MOL =∠=，∴sin 603ML MO =⋅=.∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ， ∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK ,∴MK ME =.∴ME MK MD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立.4. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上一动点（与点A ，B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边所在射线CE ，CA 以点C 为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F ，G. （1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系，并证明．答案：（1）补全的图形如图所示.（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°， ∴∠DAC=∠BAC= 30°. ∴∠AGC=30°. ∴∠AFC =α+30°.（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=+.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°. ∴CA=CG. ∴HG =21AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ， ∴△ACE ≌△GCF. ∴AE =FG .在Rt △HCG 中， .23cos CG CGH CG HG =∠⋅= ∴AG =3CG .即AF+AE =3CG .5.如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N . （1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；（3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．答案：（1）如图；（2）45°；（3）结论：AM 2CN ．A BC E证明：作AG ⊥EC 的延长线于点G ．∵点B 与点D 关于CE 对称， ∴CE 是BD 的垂直平分线． ∴CB =CD ．∴∠1=∠2=α．∵CA =CB ，∴CA =CD ．∴∠3=∠CAD ． ∵∠4=90°，∴∠3=（180°∠ACD ）=（180°90°αα）=45°．∴∠5=∠2+∠3=α+45°-=45°． ∵∠4=90°，CE 是BD 的垂直平分线， ∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°． ∴∠6=∠7． ∵AG ⊥EC ，∴∠G =90°=∠8． ∴在△BCN 和△CAG 中，∠8=∠G ， ∠7=∠6， BC =CA ，BCN ≌△CAG ．∴CN =AG ． ∵Rt △AMG 中，∠G =90°，∠5=45°，∴AM AG ．∴AM CN ．答案：（1）补全图形略（2）①证明：连接BD ，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， ∴AQ AP =，90QAP ∠=°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90DAB ∠=°． ∴12∠=∠．∴△ADQ ≌△ABP ． ∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ∆中，90Q QPA ∠+∠=°， ∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°． ∵在Rt BPD ∆中，222DP BP BD +=，12-12----αα又∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=． ②BP AB =．7.如图，在等腰直角△ABC 中，∠CAB=90°，F 是AB 边上一点，作射线CF ，过点B 作BG ⊥C F 于点G ，连接AG ．（1）求证：∠ABG =∠ACF ；（2）用等式表示线段C G ，AG ，BG 之间的等量关系，并证明．答案：（1）证明 :∵ ∠CAB=90°. ∵ BG ⊥CF 于点G ， ∴ ∠BGF =∠CAB =90°. ∵∠GFB =∠CFA . ∴ ∠ABG =∠ACF .（2）CG =2AG +BG .证明：在CG 上截取CH =BG ，连接AH ， ∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠CAB =90°，AB =AC . ∵ ∠ABG =∠ACH . ∴ △ABG ≌△ACH . ∴ AG =AH ,∠GAB =∠HAC . ∴ ∠GAH =90°. ∴ 222AG AH GH +=. ∴ GH =2AG . ∴ CG =CH +GH =2AG +BG .8.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，连接AE ，延长CB 至点F ，使BF=BE ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，射线FH 分别交AB 、CD 于点M 、N ，交对角线AC 于点P ，连接AF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠FAC =∠APF ；（3）判断线段FM 与PN 的数量关系，并加以证明．答案：（1）补全图如图所示．（2）证明∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠BCA =45°，∠ABC =90°， ∴∠PAH =45°-∠BAE ． ∵FH ⊥AE ．∴∠APF =45°+∠BAE ．EDCBAM H PDAC∵BF=BE ，∴AF=AE ，∠BAF =∠BAE ． ∴∠FAC =45°+∠BAF ． ∴∠FAC =∠APF ．（3）判断：FM =PN ．证明：过B 作BQ ∥MN 交CD 于点Q ，∴MN =BQ ，BQ ⊥AE ． ∵正方形ABCD ，∴AB =BC ，∠ABC =∠BCD=90°． ∴∠BAE =∠CBQ ． ∴△ABE ≌△BCQ ． ∴AE =BQ ． ∴AE =MN ．∵∠FAC =∠APF ， ∴AF =FP ． ∵AF=AE ， ∴AE =FP ． ∴FP =MN ． ∴FM =PN ．9.如图所示，点P 位于等边ABC △的内部，且∠ACP =∠CBP ．(1) ∠BPC 的度数为________°；(2) 延长BP 至点D ，使得PD =PC ，连接AD ，CD ．①依题意，补全图形； ②证明：AD +CD =BD ；(3) 在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．解：(1)120°. ----------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边ABC △中，60ACB ∠=︒， ∴60.ACP BCP ∠+∠=︒ ∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=︒ ()180120.BPC CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒∴∴18060.CPD BPC ∠=︒-∠=︒ ∵=PD PC ，∴CDP △为等边三角形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒， ∴.ACD BCP ∠=∠ 在ACD △和BCP △中，M H PDA CDAC BC ACD BCP CD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴()SAS ACD BCP △≌△.∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------4分（3）如图2，作BM AD ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N . ∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒， ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒ ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴3= 3.BM BN BD == 又由（2）得，=2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CD BN =+()32AD CD =+ 32=3.=-----------------------------------7分10.如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α（0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分3-图1 备用图② 0≤QL2分（2）设直线+3y =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B ，可得A ，(0,3)B ．∴ OA =，3OB =，30OAB ∠=︒．由0≤QL y =．①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO=． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴ 1AE =11OE OA AE =-=． ∴1D x =②如图14，当⊙D 与直线y =相切时，相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y =与直线+33y x =的交点为F 可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos2AF OA OAF =⋅∠==．∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 21D F =．∴2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF=⋅∠72==，224OE OA AE =-=．图13∴2D x =．由①②可得，D x≤D x≤． ………………………………………… 5分（3）画图见图15．．……………………………… 7分11.如图，在等边ABC △中， ,D E 分别是边,AC BC 上的点，且CD CE = ,30DBC ∠<︒ ，点C 与点F 关于BD对称，连接,AF FE ，FE 交BD 于G .（1）连接,DE DF ，则,DE DF 之间的数量关系是；（2）若DBC α∠=，求FEC ∠的大小; （用α的式子表示）（3）用等式表示线段,BG GF 和FA 之间的数量关系，并证明.（1）DE DF =；（2）解：连接DE ，DF ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴60C ∠=︒. ∵DBC α∠=， ∴120BDC α∠=︒-.∵点C 与点F 关于BD 对称，∴120BDF BDC α∠=∠=︒-，DF DC =. ∴1202FDC α∠=︒+. 由（1）知DE DF =.∴F ，E ，C 在以D 为圆心，DC 为半径的圆上.∴1602FEC FDC ∠=∠=︒+α.（3）BG GF FA =+.理由如下：GFE DCBA图15GFEDCBA连接BF ，延长AF ，BD 交于点H ， ∵△ABC 是等边三角形，∴60ABC BAC ∠=∠=︒，AB BC CA ==. ∵点C 与点F 关于BD 对称， ∴BF BC =，FBD CBD ∠=∠. ∴BF BA =. ∴BAF BFA ∠=∠. 设CBD α∠=，则602ABF α∠=︒-. ∴60BAF α∠=︒+. ∴FAD α∠=.∴FAD DBC ∠=∠. 由（2）知60FEC α∠=︒+. ∴60BGE FEC DBC ∠=∠-∠=︒. ∴120FGB ∠=︒，60FGD ∠=︒.四边形AFGB 中，360120AFE FAB ABG FGB ∠=︒-∠-∠-∠=︒. ∴60HFG ∠=︒.∴△FGH 是等边三角形. ∴FH FG =，60H ∠=︒. ∵CD CE =， ∴DA EB =.在△AHD 与△BGE 中，,,.AHD BGE HAD GBE AD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△△AHD BGE ≅. ∴BG AH =.∵AH HF FA GF FA =+=+，∴BG GF FA =+．12.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，M 是BC 的中点，延长AM 到点D ，AE = AD ，∠EAD =90°，CE 交AB 于点F ，CD =DF .（1）∠CAD = 度；（2）求∠CDF 的度数；（3）用等式表示线段CD 和CE 之间的数量关系，并证明.HGFEDCBA解：（1）45 ……………………………………………………………1分（2）解：如图，连接DB.∵90 AB AC BAC =∠=，°，M 是BC 的中点，∴∠BAD=∠CAD=45°.∴△BAD ≌△CAD . ………………………………2分 ∴∠DBA =∠DCA ，BD = CD . ∵CD =DF ,∴B D =DF . ………………………………………3分 ∴∠DBA =∠DFB =∠DCA . ∵∠DFB +∠DFA =180°, ∴∠DCA +∠DFA =180°. ∴∠BAC +∠CDF =180°.∴∠CDF =90°. ………………………………………4分（3）CE =)21CD . ……………………………………5分证明：∵90 EAD ∠=°，∴∠EAF =∠DAF =45°. ∵AD =AE ，∴△EAF ≌△DAF . …………………………………6分 ∴DF =EF .由②可知，CF 2CD . …………………………7分 ∴CE =()21C D .13.如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，连接EF ，交对角线BD 于点G ，连接AG ．（1）根据题意补全图形；（2）判定AG 与EF 的位置关系并证明；（3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG 的长．解：（1）图形补全后如图…………………1分（2）结论：AG ⊥EF ． …………………2分证明：连接FD ，过F 点FM ∥BC ，交BD 的延长线于点M ．GFAB DCAB CE D∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=DA=DC=BC ，∠DAB =∠ABE =∠ADC =90°， ∠ADB =∠5=45°．∵线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ， ∴AE=AF ，∠FAE =90°． ∴∠1=∠2．∴△FDA ≌△EBA ． …………………3分 ∴∠FDA =∠EBA =90°，FD=BE ． ∵∠ADC =90°，∴∠FDA +∠ADC =180°。

中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)

中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。

动态几何问题经常在各地以中考试卷解答压轴题出现也常会出现在选择题最后一题的位置考察知识面较广综合性强可以提升学生的空间想象能力和综合分析问题的能力但同时难度也很大令无数初中学子闻风丧胆考场上更是丢盔弃甲解题思路1 熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识尤其是要重点把握三角形特殊四边形圆及函数三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形特殊四边形（平行四边形矩形菱形正方形）圆等相关知识2 掌握分析问题的基本方法﹕分析法综合法“两头堵”法﹕1）分析法是我们最常用的解决问题的方法也就是从问题出发执果索因去寻找解决问题所需要的条件依次向前推直至已知条件例如我们要证明某两个三角形全等先看看要证明全等需要哪些条件哪些条件已知了还缺少哪些条件然后再思考要证缺少的条件又需要哪些条件依次向前推直到所有的条件都已知为止即可综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论适合比较简单的问题3）“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方不知道如何向下分析时可以从已知条件出发看看能得到什么结论把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略3 注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决我们还要注意运用数学思想方法这样会大大帮助我们解决问题或者简化我们解决问题的过程加快我们解决问题的速度毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化类比归纳等等模拟预测1 （2024·江西九江·二模）如图在矩形()ABDC AB AC >的对称轴l 上找点P 使得PAB PCD 、均为直角三角形则符合条件的点P 的个数是（）A ．1B ．3C ．4D ．52 （2024·江西吉安·模拟预测）如图在平面直角坐标系中边长为23ABC 的顶点A B ，分别在y 轴的正半轴 x 轴的负半轴上滑动连接OC 则OC 的最小值为（）A ．2B ．3C ．33D ．333 （2024·江西吉安·一模）如图矩形ABCD 中 4AB = 6AD = 点E 在矩形的边上则当BEC 的一个内角度数为60︒时符合条件的点E 的个数共有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4 （2023·江西·中考真题）如图在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=，将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时旋转角α的度数为．5 （2024·江西吉安·二模）如图在矩形ABCD 中 6,10,AB AD E ==为CD 的中点点P 在AE 下方矩形的边上．当APE 为直角三角形且P 为直角顶点时 BP 的长为．6 （2024·江西九江·二模）如图在平面直角坐标系中已知矩形OABC 的顶点()20,0A ()0,8C D 为OA 的中点点P 为矩形OABC 边上任意一点将ODP 沿DP 折叠得EDP △ 若点E 在矩形OABC 的边上则点E 的坐标为．7 （2024·江西·模拟预测）如图 ABC 中 AB AC = 30A ∠=︒ 射线CP 从射线CA 开始绕点C 逆时针旋转α角()075α︒<<︒ 与射线AB 相交于点D 将ACD 沿射线CP 翻折至A CD '△处射线CA '与射线AB 相交于点E ．若A DE '是等腰三角形则α∠的度数为．8 （2024·江西赣州·二模）在Rt ABC △中已知90C ∠=︒ 10AB = 3cos 5B = 点M 在边AB 上点N 在边BC 上且AM BN = 连接MN 当BMN 为等腰三角形时 AM = ．9 （2024·江西吉安·模拟预测）如图在矩形ABCD 中 6,10AB AD == E 为BC 边上一点 3BE = 点P 沿着边按B A D →→的路线运动．在运动过程中若PAE △中有一个角为45︒ 则PE 的长为．10 （2024·江西吉安·三模）如图在ABC 中 AB AC = 30B ∠=︒ 9BC = D 为AC上一点 2AD DC = P 为边BC 上的动点当APD △为直角三角形时 BP 的长为．11 （2024·江西吉安·一模）如图矩形ABCD 中 4AB = 6AD = E 为CD 的中点连接BE 点P 在矩形的边上且在BE 的上方则当BEP △是以BE 为斜边的直角三角形时 BP 的长为．12 （2024·江西九江·二模）如图在等腰ABC 中 2AB AC == 30B ∠=︒ D 是线段BC 上一动点沿直线AD 将ADB 折叠得到ADE 连接EC ．当DEC 是以DE 为直角边的直角三角形时则BD 的长为．13 （2024·江西·模拟预测）如图在菱形ABCD 中对角线AC BD 相交于点O 23AB = 60ABC ∠=︒ E 为BC 的中点 F 为线段OD 上一动点当AEF △为等腰三角形时 DF 的长为．14 （2024·江西上饶·一模）如图在三角形纸片ABC 中 90,60,6C B BC ∠=︒∠=︒= 将三角形纸片折叠使点B 的对应点B '落在AC 上折痕与,BC AB 分别相交于点E F 当AFB '为等腰三角形时 BE 的长为．15 （2024·江西抚州·一模）课本再现（1）如图1 CD 与BE 相交于点,A ABC 是等腰直角三角形 90C ∠=︒ 若DE BC ∥ 求证：ADE 是等腰直角三角形．类比探究（2）①如图2 AB 是等腰直角ACB △的斜边 G 为边AB 的中点 E 是BA 的延长线上一动点过点E 分别作AC 与BC 的垂线垂足分别为,D F 顺次连接,,DG GF FD 得到DGF △ 求证：DGF △是等腰直角三角形．②如图3 当点E 在边AB 上且①中其他条件不变时 DGF △是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．拓展应用（3）如图4 在四边形ABCD 中 ,90,BC CD BCD BAD AC =∠=∠=︒平分BAD ∠ 当1,22AD AC == 求线段BC 的长．16 （2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道菱形的对角线互相垂直．反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理小明同学画出了图形（如图1）并写出了“已知”和“求证”请你完成证明过程．已知：在ABCD中对角线BD AC⊥垂足为O．求证：ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2在ABCD中对角线AC和BD相交于点O586AD AC BD===，，．①求证：ABCD是菱形②延长BC至点E连接OE交CD于点F若12E ACD∠=∠求OFEF的值．17 （2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处并绕点O 逆时针旋转探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1 若将三角板的顶点P 放在点O 处在旋转过程中当OF 与OB 重合时重叠部分的面积为__________ 当OF 与BC 垂直时重叠部分的面积为__________ 一般地若正方形面积为S 在旋转过程中重叠部分的面积1S 与S 的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处在旋转过程中 ,OE OP 分别与正方形的边相交于点M N ．①如图2 当BM CN =时试判断重叠部分OMN 的形状并说明理由②如图3 当CM CN =时求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处该锐角记为GOH ∠（设GOH α∠=）将GOH ∠绕点O 逆时针旋转在旋转过程中 GOH ∠的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为2S 请直接写出2S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）（参考数据：6262sin15tan1523-+︒=︒=︒=18 （2024·江西吉安·二模）如图在ABC 和ADE 中 (),AB AC AD AE AD AB ==< 且BAC DAE ∠=∠．连接CE BD ．(1)求证：BD CE =．(2)在图2中点B D E 在同一直线上且点D 在AC 上若,AB a BC b == 求AD CD的值（用含a b 的代数式表示）．19 （2024·江西九江·二模）初步探究（1）如图1 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O AC BD ⊥ 且ABD CBD S S = 则OA 与OC 的数量关系为．迁移探究（2）如图2 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O ABD CBD SS = （1）中OA 与OC 的数量关系还成立吗？如果成立请说明理由．拓展探究（3）如图3 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O 180,ABD CBD BAD BCD S S ∠∠+=︒=△△ 且 33OB OD == 求AC 的长．20 （2024·江西九江·二模）课本再现如图1 四边形ABCD 是菱形 30ACD ∠=︒ 6BD =．（1）求,AB AC 的长．应用拓展（2）如图2 E 为AB 上一动点连接DE 将DE 绕点D 逆时针旋转120︒ 得到DF 连接EF ．①直接写出点D 到EF 距离的最小值②如图3 连接,OF CF 若OCF △的面积为6 求BE 的长．21 （2024·江西赣州·三模）某数学小组在一次数学探究活动过程中经历了如下过程：AB=P为对角线AC上的一个动点以P为直角顶问题提出：如图正方形ABCD中8△．点向右作等腰直角DPM(1)操作发现：DM的最小值为_______ 最大值为_______(2)数学思考：求证：点M在射线BC上=时求CM的长．(3)拓展应用：当CP CM22 （2024·江西赣州·二模）【课本再现】思考我们知道角的平分线上的点到角的两边的距离相等反过来角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【定理证明】（1）为证明此逆定理某同学画出了图形并写好“已知”和“求证” 请你完成证明过程．已知：如图1 在ABC ∠的内部过射线BP 上的点P 作PD BA ⊥ PE BC ⊥ 垂足分别为D E 且PD PE =．求证：BP 平分ABC ∠．【知识应用】（2）如图2 在ABC 中过内部一点P 作PD BC ⊥ PE AB ⊥ PF AC ⊥ 垂足分别为D E F 且PD PE PF == 120A ∠=︒ 连接PB PC ．①求BPC ∠的度数②若6PB=23PC=求BC的长．23 （2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形ABC下面分别对这块材料进行课题探究：课本再现：（1）在图1中若边120mmBC=高80mmAD=把它加工成正方形零件使正方形的一边在BC上其余两个顶点分别在AB AC上这个正方形零件的边长是多少?类比探究（2）如图2 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件请你探究高AD与边BC的数量关系并说明理由．拓展延伸（3）①如图3 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件则ADBC的值为_______（直接写出结果）②如图4 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的()3n m≥相同大小的正方形零件求ADBC的值．24 （2024·江西吉安·三模）课本再现矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形．定义应用(1)如图1 已知：在四边形ABCD 中 90A B C ∠=∠=∠=︒用矩形的定义求证：四边形ABCD 是矩形．(2)如图2 在四边形ABCD 中 90A B ∠=∠=︒ E 是AB 的中点连接DE CE 且DE CE = 求证：四边形ABCD 是矩形．拓展延伸(3)如图3 将矩形ABCD 沿DE 折叠使点A 落在BC 边上的点F 处若图中的四个三角形都相似求AB BC的值．25 （2024·江西吉安·一模）课本再现在学习了平行四边形的概念后进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．=（1）如图1 在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O 求证：OA OC =．OB OD知识应用=延长AC到E 使得（2）在ABC中点P为BC的中点．延长AB到D 使得BD AC∠=︒请你探究线段BE与线段AP之间的BACCE AB=连接DE．如图2 连接BE若60数量关系．写出你的结论并加以证明．26 （2024·江西九江·二模）问题提出在综合与实践课上某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1 在边长为4的正方形ABCD 的中心作直角EOF ∠ EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC CD 交于点E F （点E 与点B C 不重合）将EOF ∠绕点O 旋转．在旋转过程中四边形OECF 的面积会发生变化吗？爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．浩浩：如图a 充分利用正方形对角线垂直相等且互相平分等性质证明了OEC OFD ≌ 则OEC OFD S S = OEC OCF OFD OCF OCD OECF S S S S S S =+=+=四边形．这样就实现了四边形OECF 的面积向OCD 面积的转化．小航：如图b 考虑到正方形对角线的特征过点O 分别作OG BC ⊥于点G OH CD ⊥于点H 证明OGE OHF ≌△△ 从而将四边形OECF 的面积转化成了小正方形OGCH 的面积．（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到OECF S =四边形__________ CE CF +=__________．类比探究（2）①如图⒉ 在矩形ABCD 中 3AB = 6AD = O 是边AD 的中点 90EOF ∠=︒ 点E 在AB 上点F 在BC 上则EB BF +=__________．②如图3 将问题中的正方形ABCD 改为菱形ABCD 且45ABC ∠=︒ 当45EOF ∠=︒时其他条件不变四边形OECF 的面积还是一个定值吗？若是请求出四边形OECF 的面积若不是请说明理由．拓展延伸（3）如图4 在四边形ABCD 中 7AB = 2DC = 60BAD ∠=︒ 120BCD ∠=︒ CA 是BCD ∠的平分线求四边形ABCD 的面积．27 （2024·江西九江·模拟预测）【课本再现】（1）如图1 四边形ABCD 是一个正方形 E 是BC 延长线上一点且AC EC = 则DAE ∠的度数为．【变式探究】（2）如图2 将（1）中的ABE 沿AE 折叠得到AB E ' 延长CD 交B E '于点F 若2AB = 求B F '的长．【延伸拓展】（3）如图3 当（2）中的点E 在射线BC 上运动时连接B B ' B B '与AE 交于点P ．探究：当EC 的长为多少时 D P 两点间的距离最短？请求出最短距离．28 （2024·江西上饶·一模）课本再现：（1）如图1 ,D E 分别是等边三角形的两边,AB AC 上的点且AD CE =．求证：CD BE =．下面是小涵同学的证明过程：证明：ABC 是等边三角形,60AC BC A ACB ∴=∠=∠=︒．AD CE =()SAS ADC CEB ∴≌CD BE ∴=．小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：BFD ∠的度数是______迁移应用：（2）如图2 将图1中的CD 延长至点G 使FG FB = 连接,AG BG ．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：AG BE ∥②若25CF BF = 试探究AD 与BD 之间的数量关系．参考答案考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。

2020年中考数学试卷分类汇编代数几何综合

代数几何综合1、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线c bx ax y ++=2关于直线1=x 对称，与坐标轴同学们：一分耕耘一分收获，只要我们能做到有永不言败+勤奋学习+有远大的理想+坚定的信念，坚强的意志，明确的目标，相信你在学习和生活也一定会收获成功（可删除）交于C B A 、、三点，且4=AB ,点⎪⎭⎫ ⎝⎛232，D 在抛物线上，直线是一次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),由点D(2，1.5)在抛物线上，所以⎩⎨⎧=++=+-5.1240c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又12=-a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以23212++-=x x y . （2）由（1）知23212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F(23,27k )，令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2k)，根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE, 即：,511),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得（3）由（1）知,2)1(21232122+--=++-=x x x y 所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为221x y -= 假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1, 所以1111PN PM NN MM =,………………(1) 不妨设M(x M ,y M )在点N(x N ,y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上，则（1）式变为NMN M y t y t x x --=-,又y M =k x M -2, y N =k x N -2, 所以（t+2）(x M +x N )=2k x M x N,……(2) 把y=kx-2(k ≠0)代入221x y -=中，整理得x 2+2kx-4=0, 所以x M +x N =-2k, x M x N =-4,代入（2）得t=2,符合条件，故在y 轴上存在一点P （0,2），使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称.考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成2、（绵阳市2013年）如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点C 的坐标为（0，-2），交x 轴于A 、B 两点，其中A （-1，0），直线l ：x =m （m ＞1）与x 轴交于D （1）求二次函数的解析式和B 的坐标；（2）在直线l 上找点P （P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q ，使△BP Q 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）①二次函数y=ax 2+bx+c 图象的顶点C 的坐标为（0，-2），c = -2 , - b2a = 0 , b=0 ,点A(-1,0)、点B 是二次函数y=ax 2-2 的图象与x 轴的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x 2-2；②点B 与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B 的坐标为（1，0）；（2）∠BOC=∠PDB=90º，点P 在直线x=m 上，设点P 的坐标为（m,p ）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，A B C D O x y l①当△BOC ∽△PDB 时，OB OC = DP DB ,12= |p|m-1 ,p= m-12 或p = 1- m2 ,点P 的坐标为（m ，m-12 ）或（m ，1- m2）；②当△BOC ∽△BDP 时， OB OC = DB DP ，12= m-1|p|，p=2m-2或p=2-2m,点P 的坐标为（m ，2m-2）或（m ，2-2m ）；综上所述点P 的坐标为（m ，m-12 ）、（m ，1- m2 ）、（m ，2m-2）或（m ，2-2m ）；（3）不存在满足条件的点Q 点Q 在第一象限内的抛物线y=2x 2-2上，令点Q 的坐标为（x, 2x 2-2），x>1, 过点Q 作QE ⊥直线l , 垂足为E ，△BPQ 为等腰直角三角形，PB=PQ ，∠PEQ=∠PDB ， ∠EPQ=∠DBP ，△PEQ ≌△BDP ，QE=PD ，PE=BD ，① 当P 的坐标为（m ，m-12 ）时，m-x = m-12 ， m=0 m=12x 2-2- m-12 = m-1, x= 12 x=1与x>1矛盾,此时点Q 不满足题设条件；② 当P 的坐标为（m ，1- m2）时，x-m= m-12 m=- 29 m=12x 2-2- 1- m 2 = m-1, x=- 56 x=1与x>1矛盾,此时点Q 不满足题设条件；③ 当P 的坐标为（m ，2m-2）时，m-x =2m-2 m= 92m=12x 2-2-(2m-2) = m-1, x=- 52 x=1与x>1矛盾,此时点Q 不满足题设条件； ④当P 的坐标为（m ，2-2m ）时，x- m = 2m-2 m= 518 m=12x 2-2-(2-2m) = m-1 x=- 76 x=1与x>1矛盾,此时点Q 不满足题设条件；综上所述，不存在满足条件的点Q3、（2013•昆明压轴题）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC 边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x﹣2）2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，将y=﹣代入得：﹣=﹣x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标．解答：解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，故直线AC解析式为y=﹣x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点D坐标为（1，）；（3）存在，分两种情况考虑：①当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN 为平行四边形，DM∥AN，DM=AN ，由对称性得到M （3，），即DM=2，故AN=2， ∴N 1（2，0），N 2（6，0）；②当点M 在x 轴下方时，如答图2所示：过点D 作DQ⊥x 轴于点Q ，过点M 作MP⊥x 轴于点P ，可得△ADQ≌△NMP， ∴MP=DQ=，NP=AQ=3，将y M =﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x 2+3x ，解得：x M =2﹣或x M =2+， ∴x N =x M ﹣3=﹣﹣1或﹣1， ∴N 3（﹣﹣1，0），N 4（﹣1，0）．综上所述，满足条件的点N 有四个：N 1（2，0），N 2（6，0），N 3（﹣﹣1，0），N 4（﹣1，0）．点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题． 4、（2013陕西）在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点A （1，0）、B （3，0）两点．（1）写出这个二次函数的对称轴；（2）设这个二次函数的顶点为D ，与y 轴交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点E ，连接AD 、DE 和DB ，当△AOC 与△DEB 相似时，求这个二次函数的表达式[提示：如果一个二次函数的图象与x 轴的交点为)0,(),0,(21x B x A A ，那么它的表达式可表示为：))((21x x x x a y --=]考点：此题在陕西的中考中也较固定，第（1）问主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，抛物线的对称性等简单问题第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等等问题考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程（第24题图）y -1 O x 2 -1 1 12 3 -2 3解析：本题中（1）由抛物线的轴对称性可知，与x 轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴；（2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点D 与E 的坐标表示出来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题；解：（1）对称轴为直线：x=2（2）∵A （1，0）、B （3，0），所以设)3)(1(--=x x a y 即a ax ax y 342+-=当x=0时，y=3a ，当x=2时，y=a - ∴C （0，3a ），D(2,-a) ∴OC=|3a|, ∵A （1，0）、E （2，0）， ∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a| 在△AOC 与△DEB 中， ∵∠AOC=∠DEB=90° ∴当EBDEOC AO =时，△AOC ∽△DEB ∴1|||3|1a a =时，解得33=a 或33-=a 当DEEBOC AO =时，△AOC ∽△BED ∴||1|3|1a a =时，此方程无解，综上所得：所求二次函数的表达式为：3334332+-=x x y 或3334332-+-=x x y5、（2013成都市压轴题）在平面直角坐标系中，已知抛物线21y 2x bx c =-++（b,c 为常数）的顶点为P,等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，-1），C 的坐标为（4,3），直角顶点B 在第四象限（1）如图，若该抛物线过A,B 两点，求抛物线的函数表达式；（2）平（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q.i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上点，当以M,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出所有符合条件的M 的坐标；ii ）取BC 的中点N,连接NP,BQ 试探究PQNP BQ+是否存在最大值？若存在，求出该最大值；所不存在，请说明理由解析：（1）A(0,-1) C(4,3) 则｜AC ｜=22(40)(13)42-+--=ABC 为等腰直角三角形 ∴AB=BC=4 ∴B 点(4,-1)将A,B 代入抛物线方程有1116412c b c =-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩⇒12c b =-⎧⎨=⎩ ∴21212y x x =-+- （2）当顶点P 在直线AC 上滑动时，平移后抛物线与AC 另一交点Q 就是A 点沿直线AC 滑动同样的单位下面给予证明：原抛物线2211(44)1(2)122y x x x =--++=--+ 顶点P 为(2,1) 设平移后顶点P 为(a,a-1),则平移后抛物线21()12y x a a '=--+- 联立y=x-1(直线AC 方程)得Q 点为（a-2,a-3）∴｜PQ ｜=22即实际上是线段AP 在直线AC 上的滑动.ⅰ）点M 在直线AC 下方，且M,P,Q 构成等腰直角三角形，那么先考虑使MP,Q 构成等腰直角三角形的M 点的轨迹，再求其轨迹与抛物线的交点以确定M 点.①若∠M 为直角，则M 点轨迹即为AC 下方距AC 为MH 且与AC 平行的直线l 又知｜PQ ｜=22，则｜MH ｜2｜PM ｜=2直线l 即为AC 向下平移｜PM ｜=2个单位 L:y=x-3 联立21212y x x =-+- 得x=15M 点为（1+5，5-2）或（1-5，-5-2）②若∠P=或∠Q 为直角，即PQ 为直角边，MQ ⊥PQ 且，MQ=PQ=22或MP ⊥PQ,且MP=PQ=22,∴M 点轨迹是AC 下方距AC 为22且与AC 平行直线L 直线L 即为AC 向下平移｜MP ｜=4个单位 L:y=x-5 联立21212y x x =-+-得x=4或x=-2 ∴M 点为(4,-1)或（-2，-7）综上所有符合条件的点M 为（1+5，5-2）（4,-1）；（1-5，-5-2）,（-2，-7）ⅱ)知PQ=22PQMP BQ+有最大值，即NP+BQ 有最小值如下图，取AB 中点M ，连结QM,NM,知N 为中点∴MN 为AC 边中位线，∴MN ∥AC 且MN=12AC=22=PQ ∴MN PQ ∴MNPQ 为平行四边形即PN=QM ∴QB+PN=BQ+MQ此时，作B 点关于AC 对称的点B ′,连B Q ',B M 'B M '交AC 于点H ，易知B Q '=BQ∴BQ+PN=B Q '+MQ ≥B M '(三角形两边之和大于第三边) 仅当Q 与H 重合时，取等号即BQ+PN 最小值存在且最小值为B M ' 连结A B '知ABB '∆为等腰直角三角形A B '=4，AM=12AB=2 ∴由勾股定理得25B M '= ∴PQ NP BQ +2210525=6、（2013山西压轴题，26，14分）（本题14分）综合与探究：如图,抛物线213442yx x 与x 轴交于A,B 两点(点B 在点A 的右侧)与y 轴交于点C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q（1）求点A,B,C 的坐标（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD ，BC 于点M,N 试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点 Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）当y=0时，2134042x x ，解得，122,8x x∵点B 在点A 的右侧，∴点A,B 的坐标分别为：（-2，0），（8，0）当x=0时，y=-4∴点C 的坐标为（0，-4），（2）由菱形的对称性可知，点D 的坐标为（0，4）. 设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则480b k b .解得，k=12，b=4. ∴直线BD 的解析式为142yx .∵l⊥x 轴，∴点M ，Q 的坐标分别是（m ，142m ），（m ，213442m m ）如图，当MQ=DC 时，四边形CQMD 是平行四边形. ∴（142m ）-(213442m m )=4-(-4) 化简得：240m m .解得，m 1=0，（舍去）m 2=4.∴当m=4时，四边形CQMD 是平行四边形. 此时，四边形CQBM 是平行四边形.解法一：∵m=4，∴点P 是OB 中点.∵l⊥x 轴，∴l∥y 轴. ∴△BPM∽△BOD.∴12BP BM BO BD .∴BM=DM. ∵四边形CQMD 是平行四边形，∴DM CQ∴BM CQ.∴四边形CQBM 为平行四边形. 解法二：设直线BC 的解析式为y=k 1x+b 1，则111480b k b .解得，k 1=12，b 1=-4 ∴直线BC 的解析式为y=12x-4 又∵l⊥x 轴交BC 于点N.∴x=4时，y=-2. ∴点N 的坐标为（4，-2）由上面可知，点M,Q 的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6).∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.∴MN=QN.又∵四边形CQMD 是平行四边形.∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，又∠1=∠2，∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN. ∴四边形CQBM 为平行四边形.（3）抛物线上存在两个这样的点Q ，分别是Q 1（-2，0），Q 2（6，-4）.7、（2013•内江）如图，在等边△ABC 中，AB=3，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE∥BC，将△ADE 沿DE 翻折，与梯形BCED 重叠的部分记作图形L ．（1）求△ABC 的面积；（2）设AD=x ，图形L 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）已知图形L 的顶点均在⊙O 上，当图形L 的面积最大时，求⊙O 的面积．考点：相似形综合题．分析：（1）作AH⊥BC 于H ，根据勾股定理就可以求出AH ，由三角形的面积公式就可以求出其值；（2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y 与x 之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x ＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE 的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；（3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值．解答：解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，∴∠AHB=90°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3．∵∠AHB=90°，∴BH=BC=在Rt△ABC中，由勾股定理，得AH=．∴S△ABC==；（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE．作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，∴DG=x，AG=x，∴y==x2，∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴x=1.5时，y最大=，如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，∵AD=x，∴BD=DM=3﹣x，∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，∴MG=（3﹣x），∴y=，=﹣；（3），如图4，∵y=﹣；∴y=﹣（x2﹣4x）﹣，y=﹣（x﹣2）2+，∵a=﹣＜0，开口向下，∴x=2时，y最大=，∵＞，∴y最大时，x=2，∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1，∴DM=DO．∵∠MDO=60°，∴△MDO是等边三角形，∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．∴MO=OE，∠MOE=120°，∴∠OME=30°，∴∠DME=90°，∴DE是直径，S⊙O=π×12=π．点评：本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键．8、（2013•新疆压轴题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△A CE的最大面积及E点的坐标．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F 的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=52，y=﹣34，∴点E的坐标为（52，﹣34），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=94，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为94×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（52，﹣34）．点评：本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．9、（2013凉山州压轴题）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．∵点M的横坐标为m，点M在AC上，∴M点的坐标为（m，﹣ m+4），∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上，∴点P的坐标为（m，﹣ m2+m+4），∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣ m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM为直角三角形；②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM，∴△PCM为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．10、（2013•曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO，可以简化计算；（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△D BE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．解答：解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，解得：b=﹣3，c=4，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4．（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m．∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，∴点E坐标为（m，8+m）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴8+m=﹣m2﹣3m+4，解得m=﹣2．∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6，S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12．（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D（m，4+m）．∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似∴△DBE必为等腰直角三角形．i）若∠BED=90°，则BE=DE，∵BE=OC=﹣m，∴DE=BE=﹣m，∴CE=4+m﹣m=4，∴E（m，4）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3，∴D（﹣3，1）；ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣m，在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m，∴CE=4+m﹣2m=4﹣m，∴E（m，4﹣m）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2，∴D（﹣2，2）．综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分（第26题图）'类讨论，这是本题的难点．11、(2013年临沂压轴题)如图，抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,)2A B C --三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：解：（1）设抛物线的解2y ax bx c =++，根据题意，得0,2550,5.2a b c a b c c ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪=-⎩，解得1,22,5.2a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：2152.22y x x =-- ………(3分) （2）由题意知，点A 关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC 交抛物线的对称轴于点P ，则P 点即为所求.设直线BC 的解析式为y kx b =+，由题意，得50,5.2k b b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得 1,25.2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线BC 的解析式为15.22y x =- …………(6分) ∵抛物线215222y x x =--的对称轴是2x =，∴当2x =时，153.222y x =-=-∴点P 的坐标是3(2,)2-. …………(7分)（3）存在 …………………………(8分)(i)当存在的点N 在x 轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM 是平行四边形，∴CN ∥x 轴，∴点C 与点N 关于对称轴x=2对称，∵C 点的坐标为5(0,)2-，∴点N 的坐标为5(4,).2- ………………………(11分)（II ）当存在的点'N 在x 轴上方时，如图所示，作'N H x ⊥轴于点H ，∵四边形''ACM N 是平行四边形，∴'''',AC M N N M H CAO =∠=∠, ∴Rt △CAO ≌Rt △''N M H ,∴'N H OC =. ∵点C 的坐标为'55(0,),22N H -∴=,即N 点的纵坐标为52， ∴21552,222x x --=即24100x x --= 解得12214,214.x x =+=-∴点'N 的坐标为5(214,)2-和5(214,)2+.综上所述，满足题目条件的点N 共有三个，分别为5(4,).2-，5(214,)2+，5(214,)2- ………………………(13分)12、（2013•宁波压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（﹣4，0），点P 在射线AB 上运动，连结CP 与y 轴交于点D ，连结BD ．过P ，D ，B 三点作⊙Q 与y 轴的另一个交点为E ，延长DQ 交⊙Q 于点F ，连结EF ，BF ．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．分析：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可；（2）①先证出△BOD≌△COD，得出∠BOD=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，②先连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=DE，即y=x；（3）当=2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=∠BFH，再证出△BOD∽△FHB，===2，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4﹣OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD 的解析式为y=x+，最后根据求出点P的坐标即可；当=时，连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB，===，得出FG=8，OD=BG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根据即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=﹣1，则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，∴△BOD≌△COD，∴∠BOD=∠CDO，∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，②连结PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠DPE=45°，∴∠DFE=∠DPE=45°，∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF=DE，即y=x；（3）当BD：BF=2：1时，过点F作FH⊥OB于点H，∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，∴∠DBO=∠BFH，又∵∠DOB=∠BHF=90°，∴△BOD∽△FHB，∴===2，∴FH=2，OD=2BH，∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OE=FH=2，∴EF=OH=4﹣OD，∵DE=E F，∴2+OD=4﹣OD，解得：OD=，∴点D的坐标为（0，），∴直线CD的解析式为y=x+，由得：，则点P的坐标为（2，2）；当=时，连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，∵∠DEP=∠DPA，∴∠DBE=∠DAP=45°，∴△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，精品1 同理可得：△BOD∽△FGB，∴===，∴FG=8，OD=BG，∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，∴四边形OEFG是矩形，∴OE=FG=8，∴EF=OG=4+2OD，∵DE=EF，∴8﹣OD=4+2OD，OD=43，∴点D的坐标为（0，﹣43），直线CD的解析式为：y=﹣13x﹣43，由得：，∴点P的坐标为（8，﹣4），综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组．13、（2013四川南充压轴题，21，8分）如图，二次函数y=x2+bx－3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）. （1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.解析：（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得2b2－5b－1=（b－2）2+b（b－2）－3b+3，……………1′解得b=2.∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3. ……………2′（2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上. ……………3′∴设M（－1，n），作MG⊥x轴于G，MH⊥y轴于H，连接MC、MB.∴MH=1，BG=2. ……………4′∵MB=MC，∴BG2+MG2=MH2+CH2，即4+n2=1+（3+n）2，解得n=－1，∴点M（－1，－1）……………5′（3）如图，由M（－1，－1），得MG=MH.∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2.由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME≌△DMF.若△DMF为等腰三角形，则△AME为等腰三角形. ……………6′设E （x ，0），△AME 为等腰三角形，分三种情况： ①AE =AM =5，则x=5－3，∴E （5－3，0）；②∵M 在AB 的垂直平分线上，∴MA =ME =MB ，∴E （1，0） ……………7′ ③点E 在AM 的垂直平分线上，则AE =ME .AE =x +3，ME 2=MG 2+EG 2=1+（－1－x ）2，∴（x +3）2=1+（－1－x ）2，解得x =47-，∴E （47-，0）.∴所求点E 的坐标为（5－3，0），（1，0），（47-，0） ……………8′14、（2013四川宜宾压轴题）如图，抛物线y 1=x 2﹣1交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y 2，两条抛物线相交于点C ．（1）请直接写出抛物线y 2的解析式；（2）若点P 是x 轴上一动点，且满足∠CPA =∠OBA ，求出所有满足条件的P 点坐标；（3）在第四象限内抛物线y 2上，是否存在点Q ，使得△QOC 中OC 边上的高h 有最大值？若存在，请求出点Q 的坐标及h 的最大值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可；（2）根据抛物线解析式求出点A 、B 的坐标，然后求出∠OBA =45°，再联立两抛物线解析式求出交点C 的坐标，再根据∠CPA =∠OBA 分点P 在点A 的左边和右边两种情况求解；（3）先求出直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的判别式△=0列式求出b的值，从而得到直线的解析式，再求出与x轴的交点E的坐标，得到OE的长度，再过点C作CD⊥x轴于D，然后根据∠COD的正弦值求解即可得到h的值．解答：解：（1）抛物线y1=x2﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1），所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）2﹣1；（2）x=0时，y=﹣1，y=0时，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，所以，点A（1，0），B（0，﹣1），∴∠OBA=45°，联立，解得，∴点C的坐标为（2，3），∵∠CPA=∠OBA，∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0），在点A的右边时，坐标为（5，0），所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（3）存在．∵点C（2，3），∴直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，联立，消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值，此时x1=x2=×（﹣）=，。

2020中考数学压轴专题：几何综合(含答案)

2020中考数学压轴专题：几何综合（含答案）1. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点P 是AC 上的一个动点(点P 与A 、C 不重合)，连接BP ，分别过点B 、C 作BP 、AC 的垂线BQ 、CQ ，两垂线交于点Q ，连接QP ，交BC 于点E . (1)求证：CQ ＝AP ； (2)求证：△CPB ∽△CEQ ；(3)若AB ＝22，在点P 的运动过程中，是否存在一点P ，使得CE ＝38BC ？若存在，请求出△ABP 的面积，若不存在，请说明理由．第1题图(1)证明：∵在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴∠A ＝∠ACB ＝45°， ∵BQ ⊥BP , CQ ⊥AC ， ∴∠QCB ＝∠A ＝45°，∵∠ABP ＋∠PBC ＝∠QBC ＋∠PBC ＝90°， ∴∠ABP ＝∠QBC . 又∵BA ＝BC ， ∴△BAP ≌△BCQ (ASA). ∴CQ ＝AP ；(2)证明：由(1)得，∠QCB ＝∠ACB ＝45°，又∵∠PCQ ＋∠PBQ ＝180°， ∴P 、C 、Q 、B 四点共圆， ∴∠CQP ＝∠PBC ， ∴△CPB ∽△CEQ ； (3)解：存在．理由如下：由CE ＝38BC ，可得CE ＝38BC ＝38AB ＝324，由勾股定理可得，AC ＝AB 2＋BC 2＝4；设AP ＝CQ ＝x ，则PC ＝4－x ，由(2)得△CPB ∽△CEQ ， ∴CP CE ＝BCCQ ，即4－x 324＝22x ，可得x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝3或1，第1题解图如解图，过点P 作PD ⊥AB 于D ，易得△APD ∽△ACB ， ∴PD BC ＝AP AC，即PD ＝AP ·BC AC ＝AP ·224＝22AP ，当AP ＝3时，可得PD ＝322，此时S △ABP ＝12AB ·PD ＝12×22×322＝3，当AP ＝1时，可得PD ＝22，此时S △ABP ＝12AB ·PD ＝12×22×22＝1. ∴存在满足CE ＝38BC 的点P ，此时△ABP 的面积为3或1.2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点P 是线段BC 延长线上任意一点，以AP 为直角边作等腰直角△APD ，且∠APD ＝90°，连接BD . (1)求证：AC AP ＝AB AD；(2)在点P 运动过程中，试问∠PBD 的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势；(3)已知AB ＝2，设CP ＝x ，S △PBD ＝S . ①试求S 关于x 的函数表达式； ②当S ＝38时，求△BPD 的外接圆半径．第2题图(1)证明：如解图，设AD 与PB 交于点K .∵CA ＝BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∵P A ＝PD ，∠APD ＝90°，∴∠PDK ＝∠P AD ＝∠ABK ＝45°，∵∠AKB ＝∠DKP ， ∴△AKB ∽△PKD ， ∴AK PK ＝BKDK， ∴AK KB ＝PKDK，∵∠AKP ＝∠BKD ， ∴△AKP ∽△BKD ，∴∠BDK ＝∠APK ，∠P AK ＝∠DBK ＝45°， ∴∠ABD ＝∠ABK ＋∠DBK ＝90°， ∴∠ABD ＝∠ACP ，∵∠ADB ＝∠APC ， ∴△ABD ∽△ACP ， ∴AC AP ＝ABAD； (2)解：∠PBD 的度数是定值，恒为45°.理由：由(1)可知△AKP ∽△BKD ， ∴∠P AK ＝∠DBK ＝45°，∴在点P 运动过程中，∠PBD 的度数是定值，且∠PBD ＝45° (3)解：①在Rt △ABC 中，∵AB ＝2，∴BC ＝AC ＝1，在Rt △ACP 中，P A ＝AC 2＋PC 2＝1＋x 2，∵△ABD ∽△ACP ， ∴AC AB ＝PCBD，∴12＝x BD， ∴BD ＝2x ，∴S ＝S △ABD ＋S △APD －S △ABP ＝12·2·2x ＋12·1＋x 2·1＋x 2－12(1＋x )·1＝12x 2＋12x .②如解图，取AD 的中点O ，连接OB 、OP .第2题解图∵∠ABD ＝∠APD ＝90°， ∴OB ＝OA ＝OP ＝OD ，∴点O 是△PBD 的外接圆的圆心， ∵S ＝38，∴12x 2＋12x ＝38，解得x ＝12或－32(舍去)，∴PC ＝12，由(2)可知BD ＝2x ， ∴BD ＝22，在Rt △ABD 中， AD ＝AB 2＋BD 2＝（2）2＋（22）2＝102， ∴OD ＝12AD ＝104，∴△PBD 的外接圆的半径为104. 3. 如图①，点P 在∠MON 的平分线上，且OP ＝2，以P 为顶点作∠APB, 与∠MON 的两边分别交于点A 、B ，其中∠APB 绕点P 旋转时，始终满足OA ·OB ＝OP 2.(1)已知∠MON＝α，求∠APB的度数(用含α的代数式表示)；(2)如图②，若∠MON＝90°，求出四边形OAPB面积的最小值．第3题图解：(1)∵OA·OB＝OP2，∴OA OP ＝OP OB，∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠POB，∴△AOP∽△POB，∴∠P AO＝∠BPO，∴∠APB＝∠APO＋∠BPO＝∠APO＋∠P AO，在△APO中，由三角形内角和定理得：∠APO＋∠P AO＝180°－∠AOP，∵∠MON＝α，∴∠AOP＝12α，∴∠APB＝180°－12α；(2)∵(AO－BO)2＝AO－2AO·BO＋BO≥0，∴AO＋BO≥2AO·BO＝2OP2＝4，第3题解图如解图，过点P作PG⊥OM、PH⊥ON，垂足分别为G、H，∵∠MON＝90°，OP平分∠MON，∴PG＝PH，∠POH＝45°，∴S四边形APBO＝S△APO＋S△POB＝12OA·PG＋12OB·PH＝12(OA＋OB)·PH，∴S四边形APBO≥12×4·PH＝2PH，∵OP平分∠MON，∠MON＝90°，又∵∠PHO＝90°，PO＝2，∴PH＝OH＝2，∴S四边形APBO≥22，即四边形APBO面积的最小值为2 2.4. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB＝90°，PM⊥AD，PN⊥AB.(1)求证：四边形PMAN是正方形；(2)求证：EM＝BN；(3)若点P在线段AC上移动，其他不变，设PC＝x，AE＝y，求y关于x的解析式，并写出自变量x的取值范围．第4题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD ， ∵PM ⊥AD ，PN ⊥AB ，∴PM ＝PN ，∠PMA ＝∠PNA ＝90°， ∴四边形PMAN 是矩形， ∵PM ＝PN ，∴四边形PMAN 是正方形；(2)证明：∵四边形PMAN 是正方形， ∴PM ＝PN ，∠MPN ＝90°， ∵∠EPB ＝90°， ∴∠MPE ＝∠NPB ，在△EPM 和△BPN 中，⎩⎨⎧∠PME ＝∠PNBPM ＝PN∠MPE ＝∠NPB， ∴△EPM ≌△BPN (ASA)， ∴EM ＝BN ；(3)解：如解图，过P 作PF ⊥BC 于F ，第4题解图∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，∠PCF＝45°，∴AC＝12＋12＝2，△PCF是等腰直角三角形，∴AP＝AC－PC＝2－x，BN＝PF＝22x，∴EM＝BN＝22x，∵∠P AM＝45°，∠PMA＝90°，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP＝2AM＝2(AE＋EM)，即2－x＝2(y＋22x)，解得y＝1－2x，∴x的取值范围为0≤x≤2，2∴y＝1－2x(0≤x≤22)．5. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝102，直线MN过点A且MN∥BC，以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上(不与点A重合)，如图①，DE与AC交于点P，设BD＝x，DP ＋BC＝y，cos∠ADP＝z.(1)猜想y关于x(2)如图②，DE与CA的延长线交于点P，以上y关于x的函数表达式仍成立吗？请证明；(3)如图③，DE与AC的延长线交于点P，BD与AP交于点Q，若此时x＝BD＝202，求S△ABQ的值．第5题图解：(1)y 关于x 的函数表达式为y ＝x ＋20，z 关于x 的函数表达式为z ＝10x，证明：如解图①，过点D 作DF ⊥AD 交AB 于点F ，交BC 于点G ， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝45°， ∴∠BAD ＝∠AFD ＝45°，∴△ADF 是等腰直角三角形，∴AD ＝DF ，∠DAP ＝45°＋90°＝135°，∠DFB ＝180°－45°＝135°， ∵∠BDP ＝∠ADF ＝90°， ∴∠ADP ＝∠FDB ，在△ADP 和△FDB 中，⎩⎨⎧∠ADP ＝∠FDBAD ＝FD∠DAP ＝∠DFB， ∴△ADP ≌△FDB ， ∴DP ＝BD ＝x ，∵AB ＝AC ＝102，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝20，∴y ＝x ＋20， ∵AD ∥BC ，∴DG ＝22AB ＝22×102＝10，在Rt △BDG 中，cos ∠BDG ＝DG DB ＝10x ，∵∠ADP ＝∠BDG ，∴z ＝cos ∠ADP ＝cos ∠BDG ＝10x ；第5题解图①(2)y 关于x 的函数表达式仍然成立，第5题解图②如解图②，过点D 作DF ⊥MN ，交AB 延长线于点F ， ∵由(1)知∠BAD ＝45°，∴∠AFD ＝45°，∴DA ＝DF ，∵∠FDB ＋∠BDA ＝90°，∠BDA ＋∠ADP ＝90°， ∴∠FDB ＝∠ADP ，∵∠DAP ＝90°－∠BAD ＝45°，在△ADP 和△FDB 中，⎩⎨⎧∠DAP ＝∠DFBDA ＝DF∠ADP ＝∠FDB， ∴△ADP ≌△FDB ， ∴DP ＝BD ＝x ， ∵BC ＝20， ∴y ＝x ＋20成立；第5题解图③(3)如解图③，过点B 作BT ⊥MN 于点T ， ∵MN ∥BC ，∠ABC ＝45°， ∴∠TAB ＝∠ABC ＝45°， ∵AB ＝102， ∴AT ＝BT ＝10， ∵BD ＝202， ∴在Rt △BTD 中，DT ＝BD 2－BT 2＝107，∵MN ∥BC ， ∴△AQD ∽△CQB ， ∴AQ QC ＝ADBC， ∴AQAC －AQ＝DT －AT BC ，∴AQ102－AQ＝107－1020，解得AQ ＝402－10143，∴S △ABQ ＝12AB ·AQ ＝12×102×402－10143＝400－10073.6. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，DC ＝8，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，AH ＝2，连接CF .(1)若DG ＝2，求证：四边形EFGH 为正方形； (2)若DG ＝6，求△FCG 的面积．第6题图(1)证明：∵四边形EFGH 为菱形，∴HG ＝EH ， ∵AH ＝2，DG ＝2， ∴DG ＝AH ，在Rt △DHG 和Rt △AEH 中，⎩⎨⎧HG ＝EH DG ＝AH ， ∴Rt △DHG ≌Rt △AEH ， ∴∠DHG ＝∠AEH ， ∵∠AEH ＋∠AHE ＝90°， ∴∠DHG ＋∠AHE ＝90°， ∴∠GHE ＝90°，∴四边形EFGH 为正方形；(2)解：如解图，过点F 作FQ ⊥CD 交DC 的延长线于Q ，连接GE ，第6题解图∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ∥CD ， ∴∠AEG ＝∠QGE ，即∠AEH ＋∠HEG ＝∠QGF ＋∠FGE ， ∵四边形EFGH 为菱形， ∴HE ＝GF ，HE ∥GF ， ∴∠HEG ＝∠FGE ， ∴∠AEH ＝∠QGF ，在△AEH 和△QGF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠Q∠AEH ＝∠QGF HE ＝FG， ∴△AEH ≌△QGF ， ∴AH ＝QF ＝2， ∵DG ＝6，CD ＝8， ∴CG ＝2，∴S △FCG ＝12CG ·FQ ＝12×2×2＝2.7. 如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，延长AC 到E ，使得CE ＝BD ，连接DE 交BC 于F . (1)求证：CE ＝2CF ；(2)当∠A ＝60°，AB ＝6，将△CEF 绕点C 逆时针旋转角α(0°≤α≤360°)，得到△CE ′F ′，当点F ′恰好落在直线AC 上，连接BE ′，求此时BE ′的长．第7题图(1)证明：如解图①，过D作DG∥BC交AC于G，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵DG∥BC，∴∠GDC＝∠BCD，∴∠GDC＝∠GCD，第7题解图①∴DG＝GC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，∴∠ADG＝∠AGD，∴AD＝AG，∴BD＝CG，∵CE＝BD，∴CG＝CE，∵DG∥BC，∴CF是△EDG的中位线，∴DG＝2CF，∴CE＝CG＝DG＝2CF；(2)解：①当点F旋转到线段AC上点F′处时，如解图②所示，∵∠F′CE′＝∠FCE＝120°，∠ACD＝30°，∴∠DCE′＝90°＝∠CDB，∴AB∥CE′，∵BD＝CE＝CE′，∴四边形BDCE′是矩形，∴BE′＝CD＝32AB＝32×6＝33；第7题解图②当点F旋转到线段AC的延长线上的点F′处时，如解图③，连接AE′，易得四边形ADCE′是矩形，∴AE′＝DC＝33，∠E′AC＝30°，∠BAE′＝90°，在Rt△ABE′中，由勾股定理得BE′＝AB2＋AE′2＝62＋（33）2＝37.8. 如图，在▱ABCD中，AC⊥CD，点E在射线CB上，点F在射线DC上，且∠EAF＝∠B.(1)当∠BAD＝135°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上，求证：BE＋22DF＝AD；(2)当∠BAD＝120°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上，求AD、BE、DF之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；(3)当∠BAD＝120°时，连接EF，直线AF与直线BC交于点Q，当AB＝3，BE＝2时，请分别求出EQ和EF的长．第8题图(1)证明：∵∠BAD ＝135°，且∠BAC ＝90°，∴∠CAD ＝45°，即△ABC 、△ADC 都是等腰直角三角形； ∴AD ＝2AC ，且∠D ＝∠ACB ＝45°；又∵∠EAC ＝∠DAF ＝45°－∠F AC ， ∴△AEC ∽△AFD ， ∴AE AF ＝EC FD ＝AC AD ＝12，即EC ＝22FD ； ∴BC ＝BE ＋22DF ，即BE ＋22DF ＝AD ； (2)解：2BE ＋DF ＝AD ；理由如下：如解图①，取BC 的中点G ，连接AG ；第8题解图①易知：∠DAC ＝∠BCA ＝30°，∠B ＝∠D ＝60°；在Rt △ABC 中，G 是斜边BC 的中点，则： ∠AGE ＝60°，AD ＝BC ＝2AG ；∵∠GAD ＝∠AGE ＝60°＝∠EAF ， ∴∠EAG ＝∠F AD ＝60°－∠GAF ；又∵∠AGE ＝∠D ＝60°，∴△AGE ∽△ADF ，得：AG AD ＝EG FD ＝12；即FD ＝2EG ；∴BC ＝2BG ＝2(BE ＋EG )＝2BE ＋2EG ＝2BE ＋DF ，即AD ＝2BE ＋DF ；(3)解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝30°，AB ＝3，则BC ＝AD ＝6，EC ＝4.①当点E 、F 分别在线段BC 、CD 上时，如解图②，过F 作FH ⊥BQ 于H ；同(2)可知：DF ＝2EG ＝2，CF ＝CD －DF ＝1；在Rt △CFH 中，∠FCH ＝60°，CH ＝12，FH ＝32；易知：△ADF ∽△QCF ，由DF ＝2CF ，可得CQ ＝12AD ＝3；∴EQ ＝EC ＋CQ ＝4＋3＝7；在Rt △EFH 中，EH ＝EC ＋CH ＝92，FH ＝32；由勾股定理可求得：EF ＝21；②当点E 、F 分别在CB 、DC 的延长线上时，如解图③；分别过点A 、F 作BC 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵∠EAF ＝∠GAD ＝60°， ∴∠EAG ＝∠F AD ＝60°＋∠F AG ，又∵∠EGA ＝∠D ＝60°，∴△EAG ∽△F AD ，得：EG FD ＝AG AD ＝12；即FD ＝2EG ＝10，FC ＝10－CD ＝7；在Rt △FCN 中，∠FCN ＝60°，易求得FN ＝732，NC ＝72，GN ＝12；在等边△ABG 中，AM ⊥BG ，易求得AM ＝332，MG ＝32，MN ＝MG －GN ＝1；由△AMQ ∽△FNQ ，得：AM FN ＝MQ NQ ＝37，即QN ＝710，MQ ＝310； EQ ＝EB ＋BM ＋MQ ＝2＋32＋310＝195；由勾股定理得EF ＝57；综上可知：EQ ＝7或195，EF ＝21或57.图②图③第8题解图9. 如图①，已知△ACB和△DCE为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE.(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数；(3)如图②，若△ACB和△DCE为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM⊥DE于点M，连接BE.①计算∠AEB的度数；②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．图① 图②第9题图(1)证明：∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°. ∴∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE∴△ACD ≌△BCE (SAS)， ∴AD ＝BE . (2)∵△ACD ≌△BCE∴∠ADC ＝∠BEC . ∵△DCE 为等边三角形， ∴∠CDE ＝∠CED ＝60°.∵点A ，D ，E 在同一条直线上， ∴∠ADC ＝120°， ∴∠BEC ＝120°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝60°. (3)①如解图，∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACD ＝∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧CA ＝CB∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD ≌△BCE (SAS)， ∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC . ∵△DCE 为等腰直角三角形， ∴∠CDE ＝∠CED ＝45°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴∠ADC ＝135°， ∴∠BEC ＝135°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝90°，第9题解图②∵CD ＝CE ，CM ⊥DE 于M ， ∴DM ＝ME ， ∵∠DCE ＝90°， ∴DM ＝ME ＝CM ， ∴AE ＝AD ＋DE ＝BE ＋2CM .10. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝2，∠ABC ＝120°，动点P 在线段BD 上从点B向点D 运动，PE ⊥AB 于点E ，四边形PEBF 关于BD 对称，四边形QGDH 与四边形PEBF 关于AC 对称．设菱形ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积为S 1，BP ＝x ：(1)对角线AC 的长为________；S 菱形ABCD ＝________；(2)用含x 的代数式表示S 1；(3)若点P 在移动过程中满足S 1＝12S 菱形ABCD 时，求x 的值．第10题图解：(1)23；23；【解法提示】∵菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝2，∠ABC ＝120°，∴∠AOB ＝90°，∠ABO ＝60°，∴AO ＝AB ·sin60°＝3，BO ＝AB ·cos60°＝1，∴AC ＝2AO ＝23，BD ＝2BO ＝2，∴S 菱形ABCD ＝23·22＝23， (2)由题意可得∠ABO ＝60°，BP ＝x ，∠PEB ＝90°，∴BE ＝BP ·cos60°＝x 2，PE ＝BP ·sin60°＝3x 2， ∴当0＜x ≤1时，S 1＝12x ·3x 22×4＝3x 22，当1＜x ≤2时，S 1＝12x ·3x 22×4－2（x －1）·2×33（x －1）2＝－36x 2＋43x 3－233，综上所述，S 1＝⎩⎨⎧3x 22 0＜x ≤1－3x 26＋43x 3－233 1＜x ≤2；(3)∵菱形的面积是23， ∴令32x 2＝3，解得x 1＝2＞1(舍去)，x2＝－2(舍去)，令－32＋433x－233＝3，解得x1＝4＋6＞2(舍去)，x2＝4－6，6x时，x的值是4－ 6.即若点P在移动过程中满足S1＝12S菱形ABCD。

2019-2020年中考数学全国部分地区几何综合题真题汇编(含答案解析)

几何综合专题1．（2019浙江温州24题）如图，在平面直角坐标系中，直线142y x=-+分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长；（2）设点Q2为(m，n)，当17nm=tan∠EOF时，求点Q2的坐标；（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD 交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．2.（2019浙江绍兴24题）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M,N分别在边AB,CD上，点E,F分别在BC,AD上，MN,EF交于点P，记k=MN∶EF.（1）若a∶b的值是1，当MN⊥EF时，求k的值.（2）若a ∶b 的值是21，求k 的最大值和最小值. （3）若k 的值是3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE 时，求a ∶b 的值.3.（2019浙江绍兴23题）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂长AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，AD=30，DM=10.（1）在旋转过程中：①当A,D,M 三点在同一直线上时，求AM 的长；②当A,D,M 三点在同一直角三角形的顶点时，求AM 的长.（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由△ABC 外的点D 1转到其内的点D 2处，连结D 1D 2，如图2，此时∠AD 2C=135°，CD 2=60，求BD 2的长.4.（2019浙江宁波25题）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点. 求证：四边形ABEF是邻余四边形。

2020全国各地中考数学压轴题按题型分类汇编(一)几何综合结论(解析版)

2020全国各地中考压轴题（选择、填空）按题型整理:一、几何综合结论1.（2020深圳）如图，矩形纸片MCD中,43=6, BC=12.将纸片折叠,使点E落在边Q的延长线上的点G处，折痕为EF,点E、F分别在边-Q和边EC上连接BG,交CD于点、K, FG交CD于点、H.给出以下结论：①EF丄BG；②GE= GF；@ AGDK ^^GKH的面积相等：④当点F与点C重合时，ZDEF= 75° ,其中正确的结论共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解答】解：如图，连接3E；设EF,j BG交于点0•••将纸片折叠，使点B 落在边.W 的延长线上的点G 处, ∙∙∙EF 垂直平分BG,∙∙∙EF 丄BG. BO=GO, BE=EG. BF=FG,故①正确， W4D//BC.：.ZEGO=ZFBO.又 Y ZEOG=ZBOF,BOF^^GOE （.ASA ）.：.BF=EG,：.BF=EG= GF.故②正确,TBE=EG=BF=FG. •••四边形恥GF 是菱形， ∙∙∙ ZBEF=ZGEF ∖当点F 与点C 重合时，则BF=BC=BE=Yl,Λ ZJrB=30° ,Λ ZDEF=I5° ,故④正确，由题意无法证明ZiGDK 和ZXGKH 的而枳相等，故③错误；故选：C.2. （2020贵州铜仁）如图，正方形-15Cz ）的边长为4,点£在边上，BE=I, ZDJM=45° ,点F 在射线上，且AF= √2,过点F 作-Q 的平行线交加的延长线于点H, CF 与-Q 相交于点G,连接EC 、EG 、EF.下列结论：①AECF 的而积为”：②Z ∖MG 的周长为8：③EG l =DG l -TBE I X 其中正确的是VSinZ-IFB= ABBE⅛⅛⅛..∙•06HaTH ∖l ∙∙∙ b 6H σΓQ ∖l n g ∖lQ N a F H o a H S F j a'∕aκ・甘3斜・亠权曰出•还氢逢【他濫】©® .Q ΘΘ J ΘΘ ∙ω ®@© .<•06H o Z /∖l ∙∙∙∙b 6n o g g ∖l盘绘∙∙∙・06 H O g g 7+g 087∙∙∙・ .⅛H⅛...・(S 3 ⅛u <^⅛⅛∙<...<r H H F南I QFnHF蛊FHHg •八・⅛H -H ⅛H 5;.. 0 H e:-∙HPH7"H4F7...ΛΔCΓF是等腰直角三角形,在RtΔCBE中，BE=X BC=4.ΛEC2=BΣ⅛C2= 17,∙∙∙ SJECF=专EF∙EC=詁C2=茅故①正确:过点F作F0丄PC于0,交AD于P,：.ZAPF= 90i =ZH=ZHAD,・•・四边形APFH是矩形，TAH=HF'.•・矩形ZIHFP是正方形，∙∙∙AP=PH=AH=∖,同理：四边形.JBQP是矩形，：.PO=AB=4f BO=.IPl. FO=FP+PO=5. CO=BC- BO=S9 WID//BC.：■、FPGS'FQC,FP PG：.—=—,FQ CQ1 PGΛ-=—,5 33.∙.PG=g,：.AG=AP+PG=在RtAMG中，根据勾股定理得，EG= yfAG2^AE2 =辛,∙∖ AAEG 的周民为 AG+EG+.IE= ∣ + + 3 = 8,故②正确;V-ID=4,a ■> 144 ΛZ ）G⅛Γ-=^r + l =∙∙F 42_ 289 169•EG S - TT ≠ 考.,.EG 2≠DG 2-BE 2,故③错误,•••正确的有①②，故选：C.3・（2020黑龙江鹤岗）如图，正方形MCD 的边长为G 点E 在边肋上运动（不与点丄B 重合），ZatM =45° ,点F 在射线上，且JF=近恥，CF 与.3相交于点G,连接EC 、EF 、EG.则下列结论： ① ZECF=45 o :② ∆JΣG 的周长为（1+叨）c（3）BE I ^DG I =EG I X：.DG=AD-AG=12169若'④∕∖EAF的而积的最大值是評2:O⑤当BE=l⅛, G是线段.3的中点.其中正确的结论是（）Λ ZJ£F+ZC£5=90° , Λ ZFEC=90^ ,Λ ZECF=ZEFC=45Q ,故①正确，如图2中，延长,3到H 使得Z)H=BE,则厶CBE 竺MDH (SAS),：.ZECB=ZDCH, ：• ZECH=ZBCD=90° ,Λ ZECG=ZGCH=45a 9A.①②③B.②④⑤C.①@@ 【解答】解：如图1中，在BC 上截取M=恥，连接EH9：BE=BH. ZEBH=90° ,：.EH=近BE 、V-IF=近BE 、 ∙∙∙AF=EH,•： ZDAM=ZEHB=45° , ZBAD=9Q o , ∙∙∙ ZEIE=ZEHC=I35° ,•：BA=BC, BE=BIL:∙AE=HC ∖MFAE9∕∖EHC (SAS)9 ΛEF=EC, ZAEF= ZECH.D ・①©®•： ZECH+ZCEB=90' ,TCG=CG∙ CE=CH.:仏GCEQHGCH (SAS)9：•EG=GILJGH=DSDH. DH=BE9:∙EG=BE+DG∖故③错误，•••△4EG 的周长=AE-EJdG =AE-AH=AD+DH+AE=AE+EB+AD = AB+AD=2m故②错误,设BE=x,贝IJJF=67-X, AF= y∕2x.∙S, j£f= *•(α - x) ×A—— ^v2+ _*(x'2 _ = _*(片_*4〉】+詁‘‘•・・—K.∙.x=p时,ΔJΓF的而枳的最大值为討.故④JH确, 当眩=壬;时，设DG=X则EG=X+4在RtΔAΣG中，则有(x+如)2= (α-χ) 2+ (I(T) 2,解得X=》AG=GD.故⑤正确, 故选：D.4. （2020黑龙江绥化）如图，在RtZ^^C 中，CQ 为斜边•毎的中线，过点D 作DE 丄ZIC 于点延长DE 至点 F,使 EF=DE,连接 ZIF, CF 、点 G 在线段 CF 上，连接 EG,且 ZCZ ）£+ZrGC=I80° , FG=2, GC=3.下列结论：②四边形DBCF 是平行四边形:（3）EF=EGX④ BC=2√5.【解答】解:9：CD 为斜边的中线,A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个图2 图1其中正确结论的个数是（V ZJCB=90° ,：.BC丄/C,VD£丄Zta.9.DE∕∕BC.：.DE是HABC的中位线，/.-<£=C£, DE=∣BC:①正确：•：EF=DE、：.DF=BC..•・四边形DBCF是平行四边形：②正确：.∖CF∕∕BD, CF=BD,V ZJCB=90α, CD为斜边的中线，：.CD=^lB=BD,:∙CF=CD.：.ZCFE=ZCDE.VZCD£+ZrGC=I80o , ZEGF+ZEGC= 180° ,：• ZCDE=ZEGF,；• ZCFE=ZEGF∖：.EF=EG.③正确；作EH丄FG于H∙如图所示:则ZEHF=ZCHE=91 , ZHEF+ ZEFH= ZHEF+Z CEH= 90o, FH=GH=；FG=X：.ZEFH= ZCE H,CH=GC+GH= 3+1 =4,：• HEFHSHCEH,EH FH••・—=—,CH EH：.EH I= CH×FH=4×i=4.:∙EH=2,：.EF= ∖f FH2+ EH2= √12+ 22= √5,：.BC=IDE=IEF=IyJs.④正确：故选：D.5.（2020湖北随州）如图，已知矩形ABCD中，■毎=3, BC=4,点M, N分別在边，9, BC上,沿着MN 折叠矩形.ISCD,使点ZL E分别落在E, F处，且点F在线段CZ）上（不与两端点重合），过点M作MH丄BC于点H,连接PF,给岀下列判断：①ZHNs HBCF;②折痕MN的长度的取值范用为3VMN＜学；③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；1 55λ④若DF=AC,则折叠后重叠部分的而积为石・α12其中正确的是-①⑵③⑷・（写岀所有正确判断的序号）【解答】解：①如图1,由折叠可知BF丄A ZBoM= 90° ,•： MH丄 BC,:∙ZBHP=90° = ZBOM.T ZBPH=乙OPa/.ZCBF=ZNAdH.TZ=WHV= Z C= 90° ,:仏MHNSI∖BCF'故①正确：②当F I IC重合时，MN=3、此时MV最小,当F打D重合时,如图2,此时MN最大,图2由勾股左理得：BD=S,YOB=OD= %ON CD ““ON 3DBC=OB = BC , 'T^zz 7, 2/. ON=善，WID//BC.：.ZMDO=ZOBN ∖在 Z ∖Λ∕OD 和 ANOE 中，ZMD0 = NoBNOD = OB, 乙 DOM =厶 BON：.ΔD0M^ 'BON (ASA ),：.OM=ON.：.MN=ION=学∙.∙点F 在线段CD 上(不与两端点重合)，.•・折痕MN 的长度的取值范帀为3<A£V<¥故②正确:{③如图3,连接FM.團3MH=CH=CD=DM=3,当四边形CDWZ为正方形时，由勾股宦理得：BM=√FTP = √Tθ,.9.FM=√10∙：.DF= yjFM2- DM2∙'∙CF=3 - 1=2,设HN=x,则BN=FN=M,在RtΔCΛ7,中，CdCP=Fg(3 ・x) 2+22= (x+Γ) 2,解得：X= |,3：.HN= ?•：CH=3、3.,.CN=HN= F・・・N为He的中点；故③正确：④如图4,连接加，-DF=∣DC, CD=3、團4C.DF=∖, CF=2,：.BF=√22 +42=2√5,Λ□F=√5,设FN=a,则BN= a. CN=4 ・ e 由勾股宦理得：FN l= C^CF l t C.cΓ= (4 ・a) 2+229•_5••a=，S 3：.BN=FN= CN= *•：ZNFE= ZCFN+ZDFO=90、,ZCFN+乙CNF=9Y ,.a. ZDFQ=ZCNF、V ZD=ZC=90° ,:仏QDFSHFCN、4：.OD= j9Λ^=J I2+Φ2=ΓHN CF∖∙ tan ZHMN= tail Z CBF=希=託HN _ 23 一4’3：.HN= M：.MN= J32 + (∣)2 =攀3 3V CH=MD=HN^CN= + =3.4 S∙∙∙MQ=3揺=?.,.折叠后重叠部分的而积为：S：.MNF+S M QF=才∙ MN ∙ OF + * ∙ MQ ∙ DF =昇竽XVE + * X I X 1 = SS12:故④正确：所以本题正确的结论有：①②③④：故答案为：①②③®.∙∙∙BD 丄EC,故②正确，6・（2020湖北仙桃）如图，已知∕∖ABC 和ZUDE 都是等腰三角形，ZBAC=ZDAE= 90c , BD. CE 交于点F,连接JF ・下列结论：①BD=CE ：②BF 丄CF ；③ZLF 平分ZCW ；④ZJFE=45°・英中正确结论的个数有（）A ・1个 B. 2个 C. 3个D. 4个【解答】解：如图，作dΛ∕丄肋于MANlEC 于N.V ZBJC=Zm£=90° ,∙∙∙ ZBAD=ZCAE ∖*∙* AB ~Λ Ct -*1Z) -AE 9MBAD 竺MAE (SAS),：.EC=BD. ZBDA=ZAEC.故①正确T ZDOF= ZAOE.ZDFO=ZEAO=90° ,VΔAW^ΔCJE. .IM 丄BD 、ANlEC、∙∙∙ ZBAE=ZFEC.:∙AM=AN,∙∙∙M 平分ZEF 从A ZJjr=45° ,故④正确，若③成立，则ZAEF=ZABD=ZA DB,推出AB=AD ,显然与条件矛盾，故③错误，故选：C.7. （2020湖北咸宁）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点E 是边BC 上一动点（不与点B, C 重合）,ZaF=90° ,且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F,交Cz ）于点G,连接JF,有下列结论：① 厶ABES 厶ECG ；② AE=EF ：③ ZDAF=ZCFE ；④ ACEF 的而积的最大值为1.苴中正确结论的序号是一①②③・（把正确结论的序号都填上）【解答】解：①•••四边形肿CD 是正方形,A ZB=ZECG=90° ,V ZAEF= 9Q Q ,/. ZAEB+ZCEG= ZAEB+ZBAE 9：.ZBAE=ZCEG.MABEsbECG.∙∙∙ ZBAE=ZFEC.故①正确:② 在BJ 上截取Bw r =E£,如图1,圉1•••四边形肋CD 为正方形.Λ Z5=90o , BA=BC,.•・ABEM 为等腰直角三角形,A ZAuE=45° ,∙∙∙ ZJME= 135° ,∖9BA - BM=BC - BE.：•AM=CE.TCF 为正方形外角平分线，Λ ZDCF=45° ,Λ ZECF=I3S o ,V ZAEF=90^ ,Λ ZAEB+ZFEC=9Q ζt ,而ZJ£5+Z&4£=90C,×MAE = ZCEF{AM = EC '∆AME =厶ECF：■、AME 竺∖ECF,:∙AE=EF,故②正确：③∙∙∙JΣ=EF∙ ZjEF=90° ,∙∙∙ZE4F=45° ,∙∙∙ ZBME+ZDAF=45° ,•：ZBAE+ZCFE= ZCEF+ZCFE=45O ,∙∙∙ ZDAF=ZCFE.故③正确：④设BE=x,则BM=x, AM=.lB-BM=4-χ,SDECF= SAME=*f（2 - X〉= 一 * （X ・1），+ £当X=I时，SAECF有最大值?故④错误.故答案为：①②③.8.（2020湖南岳阳）如图,AB为半圆O的直径，M, C是半圆上的三等分点，.毎=8,肋与半圆O相切于点B∙点P'λjAM上一动点（不与点J, M重合），直线PQ交肋于点ZX恥丄OC于点E,延长EE 交PC于点F,则下列结论正确的是_②⑤.（写出所有正确结论的序号）—4①PB=PD；②战•的长为一Tn ③ZDBE=45° :④厶BCFS∕∖PFB;⑤CF∙CP为上值・3∙∙∙ ZBOC= I × 180° = 60%【解答】解：①连接/C,并延长2C,与血的延长线交于点H 如图1,TM, C 是半圆上的三等分点，A ZBJH=BO O ,•・• BD 与半圆O 相切于点PΛ ZABD=90c ,∙∙∙ZH=60° ,J ZACP= ZABP. ZACP= ZDCH.∙∙∙ ZPDB= ZH+ZDCH= ZABP-60° ,V ZPBD=90° ・ ZΛBP∙若"DB= ZPBD.则 ZABP+6Q o =90c - AABP .：.ZABP=IS^ ,：•P 点为込帀的中点，这与P 为方雨上的一动点不完全吻合，∙∙∙ ZPDB 不一立等于ZABD.∙∙∙PE 不一定等于PD,故①错误：② TM, C 是半圆上的三等分点，T 直径AB=Z.:.0B=OC=4..・.茕的长度=銮¥ = <图1③V ZBoC= 60c, OB=OC9：.ZABC=60°, OB=OC=BC, T BEdOC,：• ZOBE=ZCBE=30° >V ZABD=90°,Λ ZDBE=60°,故③错误：④TM' N是而的三等分点，Λ ZBPC=30°,VZCBF=30°,^ZBFP= ZFCB.乙PBFV ZBFC,:心BCFS'PFB不成立，故④错误:⑤•：∖BCFS \PCB、CB CF ：.—=—,CP CB:∙CF∙CP=CB-V CB = OB = OC =^AB= 4,ΛCF∙CP=16,故⑤正确.故答案为：②⑤.9.（2020山东德州）如图，在矩形肿CD中,AB=晅+2, AD=員・把,3沿肛折叠，使点Z）恰好落在肿边上的D 处,再将ZXdEQ'绕点E顺时针旋转ct,得到MED",使得Ey恰好经过的中点g ∕β∙F. A f D tf交曲于点G,连接ZLr •有如下结论：①』F的长度是√6-2:②弧DIr的长度是WF③ZU' EG：④∆JJ' F S∖EGF∙上述结论中，所有正确的序号是—①②（Q・【解答】解：•••把JP沿JE折叠，使点D恰好落在•拐边上的D 处,Λ ZZ)=Z-W£=90° =ZΛ1D∖AD=AD∖・•・四边形.3£D是矩形，又VJD=-W= √3,・•・四边形MDED是正方形，:∙AD=AD'=DE=DE=頁，AE=迈AD=屆 ZEICr= ZzlED=45° ,：.D t B=AB-AD9=2,Y点F是ED中点，∙∙∙DF=1,：.EF= ∖f D,E 2 + D1F 2= √T+T =2,T将ZUED'绕点E顺时针旋转α,:∙AE=ME=品,ZD9ED u=a. ZEfZr=ZEID=45。

2020中考数学几何综合探究专题练习（含答案）

2020中考数学几何综合探究专题练习例题1.如图，在等腰梯形仙CD中，AD//BC,AB=DC=5O,AD=75,BC=135,点F从点3出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动，点。

从点。

出发沿线段CB方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK±BC,交折线段CD-ZM-AB于点E,点P、。

同时开始运动，当点F与点C重合时停止运动，点。

也随之停止，设点P、。

运动的时间是，秒(r>0)(1)当点P到达终点C时，求I的值，并指出此时3Q的长；(2)当点P运动到AD上时，I为何值能使PQ。

？(3)设射线好扫过梯形ABCD的面积为S,分别求出点E运动到CD,D4上时，S与t的函数关系式；(不必写出f的取值范围)【答案】⑴7=5。

+；+50=35（$）时，点p到达终点。

,此时，QC=35x3=105,所以3Q的长为135—105=30.⑵如图1,PQ//DC,又曷〃8C,则四边形FQC£＞为平行四边形，从而PD=QC,由QC=3t,BA+AP=5ti?5得50+75-5r=3r,解得t=—,8125经检验：当r时，有PQ//DC.⑶①当点E在CD上运动时，如图2,分别过点A、。

作AFXBC于点F,DHLBC于点H,则四边形为矩形，且AABF^ADCH,从而FH=AD=Y5,于是BF=CH=30,..Z)H=*=40.又QC=3t,从而QE=QC tanC=3t—=4t(注：用相似三角形求解亦可)CH19■■S=S AQCE=-QE.QC=6t2.②当点E在ZM上运动时，如图1,过点。

作DH.LBC于点H,由①知DH=40,CH=30,又QC=3t,从而ED=QH=QC-CH=3t-3OS=S梯形“庞=!（网+四）质=120—600•4例题2.如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边3C, C£>上的点，CE = 1, CF = 一,直线EF 交 3垂足分别为M , N ,设加的延长线于G,过线段FG 上的一个动点H 作HML4G, HNLAD,HM = x,矩形钢切V 的面积为y (1) 求v 与x 之间的函数关系式；(2) 当x 为何值时，矩形雄HN 的面积最大，最大面积为多少？4 【答案】(1)・.・正方形ABCD 的边长为4, CE = 1, CF = — 3BE = 3CF CF 又 AG//CF, AFEC^AGEB, ——=——，BG = 4BG BE义 HM//BEA AHMG^AEBG, —BG BE4 4:.MG =—x, AM =8——x 3 39y =尤 84 9 / \%2 + 8x （0 <x<4）4 4 9(2)V y = --x 2+8x = --(x-3)+12.•.当x = 3时，矩形面积最大，最大面积为12例题3.如图，在平面直角坐标系中，点A(0,O), B(30,2), C(0, 2),动点Z)以每秒1个单位的速度从点。

2020年中考数学复习：几何专项练习题(含答案)

2020年中考数学复习：几何专项练习题一、选择题1.如图，直角三角板ABC 的斜边AB=12cm ，∠A=30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A ′B ′C ′的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点B ′落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板A ′B ′C ′平移的距离为（）A.6cmB.4cmC.cmD.cm2.如图，△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．点B 与点D 重合，点A ，B （D ），E 在同一条直线上，将△ABC 沿DE 方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设点B ，D 之间的距离为x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，则准确反映y 与x 之间对应关系的图象是（）A B C D 二、填空题3.如图，将两块直角三角板的斜边重合，E 是两直角三角形公共斜边AC 的中点．D 、B 分别为直角顶点，连接DE 、BE 、DB ，∠DAC=60°，∠BAC=45°．则∠EDB 的度数为_______．(6-()64.如图，一块直角三角形木板△ABC，将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方向翻滚，使它滚动cm．三、解答题5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F.（1）EF+AC =AB；（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与点A1运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动.如图，AF1平分∠B A1C1，交BD于F1，过F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，试猜想F1E1，A1C1与AB之间的数量关系，并证明你的猜想.（3）在（2）的条件下，当A1 E1=3，C1 E1=2时，求BD的长.21216.如图，等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时以每秒1个单位长的速度按顺时针方向沿△ABC 的边运动，当Q 运动到A 点时，P 、Q 停止运动.设Q 点运动时间为t 秒，点P 运动的轨迹与PQ 、AQ 围成图形的面积为S.求S 关于t 的函数解析式.7.正方形ABCD中，点F为正方形ABCD 内的点，△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合．（1）如图1，若正方形ABCD 的边长为2，BE=1，FC=，求证：AE ∥BF ；（2）如图2，若点F 为正方形ABCD 对角线AC 上的点，且AF ：FC=3：1，BC=2，求BF 的长．8.将正方形ABCD 和正方形BEFG 如图1摆放，连DF ．∠DMC=_____；∠DMC 的值，并证明你的结论；3∠DMC=_________．请画出图形，并直接写出你的结论（不用证明）．9.已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图（1）当C、A、D在同一直线上时，连CE、BD，判断CE和BD位置关系，填空：CE_____BD．（2）如图（2）把△ADE绕点A旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立，写出你的结论，并说明理由．（3）如图（3）在图2的基础上，将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置，连接BE′、DC′，过点A作AN⊥BE′于点N，反向延长AN交DC′于点M．求的值．10.将正方形ABCD和正方形CGEF如图1摆放，使D点在CF边上，M为AE中点，（1）连接MD、MF，则容易发现MD、MF间的关系是______________（2）操作：把正方形CGEF绕C点旋转，使对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M，探究线段MD、MF的关系，并加以说明；（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出猜想，不需要证明.DMDC交射线ON 于点B ，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB ；（2）如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当S △POB =3S △PCB 时，求PB 与PC 的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且∠PBD=∠ABO ，请借助图3补全图形，并求OP 的长．12、在中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E,将线段EC 绕点E 逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP 1=，S =，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.图1 备用图13、已知：如图，N 、M 是以O 为圆心，1为半径的圆上的两点，B 是上一动点（B 不与点M 、N 重合），ABCD Y 90o90o 90o43x 11P FC V y y xx ¼MN∠MON=90°，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ 是矩形，求OA 的值.14、已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．（1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．15、已知正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B′ 处．（1）当=1 时，CF=______cm ，（2）当=2 时，求sin∠DAB′ 的值；（3）当= x 时（点C 与点E 不重合），请写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．ABCD 24AD BC AD BC ==∥，，，M AD MBC △ABCD P Q BC MC 60MPQ =︒∠PC x MQ y ==，，y x y PQC△CEBECEBECEBE16、在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝，，CD=，求线段CP 的长．（用含的式子表示）17、已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且．（1）求证：∽；（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：；（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由．3=BC xx //AM BN AB D C AM BN D A C B E AB E A B EC DE ⊥a AB DE AD ==+ADE ∆BEC ∆E AB CD BC AD =+m AE =BEC ∆m m BEC∆18、已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接．（1）直接写出线段与的数量关系；（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）参考答案一、选择题 1.【答案】C. 2.【答案】B. 二、填空题 3.【答案】15°.4.三、解答题5.【答案与解析】（1）证明：如图1，过点F 作FM ⊥AB 于点M ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD 于点E ． ∵AF 平分∠BAC ， ∴EF=MF ，又∵AF=AF ，ABCD E BD E EF BD ⊥BC F DF G DF EG CG ，EG CG BEF ∆B 45︒DF G EG CG ，BEF ∆B 图3图2图1FEABCDABC DEFGGFED C BA∴Rt △AMF ≌Rt △AEF ， ∴AE=AM ，∵∠MFB=∠ABF=45°， ∴MF=MB，MB=EF ， ∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB ．（2）E 1F 1，A 1C 1与AB 三者之间的数量关系：E 1F 1+A 1C 1=AB 证明：如图2，连接F 1C 1，过点F 1作F 1P ⊥A 1B 于点P ，F 1Q ⊥BC 于点Q ， ∵A 1F 1平分∠BA 1C 1，∴E 1F 1=PF 1；同理QF 1=PF 1，∴E 1F 1=PF 1=QF 1，又∵A 1F 1=A 1F 1，∴Rt △A 1E 1F 1≌Rt △A 1PF 1， ∴A 1E 1=A 1P ，同理Rt △QF 1C 1≌Rt △E 1F 1C 1， ∴C 1Q=C 1E 1，由题意：A 1A=C 1C ，∴A 1B+BC 1=AB+A 1A+BC -C 1C=AB+BC=2AB ， ∵PB=PF 1=QF 1=QB ，∴A 1B+BC 1=A 1P+PB+QB+C 1Q=A 1P+C 1Q+2E 1F 1，即2AB=A 1E 1+C 1E 1+2E 1F 1=A 1C 1+2E 1F 1， ∴E 1F 1+A 1C 1=AB ．（3）解：设PB=x ，则QB=x ， ∵A 1E 1=3，QC 1=C 1E 1=2，Rt △A 1BC 1中，A 1B 2+BC 12=A 1C 12，即（3+x ）2+（2+x ）2=52， ∴x 1=1，x 2=-6（舍去）， ∴PB=1， ∴E 1F 1=1，又∵A 1C 1=5，121212126.【答案与解析】当P运动到C点时：t=6当Q运动到A点：t=∴分两种情况讨论(1)当0≤t≤6时，如图：作PH⊥AB于H，则△APH为等腰直角三角形此时AP=t，BQ=t，则AQ=-tPH=APsin45°=t∴S△AQP=AQ·PH=·(-t)·t=t2+3t(2)当6＜t≤时，如图：过P过PH⊥AB于H，此时△PBH为等腰直角三角形AC+CP=t，BQ=t∴BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t∴PH=BPsin45°=(12-t)∴S四边形AQPC=S△ABC-S△BPQ=AC·BC-BQ·PH=·6·6-·t·(12-t)=18-t+t2=t2-t+18.综上，.7.【答案与解析】（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC在△BFC中，BC2=22=4∴BF2+FC2=BC2∴∠BFC=90°…（3分）∴∠AEB+∠EBF=180°∴AE ∥BF …（4分）（2）解：∵Rt △ABC 中，AB=BC=2，由勾股定理，得∵AF ：FC=3：1，∵△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC=90°∴∠BAC+∠ACB=90° ∴∠EAB+∠BAC=90°即∠EAF=90° 在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2∵BE=BF8.【答案与解析】（1）如图2，连接BF ，∵四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形，∴∠FBC=∠CBD=45°，∴∠CBD=∠GBC=90°，而BF=BG ，BD=BC ，∴△BFD ∽△BGC ，22而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，（2）如图3，∵将图1中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转45°，DF 的延长线交CG 于M ，∴B 、E 、D 三点在同一条直线上，而四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形，∴△BFD ∽△BGC ，而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，即∠DMC=45°；9．【答案与解析】（1）CE ⊥BD ．（2）延长CE 交BD 于M ，设AB 与EM 交于点F ．∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠CAE=∠BAD ．又∵△ABC ≌△ADE ，∴AC=AE ，AB=AD ， ∴∠ACE=，∠ABD=，∴∠ACE=∠ABD ．又∵∠AFC=∠BFM ，∠AFC+∠ACE=90°，∴∠ABD+∠BFM=90°，∴∠BMC=90°，∴CE ⊥BD ．（3）过C ′作C ′G ⊥AM 于G ，过D 作DH ⊥AM 交延长线于点H ．∵∠∠E ′NA=∠AGC ′=90°，∴∠NE ′A+∠NAE ′=90°，∠NAE ′+∠C ′AG=90°，∴∠NE ′A=∠C ′AG ，∵AE ′=AC ′∴△ANE ′≌△C ′GA （AAS ），∴AN=C ′G ．同理可证△BNA ≌△AHD ，AN=DH ．∴C ′G=DH ．在△C ′GM 与△DHM 中，∠C ′GM=∠DHM=90°，∠C ′MG=∠DMH ，C ′G=DH ，∴△C ′GM ≌△DHM ，∴C ′M=DM ，01802CAE -∠01802BAD -∠10．【答案与解析】如图1，延长DM交FE于N，图1∵正方形ABCD、CGEF，∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，∴∠1=∠2，又∵MA=ME，∠3=∠4，∴△AMD≌△EMN，∴MD=MN，AD=EN．∵AD=DC，∴DC=NE．又∵FC=FE，∴FD=FN．又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD；（2）MD=MF，MD⊥MF．如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN．∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2．又∵AM=EM，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM，∴AD=EN，MD=MN．∵AD=DC，∴DC=NE．又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∴∠DCF=∠NEF=45°，∴△FDC≌△FNE，∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，∴MD=MF，MD⊥MF；（3）FM⊥MD，MF=MD．如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．∴∠ADC=∠H，AD∥EH，∴∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，∴△AMD≌△EMN，∴DM=NM，AD=EN．∵正方形ABCD、CGEF，∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，∴∠DCF=∠5=∠NEF．∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF．∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°．∴FM⊥MD，MF=MD．11、【答案】（1）作PE ⊥OM ，PF ⊥ON ，垂足为E 、F ∵四边形OEPF 中，∠OEP=∠OFP=90°， ∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB ，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB ，∴∠EPA=∠FPB ，由角平分线的性质，得PE=PF ，∴△EPA ≌△FPB ，即PA=PB ；（2）∵S △POB =3S △PCB ，∴PO=3PC ，由（1）可知△PAB 为等腰三角形，则∠PBC=（180°-∠APB ）=∠MON=∠BOP ，又∵∠BPC=∠OPB （公共角），∴△PBC ∽△POB ，∴，即PB 2=PO •PC=3PC 2，∴ （3）作BH ⊥OT ，垂足为H ，当∠MON=60°时，∠APB=120°，由PA=PB ，得∠PBA=∠PAB=（180°-∠APB ）=30°，又∵∠PBD=∠ABO ，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，∴∠ABO=（180°-30°）=75°，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°，在△OBP 中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°，在Rt △OBH 中，BH=OB=1，OH=， 1212PB PC PO PB=3PB PC=1212123在Rt △PBH 中，PH=BH=1，∴OP=OH+PH=+1．12、【答案与解析】（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线与直线的交点为．∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，∴．∵，， ∴． ∴． ∴． ∵，∴， ∴．31FG CD 1FG CD H 1EC EP 、E 1EF EG 、111190PEG CEF EG EP EF EC ∠=∠===°，，1190G EF PEF ∠=-∠°1190PEC PEF ∠=-∠°11G EF PEC ∠=∠11G EF PEC △≌△11G FE PCE ∠=∠EC CD ⊥190PCE ∠=°190G FE ∠=°FDC BAE 图1 G 2 G 1P 1 H P 2∴．∴．∴．②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形是平行四边形，∴．∵， ∴．可得．由（1）可得四边形为正方形．∴． ①如图2，当点在线段的延长线上时，∵， ∴． 90EFH ∠=°90FHC ∠=°1FG CD ⊥12G G CD ABCD B ADC ∠=∠461tan 3AD AE B ===，，45tan tan 3DE EBC B =∠==，4CE =EFCH 4CH CE ==1P CH 1114FG CP x PH x ===-，11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯⨯=△D G 1P 1 H C BAE F∴． ②如图3，当点在线段上（不与两点重合）时， ∵， ∴． ∴． ③当点与点重合时，即时，不存在．综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或． 13、【答案】（1）是．证明：连接OB ，如图①，212(4)2y x x x =->1P CH C H 、1114FG CP x PH x ===-，11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯=△212(04)2y x x x =-+<<1P H 4x =11PFG △y x x 212(4)2y x x x =->212(04)2y x x x =-+<<FG 1 P 1 CAB E D H∵BA ⊥OM ，BC ⊥ON ， ∴∠BAO=∠BCO=90°， ∵∠AOC=90°， ∴四边形OABC 是矩形．∴AB ∥OC ，AB=OC ，∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点，∴AE ∥GC ，AE=GC ，∴四边形AECG 为平行四边形．∴CE ∥AG ，∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，∴GF ∥OB ，DE ∥OB ，∴PG ∥EQ ，∴四边形EPGQ 是平行四边形；（2）解：如图②，∵口EPGQ 是矩形．∴∠AED+∠CEB=90°．又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ，∴， AD AE BE BC得y 2=2x 2，又∵OA 2+AB2=OB 2，即x 2+y 2=12．∴x 2+2x 2=1，14、【答案与解析】（1）证明：∵是等边三角形∴∵是中点∴∵∴∴∴∴梯形是等腰梯形．（2）解：在等边中， ∴ ∴ ∴∴ MBC △60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠M AD AM MD =AD BC ∥60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠AMB DMC △≌△AB DC =ABCD MBC △4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠BMP QPC =∠∠BMP CQP △∽△PC CQ BM BP=∵∴∴∴（3）解：为直角三角形，∵∴当取最小值时，∴是的中点，而∴∴∴为直角三角形.15、【答案与解析】（1）CF=6cm；（2）①如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M，PC x MQ y==，44BP x QC y=-=-，444x yx-=-2144y x x=-+PQC△()21234y x=-+y2x PC==P BC MP BC⊥，60MPQ=︒∠，30CPQ=︒∠，90PQC=︒∠PQC△图1∵ AB ∥CF ，∴ △ABE ∽△FCE ，∴ ． ∵ =2， ∴ CF=3． ∵ AB ∥CF，∴∠BAE=∠F ．又∠BAE=∠B ′ AE ， ∴ ∠B ′ AE=∠F ．∴ MA=MF ．设MA=MF=k ，则MC=k -3，DM=9-k ．在Rt △ADM 中，由勾股定理得：k 2=(9-k)2+62，解得 k=MA=． ∴ DM=． ∴ sin ∠DAB ′=； ②如图2，当点E 在BC 延长线上时，延长AD 交B ′ E 于点N ，同①可得NA=NE ．设NA=NE=m ，则B ′ N=12-m ．在Rt △AB ′ N 中，由勾股定理，得m 2=(12-m)2+62，解得 m=AN=． ∴ B ′N=． ∴ sin ∠DAB ′=．（3）①当点E 在BC 上时，y=； FCAB CE BE =CEBE 13252135=AM DM 1529253='AN N B 18x x 1+图2②当点E 在BC 延长线上时，y=． 16、【答案与解析】（1）结论：CF ⊥BD ；证明如下：AB=AC ，∠ACB =45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º，∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．（2）CF ⊥BD ．(1)中结论仍成立．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF ⊥BD（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴DQ=4-x ，易证△AQD ∽△DCP ，∴ ，∴，．18x 18x-ΘCP CD DQ AQ =44CP x x =-24x CP x ∴=-+②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x ．过A 作AQ ⊥BC ， ∴∠Q=∠FQC=90°，∠ADQ=∠AFC ，则△AQD ∽△ACF ．∴CF ⊥BD ，∴△AQD ∽△DCP ，∴, ∴, ． 17、【答案】（1）证明：∵，∴．∴．又∵，∴．∴．∴∽．（2）证明：如图，过点作，交于点，∵是的中点，容易证明． CD DQ AQ 4+4x x =24x CP x ∴=+EC DE ⊥︒=∠90DEC ︒=∠+∠90BEC AED ︒=∠=∠90B A ︒=∠+∠90EDA AED EDA BEC ∠=∠ADE ∆BEC ∆E EF BC //CD F E AB )(21BC AD EF +=在中，∵ ，∴ ． ∴ ． ∴ ．（3）解：的周长，．设，则．∵ ，∴ ．即．∴ ．由（1）知∽，∴ ． ∴ 的周长的周长． ∴ 的周长与值无关．18、【答案与解析】（1）（2）（1）中结论没有发生变化，即．证明：连接，过点作于，与的延长线交于点．在与中，∵，∴．∴．DEC Rt ∆CF DF =CD EF 21=)(21BC AD +CD 21=CD BC AD =+AED ∆DE AD AE ++=m a +=m a BE -=x AD =x a DE -=︒=∠90A 222AD AE DE +=22222x m x ax a +=+-am a x 222-=ADE ∆BEC ∆的周长的周长BEC ∆∆ADE BEAD =m a a m a --=222a m a 2+=BEC ∆⋅+=m a a 2ADE ∆a 2=BEC ∆m CG EG =CG EG =AG G MN AD ⊥M EF N DAG ∆DCG ∆AD CD ADG CDG DG DG =∠=∠=，，DAG DCG ∆∆≌AG CG =在与中，∵， ∴．∴在矩形中，在与中，∵，∴．∴．∴（3）（1）中的结论仍然成立．DMG ∆FNG ∆DGM FGN FG DG MDG NFG ∠=∠=∠=∠，，DMG FNG ∆∆≌MG NG =AENM AM EN =Rt AMG ∆Rt ENG ∆AM EN MG NG ==，AMG ENG ∆∆≌AG EG =EG CG =M N图2A B CDE F GG图3FE A B CD。

2020年九年级数学中考常考300道几何题汇编(含答案)

三角形知识考点：理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。

关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。

应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。

精典例题：【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a >，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（） A 、b L a 33>> B 、a L b a 2)(2>>+C 、a b L b a +>>+262D 、b a L b a 23+>>-分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。

答案：B变式与思考：在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（）A 、1＜AB ＜29 B 、4＜AB ＜24C 、5＜AB ＜19D 、9＜AB ＜19评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。

【例2】如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝450，∠ACB ＝610，延长BC 至E ，使CE ＝AC ，延长CB 至D ，使DB ＝AB ，求∠DAE 的度数。

分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D ＋∠E 的度数，即可求得∠DAE 的度数。

略解：∵AB ＝DB ，AC ＝CE∴∠D ＝21∠ABC ，∠E ＝21∠ACB ∴∠D ＋∠E ＝21（∠ABC ＋∠ACB ）＝530∴∠DAE ＝1800－（∠D ＋∠E ）＝1270探索与创新：【问题一】如图，已知点A 在直线l 外，点B 、C 在直线l 上。

（1）点P 是△ABC 内任一点，求证：∠P ＞∠A ；（2）试判断在△ABC 外，又和点A 在直线l 的同侧，是否存在一点Q ，使∠BQC ＞∠A ，并证明你的结论。

nm•ll问题一图CBACBA分析与结论：（1）连结AP ，易证明∠P ＞∠A ；（2）存在，怎样的角与∠A 相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造△ABC 的外接⊙O ，易知弦BC 所对且顶点在弧A m B ，和弧A n C 上的圆周角都与∠A 相等，因此点Q 应在弓形A m B 和A n C 内，利用圆的有关性质易证明（证明略）。

2023年中考数学真题汇编几何综合压轴问题专项练习(共40题)(解析版)

几何综合压轴问题专项练习答案（40题）(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周，请直接写出点M ，N 距离的最大值和最小值；(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒（如图2），求MN 【答案】(1)最大值为3，最小值为1(2)7【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出,CM CN 解；（2）过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点P ，根据旋转的性质求得进而可得1CP =，勾股定理解Rt ,Rt NCP MCP ，即可求解．【详解】（1）解：依题意，112CM DE ==，12CN AB =当M 在NC 的延长线上时，,M N 的距离最大，最大值为（2）解：如图所示，过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点∵CDE 绕顶点C 逆时针旋转∴120BCE ∠=︒，∵45BCN ECM ∠=∠=︒，∴MCN BCM ECM ∠=∠-∠=∴60NCP ∠=︒，∴30CNP ∠=︒，∴112CP CN ==，在Rt CNP 中，2NP NC =-在Rt MNP △中，MP MC CP =+∴2234MN NP MP =+=+【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含(1)如图1，求证：DE BF =；(2)如图2，若2AD BF =，的延长线恰好经过DE 的中点【答案】(1)见解析(2)22BE =+△∵点G 是DE 的中点，∴GH 是FCD 的中位线，∴11122GH CD AD ===，设BE a =，则CH EH ==(1)如图1，求AB边上的高CH的长．''．(2)P是边AB上的一动点，点,C D同时绕点P按逆时针方向旋转90︒得点,C D①如图2，当点C'落在射线CA上时，求BP的长．△是直角三角形时，求BP的长．②当AC D''∴90C PQ PC Q '∠+∠='︒∵90C PQ CPH ∠+∠='︒∴PC Q CPH ∠=∠'．由旋转知PC PC '=，设C D ''与射线BA 的交点为作CH AB ⊥于点H ．∵PC PC ⊥'，∴90CPH TPC ∠'+∠=︒，∵C D AT ''⊥，∴90PC T TPC ∠'+∠='︒，【答案】（1）①见解析；②AD DF BD =+，理由见解析；【分析】（1）①证明：ABE CBD ∠=∠，再证明ABE ≅△可得DF DC =．证明AE DF =，从而可得结论；（2）如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，得90BED ∠=︒，证明2DE BD =，证明2AB BC =，ABE CBD ∠=∠，可得②AD DF BD=+．理由如下：∵DF和DC关于AD对称，=．∴DF DC=，∵AE CD∴AE DF=．∴AD AE DE DF BD=+=+∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =，ADF ADC ∠=∠．∵CD BD ⊥，∴45ADF ADC ∠=∠=︒，∴45EBD ∠=︒．∴2DE BD =．∵AB AC AF ==，∴()11222HF BF BD DF ==-=，222262210BC BD CD =+=+=∴2221022AF AC BC ===⨯=25HF (2)知识应用：如图2Y是菱形；①求证：ABCD②延长BC至点E，连接OE交【答案】(1)见解析5∴1BG BO GC OD==，∴115222CG BC AD ===，∴552OF GC ．处从由60PC P C PCP ''=∠=︒，，可知PCP '△为①三角形，故PP PC '=，又P A PA ''=，故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥，由②可知，当B ，P ，P '，A 在同一条直线上时，PA PB PC ++取最小值，如图2，最小值为(3)如图5，设村庄A ，B ，C 的连线构成一个三角形，且已知4km 23km AC BC ==，，建一中转站P 沿直线向A ，B ，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A ，B ，C 元/km ，a 元/km ，2a 元/km ，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________用含的式子表示）∵ACP A CP ''∠=∠，∴ACP BCP A CP BCP ∠+∠=∠+∠''又∵60PCP '∠=︒过点A '作A H BC '⊥，垂足为H ，∵60ACB ∠=︒，90ACA '∠=︒，∴30A CH '∠=︒，1猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=，①求证：PD PB =；②将线段DP 绕点P 逆时针旋转，化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ 与OP 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②不变化，（2）AQ CP =，理由见解析【分析】（1）①根据正方形的性质证明②作,PM AB PN AD ⊥⊥，垂足分别为点∵四边形ABCD 是正方形，∴45DAC BAC ∠=∠=︒，∴四边形AMPN 是矩形，∴90MPN ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BAC ∠=︒，90AOB ∠=∴45AEP ∠=︒，四边形OPEF=作PM AB⊥于点M，则QM MB=，∴QA BE=．∴AQ CP（1）求BCF ∠的度数；（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE ，CF 满足0360α︒<<︒，点,,C E F 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．【答案】初步尝试：（1）1MN AC =；MN AC ∥；（2）特例研讨：（1）30BCF ∠=︒；（2）CD∵MN 是BAC 的中位线，∴MN AC ∥，∴90BMN BAC ∠=∠=︒∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α∴,BE BM BF BN ==；BEF ∠=∵点,,A E F 在同一直线上时，2∵,ADN BDE ANB BED ∠=∠∠=∠∴ADN BDE ∽,∴2222DN AN DE BE ===,设DE x =，则2DN x =，在Rt ABE △中，2,2BE AE ==在Rt ADN △中，22AD DN AN =+∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC θ∠=︒-，∵MN 是ABC 的中位线，∴MN AC∥∴MNB MBN θ∠=∠=，∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，∴EBF MBN ≌，MBE NBF α∠=∠=，∴EBF EFB θ∠=∠=∴1802BEF θ∠=︒-，∵点,,C E F 在同一直线上，∴2BEC θ∠=∴180BEC BAC ∠+∠=︒，∴,,,A B E C 在同一个圆上，∴EAC EBC αθ∠=∠=-∴()()1802BAE BAC EAC θαθ∠=∠-∠=︒---180αθ=︒--∵ABF αθ∠=+，∴180BAE ABF ∠∠=+︒；如图所示，当F 在EC 上时，∵,BEF BAC BC BC∠=∠=∴,,,A B E C 在同一个圆上，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，设NBF β∠=，则EBM β∠=，则360αβ+=︒，∴ABF θβ∠=-，∵BFE EBF θ∠=∠=,EFB FBC FCB∠=∠+∠∴ECB FCB EFB FBC θβ∠=∠=∠-∠=-，∵ EBEB =∴EAB ECB θβ∠=∠=-∴BAE ∠ABF=∠综上所述，BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形，90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒==，连接AD ，BE ，探究AD ，BE 的位置关系．(1)如图1，当1m =时，直接写出AD ，BE 的位置关系：____________；(2)如图2，当1m ≠时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当3,47,4m AB DE ===时，将CDE 绕点C 旋转，使,,A D E 三点恰好在同一直线上，求（2）解：成立；理由如下：∵90DCE ACB ∠=∠=︒，∴DCA ACE ACE ∠+∠=∠+（3）解：当点E 在线段AD设AD y =，则AE AD DE =+根据解析（2）可知，DCA △∴3BE BC m AD AC===，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．(1)若点P 在AB 上，求证：A P AP '=；(2)如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数，并直接写出当180n =时，x 的值；②若点P 到BD 的距离为2，求tan A MP '∠的值；∵PM 平分A MA '∠∴90PMA ∠=︒∴PM AB∥∴DNM DBA V V ∽∴DN DM MN DB DA BA ==∵8,6,90AB DA A ==∠=︒，∴2226BD AB AD =+=+∴2103sin 3BQ BP DBA ===∠，∵90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒，∴90QPB PBQ DBA ∠=︒-∠=∠，∵A MP AMP ' ≌，∴90PA M A '∠=∠=︒，（2）如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B '处，若24,6BC CE AB ⋅==，求BE 的值；（3）如图③，在ABC 中，45,BAC AD BC ∠=︒⊥，垂足为点,10,D AD AE ==于点F ，连接DF ，且满足2DFE DAC ∠=∠，直接写出53BD EF +的值．∵EF BC ∥，∴2CDF DFE ∠=∠=∴CDH FDH ∠=∠，又∵DH DH =，CHD ∠∴(ASA CHD FHD ≌【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．13．（2023·湖南郴州·=，连接点E，使CE AD(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设4AB=，若AEB DEB∠=∠，求四边形BDFC的面积．【答案】(1)1CF BD=，理由见解析∴60,ADG ABC AGD ∠=∠=︒∠=∠∴ADG △为等边三角形，∴AD AG DG ==，∵AD CE =，AD AB AG AC -=-∴DG CE =，BD CG =，于点由①知：ADG △为等边三角形，∵ABC 为等边三角形，∴4,AB AC BC BH CH =====∴2223AH AB BH =-=，(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当90FEC ∠=︒时，求证：AEF DCE ∽△△；②如图2，当2tan 3FCE ∠=时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当1,sin 3GE DE FCE =∠=时，求证：，可得结论；正方形ABCD 中，①ADC BAD ∠=∠ ∴AEF CED ∠+∠=AEF ECD ∴∠=∠，延长DA ，CF 交于点G ，作GH CE ⊥，垂足为H ，90EDC EHG ∠=∠=︒ 且∠问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90α=︒时，直接写出GCF ∠的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120α=︒时，若12DG CG =，求BE CE 的值．故答案为：45︒．（2）解：在AB上截取ANABC BAE AEB∠+∠+∠=∠=∠，ABC AEF22⎝⎭（3）解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．16．（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为∠=∠=︒∠=∠．将ABCACB DEF A D90,和DFE△(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的DBE绕点B逆时针方向旋转，使点问题．∠①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE②“智慧小组”提出问题：如图AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】(1)正方形，见解析(2)①AM BE=，见解析；【分析】（1）先证明四边形形；∠（2）①由已知ABE【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形E ，连接AE ，直线AE 交直线(1)如图1，若25CDP ∠=︒，则DAF ∠=___________(2)如图1，请探究线段CD ，EF ，AF 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP 绕点D 转动的过程中，设AF a =，EF 【答案】(1)20︒。

2020年中考数学试题汇编及解析动态几何型综合题试卷(人教新课标初三下)

2020年中考数学试题汇编及解析动态几何型综合题试卷（人教新课标初三下）纵观近5年全国各地的中考数学试卷，动态几何型综合题常常显现在一张试卷的压轴题位置，估量这一趋势在今后几年的中考中会越来越明显，这类试题往往综合性较强，往往涉及到函数、直线型、圆等初中数学的重点考察对象中的好几个，应加大训练的力度。

1、〔2006山东青岛〕如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和EFG 叠放在一起〔点A 与点E 重合〕，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∠C ＝90°，EG ＝4cm ，∠EGF ＝90°，O 是△EFG 斜边上的中点．如图②，假设整个△EFG 从图①的位置动身，以1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移，在△EFG 平移的同时，点P 从△EFG 的顶点G 动身，以1cm/s 的速度在直角边GF 上向点F 运动，当点P 到达点F 时，点P 停止运动，△EFG 也随之停止平移．设运动时刻为x 〔s 〕，FG的延长线交 AC 于H ，四边形OAHP 的面积为y 〔cm 2)〔不考虑点P 与G 、F 重合的情形〕．〔1〕当x 为何值时，OP ∥AC ?〔2〕求y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范畴．〔3〕是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24？假设存在，求出x 的值；假设不存在，讲明理由．〔参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162＝13456或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62＝21.16〕[解析] 〔1〕∵Rt △EFG ∽Rt △ABC ，∴BC FG AC EG =，684FG=． ∴FG ＝864⨯＝3cm ．∵当P 为FG 的中点时，OP ∥EG ，EG ∥AC ， ∴OP ∥AC ．∴ x ＝121FG＝21×3＝1.5〔s 〕．∴当x 为1.5s 时，OP ∥AC ．〔2〕在Rt △EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm ． ∵EG ∥AH ，∴△EFG ∽△AFH ． ∴FHFGAF EF AH EG ==．∴FHx AH 3554=+=． ∴ AH ＝54〔 x ＋5〕，FH ＝53〔x ＋5〕．过点O 作OD ⊥FP ，垂足为 D ．∵点O 为EF 中点， ∴OD ＝21EG ＝2cm ． ∵FP ＝3－x ，∴S 四边形OAHP ＝S △AFH －S △OFP＝21·AH ·FH －21·OD ·FP ＝21·54〔x ＋5〕·53〔x ＋5〕－21×2×〔3－x 〕＝256x 2＋517x ＋3 〔0＜x ＜3）．〔3〕假设存在某一时刻x ，使得四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24．那么S 四边形OAHP ＝2413×S △ABC ∴256x 2＋517x ＋3＝2413×21×6×8 ∴6x 2＋85x －250＝0 解得 x 1＝25， x 2＝－350〔舍去〕． ∵0＜x ＜3， ∴当x ＝25〔s 〕时，四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24． 2、〔2006河北〕如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 动身沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 动身沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分不从点A ，C 同时动身，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时刻为t 〔秒〕．〔1〕设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式；〔2〕t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？〔3〕是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？假设存在，求出t 的值；假设不存在，请讲明理由；〔4〕通过观看、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？假设存在，请估量t 的值在括号中的哪个时刻段内〔0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4〕；假设不存在，请简要讲明理由．[解析] 〔1〕由题意知 CQ ＝4t ，PC ＝12－3t ， ∴S △PCQ =t t CQ PC 246212+-=⋅．∵△PCQ 与△PDQ 关于直线PQ 对称，∴y=2S △PCQ t t 48122+-=．APCQBD〔2〕当CQCP CA CB=时，有PQ ∥AB ，而AP 与BQ 不平行，这时四边形PQBA 是梯形， ∵CA =12，CB =16，CQ ＝4t ， CP ＝12－3t ，∴ 16412312tt =-，解得t ＝2．∴当t ＝2秒时，四边形PQBA 是梯形．〔3〕设存在时刻t ，使得PD ∥AB ，延长PD 交BC 于点M ，如以下图，假设PD ∥AB ，那么∠QMD =∠B ，又∵∠QDM =∠C =90°，∴Rt △QMD ∽Rt △ABC ，从而ACQD AB QM =， ∵QD =CQ =4t ，AC ＝12，AB =221216+=20，∴QM =203t ．假设PD ∥AB ，那么CP CMCA CB=，得20412331216t t t +-=，解得t ＝1211． ∴当t ＝1211秒时，PD ∥AB ．〔4〕存在时刻t ，使得PD ⊥AB ．时刻段为：2＜t ≤3．3、〔2006重庆〕如图1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成11AC D ∆和22BC D ∆两个三角形〔如图2所示〕.将纸片11AC D ∆沿直线2D B 〔AB 〕方向平移〔点12,,,A D D B 始终在同一直线上〕，当点1D 于点B 重合时，停止平移.在平移过程中，11C D 与2BC 交于点E,1AC 与222C D BC 、分不交于点F 、P. (1) 当11AC D ∆平移到如图3所示的位置时，猜想图中的1D E 与2D F 的数量关系，并证明你的猜想；(2) 设平移距离21D D 为x ，11AC D ∆与22BC D ∆重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范畴；〔3〕关于〔2〕中的结论是否存在如此的x 的值，使重叠部分的面积等于原ABC ∆面积的14. 假设存在，求x 的值；假设不存在，请讲明理由.AP CQBDM[解析] 〔1〕12D E D F =.因为1122C D C D ∥，因此12C AFD ∠=∠. 又因为90ACB ∠=︒，CD 是斜边上的中线，因此，DC DA DB ==，即112221C D C D BD AD === 因此，1C A ∠=∠，因此2AFD A ∠=∠ 因此，22AD D F =.同理：11BD D E =.又因为12AD BD =，因此21AD BD =.因此12D E D F =〔2〕因为在Rt ABC ∆中，8,6AC BC ==，因此由勾股定理，得10.AB = 即1211225AD BD C D C D ====又因为21D D x =，因此11225D E BD D F AD x ====-.因此21C F C E x ==在22BC D ∆中，2C 到2BD 的距离确实是ABC ∆的AB 边上的高，为245. 设1BED ∆的1BD 边上的高为h ，由探究，得221BC D BED ∆∆∽，因此52455h x-=. 因此24(5)25x h -=.121112(5)225BED S BD h x ∆=⨯⨯=-又因为1290C C ∠+∠=︒，因此290FPC ∠=︒.又因为2C B ∠=∠，43sin ,cos 55B B ==. 因此234,55PC x PF x == ，22216225FC P S PC PF x ∆=⨯=而2212221126(5)22525BC D BED FC P ABC y S S S S x x ∆∆∆∆=--=--- 因此21824(05)255y x x x =-+≤≤CB D A 图 1PE FAD 1BC 1D 2C 2图3C 2D 2C 1BD 1A图2(3) 存在. 当14ABC y S ∆=时，即218246255x x -+= 整理，得2320250.x x -+=解得，125,53x x ==.即当53x =或5x =时，重叠部分的面积等于原ABC ∆面积的14.4、〔2006山东济南〕如图1，以矩形OABC 的两边OA 和OC 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，A 点的坐标为(3)C ，0，点的坐标为(04)，．将矩形OABC 绕O 点逆时针旋转，使B 点落在y 轴的正半轴上，旋转后的矩形为11111OA B C BC A B ，，相交于点M ．〔1〕求点1B 的坐标与线段1B C 的长；〔2〕将图1中的矩形111OA B C 沿y 轴向上平移，如图2，矩形222PA B C 是平移过程中的某一位置，22BC A B ，相交于点1M ，点P 运动到C 点停止．设点P 运动的距离为x ，矩形222PA B C 与原矩形OABC 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范畴；〔3〕如图3，当点P 运动到点C 时，平移后的矩形为333PA B C ．请你摸索如何通过图形变换使矩形333PA B C 与原矩形OABC 重合，请简述你的做法．[解析]〔1〕如图1，因为221345OB OB ==+=，因此点1B 的坐标为(05)，． 11541B C OB OC =-=-=．〔2〕在矩形111OA B C 沿y 轴向上平移到P 点与C 点重合的过程中，点1A 运动到矩形OABCＡＯＣＢＭＡＯＣＢ1MＡＯＢ1B 1C 1Axy xyxy2B2CP2AＣ(Ｐ)3C3B3A图1图2图3的边BC 上时，求得P 点移动的距离115x =．当自变量x 的取值范畴为1105x <≤时，如图2，由2122B CM B A P △∽△，得1334x CM +=，现在，2221113334(1)224B A P B CM xy S S x +=-=⨯⨯-⨯+△△．即23(1)68y x =-++〔或23345848y x x =--+〕．当自变量x 的取值范畴为1145x ≤≤时，求得122(4)3PCM y S x '==-△〔或221632333y x x =-+〕．〔3〕部分参考答案：①把矩形333PA B C 沿3BPA ∠的角平分线所在直线对折．②把矩形333PA B C 绕C 点顺时针旋转，使点3A 与点B 重合，再沿y 轴向下平移4个单位长度．③把矩形333PA B C 绕C 点顺时针旋转，使点3A 与点B 重合，再沿BC 所在的直线对折． ④把矩形333PA B C 沿y 轴向下平移4个单位长度，再绕O 点顺时针旋转，使点3A 与点A 重合．5、〔2006山东济南〕如图1，Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．〔1〕求PA 的长；〔2〕以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判定BE 与⊙A 是否相切，并讲明理由；〔3〕如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．假设r 和R 的大小是可变化的，同时在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范畴．[解析]A BCP E EABCPＤ图1图2〔1〕在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==，，210AC BC ∴==． AE BC ∥，APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=，3101542PA ⨯==．〔2〕BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中，53AB =，15AE =，15tan 353AE ABE AB ∴∠===，60ABE ∴∠=．又30PAB ∠=，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，， BE ∴与⊙A 相切．〔3〕因为553AD AB ==，，因此r 的变化范畴为553r <<．当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，因此R 的变化范畴为10535R -<<；当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，因此R 的变化范畴为151053R <<+． 6、〔2006浙江金华〕如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分不交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式; (2)假设S 梯形OBCD ＝433,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.假设存在,要求出所有符合条件的点P 的坐标;假设不存在,请讲明理由.[解析] 〔1〕直线AB 解析式为：y=33-x+3．〔2〕方法一：设点Ｃ坐标为〔x ，33-x+3〕，那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ．由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x 〔舍去〕∴ Ｃ〔２，33〕方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ．由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD ×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD=１，OD ＝２．∴C 〔２，33〕．〔３〕当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①假设△BOP ∽△OBA ，那么∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P 〔3，33〕． ②假设△BPO ∽△OBA ，那么∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1． ∴2P 〔1，3〕．当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，现在△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一：在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23．∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°， ∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P 〔43，433〕．方法二：设Ｐ〔x ，33-x+3〕，得OM ＝x ，PM ＝33-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．∵tan ∠POM==OMPM =x x 333+-，tan ∠ABOC=OBOA =3．图14-7E C B AD FG HM QN OP∴33x+3＝3x ，解得x ＝43．现在，3P 〔43，433〕． ④假设△POB ∽△OBA(如图)，那么∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°． ∴ PM ＝33OM ＝43． ∴ 4P 〔43，43〕〔由对称性也可得到点4P 的坐标〕．7、〔2006河北课改〕图14－1至图14－7的正方形霓虹灯广告牌ABCD 差不多上20×20的等距网格〔每个小方格的边长均为1个单位长〕，其对称中心为点O ．如图14－1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH 的对称中心也是点O ，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大〔即点O 不动，正方形EFGH 通过一秒由6×6扩大为8×8；再通过一秒，由8×8扩大为10×10；……〕，直到充满正方形ABCD ，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ 从如图14－1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD 的内侧边缘按A →B →C →D →A 移动〔即正方形MNPQ 从点P 与点A 重合位置开始，先向左平移，当点Q 与点B 重合时，再向上平移，当点M 与点C 重合时，再向右平移，当点N 与点D 重合时，再向下平移，到达起始位置后仍连续按上述方式移动〕．正方形EFGH 和正方形MNPQ 从如图14－1的位置同时开始运动，设运动时刻为x 秒，它们的重叠部分面积为y 个平方单位．〔1〕请你在图14－2和图14－3中分不画出x 为2秒、18秒时，正方形EFGH 和正方形MNPQ 的位置及重叠部分〔重叠部分用阴影表示〕，并分不写出重叠部分的面积；〔2〕①如图14－4，当1≤x ≤3.5时，求y 与x 的函数关系式；②如图14－5，当3.5≤x ≤7时，求y 与x 的函数关系式； ③如图14－6，当7≤x ≤10.5时，求y 与x 的函数关系式； ④如图14－7，当10.5≤x ≤13时，求y 与x 的函数关系式．〔3〕关于正方形MNPQ 在正方形ABCD 各边上移动一周的过程，请你依照重叠部分面积y 的变化情形，指出y 取得最大值和最小值时，相对应的x 的取值情形，并指出最大值和最小值分不是多少．图14-6 E C BA D F G HM QN O P图14-2 图14-3 C B A D O C B A D O 图14-4 E C B ADF G HMQ N O P 图14-1 E C B A (P ) D FG H M QN O 图14-5E C BA D F G H M QN O P[解析]〔1〕相应的图形如图2-1，2-2．当x=2时，y=3；当x=18时，y=18．〔2〕①当1≤x ≤3.5时，如图2-3，延长MN 交AD 于K ，设MN 与HG 交于S ，MQ 与FG 交于T ，那么MK =6＋x ，SK =TQ =7－x ，从而MS =MK －SK =2x －1，MT =MQ －TQ =6－〔7－x 〕= x －1．∴y=MT ·MS =〔x －1〕〔2x －1〕=2x 2－3x ＋1．②当3.5≤x ≤7时，如图2-4，设FG 与MQ 交于T ，那么 TQ =7－x ，∴MT =MQ －TQ =6－〔7－x 〕=x －1． ∴y=MN ·MT =6〔x －1〕=6x －6．③当7≤x ≤10.5时，如图2-5，设FG 与MQ 交于T ，那么 TQ=x －7，∴MT =MQ －TQ =6－〔x －7〕=13－x ． ∴y = MN ·MT =6〔13－x 〕=78－6x ．④当10.5≤x ≤13时，如图2-6，设MN 与EF 交于S ，NP 交FG 于R ，延长NM 交BC 于K ，那么MK =14－x ，SK =RP =x －7，∴SM =SK －MK=2x －21，从而SN =MN －SM =27－2x ，NR =NP －RP =13－x ．∴y=NR ·SN =〔13－x 〕〔27－2x 〕=2x 2－53x ＋351．〔3〕关于正方形MNPQ ，①在AB 边上移动时，当0≤x ≤1及13≤x ≤14时，y 取得最小值0；当x =7时，y 取得最大值36．②在BC 边上移动时，当14≤x ≤15及27≤x ≤28时，y 取得最小值0；当x =21时，y 取得最大值36．③在CD 边上移动时，当28≤x ≤29及41≤x ≤42时，y 取得最小值0；当x =35时，y 取得最大值36．④在DA 边上移动时，当42≤x ≤43及55≤x ≤56时，y 取得最小值0；当x =49时，y 取得最大值36．图2-4 E C B A D F G H Q N O P T 图2-5 E C B A D F GH M Q N O P T 图2-6 E C B A DF G HK Q N O P R S 图2-3ECBADFGHMQN OPKS T图2-2ECBAD FGHM QNOP图2-1 ECBA DQOP。

2020-2021初中数学几何图形初步真题汇编含解析

2020-2021初中数学几何图形初步真题汇编含解析一、选择题1．如图将两块三角板的直角顶点重叠在一起，DOB ∠与DOA ∠的比是2:11，则BOC ∠的度数为（）A ．45︒B ．60︒C ．70︒D ．40︒【答案】C【解析】【分析】设∠DOB=2x ，则∠DOA=11x ，可推导得到∠AOB=9x=90°，从而得到角度大小【详解】∵∠DOB 与∠DOA 的比是2:11∴设∠DOB=2x ，则∠DOA=11x∴∠AOB=9x∵∠AOB=90°∴x=10°∴∠BOD=20°∴∠COB=70°故选：C【点睛】本题考查角度的推导，解题关键是引入方程思想，将角度推导转化为计算的过程，以便简化推导2．∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3=125°，则∠2=（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°【答案】A【解析】【分析】【详解】解：根据题意得：∠1+∠3=180°，∠3=125°，则∠1=55°，∵∠1+∠2=90°，则∠2=35° 故选：A ．【点睛】本题考查余角、补角的计算．3．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm ，宽留出1,cm 则该六棱柱的侧面积是（）A ．210824(3) cm -B ．()2108123cm -C ．()254243cm -D ．()254123cm -【答案】A【解析】【分析】设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽，由题意列出方程求出a ＝2，h ＝9−23，再根据六棱柱的侧面积是6ah 求解．【详解】解：设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，如图，正六边形边长AB ＝acm 时，由正六边形的性质可知∠BAD ＝30°，∴BD ＝12a cm ，AD ＝32a cm ， ∴AC ＝2AD ＝3a cm ，∴挪动前所在矩形的长为（2h ＋3a ）cm ，宽为（4a ＋12a ）cm ，挪动后所在矩形的长为（h ＋2a 3a ）cm ，宽为4acm ，由题意得：（2h ＋3）−（h ＋2a 3a ）＝5，（4a ＋12a ）−4a ＝1， ∴a ＝2，h ＝9−23∴该六棱柱的侧面积是6ah ＝6×2×（9−232108(3) cm -；故选：A ．【点睛】本题考查了几何体的展开图，正六棱柱的性质，含30度角的直角三角形的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键．4．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（）A ．90°B ．75°C ．105°D ．120°【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质可得30E BCE ==︒∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数．【详解】∵//BC DE∴30E BCE ==︒∠∠∴453075AFC B BCE =+=︒+︒=︒∠∠∠故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键．5．如图，直线a ∥b ，点B 在直线b 上，且AB ⊥BC ，∠1=55°，那么∠2的度数是（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．50°【答案】C【解析】【分析】由垂线的性质可得∠ABC=90°，所以∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°，再由平行线的性质可得到∠2的度数.【详解】解：由垂线的性质可得∠ABC=90°，所以∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°，又∵a∥b，所以∠2=∠3=35°．故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质.6．如图，将矩形纸片沿EF折叠，点C在落线段AB上，∠AEC=32°，则∠BFD等于（）A．28°B．32°C．34°D．36°【答案】B【解析】【分析】根据折叠的性质和矩形的性质，结合余角的性质推导出结果即可.【详解】解：如图，设CD和BF交于点O，由于矩形折叠，∴∠D=∠B=∠A=∠ECD=90°，∠ACE+∠BCO=90°，∠BCO+∠BOC=90°，∵∠AEC=32°，∴∠ACE=90°-32°=58°，∴∠BCO=90°-∠ACE=32°，∴∠BOC=90°-32°=58°=∠DOF，∴∠BFD=90°-58°=32°.故选B.【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形的性质和余角的性质，解题的关键是掌握折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应角相等．7．如图，O是直线AB上一点，OC平分∠DOB,∠COD=55°45′,则∠AOD=（）A．68°30′B．69°30′C．68°38′D．69°38′【答案】A【解析】【分析】先根据平分，求出∠COB，再利用互补求∠AOD【详解】∵OC平分∠DOB，∠COD=55°45′∴∠COB=55°45′，∠DOB=55°45′+55°45′=111°30′∴∠AOD=180－111°30′=68°30′故选：A【点睛】本题考查角度的简单推理，计算过程中，设计到了分这个单位，需要注意，分与度的进率是608．一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（）A．中B．考C．顺D．利【答案】C【解析】试题解析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“祝”与“考”是相对面，“你”与“顺”是相对面，“中”与“立”是相对面．故选C ．考点：正方体展开图.9．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据三视图可判断这个几何体的形状；再由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：根据三视图可判断这个几何体是圆柱；D 选项平面图一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．A 选项平面图折叠后是一个圆锥；B 选项平面图折叠后是一个正方体；C 选项平面图折叠后是一个三棱柱.故选：D.【点睛】本题考查由三视图判断几何体及展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．10．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的O e 经过点D ．若5BD =，3DC =，则AC 的长为（）A ．6B ．43C ．532-D ．8【答案】A【解析】【分析】过点D 作DE AB ⊥于E ，可证ADE ADC △△≌，所以AE AC =，3DE DC ==．又5BD =，利用勾股定理可求得4BE =．设AC AE x ==．因为90C ∠=︒，再利用勾股定理列式求解即可．【详解】解：过点D 作DE AB ⊥于E ，∵90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，∴ADE ADC △△≌，∴AE AC =，3DE DC ==．∵5BD =，∴4BE =，设AC AE x ==．因为90C ∠=︒，∴由勾股定理可得222BC AC AB +=，即2228(4)x x +=+，解得6x =，即6AC =．故选：A ．【点睛】本题主要考查圆的相关知识．掌握角平分线的性质以及熟练应用勾股定理是解此题的关键．11．如图，小强从A 处出发沿北偏东70°方向行走，走至B 处，又沿着北偏西30°方向行走至C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（）A ．左转 80°B ．右转80°C ．右转 100°D ．左转 100°【答案】C【解析】【分析】过C 点作CE ∥AB ，延长CB 与点D ，根据平行线的性质得出∠A+∠ABH=180°，∠ECB=∠ABC ，求出∠ABH=110°，∠ABC=80°，即可求出∠ECB=80°，得出答案即可．【详解】过C 点作CE ∥AB ，延长CB 与点D ，如图∵根据题意可知：AF ∥BH,AB ∥CE ，∴∠A+∠ABH=180°，∠ECB=∠ABC ，∵根据题意可知：∠FAB=70°,∠HBC=30°，∴∠ABH=180°−70°=110°,∠ABC=110°−30°=80°，∴∠ECB=80°，∴∠DCE=180°−80°=100°，即方向的调整应是右转100°.故答案选C.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的判定与性质.12．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果145∠=°，330∠=°时，那么2∠的度数是（）A ．15°B ．25°C ．30°D ．45°【答案】A【解析】【分析】根据∠2=∠BOD+EOC-∠BOE ，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD 和∠EOC 的度数从而求解．【详解】∵∠BOD=90°-∠3=90°-30°=60°，∠EOC=90°-∠1=90°-45°=45°，∵∠2=∠BOD+∠EOC-∠BOE ，∴∠2=60°+45°-90°=15°．故选：A ．【点睛】此题考查余角和补角，正确理解∠2=∠BOD+EOC-∠BOE 这一关系是解题的关键．13．如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4CD =，15AB =，则ABD △的面积是（）A ．15B ．30C ．45D ．60【答案】B【解析】【分析】作DE AB ⊥于E ，根据角平分线的性质得4DE DC ==，再根据三角形的面积公式求解即可．【详解】作DE AB ⊥于E由尺规作图可知，AD 是△ABC 的角平分线∵90C ∠=︒，DE AB ⊥∴4DE DC ==∴△ABD 的面积1302AB DE =⨯⨯= 故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键． 14．下列图形中，不是三棱柱的表面展开图的是（） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题．解：A 、B 、C 中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．D 围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故D 不能围成三棱柱．故选D ．15．如图，点C 是射线OA 上一点，过C 作CD ⊥OB ，垂足为D ，作CE ⊥OA ，垂足为C ，交OB 于点E ，给出下列结论：①∠1是∠DCE 的余角；②∠AOB ＝∠DCE ；③图中互余的角共有3对；④∠ACD ＝∠BEC ，其中正确结论有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】【分析】根据垂直定义可得BCA 90∠=o ，ADC BDC ACF 90∠∠∠===o ，然后再根据余角定义和补角定义进行分析即可．【详解】解：CE OA ⊥Q ，OCE 90o ∠∴=，ECD 190∠∠∴+=o ，1∠∴是ECD ∠的余角，故①正确；CD OB ⊥Q ，AOB COCE 90∠∠∴==o ，AOB OEC 90∠∠∴+=o ，DCE OEC 90∠∠+=o ，B BAC 90∠∠∴+=o ，1ACD 90∠∠+=o ，AOB DCE ∠∠∴=，故②正确；1AOB 1DCE DCE CED AOB CED 90∠∠∠∠∠∠∠∠+=+=+=+=o Q ， ∴图中互余的角共有4对，故③错误；ACD 90DCE ∠∠=+o Q ，BEC 90AOB ∠∠=+o ，AOB DCE ∠∠=Q ，ACD BEC ∠∠∴=，故④正确．正确的是①②④；故选B ．【点睛】考查了余角和补角，关键是掌握两角之和为90o 时，这两个角互余，两角之和为180o 时，这两个角互补．16．如图：点 C 是线段 AB 上的中点，点 D 在线段 CB 上，若AD=8，DB=3AD 4，则CD 的长为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】【分析】根据线段成比例求出DB 的长度，即可得到AB 的长度，再根据中点平分线段的长度可得AC 的长度，根据CD AD AC =-即可求出CD 的长度．【详解】 ∵38,4AD DB AD ==∴6DB =∴14AB AD DB =+=∵点 C 是线段 AB 上的中点∴172AC AB == ∴1CD AD AC =-=故答案为：D ．【点睛】本题考查了线段的长度问题，掌握成比例线段的性质、中点平分线段的长度是解题的关键．17．如图，在平行四边形ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若60B ∠=o ，AB=3，则ADE ∆的周长为（）A ．12B ．15C ．18D ．2【答案】C【解析】【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC=2AB=6，AD=6，再根据△ADE 是等边三角形，即可得到△ADE 的周长为6×3=18．【详解】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE的周长为6×3=18，故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题关键在于注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．18．下列说法中正确的有（）（1）如果互余的两个角的度数之比为1：3，那么这两个角分别是45°和135°（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等（3）一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°（4）如果两个角的度数分别是73°42′与16°18′，那么这两个角互余．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【分析】根据余角和补角的定义依次判断即可求解．【详解】（1）由互余的两个角的和为90°可知（1）错误；（2）由同角的补角相等可知（2）错误；（3）设这个角为x，则其余角为（90°﹣x），补角为（18 0°﹣x），则（180°﹣x）﹣（90°﹣x）＝90°，由此可知（3）正确；（4）由73°42+16°18′＝90°可知（4）正确．综上，正确的结论为（3）（4），共2个.故选B．【点睛】本题考查了余角和补角的定义，熟练运用余角和补角的定义是解决问题的关键．19．如图，某河的同侧有A，B两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为BD km=，这两条小路相距5km．现要在河边建立一个抽水站，把水送到AC km=，32A，B两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（）A．距C点1km处B．距C点2km处C．距C点3km处D．CD的中点处【答案】B【解析】【分析】作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=，根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．再利用三角形相似即可解决问题.【详解】作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．根据PCE PDB ∆∆:，设PC x =，则5PD x =-，根据相似三角形的性质，得 PC CE PD BD =，即253x x =-，解得2x =．故供水站应建在距C 点2千米处．故选：B ．【点睛】本题为最短路径问题，作对称找出点P ，利用三角形相似是解题关键.20．下列图形不是正方体展开图的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据正方体展开的11种形式对各选项分析判断即可【详解】A 、B 、C 是正方体展开图，错误；D 折叠后，有2个正方形重合，不是展开图形，正确故选：D【点睛】本题是空间想象力的考查，解题关键是在脑海中折叠图形，看是否满足条件。

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几何综合东城区27. 已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD =AB ，过点C 作AD 的垂线，交 AD的延长线于点H ．（1）如图1，若60BAC ∠=︒①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．27. （1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；--------------------2分②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD=2可得DE =1，AE 3=. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1. ∴AC 31=.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH 33+； --------------4分（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC 证明：延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH . 易证△ACH ≌△AFH . ∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =， ∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7分西城区27．正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．（1）如图，当045α︒<<︒时， ①依题意补全图．②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明．（3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．CDBA图1备用图C DBAM【解析】（1）①补全的图形如图所示：NEMABD C②2NCE BAM ∠=∠．（2）1902MCE BAM ∠+∠=︒，连接CM ，NQMABDC EDAM DCM ∠=∠，DAQ ECQ ∠=∠，∴2NCE MCE DAQ ∠=∠=∠，∴12DCM NCE ∠=∠，∵BAM BCM ∠=∠，90BCM DCM ∠+∠=︒，∴1902NCE BAM ∠+∠=︒．（3）∵90CEA ∠=︒， ∴点E 在以AC 为直径的圆上，E∴max 1EF FO r =+=+ 海淀区27点（（27．.解：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=o，∴30OPE ∠=o.∴30DPA OPE ∠=∠=o.∴120EPD ∠=o. ……………1分 ∵DP PE =,6DP PE +=, ∴30PDE ∠=o ,3PD PE ==.∴cos30DF PD =⋅︒=∴2DE DF ==分（2）当M 点在射线OA上且满足OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下： ………………4分当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =. ∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠, ∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPMDPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △. ∴MKMD =. ………………5分作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N .∵60MO MOL =∠=o， ∴sin 603ML MO =⋅=o. ………………6分∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ， ∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MKME =.∴ME MK MD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立. ……………7分丰台区27．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE = α，点B 关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N.（1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA的度数；（3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．A BCE27．解：（1）如图；…………………1分（2）45°；…………………2分（3）结论：AM CN．…………………3分证明：作AG⊥EC的延长线于点G．∵点B与点D关于CE对称，∴CE是BD的垂直平分线．∴CB=CD．∴∠1=∠2=α．∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD．∵∠4=90°，∴∠3=12（180°-∠ACD）=12（180°-90°-α-α）=45°-α．∴∠5=∠2+∠3=α+45°-α=45°．…………………5分∵∠4=90°，CE是BD的垂直平分线，∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°．∴∠6=∠7．∵AG⊥EC，∴∠G=90°=∠8．∴在△BCN 和△CAG 中， ∠8=∠G ， ∠7=∠6，BC =CA ，∴△BCN ≌△CAG ．∴CN =AG ． ∵Rt△AMG 中，∠G =90°，∠5=45°， ∴AM =2AG ．∴AM =2CN ． …………………7分（其他证法相应给分.）石景山区27．在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，点P 在射线AM 上，将线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BP ，DQ ．（1）依题意补全图1；（2）①连接DP ，若点P ，Q ，D 恰好在同一条直线上，求证：2222DP DQ AB +=； ②若点P ，Q ，C 恰好在同一条直线上，则BP 与AB 的数量关系为：．27．（1）补全图形如图1. ………………… 1分（2）①证明：连接BD ，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， ∴AQ AP =，90QAP ∠=°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90DAB ∠=°． ∴12∠=∠．∴△ADQ ≌△ABP ． ………………… 3分 ∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ∆中，90Q QPA ∠+∠=°， ∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°． ∵在Rt BPD ∆中，222DP BP BD +=，又∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=． ………………… 5分 ②BP AB =． ………………… 7分证明：过点A 作AE⊥PQ 于E ，连接BE AC ∴AE 是△PAQ 的垂线∵三△PAQ 是等腰直角三角形（已证） ∴AE 是等腰直角三角形PAQ 的垂线，角平分线C图1∴∠AEP=90°，AE=PE∵正方形ABCD∴∠ABC=90°∠ACB=∠BAC=45°∠AEP+∠ABC=180°∴A ，B，C，E四点共圆∴∠AEB=∠ACB=45°，∠CEB=∠BAC=45°∴∠AEB=∠CEB=45°∵BE=BE∴△ABE≌△PBE (SAS)∴BP=AB朝阳区27. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G.（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．27.（1）补全的图形如图所示.……………………………………1分（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC= 30°. ……………………………………………2分 ∴∠AGC=30°.∴∠AFC =α+30°. …………………………3分（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=+.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.∴CA=CG. …………………………………………………5分 ∴HG =21AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ，∴△ACE ≌△GCF. ……………………………6分 ∴AE =FG .在Rt △HCG 中， .23cos CG CGH CG HG =∠⋅= ∴AG =3CG . …………………………………………7分即AF+AE =3CG . 燕山区27．如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．(1)由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是 (2)抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 (3)抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6. ①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出p y 的取值范围.若没有，请说明理由. ,备用图27.解：(1)MN 与AB 的关系是 MN ⊥AB ，MN=21AB…………………………………2′（2） m= 2 对应的碟宽是4…………………………………4′准蝶形AMBABM(3) ①由已知，抛物线必过（3，0），代入)0(3542>--=a a ax y 得，03549=--a a31=a∴抛物线的解析式是3312-=x y …………………………………5′ ② 由①知，3312-=x y 的对称轴上P （0，3），P （0，-3）时，∠APB 为直角， ∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P ，使得∠APB 为锐角，p y 的取值范围是33〉〈-p p y y 或…………………………………7′门头沟区27. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，2A α∠=，点D 是BC 的中点，DE AB E ⊥于点，DF AC F ⊥于点. （1）EDB ∠=_________°；（用含α的式子表示）（2）作射线DM 与边AB 交于点M ，射线DM 绕点D 顺时针旋转1802α︒-，与AC 边交于点N ． ①根据条件补全图形；②写出DM 与DN 的数量关系并证明；③用等式表示线段BM CN 、与BC 之间的数量关系，（用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路.27．（本小题满分7分）（1） EDB α∠= ……………………………………………1分（2）①补全图形正确 ……………………………………2分 ②数量关系：DM DN =…………………………………3分 ∵,AB AC BD DC == ∴DA 平分BAC ∠BB∵DE AB E⊥于点，DF AC F⊥于点∴DE DF=，MED NFD∠=∠……………………4分∵2Aα∠=∴1802EDFα∠=︒-∵1802MDNα∠=︒-∴MDE NDF∠=∠∴MDE NDF△≌△……………………5分∴DM DN=③数量关系：sinBM CN BCα+=⋅……………………6分证明思路：a.由MDE NDF△≌△可得EM FN=b. 由AB AC=可得B C∠=∠,进而通过BDE CDF△≌△,可得BE CF=进而得到2BE BM CN=+c.过BDERt△可得sinBEBDα=,最终得到sinBM CN BCα+=⋅……………7分大兴区27．如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，过点B作BG⊥C F于点G，连接AG．（1）求证：∠ABG=∠ACF；（2）用等式表示线段C G，AG，BG之间的等量关系，并证明．27.（1）证明∵∠CAB=90°.∵BG⊥CF于点G，∴∠BGF=∠CAB=90°.∵∠GFB=∠CFA. ………………………………………………1分∴∠ABG=∠ACF. ………………………………………………2分（2）CG =2AG +BG . …………………………………………………3分证明：在CG 上截取CH =BG ，连接AH ， …………………………4分 ∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠CAB =90°，AB =AC . ∵ ∠ABG =∠ACH .∴ △ABG ≌△ACH . …………………………………………………… 5分 ∴ AG =AH ,∠GAB =∠HAC . ∴ ∠GAH =90°.∴ 222AG AH GH +=.∴ GH =2AG . ………………………………………………………6分 ∴ CG =CH +GH =2AG +BG . ………………………………………7分平谷区27．在△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥BC 于点C ，交∠ABC 的平分线于点D ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，连接DF ．（1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC =90°时，①求证：BE=DE ；②写出判断DF 与AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）；（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF ，AE 的关系．27．解：（1）补全图1； (1)图1DE BCEDBC图2B（2）①延长AE ，交BC 于点H ． ······ 2 ∵AB=AC ， AE 平分∠BAC ，∴AH ⊥BC 于H ，BH=HC ．∵CD ⊥BC 于点C ， ∴EH ∥CD ．∴BE=DE ． (3)②延长FE ，交AB 于点G ．由AB=AC ，得∠ABC =∠ACB ．由EF ∥BC ，得∠AGF =∠AFG ．得AG=AF ．由等腰三角形三线合一得GE=E F ． ··· 4 由∠GEB =∠FED ，可证△BEG ≌△DEF ．可得∠ABE =∠FDE ． (5)从而可证得DF ∥AB ． ········ 6 （3）tan 2DF αAE ． ··········7怀柔区27.如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE ，连结EC. (1)依题意补全图形； (2)求∠ECD 的度数；(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60°交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．BBHFE DCB27.(1)如图 ECA………………………………………………1分(2) ∵线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE. ∴∠DAE=90°，AD=AE. ∴∠DAC+∠CAE =90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠DAC =90°.∴∠BAD=∠CAE . …………………………………………………………………………2分又∵AB=AC, ∴△ABD≌△ACE. ∴∠B=∠ACE.∵△ABC 中，∠A=90°，AB=AC, ∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°. ……………………………………………………………4分 (3)Ⅰ.连接DE,由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求DE=2；……………………5分 Ⅱ.由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°，可求∠EDC 的度数和∠CDF 的度数，从而可知DF 的长； …………………………………………………………………………………………………6分 Ⅲ.过点A 作AH ⊥DF 于点H ，在Rt△ADH 中, 由∠ADF=60°，AD=1可求AH 、DH 的长； Ⅳ. 由DF 、DH 的长可求HF 的长；Ⅴ. 在Rt△AHF 中, 由AH 和HF,利用勾股定理可求AF 的长．…………………………7分延庆区27．如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，连接FC ．（1）求证：∠FBC =∠CDF ．（2）作点C 关于直线DE 的对称点G ，连接CG ，FG ．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF ，BF ，CG 之间的数量关系并加以证明．27.（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB =90°． ∴∠CDF +∠E =90°． ∵BF ⊥DE ，∴∠FBC +∠E =90°． ∴∠FBC =∠CDF ．……2分（2）①……3分图1FDEC BA GFDBA②猜想：数量关系为：BF=DF+CG．证明：在BF上取点M使得BM=DF连接CM．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC．∵∠FBC=∠CDF，BM=DF，∴△BMC≌△DFC．∴CM=CF，∠1=∠2．∴△MCF是等腰直角三角形．∴∠MCF=90°，∠4=45°．……5分∵点C与点G关于直线DE对称，∴CF=GF，∠5=∠6．∵BF⊥DE，∠4=45°，∴∠5=45°，∴∠CFG=90°，∴∠CFG=∠MCF，∴CM∥GF．∵CM=CF，CF=GF，∴CM=GF，∴四边形CGFM是平行四边形，∴CG=MF．∴BF=DF+CG．……7分顺义区27. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，延长CB至点F，使BF=BE，过点F作FH⊥AE 于点H，射线FH分别交AB、CD于点M、N，交对角线AC于点P，连接AF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠FAC=∠APF；（3）判断线段FM与PN的数量关系，并加以证明．27．（1）补全图如图所示． ………………………………………………………… 1分（2）证明∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠BCA =45°，∠ABC =90°， ∴∠PAH =45°-∠BAE ． ∵FH ⊥AE ．∴∠APF =45°+∠BAE ． ∵BF=BE ，∴AF=AE ，∠BAF =∠BAE ． ∴∠FAC =45°+∠BAF ．∴∠FAC =∠APF ．…………………………… 4分（3）判断：FM =PN ． …………………………………… 5分证明：过B 作BQ ∥MN 交CD 于点Q ，∴MN =BQ ，BQ ⊥AE ． ∵正方形ABCD ，∴AB =BC ，∠ABC =∠BCD=90°． ∴∠BAE =∠CBQ ． ∴△ABE ≌△BCQ ． ∴AE =BQ ． ∴AE =MN ． ∵∠FAC =∠APF ， ∴AF =FP ． ∵AF=AE ， ∴AE =FP ． ∴FP =MN ．∴FM =PN ．…………………………………………………………… 8分。