2020届上海市七宝中学高三高考押题卷数学试题(教师版)

2020届七宝中学高三摄押题卷一、填空题1. 已知集合{}41,A x x k k Z ==±∈，{}2,B y y n n Z ==∈，则A B =________.【答案】Z 【解析】 【分析】分析出集合A 为奇数集，集合B 为偶数集，由此可计算得出A B .【详解】{}{}41,41,A x x k k Z x x k k Z ==+∈⋃=-∈{}(){}{}221,2211,21,x x k k Z x x k k Z x x m m Z ==⋅+∈⋃=⋅-+∈==+∈，则集合A 为奇数集，{}2,B y y n n Z ==∈为偶数集， 因此，Z AB =.故答案为：Z .【点睛】本题考查并集的计算，属于基础题.2. 已知圆225x y +=和点()2,1A -，则过点A 的圆的切线方程为._________ 【答案】250x y --= 【解析】 【分析】经分析不存在切线斜率不存在的情况，设出切线方程：()21y k x =--，根据相切时圆心到直线的距离为圆的半径求解出k 的值，即可写出切线方程. 【详解】设切线方程为：()21y k x =--，=2k =，所以切线方程为：()221y x =--，即250x y --=. 故答案为250x y --=.【点睛】本题考查根据直线与圆相切求解切线方程，难度一般.求解切线方程时，注意考虑切线的斜率是否存在：斜率不存在时，需单独分析；斜率存在时利用圆心到直线的距离等于半径求解.3. 满足()12log 24x x -+=的实数x =________.【答案】3 【解析】 【分析】本题可通过对数与指数的运算得出结果. 【详解】()12log 24x x -+=，1242x x -+=，1224x x --=，112224x x --⨯-=， 124x -=，解得3x =，故答案为：3.【点睛】本题考查对数与指数的相关运算，若log a b c =，则c a b =，考查计算能力，是简单题. 4. 已知复数13z i =-+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根，则::a b c =________.【答案】1:2:10 【解析】 【分析】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系，从而可得 ::a b c【详解】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，由韦达定理可得()()()13131313b i i a c i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ，整理得：210bac a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2b a =，10c a =，所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为：1:2:10【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根成对的原理，互为共轭复数，考查了韦达定理，属于基础题.5. 已知向量()1,2AB =，()4,2AC =-，则ABC 的面积为_____________ . 【答案】5 【解析】【分析】根据向量的坐标可得向量垂直，从而得到三角形为直角三角形，求出向量的模长，即可得答案；【详解】因为AB AC ==0AB AC ⋅=，所以90BAC ∠=︒，所以152ABCS==． 故答案为：5．【点睛】本题考查向量的模、数量积的坐标运算，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题. 6. 为了支持“新冠肺炎”的湖北抗疫工作，上海市某医院某科室拟从2名男性，3名女性医务人员中抽调两人前往湖北支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为________. 【答案】35【解析】 【分析】本题首先可以令2名男性分别为A 、B ，3名女性分别为a 、b 、c ，然后列出抽调两人的所有可能情况，再然后列出刚好为一男一女的所有可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果. 【详解】令2名男性分别为A 、B ，3名女性分别为a 、b 、c ，从中抽调两人的所有可能情况为：AB 、Aa 、Ab 、Ac 、Ba 、Bb 、Bc 、ab 、ac 、bc 共十种， 满足刚好为一男一女的所有可能情况：Aa 、Ab 、Ac 、Ba 、Bb 、Bc 共六种， 则抽调的两人刚好为一男一女的概率63105P ==， 故答案为：35. 【点睛】本题考查古典概型的相关概率计算，能否列出所有的可能情况以及满足限制条件的所有可能情况是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.7. 已知函数()2,021,0x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩的反函数是()1f x -，则()112f f --⎡⎤=⎣⎦________. 【答案】1- 【解析】 【分析】 先求出()1fx -，再计算1(2)f - ，即可得()112f f --⎡⎤⎣⎦的值.【详解】当0x <时()20,1x y =∈，可得2log x y =，即()12log f x x -=，()0,1x ∈，当0x ≥时，[)211,y x =+∈+∞，可得12y x -=，即11()2x f x --=，[)1,x ∈+∞， 所以函数()2,021,0x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩的反函数是()21log ,011,12x x f x x x -<<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，1211(2)22f --==， ()1112112log 122f f f ---⎛⎫⎛⎫⎡⎤===- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， 故答案为：1-【点睛】本题主要考查了求反函数解析式，以及求函数值，属于基础题.8. 已知O 是ABC 内部一点，20OA OB OC ++=，4BA BC ⋅=，且6ABC π∠=，则OAC 的面积为________.【答案】3【解析】 【分析】由20OA OB OC ++=可得()12BO OA OC =+，设D 为AC 中点，则()12OD OA OC =+，可得BO OD =，从而可得O 为BD 的中点，进而可得12AOC ABC S S =△△，由4BA BC ⋅=可得83BA BC ⋅=再由12||||sin ABC BA AB S BC C ⋅⋅=∠△即可求出. 【详解】在ABC 中，由20OA OB OC ++=可得()12BO OA OC =+， 设D 为AC 中点，则()12OD OA OC =+， BO OD ∴=，∴O 为BD 的中点，12AOCABCSS ∴=，4BA BC ⋅=，3cos 42BA BC BA BC ABC BA BC ∴⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=，833BA BC ∴⋅=， 1183123||||sin 22323ABCSBA BC ABC ∠∴=⋅⋅=⨯⨯=， 12332AOCS=⨯=. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查向量的线性运算，向量的数量积及三角形的面积公式，属于中档题.9. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；……依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶，设“宫”的频率为1，则“角”的频率为________. 【答案】8164【解析】 【分析】根据已知条件经过一次“损”频率变为原来的32，经过一次“益”，频率变为原来的34，依次损益交替变化求概率即可.【详解】由“宫”的频率为1，“宫”经过一次“损”得到“徵”的频率变为32， “徵”经过一次“益”，得到商的频率为339248⨯=， “商”经过一次“损”，得到“羽”的频率为93278216⨯=，“羽”经过一次“益”，得到“角”的频率为27381 16464⨯=，所以“角”的频率为8164，故答案为：8164【点睛】本题主要考查了数列与文化知识结合，关键是读懂题意求出概率，属于基础题.10. 过双曲线221168x y-=的左焦点1F作倾斜角为α的直线与y轴交于点A，与双曲线的右支位于第四象限的部分交于点B，若()112OA OB OF=+，则α=________.【答案】6arctanαπ=-【解析】【分析】由双曲线方程求得左焦点坐标，由直线的倾斜角可得直线的斜率，写出直线方程，得到直线在y轴上的截距，由向量等式可知A为1F B的中点，由中点坐标公式求得B点坐标，代入双曲线方程可得tanα，再由反三角函数求得角α值．【详解】如图，由双曲线221168x y-=，得1(26,0)F-，直线AB的斜率为tan(αα为钝角），直线方程为tan(6)y xα=+，取0x=，得6yα=，则(0,26)Aα，由11()2OA OB OF=+，可得A为1F B的中点，设(,)B x y，则260046xyα⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，(26B∴46)α．B 在双曲线上，∴224961168tan α-=，即tan 12α=-．α为钝角，απ∴=-．故答案为：απ=- 【点睛】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查向量的几何含义，中点坐标公式，考查运算求解能力，是中档题．11. 若0>ω，函数()f x 3sin 4cos 03x x x πωω⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[]4,5，则cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是________.【答案】74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】首先利用辅助角公式对()f x 化简，可得()()5sin f x x ωϕ=+，再利用()f x 的值域，可求出23ππωϕπϕ≤+≤-的范围，即得0223ππϕωπϕπ<-≤≤-<，再结合余弦函数的单调性，4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，即可求出cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围. 【详解】()34f 3sin 4cos =5sin cos 55x x x x x ωωωω⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()5sin x ωϕ=+，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=， 因为03x π≤≤，所以3x πϕωϕωϕ≤+≤+，令x t ωϕ+=，则5sin y t =的值域为[]4,5，可得sin y t =的值域为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦又因为4sin 5ϕ=，所以23ππωϕπϕ≤+≤-， 即0223ππϕωπϕπ<-≤≤-<，且cos y x =单调递减，因为4cos sin 25πϕϕ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，()221697cos 2cos 2sin cos 252525πϕϕϕϕ-=-=-=-=， 所以cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题主要考查了三角函数求值域，涉及了辅助角公式，二倍角公式，三角函数的单调性，属于中档题.12. 已知x R ∈，[]x 表示小于x 的最大整数，{}[]x x x =-，令{}{}M x 0x 100,1x =≤≤=，则M 中元素之和为________. 【答案】5050 【解析】 【分析】本题首先可根据题意确定集合{}0,1,2,3,4,,100M =，然后根据等差数列求和公式即可得出结果.【详解】因为{}[]x x x =-，0x 100≤≤，{}1x =， 所以集合{}0,1,2,3,4,,100M =，则M 中元素之和为010001210010150502， 故答案为：5050.【点睛】本题考查求集合中所有元素的和，能否确定集合中包含的元素是解决本题的关键，考查等差数列求和公式，考查推理能力与计算能力，是中档题.二、选择题13. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现相应的症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格:已知该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，若从上述1000名患者中抽取200人，得到如下联表.则表格中的位置分别应填入数字是（ ） A. ①35；②65；③45 B. ①45；②45；③45 C. ①65；②35；③45 D. ①70；②30；③45【答案】C 【解析】 【分析】计算出200人中潜伏期6≤天的人数，结合表格中的数据可计算出①②③处应填入的数字.【详解】由分层抽样可知，从上述1000名患者中抽取200人，其中潜伏期6≤天的人数为852053102001201000++⨯=，所以，①处应填的数字为1205565-=，②处应填的数字为1006535-=，③处应填的数字为1005545-=.故选：C.【点睛】本题考查分层抽样来进行计算，考查计算能力，属于基础题.14. 已知行列式102131x P y z =-，则“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C .充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用行列式展开法则推导出“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分条件，举反例说明“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”不是“0P =”的必要条件，由此能求出结果． 【详解】行列式102131x P y z =-，“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”，2355230P x z x y x y z k k k ∴=-+-+=-++=-++=， ∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分条件，当50P x y z =-++=时，有可能52y z x ==， ∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”不是“0P =”的必要条件，∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分不必要条件．故选：A ．【点睛】本题考查行列式以及充分条件、必要条件的概念，行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15. 已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A. []0,4 B. []0,2 C. []1,4D. []1,2【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围.【详解】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →最大，最大值为3；当P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2.故选：B .【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.16. 如图，已知函数()y f x =与y x =的图象有唯一交点()1,1，无穷数列{}()*n a n N∈满足点()1,n n n P a a +()*n N ∈均落在()y f x =的图象上，已知()13,0P ，()20,2P ，有下列两个命题：（1）lim 1n n a →∞=；（2）{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增；以下选项正确的是（ ）A. （1）是真命题，（2）是假命题B. 两个都是真命题C. （1）是假命题，（2）是真命题D. 两个都是假命题【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()y f x =的图象和()11f =可得出n a 的取值范围，再根据函数()y f x =的单调性判断{}21n a -和{}2n a 的单调性，结合数列各项的取值范围和单调性可得数列的极限值.【详解】()1n n a f a +=，当01n a <<时，由图象可知，112n a +<<；当13n a <<时，101n a +<<.13a =，20a =，32a =，401a ∴<<，512a <<，601a <<，712a <<，，因为函数()y f x =在区间()0,3上单调递减，因为5302a a <<=，()()53f a f a ∴>，即64a a >，()()64f a f a <，即75a a <，()()75f a f a >，即86a a >，，以此类推，可得1357a a a a >>>>，数列{}21n a -单调递减，2468a a a a <<<<，数列{}2n a 单调递增，命题（2）正确；当2n ≥时，2112n a -<≤，201n a <<，且数列{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增，所以，lim 1n n a →∞=，命题（1）正确. 故选：B.【点睛】本题考查数列单调性的判断以及数列极限的求解，考查推理能力，属于难题.三、解答题17. 如图，一智能扫地机器人在A 处发现位于它正西方向的B 处和北偏东6π方向上的C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B 的距离比到C 的距离少0.4米，于是选择沿A B C →→路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2米/秒，10秒钟完成了清扫任务（忽略机器人吸入垃圾及在B 处旋转所用时间）（1）B 、C 两处垃圾的距离是多少？（2）求智能扫地机器人此次清扫过程中旋转角的最小值？请指出旋转方向. 【答案】（1）1.4m （2）11cos 14arc π-，方向见解析. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理，结合a c +列方程组，解方程组求得BC .（2）利用余弦定理求得cos B 的值，由此求得旋转角的最小值，并判断出旋转方向. 【详解】（1）依题意可知2263A πππ∠=+=，设,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则 2222220.21020.40.42cos a c a c b c b c a b c bc A a b c bc +=⨯+=⎧⎧⎪⎪-=⇒-=⎨⎨⎪⎪=+-=++⎩⎩， 将2,0.4 2.4c a b c a =-=+=-代入222a b c bc =++化简得2 6.67.280a a -+=，即()()1.4 5.20a a --=，由于0.2102a <⨯=，所以()()1.4 5.20a a --=解得 1.4m a =. 且20.6m, 2.41m c a b a =-==-=.（2）由余弦定理得222 1.960.361 1.3211cos 22 1.40.6 1.6814a cb B ac +-+-====⨯⨯，由于23A π=，所以B 为锐角. 所以旋转角的最小值为11cos14arc π-，方向沿顺时针方向旋转. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于中档题.18. 将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个长度单位，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把()g x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的23（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象. （1）求ϕ的最小值和()h x 的解析式； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()h x 的单调递减区间. 【答案】（1）ϕ的最小值为6π，()2sin 33h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）5,182ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的图象变换可得出关于ϕ的表达式，进而可求得正数ϕ的最小值，再利用正弦型函数的伸缩变换可求得函数()y h x =的解析式；（2）求得函数()y h x =在R 上的单调递减区间，与区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦取交集可得出结果.【详解】（1）将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个长度单位， 可得到函数()()()2sin 22sin 22g x x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦的图象， 又()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()223k k Z πϕπ∴-=-+∈，可得()6k k Z πϕπ=-∈，0ϕ>，当0k =时，ϕ取最小值6π，将函数()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩小到原来的23（纵坐标不变）， 可得到函数()2sin 33h x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，因此，()2sin 33h x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）令()3232232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得()52112183183k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，函数()y h x =在R 上的单调递减区间为()52112,183183k k A k Z ππππ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 50,,2182A πππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.因此，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y h x =的单调递减区间为5,182ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的图象变换求参数与解析式，同时也考查了正弦型函数在区间上的单调区间的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19. 如图，四边形11ABB A 是圆柱1OO 的轴载面，4AB =，12OO =，以圆柱上底面为底面作高为2的圆锥1PO ，C 、1C 分别在AB 、11A B 上，2AOC π∠=，1113AO C π∠=.（1）求这个几何体的表面积和体积；（2）求二面角111O AC C --的余弦值. 【答案】（1）表面积为()1242π+，体积为323π；（2）31823--. 【解析】 【分析】（1）计算出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积、底面积公式可计算出几何体的表面积，结合柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积；（2）以点O 为坐标原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法可求得二面角111O AC C --的余弦值. 【详解】（1）由题意可知，圆柱的底面半径为22ABr ==， 因为1PO 为圆锥的高，且12PO =，所以，圆锥的母线长为221122PA PO r =+=，又12OO =，因此，该几何体的表面积为()22+2222221242S ππππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+.该几何体的体积为22132222233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=； （2）以点O 为坐标原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则点()10,0,2O ，()12,0,2A ，()13,2C ，()0,2,0C ，设平面11A CC 的一个法向量为(),,m x y z =，()113,0AC =-，()12,2,2AC =--，由11100m AC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得02220x x y z ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩，令x =1y =，1z =，所以，平面11A CC的一个法向量为(3,1,1m =，易知平面111O AC 的一个法向量为()0,0,1n =，(cos ,m n m n m n⋅<>===⋅，由图象可知，二面角111O AC C --【点睛】本题考查组合体的表面积与体积的计算，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）经过1,0A ，()0,B b 两点.O 为坐标原点，且AOB 的面积为4.过点()0,1P 且斜率为k （0k >）的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围.【答案】（Ⅰ）2221x y +=（Ⅱ）,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅲ）)2【解析】 【分析】（Ⅰ）把点A 坐标代入椭圆的方程得1a =.由AOB 可知，12ab =，解得b ，进而得椭圆C 的方程.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立直线l 与椭圆C 的方程可得关于x 的一元二次方程.>0∆，进而解得k 的取值范围.（Ⅲ）因为1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程，令0x =，解得111y y x -=-.点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.用坐标表示PS ，PT ，PQ ，代入PS PO λ=，PT PO μ=，得111111111y kx x x λ+=+=+--.同理22111kx x μ+=+-.由（Ⅱ）得122421kx x k +=-+，122121x x k =+，代入λμ+，化简再求取值范围.【详解】（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b+=经过点1,0A ，所以21a =解得1a =. 由AOB124ab =，解得b =所以椭圆C 的方程为2221x y +=.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立22211x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消y 整理可得：()2221410k x kx +++=.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以()22164210k k ∆=-+>，解得212k >. 因为0k >，所以k的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎝⎭.（Ⅲ）因为1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y . 所以直线AM 的方程是：()1111y y x x =--. 令0x =，解得111y y x -=-. 所以点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.所以110,11y PS x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，220,11y PT x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，()0,1PO =-. 由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：1111y x λ--=--，2211y x μ--=--， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--. 同理22111kx x μ+=+-. 由（Ⅱ）得122421kx x k +=-+，122121x x k =+， 所以()()()1212121212122121122111kx x k x x kx kx x x x x x x λμ+-+-+++=++=+---++ ()222214212212121412121k k k k k k k k ⎛⎫⋅+--- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭()22224422121421k k k k k k -+-+=++++()()2121k k -+=++)12221k k ⎛⎫=-+∈> ⎪ ⎪+⎝⎭所以λμ+的范围是)2.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21. 对于数列{}n a 、{}n b 、{}()*n d n N∈，若()()2211nn n n n n da b d a d ++-=对任意的*n N ∈恒成立，则称数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P .设121nkn k aa a a ==+++∑；（1）证明：数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的一个充分条件为：1n n n nn n a b d b a d +=⎧⎨=⎩；（2）若()*tan 3n n d n N π=∈，{}n a 、{}n b 、{}n d 满足（1）的充分条件，求()2020221n n n a b =+∑； （3）若{}n a 、{}n b 、{}3n d 的每一项均为有理数，但{}n d 每一项均为无理数，试给出数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的充要条件.若在此条件下令13332n n d =⨯，试探究数列{}n b 的一些性质（如单调性，极限，{}n b 的最大项等）.【答案】（1）证明见解析；（2）40394；（3）单调递减，lim 0n n b →∞=，()max 637n b =. 【解析】 【分析】（1）将1n n n n n na b d b a d +=⎧⎨=⎩代入验证等式()()2211n n n n n n d a b d a d ++-=即可证得结论成立；（2）根据条件1n n n n n na b d b a d +=⎧⎨=⎩求得22n n a b +关于n 的表达式，进而可求得()2020221n n n a b =+∑的值；（3）根据题意求得数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的充要条件为636111n nnn n a d d b d ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，由结合13332n n d =⨯可推导出数列{}n b 的单调性、极限以及最大项. 【详解】（1）1n n n a b d +=，n n n b a d =，所以，()()()()()22222211111nn n n n n n n n n n n n da b d a d d a d d a d a ++-=+-=--+()()223111n n n n n n n n n d b d a d d b a d =-+=-+=，因此，数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的一个充分条件为：1n n n nn n a b d b a d +=⎧⎨=⎩；（2）1n n n n n n a b d b a d +=⎧⎨=⎩，且tan 3n n d π=，可得tan 13tan3n n n n n a b n b a ππ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，222211cos 31tan sin 331cos 3n n a n n n ππππ===++，tansin cos 333n n n n n b a πππ==， 所以，224222222cos sin cos cos cos sin cos 3333333n n n n n n n n n a b πππππππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭121cos 23n π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ()()()2222122123cos cos cos 2333n k k k nn n n a b πππ+=++⎡⎤+=+++⎢⎥⎣⎦∑12222224243cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2333333333n n n n n πππππππππ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭1212212233cos cos cos 232332332n n n n n πππππ⎛⎫=+--= ⎪ ⎪⎝⎭， 202036731=⨯+，因此，()2020222211131220191201940396731cos 2232424nn n ab a b π=⎛⎫+=++⨯=++=+= ⎪⎝⎭∑； （3）()()2211nn n n n n da b d a d ++-=，23421n n n n n n n n n n n a d a b d b d a d a d ∴+++--=，()331n n n n n n n a b d d b a d ∴++-=，{}n a 、{}n b 、{}3n d 为有理数列，{}n d 为无理数列，3310n n n n n n a b d b a d ⎧+=⎨-=⎩，所以636111n nnn n a d d b d ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩， 当13332n nd =⨯时，则332nn d =⨯，则32111943232nn nn nb ⨯==+⨯+⨯⨯，令326n t =⨯≥，由双勾函数的单调性可知，函数1y t t=+在区间[)6,+∞上单调递增，所以，数列{}n b单调递减，1lim lim013232nn n nnb→∞→∞==+⨯⨯，数列{}n b的最大项为12661637b==+.【点睛】本题考查了数列的新定义，考查了二倍角公式、和差角公式、三角函数求值、同时也考查了数列的单调性，考查推理能力与计算能力，属于难题.。