2020届上海市七宝中学高三高考押题卷数学试题(教师版)

合集下载

2020届上海市高三押题卷二数学试题(解析版)

则f（x）的图象关于点（3，0）对称，故②对；
③若f（x+3）＝f（3﹣x），且f（x+4）＝f（4﹣x），
则f（x+6）＝f（﹣x），且f（x+8）＝f（﹣x），即有f（x+6）＝f（x+8）即有f（x+2）＝f（x），
则f（x）的一个周期为2，故③对；
④令x+3＝t，则x＝t﹣3，则y＝f（t）和y＝f（6﹣t）的图象关于t＝3对称，
【详解】
因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为 .
故答案为
【点睛】
本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.
7．在锐角△ 中，角所对应的边分别为，若，则角等于________.
【答案】
【解析】试题分析：利用正弦定理化简，得，因为，所以，因为为锐角，所以．
【考点】正弦定理的应用．
即
解得：（舍）或，
，
所以的面积是 .
【点睛】
本题考查向量和解三角形的综合问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.
20．2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长．记 2016 年为第 1 年，为第 1 年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为该项目赢利．
④令x+3＝t，则x＝t﹣3，则y＝f（t）和y＝f（6﹣t）的图象关于t＝3对称，即可判断．
【详解】
①若f（x）是偶函数，则f（x）的图象关于y轴对称，

2024年上海市七宝中学高三高考三模考试数学试卷含详解

2024年上海高三数学模拟试卷2024.051.已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ______．2.设()211iz m m =-+-（i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数m 的值为______．3.422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是__________.4.不等式()lg 11x +>的解集为______．5.某校高三年级10名男生的身高数据（单位：cm ）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______cm ．6.已知椭圆C 的焦点1F 、2F 都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，12PF F △的周长为6，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为______．7.设平面向量()sin ,1a θ=，(cos b θ=，若a，b 不能组成平面上的一个基底，则tan θ=______．8.若m ∈R ，()2,0,1,02x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则满足()()23f m f m -≥+的m 的最大值为______．9.已知n ∈N ，关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，则实数k =______．10.已知点C 在以AB 为直径的球面上，若2BC =，则AB BC ⋅=______．11.如图，河宽50米，河两岸A 、B 的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A 走水路直接到B ，也可以从A 先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B ．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A 到B 的最短时间为______分钟，（精确到小数点后两位）12.已知有穷数列{}n a 的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，则符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为______．二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个，正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）13.在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.设一组成对数据的相关系数为r ，线性回归方程为 y axb =+ ，则下列说法正确的为（）.A .a越大，则r 越大 B. a越大，则r 越小C .若r 大于零，则 a一定大于零 D.若r 大于零，则 a一定小于零15.已知函数()y f x =的定义域为()0,2，则下列条件中，能推出1一定不是()y f x =的极小值点的为（）A.存在无穷多个()00,2x ∈，满足()()01f x f <B.对任意有理数()()00,11,2x ∈⋃，均有()()01f x f <C.函数()y f x =在区间()0,1上为严格减函数，在区间()1,2上为严格增函数D.函数()y f x =在区间()0,1上为严格增函数，在区间()1,2上为严格减函数16.设集合(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，点P 的坐标为(),x y ，满足“对任意(),a b U ∈，都有ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为1Ω，满足“存在(),a b U ∈，使得ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为2Ω．对于下述两个结论：①1Ω为正方形以及该正方形内部区域；②2Ω的面积大于32．以下说法正确的为（）．A.①、②都正确B.①正确，②不正确C.①不正确，②正确D.①、②都不正确三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且CB BP CD DP ⊥⊥，，2PA =，点E F ，分别为PB PD ，的中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求点P 到平面AEF 的距离.18.掷两颗骰子，观察掷得的点数．（1）设A ：掷得的两个点数之和为偶数，B ：掷得的两个点数之积为偶数，判断A 、B 是否相互独立．并说明理由；（2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．19.某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴()0m m >万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n 年的初始资金为n a 万元．（1）判断{}2n a m -是否为等比数列？并说明理由；（2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设2600m =，则该工厂在第几年转型升级？20.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ．（1）若Γ的长轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程：（2）若4b =，双曲线Γ左支上任意点T 均满足12TF a ≥，求a 的最大值；（3）若双曲线Γ的左支上存在点P 、右支上存在点Q 满足12FP PQ QF ==，求Γ的离心率e 的取值范围．21.若曲线C 的切线l 与曲线C 共有n 个公共点（其中n ∈N ，1n ≥），则称l 为曲线C 的“n T -切线”.（1）若曲线()y f x =在点()1,2-处的切线为2T -切线，另一个公共点的坐标为()3,4，求()1f '的值；（2）求曲线323y x x =-所有1T -切线的方程；（3）设()sin f x x x =+，是否存在π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点()()t f t ，处的切线为3T -切线？若存在，探究满足条件的t 的个数，若不存在，说明理由．2024年上海高三数学模拟试卷2024.051.已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ______．【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.【详解】集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，由A B B = ，得B A ⊆，又11a a +-=，因此143a a +=⎧⎨=⎩，所以3a =.故答案为：32.设()211i z m m =-+-（i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数m 的值为______．【答案】1-【分析】根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得.【详解】由()211i z m m =-+-为纯虚数，得21010m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得1m =-，所以实数m 的值为1-.故答案为：1-3.422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是__________.【答案】8【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为1，解出r ，可得结果.【详解】422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为44314422C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(其中0,1,2,3,4r =)，令431r -=，解得1r =，即二项式展开式中x 的系数为14C 28⨯=.故答案为：84.不等式()lg 11x +>的解集为______．【答案】(9,)+∞【分析】利用对数函数单调性求出不等式的解集.【详解】由不等式()lg 11x +>，得110x +>，解得9x >，所以不等式()lg 11x +>的解集为(9,)+∞.故答案为：(9,)+∞5.某校高三年级10名男生的身高数据（单位：cm ）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______cm ．【答案】185【分析】利用80百分位数的定义求解即得.【详解】显然该组数据已由小到大排列，由1080%8⨯=，得该组数据的第80百分位数为1841861852+=.故答案为：1856.已知椭圆C 的焦点1F 、2F 都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，12PF F △的周长为6，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为______．【答案】22143x y +=【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出,a c 即可得解.【详解】令椭圆长半轴长为a ，半焦距为c ，依题意，1212121262PF PF F F PF PF F F ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，即22624a c a c +=⎧⎨=⎩，解得2,1a c ==，则椭圆短半轴长b ==所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=7.设平面向量()sin ,1a θ=，(cos b θ= ，若a ，b 不能组成平面上的一个基底，则tan θ=______．【答案】33【分析】利用基底的定义可得//a b，再利用共线向量的坐标表示求解即得.【详解】由a，b 不能组成平面上的一个基底，得//a b ，而()sin ,1a θ=，(cos b θ=，cos θθ=，所以sin 3tan cos 3θθθ==.故答案为：338.若m ∈R ，()2,0,1,02x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则满足()()23f m f m -≥+的m 的最大值为______．【答案】12-##0.5-【分析】先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到m 的最大值.【详解】当0x >时，0x -<，即()()122x x f x f x -===-，当0x <时，0x ->，即()()122xx x f x f --===，于是，在(),-∞+∞上，()()f x f x -=都成立，即()f x 为偶函数.由指数函数的单调性可知，()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，不等式()()23f m f m -≥+等价于23m m -≥+，即()()2223m m -≥+，解得12m ≤-.故m 的最大值为12-.故答案为：12-.9.已知n ∈N ，关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，则实数k =______．【答案】252【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求解即得.【详解】由组合数的性质知，101010C C ,10,N nnn n -=≤∈，当5n ≠时，使得10C nk =的n 有两个，当5n =时，使得10C n k =的n 只有一个，而关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，所以510C 252k ==.故答案为：25210.已知点C 在以AB 为直径的球面上，若2BC =，则AB BC ⋅=______．【答案】4-【分析】根据给定条件，可得ACBC ⊥，再利用空间向量数量积的运算律计算得解.【详解】由点C 在以AB 为直径的球面上，得ACBC ⊥，所以2()4AB BC AC CB BC AC BC BC ⋅=+⋅=⋅-=- .故答案为：4-11.如图，河宽50米，河两岸A 、B 的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A 走水路直接到B ，也可以从A 先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B ．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A 到B 的最短时间为______分钟，（精确到小数点后两位）【答案】8.66【分析】按“胡不归”模型解决问题.【详解】如图设气垫船先沿着岸边行驶一段距离AC ，再走水路CB .在R t ABG 中，50AG =，100AB =，所以30ABG ∠=︒.如图，作30CAD ∠=︒，且CD AD ⊥于D 点，则2AC CD =，所以2010AC CD=.所以从A 到B 所用的时间为：2010101010AC BC CD BC CD BCt +=+=+=.过B 作BE AD ⊥，垂足为E ，则100cos30BC CD BE +≥=⨯︒=所以8.66t ≥≈.故答案为：8.6612.已知有穷数列{}n a 的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，则符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为______．【答案】144【分析】首末项相差11，从首项到末项的运算方法进行分类，结合组合计数问题列式计算即得.【详解】依题意，首项和末项相差11，而任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，112(,N)k m k m =+∈，当0k =时，即后一项与前一项的差均为1，数列{}n a 的个数为1；当1k =时，即后一项与前一项的差出现一个2，九个1，数列{}n a 的个数为110C ；当2k =时，即后一项与前一项的差出现两个2，七个1，数列{}n a 的个数为29C ；当3k =时，即后一项与前一项的差出现三个2，五个1，数列{}n a 的个数为38C ；当4k =时，即后一项与前一项的差出现四个2，三个1，数列{}n a 的个数为47C ；当5k =时，即后一项与前一项的差出现五个2，一个1，数列{}n a 的个数为56C ，所以符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为123451098761C C C C C 144+++++=.故答案为：144【点睛】关键点点睛：按后一项与前一项的差2出现的次数分类是解决本问题的关键.二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个，正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）13.在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】直线a 、b 为异面直线，则直线a 、b 不相交，反之，直线a 、b 不相交，直线a 、b 可能平行，也可能是异面直线，所以在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的充分非必要条件.故选：A14.设一组成对数据的相关系数为r ，线性回归方程为 y axb =+ ，则下列说法正确的为（）.A. a越大，则r 越大 B. a越大，则r 越小C.若r 大于零，则 a一定大于零 D.若r 大于零，则 a一定小于零【答案】C【分析】利用 a与r 的含义判断AB ，根据r 大于零时两变量正相关即可得 a 一定大于零判断CD.【详解】 a影响的是回归直线的斜率，r 影响是两个变量之间的相关性，所以 a与r 之间数值大小没有关系，但符号有影响，故选项AB 错误；若r 大于零，则说明两个变量之间成正相关，故 a一定大于零，故选项C 正确，D 错误.故选：C15.已知函数()y f x =的定义域为()0,2，则下列条件中，能推出1一定不是()y f x =的极小值点的为（）A.存在无穷多个()00,2x ∈，满足()()01f x f <B.对任意有理数()()00,11,2x ∈⋃，均有()()01f x f <C.函数()y f x =在区间()0,1上为严格减函数，在区间()1,2上为严格增函数D.函数()y f x =在区间()0,1上为严格增函数，在区间()1,2上为严格减函数【答案】B【分析】举例说明判断ACD ；利用极小值的意义推理判断A.【详解】对于A ，函数11,(0,]2()11,(,2)2x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩的图象如图，显然函数()f x 满足题设条件，而1是()f x 的极小值点，A 错误；对于B ，在1x =附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值小于(1)f ，因此1一定不是极小值点，B 正确；对于C ，函数()|1|,(0,2)f x x x =-∈在()0,1上为严格减函数，在()1,2上为严格增函数，1是()f x 的极小值点，C 错误；对于D ，函数1,1()11,(0,1)(1,2)x f x x x -=⎧=⎨--∈⋃⎩图象如图，函数()f x 在()0,1上为严格增函数，在()1,2上为严格减函数，1是()f x 的极小值点，D 错误.故选：B 16.设集合(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，点P 的坐标为(),x y ，满足“对任意(),a b U ∈，都有ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为1Ω，满足“存在(),a b U ∈，使得ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为2Ω．对于下述两个结论：①1Ω为正方形以及该正方形内部区域；②2Ω的面积大于32．以下说法正确的为（）．A.①、②都正确B.①正确，②不正确C.①不正确，②正确D.①、②都不正确【答案】C【分析】先确定ax by bx ay ++-≤所表达的意义，了解满足该条件的点P 的轨迹，再求P 点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案.【详解】因为(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，表示除原点外的平面内的所有点.ax by bx ay ++-≤⇒4≤，所以(),P x y 表示到直线0ax by +=和0bx ay -=的距离之和不大于4的点.如图：易知直线0ax by +=和0bx ay -=垂直，则4OE OF +≤，222OP OE OF =+.当4OE OF +=时，()2224OP OE OE=+-()2224OE ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦.因为04OE <<，所以2816OP ≤<⇒4OP ≤<.所以1Ω是以原点为圆心，半径在)4⎡⎣范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确；当)4OP ⎡∈⎣时，存在OP 使得2π32OP ⋅>，故②正确.故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件ax by bx ay ++-≤4≤，借助点到直线的距离公式，明确P 点坐标满足的条件.三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且CB BP CD DP ⊥⊥，，2PA =，点E F ，分别为PB PD ，的中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求点P 到平面AEF 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）233.【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）利用等体积法求出点到平面的距离.【小问1详解】由底面ABCD 为正方形，得CB AB ⊥，又,,,CB BP AB BP B AB BP ⊥⋂=⊂平面ABP ，于是CB ⊥平面ABP ，而PA ⊂平面ABP ，则CB PA ⊥，同理CD PA ⊥，又,,CB CD C CB CD ⋂=⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）得PA AB ⊥，点E 为PB 的中点，在Rt PAB 中，AE =F 为PD 的中点，同理AF =，在PBD △中，12EF BD ==，因此1222AEF S ==△，在直角PAB 中，1122122APE S =⨯⨯⨯=△，由（1）知CB ⊥平面ABP ，则AD ⊥平面ABP ，于是点F 到平面APE 的距离为112AD =设点P 到平面AEF 的距离为h ，由P AEF F AEP V V --=，得13111323h ⨯⨯=⨯⨯，解得233h =，所以点P 到平面AEF 的距离为3.18.掷两颗骰子，观察掷得的点数．（1）设A ：掷得的两个点数之和为偶数，B ：掷得的两个点数之积为偶数，判断A 、B 是否相互独立．并说明理由；（2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．【答案】（1）不相互独立（2）分布列见解析，期望为1.【分析】（1）利用古典概率结合组合计数问题求出(),(),()P A P B P A B ，再利用相互独立事件的定义判断即得.（2）求出取得白球个数X 的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.【小问1详解】依题意，2222233133(),()16264P A P B +===-=，2231()64P A B == ，显然()()()P A B P A P B ⋂≠，所以A 、B 不是相互独立的.【小问2详解】两个点数奇偶性不同的概率为23333162⨯+⨯=，两个点数奇偶性相同的概率也是12，记取出白球的个数为X ，则X 可能的取值为：0，1，2，22322255C C 111(0)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，111123232255C C C C 113(1)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，22322255C C 111(2)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，所以X 的分布为：X012P153515期望()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.19.某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴()0m m >万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n 年的初始资金为n a 万元．（1）判断{}2n a m -是否为等比数列？并说明理由；（2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设2600m =，则该工厂在第几年转型升级？【答案】（1）答案见解析；（2）9.【分析】（1）根据给定条件，可得132n n a a m +=-，再利用构造法推理得解.（2）由（1）的结论，取2600m =，再结合已知利用单调性解指数不等式即得.【小问1详解】依题意，15000a =，()21150%7500a a m m =+-=-，13(150%)2n n n a a m a m +=+-=-，即132(2)2n n a m a m +-=-，而当2500m =，即120a m -=时，{}2n a m -不是等比数列；当0m >且2500m ≠时，数列{}2n a m -是一个以32为公比，50002m -为首项的等比数列.【小问2详解】当2600m =时，由（1）知数列{}2n a m -是一个以200-为首项，32为公比的等比数列，则135200200()2n n a --=-⨯，即135200200()2n n a -=-⨯，设第n 年转型升级，则135********nn a +⎛⎫=-⨯< ⎪⎝⎭，则3262n⎛⎫> ⎪⎝⎭，数列3{()2}n是递增数列，8936561319683()26,()2622562512=<=>，而*N n ∈，则min 9n =，所以该工厂在第9年转型升级.20.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ．（1）若Γ的长轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程：（2）若4b =，双曲线Γ左支上任意点T 均满足12TF a ≥，求a 的最大值；（3）若双曲线Γ的左支上存在点P 、右支上存在点Q 满足12FP PQ QF ==，求Γ的离心率e 的取值范围．【答案】（1）y =；（2；（3）(2,)+∞.【分析】（1）根据给定条件，由,,a b c 求出渐近线方程.（2）设出点T 的坐标，利用两点间距离公式求出1||PF 有最小值，再结合已知求解即得.（3）设112212(,),(,),,P x y Q x y x a x a ≤-≥，结合已知可得120x x +=，再按12y y =和12y y =-分类建立不等式求出e 的范围.【小问1详解】令双曲线的半焦距为c ，依题意，1,2a c ==，由222c a b =+，得b =，则ba=所以双曲线Γ的渐近线方程为y =.【小问2详解】设点T 的坐标为(,),x y x a ≤-，1(,0)F c -，则22222()b y x a a=-，于是1c TF x a a==--，当x a =-时，1min ||PF c a =-，因此2c a a -≥，即229c a ≥，则2229a b a +≥，又4b =，解得a ≤因此a .【小问3详解】设点112212(,),(,),,P x y Q x y x a x a ≤-≥，12(,0),(,0)F c F c -，由12F P QF =，得22221122()()x c y x c y++=++，整理得：212122([(]0))2c x x x x c a+-+=，由122x x a -≤-，得2122()20c x x c a-+<，因此120x x +=，当12y y =时，由1F P PQ =，得222111()4x c y x ++=，整理得:222112(420c x cx a a---=，解得12a x e =-或12a x e =-+(舍)，由2aa e≤--，解得23e <≤；当12y y =-时，由1F P PQ =，得22221111()44x c y x y ++=+，整理得：222211232340c x cx a c a-+-=，在1x a ≤-有解，故22232340c ac a c ++-≤，即2230e e --≥，解得:3e ≥或1e ≤-（舍），综上，曲线Γ的离心率e 的取值范围是(2,)+∞.【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．21.若曲线C 的切线l 与曲线C 共有n 个公共点（其中n ∈N ，1n ≥），则称l 为曲线C 的“n T -切线”.（1）若曲线()y f x =在点()1,2-处的切线为2T -切线，另一个公共点的坐标为()3,4，求()1f '的值；（2）求曲线323y x x =-所有1T -切线的方程；（3）设()sin f x x x =+，是否存在π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点()()t f t ，处的切线为3T -切线？若存在，探究满足条件的t 的个数，若不存在，说明理由．【答案】（1）3；（2）31y x =-+；（3）存在，唯一一个.【分析】（1）利用斜率坐标公式求出斜率，再利用导数的几何意义得解.（2）求出函数323y x x =-在32000(,3)-x x x 处的切线方程，再利用1T -切线的定义求解即得.（3）求出函数()f x 的导数，由曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线方程，构造函数()g x ，利用导数探讨极值，由()g x 有3个零点建立关系并求解即得.【小问1详解】依题意，该切线的斜率为4(2)331--=-，因此(1)3f '=.【小问2详解】由323y x x =-，求导得236y x x '=-，则曲线323y x x =-在32000(,3)-x x x 处的切线方程为：()32200000(3)(36)y x x x x x x --=--，令3223232000000()3(36)363h x x x x x x x x x x =---+--+，整理得200()()(23)h x x x x x =-+-，此切线为1T -切线，等价于方程()0h x =有且仅有一个根，即0032x x =-，即01x =，所以曲线323y x x =-的1T -切线仅有一条，为31y x =-+.【小问3详解】由(sin )1cos x x x '+=+，得曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线方程为：sin (1cos )()y t t t x t --=+-，即(1cos )sin cos y t x t t t =++-，令()(sin )[(1cos )sin cos ]g x x x t x t t t =+-++-sin cos sin cos x x t t t t =--+，求导得()cos cos g x x t '=-，由π(0,)2t ∈，得cos (0,1)t ∈，对Z k ∈，当(2π,2π)x k t k t ∈-+时，()cos cos 0,()g x x t y g x '=->=为严格增函数；当(2π,2π2π)x k t k t ∈++-时，()cos cos 0,()g x x t y g x '=-<=为严格减函数，函数()y g x =所有的极大值为(2π)2πcos g k t k t +=-，当0k =时，极大值等于0，即()0g t =，当k 为正整数时，极大值全部小于0，即()y g x =在(,)t ∞+无零点，当k 为负整数时，极大值全部大于0，函数()y g x =所有的极小值为(2π)(22π)cos 2sin g k t t k t t -=--，当0k =时，极小值()2cos 2sin 2cos (tan )0g t t t t t t t -=-=-<，且随着k 的增大，极小值(22π)cos 2sin t k t t --越来越小，因此()y f x =在点π(,())(0)2t f t t <<处的切线为3T -切线，等价于()y g x =有三个零点，等价于(22π)cos 2sin 0t t t +-=，即tan πt t -=有解，令()tan h t t t =-，则221()1tan 0cos h t t t'=-=>，因此()y h t =为π(0,)2上的严格增函数，因为3(0)0π,()12.6π2h h =<≈>，于是存在唯一实数π(0,)2t ∈，满足tan πt t -=，所以存在唯一实数π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线为3T -切线.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

上海市七宝中学2020届高三下学期模拟数学试题(wd无答案)

上海市七宝中学2020届高三下学期模拟数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合，，则________(★★) 2. 若直线方程的一个法向量为，则此直线的倾斜角为________ (★) 3. 已知复数满足（为虚数单位），则__________．(★★) 4. 已知、、是任意实数，能够说明“若，则”是假命题的一个有序整数组可以是________(★★) 5. 函数（，是虚数单位）的图象与直线有且仅有一个交点，则实数________(★★) 6. 直角坐标系内有点，将四边形 ABCD绕直线旋转一周，所得到的几何体的体积为____(★★) 7. 在中，，，为的中点，则___________. (★★) 8. 通过手机验证码登录哈喽单车 App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________(★★★) 9. 已知函数（）的反函数为，当时，函数的最大值为，最小值为，则________(★★) 10. 欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列的通项公式为（），则数列前2020项的乘积为________(★★★★)11. 用表示函数在闭区间I上的最大值．若正数a满足，则 a的最大值为________．(★★★) 12. 已知数列的首项为，且满足，则下列命题：① 是等差数列；② 是递增数列；③设函数，则存在某个区间，使得在上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________二、单选题(★★) 13. 设、分别是直线、的方向向量，则“ ∥ ”是“ ∥ ”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件(★★) 14. 某学校有2500名学生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本本数分别为、，且直线与以为圆心的圆交于、两点，且，则圆的方程为（）A．B．C．D．(★★) 15. 函数的图像按向量平移后所得图像的函数解析式为，当函数为奇函数时，向量可以等于（）A．B．C．D．(★★★) 16. 已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（）A．0个B．2个C．有限个，但多于2个D．无限多个三、解答题(★★★) 17. 如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的大小.(★★) 18. 设、、分别是△ 内角、、所对的边，. （1）求角的大小；（2）若，且△ 的面积为，求△ 的周长.(★★★) 19. 受疫情影响，某电器厂生产的空调滞销，经研究决定，在已有线下门店销售的基础上，成立线上营销团队，大力发展“网红”经济，当线下销售人数为（人）时，每天线下销售空调可达（百台），当线上销售人数为（人）（）时，每天线上销量达到（百台）.（1）解不等式：，并解释其实际意义；（2）若该工厂大有销售人员（）人，按市场需求，安排人员进行线上或线下销售，问该工厂每天销售空调总台数的最大值是多少百台？(★★★★) 20. 已知椭圆的两焦点为，，且椭圆上一点，满足，直线与椭圆交于、两点，与轴、轴分别交于点、，且.（1）求椭圆的方程；（2）若，且，求的值；（3）当△ 面积取得最大值，且点在椭圆上时，求的值.(★★★★) 21. 已知数列满足：对任意，若，则，且，设，集合中元素的最小值记为；集合，集合中元素最小值记为.（1）对于数列：，求，；（2）求证：；（3）求的最大值.。

上海市2020届高三高考压轴卷数学试题(含答案解析)

绝密★启封前2020上海市高考压轴卷数学一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．若集合{}|A x y x R==∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B I =________.2．函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 3．已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则z ________. 4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012nna n S -=-，则1a =___ 5．从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________.6．已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为12y x =±，则此双曲线方程为_________7．已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.8．计算：13(2)lim 32n nn n n +→∞--=+_________. 9．某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____.10．向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈,以及任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,则称S 为“C 类集”,现有四个命题:①若S 为“C 类集”,则集合{},M a a S R μμ=∈∈v v也是“C 类集”;②若S ,T 都是“C 类集”,则集合{},M a b a S b T =+∈∈v v v v也是“C 类集”;③若12,A A 都是“C 类集”,则12A A ⋃也是“C 类集”;④若12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则12A A ⋂也是“C 类集”. 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)11．已知a v 、b v 、2c v是平面内三个单位向量，若a b ⊥v v ，则4232a c a b c +++-v v v v v 的最小值是________12．已知数列{}n a 的通项公式为52nn a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+ ，设,(),()n n n n n n n b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩，若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是_____;二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，1CC =线1AC 与11A B 所成的角为（） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒14．已知函数()3sin 2,6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()2F x f x =-的所有零点依次记为1,x 2,x ,⋅⋅⋅n x ，且12n x x x <<⋅⋅⋅<，则12122n n x x x x -++⋅⋅⋅++=( ) A ．2πB ．113π C ．4π D ．223π 15．若实数x ，y 满足22201y x x y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的最大值是（）A ．9B ．12C ．3D ．616．对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( )A ．若,AB ⊆则()()A B f x f x ≤ B ．()()1R A A f x f x =-ðC ．()()()A B A B f x f x f x =⋅ID ．()()()A B A B f x f x f x =+U三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是在底面上的射影，6PO =，Q 是AC 上的一点，过Q 且与PA 、BD 都平行的截面为五边形EFGHL ．（1）在图中作出截面EFGHL ，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值．18．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c .（1）若2,3c C π==，且ABC V 的面积S =,a b 的值；（2）若()()sin sin sin 2A B B A A ++-=，试判断ABC V 的形状.19．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=.（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）20．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>经过定点2E⎛⎝⎭，其左右集点分别为1F，2F且12EF EF+=2F且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P，Q两点.（1）求椭圆C的方程：（2）若O为坐标原点，在线段2OF上是否存在点(,0)M m，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.21．已知数列{}n a的前n项和为n S，且满足()13a a a=≠，13nn na S+=+，设3nn nb S=-，*n∈N.（Ⅰ）求证：数列{}n b是等比数列；（Ⅱ）若1n na a+≥，*n∈N，求实数a的最小值；（Ⅲ）当4a=时，给出一个新数列{}n e，其中3,1,2nnneb n=⎧=⎨≥⎩，设这个新数列的前n项和为n C，若nC可以写成p t（t，*p∈N且1t>，1p>）的形式，则称nC为“指数型和”.问{}n C中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.参考答案及解析1．【答案】{}1【解析】由A中y =10x -…，解得：1x …，即{|1}A x x =…，由B 中不等式变形得：11x -剟，即{|11}B x x =-剟，则{1}A B ⋂=，故答案为：{1}．2．【答案】553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦U U 【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33,66x k x k k Z ππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩，解得536x π-≤<-或66x ππ-<<或536x π<≤. 故答案为：553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦U U 3．【答案】1【解析】因为11zi z-=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)i i z z i z i i i i ---=+⇒===-++-，则||1z ==. 故答案为：1.4．【答案】1-【解析】由011101011(2)1021212n n n n n na a a S n n S nn S -=-=++=---，令1n =，得11(2)10a a ++=，解得11a =-。

2020年高考数学押题密卷(含解析)

2020年全国高考数学试卷及答案(名师押题预测试卷+解析答案，值得下载)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则(A B = )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．(1，2]D ．(2,)+∞【解析】解：，，则【答案】A ． 2．已知向量，(3,1)b =，若//a b ，则(a b = ) A ．1 B ．1-C ．10-D ．1±【解析】解：，(3,1)b =，若//a b ，则，1m ∴=-，【答案】C ．3．已知α是第二象限角，若，则sin (α= )A ．223-B ．13-C ．13D ．223【解析】解：α是第二象限角，若可得1cos 3α=-，所以．【答案】D ．4．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与8a 的等差中项为10，则10(S = ) A ．200B ．100C ．50D ．25【解析】解：由等差数列的性质可得：，则．【答案】B ．5．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m α⊂，//n α，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ．其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：①若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，故不正确； ②若//m α，//m β，则α与β可能相交或平行，故不正确； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β，m 也可能在平面内，故不正确；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ，垂直与同一直线的两平面平行，故正确【答案】B ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A．11 B．9 C．7 D．5 【解析】解：模拟程序的运行，可得1n=，0S=不满足条件37S，执行循环体，113S=⨯，3n=不满足条件37S，执行循环体，，5n=不满足条件37S，执行循环体，，7n=此时，满足条件37S，退出循环，输出n的值为7．【答案】C．7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD-中，AB⊥平面BCD，BC CD⊥，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A．23B．34C．33D．24【解析】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则(1A，0，1)，(1B，0，0)，(0C，0，0)，(0D，1，0)，111 (,,)222 M，则，(0CD =，1，0)，设异面直线BM 与CD 夹角为θ，则．∴异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为33．【答案】C ．8．设0a >且1a ≠，则“b a >”是“log 1a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：充分性：当01a <<时，“b a >”时“log 1a b <”故充分性不成立．必要性：当log 1a b >时，若01a <<，则0b a <<，故充分性不成立．综上，“b a >”是“log 1a b >”的既不充分也不必要条件．【答案】D ．9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是( )A．322+B．312+C．3122++D．23+【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥A BCD-，正方体的棱长为1，所以几何体的表面积为：．【答案】C．10．程序框图如图，若输入的2a=，则输出的结果为()A ．20192B ．1010C ．20232D ．1012【解析】解：模拟程序的运行，可得2a =，0S =，0i = 执行循环体，2S =，12a =，1i = 满足条件2019i ，执行循环体，122S =+，1a =-，2i = 满足条件2019i ，执行循环体，1212S =+-，2a =，3i = 满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，4i = ⋯由于，观察规律可知，满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，2020i = 此时，不满足条件2019i ，退出循环，输出．【答案】D ．11．将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，则概率()P A B 等于( ) A ．14B ．3536C ．518D ．512【解析】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，基本事件总数，AB 包含的基本事件个数，∴概率．【答案】C ．12．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，，若在3[,2]2ππ上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2-，)+∞ C ．(-∞，2] D ．[2-，1]-【解析】解：定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，方程()0f x '=无解，即()f x 为R 上的单调函数，，则()2018x f x +为定值，设，则，易知()f x 为R 上的减函数，，，又()g x 与()f x 的单调性相同， ()g x ∴在R 上单调递减，则当3[,2]2x ππ∈，()0g x '恒成立，即，当3[,2]2x ππ∈，则5[63x ππ+∈，13]6π，则当26x ππ+=时，取得最大值2，此时取得最小值2-，即2m -，即实数m 的取值范围是(-∞，2]-，【答案】A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数1()x f x e -=在(1,1)处切线方程是．【解析】解：函数1()x f x e -=的导数为1()x f x e -'=，∴切线的斜率k f ='（1）1=，切点坐标为(1,1)，∴切线方程为1y x -=，即y x =．故答案为：y x =．14．已知P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值是．【解析】解：抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)，P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值，就是PF 的距离减去y 轴与准线方程的距离，可得最小值为：．故答案为：2．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 1nn + ．【解析】解：点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，2n a n ∴=．．∴．则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．故答案为：1nn +． 16．已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为 254π ．【解析】解：由圆锥体积为23π，其底面半径为1，可求得圆锥的高为2，设球半径为R ，可得方程：，解得54R =， ∴，故答案为：254π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值．【解析】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由、及正弦定理可得：，⋯⋯由于sin 0A >，整理可得：，又sin 0B >，因此得3sin 5B =．⋯⋯ （Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin 5B =，又ABC ∆的面积为42，且10a =，从而有，解得14c =，⋯⋯又角B 是最小的内角，所以03Bπ<，且3sin 5B =，得4cos 5B =，⋯⋯ 由余弦定理得，即62b =．⋯⋯18．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0~2000步，（说明：“0~2000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B 、2000~5000步，C 、5000~8000步，D 、8000~10000步，E 、步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”．（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000~8000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“认定类别”与“性别”有关？参与者超越者合计男 20 女20合计 40附：，，20()P K k0.10 0.050 0.010 0k 2.706 3.841 6.635【解析】解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走2000~8000步的人数：男12人，女14人⋯⋯，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人数约为：人⋯⋯；（Ⅱ）该天抽取的步数在8000~12000的人数：男8人，女4人，再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人⋯⋯所求概率（或⋯⋯ （Ⅲ）完成22⨯列联表⋯⋯参与者超越者合计男 12 8 20女 16 4 20合计 28 12 40计算，⋯⋯因为1.905 3.841<，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关，即“认定类别”与“性别”无关 ⋯⋯19．如图，在正三棱柱中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1//B E 平面ACF ；（Ⅱ）求CE 与平面ACF 所成角的正弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中，因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以//EM BC 且12EM BC =，又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，所以1//B F BC 且112B F BC =，即1//EM B F 且1EM B F =，故四边形1EMFB 为平行四边形，所以，又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊂/平面ACF ，所以1//B E 平面ACF ．⋯⋯解：（Ⅱ）取BC 中点O ，连结AO 、OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以OB 、AO 、OF 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 ⋯⋯ 则有，得设平面ACF 的一个法向量为(n x =，y ，)z则00n CA n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3020x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令3z =-，则(23n =，2，3)-，⋯⋯ 设CE 与平面ACF 所成的角为θ，则，所以直线CE 与平面ACF 所成角的正弦值为21919．⋯⋯。

2020届上海市高三高考压轴卷数学试题(解析版)

2020上海市高考压轴卷数学一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.1.若集合{}|A x y x R ==∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B =________.【答案】{}1 【解析】【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：由A中y =10x -，解得：1x ，即{|1}Ax x ，由B 中不等式变形得：11x -，即{|11}B x x =-，则{1}A B ⋂=，故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2.函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______.【答案】553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ 【解析】【分析】根据负数不能开偶次方根和对数的真数大于零求解. 【详解】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33,66x k x k k Z ππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩，解得536x π-≤<-或66x ππ-<<或536x π<≤. 故答案为：553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3.已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则z ________. 【答案】1 【解析】【分析】利用复数的四则运算求出z ，再求其模．【详解】因为11zi z-=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)i i z z i z i i i i ---=+⇒===-++-，则||1z ==. 故答案为：1.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题．4.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012nna n S -=-，则1a =___ 【答案】1- 【解析】【分析】利用行列式定义，得到n a 与n S 的关系，赋值1n =，即可求出结果．【详解】由01110111(2)1021212nn n n n na a a S n n S nn S -=-=++=---，令1n =，得11(2)10a a ++=，解得11a =-．【点睛】本题主要考查行列式定义的应用．5.从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________.【答案】133【解析】【分析】先算出6个样本数据的平均数，然后再利用方差公式计算即可. 【详解】6个样本的平均数456107466x +++++==，所以方差22222221[(46)(56)(66)(106)(76)(46)]6s =-+-+-+-+-+-261363==. 故答案为：133【点睛】本题主要考查方差的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.6.已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为12y x =±，则此双曲线方程为_________【答案】22182y x -=【解析】【分析】根据双曲线的渐进线方程为12y x =±，设双曲线222214x y b b-=，计算椭圆焦点为()，根据双曲线焦点公式得到答案.【详解】221166x y +=的焦点为：()双曲线的渐进线方程为12y x =±，则设双曲线方程为：222214x y b b-=，焦点为()故2224102b b b +=∴= ，双曲线方程为22182y x -=故答案为22182y x -=【点睛】本题考查了求双曲线方程，根据渐近线设双曲线为222214x y b b-=是解题的关键.7.已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.。

2020届上海市高考冲刺压轴数学模拟试卷(有答案)(已审阅)

上海高考压轴卷数学I1.1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B= ．2.若（x+a ）7的二项展开式中，含x 6项的系数为7，则实数a= ． 3.不等式2x 2﹣x ﹣1＞0的解集是________.4.如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为．5.设i 为虚数单位，复数，则|z|= ．6.已知P 是抛物线y 2=4x 上的动点，F 是抛物线的焦点，则线段PF 的中点轨迹方程是． 7.在直三棱柱111A B C ABC -中，底面ABC 为直角三角形，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的最小值为。

8.若f （x ）=（x ﹣1）2（x ≤1），则其反函数f ﹣1（x ）= ．9.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．10.已知首项为1公差为2的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，则= ．11.已知函数y=Asin （ωx +φ），其中A ＞0，ω＞0，|φ|≤π，在一个周期内，当时，函数取得最小值﹣2；当时，函数取得最大值2，由上面的条件可知，该函数的解析式为．12.数列{2n﹣1}的前n 项1，3，7， (2)﹣1组成集合（n ∈N *），从集合A n 中任取k （k=1，2，3，…，n ）个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为T k （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n =T 1+T 2+…+T n ，例如当n=1时，A 1={1}，T 1=1，S 1=1；当n=2时，A 2={1，3}，T 1=1+3，T 2=1×3，S 2=1+3+1×3=7，试写出S n = ．13.关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件14.数列{a n}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032 B．5044 C．5048 D．505015.某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．A．B．C．D．16.设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B作AC的垂线交x轴于点D，若点D到直线BC的距离小于a+，则的取值范围为（）A．（0，1） B．（1，+∞）C．（0，）D．（，+∞）三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020届上海市高三押题卷一数学试题

2020届上海市高三押题卷一数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是π，则实数a =________2．设复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，则pq =________3．已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=_________4．已知直线l 的参数方程是10.820.6x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则它的普通方程是_____．5．函数()y f x =的反函数为2log (1)1(0)y x x =++>，则()f x =_________6．若()211,1nn N n x *⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭的展开式中的系数为n a ，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭=____________． 7．在平面坐标系中,动点P 和点()2,0M -､()2,0N 满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=,则动点(),P x y 的轨迹方程为______.8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x ﹣y|的值为_____． 9．已知函数45(),()sin 213x f x g x a x a x π-+==++（a ＞0），若对任意x 1∈[0，2]，总存在x 2∈[0，2].使g （x 1）=f （x 2）成立，则实数a 的取值范围是_______． 10．已知圆锥的母线长为l ，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为212l ，则此圆锥底面半径r 与母线长l 的比rl的取值范围是____________． 11．设*n ∈N ，圆222:n n C x y R +=（0n R >）与y 轴正半轴的交点为n P ，与曲线y =的交点为(,)n n n Q x y ，直线n n P Q 与x 轴的交点为0(),n A a ，若数列{}n x 满足：13x =，143n n x x +=+，要使数列1{}n n a pa +-成等比数列，则常数p =________12．以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，A ，B ，M 是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角θ，使cos sin OM OA OB θθ=⋅+⋅，（0为坐标原点）则直线OA ，OB 的斜率乘积为___.二、单选题13．已知圆()()()222:0C x a y a a a -++=>和直线:20l x y ++=，则2a =是圆C 和直线l 相交的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．为了得到函数2sin 36x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数2sin y x =的图像（） A ．向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍； B ．向左平移6π个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍； C ．向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的13倍； D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的13倍； 15．已知数列{}n a 的通项公式为()()*11n a n N n n =∈+，其前n 项和910n S =，则双曲线2211x y n n-=+的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y x =C ．y x =D ．y x = 16．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1，圆心Q 在线段BC （含端点）上运动，P 是圆上及内部的动点，设向量(),AP mAB nAD m n R =+∈，则m n +的取值范围是（）A ．12⎡⎢⎣⎦B ．3,24⎡+⎢⎣⎦C ．39,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．91,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题17．如图，已知⊙O 的直径AB=3，点C 为⊙O 上异于A ，B 的一点，VC ⊥平面ABC ，且VC=2，点M 为线段VB 的中点.（1）求证：BC ⊥平面V AC ；（2）若直线AM 与平面V AC 所成角为4π.求三棱锥B-ACM 的体积.18．已知函数()()sin sin 4242x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫=+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称；（1）求函数()g x 的解析式；（2）若存在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使等式()()20g x g x m ⎡⎤-+=⎣⎦成立，求实数m 的取值范围． 19．某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x （1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>长轴的两顶点为A 、B ，左右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2c 且2a c =，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在双曲线22:143x y T -=上取点Q （异于顶点），直线OQ 与椭圆C 交于点P ，若直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k ．试证明：1234k k k k +++为定值；（3）在椭圆C 外的抛物线K ：24y x =上取一点E ，1EF 、2EF 的斜率分别为1'k 、2'k ，求121''k k 的取值范围． 21．设*m N ∈，若数列{}n x 满足：对所有*d N ∈，m d d x x +=，且当11n m <<+时，1n x x ≠，则称{}n x 为“m 数列”，设k ∈R ，函数()()0.5,00.51,0.51x x f x k x x +≤≤⎧=⎨-<≤⎩，数列{}n a 满足[]10,1a ∈，()()*1n n a f a n N +=∈．（1）若123a =，且{}n a 是2T 数列，求k 的值；（2）设1k =，若{}n a 是4T 数列，不是5T 数列，求1a 的取值集合；（3）若2k =，证明：对任意*m N ∈，都存在[]10,1a ∈，使得m T 是数列．参考答案1．±1 【分析】由二倍角公式化简函数得1()sin 22f x ax =，代入周期计算公式2T ωπ=即可求得a . 【详解】1()sin cos =sin 22f x ax ax ax=，周期22T a ππ==，解得1a =±. 故答案为：±1 【点睛】本题考查二倍角公式，正弦函数周期计算公式2T ωπ=，属于基础题.2．20- 【分析】由题意复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，利用一元二次方程根与系数的关系求出p q 、的值，可得答案. 【详解】解：由复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2+2i i p +-=-，(2+)(2)i i q -=，故4p =-，5q =，故20pq =-，故答案为：20-. 【点睛】本题主要考查实系数的一元二次方程虚根成对定理，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型. 3．6 【分析】根据关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵，写出方程组，求出方程组的解，即可得到结论. 【详解】解：由题意关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，可得关于x y 、的二元线性方程组22x y y -=⎧⎨=⎩，可得42x y =⎧⎨=⎩，故6x y +=，故答案为：6. 【点睛】本题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于基础题型. 4．3x ﹣4y +5=0 【分析】根据加减消元得普通方程. 【详解】10.83438345020.6x tx y x y y t =+⎧∴-=-⇒-+=⎨=+⎩故答案为：3450x y -+= 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．121(1)x x --> 【分析】直接利用反函数定义，求出原函数的反函数即可. 【详解】解：因为函数2log (1)1(0)y x x =++>，可得1y >，所以2log (1)1x y +=-，1(1)2y x -+=，121,(1)y x y -=->，可得函数2log (1)1(0)y x x =++>的反函数为121(1)x y x -=->，即1()21(1)x f x x -=-> 故答案为：121(1)x x -->.【点睛】本题考查函数与反函数的关系，反函数的求法，考查计算能力. 6．2 【解析】试题分析：由二项式定理知4x -的系数是2(1)2n nn n a C -==，12112()(1)1n a n n n n ==---，所以231111lim()lim[2(1)]2n n n a a a n→∞→∞+++=-=.考点：二项式定理，裂项相消求和，数列极限. 7．28y x =- 【分析】根据0MN MP MN NP ⋅+⋅=，代入化简得到答案. 【详解】0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则()()4,02,0x y ⋅-=2x =-，化简得到28y x =- 故答案为：28y x =- 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力. 8．4 【分析】利用平均数、方差的概念列出关于,x y 的方程组，解方程即可得到答案．【详解】由题意可得：()()2220,10108x y x y +=-+-=，设10x t =+，10y t =-，则228t =，解得2t =±， ∴24x y t -== 故答案为4．【点睛】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，属于基础题． 9．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】先将恒成立存在性问题转化为对应函数值域包含关系，即()g x 在[0,2]上值域包含于()f x 在[0,2]上值域，再分别求对应值域，最后根据集合包含关系列式求解. 【详解】459[0,2]()4[1,5]11x x f x x x -+∈∴==-+∈-++ [0,2],0,()[2,3]x a g x a a ∈>∴∈由题意得21,05[2,3][1,5]0353a a a a a a ≥->⎧⊆-∴∴<≤⎨≤⎩故答案为：50,3⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数恒成立存在性问题、函数值域以及根据集合包含关系求参数取值范围，考查综合分析求解能力，属中档题.10．2【分析】先判断两条母线的夹角=90θ时最大截面三角形的面积为212l 2r ≤和r l <，最后求出r l的取值范围即可.【详解】解：过圆锥顶点的截面三角形的面积：1sin 2S l l θ=⋅⋅（θ为两母线的夹角），因为过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为212l ，即两条母线的夹角=90θ时的截面面积，2r ≤，又r l <1rl≤<，故答案为：,1)2【点睛】本题考查空间几何体，是基础题. 11．2或4 【分析】根据条件求出,n n x y 的关系,利用递推数列,结合等比数列的通项公式和定义,进行推理即可得到结论. 【详解】因为圆222:n n C x y R +=（0n R >）与曲线y =(,)n n n Q x y ,所以2222n n n n n R x y x x =+=+,即n R =,由题可知,点n P 的坐标为(0,)n R ,由直线方程的截距式可得直线n n P Q 的方程为:1n nx y a R +=, 由点(,)n n n Q x y 在直线n n P Q 上得:1n nn nx y a R +=,将n R =n y =1n nn nx y a R +=并化简得:1n n a x =+, 由143n n x x +=+,得114(1)n n x x ++=+,又114,x += 故数列{1}n x +是首项为4,公比为4的等比数列,故11444n nn x -+=⋅=,即442n n n n a ==+,所以11142(42)(4)4(2)2n n n n n nn n a pa p p p +++-=+-+=-+-,22112142(42)(164)4(42)2n n n n n n n n a pa p p p ++++++-=+-+=-+-,令211()n n n n a pa q a pa +++-=-,得:(164)4(42)2(4)4(2)2n n n n p p q p q p -+-=-+-,由等式(164)4(42)2(4)4(2)2nnnnp p q p q p -+-=-+-对任意*n N ∈恒成立得:164(4)42(2)p q p p q p -=-⎧⎨-=-⎩,即86pq p q =⎧⎨+=⎩,解得24p q =⎧⎨=⎩或42p q =⎧⎨=⎩, 故当2p =时, 数列1{}n n a pa +-成公比为4的等比数列; 当4p =时, 数列1{}n n a pa +-成公比为2的等比数列故答案为: 2或4. 【点睛】本题考查了直线方程的截距式,由递推关系式求通项公式,恒等式以及等比数列的定义,本题属于难题. 12．12-或-2 【分析】设椭圆方程为2222x y 12b b+=，A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），从而得到OM 的坐标表示，然后，再根据M 点在该椭圆上，建立关系式，结合A 、B 点在也该椭圆上，得到221122x y 12b b+=，222222x y 12b b +=，从而得到相应的结果，同理当椭圆方程为2222y x 12b b+=可得答案【详解】由题意可设椭圆方程为2222x y 12b b+=，又设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），()1212OM cos θOA sin θOB M cos θx sin θx cos θy sin θy =⋅+⋅⇒⋅+⋅⋅+⋅，因为M 点在该椭圆上，∴()()22121222cos θx sin θx cos θy sin θy 12bb⋅+⋅⋅+⋅+=，则12121222122sin θcos θ2sin θcos θ102b b 2x x y y y y x x ⋅⋅+=⇒=-又因为A 、B 点在也该椭圆上，∴221122x y 12b b +=，222222x y 12b b+= ∴1x 12＜＜，即直线OA 、OB 的斜率乘积为12-，同理当椭圆方程为2222y x 12b b+=时直线OA 、OB 的斜率乘积为﹣2．故答案为12-或﹣2．【点睛】本题重点考查椭圆综合，平面向量的坐标运算，注意审题仔细，要注意分类讨论椭圆的焦点位置，属于难题． 13．A 【分析】由圆C 和直线l 相交，解出a 的范围，结合选项判断即可．【详解】圆C 和直线l 相交，即圆心(),a a -到:20l x y ++=的距离小于半径，()0a a <>，解得a >则2a =是圆C 和直线l 相交的充分不必要条件故选：A 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 14．B 【分析】选项A 根据三角函数的图象变换得到2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭，判断选项A 错误；选项B 根据三角函数的图象变换得到2sin 36x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭，判断选项B 正确；选项C 根据三角函数的图象变换得到2sin 36y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，判断选项C 错误；选项D 根据三角函数的图象变换得到2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断选项D 错误.【详解】选项A ：2sin y x =向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到2sin 36x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选项A 错误；选项B ：2sin y x =向左平移6π个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到2sin 36x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选项B 正确；选项C ：2sin y x =向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的13倍，得到2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选项C 错误；选项D ：2sin y x =向左平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的13倍，得到2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选项D 错误.故选：B. 【点睛】本题考查描述三角函数的图象变换过程，是基础题. 15．C 【分析】先利用()()*11n a n N n n =∈+与910n S =求得n ,再根据2211x y n n-=+渐近线方程为y =求解即可.【详解】由()11111n a n n n n ==-++得1111111 (11223111)n n S n n n n =-+-++-=-=+++.又910n S =即9110n n =+,故9n =,故双曲线221109x y -=渐近线为10y x ==± 故选C 【点睛】本题主要考查了裂项相消求和与双曲线的渐近线方程等,属于基础题型. 16．A 【分析】先建立直角坐标系得到(4,4)AP mAB nAD m n =+=，再设(4,)Q t 得到(4cos ,sin )P t θθ++，接着建立方程组得到444)4m n t πθ+=++，最后求m n+的取值范围即可. 【详解】解：建立直角坐标系，如图，则(4,0)AB =，(0,4)AD =，(4,4)AP mAB nAD m n =+=，设(4,)Q t （[0,4]t ∈），则P 在圆22(4)()1x y t -+-=上，设(4cos ,sin )P t θθ++，则4cos 4sin 4m t nθθ+=⎧⎨+=⎩，则444cos sin 4)4m n t t πθθθ+=+++=+++，则当0t =，54πθ=时，()min 444m n +=4t =，4πθ=时，()max 448m n +=所以m n +的取值范围：1,244⎡-+⎢⎣⎦故选：A 【点睛】本题考查利用平面向量求参数范围，是中档题. 17．（1））祥见解析；（2）【详解】试题分析：（1）由线面垂直得VC ⊥BC ，由直径性质得AC ⊥BC ，由此能证明BC ⊥平面V AC ．（2）首先由（1）作出直线AM 与平面VAC 所成的角：取VC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥BC ，由（I ）得BC ⊥平面V AC ，所以MN ⊥平面V AC ，则∠MAN 为直线AM 与平面V AC 所成的角.即∠MAN=4π，所以MN=AN ；这样就可求出AC 的长，且而求得体积．试题解析：（1）证明：因为VC ⊥平面ABC ，BC ABC ⊂平面，所以VC ⊥BC ，又因为点C 为圆O 上一点，且AB 为直径，所以AC ⊥BC ，又因为VC ，AC ⊂平面VAC ，VC∩AC=C ，所以BC ⊥平面V AC.（2）如图，取VC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥BC ，由（I ）得BC ⊥平面V AC ，所以MN ⊥平面V AC ，则∠MAN 为直线AM 与平面V AC 所成的角.即∠MAN=4π，所以MN=AN ；令AC=a,则，；因为VC=2，M 为VC 中点，所以，解得a=1因为MN ∥BC,所以考点：1.直线与平面垂直的判定;2. 棱柱、棱锥、棱台的体积;3. 直线与平面所成的角. 18．(1)()2sin 3g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；(2)12,4m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式和辅助角公式可化简()f x ，再利用()()g x f x =-可得()g x 的解析式.（2）令()t x g =，则(t ∈-，则方程20t t m -+=在(-有解，参变分离后可求m 的取值范围. 【详解】 (1)()()sin sin sin sin 42424242x x x x f x x xπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin sin 2sin 23x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称，则()2sin 2sin 33g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1,,sin 336322x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈--∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()(g x ∈-令()(g x t =∈-，所以方程20t t m -+=在(-有解，故方程221124m t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭在(-有解，所以直线y m =与函数21124y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，(t ∈-的图象有公共点，而函数21124y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，(t ∈-的值域为12,4⎛⎤- ⎥⎝⎦，故12,4m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，考查函数与方程思想，考查正弦函数的图象与性质，属于中档题．19．（1）500；（2）(0,5.1]. 【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可；（2）求出x 的范围，得出不等式310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值．【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作（1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立，因为0400x <≤，所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=，所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤，即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20．（1）22143x y +=；（2）证明过程见详解；（3）5(,0)(0,)24-⋃+∞. 【分析】（1）本小题先建立方程组2222223a cb a a bc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再求出2a =，b =1c =，最后求出椭圆C 的方程即可；（2）本小题先得到112132x k k y +=-，再得到234232x k k y +=，接着判断1122x y x y =，最后得到结论即可；（3）本小题先用233(,)4y E y 表示出432123161''16y k k y -=，（2383y >且32y ≠-），再建立函数1()16t f t t=-求导得到()f t 的取值范围，最后求导121''k k 的取值范围.【详解】（1）因为过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为3，所以223ba=，所以2222223a c b a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：2a =，b =1c =，所以椭圆C 的方程：22143x y +=；（2）由（1）可知：(2,0)A -、(2,0)B 、1(1,0)F -、2(1,0)F ，设点11(,)P x y ，则2211143x y +=，整理得：2211443y x -=-， 1111111122211111223422423y y x y x y x k k y x x x y +=+===-+---；设点22(,)P x y ，则2222143x y -=，整理得：2222443y x -=， 2222222342222222223422423y y x y x y xk k y x x x y +=+===+--.又因为OP 与OQ 共线，所以12x x λ=，12y y λ=，所以1122x y x y =，所以121212341212333()0222x x x x k k k k y y y y +++=-+=-+=，所以1234k k k k +++为定值；（3）设233(,)4yE y ，由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：222383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由E 在椭圆C 外的抛物线K ：24y x =上一点，则2383y >，则3123'14y k y =+，（2383y >且32y ≠-）；3223'14y k y =-，（2383y >且32y ≠-），则23331222433316''161144y y y k k y y y =⋅=--+，（2383y >且32y ≠-），则432123161''16y k k y -=，（2383y >且32y ≠-），令23y t =，（83t >且4t ≠），设1()16t f t t=-，（83t >且4t ≠），则211'()016f t t =+>，所以1()16t f t t=-在8(,4)3，(4,)+∞上单调递增，所以()f t 的取值范围：5(,0)(0,)24-⋃+∞，所以121''k k 的取值范围5(,0)(0,)24-⋃+∞. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，圆锥曲线相关的定值问题、圆锥曲线相关的参数取值范围问题，是偏难题. 21．（1）12k = ；（2）[]10,1a ∈；（3）证明见详解. 【分析】（1）根据题意，将123a =代入表达式，求出23a k =，以及323a =，再根据数列的新定义即可求解.（2）根据数列的新定义，当110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，只需114a ≠，即满足4d d a a +=，当11,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，只需134a ≠，即满足4d d a a +=，从而可得1a 的取值集合. （3）逐一列出1,2,3,4,5m =，根据数列的新定义即可证明存在11m a a +=. 【详解】（1）123a =，23a k =，当1032k ≤≤，()3212323k a f a ==+= 解得12k =，21a a ≠，当1123k <≤，32133k a k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得2k =，此时21a a =，不符合题意，综上，12k =.（2）当10a =，212a =，31a =，40a =，512a =，，既不是4T 数列，也不是5T 数列，当112a =，21a =，30a =，412a =，51a =，，既不是4T 数列，也不是5T 数列，当11a =，20a =，312a =，41a =，50a =，，既不是4T 数列，也不是5T 数列，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2112a a =+，3112a a =-，411a a =-，15a a =，6112a a =+，，只需114a ≠，即满足4d d a a +=，且当15n <<，1n a a ≠，∴是4T 数列，5d a d a +≠，∴不是5T 数列，当11,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，211a a =-，3132a a =-，4112a a =-，15a a =，611a a =-，，只需134a ≠，即满足4d d a a +=，且当15n <<，1n a a ≠， ∴是4T 数列，5d a d a +≠，∴不是5T 数列，综上，存在[]10,1a ∈，使得{}n a 是4T 数列，但对任意[]10,1a ∈，{}n a 不是5T 数列.（3）1m = ，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()21f x x x =-=，有解，存在21a a =，2m =，当13,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()242f x f f x x x ==-=，有解，存在31a a =，3m =，当53,84x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()3286f x f f x x x ==-+=，有解，存在41a a =，4m =，当511,816x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()431610f x f f x x x ==-=，有解，存在15a a =，，当m 为奇数，在112122,3232m m m m x ++⎛⎫-+∈ ⎪⋅⋅⎝⎭， ()12223m mm f x x x ++=-+=，有解，存在11m a a +=，当m 为偶数，在112221,3232m m m m x ++⎛⎫-+∈ ⎪⋅⋅⎝⎭， ()12223m mm f x x x +-=-=，有解，存在11m a a +=，结合函数映射性质可知，当11n m <<+时，1n x x ≠， ∴对任意*m N ∈，都存在[]10,1a ∈，使得m T 是数列【点睛】本题考查了数列的新定义，考查了考生的理解能力、分析能力以及计算能力，属于难题.。

2020届上海市七宝中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)

2020届上海市七宝中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．设R θ∈，则“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分别判断充分性和必要性，得到答案. 【详解】当6πθ=,可以得到1sin 2θ=, 反过来若1sin 2θ=，至少有6πθ=或56π，所以6πθ=为充分不必要条件故答案选A. 【点睛】本题考查了充分必要条件，属于基础题型. 2．下列命题正确的是（）A ．如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B ．如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C ．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D ．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行【答案】D【解析】由直线与直线位置关系，可判断出A 错；由线面垂直的判定定理，判断B 错；由直线与平面位置关系判断C 错；从而选D 。

【详解】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或相交，或异面，故A 错误；如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线不一定垂直于这个平面，故B 错误；如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面，但平面内直线不满足条件，故C 错误；果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故D 正确；【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间线面关系的判定，难度不大，属于基础题．3．函数①()3ln f x x =；②cos ()3x f x e =；③()3x f x e =；④()3cos f x x =；其中对于()f x 定义域内任意一个自变量1x 都存在唯一自变量2x 3=成立的函数是（） A.①③ B.②③C.①②④D.③【答案】D【解析】根据题意可知其中对于f （x ）定义域内的任意一个自变量x 1都存在唯一个自变量x 2=3即要判断对于任意一个自变量x ，即函数在定义域内每个函数值，都有其倒数的9倍，从而得到结论．【详解】在①f (x )=3ln x 中,∵f (1)=0,∴不存在自变量2x ,3=成立，故①不成立；在②f (x )=3e cos x 中，∵函数不是单调函数，∴对于定义域内的任意一个自变量1x ，3=成立的自变量2x 不唯一，故②不成立；在③()3x f x e =中，函数是单调函数，且函数值不为0，故定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一一个自变量2x ,3=成立，故③成立；在④f (x )=3cos x 中,∵f (2π)=0,∴不存在自变量2x ,3=成立，故④不成立。

【解析版】2020年上海市高考数学(文科)预测押题试卷

由全国各地一线教师精心编制《高考终极预测押题卷》对近十年全国各地高考试题的全方位精确分析，把我命题规律，找出命题趋势。

全网首发！百位名师呕血专研，只为高考最后一搏！上海市高考数学（文科）预测押题试卷一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（•上海）函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．考点：对数函数的定义域．3804980专题：计算题．分析：由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．解答：解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）点评：本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．2．（4分）（•普陀区二模）若且sin2θ＜0，则tanθ=﹣．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．3804980专题：三角函数的求值．分析：由条件求得cosθ＜0，可得cosθ=﹣以及tanθ=的值．解答：解：∵，且sin2θ=2sinθcosθ＜0，∴cosθ＜0，故cosθ=﹣=﹣，∴tanθ==﹣，故答案为﹣．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及二倍角公式的应用，属于基础题．3．（4分）（•普陀区二模）若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f﹣1（x）=x2（x≥0）．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；反函数．3804980专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过函数经过的点求出幂函数解析式，利用反函数的求法求出反函数即可．解答：解：因为点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，所以2=4a，所以a=，所求幂函数为：y=，x≥0，则x=y2，所以原函数的反函数为：f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）点评：本题考查幂函数解析式的求法，反函数的求法，基本知识的应用．4．（4分）（•普陀区二模）若z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且为纯虚数，则实数a=﹣2．考点：复数代数形式的乘除运算．3804980专题：计算题．分析：根据且==为纯虚数，可得a+2=0，且2﹣a≠0，由此解得a的值．解答：解：∵z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且===为纯虚数，故有a+2=0，且2﹣a≠0，解得a=﹣2，故答案为﹣2．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．5．（4分）（•普陀区二模）若，则=﹣243．考点：二项式定理的应用．3804980专题：计算题．分析：给x赋值1，﹣1，要求的式子用平方差公式分解，把赋值后的结果代入求出最后结果．解答：解：因为，令x=1得到35=a0+a1+a2+a3+a4+a5，令x=﹣1得到﹣1=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，又（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2=﹣（a0+a1+a2+a3+a4+a5）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5）=﹣35=﹣243．故答案为：﹣243点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是理解赋值法的应用，观察要求的式子的结构特点，本题是一个中档题目．6．（4分）（•普陀区二模）若函数f（x）=x2+ax+1是偶函数，则函数的最小值为2．考点：二次函数的性质；函数奇偶性的性质．3804980专题：计算题；函数的性质及应用．分析：依题意，可求得a=0，从而可得y==|x|+，利用基本不等式即可求得所求函数的最小值．解答：解：∵f（x）=x2+ax+1是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴a=0．∴f（x）=x2+1，∴y==|x|+≥2（当且仅当x=±1时取“=”）．∴函数y=的最小值为2．故答案为：2．点评：本题考查基本不等式，考查函数的奇偶性，求得a=0是关键，属于中档题．7．（4分）（•普陀区二模）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C 的方程为．考点：双曲线的简单性质．3804980专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b 的值，即可求得双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴，解得，a=2∴双曲线的方程为故答案为：点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（4分）（•普陀区二模）若某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．3804980专题：计算题．分析：利用列举法列举出从4名男生、2名女生中选出3人的所有方法，然后找出至少有两名男生的方法种数，直接利用古典概型的概率计算公式计算．解答：解：设4名男生分别记为1，2，3，4．两名女生分别记为a，b．则从4名男生、2名女生中选出3人的选法共有：（123），（124），（134），（234），（12a），（12b），（13a），（13b），（14a），（14b），（23a），（23b），（24a），（24b），（34a），（34b），（1ab），（2ab），（3ab），（4ab）共20种．其中至少含有2名男生的是：（123），（124），（134），（234），（12a），（12b），（13a），（13b），（14a），（14b），（23a），（23b），（24a），（24b），（34a），（34b）共16种．所以从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为．故答案为．点评：本题考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解答此题的关键是列举时做到不重不漏，是基础题．9．（4分）（•普陀区二模）若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为6．考点：简单线性规划．3804980专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值．由此求出A点坐标，不难得到本题的答案．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于△ABO及其内部的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由解得A（2，2）∴z max=F（2，2）=2+2×2=6故答案为：6点评：本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单线性规划等知识点，属于基础题．10．（4分）（•普陀区二模）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为0．考点：三阶矩阵；两条直线的交点坐标．3804980专题：直线与圆．分析：先求x+y+2=0和2x﹣y+1=0的交点，代入直线ax+y+3=0，即可得到a的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．解答：解：解方程组得交点坐标为（﹣1，﹣1），代入ax+y+3=0，得a=2．行列式=2+4﹣3﹣6+4﹣1=0．故答案为：0．点评：本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力．11．（4分）（•普陀区二模）△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则C=．考点：余弦定理．3804980专题：解三角形．分析：利用余弦定理求得a=b，再利用余弦定理求得cosC=，可得角C的值．解答：解：△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则由余弦定理可得a2=b2+﹣2b••cos=b2，∴a=b．再根据cosC===，故有C=，故答案为．点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．12．（4分）（•普陀区二模）若圆C的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点A，点B是圆上的动点，则的最大值为3．考点：向量在几何中的应用．3804980专题：计算题；平面向量及应用．分析：设的夹角为θ，过C作CM⊥AB，则AB=2AM，然后结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ，再利用三角函数的定义可用θ表示AM，代入向量的数量积的定义=||||cosθ，最后结婚二倍角公式及正弦函数的性质即可求解解答：解：设的夹角为θ过C作CM⊥AB，垂足为M，则AB=2AM由过点A的直线与圆相切，结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ∵在直角三角形AMC中，由三角函数的定义可得，sin∠ACM=∴AM=3sinθ，AB=6sinθ∵=||||cosθ=|AB|cosθ=6sinθcosθ=3sin2θ≤3当sin2θ=1即θ=45°时取等号故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积的定义，弦切角定理及三角函数的定义的综合应用，试题具有一定的灵活性13．（4分）（•普陀区二模）已知函数，若f（1﹣a2）＞f（2a），则实数a的取值范围是．考点：指、对数不等式的解法．3804980专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过函数的单调性，转化不等式组求解即可．解答：解：函数，x＜0时是常函数，x≥0时是增函数，由f（1﹣a2）＞f（2a），所以，解得：，故答案为：．点评：本题考查函数单调性的应用，不等式的解法，考查计算能力．14．（4分）（•普陀区二模）若ai，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且ai+1，j+1=ai+1，j+ai，j（i、j=1，2，3，…，n﹣1），则=．考点：高阶矩阵．3804980专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：依题意，可求得a3，1=3，a3，2=5，a3，3=8，a3，4=12，…由于后一项减去前一项的差构成等差数列，利用累加法即可求得a3，n．最后利用极限公式即可得出答案．解答：解：依题意，a3，1=3，a3，2=a3，1+a2，1=3+2=5，a3，3=a3，2+a2，2=5+3=8，a3，4=a3，3+a2，3=8+4=12，…∴a3，2﹣a3，1=5﹣3=2，（1）a3，3﹣a3，2=8﹣5=3，（2）a3，4﹣a3，3=12﹣8=4，（3）…a3，n﹣a3，n﹣1=n，（n﹣1）将这（n﹣1）个等式左右两端分别相加得：a3，n﹣a3，1=2+3+…+（n﹣1）==n2+n﹣1，∴a3，n=n2+n﹣1+3=n2+n+2．则==．故答案为：．点评：本题考查数列的通项，考查矩阵变换的性质，突出累加法求通项的考查，属于难题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（•普陀区二模）若集合A={x|y2=4x，y∈R}，，则A∩B=（）A．[0，1] B．（﹣2，1] C．（﹣2，+∞）D．[1，+∞）考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．3804980专题：不等式的解法及应用．分析：由y∈R，得化简集合A，解分式不等式化简集合B，然后直接进行交集运算．解答：解：由y2=4x，y∈R，所以x≥0，所以A={x|y2=4x，y∈R}={x|x≥0}；再由，得，解得﹣2＜x≤1．所以={x|﹣2＜x≤1}，则A∩B={x|x≥0}∩{x|﹣2＜x≤1}=[0，1]．故选A．点评：本题考查了分式不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础的计算题．16．（5分）（•普陀区二模）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．4：1考点：球的体积和表面积．3804980专题：计算题．分析：根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．解答：解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选C．点评：本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．17．（5分）（•普陀区二模）若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A．充分非必要条件．B．必要非充分条件．C．充要条件．D．既非充分又非必要条件．考点：复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断．3804980分析：一方面由a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，得到△=a2﹣4＜0，解得a的取值范围，即可判断出“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”，可得，解出a的取值范围，即可判断出△＜0是否成立即可．解答：解：①∵a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2．∴﹣3＜2a﹣1＜3，﹣3＜a﹣1＜1，因此z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点不一定位于第四象限；②若“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”正确，则，解得．∴△＜0，∴关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确．综上①②可知：若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件．故选B．点评：熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键．18．（5分）（•普陀区二模）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且（a为常数）．下列结论中，正确的是（）A．当0＜a＜1时，满足条件的点P有且只有一个．B．当a=1时，满足条件的点P有三个．C．当a＞1时，满足条件的点P有无数个．D．当a为任意正实数时，满足条件的点P是有限个．考点：平面向量的综合题．3804980专题：计算题；平面向量及应用．分析：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示设P（x，y），将式子化为关于x、y、a的式子，化简整理可得x2+（y﹣）2=（a﹣1），讨论a的取值范围，可得当a＞1时方程表示以点（0，）为圆心，半径r=的圆，满足条件的点P有无数个，可知只有C项符合题意．解答：解：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示则A（﹣，0），B（，0），C（0，），设P（x，y），可得=x2+（y﹣）2，=（x+）2+y2，=（x﹣）2+y2∵∴x2+（y﹣）2+（x+）2+y2+（x﹣）2+y2=a化简得：3x2+3y2﹣y+﹣a=0，即x2+y2﹣y+﹣=0配方，得x2+（y﹣）2=（a﹣1） (1)当a＜1时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；当a=1时，方程（1）的右边为0，表示点（0，），恰好是正三角形的重心；当a＞1时，方程（1）的右边大于0，表示以（0，）为圆心，半径为的圆由此对照各个选项，可得只有C项符合题意故选：C点评：本题给出正三角形中满足条件的动点P，求点P的轨迹方程，着重考查了坐标系内两点的距离公式、圆的标准方程和含有参数的二次方程的讨论等知识，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（•普陀区二模）已知函数f（x）=Acos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，）的图象与y 轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．3804980专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数的图象，直接求出A，T然后求出ω，利用函数经过（0，1）结合ϕ的范围求出ϕ的值，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用锐角θ满足，求出，然后利用两角和的正弦函数求f（2θ）的值．解答：解：（1）由题意可得A=2…（1分）即T=4π，…（3分），f（0）=1由且，得函数（2）由于且θ为锐角，所以f（2θ）===点评：本题考查三角函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数的应用同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．20．（14分）（•普陀区二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是B1B、DC的中点．（1）求三棱锥E﹣FCC1的体积．（2）求异面直线D1F与A1E所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．3804980专题：空间角．分析：（1）根据给出的多面体是正方体，所以三角形ECC1的面积易求，且F点到面ECC1的高可求，把三棱锥E﹣FCC1的体积转化为三棱锥F﹣ECC1的体积，直接利用体积公式求解；（2）取AB的中点G，连接A1G，则∠EA1G即为两异面直线D1F与A1E所成角，在△A1GE中直接利用余弦定理即可求解．解答：解：（1）由=因给出的多面体为正方体，所以FC⊥平面ECC1，且FC=1，又△ECC1的底CC1=2，高为E到CC1的距离等于2，所以==．（2）如上图，取AB的中点为G，连接A1G，GE由于A1G∥D1F，所以直线A1G与A1E所成的锐角或直角即为异面直线A1E与D1F所成的角．在△A1GE中，，，由余弦定理得，＞0所以即异面直线A1E与D1F所成的角的大小为．点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧，此题是中档题．21．（14分）（•普陀区二模）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．考点：函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．3804980专题：函数的性质及应用．分析：（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x 的值，注意验证即可；（2）方程可化为，设1﹣x=t∈（0，1]，构造函数，可得单调性和最值，进而可得吗的范围．解答：解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）由，可解得﹣1＜x＜1，所以函数F（x）的定义域为（﹣1，1）令F（x）=0，则…（*）方程变为，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0解得x1=0，x2=﹣3，经检验x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0即函数F（x）的零点为0．（2）方程可化为=，故，设1﹣x=t∈（0，1]函数在区间（0，1]上是减函数当t=1时，此时x=0，ymin=5，所以am≥1①若a＞1，由am≥1可解得m≥0，②若0＜a＜1，由am≥1可解得m≤0，故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0点评：本题考查函数的零点与方程的跟的关系，属中档题．22．（16分）（•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k=1，P（6，0），求△PAB的面积；（3）当k（k∈R且k≠0）变化时，试求一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；直线的一般式方程．3804980专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程和a2=b2+c2，即可得到F及A的坐标，从而得到k的值，即可得到直线l 的方程；（2）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出点A、B的纵坐标，利用即可得到面积；（3）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，表示出直线AC 和BC的斜率，令其和为0解出x0即可．解答：解：（1）由题意a2=18，b2=9得c=3，∴F（3，0），∵且点A在x轴的上方，得A（0，3），k=﹣1，．直线l：，即直线l的方程为x+y﹣3=0（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当k=1时，直线l：y=x﹣3将直线与椭圆方程联立，消去x得，y2+2y﹣3=0，解得y1=﹣3，y2=1，|y1﹣y2|=4，∴．（3）假设存在这样的点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，由题意得，直线l：y=k（x﹣3）（k≠0），消去y得，（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0△＞0恒成立，，=∴2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，．解得x0=6，所以存在一点（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．点评：熟练掌握椭圆的标准方程和a2=b2+c2、点斜式得到直线l的方程与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系、三角形的面积计算公式是解题的关键．23．（18分）（•普陀区二模）对于任意的n∈N*，若数列{an}同时满足下列两个条件，则称数列{an}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得an≤M成立．（1）数列{an}、{bn}中，an=n、（n=1，2，3，4，5），判断{an}、{bn}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{cn}的前n项和为Sn，且，，求证：数列{Sn}具有“性质m”；（3）数列{dn}的通项公式（n∈N*）．对于任意n∈[3，100]且n∈N*，数列{dn}具有“性质m”，求实数t的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合．3804980专题：综合题；新定义．分析：（1）在数列{an}中，令n=1可验证不满足条件①；在数列{bn}中，按“性质m”的定义验证条件①②即可；（2）将代入S3=可求得q，从而求得cn，Sn，利用放缩法可验证数列{Sn}满足及Sn＜2；（3）写出dn+1，dn+2，数列{dn}具有“性质m”，由条件①得dn+dn+2＜2dn+1恒成立，代入后化简分离出t，转化为最值问题可得t的范围，在该范围下可判断数列{dn}为递增数列，从而可知{dn}最大项的值为d100，由此知存在M满足条件②，从而得知t的范围；解答：（1）解：在数列{an}中，取n=1，则，不满足条件①，所以数列{an}不具有“m性质”；在数列{bn}中，b1=1，，b3=2，，b5=1，则，，，所以满足条件①；（n=1，2，3，4，5）满足条件②，所以数列{bn}具有“性质m”．（2）证明：由于数列{cn}是各项为正数的等比数列，则公比q＞0，将代入S3=，得6q2﹣q﹣1=0，解得或（舍去），所以c1=1，，，对于任意的n∈N*，，且Sn＜2，所以数列{Sn}满足条件①和②，所以数列{Sn}具有“m性质”；（3）由于dn=，则，，由于任意n∈[3，100]且n∈N*，数列{dn}具有“性质m”，所以dn+dn+2＜2dn+1，即，化简得，t（n﹣2）＞1，即对于任意n∈[3，100]且n∈N*恒成立，所以t＞1①，=，由于n∈[3，100]及①，所以dn+1＞dn，即n∈[3，100]时，数列{dn}是单调递增数列，所以{dn}最大项的值为，满足条件②只需即可，所以这样的M存在②，所以t＞1即可．点评：本题考查等差数列、等比数列的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决新问题的能力，考查学生对题目的阅读理解能力，对能力要求较高．。

2020届上海市高三押题卷二数学试题

2020届上海市高三押题卷二数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{|21}A x x =-<≤，{2,1,0}B =--，则AB =________ 2．抛物线24x y =的焦点坐标是__________．3．在锐角△ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于________.4．方程9360x x --=的解x =________5．二项展开式622()x x +中第三项的系数是________ 6．若122log (42)0ax x a -+-<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________7．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，使得关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根，则不同的选取方法有________种8．已知0x >，0y >，1211x y +=+，则x y +的最小值为________ 9．已知数列{}n a 首项11a =，13n n a S +=*()n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =________10．如图直三棱柱ABB 1-DCC 1中， BB 1⊥AB ，AB=4，BC=2，CC 1=1，DC 上有一动点P ，则△APC 1周长的最小值是 .11．已知曲线C y =：2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是_________．12．定义在R 上的函数()f x ，给出下列四个命题：①若()f x 是偶函数，则(1)f x +的图像关于直线1x =对称；②若(3)(3)f x f x +=--，则()f x 的图像关于点(3,0)对称；③若(3)(3)f x f x +=-，且(4)(4)f x f x +=-，则()f x 的一个周期为2；④(3)y f x =+与(3)y f x =-的图像关于直线3x =对称；其中正确命题的序号为________13．{}n a 为等差数列，则使等式12n a a a +++12111n a a a =++++++1233a a =+++++1235552019n n a a a a +=++++++=能成立的数列{}n a 的项数n 的最大值是_________.14．若,a b c R a b ∈>、、，则下列不等式成立的是（） A ．11a b < B ．22a b > C ．2211a b c c >++ D ．||||a c b c >15．无穷等比数列{}n a *()n N ∈的前n 项的和是n S ，则下列首项1a 中，使得1lim 2n n S →∞=的只可能是（） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14- 16．对于平面向量x 和给定的向量a ，记()2()f x x x a a =-⋅，若()()f x f y x y ⋅=⋅对任意向量,x y 恒成立，则a 的坐标可能是（）A ．1(,)22-B ．,44C ．31(,)44 D ．1(,22- 17．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，2AC =，1BC =，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离是（）A ．1BC ．3D 18．如图所示，在三棱锥P ABC -中，PD ⊥平面ABC ，且垂足D 在棱AC 上，1AD =，AB BC ==3CD =，PD =.（1）证明：△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角θ的正弦值.19．已知ABC 的角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，设向量(),m a b =，()sin ,sin n B A =，()2,2p b a =--．（1）若//m n ，判断ABC 的形状；（2）若m p ⊥，边长2c =，60C ︒∠=，求ABC 的面积．20．2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长0050．记 2016 年为第 1 年，()f n 为第 1 年至此后第 ()N n n *∈年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 ()f n 为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 ()f n 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．21．已知过椭圆方程2212x y +=右焦点F 、斜率为k 的直线l 交椭圆于P 、Q 两点.（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(),0M m ，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.22．我们把定义在R 上，且满足()()f x T af x +=（其中常数a ，T 满足1a ≠，0a ≠，0T ≠）的函数叫做似周期函数．（1）若某个似周期函数()y f x =满足1T =且图像关于直线1x =对称．求证：函数()f x 是偶函数；（2）当1T =，2a =时，某个似周期函数在01x ≤<时的解析式为()()1f x x x =-，求函数()y f x =，[),1,x n n n Z ∈+∈的解析式；（3）对于确定的0T >且0x T <≤时，()31f x x =+，试研究似周期函数()y f x =在区间()0,∞+上是否可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由．参考答案1．{1,0)-【解析】【分析】根据交集的定义，写出A ∩B ．【详解】集合A ＝{x |﹣2＜x ≤1}，B ＝{﹣2，﹣1，0}，则A ∩B ＝{﹣1，0}．故答案为{﹣1，0}．【点睛】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2．()0,1【解析】【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.【详解】因为抛物线方程为24x y =，所以焦点在y 轴上，且焦点为()0,1. 故答案为()0,1【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.3．6π 【解析】试题分析：利用正弦定理化简2sin b a B =，得sin 2sin sin B A B =，因为sin 0B ≠，所以1sin 2A =，因为A 为锐角，所以6A π=．考点：正弦定理的应用．【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用、以及特殊角的三角函数值问题，其中解答中涉及到解三角形中的边角互化，转化为三角函数求值的应用，解答中熟练掌握正弦定理的变形，完成条件的边角互化是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，同时注意条件中锐角三角形，属于中档试题．4．1【解析】【分析】因式分解（3x ﹣3）（3x +2）＝0，从而求得x ＝1．【详解】∵9x ﹣3x ﹣6＝0，∴（3x ﹣3）（3x +2）＝0，∴3x ＝3，∴x ＝1，故答案为1．【点睛】本题考查了因式分解的应用及指数运算的应用，属于基础题．5．60【解析】【分析】利用通项公式写出展开式的第三项，求出系数即可．【详解】 ∵二项式622()x x +展开式的通项公式为T r+166r r C x -=⋅ 22r x ⋅（），所以第三项的系数为2262C ⋅＝60，∴第三项的系数为：60．故答案为60．【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题．6．4a >.【解析】由已知得不等式21122log (42)log 1ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，所以不等式2421ax x a -+->对任意x R ∈恒成立，即不等式2430ax x a -+->对任意x R ∈恒成立，当0a =时，则不等式430x -->对任意x R ∈不恒成立，所以0a ≠．所以20(4)4(3)0a a a >⎧⎨∆=---<⎩ ，即20340a a a >⎧⎨-->⎩ ，所以014a a a >⎧⎨-⎩或．解得4a >．【点睛】解对数不等式应将两边都化成同底数的对数，利用对数函数的单调性比较真数的大小．不等式212log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，可转化为不等式2430ax x a -+->对任意x R ∈恒成立，分0a =与0a ≠两种情况讨论．0a ≠时结合二次函数的图像得结论．7．3【解析】【分析】关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，即△＜0，即a ＜b ．用列举法求得结果即可．【详解】∵关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，∴△＝4a 2﹣4b 2＜0，∴a ＜b ．所有的（a ，b ）中满足a ＜b 的（a ，b ）共有（1，2）、（1，3）、（2，3），共计3个，故答案为3．【点睛】本题考查列举法表示满足条件的事件，考查了实系数方程虚根的问题，属于中档题． 8．【解析】因为0,0x y >>，所以10y +>，1212111()(1)111x y x yx y x y x y +=∴+=++-=+++-++121212122211y x y x x y x y ++=+++-=++≥+=+++．当且仅当1211121x y y xxy ⎧+=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩ 即1x y ==+“=”号，此时，x y +的最小值为2+．9．*1,134,2,16n n n n N =⎧⎪⎨⋅≥∈⎪⎩ 【解析】【分析】当2n ≥时，13n n a S -=，和已知的式子相减，变形可得14n na a += ()2n ≥，再求2a ，判断数列的形式，求通项公式.【详解】当2n ≥时，13n n a S -=，两式相减得：()113n n n n a a S S +--=-得：1134n n n n n a a a a a ++-=⇒=，即14n na a += ()2n ≥ 2133a S ==，2134a a =≠， ∴数列{}n a 是从第二项起的等比数列，当2n ≥时，222343416nn n n a a q --⋅==⨯=. ∴数列{}n a 的通项公式是13416n n a ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩ *12,n n n N =≥∈ 故答案为：13416n n a ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩ *12,n n n N =≥∈ 【点睛】本题考查数列已知n S 求n a ，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型，本题的易错点是忽略n 的取值，从而认为数列{}n a 是等比数列.10．5+【解析】试题分析：要求周长的最小值，因边为定值，只要求另两边之和的最小值，因两点直线线段最短，所以的最小值为因此△APC 1周长的最小值是521+．考点：棱柱的相关知识.11．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=，说明A 是PQ 的中点，结合y 的范围，求出m 的范围即可．【详解】解：曲线:C y =，是以原点为圆心，3为半径的半圆（圆的下半部分），并且[3P y ∈-，0]，对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，说明A 是PQ 的中点，Q 的纵坐标2y =，21[,1]22py m +∴=∈-．故答案为：1[,1]2-．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．12．②③【解析】【分析】①若f （x ）是偶函数，则f （x ）的图象关于y 轴对称，f （x +1）的图象可由f （x ）图象向左平移1个单位得到，即可判断；②由f （x +a ）+f （a ﹣x ）＝2b ，则f （x ）的图象关于点（a ，b ）对称，即可判断；③由函数的对称性得f （x +6）＝f （﹣x ），且f （x +8）＝f （﹣x ），即有f （x +2）＝f （x ），即可判断；④令x +3＝t ，则x ＝t ﹣3，则y ＝f （t ）和y ＝f （6﹣t ）的图象关于t ＝3对称，即可判断．【详解】①若f （x ）是偶函数，则f （x ）的图象关于y 轴对称，f （x +1）的图象可由f （x ）图象向左平移1个单位得到，故图象关于直线x ＝﹣1对称，故①错；②若f （x +3）＝﹣f （3﹣x ），即f （3+x ）+f （3﹣x ）＝0，则f （x ）的图象关于点（3，0）对称，故②对；③若f （x +3）＝f （3﹣x ），且f （x +4）＝f （4﹣x ），则f （x +6）＝f （﹣x ），且f （x +8）＝f （﹣x ），即有f （x +6）＝f （x +8）即有f （x +2）＝f （x ），则f （x ）的一个周期为2，故③对；④令x +3＝t ，则x ＝t ﹣3，则y ＝f （t ）和y ＝f （6﹣t ）的图象关于t ＝3对称，则y ＝f （x +3）与y ＝f （3﹣x ）的图象关于直线x ＝0对称，故④错．故答案为②③．【点睛】本题考查抽象函数及运用，考查函数的对称性和周期性及应用，属于中档题．13．40【解析】【分析】易得{}n a 中有正有负,再设1,k k a a -分别为由正变负或由负变正的临界两项,再去绝对值分析即可.【详解】易得{}n a 中有正有负,则数列{}n a 中的项一定满足100k k a a +>⎧⎨<⎩或100k ka a +>⎧⎨<⎩,且项数为偶数. 不妨设100k k a a +>⎧⎨<⎩,设公差为d ,则此时10,0a d <>,且2n k =.k Z ∈ 又12n a a a +++12111n a a a =++++++1233a a =+++++1235552019n n a a a a +=++++++=.故5d >. 故122019n a a a +++=有123122......k k k k a a a a a a a ++-----++++()()1231232122......k k k a a a a a a a a a -=-++++++++211(1)2(21)22201922k k k k ka d ka d k d --⎛⎫⎛⎫=-+++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为5d >,故222201920195403.85k d k k =>⇒<=.因为k Z ∈ 故20k ≤,40n ≤ 故答案为：40 【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质的分析,需要根据题意分析出公差满足的条件,再根据条件列出对应的表达式求范围即可.属于难题. 14．C 【解析】【分析】由不等式性质证明不等式是正确的，举反例说明不等式是错误的．【详解】若1,2a b =-=，则A 、B 均错，若0c ，则D 错，∵2110,c a b +≥>>，∴2211a bc c >++，C 正确．故选C ．【点睛】本题考查不等式的性质，解题时一定要注意不等式的性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘（或除）的数一定要分正负，否则易出错． 15．C 【解析】无穷等比数列，111lim ,112n n a a S q q →∞=∴=--，112.11,0q a q q ∴=--<<≠．111121,120a a ∴-<-<-≠ ．11101,2a a ∴<<≠．所以选C ． 16．D2()()[2()][2()]4()()4()()f x f y x x a a y y a a x y y a a x x a y a a ⋅=-⋅-⋅=⋅-⋅⋅+⋅⋅．因为()()f x f y x y ⋅=⋅，所以21||=1a a =∴．只有选项D 的向量的模等于1．所以选D ．【点睛】根据()()2f x x x a a =-⋅写出2()()[2()][2()]4()()4()()f x f y x x a a y y a a x y y a a x x a y a a ⋅=-⋅-⋅=⋅-⋅⋅+⋅⋅，因为()()f x f y x y ⋅=⋅对任意向量,x y 恒成立，所以两式右边相等，可得21||=1a a =∴，验证四个选项即可． 17．A 【解析】【分析】取AC 的中点D ，连接,BD OD ，根据数形结合分析可知BO BD DO ≤+，根据,,B O D 的位置关系求BO 的最大值. 【详解】取AC 的中点D ，连接,BD OD ，90ACB ∠=，112OD AC ∴==，BD ==由图象可知1BO BD DO ≤+=，当,,B O D 三点共线时，等号成立，所以点B 到原点O 的最大距离是1. 故选：A.本题考查动点和定点距离的最大值，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，本题的关键是分析,,B D O 三点的位置关系.18．（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法，即可证得PBC ∆为直角三角形；（2）求出平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解直线AP 与平面PBC 所成角θ的正弦值. 【详解】（1）由题意，取AC 的中点F ，以点F 为坐标原点，以,FB FC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -，则(0,2,0),(0,B C P -，于是(2,1,3),(2,2,0)BP BC =--=-,因为((2,0)2200BP BC ⋅=--⋅=-+=，所以BP BC ⊥，即BP BC ⊥，所以PBC ∆为直角三角形. （2）由（1）可得(0,2,0)A -,于是(0,1,3),(2,1,3),(0,3,AP PB PC ==-=，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PB n PC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即030y y +=-=⎪⎩，取1y =，则z z ==，所以平面PBC的法向量为(2,1,n =，所以46sin cos cos ,n326AP n AP AP nθθ，所以直线AP 与平面PBC .【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算和向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．（1）等腰三角形；（2. 【解析】【分析】（1）根据//m n ，利用向量平行的坐标表示，可直接根据边的关系，判断三角形的形状；（2）根据向量垂直的数量积的坐标表示可得ab a b =+，再根据余弦定理()22243a b ab a b ab =+-=+-，两式联立可直接求得ab ，并求得三角形的面积.【详解】（1）若//m n ，则sin sin 0a A b B -=，即220a b -=，解得：a b =，ABC ∆是等腰三角形.（2）若m p ⊥，则()()220a b b a -+-=，解得：ab a b =+，根据余弦定理可得：2222cos60c a b ab =+-，即()22243a b ab a b ab =+-=+-，即()2340ab ab --=()()140ab ab +-=解得：1ab =-（舍）或4ab = ，11sin 422ABC S ab C ∆==⨯=所以ABC ∆【点睛】本题考查向量和解三角形的综合问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.20．(1)3272nn ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）2023. 【解析】试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第()N n n *∈年的累计投入为()821n +-（千万元），第1年至此后第()N n n *∈年的累计净收入为1211131313...2222222n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用等比数列数列的求和公式可得()f n ；（2）由()()131422nf n f n ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，利用指数函数的单调性即可得出.试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计投入为8+2（n ﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f （n ）=﹣（2n+6）=﹣2n ﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f （n+1）﹣f （n ）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n ﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f （n+1）﹣f （n ）＜0，故当n≤4时，f （n ）递减；当n≥4时，f （n+1）﹣f （n ）＞0，故当n≥4时，f （n ）递增．又f （1）=﹣＜0，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f （x ）=﹣2x ﹣7（x≥1），则f′（x ）=，令f'（x ）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x ∈[1，4）时，f'（x ）＜0，f （x ）递减；当x ∈（4，+∞）时，f'（x ）＞0，f （x ）递增．又f （1）=﹣＜0，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利． 21．（1）2；（2）23；（3）存在，102m <<. 【解析】【分析】（1）根据题中所给的方程，求得,b c 的值，代入菱形面积公式得到答案；（2）右焦点(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由题设条件知，1211,3y y =-=，由此可求出POQ △的面积；（3）假设在线段OF 上是否存在点(),0(01)M m m <<，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由题意知2222)202142(-=+-+x k x k k ，将PQ 中点D 坐标用k 表示，利用MD PQ ⊥，建立关于k 方程，再由方程有解，即可求出m 的范围. 【详解】（1）由椭圆方程2212x y +=得222,1a b ==，则2221c a b =-=，所以椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积112222222S b c =⨯⨯=⨯⨯=；（2）右焦点(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得23210y y +-=，解得1211,3y y =-=，所以121112=12233POQ S OF y y ⋅-=--=△；（3）假设在线段OF 上是否存在点(),0(01)M m m <<，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形，因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222)202142(-=+-+x k x k k ，所以22121222422,1212k k x x x x k k-+==++，设PQ 中点为00(,)D x y ，则MD PQ ⊥，212000222,(1)21212x x k kx y k x k k +===-=-++，即2222(,)1212k kD k k -++，222211222(1)12MDk k k k k k m m kmk --+===----+，整理得2(12)k m m -=，关于k 的方程有解，所以(12)0m m ->，102m <<. 所以满足条件的点M 存在，且m 的取值范围是102m <<. 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，利用根与系数关系设而不求是解决相交点坐标常用的方法，考查计算求解能力，属于中档题.22．（1）证明见解析；（2）()2()(1)n f x x n n x =-+-，[,1)()x n n n z ∈+∈；（3）a 的取值范围为31a T ≥+，理由见解析. 【解析】【分析】（1）先阅读新定义，再利用偶函数的定义证明即可；（2）由01x ≤<时的解析式为()(1)f x x x =-，结合函数的周期求解即可；（3）由分段函数在各段上的单调性，研究函数在整体上的单调性，从而得解. 【详解】（1）因为函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，则()1(1)f x f x -=+，又函数()y f x =满足1T =，则(1)()f x af x +=，用x -替换x 得(1)()f x af x -+=-，则()()af x af x -=，又1a ≠，0a ≠，所以()()f x f x -=，故函数()f x 是偶函数；（2）似周期函数在01x ≤<时的解析式为()(1)f x x x =-，当[,1),()x n n n z ∈+∈时，[0,1)x n -∈，()22(1)2(2)...2()n f x f x f x f x n =-=-==-=2()(1)n x n n x -+-，故()2()(1)nf x x n n x =-+-，[,1)()x n n n z ∈+∈；（3）当(1)nT x n T <≤+时，0x nT T <-≤，()()...()[3()1]n n f x af x T a f x nT a x nT =-==-=-+，显然当0a <时，函数()y f x =在区间()0,∞+上不是单调函数，又当0a >时，()[3()1]nf x a x nT =-+，(],(1)x nT n T ∈+是增函数，此时()(,(31)nnf x a a T ⎤∈+⎦，若似周期函数()y f x =在区间()0,∞+上是单调函数，则只能是增函数，即1(31)n n aa T +≥+，即31a T ≥+，故a 的取值范围为31a T ≥+. 【点睛】本题考查了对新定义函数的理解及分段函数的解析式的求法，重点考查了阅读能力及计算能力，属中档题.。

2020届上海市高考冲刺压轴数学模拟试卷(有答案)(精品)

【精准解析】上海市2020届高三高考压轴卷数学试题

| z | 02 (1)2 1.
故答案为：1.
【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题．
an 0 1 4.设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且对任意正整数 n ，都有 0 1 1 0 ，则 a1 ___
1 2n Sn
【答案】 1
【解析】
【分析】
利用行列式定义，得到 an 与 Sn 的关系，赋值 n 1 ，即可求出结果．
根据双曲线的渐进线方程为
y
1 2
x ，设双曲线
x2 4b2
y2 b2
1，计算椭圆焦点为
10, 0
，
根据双曲线焦点公式得到答案.
【详解】 x2 y2 1的焦点为： 10, 0 16 6
双曲线的渐进线方程为
y
1 2
x ，则设双曲线方程为： x2 4b2
y2 b2
1，焦点为
10, 0
26 13 . 63
故答案为： 13 3
【点睛】本题主要考查方差的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.
6.已知双曲线与椭圆 x2 y2 1有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为 y 1 x ，则此双
16 6
2
曲线方程为_________ 【答案】 x2 y2 1
82 【解析】
【分析】
an 【详解】由 0
1
0 1 2n
1
1
an
1 2n
Sn
1 0 Sn 1
1 2n
an( Sn
2n) 1 0
，令 n
1，
得 a1(a1 2) 1 0 ，解得 a1 1．
-2-
【点睛】本题主要考查行列式定义的应用．
5.从总体中抽取 6 个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________.

2020年上海市高三高考压轴卷数学试卷及解析

2020年上海市高三高考压轴卷数学试卷★祝考试顺利★一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题,1-6题每题4分,7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分或5分,否则一律得零分．1．若集合{}|A x y x R ==∈,{}|1,B x x x R =≤∈,则A B I =________.2．函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 3．已知i 为虚数单位,复数z 满足11z i z-=+,则z ________. 4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意正整数n ,都有01011012n n a n S -=-,则1a =___5．从总体中抽取6个样本：4,5,6,10,7,4,则总体方差的点估计值为________.6．已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点,且双曲线的渐进线方程为12y x =±,则此双曲线方程为_________7．已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数,则实数a 的取值范围是______.8．计算：13(2)lim 32n nn n n +→∞--=+_________. 9．某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同）,假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个,则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____.10．向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v ,对于任意,S αβ∈,以及任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,则称S 为“C 类集”,现有四个命题:①若S 为“C 类集”,则集合{},M a a S R μμ=∈∈v v 也是“C 类集”;②若S ,T 都是“C 类集”,则集合{},M a b a S b T =+∈∈v v v v 也是“C 类集”;③若12,A A 都是“C 类集”,则12A A ⋃也是“C 类集”;④若12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则12A A ⋂也是“C 类集”.其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)11．已知a v 、b v 、2c v 是平面内三个单位向量,若a b ⊥v v ,则4232a c a b c +++-v v v v v 的最小值是________12．已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=,数列{}n b 的通项公式为n b n k =+ ,设,(),()n n n n n n n b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩,若在数列{}n c 中,5n c c ≤对任意*n N ∈恒成立,则实数k 的取值范围是_____;二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分．13．在直三棱柱111ABC A B C -中,己知AB BC ⊥,2AB BC ==,1CC =则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒14．已知函数()3sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,若函数()()2F x f x =-的所有零点依次记为1,x 2,x ,⋅⋅⋅n x ,且12n x x x <<⋅⋅⋅<,则12122n n x x x x -++⋅⋅⋅++=( )A ．2πB ．113πC ．4πD ．223π 15．若实数x ,y 满足22201y x x y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =-的最大值是（）A ．9B ．12C ．3D ．616．对于全集U 的子集A 定义函数()()()10A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( )A ．若,AB ⊆则()()A B f x f x ≤B ．()()1R A A f x f x =-ðC ．()()()A B A B f x f x f x =⋅ID ．()()()A B A B f x f x f x =+U。