【图文】2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习课件：第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) 4.2
2018版高考数学(理)(人教)大一轮复习讲义第四章三角函数解三角形4.1
答案 解析
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
2π 则线段AB所对的圆心角∠AOB＝ ， 3 作OM⊥AB,垂足为M， π 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝ ， 3 3 ∴AM＝ 2 r，AB＝ 3r，∴l＝ 3r， 3r l 由弧长公式得 α＝r＝ r ＝ 3.
题型三 三角函数的概念 命题点1 三角函数定义的应用
例3 (1)(2016· 广州模拟)若角 θ 的终边经过点 P(－ 3，m)(m≠0)且 sin θ 6 2 －4 ＝ 4 m，则 cos θ 的值为________. 答案 解析
由题意知 r＝ 3＋m2，
2 m ∴sin θ＝ 2＝ 4 m， 3＋m ∵m≠0，∴m＝± 5，∴r＝ 3＋m2＝2 2，
数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标.
(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周
期性写出角的范围.
跟踪训练3 (1)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α >0.则实数a的取值范围是
答案 解析
A.(－2,3]
B.(－2,3)
C.[－2,3)
答案 解析
6π θ 2π 2kπ ∵θ＝ 7 ＋2kπ(k∈Z)，∴3＝ 7 ＋ 3 (k∈Z)，
2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ 7 ＋ 3 ≤2π，k∈Z，∴－7≤k≤ 7 ，
2π 20π 34π θ ∴k＝0,1,2，即在[ 0,2π] 内与3角的终边相同的角为 7 ， 21 ， 21 共三个.
圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位 置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心 → 的坐标为________________. (2－sin 2,1－cos 2) 几何画板展示 位于C(2,1)时， OP π π kπ－ ，kπ＋ (k∈Z) 3 3 (2)(2017· 合肥调研)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为___________________.
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课件：第四章 三角函数与解三角形4-5
三角函数的定义域与值域
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z).
(1)[教材习题改编]函数 y＝Asin x＋1(A>0)的最大值是 3，则
－1 它的最小值是________ ．
解析：依题意，得 A＋1＝3，所以 A＝2，所以函数 y＝ 2sin x＋1 的最小值为 1－2＝－1.
(2)[教材习题改编]不等式 2cos x>1 的解集为
1－t2 ∴原函数变为 y＝t＋ ，t∈[－1， 2 ]． 2 12 1 1 即 y＝－ t ＋t＋ ＝－ (t－1)2＋1. 2 2 2 ∴当 t＝1 时，ymax＝1； 当 t＝－1 时，ymin＝－1. 故函数的最大值与最小值的和为 0.
[题点发散 3] sin
若将本例(2)中的函数换为“y＝sin x(cos x－
π π π 3π ∵0≤x≤4，∴4≤2x＋4≤ 4 ， 2－1 π π π ∴当 2x＋4＝2，即 x＝8时，ymax＝ 2 . π π π 3π π 当 2x＋4＝4 或 2x＋4＝ 4 ，即 x＝0 或 x＝4 时，ymin＝0. 2－1 故函数的最大值与最小值的和为 2 .
1 sin x>2， 2sin x－1>0， 即 1－2cos x≥0， cos x≤1. 2 π 5π 解得 2kπ＋ ≤x<2kπ＋ ，k∈Z. 3 6
π 5π 即函数的定义域为2kπ＋3，2kπ＋ 6 ，k∈Z.
(2) 函数
2－ 3 ． ________
x， 因为
π 3π ， x∈ ，所以－ 4 4
π 3π ， x∈ 4 ，则函数 4
2 2 ≤t ≤ ， 2 2
2 所以当 t＝cos x＝－ 时， 2
2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形的综合应用课件理新人教版
答案
解析
A.240( 3－1) m C.120( 3－1) m
B.180( 2－1) m D.30( 3＋1) m
(2)(2016·三明模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角
400 分别为30°，60°，则塔高是______3m.
跟踪训练1 (1)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一
个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏
东15°，这时船与灯塔的距离为___3_0__2_ km.
答案 解析
如图，由题意，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°， ∴B＝45°，AC＝60 km， 由正弦定理sinBC30°＝sinAC45°， ∴BC＝30 2 km.
3 则A点离地面的高度AB＝____2_a___.
答案 解析
由已知得∠DAC＝30°，△ADC 为等腰三角形，AD＝ 3a，
又在
Rt△ADB
中，AB＝12AD＝
3 2 a.
5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动 力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h； 水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水 中漂行的速度的方向为北偏东__6_0_°，速度的大小为__2_0__3 km/h.
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是[0，π).( 2
√
)
考点自测
1.(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一
测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的
距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以
计算出A，B两点的距离为
高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 两角和与差及二倍角的三角函数 第1课时学案
§4.5三角恒等变形最新考纲考情考向分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝2tan α1－tan2α.知识拓展1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)对任意角α都有1＋sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22.( √ )(3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )题组二 教材改编2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－210 B.210 C ．－7210 D.7210答案 C解析 ∵α是第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210. 3．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 4．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ . 答案3解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 题组三 易错自纠5．化简：cos 40°cos 25°·1－sin 40°＝ .答案2解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos 40°cos 25°·2sin 25°＝cos 40°22sin 50°＝ 2. 6．(2018·昆明模拟)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ .答案 17解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.7．(2018·烟台模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝ .答案 －247解析 方法一 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，① θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 方法二 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝7210，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝17＝tan θ－11＋tan θ，∴tan θ＝43. 故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247.第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用1．(2018·青岛调研)已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112 D ．－112答案 A解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴tan α＝－34，又tan β＝－12，∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝－34＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－211.2．(2017·山西太原五中模拟)已知角α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3等于( ) A.26＋16B.3－28 C.3＋28D.23－16答案 A解析 由于角α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13， 则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝223，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16， 故选A.3．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为 ． 答案 12解析sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°co s 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二 和差公式的灵活应用命题点1 角的变换典例 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . 答案2525解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， 因为sin(α＋β)＝35<sin α且α＋β>α，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)(2017·泰安模拟)已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为 ．答案 79解析 cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝13，∴cos(30°－2α)＝1－2sin 2(15°－α)＝1－29＝79.命题点2 三角函数式的变换典例 (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ (0<θ<π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°.解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－s in 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10° ＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10° ＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.引申探究化简：(1＋sin θ－cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22－2cos θ(0<θ<π)．解 ∵0<θ2<π2，∴2－2cos θ＝2sin θ2，又1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2∴原式＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22sinθ2＝－cos θ.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． (2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．跟踪训练 (1)(2017·豫北名校联考)计算：cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝ .(用数字作答)答案 2解析cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin (10°＋30°)2·sin 40°＝ 2.(2)(2017·南充模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝ . 答案32解析 由已知可得sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)·cos α－cos(α＋β)sin α＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32.用联系的观点进行三角变形典例 (1)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12 的值为 ．(2)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为 ． (3)已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ .思想方法指导 三角变形的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变形中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．解析 (1)∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45>0， ∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴s in⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.(2)原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2. (3)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴原式＝－75.答案 (1)17250 (2)2 (3)－751．(2017·山西五校联考)若cos θ＝23，θ为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值为( )A.2＋106 B.22＋106 C.2－106D.22－106答案 B解析 由cos θ＝23，θ为第四象限角，得sin θ＝－53， 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋53＝22＋106.故选B. 2．(2018·成都模拟)若sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α等于( )A.225B ．－225C.425D ．－425答案 A解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225. 3．(2017·西安检测)已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α等于( )A ．－31010B.31010 C ．－35D.35答案 C解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35， 故选C.4．(2017·河南洛阳一模)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b答案 D 解析 a ＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56° ＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°， ∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a >c >b .5．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( ) A ．－195 B ．－519 C ．－3117 D ．－1731答案 D解析 由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝725. ∴tan 2α＝－247， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1 ＝－1731. 6．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.16B.13C.12D.23 答案 A解析 因为cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2， 所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A. 7．(2018·新疆乌鲁木齐一诊)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12B.32C. 3D. 2答案 C解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3. 8．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4<β B ．β<π4<α C.π4<α<β D.π4<β<α 答案 B解析 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴π4<α<π2. 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3， ∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.9．(2017·江苏)若tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝ . 答案 75解析 方法一 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝tan α－11＋tan α＝16， ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝75. 方法二 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75. 10．(2018·河南八市质检)化简：2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝ . 答案 12解析 原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12·sin 2αcos 2α＝cos 2αsin 2α·12·sin 2αcos 2α＝12. 11．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ . 答案 1718解析 由sin α＋cos α＝13，两边平方得1＋sin 2α＝19， 解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2 ＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718. 12．(2018·吉林模拟)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝ . 答案 7210解析 依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35. 又β是第三象限角，所以cos β＝－45. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4 ＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝35×22＋45×22＝7210.13．(2017·河北衡水中学调研)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．－118 B.118 C ．－1718 D.1718答案 C解析 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α可得 3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π可知cos α－sin α≠0， 于是3(cos α＋sin α)＝22， 所以1＋2sin α·cos α＝118，故sin 2α＝－1718.故选C. 14．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为 ． 答案 58解析 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12. 故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2θ22 ＝116＋916＝58.15．(2017·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．答案 [－1,1]解析 由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4. ∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1， 即取值范围为[－1,1]．16．(2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x . (1)求f (x )的最小正周期及递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3 的值． 解 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝π2. 令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .∴f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z . (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. ∵α∈(0，π)，－π4<α－π4<3π4， ∴α－π4＝π2，故α＝3π4. 因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.。
2018版高考数学文人教A版大一轮复习配套课件：第四章
sin α 化，利用cos α＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin αcos α， sin α－cos α 这三个式子， 利用(sin α± cos α)2＝1± 2sin αcos α， 可以知 一求二. (3)注意公式逆用及变形应用： 1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α， cos2α＝1－sin2α.
解析 (1)对于 α∈R，sin(π＋α)＝－sin α 都成立. 1 (4)当 k 为奇数时，sin α＝3， 1 当 k 为偶数时，sin α＝－3. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.(2017· 泰安模拟)sin 600° 的值为( 1 3 A.－2 B.－ 2
解析
) 1 C.2 3 D. 2
3 (3)(2016· 全国Ⅲ卷)若 tan α＝ ，则 cos2α＋2sin 2α＝( 4 64 48 16 A.25 B.25 C.1 D.25
5 解析 (1)∵sin α＝－13，且 α 为第四象限角， 12 sin α 5 2 ∴cos α＝ 1－sin α＝ ，∴tan α＝ ＝－ ，故选 D. 13 cos α 12 5π 3π (2)∵ <α< ，∴cos α<0，sin α<0 且 cos α>sin α， 4 2 ∴cos α－sin α>0. 1 3 2 又(cos α－sin α) ＝1－2sin αcos α＝1－2×8＝4， 3 ∴cos α－sin α＝ . 2
答案 B
sin α＋cos α 5.(必修 4P22B3 改编)已知 tan α＝2，则 的值为________. sin α－cos α
高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第3讲两角和与差的正弦余弦和正切公式
(教材习题改编)已知
cos
α＝－35，α
是第三象限角，则
π cos(4
＋α)为( )
A．
2 10
C．7102
B．－
2 10
D．－7102
解析：选 A.因为 cos α＝－35，α 是第三象限的角， 所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－（－35）2＝－45， 所以 cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝ 22·(－35)－ 22·(－45) ＝ 102.
又 sin2α＋cos2α＝1，所以 sin α＝255，cos α＝ 55，则 cosα－π4
＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝ 55× 22＋255× 22＝31010.
答案：3
10 10
三角函数公式的直接应用
(1)已知 α∈π2，π，sin α＝153，则 tanα＋π4＝(
2．若 α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________． 解析：－1＝tan34π＝tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ， 所以 tan αtan β－1＝tan α＋tan β. 所以 1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：2
三角函数公式的活用 (高频考点) 三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题 的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数 公式．主要命题角度有： (1)两角和与差公式的逆用及变形应用； (2)二倍角公式的活用．
角度一 两角和与差公式的逆用及变形应用
(1)已知 sin α＋cos α＝13，则 sin2(π4－α)＝(
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[推荐学习]2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.3三角函数的图象与性质教师用书（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质教师用书1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象【知识拓展】1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性若f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．( ×)(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．( √)(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( ×)(4)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( ×)(5)y＝sin |x|是偶函数．( √)(6)若sin x>22，则x>π4.( ×)1．(教材改编)函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π2]上的值域为( )A ．[－32，32]B ．[－32，3]C ．[－332，332]D ．[－332，3]答案 B解析 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，sin(2x －π6)∈[－12，1]，故3sin(2x －π6)∈[－32，3]， 即f (x )的值域为[－32，3]．2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z 答案 D解析 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z. 3．(2016·绍兴期末)函数f (x )＝2cos(4x ＋π3)－1的最小正周期为________，f (π3)＝________. 答案 π2 0解析 T ＝2π4＝π2，f (π3)＝2cos(43π＋π3)－1＝2×cos 53π－1＝0.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________． 答案 2或－2解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数f (x )＝－2tan(2x ＋π6)的定义域是____________．(2)(2016·台州模拟)已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)，其中x ∈[－π3，a ]，若f (x )的值域是[－12，1]，则实数a 的取值范围是________．答案 (1){x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z} (2)[π3，π]解析 (1)由2x ＋π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为{x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z}．(2)∵x ∈[－π3，a ]，∴x ＋π6∈[－π6，a ＋π6]，∵x ＋π6∈[－π6，π2]时，f (x )的值域为[－12，1]，∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.思维升华 (1)三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域；③通过换元，转换成二次函数求值域．(1)函数y ＝lg sin x ＋ cos x －12的定义域为 .(2)函数y ＝2sin(πx 6－π3) (0≤x ≤9)的最大值与最小值的和为__________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)2－ 3解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π6，∴－32≤sin(πx 6－π3)≤1，故－3≤2sin(πx 6－π3)≤2.即函数y ＝2sin(πx 6－π3) (0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.∴最大值与最小值的和为2－ 3. 题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)， 得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，故选B. (2)由π2＜x ＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4， 又y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2]，k ∈Z ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z.又由4k ＋12－(2k ＋54)≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈[2，4]．引申探究本例(2)中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递增，则ω的取值范围是____________． 答案 [32，74]解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎦⎥2，4.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于( ) A.23B.32C ．2D ．3答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)B解析 (1)已知函数可化为f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3，∴ω＝32.题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性例3 (1)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③(2)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π3)的最小正周期T满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 答案 (1)A (2)2或3解析 (1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.(2)由题意得，1<πk<2，∴k <π<2k ，即π2<k <π，又k ∈Z ，∴k ＝2或3. 命题点2 对称性例4 (2016·宁波模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f (3π4－x )( )A ．是奇函数且图象关于点(π2，0)对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称答案 C解析 ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin(π4＋φ)＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z)，∴f (x )＝sin(x ＋2k π－3π4)＝sin(x －3π4)，∴y ＝f (3π4－x )＝sin(－x )＝－sin x,∴y ＝f (3π4－x )是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称． 命题点3 对称性的应用例5 (1)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.(2)若函数y ＝cos(ωx ＋π6) (ω∈N *)图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 (1)－π6(2)B解析 (1)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴－23≤k ≤13，k ∈Z ，∴k ＝0，则x 0＝－π6.(2)由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2 (k ∈Z)，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z)，又ω∈N *，∴ωmin ＝2. 思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．(2)求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)(2016·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝2sin(π2x＋π5)，若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是( )A．2 B．4C．π D．2π(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案(1)A (2)A解析 (1)由题意可得|x 1－x 2|的最小值为半个周期，即T 2＝πω＝2. (2)由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝3cos(2π3＋φ＋2π)＝3cos(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.4．三角函数的性质考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．典例 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z(2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 都有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1 B ．3 C ．－1或3D ．－3(3)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析 (1)由图象知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b＝3.(3)∵ω＞0，－π3≤x≤π4，∴－ωπ3≤ωx≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32 .答案(1)D (2)C (3)3 21．已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4) (ω>0)的最小正周期为π，则f(π8)等于( )A．1 B.1 2C．－1 D．－1 2答案 A解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，∴f (π8)＝sin(2×π8＋π4)＝sin π2＝1.2．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( )A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)答案 B解析 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z ，故只有B 项满足．3．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π答案 C解析 函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A错误；在区间(0，π3)上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan(2×π6－π3)＝0，∴(π6，0)为其图象的一个对称中心，故选C.4．(2016·余姚模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R)的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.3π5 B.6π5C.9π5D.12π5答案 B解析由函数f(x)＝2sin(ωx－π6)＋1 (x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－π6＝kπ＋π2，k∈Z，∴ω＝k＋23，∴ω＝53，从而得函数f(x)的最小正周期为2π53＝6π5.5．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f(π8)＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是( )A．[－π8，3π8] B．[π8，9π8]C．[－3π8，π8] D．[π8，5π8]答案 C解析由f(π8)＝－2，得f(π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.当k＝0时，－3π8≤x≤π8，故选C.6．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0且|φ|<π2 )在区间[π6，2π3]上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f(π4)等于( )A.12B.22C.32D．1答案 C解析由题意得函数f(x)的周期T＝2(2π3－π6)＝π，所以ω＝2，此时f(x)＝sin(2x＋φ)，将点(π6，1)代入上式得sin(π3＋φ)＝1(|φ|<π2)，所以φ＝π6，所以f(x)＝sin(2x＋π6 )，于是f(π4)＝sin(π2＋π6)＝cosπ6＝32.7．(2016·金丽衢十二校联考)函数f(x)＝4sin x cos x＋2cos2x－1的最小正周期为________，最大值为________．答案π 5解析f(x)＝2sin 2x＋cos 2x＝5sin(2x＋φ)，tan φ＝12，所以最小正周期T＝2π2＝π，最大值为 5.8．函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为_______________________________________． 答案 1－22解析 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝－22时，y min ＝1－22.9．(2016·金华模拟)若f (x )＝2sin ωx ＋1 (ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是__________． 答案 (0，34]解析 方法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是[2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω]，k ∈Z.因为f (x )在[－π2，2π3]上是增函数，所以[－π2，2π3]⊆[－π2ω，π2ω]．所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈(0，34]．方法二 因为x ∈[－π2，2π3]，ω>0.所以ωx ∈[－ωπ2，2πω3]，又f (x )在区间[－π2，2π3]上是增函数，所以[－ωπ2，2πω3]⊆[－π2，π2]，则⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，得0<ω≤34.10．(2017·杭州质检)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0，x ∈R)，最小正周期T ＝π，则实数ω＝________，函数f (x )的图象的对称中心为______________，单调递增区间是___________． 答案 2 (k π2－π12，0)，k ∈Z (k π－π3，k π＋π6)，k ∈Z 解析 由题意知2πω＝π，得ω＝2，令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，所以其对称中心为(k π2－π12，0)，k ∈Z ，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以其单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z.11．(2015·北京)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<φ<2π3)的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点(π6，32)，求f (x )的单调递增区间．解 ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对任意x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点(π6，32)时，sin(2×π6＋φ)＝32，即sin(π3＋φ)＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为 [k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z.*13.已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z.又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z.∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z.。
2018年高考数学(理)人教A版一轮复习课件：第四章 三角函数、解三角形 4-4
-11考点1 考点2 考点3
解 (1)根据表中已知数据,解得 数据补全如下表:
ωx+φ x Asin(ωx+φ)
π A=5,ω=2,φ=-6.
������ 3������ 0 π 2π 2 2 ������ ������ 7������ 5������ 13������ 12 3 12 6 12 0 5 0 -5 0
������π π x= + -θ,k∈Z. 2 12 π
������π π + (k∈Z) 2 6 ������π π D.x= 2 + 12(k∈Z)
π
A.x=
B.x=
关闭
由题意可知,将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度得 y=2sin 2 ������ +
������π π 得 B x= 2 + 6(k∈Z).故选 π 12
=2sin 2������ + B.
x ωx+φ y=Asin(ωx+φ) 0
0-φ ω
0
������ ������-φ 3������ -φ 2������-φ φ 2 2 ω ω ω ω ������ 3������ 2π π 2 2 A 0 -A 0
-3知识梳理 双基自测
1 2 3
3.由y=sin x的图象得y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法
π 6
的图象,令
π 12 π π 2x+ = +kπ(k∈Z), 6 2
关闭
解析
答案
-6知识梳理 双基自测
1 2 3 4 5
��� > 示,则 ω,φ 的值分别是( A.2,-3 B.2,-6 C.4,-6
2018高考数学复习：第4章三角函数第2节三角函数的图像与性质
第四章 三角函数第2节 三角函数的图像与性质题型51 已知解析式确定函数性质1.（2013浙江文6）函数()sin cos f x x x x =⋅+的最小正周期和振幅分别是 A.π1， B.π2， C. 2π1， D. 2π2，1.分析 把函数的解析式化简为只含一个三角函数名的三角函数式，再求周期和振幅.解析 ()1sin 22sin 223f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为22T π==π，振幅1A =.故选A.2.（2013江苏1）函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为 . 2.分析 利用函数()sin y A x ωϕ=+的周期公式求解. 解析 函数3sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期T 2π==π2. 3.（2014陕西文2）函数()πcos 2+4f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）.A.π2B.πC.2πD.4π 4.（2014新课标Ⅰ文7）在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③5.（2014天津文8）已知函数()()cos 0,.f x x x x ωωω=+>∈R 在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则()f x 的最小正周期为（ ）.A.π2 B.2π3C.πD.2π 6. （2014山东文12）函数22cos y x x =+的最小正周期为 . 7.（2014福建文18）（本小题满分12分） 已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+.（1）求5()4f π的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.8.（2015四川文5）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）. A.πsin 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.sin 2cos 2y x x =+D. sin cos y x x =+ 8.解析 由2πT ω=，可知选项A ，B ，C 的周期都是π，选项D 的周期为2π.通过化简可得，选项A ：cos 2y x =，为偶函数； 选项B 为：sin 2y x =-，为奇函数； 选项C为：π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为非奇非偶函数.故选B.9.（2015全国1文8）函数则()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，()f x 的单调递减区间为（ ）.A. ()13π,π44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ZB. ()132π,2π44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z C. ()13,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z D. ()132,244k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 9.解析 由图可知511244T =-=，得2T =，2ππTω==. 画出图中的一条对称轴0x x =，如图所示. 由图可知034x =，则3πcos 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 可得3π2ππ4k ϕ+=+， 则()π2π4k k ϕ=+∈Z ，得()πcos π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π2ππ2ππ4k x k ++， 得132244k xk -+.故选D. 4.（2015湖南文）已知0ω>，在函数的交点2sin y xω=与2cos y x ω=的图像中，距离最短的两个交点的距离为则ω= .4.解析 令2sin 2cos x x ωω=，解得2ππ4k x ωω=+和2π5π4k x ωω=+，k ∈Z . 2ππ2sin 4k ωωω⎛⎫+= ⎪⎝⎭2π5π2sin 4k ωωω⎛⎫+=⎪⎝⎭所以交点的坐标为2ππ4k ωω⎛+⎝，2π5π,4k ωω⎛+ ⎝.k ∈Z .距离最短的两个交点一定在同一个周期内，所以((2222π5π2ππ44k k ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得π2ω=. 5.（2015浙江文）函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．5.解析 ()1cos 21π3sin 21sin 222242x f x x x -⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭，所以2ππ2T ==，()min 32f x =. 6.（2015天津文）已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为 ．6.解析 由()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且()f x 的图像关于直线x ω=对称，可得π2ωω，即2π2ω，且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2ππ422ωω+=⇒= 7.（2015安徽文）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7.解析 （1）因为()()2sin cos cos21sin 2cos2f x x x x x x =++=++=π214x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2π2ππ2T ω===.（2）因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则πsin 242x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()max 1f x =()min 0f x =.8.（2015北京文）已知函数()2sin 2xf x x =- （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值. 8. 解析 （1）()21cos sin sin 22x xf x x x -=-=-=πsin 2sin 3x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，函数()f x 的最小正周期2πT =.（2）当（1）知()π2sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当2π03x，πππ33x +，π0sin 13x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()323f x --，函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为. 9.（2016浙江文3）函数2sin y x =的图像是（ ）.A. B. C. D.9. D 解析 易知2sin y x =为偶函数，所以它的图像关于y 轴对称，排除A ，C 选项；当2π2x =，即x =max 1y =，排除B 选项.故选D.10.（2016上海文8）方程3sin 1cos2x x =+在[]0,2π区间上的解为 . 10.π6，5π6解析 23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=， 所以()()2sin 1sin 20x x -+=，故1sin 2x =.由于[]0,2πx ∈，故π6x =，5π6. 11.（2016江苏9）定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像的交点个数是 .11.7解析 解法一（图像法）：画出函数图像草图，如图所示.共7个交点.解法二（解方程）：即解方程sin2cos x x =，即2sin cos cos x x x =. 所以cos 0x =或1sin 2x =，由[]0,3πx ∈. 当cos 0x =时，,,222x π3π5π=；当1sin 2x =时，,,,6666x π5π13π17π=. 共7个根，即共7个交点.12.（2016山东文17）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =---.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图像，求π6g ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 12.解析 （1）由()()()2πsin sin cos f x x x x x =---=()212sin cos x x x --)1cos 2sin 21x x =-+-=sin 221x xπ2sin 213x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()πππ2π22π232k x k k --+∈Z ，得()π5πππ1212k x k k -+∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间是()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，（或写为()π5ππ,π1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ）.（2）由（1）知()f x π2sin 213x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =π2sin 13x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y 2sin 1x =+的图像，即()2sin 1.g x x =所以ππ2sin 166g ⎛⎫=+=⎪⎝⎭13.（2017全国2文3）函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）.A.4πB.2πC. πD. π213.解析 由题意，22T π==π.故选C.14.（2017山东文7）函数2cos 2y x x =+的最小正周期为（ ）.A.π2 B.2π3C.πD. 2π 14.解析 由题意，得2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，其最小正周期22T π==π.故选C.15.（2017浙江18）已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.15.解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x =-，sin22sin cos x x x =，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π.由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z ，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z . 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 函数的值域(最值)1. (2013天津文6）函数π()sin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是( ). A. 1-B.C.D. 01.分析：确定出π24x -的范围，根据正弦函数的单调性求出最小值. 解析 因为π0,,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以ππ3π2,444x --≤≤所以当ππ244x -=-时，()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有最小值2-故选B. 2.（2013江西文13）设sin 3cos3f x x x =+（），若对任意实数x 都有||f x a （），则实数a的取值范围是 .2.解析 由于()π3cos32sin 36f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()π2sin 326f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≤，要使()f x a ≤恒成立，则2a ≥.答案[)2,+∞.3. (2013陕西文14）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x 为 m . 3.解析 设矩形花园的宽为y m ，则404040x y-=，即40y x =-,矩形花园的面积()()22404020400S x x x x x =-=-+=--+，当20x =m 时，面积最大．4. （2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度40m为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，1312cos =A ，53cos =C . （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？4.分析 （1）由cos A ，cos C 的值可求得sin B 的值，然后在ABC △中利用正弦定理可得AB 的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离.（3）利用正弦定理求出BC 的长，再根据题 意列不等式求解.解析 （1）在ABC △中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以54sin ,sin 135A C ==.从而()()sin sin sinB AC A C =π-+=+⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin A C A C=+531246313513565=⨯+⨯=. 由正弦定理sin sin AB ACC B=，得()12604sin 1040m 63sin 565AC AB C B =⋅=⨯=. 所以索道AB 的长为1040m .（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了()10050m t +，乙距离A 处130m t ，所以由余弦定理得()()22210050130d t t =++()213010050t t -⨯⨯+⨯()212200377050.13t t =-+ 由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当()35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短.（3）由正弦定理sin sin BC ACA B=，得()12605sin 500m 63sin 1365AC BC A B =⋅=⨯=. 乙从B 出发时，甲已走了()()50281550m ⨯++=，还需走710m 才能到达C .CBA设乙步行的速度为m/min v ，由题意得5007103350v --≤≤，解得1250625434v ≤≤， 所以为使两游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在()1250625,m /min 4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦单位：范围内.5.（2013山东文18）设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->，且y =()f x图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4．（1） 求ω的值；（2）求()f x 在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 5.分析 （1）先利用倍角公式，两角和、差的三角公式把函数()f x 的解析式进行化简整理， 再利用对称中心到最近的对称轴的距离为4π求出ω；（2）先根据x 的取值范围求出23x π-的取值范围，然后利用三角函数的图象，并结合其单调性求出()f x 的最值.解析 （1）()2sin cos f x x x x ωωω=--1cos 21sin 222x x ωω-=-12sin 22x x ωω=-sin 23x ωπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π，又0ω，所以24ωππ=⨯24.因此1ω=.（2）由（1）知()sin 2f x x π⎛⎫=-- ⎪3⎝⎭. 当x 3ππ2≤≤时，2x 5ππ8π-332≤≤.所以sin 2x π⎛⎫-1 ⎪3⎝⎭≤.因此()f x -1≤.故()f x 在区间3,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦，1-.6. (2013安徽文16）设函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值x 的集合；（2）不画图，说明函数()y f x =的图象可由sin y x =的图象经过怎样变化得到.6. 分析 （1）先逆用两角和正弦公式把()f x 化成关于一个角的三角函数，再利用正弦函 数性质计算；（2）利用三角函数图象的变换规律求解.解析 （1）因为()1sin sin cos 22f x x x x =++3sin cos 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以当()26x k k ππ+=π-∈2Z ，即()223x k k π=π-∈Z 时，()f x 取得最小值. 此时x 的取值集合为22,3x x k k ⎧π⎫=π-∈⎨⎬⎩⎭Z .（2）先将sin y x =y x =的图象；再将y x =的图象上所有的点向左平移π6个单位，得()y f x =的图象.7. (2013陕西文16）已知向量)1cos cos22x x x x ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭R ，，，，a b ，设函数()f x =⋅a b .（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.7.分析 利用向量数量积运算及辅助角公式将()f x 化为一个角的一种三角函数，利用公式 确定周期；利用正弦函数的性质确定最值．解析 ())1cos ,,cos 22f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭11sin cos 22cos 222x x x x x =-=-πππcos sin 2πsin cos 2πsin 2666x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（1）()f x 的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数()f x 的最小正周期为π.（2）因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x --≤≤.由正弦函数的性质，得当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值1；当ππ266x -=-，即0x =时，()102f =-；当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小值为12-. 因此，()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-．8. (2013重庆文18）在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且222a b c =++.（1）求A ；（2）设a S =为ABC △的面积，求3cos cos S B C +的最大值，并指出此时B 的值.8.分析 利用正、余弦定理及差角三角函数直接运算解答.解析 （1）由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-===.又因为0πA <<，所以5π6A =.（2）由（1）得1sin 2A =.又由正弦定理及a = 11sin sin sin 3sin sin 22sin a B S ab C a C B C A==⋅⋅=，因此，3cos cos S B C +()3sin sin cos cos B C B C =+()3cos B C =-. 所以，当B C =，即ππ212A B -==时，2cos cos S B C +取最大值3.9.（2013辽宁文17） 设向量)()πsin cos sin 02a x x b x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦，，，，，.（1）若a b =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值.9.分析 分别表示两向量的模，利用相等求解x 的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一 个角的一种函数求解.解析 （1）由)2222sin 4sin xx x =+=a ，222cos sin 1x x =+=b ，及=a b ，得24sin 1x =.又π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而1sin 2x =，所以π6x =.（2）()2cos sin f x x x x =⋅=⋅+a b 112cos 222x x =-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 当ππ0,32x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭取最大值1． 所以()f x 的最大值为32． 10.（2014新课标Ⅱ文14）函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为 .11.（2014江苏14）若ABC △的内角满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．12.（2014北京文16）（本小题满分13分）函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示.（1）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值； （2）求()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.12. 解析 （I ）()f x 的最小正周期为π.007π36x y =⋅=. （II ）因为ππ,212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以π5π2,066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦.于是，当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-. 评注 本题主要考查函数()sin y A x ωϕ=+的图像和性质，熟练掌握三角函数的图像是解题的关键，属基础题.13．（2014湖北文18）（本小题满分12分） 某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()ππ10sin 1212f t t t =-，[)024t ∈，. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.14.（2016全国甲文11）函数()πcos26cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最大值为（ ）. A.4 B.5 C.6 D.714. B 解析 ()()cos 26sin f x x x =+22sin 6sin 1x x =-++23112sin 22x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以当sin 1x =时，()f x 取得最大值2615-++=.故选B.15.（2016江苏14）在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 .15.8分析 求解多元最值问题，首要的关键是考虑如何消参.解析 解法一：由()sin sin A B C =+sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C =+= （*） 由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>， 同时除以cos cos B C 得tan tan 2tan tan B C B C +=. 又()tan tan tan tan 01tan tan B CA B C B C+=-+=->-，所以tan tan 1B C >.故tan tan tan A B C tan tan 2tan tan 1tan tan B C B C B C +⎛⎫=-⎪-⎝⎭，不妨设tan tan t B C =()1t >，故2222tan tan tan 111t A B C t t t==--+， 所以当112t =，即2t =时，()min tan tan tan 8A B C =. 此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 2tan 2tan 4B C A ==+=（或tan ,tan B C 互换）， 此时,,A B C 均为锐角，满足条件.解法二：由解法一部分可知tan tan 2tan tan B C B C +=， 在锐角三角形中，tan ,tan ,tan 0A B C >， 而()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--，即()tan 1tan tan tan tan A B C B C -+=+，从而tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++（这个公式课本中作为例题出现要求证明）. 故tan tan tan tan 2tan tan A B C A B C=+22tan tan tan A B C整理得tan tan tan 8A B C ，当且仅当tan tan 4B C +=，tan 2tan tan 4A B C==，解得tan 2tan 2tan 4B C A ==+=（或tan ,tan B C 互换）， 此时,,A B C 均为锐角，满足条件.评注 从表面此题看似,B C 等价，但构造等腰三角形求解出的最值却不正确，因此等价的思想也需慎用.如果注意到此题的结构，我们优先考虑切化弦，且优先考虑sin sin B C 搭配， 则有：解法三：sin sin sin tan tan tan =cos cos cos A B C A B C A B C =()22sin sin 1sin sin cos cos cos cos B C B C B C B C⨯-()222sin sin 8sin sin 2B C B C =⎛⎫⎪⎝⎭（因为22a b ab +⎛⎫⎪⎝⎭）.最后检验一下是否存在即可. 16.（2017全国2文13）函数()cos sin =2+f x x x 的最大值为.16.解析 因为()())tan 2f x x ϕϕ=+=，所以()max f x 17.（2017全国3文6）函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）. A ．65B ．1C ．35D ．1517.解析 11()sin sin sin sin 5362533f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6sin 53x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选A. 评注 本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒等变换中公式的选择对于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效果！18.（2017江苏16）已知向量()cos ,sin x x =a ，(3,=b ，[]0,πx ∈． （1）若∥a b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．18.解析 （1）因为()cos ,sin x x =a ，(3,=b ，∥a b ，所以3sin x x =， 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，因此cos 0x ≠．所以tan x =，由[]0,πx ∈，所以56x =π． （2）()()(cos ,sin 3,x x f x =⋅=⋅ab 3cos 6x x x ⎛⎫=-=+⎝π⎪⎭． 因为[]0,πx ∈，所以,666x ππ7⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π，所以31cos 62x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭π． 所以当66x +ππ=，即0x =时，()f x 的最大值为3； 当6x +π=π，即6x 5π=时，()f x 的最小值为-题型53 根据条件确定解析式1. （2013四川文6）函数()()ππ2sin >0<<22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）.A. π23-，B. π26-，C. π46-，D. π43， 1.分析 借助三角函数的图象和性质求解.解析 因为115,21212T =π-π所以T =π. 又()20T ωωπ=>，所以2ωπ=π，所以2ω=.由五点作图法可知当512x =π时，x ωϕπ+=2，即52122ϕπ⨯π+=，所以3ϕπ=-. 故选A.2.（2014江苏5）已知函数cos y x =与()sin 2y x ϕ=+()0ϕ<π≤，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ． 3.（2014大纲文16）直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1，3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于.4.（2016全国甲文3）函数的部分图像如图所示，则（ ）. A.π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.π2sin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4.A 解析 解法一：当0x =时，0y <，排除C ，D.当3x π=时，2y =，代入A 满足.故选A.5.（2016上海文17）设a ∈R ，[]0,2πb ∈.若对任意实数x 都有πsin 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()sin ax b +，则满足条件的有序实数对(),a b 的对数为（ ）.A.1B.2C.3D.4 5.解析 ①当3a =时，则3b 5π=；②当3a =-时，则4π3b =.共2组.故选B. 评注 事实上a 确定了，则b 能唯一确定，因此共2组. 6.（2016天津文8）已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，x ∈R .若)(x f 在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是（ ）. A.10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.150,,148⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C.50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.1150,,848⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦6. D 解析 由题意()f x =1cos 2x ω-+sin 122x ω-=πsin 24x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由()0f x =，即πsin 04x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得()ππ+4k x k ω=∈Z .又()()ππ+4π,2πk x k ω=∉∈Z ，因此115599,,,848484ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫∉⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭115,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1150,,848ω⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选D. 7.（2016全国乙文12）若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）.A.[]1,1-B.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦7. C 解析 问题转化为()21cos2cos 03f x x a x '=-+对x ∈R 恒成立， 故()2212cos 1cos 03x a x --+，即245cos cos 033a x x -+恒成立. 令cos x t =，得245033t at -++对[]1,1t ∈-恒成立. 解法一：构造()24533g t t at =-++，开口向下的二次函数()g t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()11031103g a g a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1133a -.故选C.解法二：①当0t =时，不等式恒成立； ②当01t <时，1543at t ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，由y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在01t <上单调递增， 所以()1511445333t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，故13a -； ③当10t -<时，1543at t ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立.由y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在10t -<上单调递增， ()1511445333t t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，所以13a . 综上可得，1133a -.故选C. 评注 曾经谈到必要条件的问题，如取cos 1x =，则转化为13a-，因此直接选择C 选项.这缘于运气好，若不然取cos 0x =，则式子恒成立；取cos 1x =-，则13a ，此时只能排除A 选项.此外，可在未解题之前取1a =-，此时()1sin 2sin 3f x x x x =--，则()21cos2cos 3f x x x '=--，但此时()22011033f '=--=-<，不具备在(),-∞+∞上单调递增，直接排除A ，B ，D.故选C.8. （2016浙江文11）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =________，b =________.8.；1 解析 2π2cos sin 2214x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，所以A =1b =.9.（2016上海文5）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a = .9.3±解析 由辅助角公式可知函数()f x 5=，故3a =±.10.（2016北京文16）已知函数()()2sin cos cos20f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）求()f x 的单调递增区间. 10.解析 （1）因为()2sin cos cos2sin2cos2f x x x x x x ωωωωω=+=+=π24x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ωω==.依题意ππω=，解得1ω=.（2）由（1）知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.函数sin y x =的单调递增区间为()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 由πππ2π22π242k x k -++，得3ππππ88k xk -+.所以()f x 的单调递增区间为()3πππ,π88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .11.（2017天津文7）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）. A.2π,312ωϕ== B.211π,312ωϕ==- C.111π,324ωϕ==- D.17π,324ωϕ== 11.解析 解法一：由题意，得125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ．解法二：由5π28f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，知()11π5π3π214884T k +=-=，所以3π21T k =+.又()f x 的最小正周期2πT >，故0k =，3πT =，2π23T ω==，所以将5π8x =代入()2sin()f x x ωϕ=+，得125ππ2π382k ϕ⨯+=+，1k ∈N ，||πϕ<，解得π12ϕ=.题型54 三角函数图像变换1. （2013湖北文6）将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）. A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π61.分析 先将函数解析式化简，再写出平移后的解析式，然后根据函数为偶函数求得m 的值.解析由于πsin 2cos 6y x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位长度后得到函数π2cos 6y x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，由于该图象关于y 轴对称，所以()ππ6m k k -=∈Z ，于是()ππ6m k k =+∈Z ，又0m >，故当0k =时，m 取最小值π6.故选B.2．(2013福建文9）将函数()()ππsin 222f x x θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移()1ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图像，若()(),f x g x 的图像都经过点02P ⎛⎝⎭，，则ϕ的值可以是（ ）.A ．5π3 B ．5π6 C ．π2 D ．π62.分析 先求出解析式中的字母的聚取值，再利用代入法确定答案.解析 因为P ⎛ ⎝⎭在()f x 的图象上，所以()0sin f θ==因为ππ22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以π=3θ，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()πsin 23g x x ϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦.因为()02g =，所以sin 232ϕπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.验证，5π6ϕ=时，ππ54sin 2sin πsin π33332ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立.故选B. 3.（2014四川文3）为了得到函数()sin 1y x =+的图像，只需把函数sin y x =的图像上所有的点（ ）.A.向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动π个单位长度D.向右平行移动π个单位长度 4.（2014福建文7）将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（ ）. A.()y f x =是奇函数 B. ()y f x =的周期是πC. ()y f x =的图像关于直线2x π=对称 D. ()y f x =的图像关于点02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 5. （2014安徽文7）若将函数()sin2cos2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A.8π B.4π C.83π D.43π5. 解析 由()πsin 2cos 224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭知()f x 图像的对称轴方程为()ππ28k x k =+∈Z ，因此在y 轴左侧且离y 轴最近的对称轴方程为3π8x =-.依题意结合图像知，ϕ的最小正值为3π8，故选C.评注 本题考查三角函数的图像和性质.6. （2014辽宁文11）将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度，所得图像对应的函数（ ）. A ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 7.（2014浙江文4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数y x =的图像（ ）.A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向左平移π4个单位8.（2014重庆文13）将函数()()sin 022f x x ωφωφππ⎛⎫=+>-< ⎪⎝⎭，≤图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 9.（2015山东文）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 4y x =的图像（ ）. A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位 9.解析 因为ππsin 4sin 4312y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像， 只需要将函数sin 4y x =的图像向右平移π12个单位.故选B. 10.（2015陕西文）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数π3sin()6y x k ϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）．A ．5B ．6C ．8D ．1010.解析 由图像得，当πsin 16x ϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时min 2y =，即π3sin 6y k ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值 为2，求得5k =，所以π3sin 56y ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，max 358y =+=. 11.（2015重庆文）已知函数()21sin22f x x x =-. （1）求()f x 的最小周期和最小值；到原来（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标伸长的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像.当时间/hπ,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.11.解析 （1）())211sin 2sin 21cos 2222f x x x x x ==-+=1sin 2cos 2sin 222232x x x π⎛⎫--=--⎪⎝⎭．因此()f x 的最小正周期为π，最小值为．（2）由条件可知：()sin 23x g x f x π⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时有，2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，从而sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么sin 32x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值域为1222⎡⎢⎣⎦，故()g x 在区间,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上的值域是⎣⎦.12.（2015福建文）已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()f x 的图像向右平移π6个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图像，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）求证：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．12.分析 （1）先利用二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()π10sin 56f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2πT ω=求最小正周期；（2由函数()f x 的解析式中给x 减π6，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1时，()g x 取得最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ． 解析 （1因为()2103sincos 10cos 222x x x f x =+=π535cos 510sin 56x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （2（i ）将()f x 的图像向右平移π6个单位长度后得到10sin 5y x =+的图像，再向下平移()0a a >个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图像．又函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >． 由435<知，存在0π03α<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,πx αα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()()002π,2π+πx k k k αα∈+-∈Z 时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()000π2π+π2ππ213k k ααα--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()()002π,2ππk x k k k αα∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >．即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 13.（2015湖北文）某同学将“五点法”画函数()()πsin 02f x A x ωϕωϕ，⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个时期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示：（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）将(y f x =()y g x =图像，求()y g x =的图像离原点O 最近的对称中心.13.解析 (1)根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===. 数据补全如表所示：且函数表达式为()π5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2由(1)知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin 25sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为sin y x =的对称中心为()π0k ，，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z ，即()y g x =图像的对称中心为ππ0212k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，k ∈Z ， 其中离原点O 最近的对称中心为π012⎛⎫- ⎪⎝⎭，.14.（2016四川文4） 为了得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数sin y x =的图像上所有的点（ ）.A. 向左平行移动π3个单位长度 B. 向右平行移动π3个单位长度 C. 向上平行移动π3个单位长度 D. 向下平行移动π3个单位长度14.A 解析 由题意，为得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，只需把函数sin y x =的图像上所有的点向左移π3个单位.故选A. 15.（2016全国乙文6）若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）. A.π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.π2sin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ D.π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15. D 解析 将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期，即向右平移π4个单位， 故所得图像对应的函数为ππ2sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选D.16.（2014全国丙文14）函数sin y x x =图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移______个单位长度得到.16.π3解析 由sin y x x =，得π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以可由函数2sin y x =至少向右平移π3才能得到.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
高考数学大一轮复习第四章三角函数第4课时三角函数的图像与性质课件文
题型三 三角函数的对称性 (1)求函数 f(x)＝sin(2x－π6)的对称中心和对称轴方程． (2)设函数 y＝sin2x＋acos2x 的图像关于直线 x＝－π6对称，求 实数 a 的值． (3)求函数 y＝tan(x2＋π3)的图像的对称中心．
【解析】 (1)思路：利用三角函数的图像，把 2x－π6看做一 个变量，用换元的方法求对称中心或对称轴方程，也可以考虑 y ＝sinx 与 y＝sin(2x－6π)的关系，利用变换的思想求对称轴与对称 中心．
_T__＝__π___ 奇函数
递增区间 ______________
___________ ____________
递减区间 ________________ _____________
对称中心
_(_k_π_，_0_)___
___________
无 (k2π，0)
对称轴方程 ______________
∵一个周期内有一个最小值点，∴ 1≥49T＋34T＝1949T＝1949·2ωπ. ∴ω≥1929π.
【答案】 ω≥1929π 【讲评】 ω 的值与周期有关，熟练掌握一个周期内的单调性、 最值性、对称性等性质．
题型二 三角函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin(2x＋π2)； (2)f(x)＝tan(x－3π)； (3)f(x)＝sin(52π＋3x)sin(－π＋x)； (4)f(x)＝ 2sin2x－1； (5)f(x)＝lg(sinx＋ 1＋sin2x)．
课前自助餐
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数 y＝sinx，x∈[0，2π ]的图像上，五个关键点 是：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，________，(2π，0)． (2)在余弦函数 y＝cosx，x∈[0，2π ]的图像上，五个关键点 是：(0，1)，(π2，0)，_(π_，__－_1_)__，(32π，0)，(2π，1)．
高三数学一轮复习课件 第四章 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
A.{1，－1,2，－2}
B.{－1,1}
√C.{2，－2}
D.{1，－1,0,2，－2}
解析 当 k 为偶数时，A＝ssiinn αα＋ccooss αα＝2；
当 k 为奇数时，A＝－sisninαα－ccooss αα＝－2.
(2)(2018·太原质检)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－32π＝ －1 . cos－α－3πsin－3π－α
A.－
2 6
B.
2 6
C.－23
√D.23
(2)已知 sin α＝25 5，则 tan(π＋α)＋csoins5522ππ＋－αα＝
52或－52
.
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知 α 是第四象限角，tan α＝－152，则 sin α 等于
1 A.5
(2)商数关系：
sin cos
αα＝tan
αα≠π2＋kπ，k∈Z
.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
角 2kπ＋α(k∈Z)
二 π＋α
三
四
－α π－α
正弦
sin α
－__s_i_n_α_ _－__s_in__α_ __s_in__α_
五 π2－α
_c_o_s__α_
六 π2＋α
__c_o_s_α__
α＝tan
－sin α α·cos α·tan
α＝－tan1
α＝2
1
6＝
6 12 .
1 2 3 4 5 67
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 同角三角函数基本关系式的应用
1.已知 α 是第四象限角，sin α＝－1123，则 tan α 等于
§4.3 三角函数的图象与性质
于点（ ｘ０ ，０） 中心对称．
( ) 设 ｆ（ ｘ） ＝
４ｃｏｓ
ωｘ－
π ６
ｓｉｎ ωｘ － ｃｏｓ （ ２ωｘ ＋ π） ， 其 中 ω
＞０．
（１）求函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ）的值域；
[ ] （２）若 ｆ（ｘ）在区间
－ ３２π，
π ２
上为增函数，求 ω 的最大值．
( ) 解析 （１）ｆ（ｘ）＝ ４
．
（２） （２０１９ 成都七中 １ 月月考，１４） 如图为一弹簧振子作简 谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则 这个振子振动的一个函数解析式是 ．
解析
（ １） 由
Ｔ ４
＝
１１ １２
π－
２ ３
π＝
π ４
，得
Ｔ
＝
π，
∵
Ｔ＝
２π ，∴
ω
ω ＝ ２，∴
ｆ（ ｘ） ＝
对称性
对称轴：ｘ ＝ ｋπ＋
π ２
（ ｋ∈Ｚ） ；
对称中心：（ ｋπ，０） （ ｋ∈Ｚ）
周期
２π
单调性
单调增区间：
[ ] ２ｋπ－
π ２
，２ｋπ＋
π ２
（ ｋ∈Ｚ） ；
单调减区间：
[ ] ２ｋπ＋
π ２
，２ｋπ＋
３π ２
（ ｋ∈Ｚ）
奇偶性
奇函数
［ －１，１］
对称轴：ｘ ＝ ｋπ（ ｋ∈Ｚ） ；
( ) 对称中心：
换，设
ｚ
＝
ωｘ＋φ，由
ｚ
取
０，
π ２
３π ，π， ，２π
２
来求出相
应的
ｘ，通过列
表、计算得出五点坐标，描点连线后得出图象．
2018版高考数学文人教A版大一轮复习配套课件：第四章
1 π 5π (3)因为 sin B＝ 且 B∈(0，π)，所以 B＝ 或 B＝ . 2 6 6 π π 2π 又 C＝ ，B＋C<π，所以 B＝ ，A＝π－B－C＝ . 6 6 3 a b 又 a＝ 3，由正弦定理得sin A＝sin B，即 解得 b＝1. 3 b 2π＝ π， sin 3 sin6
常
2Rsin C ； ___________
b2＋c2－a2 cos A＝__________ ； 2bc
b c2＋a2－b2 c a sin B＝____ sin C＝ ； 见 (2)sin A＝2R， 2R ， ； 2ac 2R cos B＝__________
变 (3)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C ； a2＋b2－c2 _____________________ cos C＝___________ 2ab 形 (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A
答案 等腰三角形或直角三角形
考点一
利用正、余弦定理解三角形
【例 1】 (1)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45° ，则满足 条件的三角形有( A.1 个 ) B.2 个 C.0 个 D.无法确定
(2)在△ABC 中，已知 sin A∶sin B＝ 2∶1，c2＝b2＋ 2bc，则 三内角 A，B，C 的度数依次是________. (3)(2015· 广东卷)设△ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， 1 π c，若 a＝ 3，sin B＝2，C＝6，则 b＝________.
1 1 1 abc 1 2.S△ABC＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B＝ ＝ (a＋b＋c)· r( r 是 2 2 2 4R 2 三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形2第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式课件理
(教材习题改编)已知
tan
α
＝
2
，
则
sin sin
α＋cos α－cos
α α
的
值
为
________．
解析：sin sin
α＋cos α－cos
α＝tan α tan
αα＋－11＝22＋－11＝3.
答案：3
同角三角函数基本关系式的应用(多维探究)
角度一 公式的直接应用
(1)已知 sin α＝ 55，π2≤α≤π，则 tan α＝( )
角度三 sin α±cos α，sin αcos α 之间的关系 已知 α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝15.
(1)求 sin α－cos α 的值； (2)求sin12－α＋ta2nsαin2α的值．
【解】 (1)由 sin α＋cos α＝15， 平方得 sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝215， 整理得 2sin αcos α＝－2245. 所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4295. 由 α∈(－π，0)，知 sin α<0，又 sin α＋cos α>0， 所以 cos α>0，则 sin α－cos α<0， 故 sin α－cos α＝－75.
【解】 由已知得 tan α＝12.
(1)ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaann αα－＋31＝－53.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋
2＝
sin2α＋sin αcos sin2α＋cos2α
α＋2＝tanta2nα2＋α＋tan1
α
＋2＝121222＋＋112＋2＝153.
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻 求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
高考数学大一轮复习 4.4 函数yasin(ωxφ)的图象及三角函数模型的简单应用课件 理
sin (2 x则下2 面)，结论正确的是
(
)
3
第二十五页，共一百页。
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移 个 单位(dānwèi)长度,得到曲线C2
6
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移 个 单位长度,得到曲线C2
3
__2 _
-A
2___ __
_2_π__
0
3.函数y=sin x的图象经变换得到(dé dào)y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) 的图象的两种途径
第五页，共一百页。
【常用结论】
1.两种图象变换的区别
由y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种
变换的区别:①先相位变换再周期变换(伸缩(shēn suō)变换),平
B.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变
(3x ) 8
)
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C.纵坐标缩短(suōduǎn)到原来的1 ,横坐标不变
3
D.横坐标缩短到原来的 ,1纵坐标不变
3
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【解析】选D.因为变换前后,两个函数(hánshù)的初相相同,所 以只需把y=3cos ( x 图 )象上的所有点的纵坐标不变,
(2)由(1)知 f(x)= 5sin(2x )，
6
得g(x)=
5sin(2x2 ).
6
因为(yīn wèi)y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
令2x+2θ- =kπ,k∈Z,解得x=
6
-kθ,k∈Z. 2 12
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