北京市第四中学中考数学冲刺复习专题训练相似第3讲相似三角形的判断2(精选资料)

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北京四中九年级上册数学探索相似三角形相似的条件知识讲解(提高)

探索相似三角形相似的条件(提高)【学习目标】1.相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A ′，点B 的对应点是B ′，点C 的对应点是C ′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BCAB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释：51AC AB -=≈0.618AB(0.61851-是黄金分割的准确值).2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD =21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1、买西瓜为什么挑大个？思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”，爸爸“将”了思驰一军．回到学校，思驰就找来远兮一起商量．两人便开始了一番精彩对话．思驰：西瓜可以近似看成球体，可以应用球的体积公式．远兮：大西瓜和小西瓜的皮厚几乎相等．思驰：人们买瓜是为了吃瓤．远兮：瓤的体积在整个西瓜体积中占的比越大越好．思驰：两者的体积比如何求呢？经过一段时间的商讨，她们提出了解决方案：设瓜瓤（视为球体）的半径为r，瓜皮厚度为a，则瓤和整个瓜的体积比为：3333343()4()()3r r rr a r ar aππ==+++＜1当a一定时，r值越大，（3()rr a+的值越接近于1，即西瓜越大，瓤与整个瓜的体积比越接近于1．思驰把解决方案讲给父亲听后，父亲充满了赞许之意，但父亲同时又提出了：你能用你正在学习的相似图形知识解决问题吗？等你学完图形的相似这一章后，我相信你还能找出新的方法的．问题：你认为生活中还有哪些与它类似的情形？【思路点拨】通过选西瓜的方法学会分析解决生活中简单的实际问题，将西瓜沿球心所在直线切开，得到瓤和皮两个圆，根据相似形的性质，计算其半径的比，得到面积比，从而得出正确结果．【答案与解析】解：如图，设西瓜外径为R，西瓜内径为r，瓜皮厚度为a，于是两圆面积比为22()rRS rS r a=+，当r越大时，S r：S R越接近与1，故西瓜越大越合算．与此类似，买鸡蛋也应挑大个的．【总结升华】此题是一道材料分析题，通过题目信息所给出的研究方法，进行探究是解答此类题目的基本思路．类型二、相似三角形的三个判定定理2、如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1_____S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．【思路点拨】（1）根据S1= 12S矩形B D E F，S2+S3=12S矩形B D E F，即可得出答案．（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可．【答案与解析】（1）解：∵S1=12BD×ED，S矩形B D E F=BD×ED，∴S1=12S矩形B D E F，∴S2+S3=12S矩形B D E F，∴S1=S2+S3．（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．证明△BCD∽△DEC；证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EDC=∠CBD，又∵∠BCD=∠DEC=90°，∴△BCD∽△DEC．【总结升华】举一反三【变式】如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．【答案】解：在△ABC中，∠B=180°-∠A-∠C=79°，在△ABC和△DEF中，B EA D∠∠∠∠⎧⎨⎩＝＝，∴△ABC∽△DEF．3、如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为___________时，△ADP和△ABC相似．【思路点拨】分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可．【答案】4或9；【解析】解：当△ADP∽△ACB时，∴AP ADAB AC=，∴6128AP=，解得：AP=9，当△ADP∽△ABC时，∴AD APAB AC=，∴6128AP=，解得：AP=4，∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．故答案为：4或9．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC于△ADE中,AB AEBC ED=，要使△ABC于△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是___________．【答案】∠B=∠E．4、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）【思路点拨】（1）首先根据小正方形的边长，求出△ABC和△DEF的三边长，然后判断它们是否对应成比例即可．（2）只要构成的三角形与△ABC的三边比相等即可（答案不唯一）．【答案与解析】解：（1）△ABC和△DEF相似；根据勾股定理，得AB=2 5，AC= 5，BC=5；DE=4 2，DF=2 2，EF=2 10；∵251042AB AC BCDE DF EF====,∴△ABC∽△DEF．（2）答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可；△DP2P5，△P5P4F，△DP2P4，△P5P4D，△P4P5P2，△FDP1．【总结升华】此题主要考查的是相似三角形的判定方法：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．（SSS）举一反三【变式】如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（）【答案】B.由勾股定理求得各三角形的三边长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．类型三、黄金分割折纸与证明---用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）【思路点拨】连接GF，设正方形的边长为1，由折纸第一步，可知DF=12，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出BF，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，根据勾股定理由GF不变列出关于AG的方程，解方程求出AG的长，即可说明点G是AD的黄金分割点．【答案与解析】证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=12．在Rt△BCF中，BF=225 2BC CF+=，则A′F=BF-BA′=52-1．设AG=A′G=x，则GD=1-x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即(52-1)²+x2=(12)2+(1-x)2，解得x=51 2-，即点G 是AD 的黄金分割点（AG ＞GD ）．【总结升华】本题考查黄金分割的概念：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．举一反三：【变式】（2012•恩施州）如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落到线段EA 上，折出点B 的新位置B ′，因而EB ′=EB ．类似地，在AB 上折出点B ″使AB ″=AB ′．这时B ″就是AB 的黄金分割点．请你证明这个结论．【答案】设正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点， ∴BE=1∴AE=225AB BE +=，又∵B ′E=BE=1，∴AB ′=AE-B ′E=51-， ∴AB ″：AB=(51-)：2∴点B ″是线段AB 的黄金分割点．。

北京四中九年级上册数学相似三角形判定定理的证明知识讲解(基础)

相似三角形判定定理的证明(基础)【学习目标】1.熟记三个判定定理的内容.2.三个判定定理的证明过程.3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】要点一、两角分别相等的两个三角形相似已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A ′B ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB=∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF.∴AE:AC=DE:CB ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A ′,∠ADE=∠B=∠B ′,AD=A ′B ′, ∴△ADE ∽△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似已知，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A ′B ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似).∴AB ACAD AE =. ∵''''AB AC A B A C =,AD=A ′B ′, ∴''AB AC AD A C =∴''AC AC AE A C =∴AE=A ′C ′ 而∠A=∠A ′∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 要点三、三边成比例的两个三角形相似已知：在△ABC 和△A ′B ′C ′中， ''''''AB BC ACA B B C A C ==. 求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A ′B ′,AE=A ′C ′,连接DE. ∵''''AB ACA B A C =，AD=A ′B ′,AE=A ′C ′, ∴AB AC AD AE= 而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴AB BCAD DE =又''''AB BC A B B C =，AD= A ′B ′, ∴ ''AB BC AD B C =∴''BC BC DE B C =∴DE=B ′C ′,∴△ADE ≌△A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似1、在△ABC 中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为D ，CE⊥AB，垂足为E ，求证：△ADE∽△ABC．【思路点拨】由BD⊥AC ，CE⊥AB 得到∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB 可判断△AEC∽△ADB，则=，利用比例性质得=，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的判定方法即可得到结论．【答案与解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠ADB=90°，而∠EAC=∠DAB， ∴△AEC∽△ADB，∴=， ∴=，∵∠EAD=∠CAB， ∴△ADE∽△ABC．【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．举一反三【变式】如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE=60°，求证：BD•CD=AC•CE.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴AB BD CD CE，∴BD•CD=AB•CE，即BD•CD=AC•CE；2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD．【思路点拨】首先利用三角形的内角和定理证明：∠A=∠E，再有垂直得到90°的角，∠ADH=∠ACB=90°，从而证明：△AHD∽△EBD．【答案与解析】证明：∵HD⊥AB于D，∴∠ADH=90°，∴∠A+∠AHD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠E+∠AHD=90°，∴∠A=∠E，∵∠ADH=∠ACB=90°，∴△AHD∽△EBD．【总结升华】考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【答案与解析】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【总结升华】考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．举一反三【变式】如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：△ACD∽△ABE．（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．【答案】证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠ADC=∠AEB=90°．∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABE．（2）∵△ACD∽△ABE，∴AD：AE=AC：AB．∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．4、已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点P为BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F．（1）求证：△ADF∽△BDE；（2）求证：△DEF∽△ABC．【思路点拨】（1）由∠BAC=90°，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC可得到四边形AEPF为矩形，则AF=EP，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似得到Rt△BEP∽Rt△BDA，得到=，则=，利用比例性质变形得=，根据等角的余角相等得∠DAF=∠B，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ADF∽△BDE；（2）由△ADF∽△BDE得到∠ADF=∠BDE，=，变形得=，再由∠BDF+∠ADE=90°得到∠DEF=90°，于是可证明△DEF∽△DB A，所以∠DEF=∠B，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到Rt△DEF∽Rt△ABC．【答案与解析】证明：（1）∵∠BAC=90°，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AEPF为矩形，∴AF=EP，∵∠EBP=∠DBA，∴Rt△BEP∽Rt△BDA，∴=，∴=，即=，∵∠DAF+∠BAD=90°，∠B+∠BAD=90°，∴∠DAF=∠B，∴△ADF∽△BDE；（2）∵△ADF∽△BDE，∴∠ADF=∠BDE，=，即=而∠BDF+∠ADE=90°，∴∠ADF+∠ADE=90°，∠DEF=90°，∴∠ADB=∠FDE，∴△DEF∽△DBA，∴∠DEF=∠B，∴Rt△DEF∽Rt△ABC．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定与性质：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．举一反三【变式】如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．【答案】解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．类型三、三边成比例的两个三角形相似5、已知：正方形的边长为1（1）如图①，可以算出正方形的对角线为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n个呢？（2）根据图②，求证△BCE∽△BED；（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1．∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；⒊∠BEC+∠DFE=45°【思路点拨】（1）主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；（2）在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；（3）欲证∠BEC+∠DFE=45°，在本题中等于45°的角有两个，即∠AEB和∠BEF，所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中去，利用等腰梯形的性质求解即可．【答案与解析】解：（1）由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长==，第二个图形中，对角线长==，第三个图形中，对角线长=，所以第n个图形中，对角线长=；（2）在△BCE中，BC=1，BE=，EC=，在△BED中，BE=，BD=2，ED=，所以，∴△BCE∽△BED；（3）选取③，∵CD∥EF，且CE=DF，∴四边形CEFD为等腰梯形，∴∠DFE=∠CEF，∴∠BEC+∠DFE=∠BEC+∠CEF=45°．【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的.。

相似三角形单元复习

北京四中撰稿：龚剑钧审稿：范欣亚责编：张杨相似三角形单元复习一、知识要点、重点：1．进一步巩固和熟练掌握相似三角形的判定方法，通过寻找或构造相似三角形以便于计算线段的长度和比例或证明角等、线段成比例等.2．进一步巩固和熟练掌握相似三角形的性质的应用，加深对面积方法的理解和应用.3．加深对对应的理解，渗透分类思想，提升数学思维的严密性.二、几组常见相似基本图形：平行线型相交线型旋转型双“⊥”三、例题分析：1．如图，矩形草坪长20m，宽16m，沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？解析：因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.解：，而，∴∴矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等，因而它们不相似.两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.2. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.分析：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.解：设另两边长是xcm，ycm，且x<y.（1）当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.（2）当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.（3）当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有从而x=cm，y=cm.综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm，cm或cm，cm或cm，cm三种可能.一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.3．矩形ABCD中，BC=3AB，E、F是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC.问：图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论.解析：观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，即△EAF与△ECA.答：存在，是△EAF与△ECA.证明：设AB=a，∵BC=3AB，∴BC=3a.又∵E、F是BC边的三等分点，∴BE=EF=FC=a，EC=2a.在△ABE中，由勾股定理可求AE=.在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且，∴△EAF∽△ECA（两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似）.说明：以上用了相似三角形的判定定理：“两组对应边的比相等且夹角相等，两三角形相似”，该定理的灵活应用是学习上的难点所在，应注重加强训练.4．已知，如图，D为△ABC内一点连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，BE、CE交于E，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用.所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两对应边的比相等.从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有对应边的比相等，问题就可以得到解决.证明：在△CBE和△ABD中，∵∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，∴△CBE∽△ABD.∴.∴.又∵∠CBE=∠ABD，∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC.即∠DBE=∠ABC.∴△DBE∽△ABC.说明：本题应用综合分析法，既用到了相似三角形的性质，又用到了相似三角形的判定，要求对四种判定方法和八种基本图形要熟练掌握.5．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？方案：先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上.那么A、B之间的距离是多少？分析：这是一道测量河宽的实际问题，题中借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABO=∠DCO=90°.又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC. ∴.∵BO=50m，CO=10m，CD=17m，∴AB=85 m.答：河宽为85m.本题利用了“”型基本图形，实际上测量河宽有很多方法，可以用“”型基本图形，借助相似；也可用等腰三角形等等.6．如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？分析：把所需正方形按题中所述要求画出，发现利用相似三角形对应高的比等于相似比能较快地解决问题.解：设正方形PQMN为加工成的正方形零件. 边QM在BC上，顶点P、N分别在AB、AC上.△ABC的高AD与边PN相交于点E. 设正方形的边长为毫米.∵四边形PQMN是正方形，∴PN∥BC.∴△APN∽△ABC，△APE∽△ABD.∴，∴.∴.解得：（毫米）.答：加工成的正方形零件的边长为48毫米.思考：若把例3中的三角形余料，加工成矩形，且PN=2PQ时，PN是多少？7．利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.分析：即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5.解：画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′: OA= OB′:OB=OC′:OC=OD′:OD=OE′:OE=1.5.4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.这样：.则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.说明：由题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.8．在梯形中，，，，点分别在线段上（点与点不重合），且，设，.（1）求与的函数表达式；（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？解：（1）在梯形中，，，，，.，，.. .，，.与的函数表达式是；（2）.当时，有最大值，最大值为.9．（广东）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求此时的值.分析：此题涉及正方形的性质；相似三角形判定和性质；直角梯形；与二次函数有关的面积问题；二次函数的极值问题；相似三角形有关的计算和证明.解：（1）在正方形中，，，，，在中，，，，（2），，，，当时，取最大值，最大值为10.（3），要使，必须有，由（1）知，，当点运动到的中点时，，此时.。

第四中学中考数学冲刺复习专题训练相似第3讲相似三角形的判断2(无答案)(2021年整理)

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相似三角形的判定(2）一、知识回顾判定两个三角形相似的方法?1．定义．2．平行截出相似（预备定理）．3．三个判定定理（1）三边（2）两边和夹角（3)两角二、知识巩固例1．如图，在□ABCD 中，EF//AB ，DE:EA=2：3，EF=6,DB=10，求CD 和BF 的长．例2．如图，P 是□ABCD 的边BC 延长线上任意一点,AP 分别交BD 和CD于点M 和N ．求证：AM 2=MN •MP ．AB BC AC AD DE AE ==。

断∠BAD 和∠例3．如图，已知CAE 的大小关系，并说明理由．例4．如图，已知AC和BD相交于点E，CE•AE=BE•DE,△ABE与△DCE是否相似？【变式应用】如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．例5．如图,已知CD为Rt△ABC斜边上的高．求证：(1）（1）△ABC∽△ACD∽△CBD（2)CD2=AD•BD;AC2=AD•AB；BC2=BD•AB．（3)AC•BC=AB•CD．(4）若AC=4，BC=3，求AB、CD、AD和BD的长．例6．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB=2，BD=1,DC=3，△ABD与△C BA是否相似？例7．如图,△ABC中，D是BC中点，E是AD上一点,CE的延长线交AB 于F，求证:AE：ED=2AF:FB．三、方法总结1.基本图形结构2。

北京四中九年级上册数学探索相似三角形相似的条件知识讲解(提高)---巩固练习

【巩固练习】一、选择题1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B． 2个 C．3个D． 4个2．（2014•黄浦区一模）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列条件中不能判定△AED ∽△ABC是（）A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C. AD ACAE AB= D.AD DEAC BC=3．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（）A．8对 B． 6对 C．4对D． 2对4．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个5.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（）S2．A.>B.=C.<D.无法确定6.有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有a cb d =．②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．其中正确的判断有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题7．如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）8．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有条．9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有个．10．如图，点D、E、F在△ABC三边上，EF、DG相交于点H，∠ABC=∠EFC=70°，∠ACB=60°，∠DGB=50°，图中与△GFH相似的三角形的个数是．11．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB中点，MN=，线段MN的两端在CD、CD上滑动，当CM= 时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似．12.如图所示，顶角A为36°的第一个黄金三角形△ABC的腰AB=1，底边与腰之比为K，三角形△BCD为第二个黄金三角形，依此类推，第2008个黄金三角形的周长为____________．三、解答题13. 如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．（1）求证：△DQP∽△CBP；（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．14.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比51 2．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．15.如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF ∥CE ，交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF ∥AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．【答案与解析】一、选择题 1．【答案】C ；【解析】∵AB ⊥BC ，∴∠B=90°． ∵AD ∥BC ，∴∠A=180°﹣∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，设AP 的长为x ，则BP 长为8﹣x ．若AB 边上存在P 点，使△PAD 与△PBC 相似，那么分两种情况：①若△APD ∽△BPC ，则AP ：BP=AD ：BC ，即x ：（8﹣x ）=3：4，解得x=；②若△APD ∽△BCP ，则AP ：BC=AD ：BP ，即x ：4=3：（8﹣x ），解得x=2或x=6． ∴满足条件的点P 的个数是3个，故选：C ．2.【答案】D;【解析】A 、有条件∠ADE=∠C ，∠A=∠A 可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似证明△AED 和△ABC 相似；B、有条件∠AED=∠B，∠A=∠A可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似证明△AED和△ABC相似；C、根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明△AED和△ABC相似；D、不能证明△AED和△ABC相似；故选：D．3.【答案】C；【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，∴△GAB∽△BCF，还有△ABC≌△CDA（是特殊相似），∴共有6对．故选：C．4.【答案】B；【解析】观察可以发现AC=，BC=2，AB=，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为2，且为直角三角三角形，第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，第2，3图形中，两边不具备2倍关系，不可能相似，第4个图形中，有两边为，2，且为直角三角三角形，∴只有第1，4个图形与左图中的△ABC相似．故选：B．5．【答案】B．【解析】根据黄金分割的概念得：AP BP AB AP=，则212×PBS APS AB===1，即S1=S2．故选B．6．【答案】B．【解析】①、根据第四比例项的概念，显然正确；②、如果点C是线段AB的中点，AB：AC=2，AC：BC=1，不成比例，错误；③、根据黄金分割的概念，正确；④、根据黄金分割的概念：AC=51-，错误．故选B．二、填空题7．【答案】∠ADE=∠ACB；【解析】由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．故答案可为：∠ADE=∠ACB．8．【答案】3；【解析】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连接PC，∵∠A=36°，AB=AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP=PC，∠ABC=∠ACB=72°，∴∠ACP=∠PAC=36°，∴∠PCB=36°，∴∠B=∠B，∠PCB=∠A，∴△CPB∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3．9．【答案】3；【解析】设AP为x，∵AB=10，∴PB=10﹣x，①AD和PB是对应边时，∵△APD与△BPC相似，∴=，即=，整理得，x2﹣10x+16=0，解得x1=2，x2=8，②AD和BC是对应边时，∵△APD与△BPC相似，∴=，即=，解得x=5，所以，当AP=2、5、8时，△APD与△BPC相似，满足条件的点P有3个．故答案为：3．10．【答案】3;【解析】①∵∠ABC=∠EFC=70°，∴HF∥DB；∴△GBD∽△△GFH；②∵在△BDG中，∠B=∠EFC=70°，∠DGB=50°，则∠GDB=60°；在△ABC中，∠B=70°，∠ACB=60°，则∠A=50°；∴△ABC∽△GFH．③∵△DGB=∠A=∠FEC=50°，∠EFC为公共角∴△EFC∽△GFH；综上所述，图中与△GF H相似的三角形的个数是3．故答案是：3．11．【答案】1或2;【解析】如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB中点，∴AE=AD=．设CM的长为x．在Rt△MNC中∵MN=，∴NC=，①当Rt△AED∽Rt△CMN时，则=，即=，解得x=1或x=﹣1（不合题意，舍去），②当Rt△AED∽Rt△CNM时，则=，即=，解得x=2或﹣2（不合题意，舍去），综上所述，当CM=1或2时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．故答案为：1或2．12.【答案】K2007（K+2）.【解析】第一个三角形的周长为K+2；第二个三角形的周长K+K+K2=K（K+2）；第三个周长为K2+K2+K3=K2（K+2）…所以第2008个三角形的周长为K2007（K+2）.三、解答题13.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AQ∥BC，∴∠QDP=∠BCP，又∠QPD=∠CPB，∴△DQP∽△CBP；（2）解：∵△DQP≌△CBP，∴DP=CP=CD，∵AB=CD=8，∴DP=4．14.【解析】（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°， ∴∠B+∠A=108°． ∴x+2x=108，x=36°． ∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC ，△ADC ，△BAC ． ∵DB=DC ，∠B=36°， ∴△DBC 是黄金三角形，（或∵CD=CA ，∠ACD=180°-∠CDA-∠A=36°． ∴△CDA 是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°， ∴∠A=∠ACB ． ∴BA=BC ．∴△BAC 是黄金三角形． ②△BAC 是黄金三角形， ∴512AC BC -=， ∵BC=2，∴AC=51-． ∵BA=BC=2，BD=AC=51-， ∴AD=BA-BD=2-（51-）=3-5，③存在，有三个符合条件的点P 1、P 2、P 3． ⅰ）以CD 为底边的黄金三角形：作CD 的垂直平分线分别交直线AB 、BC 得到点P 1、P 2． ⅱ）以CD 为腰的黄金三角形：以点C 为圆心，CD 为半径作弧与BC 的交点为点 P 3．15.【解析】（1）直线CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下：设△ABC 的边AB 上的高为h ．则S △ADC =12AD •h ，S △BDC =12BD •h ，S △ABC =12AB •h ， ∴ADC ABC S S V V =AD AB ，BDC ADC S S V V =BD AB．又∵点D 为边AB 的黄金分割点， ∴AD AB =BDAD， ∴ADC ABC S S V V =BDCADCS S V V ．故直线CD 是△ABC 的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴s 1=s 2=12s ，即121S S S S ≠，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF ∥CE ，∴△DFC 和△DFE 的公共边DF 上的高也相等， ∴S △DFC =S △DFE ，∴S △ADC =S △ADF +S △DFC =S △ADF +S △DFE =S △AEF ，S △BDC =S 四边形BEFC ．又∵ADC ABC S S V V =BDCADCS S V V ， ∴AEF ABCS S V V =BEFC AEF S S V 四边形．因此，直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是平行四边形ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM ∥NE 交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是平行四边形ABCD 的黄金分割线．。

北京市第四中学2017届九年级中考复习学案相似(6分打包无答案)

最大最全最精的教育资源网图形的相像北京四中一、预备知识1．线段的比：假如采用同一长度单位量得两条线段a、 b 长度分别是m、 n，那么就说这两条线段的比是a: b=m: n ，或写成a m．b n2．成比率线段：关于四条线段a、 b、 c、 d，假如此中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a: b=c: d，我们就说这四条线段是成比率线段，简称比率线段．3．比率的基天性质：（1）若a: b=c: d，则ad=bc；（2）若a: b=b: c，则b 2=ac（b称为a、c的比率中项）．练习 .已知四条线段 a=0.5m， b=25cm， c=0.2m， d=10cm，试判断四条线段能否成比率？已知线段 a、 b、 c、d，知足ac，求证：ac a .b d b d b二、图形的相像1．相像形的观点：我们把形状同样的图形叫做相像形．2．相像多边形的观点：假如两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相像多边形．（1）相像多边形的定义既是判断方法，又是它的性质．（2）相像多边形对应边的比称为相像比．3．说明：（ 1）任何（边数相等的）正多边形都相像．（ 2）全等与相像的关系：全等就是相像比为 1 的相像（ 3）在相像多边形中，最简单的就是相像三角形．在△ ABC与△ A’B’C’中，假如∠ A=∠ A’，∠ B=∠ B’，∠ C=∠C’，AB BC CAk即对应角相等，对应边的比相等，我们就说A'B' B'C' C'A'△ABC与△ A’B’C’相像，记作△ ABC∽ △ A’B’C’．△ ABC与△ A’B’C’的相像比为 k．三、例题剖析例 1．以下图形中，必是相像形的是（）．A．都有一个角是40°的两个等腰三角形B．都有一个角为50°的两个等腰梯形C．都有一个角是30°的两个菱形D．邻边之比为2：3 的两个平行四边形例 2．如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，假如获得地两个矩形都和本来的矩形相像，那么本来矩形的长宽比是多少？例 3．分别依据以下条件，说出各组相像三角形的对应边的比率式和相等的对应角．（ 1）△ABC与△ADE相像，此中DE//BC．假如 AD=4， BD=2，DE=3你能求出哪条线段的长?（2）△ABO与△A’B’O相像，此中OB:OB’=OA:OA’．三角形相像是我们研究的要点，怎样判断三角形相像更为简捷？。

北京市第四中学中考数学冲刺复习专题训练相似第3讲相似三角形的判断2(无答案)

图形之间的联系3．证明方法小结（1）根据已知，选择最佳判定方法；（2)若证等积式，先化比例式．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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北京市西城区中考复习《相似》《解直角三角形》建议讲义及练习

北京市西城区重点示范中学20XX年3月九年级数学中考复习《相似》、《解直角三角形》复习建议及练习一、20XX年北京考试说明（一）图形的性质1. 相似三角形：A. 了解相似三角形的性质定理与判定定理；B. 能利用相似三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题。

2. 锐角三角函数及解直角三角形A. 理解锐角三角函数(sinA，cosA．tanA)的概念；知道30°、45°、60°角的三角函数值，理解（20XX年是“了解”）解直角三角形的概念；B. 能利用锐角三角函数的有关知识解直角三角形，能利用锐角三角函数的有关知识解决一些（20XX年是“某些”）简单的实际问题；C．运用直角三角形的有关内容解决有关问题。

（二）图形的变化3. 图形的相似：A. 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；了解黄金分割；认识图形的相似；了解相似多边形和相似比；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；B. 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（20XX年新增）；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。

（三）图形与坐标4. 坐标与图形运动：A. 在平面直角坐标系中，知道已知顶点坐标的多边形经过位似（位似中心为原点）后的对应顶点坐标之间的关系；了解将多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形位似；B. 在平面直角坐标系中，能写出已知顶点的多边形经过位似（位似中心为原点）后的图形的顶点坐标；C. 运用坐标与图形运动的有关内容解决有关问题。

二、复习建议1．按照考试说明的要求进行全面复习，重点知识重点复习、知识系统复习全面、非重点的A 级知识点适当安排、不漏过、不随意拔高难度；2．B级的知识要落实到位；C级知识要达到灵活运用；3．注重方程思想在相似、解直角三角形中的使用；4．教会学生观察复杂的几何图形，善于分解出基本图形，熟练的应用几何中定义、定理、公式来解题；5. 逆向思维是寻求几何证明思路的有效途径之一；6. 去模式化，重知识，重思想；7. 重视学生思路的收集，关注学生的学习过程，给予有效的学习方法指导。

北京中考复习(相似三角形的性质与判定)(课堂PPT)

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考点聚焦
京考探究
第25课时┃相似三角形的性质与判定
思想方法
函数思想——动态几何中的函数关系当动态几何中的两个变量有确定的关系时，其中一个变量就是另一个变量的函数．站在函数的观点，动态的几何问题就是探求几何图形按照某个规则运动下，两个变量之间的依赖关系，从而建立函数关系．而此题我们通过相似三角形的判定来证明 △ADP∽△BPC，从而得出ABDP ＝BACP，∴AD·BC＝BP·AP，∴xy＝ A2B2＝2，即 y＝2x(1＜x＜2)．
相似
比
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考点聚焦
京考探究
第25课时┃相似三角形的性质与判定考点5 相似三角形的性质
6
考点聚焦
京考探究
第25课时┃相似三角形的性质与判定
京考探究考情分析
7
考点聚焦
京考探究
第25课时┃相似三角形的性质与判定
热考京讲
热考一平行线分线段成比例定理的应用
例 1 [2013·海淀二模] 如图 25－1，在△ABC 中，点 D，
∴DE＝BBDA·AC＝140×6＝2.4.
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考点聚焦
京考探究
第25课时┃相似三角形的性质与判定
情况 2：如图②，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E.
∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B. 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC，∴DBCE＝AADB，
∴DE＝AADB·BC＝160×8＝4.8.
第25课时相似三角形的性质与判定
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第25课时┃相似三角形的性质与判定
考点聚焦
考点1 相似图形的有关概念
2
考点聚焦
京考探究
第25课时┃相似三角形的性质与判定考点2 比例线段

北京四中九年级上册数学相似三角形判定定理的证明知识讲解(基础)---巩固练习

【巩固练习】一、选择题1. 如图，已知∠C=∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是（）A ∠BAD=∠CAEB ∠B=∠DC BC ACDE AE= DAB ACAD AE=2．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（）A．一定相似B．当E是AC中点时相似 C．不一定相似D．无法判断3．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有（）A． 1对B． 2对C． 3对D． 4对4．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C. AB CBBD CD= D.AD ABAB AC=5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A B C D6．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4二、填空题7．如图∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE．8．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）9．如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC △DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．10．如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知，又因为，可证明△AOB∽△DOC．11．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是．12．如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有对相似三角形．（不添加任何辅助线）三、解答题13. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：△MEF∽△MBA；（2）若AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF=EC．14．如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长．15．已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D；【解析】由题意得，∠C=∠E，A、若添加∠BAD=∠CAE，则可得∠BAC=∠DAE，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；B、若添加∠B=∠D，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；C、若添加=，利用两边及其夹角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；D、若添加=，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；故选D．2.【答案】A.【解析】连结OC，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=45°，∵点O为AB的中点，∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，∴∠EOC=∠BOF，在△COE和△BOF中，∴△COE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，∴△OEF∽△△CAB．故选A．3.【答案】C；【解析】图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，∵DE=CE，FC=BC，∴DE：CF=AD：EC=2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF，∴AE：EF=AD：DE，即AD：AE=DE：EF，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠CEF+∠AED=90°，∴∠AEF=90°，∴∠D=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选C．4.【答案】C；【解析】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；故A与B正确；当时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；故D正确；当时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误．5.【答案】B；【解析】根据勾股定理，AB==2，BC==，AC==，所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故本选项错误；D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故本选项错误．6.【答案】C；【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．故选C．二、填空题7．【答案】当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似；【解析】∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似．8．【答案】∠C=∠2或∠B=∠1或；9．【答案】一定相似；【解析】根据图示知：AB=2，BC=1，AC=；DE=2，EF=，DF=5，∴====，∴△ABC∽△DEF．故答案是：一定相似．10．【答案】∠AOB=∠DOC;【解析】∵=，∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．故答案为：∠AOB=∠DOC．11．【答案】①②;【解析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°，∴∠DAC=∠BAE，∴△DAC≌△BAE，∴BE=DC．∴∠ADC=∠ABE，∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°，∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO=180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°+∠ABE）=60°，∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，∵∠DBO=∠ABD+∠ABE=60°+∠ABE，∠OCE=∠ACE+∠ACO=60°+∠ACD，∵∠ABE≠∠ACD，∴∠DBO≠∠OCE，∴两个三角形的最大角不相等，∴△BOD不相似于△COE；故答案为：①②．12．【答案】3【解析】在△ABC与△DBA中，∵∠ABD=∠ABD，∠BAD=∠C，∴△ABC∽△DBA，在△ABF与△CBE中，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBE，又∠BAF=∠BCE，∴△ABF∽△CBE．同理可证得：△ABE∽△DBF，所以图形中共有3对相似三角形．故答案为：3．三、解答题13.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EFM=∠MAB，∠FEM=∠MBA，∴△MEF∽△MBA；（2）∵AB∥CD，∴∠DFA=∠FAB，∵AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，∴∠DAF=∠FAB，∴∠DAF=∠DFA，∴DA=DF，同理得出CE=CB，∴DF=EC．14.【解析】（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴∠DBA=∠CAE，又∵==3，∴△ABD∽△CAE；（2）连接BC，∵AB=3AC=3BD，AD=2BD，∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，∴∠D=90°，由（1）得△ABD∽△CAE∴∠E=∠D=90°，∵AE=BD，EC=AD=BD，AB=3BD，∴在Rt△BCE中，BC2=（AB+AE）2+EC2=（3BD+BD）2+（BD）2=BD2=12a2，∴BC=2a．15.【解析】（1）证明：∵ABCD是正方形，∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°．∵CE=DF，∴AD﹣DF=CD﹣CE．∴AF=DE．在△ABF与△DAE中，∴△ABF≌△DAE（SAS）．（2）解：与△ABM相似的三角形有：△FAM；△FBA；△EAD，∵△ABF≌△DAE，∴∠FBA=∠EAD．∵∠FBA+∠AFM=90°，∠EAF+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠AFM．∴△ABM∽△FAM．同理：△ABM∽△FBA；△ABM∽△EAD．。

北京四中九年级数学下册第二十七章《相似》综合知识点总结(含答案解析)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，在ABC 中，AB AC ≠，AC 3AD =，3AB AE =，点F 为边BC 上一点，则下列条件不能保证FDB △与ADE 相似的是（）A ．A BFD ∠=∠B ．//DF AC C ．BD DF DE AD = D ．BD BF AE DE= 3．如图，直线////a b c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若23=AB BC ，则DE DF 的值为（）33554．如图，点D 在ABC 的边AC 上，添加下列哪个条件后，仍无法判定ABC ADB ∽△△（）A ．C ABD ∠=∠B ．CBA ADB ∠=∠C ．AB AD AC AB = D ．AB BC AC BD = 5．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（）A ．1个B ．2个C ．3D ．4个6．有下列四种说法：其中说法正确的有（）①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个7．如图，在ABC ，AB AC a ==，点D 是边BC 上的一点，且BD a =，1AD DC ==，则a 等于（）A ．512+ B ．512- C ．1 D ．2 8．如图，ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截(即：FG ∥BC)，若AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是ABC 的面积的（）99399．如图，直线l 1//l 2//l 3，分别交直线m 、n 于点A 、B 、C 、D 、E 、F ．若AB ∶BC ＝5∶3，DE ＝15，则EF 的长为（）A ．6B ．9C ．10D ．25 10．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ 长为（） A ．5(5-1) B ．5(5+1) C ．10(5-2) - D ．5(3-5) 11．如图，直线12//l l ，:2:3AF FB =，:2:1BC CD =，则:AE EC 是（）A ．1:2B ．1:4C ．2:1D ．3:2 12．已知线段a 、b 有52a b a b +=-，则:a b 为（） A ．5:1 B ．7:2 C ．7:3 D ．3:713．如图，在矩形OABC 中，点A 和点C 分别在y 轴和x 轴上．AC 与BO 交于点D ，过点C 作CE BD ⊥于点E ，2DE BE =．若5CE =，反比例函数(0,0)k y k x x=>>经过点D ，则k =（）A ．2B 352C ．36D 3014．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，25AD AB =，DE ＝3，则BC 的长为（）A ．7.5B ．4.5C ．8D ．6二、填空题15．如图圆内接正六边形ABCDEF 中，AC 、BF 交于点M ．则:ABM AFM S S =△△___________．16．如图，点P 是ABC 的重心，过P 作BC 的平行线，分别交AC ，AB 于点D ，E ，作//DF EB ，交CB 于点F ，若ABC 的面积为227cm ，则DFC △的面积为______2cm ．17．如图，D 是AC 上一点，//BE AC ，BE AD =，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，12∠=∠．若8DF =，4FG =，则GE =________．18．如图，ABC 中，1BC =．若113AD AB =，且11//D E BC ，照这样继续下去，12113D D D B =，且22//D E BC ；23213D D D B =，且33//DE BC ；…；1113n n n D D D B --=，且//n n D E BC 则101101=D E _________．19．贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为________米（结果保留两位小数）。

北京四中高中数学精品全套-高一数学-4(相似三角形的判定及有关性质、直线与圆的位置关系)- 4页

相似三角形的判定及有关性质北京四中一、相似三角形：两个三角形的对应角相等，对应边成比例.相似三角形判定定理判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似.判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似.判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似.相似三角形的性质性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长比都等于相似比. 性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方.平行截割定理：三条平行线截任两条直线，所截出的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.射影定理：CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，则（1）AC 2=AD·AB；（2）BC2=BD·AB；（3）CD2=AD·BD.二、例题例1 在梯形ABCD中，AD//BC，AC，BD相交于O，AO=2 cm，AC=8 cm，且S△BCD =6 cm2，求S△AOD.例2 AD是△ABC的中线，M是AD的中点，CM延长线交AB于N，AB=24 cm，求AN的长.例3如图，在△ABC中，AB=15 cm，AC=12 cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE//AB交AC的延长线于点E，则CE=_____cm.三、总结直线与圆的位置关系北京四中一、直线与圆的位置关系1、位置关系的分类：（1）公共点的个数；（2）圆心到直线的距离与半径的比较.2、切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线，是圆的切线.3、切线的性质定理：圆的切线垂直过切点的半径.推论1：从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等.推论2：经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线的夹角.4、与圆有关的角：（1）圆周角与圆心角；（2）弦切角推论：（1）直径所对的圆周角为直角；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等.5、与圆有关的线：（1）相交弦定理；（2）切割线定理.6、与圆有关的形：圆内接四边形.（1）性质；（2）判定.定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.二、例题例1 圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=________.例2 AD是圆O的直径，∠DAC=60°，AC=3，则圆O的直径=________.例3 AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，D在圆O上，且OC//AD，求证：DC是圆O的切线.例4 △ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE=PA，PD=1，BD=8，∠ABC=60°，则BC=________.三、总结直线与圆的位置关系。

北京市第四中学2024届中考冲刺卷数学试题含解析

北京市第四中学2024学年中考冲刺卷数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（）A．（3，-1）B．（2，﹣1）C．（1，-3）D．（﹣1，3）.若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为60的扇形，2．小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开则()A．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为4cmB．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cmC．圆锥形冰淇淋纸套的高为235cmD．圆锥形冰淇淋纸套的高为63cm3．如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C，B重合），则2PD+PB 的最小值为（）A．B．C．10 D．=，4．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB2∠=时，AC等于（）B60A．2B．2C．6D．225．将（x+3）2﹣（x﹣1）2分解因式的结果是（）A．4（2x+2）B．8x+8 C．8（x+1）D．4（x+1）6．截至2010年“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为29，28，29，31，31，31，29，31，则由年龄组成的这组数据的中位数是（）A．28 B．29 C．30 D．317．如图是一个正方体的表面展开图，如果对面上所标的两个数互为相反数，那么图中x的值是（）．A．3-B．3C．2D．88．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为1．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．4233π-B．833π-C．8233π-D．843π-9．下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有()个．A．4 B．3 C．2 D．110．如图，直线y＝kx+b与x轴交于点(﹣4，0)，则y＞0时，x的取值范围是()A．x＞﹣4 B．x＞0 C．x＜﹣4 D．x＜0二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，ABC△的顶点A，B，C均在格点上，D为AC边上的一点.线段AC的值为______________;在如图所示的网格中，AM是ABC△的角平分线，在AM上求一点P，使CP DP的值最小，请用无刻度的直尺，画出AM和点P，并简要说明AM和点P的位置是如何找到的（不要求证明）___________.12．如图的三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm.沿过点B的直线折叠三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD.则△AED的周长为____cm.13．如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=23+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__．14．点(a－1，y1)、(a＋1，y2)在反比例函数y＝kx(k＞0)的图象上，若y1＜y2，则a的范围是________．15．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______.16．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为__．17．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，是5×5正方形网格，每个小正方形的边长为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．（1）在图（1）中画出一个等腰△ABE，使其面积为3.5；（2）在图（2）中画出一个直角△CDF，使其面积为5，并直接写出DF的长．19．（5分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)20．（8分）某村大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，该村果农小张种植了黄桃树和苹果树，为进一步优化种植结构，小张将前年和去年两种水果的销售情况进行了对比：前年黄桃的市场销售量为1000千克，销售均价为6元/千克，去年黄桃的市场销售量比前年减少了m%（m≠0），销售均价与前年相同；前年苹果的市场销售量为2000千克，销售均价为4元/千克，去年苹果的市场销售量比前年增加了2m%，但销售均价比前年减少了m%．如果去年黄桃和苹果的市场销售总金额与前年黄桃和苹果的市场销售总金额相同，求m的值．21．（10分）化简：（x-1-2x2x1-+）÷2x xx1-+.22．（10分）为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元。

【全国百强校】北京市第四中学数学中考冲刺：相似专题：4相似三角形的性质和应用专题训练-精编.doc

相似三角形的性质和应用北京四中一、相似形的性质1．相似三角形的性质两个三角形相似，则它们的（1）对应角相等，对应边的比相等；——根据定义（2）对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；（3）周长比等于相似比；——容易证明（4）面积比等于相似比的平方．——需（2）成立重点证明性质（2）如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的高，求证：:=:AD A D AB A B ''''．如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的中线，求证：:=:AD A D AB A B ''''．如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的角平分线，求证：:=:AD A D AB A B ''''．2．相似多边形的性质：相似多边形的（1）对应角相等，对应边的比相等．（2）周长比等于相似比．（3）面积比等于相似比的平方．二、例题分析例1．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的周长之比为，面积之比等于．例2．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC.上，Q在BC上，（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求PC的长；（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求PC的长．=12，两动点M、N分别在边AB、AC 例3．锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y，（1）分别写出三个图中的面积y与边长x之间的函数关系式及x的取值范围；（2）当x= ，y有最大值．三、应用举例测量旗杆的高度平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法例1.如图，小明站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．例2．如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5 米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）．四、知识总结学习几何知识的一般思路：。

北京四中九年级上册数学图形的相似全章复习与巩固--巩固练习(基础)

《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( ).A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ).4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）.A．B． C．D．5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( ) .A．1个B．2个 C．3个 D．4个6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( ).A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37. 如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）.A．9 B．10 C．12 D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）.A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. 在□ABCD中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在B EFC H DA G 面上的影长为40米，则古塔高为________.13. 若, 则的值为 .14．如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=68°，AM ：MB ＝1：2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝_____________.15.如图，点D,E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC=∠AED 。

北京四中九年级上册数学相似的图形及相似图形的性质--知识讲解

相似的图形及相似图形的性质--知识讲解【学习目标】1、了解比例线段的概念及有关性质，明确相似比的含义并能灵活运用比例的性质进行运算求值；2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似以及相似图形的性质.【要点梳理】要点一、相似图形定义：具有相同形状的图形称为相似图形.要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等。

要点诠释：相似图形对应线段的比叫相似比；相似图形的周长比等于相似比；相似图形的面积比等于相似比的平方.要点二、比例线段1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比．2．成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：如果a c b d =，那么ad bc =. 要点诠释：(1),,,a b c d 叫做这个比例的项，,a d 叫做比例外项，,b c 叫做比例内项；（2）若a :b=b :c ，则2b =ac （b 称为a 、c 的比例中项）．4.比例的性质：（1）合分比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d±±=；（2）等比性质：如果...(...0),a c m b d n b d n ===+++≠ 那么......a c m a b d n b +++=+++. 【典型例题】类型一、比例线段1. 下列四组线段中，成比例线段的有( ).A ．3cm 、4cm 、5cm 、6cmB ．4cm 、8cm 、3cm 、5cmC ．5cm 、15cm 、2cm 、6cmD ．8cm 、4cm 、1cm 、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．2.有一块三角形地，它的周长为12m，它的三边为a 、b、c，且438 324a b c+++==，求这块地的面积．【答案与解析】解：由题意得4332123824a ba b cb c++⎧=⎪⎪++=⎨⎪++⎪=⎩，解得，53,4abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩∵32+42=52，即b2+c2=a2，∴此三角形为直角三角形，b、c为两直角边，∴S△=12bc=12×3×4=6m2．【总结升华】解答此题的关键是根据题意列出方程组求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求解．3. 已知a b c a b c a b cc b a+--+-++==，求()()()a b a c b cabc+++的值.【思路点拨】根据比例的等比性质解决分式问题．注意分两种情况：a+b+c≠0；a+b+c=0进行讨论．本题还可以设参数法解答．【答案与解析】（1）若a+b+c≠0，由等比定理有若a b c a b c a b cc b a+--+-++===)a b c a b c a b ca b c+-+-+-++++=1，所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有()()()a b a c b c abc +++=222c b a abcg g =8．（2）若a+b+c=0，则a+b=-c ，b+c=-a ，c+a=-b ，于是有()()()a b a c b c abc +++=()()()c a b abc---=-1．【总结升华】本题考查了等比性质：若...,a c m k b d n ==== 那么......a c m k b d n +++=+++. （b+d+…+n ≠0）．特别注意条件的限制（分母是否为0）．比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．引进一个参数k 表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．举一反三：【变式】已知xyz ≠0且x y z x y z z y x+++===k ，求k 的值．【答案】∵xyz ≠0，∴x 、y 、z 均不为0，①当x+y+z ≠0时，∵x y z x y z z y x+++===k ， ∴k==2，②当x+y+z=0时，x+y=-z ，z+x=-y ，y+z=-x ，所以，k=-1，综上所述，k=2或-1．类型二、相似图形4. 指出下列各组图中，哪组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形;(2)两个半径不等的圆;(3)两个面积不等的矩形;(4)两个边长不等的正方形.【思路点拨】要注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】 (1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性. 5.如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB=4．（1）求AD 的长；（2）求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．【答案与解析】（1）由已知得MN=AB ，MD=12AD=12BC ， ∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，DM MNAB BC =，∵MN=AB ，DM=12AD ，BC=AD ，∴12AD 2=AB 2，∴由AB=4得，AD=42；（2）矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为224DM AB ==22．【总结升华】考查相似多边形的性质，对应边的比相等．。

初三数学(北京版)相似三角形的性质(3)

=
2．练习巩固练习巩固2 如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC
于点H交DE于点P，DE=9，BC=12，
AH=8，求AP的长
D
DE∥BC
AH BC B
△ADE∽△ABC
DE: BC = 3:4 AP: AH = 3:4
A
PE C
H
练习巩固
A DE∥BC，
△ADE∽△ABC
DE
BC
．
D PE
AH BC， AP
B
C
H
AH ． AH ， AP ．
练习巩固
2 如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC
于点H交DE于点P，DE=9，BC=12，
AH=8，求AP的长
D
B
A
PE C
H
练习巩固
．
ABC中，DE∥BC交AB 、AC于点D、E，
如果AD=3，AE=2，EC=4，DE=2.5，
求DB，BC的长．
A E
B
CD
A' B'
C'
等量代换 E' 提公因式
约分
D'
练习巩固
思考：如果是相似n边形，相似比为k．它们的周长比、面积比与相似比还有相同的结论吗
n边之和的比结论：
(n-2)个三角形面积之和的比
类比、由特殊到一般
．
1．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm
，如果它们的面积和为78cm2，那么较大的多边形的
练习巩固
DE ∥BC，
ADE ∽ ABC ．
AD AB
AE AC
DBCE．
AE 2，EC 4，
AC 6．