高考数学一轮复习理科习题：第五篇 数列(必修5) 第4节 数列求和 Word版含解析

第4节数列求和
【选题明细表】
基础巩固(时间:30分钟)
1.S n=+++…+等于( B )
(A) (B)
(C)(D)
解析:由S n=+++…+,①
得S n=++…++, ②
①-②得,S n=+++…+-=-,所以S n=.
2.数列{(-1)n(2n-1)}的前2 018项和S2 018等于( B )
(A)-2 016 (B)2 018 (C)-2 015 (D)2 015
解析:S2 018=-1+3-5+7-…-(2×2 017-1)+(2×2 018-1)=(-1+3)+(-5+7)+…+[-(2×2 017-1)+(2×2 018-1)]=2×1 009=2 018.故选B.
3.等差数列{a n}的通项公式为a n=2n+1,其前n项和为S n,则数列{}的前10项的和为( C )
(A)120 (B)70 (C)75 (D)100
解析:由a n=2n+1,得a1=3,d=2.
所以S n=3n+×2=n2+2n.
因为=n+2,
所以数列{}是以3为首项,1为公差的等差数列.
所以()的前10项和为10×3+×1=75.
4.已知函数y=log a(x-1)+3(a>0,a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分
别是等差数列{a n}的第二项与第三项,若b n=,数列{b n}的前n项和为T n,则T10等于( B )
(A) (B) (C)1 (D)
解析:对数函数y=log a x的图象过定点(1,0),所以函数y=log a(x-1)+3
的图象过定点(2,3),则a2=2,a3=3,故a n=n,所以b n==-,所以T10=1-+-+…+-=1-=,故选B.
5.+++…+的值为( C )
(A) (B)-
(C)-(+) (D)-+
解析:因为===(-),
所以+++…+
=(1-+-+-+…+-)
=(--)=-(+).
6.在2016年至2019年期间,甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄,若年利率为q保持不变,且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期,到2020年6月1日甲去银行不再存款,而是将所有存款的本息全部取出,则取回的金额是( D )
(A)m(1+q)4元 (B)m(1+q)5元
(C)元 (D)
解析:2019年存款的本息和为m(1+q),2018年存款的本息和为m(1+q)2,2017年存款的本息和为m(1+q)3,2016年存款的本息和为
m(1+q)4,四年存款的本息和为m(1+q)+m(1+q)2+m(1+q)3+m(1+q)4=
=.故选D.
7.已知函数f(x)=x a的图象过点(4,2),令a n=,n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2 018= .
解析:由f(4)=2可得4a=2,
解得a=.则f(x)=.
所以a n===-,
S2 018=a1+a2+a3+…+a2 018=(-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)=-1.
答案:-1
8.有穷数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n-1所有项的和为. 解析:由题意知所求数列的通项为=2n-1,故由分组求和法及等比数
列的求和公式可得和为-n=2n+1-2-n.
答案:2n+1-2-n
能力提升(时间:15分钟)
9.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,当n≥2时,a n+2S n-1=n,则S2 017的值为( D )
(A)2 015 (B)2 013 (C)1 008 (D)1 009
解析:因为a n+2S n-1=n(n≥2),所以a n+1+2S n=n+1(n≥1),两式相减得
a n+1+a n=1(n≥2).又a1=1,所以S2 017=a1+(a2+a3)+…+(a2 016+a2 017)=1+1 008×1=1 009,故选D.
10.已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=6,S5=,则数列{}的前n 项和为( B )
(A)1-(B)2-
(C)2-(D)2-
解析:设等差数列{a n}的公差为d,
则S n=na1+d,
因为S3=6,S5=,
所以解得
所以a n=n+1,=,
设数列{}的前n项和为T n,
则T n=+++…++,
T n=+++…++,
两式相减得T n=+(++…+)-=+(1-)-,所以T n=2-.故选B.
11.(2018·江西赣南联考)在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1+(-1)n a n=
cos(n+1)π,记S n为数列{a n}的前n项和,则S2 017= .
解析:由a1=1,a n+1+(-1)n a n=cos(n+1)π,得
a2=a1+cos 2π=1+1=2,
a3=-a2+cos 3π=-2-1=-3,
a4=a3+cos 4π=-3+1=-2,
a5=-a4+cos 5π=2-1=1,
……
由上可知,数列{a n}是以4为周期的周期数列,且a1+a2+a3+a4=-2,
所以S2 017=504(a1+a2+a3+a4)+a1=504×(-2)+1=-1 007.
答案:-1 007
12.设函数f(x)=+log2,定义S n=f()+f()+…+f(),其中n∈N*,且n≥2,则S n= .
解析:因为f(x)+f(1-x)
=+log2++log2=1+log21=1,
所以2S n=[f()+f()］+[f()+f()］+…+[f()+f()］=n-1. 所以S n=.
答案:
13.已知数列{a n}的前n项和是S n,且S n+a n=1(n∈N*).
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=lo(1-S n+1)(n∈N*),令T n=++…+,求T n. 解:(1)当n=1时,a1=S1,
由S1+a1=1,得a1=,
当n≥2时,S n=1-a n,S n-1=1-a n-1,
则S n-S n-1=(a n-1-a n),即a n=(a n-1-a n),
所以a n=a n-1(n≥2).
故数列{a n}是以为首项,为公比的等比数列.
故a n=·()n-1=2·()n(n∈N*).
(2)因为1-S n=a n=()n.
所以b n=lo(1-S n+1)=lo()n+1=n+1,
因为==-,
所以T n=++…+
=(-)+(-)+…+(-)=-=.
14.(2018·广西玉林一模)已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N*).
(1)求证:(+)为等比数列,并求{a n}的通项公式a n;
(2)数列{b n}满足b n=(3n-1)··a n,求数列{b n}的前n项和T n. 解:(1)因为a1=1,a n+1=,
所以==1+,
即+=+=3(+),
则(+)为等比数列,公比q=3,
首项为+=1+=,则+=·3n-1,
即=-+·3n-1=(3n-1),
即a n=.
(2)b n=(3n-1)··a n=,
则数列{b n}的前n项和T n=+++…+,
T n=+++…+,
两式相减得T n=1+++…+-=-=2--=2-, 则T n=4-.。