应用参考6 可对角化矩阵的应用两例

可对角化矩阵的应用两例

1 Fibonacci数列研究的矩阵方法

在预备知识§3的例6中．我们已经证明了著名的Fibonacci数列0,1,1,2,3,5,8,13,…的通项公式，同学们自然会问，这个公式是如何发现的？下

面利用矩阵特征值、对角化工具来回答这个问题，并求．

这个数列的递推关系为

，k=0，1，2， (1)

初始条件为．令

因为，所以

． (2)

取，则(2)式成为

． (3) 由(3)式得出

． (4) 于是，欲求Fibonacci数列的通项公式，只要计算，我们利用A的相似简化来计算．A的特征多项式为||=，它的两个根：，

，是A的特征值．因此A可对角化．解齐次线性方程组

得到它的一个基础解系

．

同理可得的一个基础解系是

．

令，则

．

于是

(5) 从(4)式及初始条件得

． (6) 比较(6)式两边的第2个分量得

． (7) 这就是Fibonacci数列的通项公式．容易算出：

． (8)

以上极限的近似值0.618在最优化方法中有重要应用．一些实际问题常常可归结为求目标函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值(或最小值)，其中y=f(x)的解析表达式并不知道．假定y=f(x)在[a，b]上只有一个极值点(否则可将区间[a，b]划分)，这时称y=f(x)是单峰函数．为了求单峰函数y=f(x) 在[a，b]上的最大值点，可以在区间[a，b]的若干点上做试验求出函数值，再比较函数值的大小．如何选取这些试验点，使得所做试验次数比较少，又能迅速找出最大值点？可采用如下的优选方法：

第一个试点t1=a+0.618(b－a)，第二个试验点=a+0.382(b－a)，即是点t1关于区间[a，

b]中点的对称点，比较与，若>，则由于y=f(x)是单峰函数，其最大值

点不可能出现在区间[a，]里，从而可以去掉[a，]，剩下区间[，b]．第三个试验点

t2=+0.618(b－)，第四个试验点=+0.382(b－)．比较f(t2)与f()，如果

f(t2)

上述方法称为0.618法，也称为黄金分割法．它的优点是可以迅速缩短搜索区间，以便找出最优点．

2 某地区居民色盲遗传情况的研究

每一个人都有46个染色体．染色体是成对的，有22对是常染色体，一对是性染色体．男性的一对性染色体是(X，Y)；女性的一对性染色体是(X，X)．基因位于染色体上，因此基因也是成对的．在一对染色体的某一点位上的一对基因称为两个等位基因．显性的基因用A表示，隐性的基因用a表示．色盲基因是隐性的，且只位于X染色体上．一个女性居民若她的一对性染色体的某一点位P上的两个等位基因是X a X A(包括X A X a这一情形，以下同)或X a X a，则她患色盲，其中X a表示色盲基因．若她的点位P上的两个等位基因是X A X A，则她不患色盲．设N个女性居民中有N1个人的点位P上的两个等位基因是X A X A，N2个人的点位P上的两个等位基因是X A X a，N3个人点位P上的两个等位基因是X a X a．则这N个女性居民中色盲基因的频率为

． (9)

令

，，． (10)

则r，2s，t为这N个女性居民中点位P上的等位基因分别为X A X A，X A X a，X a X a的人所占的比例，这些比例记成(r，2s，t)．显然有r+2s+t=1．用这些记号，则这N个女性居民中色盲基因的频率为s+t．

类似地，一个男性居民若他的一对性染色体的某一点位P上的两个等位基因是X a Y，则他患色盲；若他的点位P上的两个等位基因是X A Y，则他不患色盲．设M个男性居民中有M1个人的点位P上的两个等位基因是X A Y，M2个人的点位P上的两个等位基因是X a Y，则这M个男性

居民中色盲基因的频率为．

令

p=，q=． (11)

则这M个男性居民中色盲基因的频率为q．这里p，q为这M个男性居民中点位P上的等位基因分别为X A Y，X a Y的人所占的比例，这些比例记成(p，q)．显然有p+q=1．由此可见，男性居民的色盲基因频率等于男性色盲者的比例q．

现在设某地区第一代男性居民中，点位P上的等位基因分别为X A Y，X a Y的人所占的比例为(p，q)；女性居民中点位P上的等位基因分别为X A X A，X A X a，X a X a的人所占的比例为(r，2s，t) ．则第一代男性居民，女性居民的色盲基因频率分别为q，s+t．我们来求该地区第二代男性居民，女性居民的色盲基因频率．这里假设第一代男性居民与女性居民的结合是随机的．设第二代男性居民共有L人，其中具有等位基因X A Y的人，由于他的基因X A来自母亲，而第一代女性居民中，基因X A的频率为

． (12)

因此具有等位基因X A Y的人的数目为L(r+s)．同理，具有等位基因X a Y的人的数目为

L(s+t)．因此第二代男性居民中色盲基因的频率(它等于男性色盲者的比例)为

． (13) 由此看出，第二代男性居民中色盲基因的频率等于第一代女性居民中色盲基因的频率．

设第二代女性居民共有W人，其中具有等位基因X A X A的人的数目为Wp(r+s)，具有等位基因X A X a的人的数目为W[p(s+t)+(r+s)q]，具有等位基因X a X a的人的数目为Wq(s+t)．由此得出，第二代女性居民色盲基因的频率为

． (14)

由(14)式看出，第二代女性居民中色盲基因的频率等于第一代男性居民和女性居民的色盲基因频率的算术平均值．

我们用，分别表示该地区第i代男性居民和女性居民的色盲基因频率，由上述知道

． (15)

其中i=2，3，…．若知道了b1，c1，我们来求b n，c n．从(15)式得

． (16) 把(16)式右端的系数矩阵记作B．从(16)式容易得出

． (17) 由此可见，求b n，c n归结为求出B n-1．为此我们来化简B，求其特征多项式

，得B的特征值1，－．由此看出，B可对角化：

解齐次线性方程组(I2－B)X=0，得到它的一个基础解系：；解齐次线性方程组(－I2－B)X=0，得到它的一个基础解系：．令

,

则

．

于是