2013届高三数学 章末综合测试题(9)数列(2)

2013届高三数学章末综合测试题（9）数列一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝24，则a 7为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解析：∵a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝4a 7＝24，∴a 7＝6. 答案：A2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 解析：由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得S 3＝3a 1＋3d ，S 2＝2a 1＋d ，代入S 33－S 22＝1，得d ＝2，故选C.答案：C3．已知数列a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 2 011等于( ) A ．1 B ．－4 C ．4 D ．5解析：由已知，得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝4，a 4＝－1，a 5＝－5，a 6＝－4，a 7＝1，a 8＝5，… 故{a n }是以6为周期的数列， ∴a 2 011＝a 6×335＋1＝a 1＝1. 答案：A4．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d ＜0 B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值解析：∵S 5＜S 6，∴a 6＞0.S 6＝S 7，∴a 7＝0. 又S 7＞S 8，∴a 8＜0.假设S 9＞S 5，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9＞0，即2(a 7＋a 8)＞0.∵a 7＝0，a 8＜0，∴a 7＋a 8＜0.假设不成立，故S 9＜S 5.∴C 错误. 答案：C5．设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 的值为( ) A ．－12B.12 C ．1或－12D ．－2或12解析：设首项为a 1，公比为q ，则当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，适合题意．当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q＝3·a 1q 2，∴1－q 3＝3q 2－3q 3，即1＋q ＋q 2＝3q 2,2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1(舍去)，或q ＝－12.综上，q ＝1，或q ＝－12.答案：C6．若数列{a n }的通项公式a n ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫252n －2－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x ＋y 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a n ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫252n －2－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝5·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1－252－45，∴n ＝2时，a n 最小；n ＝1时，a n 最大． 此时x ＝1，y ＝2，∴x ＋y ＝3. 答案：A7．数列{a n }中，a 1＝15,3a n ＋1＝3a n －2(n ∈N *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( )A ．a 21a 22B ．a 22a 23C ．a 23a 24D ．a 24a 25 解析：∵3a n ＋1＝3a n －2， ∴a n ＋1－a n ＝－23，即公差d ＝－23.∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝15－23(n －1)．令a n ＞0，即15－23(n －1)＞0，解得n ＜23.5.又n ∈N *，∴n ≤23，∴a 23＞0，而a 24＜0，∴a 23a 24＜0. 答案：C8．某工厂去年产值为a ，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．11×(1.15－1)aD ．10×(1.16－1)a解析：由已知，得每年产值构成等比数列a 1＝a ，a n ＝a (1＋10%)n －1(1≤n ≤6)．∴总产值为S 6－a 1＝11×(1.15－1)a . 答案：C9．已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为( ) A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在 解析：由S 20＝100，得a 1＋a 20＝10. ∴a 7＋a 14＝10. 又a 7＞0，a 14＞0，∴a 7·a 14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7＋a 1422＝25.答案：A10．设数列{a n }是首项为m ，公比为q (q ≠0)的等比数列，S n 是它的前n 项和，对任意的n ∈N *，点⎝⎛⎭⎪⎫a n ，S 2n S n ( )A ．在直线mx ＋qy －q ＝0上B ．在直线qx －my ＋m ＝0上C ．在直线qx ＋my －q ＝0上D ．不一定在一条直线上解析：⎩⎨⎧a n ＝mq n －1＝x ， ①S 2nS n＝m (1－q 2n)1－qm (1－q n)1－q＝1＋q n＝y ， ②由②得q n＝y －1，代入①得x ＝m q(y －1)， 即qx －my ＋m ＝0. 答案：B11．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n 组有n 个数，则第n 组的首项为( )A ．n 2－n B ．n 2＋n ＋2 C ．n 2＋nD ．n 2－n ＋2解析：因为前n －1组占用了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(n －1)n2项，所以第n 组的首项为数列2,4,6，…的第(n －1)n 2＋1项，等于2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)n 2＋1－1·2＝n 2－n ＋2.答案：D12．设m ∈N *，log 2m 的整数部分用F (m )表示，则F (1)＋F (2)＋…＋F (1 024)的值是( ) A ．8 204 B ．8 192 C ．9 218 D ．以上都不对解析：依题意，F(1)＝0，F(2)＝F(3)＝1，有2个F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个．F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个．F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个．…F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个．F(1 024)＝10，有1个．故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210＝2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2，∴T＝8×210＋2＝8 194，∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204.答案：A第Ⅱ卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若数列{a n}满足关系a1＝2，a n＋1＝3a n＋2，该数列的通项公式为__________．解析：∵a n＋1＝3a n＋2两边加上1得，a n＋1＋1＝3(a n＋1)，∴{a n＋1}是以a1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列，∴a n＋1＝3·3n－1＝3n，∴a n＝3n－1.答案：a n＝3n－114．已知公差不为零的等差数列{a n}中，M＝a n a n＋3，N＝a n＋1a n＋2，则M与N的大小关系是__________．解析：设{a n}的公差为d，则d≠0.M－N＝a n(a n＋3d)－[(a n＋d)(a n＋2d)]＝a n2＋3da n－a n2－3da n－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N.答案：M＜N15．在数列{a n}中，a1＝6，且对任意大于1的正整数n，点(a n，a n－1)在直线x－y＝6上，则数列{a nn3(n＋1)}的前n项和S n＝__________.解析：∵点(a n，a n－1)在直线x－y＝6上，∴a n －a n －1＝6，即数列{a n }为等差数列． ∴a n ＝a 1＋6(n －1)＝6＋6(n －1)＝6n ， ∴a n ＝6n 2.∴a n n 3(n ＋1)＝6n 2n 3(n ＋1)＝6n (n ＋1)＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ∴S n ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1.＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝6n n ＋1. 答案：6nn ＋116．观察下表： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …则第__________行的各数之和等于2 0092. 解析：设第n 行的各数之和等于2 0092，则此行是一个首项a 1＝n ，项数为2n －1，公差为1的等差数列． 故S ＝n ×(2n －1)＋(2n －1)(2n －2)2＝2 0092， 解得n ＝1 005.答案：1 005三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)，令b n ＝a n －2.(1)求证：{b n }是等比数列，并求b n ； (2)求通项a n 并求{a n }的前n 项和S n .解析：(1)∵b n ＋1b n ＝a n ＋1－2a n －2＝12a n ＋1－2a n －2＝12a n －1a n －2＝12，∴{b n }是等比数列． ∵b 1＝a 1－2＝－32，∴b n ＝b 1qn －1＝－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－32n .(2)a n ＝b n ＋2＝－32n ＋2，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－323＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n ＋2 ＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＋2n ＝－3×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＋2n ＝32n ＋2n －3.18．(12分)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，且c n ＝a n ·b nn，求数列{c n }的通项公式及其前n 项和T n .解析：(1)由题意S n ＝2n， 得S n －1＝2n －1(n ≥2)，两式相减，得a n ＝2n－2n －1＝2n －1(n ≥2)．当n ＝1时，21－1＝1≠S 1＝a 1＝2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，2n －1(n ≥2).(2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)， ∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3， b 4－b 3＝5，…b n －b n －1＝2n －3.以上各式相加，得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)(1＋2n －3)2＝(n －1)2.∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n ，∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (n ＝1)，(n －2)×2n －1(n ≥2)，∴T n ＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n －2)×2n －1，∴2T n ＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n －2)×2n. ∴－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1－(n －2)×2n＝2(1－2n －1)1－2－(n －2)×2n＝2n－2－(n －2)×2n＝－2－(n －3)×2n. ∴T n ＝2＋(n －3)×2n.19．(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3＋S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n }，记该数列的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．解析：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＋5a 1＋5×42d ＝50，(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋12d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， 即a n ＝2n ＋1.(2)由已知，得b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝2n ＋1＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n ＋1＋1)＝4(1－2n)1－2＋n ＝2n ＋2－4＋n .20．(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且ba n －2n＝(b －1)S n . (1)证明：当b ＝2时，{a n －n ·2n －1}是等比数列；(2)求通项a n .解析：由题意知，a 1＝2，且ba n －2n ＝(b －1)S n ，ba n ＋1－2n ＋1＝(b －1)S n ＋1，两式相减，得b (a n ＋1－a n )－2n＝(b －1)a n ＋1， 即a n ＋1＝ba n ＋2n.①(1)当b ＝2时，由①知，a n ＋1＝2a n ＋2n. 于是a n ＋1－(n ＋1)·2n ＝2a n ＋2n －(n ＋1)·2n＝2()a n －n ·2n －1.又a 1－1·20＝1≠0， ∴{a n －n ·2n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2)当b ＝2时， 由(1)知，a n －n ·2n －1＝2n －1，即a n ＝(n ＋1)·2n －1当b ≠2时，由①得a n ＋1－12－b ·2n ＋1＝ba n ＋2n －12－b ·2n ＋1＝ba n －b 2－b·2n＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12－b ·2n ， 因此a n ＋1－12－b ·2n ＋1＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12－b ·2n ＝2(1－b )2－b ·b n . 得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，12－b[2n ＋(2－2b )b n －1]， n ≥2.21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线．经计算，如果有20辆大型翻斗车同时作业25小时，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作．问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防线，请说明理由．解析：设从现有这辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列{a n }，则a n －a n －1＝－13.所以各车的工作时间构成首项为24，公差为－13的等差数列，由题知，24小时内最多可抽调72辆车．设还需组织(n －1)辆车，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝24n ＋n (n －1)2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13≥20×25.所以n 2－145n ＋3 000≤0， 解得25≤n ≤120，且n ≤73. 所以n min ＝25，n －1＝24.故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24小时内完成第二道防线．22．(12分)已知点集L ＝{(x ，y )|y ＝m ·n }，其中m ＝(2x －2b,1)，n ＝(1,1＋2b )，点列P n (a n ，b n )在点集L 中，P 1为L 的轨迹与y 轴的交点，已知数列{a n }为等差数列，且公差为1，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(3)设c n ＝5n ·a n ·|P n P n ＋1|(n ≥2)，求c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n 的值．解析：(1)由y ＝m ·n ，m ＝(2x －2b,1)，n ＝(1,1＋2b )， 得y ＝2x ＋1，即L ：y ＝2x ＋1.∵P 1为L 的轨迹与y 轴的交点， ∴P 1(0,1)，则a 1＝0，b 1＝1. ∵数列{a n }为等差数列，且公差为1， ∴a n ＝n －1(n ∈N *)．代入y ＝2x ＋1，得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)∵P n (n －1,2n －1)，∴P n ＋1(n,2n ＋1)．＝5n 2－n －1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1102－2120.∵n ∈N *，(3)当n ≥2时，P n (n －1,2n －1)，∴c 2＋c 3＋…＋c n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1－1n .。