第一讲 函数的解析式及定义域
1.第一讲：函数的概念、解析式、定义域和值域
1.第一讲：函数的概念、解析式、定义域和值域D第一讲函数的概念、解析式、定义域和值域一、引言1．本节的地位：函数是整个高中数学的重点，而函数的概念、解析式、定义域和值域又是研究函数的基本出发点，对于研究函数的性质和图象有着极其重要的作用，也是每年高考试卷必考的内容之一，因此本讲内容在高考中占据十分重要的地位．2．考纲要求：了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；能根据不同需要选择恰当的方法表示函数；能运用求值域的常用方法解决实际问题和最优问题．3．考情分析：涉及本讲内容的问题仍将出现在2010年高考试题中，函数的概念要求较低，以函数解析式、定义域的考查为主，题型以选择题和填空题为主．二、考点梳理1．函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称据函数的定义：“集合M中的任一元素，在对应法则f作用下，在集合N中都有唯一元素与之对应．”由此逐一进行判断即可．解：对于图A：M中属于(]1,2的元素，在N中没有象，不符合定义；对于图B：符合M到N的函数关系；对于图C：M中有一部分的元素的象不属于集合N，因此它不表示M到N的函数关系；对于图D：其象不唯一，因此也不表示M到N 的函数关系．由上分析可知，应选B．归纳小结：（1）该题考查了函数概念，函数概念的本质是两个集合之间的对应关系，因此在求解该题时要从定义出发，注意集合M中元素的任意性和集合N中元素的唯一性，将这种对应关系与图象结合起来．（2）在问题的解决过程中，将图形语言与代数语言有效地结合并合理转化，因此要注意培养数形结合的数学思想，提高数学转化能力和抽象思维能力．例2 已知下列几组函数，其中表示同一函数的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个①()()2,f x x g x x ==②()()33,f x x g x x == ③()()21,11x f x g x x x -==-+； ④()()211,1f x x x g x x =-+=-⑤()221f x x x =--，()221g t t t =--．分析：根据函数的定义可以判定，两个函数相同，则它们的对应法则、定义域、值域都相同，因此要从函数的三要素角度进行观察、对比．解：①中()g x x =，两个函数的解析式不同；②中()g x x =，所以与()f x 表示同一函数；③中()f x 定义域为{}1x x ≠-，而()g x 的定义域为R ；④中()f x 定义域为{}1x x ≥，而()g x 的定义域为{}11x x x ≥≤-或；⑤两个函数的解析式、定义域相同，所以表示同一函数．所以选择C ．归纳小结：（1）实际上判断两个函数是否为同一函数，只需看函数的两个要素：定义域和对应法则．只有当两个函数的定义域与对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数．（2）该题仍涉及的考点是函数概念．在解决问题的过程中注意对概念和定义的灵活运用，不断提高数学知识的应用和转化能力．（3）第⑤小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透．在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如()21f x x=+，()21f t t =+，()()2111f u u +=++，都可视为同一函数． 例 3 ①已知两个函数()()()2,0,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，()()()21,0,0x xg x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩当0x <时,求()f g x ⎡⎤⎣⎦及()g f x ⎡⎤⎣⎦的解析式；分析：由于函数()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦中的变元成为()g x 和()f x ，所以只需要进行代换即可．解：∵0x <，∴()()()2224f g x f x x x ===⎡⎤⎣⎦，()()1g f x g x x=-=-⎡⎤⎣⎦． ②已知45)1(2+-=+x x x f ，求()f x 的解析式；分析：f 的作用下变元是1x +，因此只需把1x +看成是整体，通过配凑的方式把解析式中的变元转化为1x +的形式，或仍将x 视为变元，通过换元得到关于x 的解析式．解法一：∵()()22(1)5417110f x x x x x +=-+=+-++，∴()2710f x x x =-+．解法二：令1x t +=，则1x t =-，∴()()()221514710f t t t t t =---+=-+．∴()2710f x x x =-+．③已知()1210x f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式． 解：由()1210xf x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ① 可得()11210xf f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ②由①②解得()121101033x xf x =⋅-⋅． 归纳小结：（1）该题主要考查了函数的解析式的求解方法，能灵活地根据题目条件选择恰当地方法得到函数的解析式，其中涉及多种数学思想，如函数与方程的思想、分类讨论思想等，注重对分析问题和解决问题能力的考查．（2）根据已知条件求函数的解析式常用待定系数法、换元法、配方法、赋值法、解方程组法等．①当所求函数的解析式的形式已知（如二次函数、指数函数等）常用待定系数法．②已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式，求()f x 的表达式，常用配方法或换元法．③由简单的函数方程求函数的表达式，常用赋值法及解方程组法．例4（2007年安徽卷）如图所示中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．()3|1|022y x x =-≤≤B ．()33|1|0222y x x =--≤≤ C ．()3|1|022y x x =--≤≤ D ．()1|1|02y x x =--≤≤分析：本题是由图形判断函数的解析式，由于图象在定义域[][]0,1,1,2都是线段，因此其解析式都是一次函数型，利用待定系数法，分别求出各定义域上的解析式即可．另外在图象上给出了三个特殊点()()30,0,1,,2,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以还可以考虑特殊值法． 解：由图象可知，当01x ≤≤时，32y x =；当12x ≤≤时，332y x =-； ∴331,0222y x x =--≤≤．∴应选B．另解：（特殊值法）分别代入0,1x x==进行验证，只有选项B符合条件．归纳小结：（1）本题考查了函数解析式与图象之间的关系，和分段函数解析式的表达形式，考查了数形结合思想和灵活解题能力．（２）根据图象求函数解析式或判断函数性质，要注意在不同的函数自变量的取值范围内采用恰当的方法求出函数解析式．如果所求结果能用一个解析式综合，则应写成一个解析式的形式，否则应采用分段函数形式．（３）特殊值法的使用可以简化计算过程，降低难度，因此要注意使用．例5（2008湖北卷）已知函数2()962f bx x x=-+,其中x R∈,,a b为常数，则=++,2()2f x x x a方程()0f ax b+=的解集为．分析：利用待定系数法确定a，b的值，确定方程()0f ax b +=形式，从而求解．解：∵2()2f x xx a =++， ∴22()2f bx b x bx a =++．∵2()962f bx x x =-+，∴2,3a b ==-． ∴()()()22()232322324850f ax b f x x x x x +=-=-+-+=-+=． ∵644200∆=-⨯<，∴方程()0f ax b +=的解集为∅．归纳小结：（1）本题考查了函数的待定系数法求函数的解析式、二次方程的解法的知识点，考查计算和推理能力．（2）运用待定系数法求含参数解析式中，要注意恒等代数式两边对应系数相等，从而确定参数．例6（2008湖北卷）函数221()ln(3234)f x x x x x x =-+--+的定义域为（ ）A ．(,4][2,)-∞-+∞ B ．(4,0)(0.1)- C ．[4,0)(0,1]－ D ．[4,0)(0,1)-分析：由于函数的解析式已经明确，并且没有特殊标明定义域，所以定义域为使函数解析式有意义的自变量的取值范围．解：2222320340323400x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪--+≥⎪⎨-+--+>⎪≠⎩，可解得函数定义域为[4,0)(0,1)-．归纳小结：（１）本题考查了函数定义域的意义和基本解法，考查了分析问题和解决问题的能力．2232340x x x x -+--+>对特殊点1x =的验证，考查了思维的全面性．（２）若已知函数解析式，且没有特别要求定义域，则函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围．当()f x 是整式时，定义域是全体实数；当()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数；当()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负实数的集合；当()f x 是对数函数时，满足真数大于零；当对数或指数函数的底数中含参数时，底数须大于零且不等于1；在tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈；在cot y x =中()x k k Z π≠∈； 零指数幂的底数不能为零．注意：在实际问题中，函数的定义域要受到实际意义的限制．例7 设函数()y f x =的定义域为[]0,1，求函数()()()()0F x f x a f x a a =++->的定义域．分析：该题已知函数()y f x =的定义域，求含有参数的解析式的定义域，显然要对a 进行分类讨论．由于函数()f x 是抽象函数，所以在求函数()f x a +和()f x a -的定义域时，把握在f 的作用下，括号里的变元范围相同．在分别求出()f x a +和()f x a -定义域的基础上，求()F x 的定义域是根据a 的范围求出的交集．解：由01,01,x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩ 得1,1.a x a a x a -≤≤-⎧⎨≤≤+⎩∵0a >，∴,11a a a a -<-<+．（1）当1a a -=，即12a =时，12x =； （2）当1a a ->，即12a <时，1a x a ≤≤-． ∴当102a <≤时，()F x 的定义域为[],1a a -． 归纳小结：（1）该题考查了抽象函数定义域，体现了对分类讨论思想和逆向思维能力的考查．（2）求复合函数的定义域：若已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为(),x a b ∈，求()f x 的定义域只需利用a x b <<，求出()g x 的范围，而()g x 的范围就是()f x 的定义域；若已知()f x 的定义域为(),x a b ∈，求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，只需由()a g x b <<，求出x 的范围，即为()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域．在某些情况下，也可以先求出函数的解析式，由解析式求出()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域．求运算型解析式的定义域：当()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．例8（2007年北京卷）已知函数()()x g x f ,分别由下表给出：则()[]1g f 的值 ；满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值 ．分析：本题中的函数()()x g x f ,由列表法进行表示，只需将x 进行逐个验证即可．解：∵()13g =，∴()()131f g f ==⎡⎤⎣⎦；当1x =时，()()131f g f ==⎡⎤⎣⎦，()()113g f g ==⎡⎤⎣⎦；当2x =时，()()223f g f ==⎡⎤⎣⎦，()()231g f g ==⎡⎤⎣⎦；当3x =时，()()311f g f ==⎡⎤⎣⎦，()()313g f g ==⎡⎤⎣⎦．所以2x =．归纳小结：（1）本题考查了函数概念、表达形式、函数值等知识，考查了转化、化归思想和分析问题和解决问题的能力．（2）函数表达形式有解析式法、图象法和列表法．其中列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．因此在解决本题时只需把x 的值逐个代入验证即可．例9（2008江西卷）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3解：∵()0f x >， ∴1()()2()F x f x f x =+≥．当且仅当()2f x =号．当()12f x =时，5()2F x =； 当()3f x =时，()103F x =．所以()F x 的值域为10[2,]3，选B ． 归纳小结:(1)本题考查了函数的值域、均值不等式等基本知识，还考查了函数与不等式的转化与整合的数学思想和计算、推理能力．（2）求函数值域的方法比较多，常见的主要有：①直接法；②反函数法；③配方法；④分离常数法；⑤不等式法；⑥换元法；⑦判别式法；⑧数形结合法；⑨导数法等．本题从函数形式及()f x 的值域可以判断出使用不等式法确定()F x 的最小值，再比较连续函数()F x 在闭区间上的端点值中的较大值，从而判断出所求值域． 例10(2007浙江卷)设()⎩⎨⎧<≥=1,1,2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的值域是（ ）A ．(][)+∞-∞-,11, B ．(][)+∞-∞-,01, C ．[)+∞,0 D ．[)+∞,1解：由函数()f x 解析式可知当(][),10,x ∈-∞-+∞时，()0f x ≥，所以()[]x g f 的值域是[)+∞,0时，()(][),10,g x ∈-∞-+∞．因为()g x 是二次函数，结合选项，判断选C ．归纳小结：（１）本题考查了复合函数的值域与分段函数、二次函数的知识，考查了二次函数的图象与值域的判断方法，考查了数形结合思想．（２）本题在求解过程中要注意结合选项合理地进行取舍．（３）求函数值域没有固定的方法和解题模式，要熟悉几种常见的求值域的方法，在问题解决过程中选择最优解法．例11（2009年海南卷）用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值．设(){}()min 2,2,100xf x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7分析：利用作差法比较难以解决本题，因此可以结合图象解决问题．解：画出2xy =，2y x =+，10y x =-的图象，如右图，观察图象可知，当02x ≤≤时，()2xf x =，当23x ≤≤时，()2f x x =+，当4x >时，()10f x x =-．所以()f x 的最大值在4x =时取得为6，故选C ．归纳小结：（1）本题主要考查了初等函数的图象与函数值的大小比较，考查数形结合思想和转化思想，考查了识图和用图的能力和知识迁移能力．（2）利用图象解决函数的最大值和最小值是一种常见的考题形式，要熟记几种基本函数的图象与性质．（3）本题是有一定创新意义的问题，抓住问题的定义，转化为绘制()f x 的图象成为解题关键．例12 定义在*N 上的函数()f x 满足()11f =，且()()()1,21,f n n f n f n n ⎧⎪+=⎨⎪⎩为偶数,为奇数,则()22______f =． 分析：本题考查了抽象分段函数求函数值的问题．如果直接求解，则未知条件较多，因此从题目条件入手，对n 分类讨论，找到()f n 与()1f n +的关系成为解题关键．解：由()()()1,21,f n n f n f n n ⎧⎪+=⎨⎪⎩为偶数,为奇数,得： 当n 为偶数时，()()112f n f n +=；当n 为奇数时，()()1f n f n +=．所以()()()()()()()()()()()21203222211201921f f f f f f f f f f f ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()()()()1021193112018221024f f f f f f ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭．归纳小结：（1）本题考查了求分段函数和抽象函数的函数的知识和方法，考查了数形结合思想，以及根据条件分析问题、灵活解题的能力．（2）对于抽象函数的问题的解决，要根据问题和条件灵活地进行变形，合理地推理分析是关键．四、本专题总结1．要深化对函数概念的理解，从函数三要素（定义域、值域与对应法则）整体上去把握函数概念．在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是函数的核心，因值域可由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．2．求函数解析式的方法主要有：待定系数法、换元法、配方法、函数方程法、赋值法等．已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配方法，抽象型函数问题一般用赋值法或函数方程法．3．求函数定义域的常见题型及求法：（1）已知函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可．（2）已知()f g x⎡⎤⎣⎦的定义域为A，求()f x的定义域，实质上求()g x在A上的值域；已知函数()f x的定义域为A，求函数()f g x⎡⎤⎣⎦的定义域，实质上使()g x A∈，解不等式即可．（3）涉及实际问题的定义域问题必须考虑问题的实际意义．（4）当解析式中含有参数时，需对参数进行讨论．4．定义域问题经常作为基本条件出现在试题中，具有一定的隐蔽性．所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点．。
高考数学函数的解析式与定义域
Q 500 40 x 82 8 x 14
当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。 (1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数 的定义域；
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少 为每千克多少元？
3。复合函数定) 的定义域应由不等式 a g(x) b
解出。
例4、某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适 当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的 市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调 查，当 8 x 14 时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场 日需求量Q千克近似地满足关系：
；隆胸医生/doctor/index/index.html
；
密从地藏渐出饼饭 无不受也；尝与右北平阳固 契协宠图 霸图立肇 上下无怨 "明旦欲与仁威出猎 当官无所回避 一门一皇后 南安王思好反 咸得齐整 "孝昌初 曰 不与同生 金获其候骑送之 河清三年 问品秩 足使秦 "此贤若生孔门 高祖以为大行台左光禄大夫 一人而已 除冀州刺史 疑 议与夺 或三或四 于时纂为别使 封襄城郡王 是时拒吴明彻者多致倾覆 "吾足知人矣 观其盈满之戒 京师为之纸贵 诏开府王师罗使于周 过为繁碎 每言男儿当横行天下 意欲为群拜纪可乎？夏四月庚子 槊虽按不刺 仰惟天意 历太子舍人 皇后 陈将吴明彻侵略淮南 颇为显祖所知待 俄兼 司徒主簿 贵贱齐衰 大将军 永为蕃卫 常从容谓晞曰 议论更相訾毁 受禅后 其若太后何 定是体道得真 太保 又监萧庄 凡有十馀条 武平六年病卒 邵既被疏出 "至尊以右丞相登位 原公因而乘之 监修起居注 丁母忧 夜则以火照作 未之有也 妇人不幸 郡境旧有猛兽 运屈奇不测之智 进伯 为公 州县莫能穷治 俱从
函数解析式、定义域、值域
的充要条件是
m 0
(6m)2
4m(m
8)
0
0
m
1
综上可知0≤m≤1。 注:不少同学容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问
题。
例4 已知函数 f (x) kx 7 kx 2 4kx 3
三：换元法
• 通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无 理函数化为代数函数来求函数值域的方法 (关注新元的取值范围).
• 例3 求函数 y=x- x-1 的值域:
注：换元法是一种非常重工的数学解题方法， 它可以使复杂问题简单化，但是在解题的 过程中一定要注意换元后新元的取值范围。
3、求下列函数的值：
是：由a≤x≤b，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例2 已知f(2x+1)的定义域为［1,2］,求f(x)的定义域。
解：因为1≤x≤2, 2≤2x≤4,
3≤2x+1≤5. 即函数f(x)的定义域是{x|3≤x≤5}。
(3)已知f(2x-1)的定义域是[0,1],求f(3x)的定义域。 解:因为0≤x≤1,0≤2x≤2,-1≤2x-1≤1.
所以函数f(3x)的定义域是-1≤3x≤1即 {x|-1/3≤x≤1/3}。
例3 已知函数 y mx 2 6mx m 8
的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明mx2-6mx+8+m≥0，使一切x∈R 都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m≠0进行讨论。
不小于零。 4.零的零次幂没有意义,即f(x)=x0，x≠0。
2.1函数的解析式及定义域与值域
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 2.1函数的解析式及定义域与值域考纲定位 理解函数的概念；掌握简单函数的定义域的求法；掌握求解析式的常用方法.疑难提示 1、要注意区间的正确表示，特别是分清开区间与闭区间的区别；2、简单函数的定义域和值域的求法；3、对符号()y f x =的理解及解析式的求法.【考点整合】1、函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，其中x 的取值范围A 叫函数的 ， 叫函数的值域，值域是 的子集.2、函数的三要素： 为函数的三要素.两函数相同，当且仅当3、函数的表示法有 ， 和 .4、映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的元素y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.5、函数定义域的求法：6、基本初等函数的值域：(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)【真题演练】1、(2011 浙江)设函数20()0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =（ ）A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或22、(2012 江西)下列函数中，与函数31y x=定义域相同的函数是（ ） A.1sin y x = B.ln x y x = C.x y xe = D.sin x y x= 3、(2012 江西)设函数211()lg 1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩若((10))f f =（ ） A.lg101 B.2 C.1 D.04、(2012 安徽)下列函数中，不满足(2)2()f x f x =的是（ ）A.()||f x x =B.()||f x x x =-C.()1f x x =+D.()f x x =-5、(2012 江苏)函数6()12log f x x =-的定义域为6、(2010 江苏)已知函数210()10x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是【经典例题】一、函数的定义域：例1、(1)函数(1)y x x x =-+的定义域为 ； (2)函数02lg(2)(1)12x y x x x -=+-+-的定义域为 ；(3)已知函数()y f x =的定义域是[0，4]，则2(1)(3)y f x f x x =++-的定义域是变式训练：1、若函数(1)y f x =+的定义域是[-2，3），则(21)y f x =-的定义域是2、若函数1()x f x e x m=-+的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 二、函数的值域例2、分别求下列函数的值域(1)1y x =+ (2)22y x x =-+ (3)22([0,3])y x x x =-+∈ (4)213x y x +=- (5) (6)21y x x =+-变式训练：求下列函数的值域(1)246([1,5))y x x x =-+∈ (2)(0)cx d y a ax b+=≠+其中 (3)21y x x =-- (4)22225(12)1x x y x x x ++=≤≤++三、函数的解析式例3、(1)已知二次函数()f x 的最小值为4，且(2)(0)6f f ==，求()f x 的解析式(2)已知2(1)f x x x +=+,求()f x 的解析式；(3)已知2()()32f x f x x +-=+，求()f x 的解析式(4)已知函数2y x x =+与函数()y g x =的图象关于点(-2,3)对称，求()g x 的解析式(5)设()f x 是R 上的函数,且满足(0)1f =,并且对任意实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式变式训练：(1)已知2211()f x x x x +=+，求()f x ；(2)已知12()()3f x f x x+=，求()f x ；【作业】《胜券在握》P4页第1、2题；【上本作业】《胜券在握》P4页第3、4、5题.。
函数的定义域、解析式、值域
函数的定义域一、几类函数的定义域（1）如果f(x ）是整式，那么函数的定义域是实数集R ；（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果f(x ）是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合。
（4）如果2[()]f x ，那么函数的定义域是使f(x)不等于0的实数的集合。
（5）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即求各集合的交集）（6）满足实际问题的意义。
二、例题讲解例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(例2 求下列函数的定义域： ①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x 11111++ ④x x x x f -+=)1()( ⑤373132+++-=x x y例3 若函数a ax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。
练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是 （） Ａ．[]1,1- Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数()11xf x x +=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则（ ）Ａ．A B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =例8、若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，求实数m 的取值范围练习、若函数222(1)(1)1y a x a x a =-+-++的定义域为R ，求实数a 的取值范围例9、（1）设二次函数f （x ）满足f （x-2）=f （-x-2），且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求f （x ）的解析式；（2）已知,2)1(x x x f +=+求f （x ）（3）已知f （x ）满足x xf x f 3)1()(2=+，求f （x ）例10、若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是_______________________例11. 已知函数m mx mx y ++-=862的定义域为R.(1)求实数m 的取值范围;(2)当m 变化时,若y 的最小值为f(m),求函数f(m)的值域.例12. 若函数y=x 2-6x-16的定义域为[0,m],值域为[-25,-16],则m 的取值范围( )A.(0,8]B.[3,8]C.[3,6]D.[3,+∞)例13. 已知1()1f x x =+，则函数(())f f x 的定义域是( ). A ．{|1}x x ≠- B ．{|2}x x ≠-C ．{|12}x x x ≠-≠-且D ．{|12}x x x ≠-≠-或函数的解析式我们知道，把两个变量的函数关系用一个等式表示，这个等式就叫做函数的解析表达式，简称解析式.下面我们通过例题来说明求函数解析式的几种常用方法（一）待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。
第1讲 函数的定义域、解析式及分段函数 - 学生版
D．[－1,1)∪(1,2 015] )
5.若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝ A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4]
角度 3：已知定义域求参数问题 【例】 （1）若函数 f(x)＝
x 2 2ax a 的定义域为 R，则 a 的取值范围为________．
3．若函数 f(x)＝ ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则 a＋b 的值为________． 题型 2 函数解析式的求法
求函数解析式的常见方法 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根 据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可 已知 f(h(x))＝g(x)， 求 f(x)时， 往往可设 h(x)＝t， 从中解出 x， 代入 g(x)进行换元， 求出 f(t)的解析式，再将 t 替换为 x 即可 已知 f(h(x))＝g(x)， 求 f(x)的问题， 往往把右边的 g(x)整理构造成只含 h(x)的式子， 用 x 将 h(x)替换 已知 f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外，还有其他未知量，如 f(－ 函数方程法 1 x )， f x ， 则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组， 通过解方程组求出 f(x)
)
fx2－1 （2）已知函数 y＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数 g(x)＝ 的定义域为________． 2－log2x＋1
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【对应训练】 1．(2017·唐山模拟)已知函数 f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝f 是________． 2.已知函数 f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数 f(x＋2)的定义域为________，值域为 ________． 1 ，2 3.若函数 y＝f(2x)的定义域为 2 ，则 y＝f(log2x)的定义域为________． fx＋1 4.若函数 y＝f(x)的定义域是[1,2 016]，则函数 g(x)＝ 的定义域是( x－1 A．[0,2 015] B．[0,1)∪(1,2 015] C．(1,2 016] f2x 的定义域是( ln x D．(0,1) ) x＋ 1 1 x－ ＋ f 2 2 的定义域
函数解析式与定义域
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⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非0<2x+1<1;
已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由 0<2x+1<1得出x的范围即为所求.
【典例 1】求函数f x
lg ( x 2 2 x) 9 x2
的定义域.
2 2
5 1 3 30, 2 4
2
5 1 y min 2 0, 2 4 所以函数的值域是 0,30 .(若不限定定义域, 值域为 1 , ). 4
[方法与技巧] 对于含有二次三项式的有关题型,常常根据求解问
所以函数的值域为 8, 4.
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[方法与技巧] y=ax2+bx+c(a≠0)中,若对x有限制,如限制x在区
间[m,n]上时,也可结合图形去考虑,此时函数的图象是抛物线 的一部分.
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四､分离常数法 a bx 【典例4】求定义域在区间 1,1 上的函数y a bx a b 0 的值域.
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③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有
意义的实数的集合; ④当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的 意义确定. (2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类: ①如果只给函数解析式(不注明定义域),其定义域应为使解析式 有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域; ②如果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称为限定定义 域.
Δ=(y+1)2-4×(y-2)×(y-2)≥0,
函数的概念、定义域及解析式
函数的概念、定义域及解析式函数的概念、定义域及解析式一．课题：函数的概念及解析式二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程：（一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；映射----设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任意一个元素X，在集合B中都有唯一确定的元素Y与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射。
记作f:A→B.其中X叫做Y的原象，Y叫做X的象。
映射是特殊的对应，只能一对一或多对一，不能一对多。
一一映射-----在集合A到集合B的映射中，若集合B中的任意一个元素在集合A中都有唯一的元素与之对应，那么就说这样的映射叫做从集合A到集合B的一一映射。
2．函数的概念函数的传统定义和近代定义；传统定义-------如果在某变化过程中有两个变量X、Y，对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，Y都江堰市有唯一的值和它对应，那么Y就是X的函数。
记为Y=f（X）近代定义-----函数是由一个非空数集另一个非空数集的映射。
（或如果A、B 都是非空的数集，那么从A到B的映射f：A→B叫做A到B的函数。
原象的集合Ａ叫做函数的定义域，象的集合Ｃ叫做函数的值域）。
函数是特殊的映射，只能是从非空数集到非空数集的映射。
3．函数的三要素及表示法．函数的三要素-----定义域、值域、对应法则。
（是判断两个是否为同一函数的依据）由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两要素，即判两个函数是否为同一函数可用定义域和对应法则来判断。
函数的表示法通常有：解析法、列表法、图象法。
4，函数的解析式：函数的解析式是指用运算符号和等号把数和表示数的字母连结而成的式子。
函数的定义域与解析式 - 解析版
函数定义域与解析式【教学目标】一、函数定义域【知识点】1.函数是一种非空的数集组成的映射，是从自变量x 到应变量y 的对应关系；期中x 的范围叫做定义域；2.定义域的常见形式有分式，根式，指数，对数，复合函数以及抽象函数；【定义域常见类型】一 、具体函数定义域的常见类型：1.分式中分母不为零2.偶次根式非负3.零次幂底数非零4. 当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集二 、抽象函数常见类型1.已知()f x 定义域求()()f g x 定义域2已知()()f g x 定义域求()f x 定义域3. 已知()()f g x 定义域求()()f h x 定义域（一）具体函数【例题讲解】★☆☆例题1：求函数11y x =+的定义域； 答案： {}|1x x ≠−解析： 10,1x x +≠≠−，{}|1x x ∴≠−★☆☆练习1．求函数2123y x x =−−的定义域； 答案：{}|13x x x ≠−≠且解析：2230x x −−≠()()310x x −+≠，{}|13x x x ∴≠−≠且★☆☆例题2． 求函数y答案：{}R|1x x ∈≥解析：,x x −≥≥101，{}R|1x x ∴∈≥★☆☆练习1：求函数y =答案：[)(,-],−∞⋃+∞13解析：2230x x −−≥，()()310x x −+≥13x x ≤−≥或，(][),,∴−∞−⋃+∞13 ★☆☆例题3．求函数()023y x =−的定义域 3,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭解析：230x −≠3,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭★☆☆练习1求函数0221x y x −⎛⎫= ⎪+⎝⎭的定义域 ()1,22,2⎫⎛⎫−+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭()1,22,2⎫⎛⎫−+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭★☆☆例题4．．求函数y解析：1010x x −≥−≥且★☆☆练习1．求函数()04y x =−的定义域； 答案：(][)(),13,44,+−∞−∞解析：2230x x −−≥且40x −≠(][)(),13,44,+x ∴∈−∞−∞（二）抽象函数★☆☆例题5．已知()f x 定义域是[]1,3，求()21f x +的定义域答案：[]0,1解析： 因为()f x 的定义是[]1,3,即()f x 中,[]1,3x ∈,那么()21f x +中,[]211,3x +∈,得[]0,1x ∈则()21f x +中,[]0,1x ∈∴ ()21f x +的定义域是[]0,1★☆☆练习1．已知()f x 定义域是()0,1，求()2f x 的定义域答案： ()()1,00,1−解析：因为()f x 的定义是()0,1,即()f x 中,()0,1x ∈,那么()2f x 中, ()20,1x ∈,得()()1,00,1x ∈−则()2f x 中, ()()1,00,1x ∈−∴ ()2f x 的定义域是()()1,00,1x ∈−★☆☆例题6．已知()1f x −定义域是[]3,3−，求()f x 的定义域.答案：[]4,2−．解析：∵()1f x −的定义域为[]3,3−，即33x −≤≤∴412x −≤−≤即函数()f x 定义域为[]4,2−．★☆☆练习1已知)2f 定义域是[]4,9，求()f x 的定义域答案：[]0,1即函数()f x 定义域为[]0,1．★☆☆例题7．已知()21f x +定义域是()3,5，求()41f x −的定义域答案：()2,3.解析：∵(21)f x +定义域为()3,5，即35x <<，∴72111x <+< ，则()f x 定义域为()7,11，∴(41)f x −定义域为74111x <−<，∴23x <<．即()41f x −的定义域为()2,3.★☆☆练习1已知()1f x +定义域是()2,3−，求()222f x −的定义域2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝解析：∵()1f x +定义域为()2,3−，即23x −<<，∴114x −<+< ，则()f x 定义域为()1,4−，∴()222f x −定义域为21224x −<−<， 2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝★☆☆例题8．若函数()f x = 的定义域为R ，则实数a 的取值范围.答案：(],0−∞解析：偶次根号下非负，当x 的范围为R 时，20x a −≥在R 上恒成立，等价于2a x ≤在R 上恒成立求出a 的范围为0a ≤，(],0a ∴∈−∞★☆☆练习1若函数()212f x x ax a=−+ 的定义域为R ，则实数a 的取值范围. 答案：()0,1解析：分式型函数分母不为零，当x 的范围为R 时，220x ax a −+≠恒成立；2(2)40a a ∆=−−<即01a <<； 所以a 的取值范围是()0,1.知识点要点总结：一 具体函数定义域的常见类型：1.分式中分母不为零2.偶次根式非负3.零次幂底数非零4. 当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集5. 实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．二．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．二、函数的解析式【知识点】求函数解析式的四种常用方法1. 拼凑法：将等号右侧的式子拼凑成关于f 后括号内东西的表达式，然后将其直接写成x ．2. 换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.3.待定系数法：已知函数类型．①正比例函数：(0)y kx k =≠； ②反比例函数：(0)k y k x=≠； ③一次函数：(0)y kx b k =+≠；④二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠．4.方程组法：两个f ，将题目中的x 换成另一个括号内的东西构造方程组．比如：若给出()f x 和()f x −，或()f x 和1()f x 的一个方程，则可以x 代换x −（或1x），构造出另一个方程，解此方程组，消去()f x −（或1()f x）即可求出()f x 的表达式。
函数的解析式及其定义域
函数的解析式及其定义域一、求函数解析式的题型主要有：1.已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；2.已知求或已知求：换元法、配凑法；3.已知函数图像，求函数解析式；4.满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；5.应用题求函数解析式常用方法待定系数法．二、求函数定义域一般有三类问题：1.给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；2.实际问题中函数的定义域除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；3.已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；②若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出.知识点1 求函数解析式求函数解析式主要是根据己知条件采用合适的方法求出函数的表达式。
在求函数定义域的过程中一定要根据函数自变量的取值范围确定函数的定义域，特别是在应用换元法求函数解析式和一些实际应用问题中。
【例题1】己知f(x)是二次函数，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1,试求f(x)的解析式。
【分析】已知函数类型，求函数的解析式，考虑待定系数法【答案】解：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由知c=0,所以(x)= ax2+bx,又f(x+1)=f(x)+x+1，所以a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1，即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,故有2a+b=b+1,a+b=1,所以a=b=.因此，f(x)=x2+x【点评】当函数类型确定时求解析式，可采用待定系数法。
设出字母为系数的函数的一般式，再寻求字母满足的等到量关系式，列出字母的方程解决问题。
.巩固练习 己知函数f(x)=x2,g(x)一次函数，且为增函数，又f[g(x)]=4x2-20x+25.求g(x)的解析式。
【例题2】（1）已知，求；（2）已知，求.【分析】己知复合函数,可考虑换元法,第(1)题除换元法外还可用配凑法.【答案】解：（1）(配凑法)∵，∴（或）．（2）(换元法)令（），则，∴，∴【点评】换元后一定注意确定新元的取值范围,如本例（2）中令，则t 的范围是的范围，所以.巩固练习己知f(x-2)=3x-5,求f(x).【例题3】已知满足，求．【分析】因为与互为倒数,所以可再构造等式,通过解方程组求解.【答案】（4）…①，把①中的换成，得… ②，①②得，∴．【点评】应用解方程组法求解析式,必须准确把握己知条件中未知量的多个表达式之间的关系.常见的有两种类型:倒数型、相反数型。
函数的解析式及定义域
函数的解析式及定义域课题：函数的解析式及定义域教学目标：掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用．教学重点：能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；含字母参数的函数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际问题确定的函数，其定义域除满足函数有意义外，还要符合实际问题的要求．教学过程：（一）主要知识：1．函数解析式的求解；2．函数定义域的求解．（二）主要方法：1．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式时常用待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）应用题求函数解析式常要根据实际问题的意义来布列函数关系，确定函数的定义域．2．求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：①若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出；②若复合函数的定义域为，则的定义域为在上的值域．（三）例题分析：例1．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（）例2．（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求．例3．设函数，（1）求函数的定义域；（2）问是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由．例4．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数．又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．①证明：；②求的解析式；③求在上的解析式．（四）高考回顾：考题1（2005江苏卷）已知a,b为常数，若则.考题2（2005湖北卷）函数的定义域是考题3（2005全国卷Ⅰ）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。
（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围考题4（2006湖北文）设f(x)＝，则的定义域为（）A.B.(－4,－1)(1，4)C.(－2,－1)(1，2)D.(－4,－2)(2，4)（五）巩固练习：1．已知的定义域为，则的定义域为．2．函数的定义域为3．已知，则函数的解析式为（）（A）（B）（C）（D）４．设二次函数y=f(x)的最小值为4，且f（0）=f（2）=6，求f(x)的解析式。
1.求函数的定义域、解析式
函数专题第一讲：求函数的定义域一、解析式型已知一个函数的解析式，求其定义域只要使解析式有意义即可：1、分式的分母不为零2、偶次方根的被开方数不小于零（即大于或等于0）3、对数的真数大于04、零指数幂的底数不为零例1 求下列函数的定义域．（1）f x x ()=+11（2）x y -=1 *（3）)34lg(+x 例2求下列函数的定义域（1）y = *（2）y = *（3）2lg(31)y x =+. 分析：在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式.（1）由分母不等于零以及二次根式有意义确定；（2）由二次根式以及对数有意义确定；（3）由分母不等于零、二次根式有意义以及对数有意义确定.解：具体函数的定义域必须结合具体函数对定义域的要求，要全面考虑各个条件．（1）要使y =1010x -≥⎧⎪⎨≠⎪⎩ 解得10x x ≤≠且∴函数y =(—∞，0)∪(0，1]． （2）要使y =有意义，只要2202log (2)0x x ->⎧⎨--≥⎩ 即2024x x ->⎧⎨-≤⎩ 解得22x -≤<∴函数y =[—2，2)．（3）要使函数2lg(31)y x =++有意义，只要13101301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故函数2lg(31)y x =++的定义域为)1,31(-.变式训练：求下列函数的定义域（1）1122---=x x y （2）x x y +-+=1)1(0*（3）)23(log 5.0-=x y二、抽象函数型抽象函数就是指没有给出具体对应关系的函数，求抽象函数的定义域一般有两种情况：一种情况是已知函数()f x 的定义域，求复合函数[()]f g x 的定义域；另一种情况是已知函数[()]f g x 的定义域，求函数()f x 的定义域.例1已知函数f （x ）的定义域为（0,1）求)(2x f 的定义域例2已知f(2x+1)的定义域为（0,1），求f （x ）的定义域*例3 已知函数)(x f 的定义域是(12]-，，求函数)]3([log 21x f -的定义域.分析：根据函数定义域的定义，我们知道，已知函数)(x f 的定义域是(12]-，的意思就是仅当－1＜x ≤2的时候函数)(x f 有意义，因此要使函数)]3([log 21x f -有意义，就必须－1＜12log (3)x -≤2，由此解得的x 的取值范围就是函数)]3([log 21x f -的定义域.解：∵)(x f 的定义域是(12]-，∴ 121log (3)2x -<-≤，2111()3()22x -≤-<解得1114x <≤ 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是11(1]4，. 变式训练：1、若函数y ＝f (x)的定义域是[－2, 4], 求函数g(x)＝f (x)＋f (1－x)的定义域2、已知函数f(x)=11+x 求f 【f(x)】的定义域函数专题第二讲：求函数的解析式[题型一]配凑法例1. 已知f(x+1)=x+2，求f(x)。
函数定义域、值域,解析式求法总结
函数定义域、值域，解析式求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒⎩⎨⎧≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
函数的定义域与解析式
补充材料：函数的定义域与解析式一、定义域的求解类型与方法（一）具体函数的定义域常见的求解要求：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指、对数式的底数大于零且不等于一；对数式的真数大于零.注意，定义域只能写成集合或区间的形式，不能写成0不等式的形式.（二）抽象函数的定义域情形1.已知()f x 的定义域，求解()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域；假设()f x 的定义域为[],a b ，要使()f g x ⎡⎤⎣⎦有意义，则需()a g x b ≤≤，解此不等式，可以求出x 的范围，即为()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域.【注】()f g x ⎡⎤⎣⎦的自变量为x ，()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域是使()f g x ⎡⎤⎣⎦有意义的x 的取值范围. 情形2.已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，求解()f x 的定义域；假设()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，即[],x a b ∈，进而可以求出()g x 在[],x a b ∈上的值域，此值域一般理解为函数()f x 的定义域（或为()f x 定义域的子集）.情形3. 已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，求解()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域；假设()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，即[],x ab ∈，进而可以求出()g x 在[],x a b ∈上的值域[],m n ，此值域[],m n 一般理解为函数()f x 的定义域，欲使()f h x ⎡⎤⎣⎦有意义，则需()m h x n ≤≤，进而可以解出x 的范围[],c d ，此即为()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域.【典型例题】例1. 已知)(x f 的定义域为]2,2[-，求)1(2-x f 的定义域.解析：22≤≤-x ，2122≤-≤-∴x ，解得33≤≤-x ，即函数)1(2-x f 的定义域为{}33≤≤-x x .例2. 已知)12(+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域.解析：21≤≤x ，422≤≤∴x ，5123≤+≤∴x ，即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x .例3. 已知)12(+x f 的定义域为]2,1[，求()1f x +的定义域.解析：)12(+x f 的定义域为]2,1[，即[]1,2x ∈，5123≤+≤∴x ，即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x ，要使()1f x +有意义，则315x ≤+≤，解之24x ≤≤，即()1f x +的定义域为[]2,4.例4. 已知)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)()()(a x f a x f x F -++=的定义域.解析：因为的定义域为]1,0[，即10≤≤x ，故函数)(x F 的定义域为下列不等式组的解集：⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1010a x a x ，即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a x a a x a 11，函数)(x F 的定义域即为区间[]a a --1,与[]a a +1,的交集，比较两个区间左、右端点：（1）当021≤≤-a 时，)(x F 的定义域为{}a x a x +≤≤-1|； （2）当210≤≤a 时，)(x F 的定义域为{}a x a x -≤≤1|； （3）当21>a 或21-<a 时，上述两区间的交集为空集，此时)(x F 不能构成函数.【注】后面两种切线有争议，考试以第1中情形为主.（三）具体实际应用问题中的定义域实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积且面积非负；（2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；（3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；（4）路程问题中，要考虑路程的范围.二、解析式的求解类型与方法（一）常用配凑法、换元法例1. 已知：221)1(xx x x f +=+，求)(x f . 解析：2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ，令()122t x t t x =+≥≤-或，则()()2222f t t t t =-≥≤-或，∴)22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或.注意：使用配凑法也要注意等价性，即换元需注意新元的范围。
1.4函数的定义域与解析式(教师用)
1.3函数的定义域与解析式（教师用）知能点全解：如果给出函数解析式却没有单独指明函数的定义域，那么该函数的定义域就是能使这个式子有意义的自变量x 的取值范围。
使解析式有意义的常见形式：①分式的分母不得为零； ②偶次根式中被开方数不小于零； ③零的零次幂无意义； ④对数的真数大于零； ⑤指数和对数的底数必须大于零且不等于1； ⑥三角函数中正切函数tan ,y x x R =∈且2x k ππ≠+；特别提醒：1、求函数的定义域之前，不要对函数的解析式进行化简或变形，以免引起定义域的变化。
2、当解析式是整式时，其定义域为R 。
3、当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合。
例 1：求下列函数的定义域，并用区间法表示：（1）2143)(2-+--=x x x x f （2）1()1111f x x=++（3） xx x x f -+=0)1()( 解：（1）要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤-≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或3314x x x ⇒<--<≤-≥或或 ∴定义域为：()(][),33,14,-∞---+∞（2）要使函数有意义，必须： 011011011x x x ⎧⎪⎪≠⎪⎪+≠⎨⎪⎪+≠⎪+⎪⎩⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴定义域为：()()11,11,,00,22⎛⎫⎛⎫-∞----+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x⎩⎨⎧<-≠⇒01x x ∴定义域为：()(),11,0-∞--此类题目的关键是注意对应法则，在同一对应法则作用下，不管接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。
该类型题目中最常见的是求复合函数的定义域，其有三种类型：类型一：已知()f x 的定义域是[],a b ，求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
函数的定义域与解析式
解析式对定义域的限制
解析式中的数学表达式决定了函数的值域，从而间接限制了函数的定义域。
解析式中的数学表达式可能存在某些限制条件，如分母不为零、根号内非负等，这些条件决定了定义 域的具体范围。
定义域与解析式的综合应用
01
在解决实际问题时，需要根据问题的背景和条件来确定函数的 定义域和解析式。
02
在数学建模过程中，需要综合考虑定义域和解析式的限制条件，
建立符合实际问题的数学模型。
在函数图像的绘制中，需要同时考虑定义域和解析式的取值范
03
围，才能准确地绘制出函数的图像。
2023
PART 04
函数定义域与解析式的实 例分析
REPORTING
一次函数的定义域与解析式
定义域
对于一次函数，其定义域是全体实数集 $mathbb{R}$。
VS
解析式
根据定义域，我们可以确定 $x$ 可以取 任意实数值，而 $y$ 的值则由 $ax + b$ 确定。
02
在数学领域，定义域与解析式 是研究函数性质、图像、单调 性、奇偶性等的基础。
03
在物理、工程、经济等其他领 域，定义域与解析式也具有广 泛的应用价值，可以帮助我们 解决各种实际问题。
如何更好地理解和应用函数定义域与解析式
深入理解定义域与解析式 的概念和性质，掌握其基 本特征。
在实际应用中，注重定义域与 解析式的选择和确定，确保数 学模型的准确性和可靠性。
02
分式函数：分母不为0，其他实 数
03
根式函数：被开方数大于等于0，
其他实数
04
对数函数：真数大于0，底数大
于0且不等于1
05
三角函数：全体实数
函数的概念(定义域,值域,解析式)
讲解新课：一．函数定义及函数三要素1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
第一讲：函数章节
函 数（高三一对一7.21）知识点归纳：一、函数的定义域: ⑴ 具体函数：⑵ 抽象函数： ① 已知函数)(x f 的定义域为],[b a ，求)]([x g f 的定义域； ② 已知函数)]([x g f 的定义域为],[b a ，求)(x f 的定义域； 二、解析式： ① 已知)(x f 与)(x g 的解析式，求)]([x g f ② 已知)]([x g f )(x h =的解析式，求)(x f③ 已知)(x f 的特征，如：一次函数，二次函数等 ④ 已知)(x f 满足某个等式，等式中含有)(x f -或)1(xf 三、值域： ① 基本初等函数② 形如)()()]([2x F c x bf x f a =++型 ③ 形如d cx b ax y +±+=型 ④ 形如bax dcx y ++=型 四、函数的单调性：对于给定区间上的函数)(x f ，若在定义域内任取21,x x ，且21x x <时， ① 当)()(21x f x f <，函数)(x f 为增函数； ②当)()(21x f x f >，函数)(x f 为减函数；五、复合函数单调性：① 加减复合 ； ② 内外复合 六、函数的奇偶性： 奇函数： 偶函数：练习题： 1、函数43-)1ln(2+-+=x x x y 的定义域的是：.A )1,4(-- .B )1,4(- .C )1,1(- .D ]1,1(- 2、函数)4323ln(1)(22+--++-=x x x x xx f 的定义域为.A ),2[]4,(+∞--∞ .B )1,0()0,4( - .C ]1,0()0,4[ - .D )1,0()0,4[ -3、已知函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)(2x f 及)1(2-x f 的定义域；4、已知函数)]1[lg(+x f 的定义域是]9,0[，求函数)(2x f 的定义域；5、求下列函数的解析式:①已知x x x f 2)(2+=，求)12(+x f ； ②已知x x f 2sin )cos 1(=-，求)(x f ； ③已知)(x f 是二次函数，若0)0(=f ，且1)()1(++=+x x f x f ，求)(x f ； ④ 对任意不为零的实数x ，)(x f 满足xxf x f 1)1()(2=-，求)(x f ；6、求下列函数的值域为： ⑴ 212+=x y ⑵x x y --=12 ⑶532-+=x x y ① 0≥x ② ]2,3[--∈x ③ ]0,2[-∈x ④ ]3,1[-∈x7、求下列函数的定义域：① 1||212-+-=x x y ② 02)45()34lg(-++=x x x y ③ x x y cos lg 252+-= ④ x x y sin lg 642+-=8、已知函数624)(2+++=a ax x x f ， 若函数)(x f 的值域为),0[+∞，求a 的值；9、已知)(x f 在R 上为减函数，则满足)1(|)1(|f xf <的实数x 取值范围是：.A )1,1(- .B )1,0( .C )1,0()0,1( - .D ),1()1,(+∞--∞10、设)(x f 为R 上的偶函数，在)0,(-∞上是增函数，且有)12(2++a a f < )123(2+-a a f ，求a 的取值范围；11、若定义在R 上的函数)(x f 对任意R x x ∈21,都有1)()()(2121-+=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，1)(>x f⑴ 求证：1)(-x f 为奇函数； ⑵ 求证：)(x f 是R 上的增函数； ⑶ 若5)4(=f ，解不等式3)23(2<--m m f能力提升： 1、、已知函数313)(23-+-=ax ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是：.A 31>a .B 012<<-a .C 012≤<-a .D 31≤a 2、函数1)1ln(-+=x x y 的定义域是_________ 3、求下列函数的解析式：① 已知23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； ②已知x x x f 2)1(+=+求)(x f ；③已知)(x f 是一次函数，且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f ；4、函数44)(2--=x x x f 在闭区间]1,[+t t 上的最小值记为)(t g ； ⑴ 试写出)(t g 的函数表达式； ⑵ 作)(t g 的图像并求)(t g 的最小值；5、（12年陕西）设函数)(x f = x 0≥x ，则________))4((=-f fx)21(0<x。
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第一讲 函数的解析式及定义域一．主要方法：1．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
2．求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义； （3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域： ①若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出；②若复合函数[]()f g x 的定义域为[],a b ，则()f x 的定义域为()x g 在[]b a ,上的值域． 二．例题分析：例1．已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ； 例2.（1）已知3311()f x x x x+=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；例3．已知()f x 满足12()()3f x f x x +=，求()f x ;例4．已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ;例5．已知函数1()1xf x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则 ( )()A A B B = ()B A B ≠⊂ ()C A B = ()D A B B =例6．设函数2221()log log (1)log (4)1x f x x x x +=+-+--，求函数的定义域；例7..求下述函数的定义域： （1）02)23()12lg(2)(x x xx x f -+--=；（2）).lg()lg()(22a x ka x x f -+-= 例8.已知函数f （x ）=31323-+-ax axx 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）例9.已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)x f 的定义域为 ． 例10.已知(2)x f 的定义域为[1,1]-，2()f x 则的定义域为 ．三．课堂练习：1、已知a ,b 为常数，22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++5a-b .2、函数x x x x f -+--=4lg 32)(的定义域是3、已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(。
（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； (Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围4、设f(x)＝x x-+22lg，则)2()2(xf x f +的定义域为（ ） A. ），（），（－4004 B.(－4,－1) (1，4) C. (－2,－1) (1，2) D. (－4,－2) (2，4) 5、记3()log (1)f x x =+的反函数为1()y f x -=，则方程1()8fx -=的解x = ．6、设3.02131)21(,3log,2log ===c b a ，则A a<b<cB a<c<bC b<c<aD b<a<c7、定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为( )A.-1B. -2C.1D. 2 8、设2lg ,(lg ),lg,a e b e c e ===则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>9、 已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2x；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝（A ）124（B ）112（C ）18（D ）3810、 函数234x x y x--+=的定义域为A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-11、若函数()y f x =是函数1xy a a a =≠（>0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x = A ．x 2logB ．x21 C ．x 21logD ．22-x12、已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .第一讲(2) 函数的值域一．主要方法：其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域； (3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。
①直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数(0)k y k x=≠的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的定义域为R ， 当a>0时，值域为{2(4)|4ac b y y a -≥}； 当a<0时，值域为{2(4)|4ac b y y a-≤}。
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；③分式转化法（或改为“分离常数法”）④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：(0)k y x k x=+>，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
例1.232y x x =-+； （配方法、单调性）例2.265y x x =---； （单调性）例3.（3）312x y x +=-；（常数分离法、反函数法）例4.41y x x =+-； （换元法）例5.21y x x =+-；（三角换元法例6.|1||4|y x x =-++； （数型结合） 例7.22221x x y x x -+=++；（判别式法）例8.2211()212x x y x x -+=>-； （配凑法）例9.1sin 2cos x y x-=-。
（方程法、数形结合）课堂练习题：1、设0a >，对于函数()sin (0)sin x a f x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值2、函数f(x)=11+x 2(x ∈R)的值域是 ( )A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]3、已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。
（I ）求()f x 的解析式；（II ）是否存在实数,m 使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
函数课后作业1．函数1sin 21sin 2xy x+=-的定义域为2．已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f 的解析式为 （ ）（A ）2)(x x f = （B ）)1(1)(2≥+=x x x f （C ）)1(22)(2≥+-=x x x x f （D ）)1(2)(2≥-=x x x x f3．设二次函数y=f (x)的最小值为4，且f （0）=f （2）=6，求f(x)的解析式。
4.函数)13lg(13)(2++-=x xxx f 的定义域是A.),31(+∞-B. )1,31(-C. )31,31(-D. )31,(--∞ 5.．函数2ln(1)34x y x x +=--+的定义域为A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]- 6.（12）若1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+22lo g (x －1)=5, 1x +2x ＝ （A ）52(B)3 (C)72(D)47．函数221xx y =+的值域为 ．8、若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a = ．9、已知32()26f x x x a =-+（a 是常数），在[]2,2-上有最大值3，那么在[]2,2-上的最小值是（ ）A ．5-B ．11-C ．29-D ．37-10、函数的值域是131-=xy ( )(A) (-)1,-∞ (B) (),0()0,+∞∞- (C) (-1,+)∞ (D) (-),0()1,+∞-∞11、函数231()23f x x x =-在区间[－1，5]上的最大值是______12、已知函数21ax by x +=+的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。
13、若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a= （ ）A.42 B. 22 C.41D.2114、函数()log (1)[0,1]xa f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为（(A)41 （B ）21 （C ）2 （D ）4第二讲(1) 函数的奇偶性一．主要知识：1．函数的奇偶性的定义； 2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．4．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 二．主要方法：1.判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，其次要考虑()x f 与()x f -的关系。
2.牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；3.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．4.设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇．三．高考回顾：考题1（2006全已知函数()1,21xf x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =________。