函数的定义域及函数的解析式解读

函数的定义域及函数的解析式
因为函数是现实世界对应关系的抽象或者说是对应关系的数学模型，它重要而且基本，不仅是数学研究的重要对象，也是数学中常用的一种数学思想，所以全面正确深刻理解函数概念则是我们教学的关键.其中函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理
解充分体现.下面，针对函数的定义域及函数解析式做进一步探讨.
一、函数的定义域
［例1］求下列函数的定义域
(1)ｙ＝－22
1x ＋１ (2)ｙ＝4
22--x x (3)x
x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x
(5)ｙ＝3
142-+-x x (6)ｙ＝)13(1
13-+--x x x (7)ｙ＝
x 1
11
11++
(8)ｙ＝3-ax （ａ为常数）
分析：当函数是用解析法给出，并且没有指出定义域，则使函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合就是函数的定义域.
解：(1)ｘ∈R
(2)要使函数有意义，必须使ｘ２－４≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≠２且ｘ≠－２｝
(3)要使函数有意义，必须使ｘ＋｜ｘ｜≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ＞０｝
(4)要使函数有意义，必须使⎩
⎨⎧≥-≥-0401x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜１≤ｘ≤4｝
(5)要使函数有意义，必须使⎪⎩⎪⎨⎧≠-≥-0
3042x x 得原函数定义域为｛ｘ｜－２≤ｘ≤２｝
(6)要使函数有意义，必须使⎩⎨⎧≠-≠-0
1301x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ≠31且ｘ≠１｝
(7)要使函数有意义，必须使⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥++≠++≠+≠01111011110110x x x x 得 原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞０或－
2
1＜ｘ＜０} (8)要使函数有意义，必须使ａｘ－３≥０得当ａ＞0时，原函数定义域为
｛ｘ｜ｘ≥a
3｝ 当ａ＜0时，原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≤a
3｝ 当ａ＝０时，ａｘ－３≥０的解集为∅，故原函数定义域为∅
评述：(1)求函数定义域就是求使函数解析式有意义的自变量取值的集合，一般可通过解不等式或不等式组完成.
(2)对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约，受制约时应对参数进行分类讨论.例1中的(8)小题含有参数ａ，须对它分类讨论.
［例2］(1)已知函数ｆ（ｘ）的定义域为(0，1)，求ｆ（ｘ２）的定义域.
(2)已知函数ｆ（２ｘ＋１）的定义域为(0，1)，求ｆ（ｘ）的定义域.
(3)已知函数ｆ（ｘ＋１）的定义域为［－２，３］，求ｆ（２ｘ２－２）的定义域.
分析：(1)求函数定义域就是求自变量ｘ的取值范围，求ｆ（ｘ２）的定义域就是求ｘ的范围，而不是求ｘ２的范围，这里ｘ与ｘ２的地位相同，所满足的条件一样.
(2)应由0＜ｘ＜1确定出２ｘ＋１的范围，即为函数ｆ（ｘ）的定义域.
(3)应由－２≤ｘ≤３确定出ｘ＋１的范围，求出函数ｆ（ｘ）的定义域进而再求
ｆ（2ｘ２－２）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用.
解：(1)∵ｆ（ｘ）的定义域为(0，1)
∴要使ｆ（ｘ２）有意义，须使0＜ｘ２ｘ＜０或０＜ｘ
＜１∴函数ｆ（ｘ２ｘ｜－１＜ｘ＜０或０＜ｘ＜１}
(2)∵ｆ（２ｘ＋１）的定义域为（０，１），即其中的函数自变量ｘ的取值范围是
0＜ｘ＜１，令ｔ＝２ｘ＋１，
∴１＜ｔ＜３，∴ｆ（ｔ）的定义域为1＜ｘ＜３
∴函数ｆ（ｘ）的定义域为｛ｘ｜１＜ｘ＜３}
(3)∵ｆ（ｘ＋１）的定义域为－２≤ｘｘ
令ｔ＝ｘ＋１，∴－１≤ｔ≤４
∴ｆ（ｔ）的定义域为－１≤ｘ≤4
即ｆ(ｘ)的定义域为－１≤ｘ≤４，要使ｆ（２ｘ２－２）有意义，
须使－１≤２ｘ2－２≤４， ∴－3≤ｘ≤－22或2
2≤ｘ≤3｝ 函数ｆ（２ｘ２－２）的定义域为｛ｘ｜－3≤ｘ≤－
22或22≤ｘ≤3｝ 注意：对于以上(2)(3)中的ｆ（ｔ）与ｆ(ｘ)其实质是相同的.
评述：(1)对于复合函数ｆ ［ｇ（ｘ）］而说，如果函数ｆ（ｘ）的定义域为A ，则
ｆ ［ｇ（ｘ）］的定义域是使得函数ｇ（ｘ）∈Ａ的ｘ取值范围.
(2)如果ｆ ［ｇ（ｘ）］的定义域为A ，则函数ｆ(ｘ)的定义域是函数ｇ(ｘ)的值域.
二、函数的解析式
［例1］(1)已知ｆ（x ＋１）＝ｘ＋２x ，求ｆ(ｘ)的解析式
(2)已知ｆ（ｘ＋
x 1）＝ｘ３＋31x
，求ｆ(ｘ)的解析式 (3)已知函数ｆ（ｘ）是一次函数，且满足关系式3ｆ（ｘ＋1）－２ｆ（ｘ－1）＝２ｘ＋１７，求ｆ(ｘ)的解析式
分析：此题目中的“ｆ”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用.即：求出ｆ及其定义域. 解：(1)设ｔ＝x ＋１≥１，则x ＝ｔ－１，
∴ｘ＝（ｔ－１）２
∴ｆ（ｔ）＝（ｔ－１）２＋２（ｔ－１）＝ｔ２－１（ｔ≥１）
∴ｆ（ｘ）＝ｘ２－１（ｘ≥１）
(2)∵ｘ３＋31x ＝（ｘ＋x 1）（ｘ２＋21x
－１） ＝（ｘ＋x 1）［（ｘ＋x
1）２－３］
∴ｆ（ｘ＋
x 1）＝（ｘ＋x 1）［（ｘ＋x
1）２－３］ ∴ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ２－３）＝ｘ３－３ｘ
∴当ｘ≠0时，ｘ＋x 1≥２或ｘ＋x
1≤－２ ∴ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ｘ（ｘ≤－２或ｘ≥２）
(3)设ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ则３ｆ（ｘ＋１）－２ｆ（ｘ－１）＝３ａｘ＋３ａ＋２ｂ＋２ａ－２ｂ＝ａｘ＋ｂ＋５ａ＝2ｘ＋１７
∴ａ＝２，ｂ＝７
∴ｆ（ｘ）＝２ｘ＋７
注意：对于(1)中ｆ（ｘ）与ｆ(ｔ)本质上一样.
评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别采用了这三种方法.值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域.
［例2］(1)甲地到乙地的高速公路长1500公里，现有一辆汽车以100公里／小时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的距离S (公里)表示成时间ｔ(小时)的函数.
分析：从已知可知这辆汽车是匀速运动，所以易求得函数解析式，其定义域由甲乙两地之间的距离来决定.
解：∵汽车在甲乙两地匀速行驶，∴Ｓ＝１００ｔ
∵汽车行驶速度为100公里／小时，两地距离为1500公里，
∴从甲地到乙地所用时间为ｔ＝100
1500小时 答：所求函数为：Ｓ＝１００ｔ ｔ∈［０，１５］
(2)某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长
1.２％，粮食总产量平均每年增长4%，那么ｘ年后若人均一年占有ｙ千克粮食.求出函数ｙ关于ｘ的解析式.
分析：此题用到平均增长率问题的分式，由于学生尚未学到，所以还应推导. 解：设现在某乡镇人口为A ，则1年后此乡镇的人口数为A (１＋１.２％)，2年后的此乡镇人口数为A （１＋１.２％）２…经过ｘ年后此乡镇人口数为A (１＋１.２％)ｘ.再设现
在某乡镇粮食产量为B ，则1年后此乡镇的粮食产量为B (1＋４％)，2年后的此
乡镇粮食产量为B （１＋４％）２…，经过ｘ年后此乡镇粮食产量为Ｂ（１＋４％）
ｘ，因某乡镇现在人均一年占有粮食为360 ｋｇ，即A B ＝３６０，所以ｘ年后的人均一年占有粮食为ｙ，即ｙ＝x x
x x A b %)2.11(%)41(360%)2.11(%)41(++=++（ｘ∈N *
评述：根据实际问题求函数解析式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定自变量后去寻求等量关系，求得函数解析式后，还要注意函数定义域要受到实际问题的限制.。