五种方法法求二面角及限时练习

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求二面角的六种方法

求二面角的六种方法

求二面角的六种方法求解二面角是空间几何学中常见的问题,它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。

本文将介绍六种求解二面角的方法,包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。

一、向量法向量法是一种简便的求解二面角的方法。

它利用向量的夹角来表示二面角。

首先,我们需要确定两个平面的法向量,然后计算它们之间的夹角。

通过向量的点积和模长运算,可以得到二面角的大小。

二、坐标法坐标法是一种常用的求解二面角的方法。

它利用坐标系中的点来表示二面角。

我们可以通过给定的坐标点,计算两个平面的法向量,然后利用向量夹角的公式求解二面角。

三、三角法三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。

它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。

通过已知的边长和角度,可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。

四、平面几何法平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。

它通过已知的平面形状和角度关系,利用平面几何的知识来求解二面角的大小。

例如,可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。

五、球面几何法球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。

它通过已知的球面形状和角度关系,利用球面几何的知识来求解二面角的大小。

例如,可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。

六、投影法投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。

它通过已知的投影长度和角度关系,利用投影几何的知识来求解二面角的大小。

例如,可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。

通过以上六种方法,我们可以灵活地求解二面角的大小。

不同的问题和场景可能适用不同的方法,我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。

这些方法在实际应用中具有重要的意义,能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。

总结起来,求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。

每种方法都有其特点和适用场景,我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。

二面角四种求法_5个例题解决二面角难题

二面角四种求法_5个例题解决二面角难题

四法求二面角二面角是高考的热点内容之一,求二面角的大小应先作出它的平面角,下面介绍作二面角的平面角四种方法:定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。

(1)定义法——在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

注:o 点在棱上,用定义法。

(2)垂线法(三垂线定理法)——利用三垂线定理作出平面角,通过解直角三角形求角的大小。

注:o 点在一个半平面上,用三垂线定理法。

(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面,两条交线所成的角即为平面角。

注:点O 在二面角内,用垂面法。

(4)射影面积法——若多边形的面积是S ,它在一个平面上的射影图形面积是S`,则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ SA 图3αβO B lO图5β α l C B A例1 如图1-125,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值。

(三垂线定理法)分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射影在AC 上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。

解∵ PC⊥平面ABC∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC作BD⊥AC于D点,据面面垂直性质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E,连BE,据三垂线定理,则BE⊥PA,从而∠BED是二面角B-PA -C的平面角。

设PC=a,依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形,∴ D是∵PC = CA=a,∠PCA=90°,∴∠PAC=45°∴在Rt△DEA评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解。

例2 在60°二面角M-a-N内有一点P,P到平面M、平面N的距离分别为1和2,求点P到直线a的距离。

(图1-126)(垂面法)分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离,过PA、PB作平面α,分别交M、N于AQ、BQ.同理,有PB⊥a,∵ PA∩PB=P,∴ a⊥面PAQB于Q又 AQ、BQ平面PAQB∴ AQ⊥a,BQ⊥a.∴∠AQB是二面角M-a-N的平面角。

二面角的几种方法及例题

二面角的几种方法及例题

二面角大小的求法(例题)二面角的类型和求法可用框图展现如下:、定义法: 甬片+—*■垂面法化T不见播型直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;例、如图,已知二面角a - a - B等于120° ,PA丄a ,A €a ,PB丄B ,B .求/ APB的大小.做OB 交线,交于点O,连接OAQ PB 平面PB 交线同理PA 交线又Q OB 交线交线面PAOB交线OA即可得AOB为面的二面角,AOB=120所以APB=60例、在四棱锥P-ABCD中, ABCD是正方形,PA!平面ABCQPA=AB=a求二面角B-PC-D的大小。

提示:VPAB VPCD,而且是直角三角形可见槻型I解法• f三垂线法A、三垂线定理法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;例、在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形,P从平面ABCD PA=AB=a / ABC=30,求二面角P-BC-A的tag 大小。

过A做AH BC,交BC于H,连接PH Q PA 面ABCDPA AB, PA BCBC 面PHAPHA为二面角在VABH中ABH=30 , AB=aAH=a/2tag PHA 2例:如图,ABCD-ABGD是长方体,侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC勺中点,求面CD%面CD所成二面角的正切值.提示:CO DE而且是长方体! !!例、△ ABC 中,/ A=90°, AB=4 AC=3 平面 ABC 外一点 P 在平 面ABC 内的射影是AB 中点M 二面角P-AC — B 的大小为45°。

求(1) 二面角P-BC — A 的大小;(2)二面角C-PB-A 的大小 提示:角PAB 是二面角,找到每个面的直角!射影,那么PM 为面ABC 的垂线!例、如图4,平面丄平面,A =l , A € , B € ,点A 在 直线I 上的射影为A,点B 在I 的射影为B,已知AB=2AA=1,BBp/2, 求:二面角A — AB- B 的大小.提示:AA1与BB1互相垂直AF 是辅助线且垂直AB,FE 平行BB四、射影法:(面积法)利用面积射影公式S 射=S 原cos ,其中 为平面BD i' M图4角的大小,此方法不必在图形中画出平面角;例、在四棱锥P-ABCD中,ABC[为正方形,P从平面ABCD PA =AB= a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

二面角问题求解方法大全

二面角问题求解方法大全

v1.0 可编辑可修改五法求二面角一、 定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,2AD =2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60°(I )证明:M 在侧棱SC 的中点 (II )求二面角S AMB --的大小。

练习1如图,已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 为菱形,PA ⊥平面ABCD ,60ABC∠=︒,E ,F 分别是BC , PC 的中点.(Ⅰ)证明:AE ⊥PD ; (Ⅱ)若H 为PD 上的动点,EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62,求二面角E —AF —C 的余弦值.二、三垂线法三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2. 如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB111111ABCD P -ABCD60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥AD PABPC AD A BD P -- (Ⅰ)证明:平面PBE ⊥平面PAB ;(Ⅱ)求平面PAD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小.练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ,侧棱与底面成600的角,侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

(1)求证:AC 1⊥BC ;(2)求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。

四、射影面积法(coss S射影)凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos 斜射S S =θ)求出二面角的大小。

立体几何二面角5种常见解法

立体几何二面角5种常见解法

立体几何二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下:一、定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性; 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.例、在四棱锥P-ABCD 中,ABCD 是正方形,PA⊥平面ABCD ,PA=AB=a ,求二面角B-PC-D 的大小。

jA BCDPHPOBA二、三垂线定理法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;例、在四棱锥P-ABCD 中,ABCD 是平行四边形,PA⊥平面ABCD ,PA=AB=a ,∠ABC=30°,求二面角P-BC-A 的大小。

例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.ABCDA 1B 1C 1D 1EO例、ΔABC 中,∠A=90°,AB=4,AC=3,平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ,二面角P —AC—B 的大小为45°。

求(1)二面角P —BC —A 的大小;(2)二面角C —PB —A 的大小例、(2006年陕西试题)如图4,平面α⊥平面β,α∩β=l ,A ∈α,B ∈β,点A 在直线l 上的射影为A 1,点B 在l 的射影为B 1,已知AB=2,AA 1=1,BB 1=2,求:二面角A 1-AB -B 1的大小.B 1AαA 1 LE F三、垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直;例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392,求二面角βα--l 的大小.四、射影法:(面积法)利用面积射影公式S 射=S 原cos θ,其中θ为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角;例、在四棱锥P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥平面ABCD ,PA =AB =a ,求平面PBA 与平面PβαlCBA例、如图,设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。

二面角求法及经典题型归纳

二面角求法及经典题型归纳

二面角求法归纳18题,通常是立体几何(12-14分),本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明,考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。

以下是求二面角的五种方法总结,及题形归纳。

定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点(B )向棱AM 作垂线,得垂足(F );在另一半平面ASM 内过该垂足(F )作棱AM 的垂线(如GF ),这两条垂线(BF 、GF )便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1(2009全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,2AD =2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60°(I )证明:M 在侧棱SC 的中点 (II )求二面角S AM B --的大小。

证(I )略解(II ):利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B作BF AM ⊥交AM 于点F ,则点F 为AM 的中点,过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥,GF 交AS 于G ,连结AC ,∵△ADC ≌△ADS ,∴AS-AC ,且M 是SC 的中点, ∴AM ⊥SC , GF ⊥AM ,∴GF ∥AS ,又∵F 为AM 的中点,∴GF 是△AMS 的中位线,点G 是AS 的中点。

则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ,则22=GF ,又∵6==AC SA ,∴2=AM ∵2==AB AM ,060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形,∴3=BF在△GAB 中,26=AG ,2=AB ,090=∠GAB ,∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG FGFG∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-例2. (2010全国I 理,19题,12分)如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB//DC ,AD ⊥DC ,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱SB 上的一点,平面EDC ⊥平面SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB ;(Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 . (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知22121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又.故ADE ∆为等腰三角形.取ED 中点F,连接AF,则226,3AF DE AF AD DF ⊥=-=. 连接FG ,则//,FG EC FG DE ⊥.所以,AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263FG DG DF =-=, 2221cos 22AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,所以,二面角A DE C --的大小为120°.例3(2010浙江省理,20题,15分)如图, 在矩形ABCD 中,点,E F 分别 在线段,AB AD 上,243AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF 翻折成'A EF ,使平面'A EF BEF ⊥平面.(Ⅰ)求二面角'A FD C --的余弦值;(Ⅱ)点,M N 分别在线段,FD BC 上,若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折,使C 与'A 重合,求线段FM 的长.练习(2008山东)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,P A⊥平面ABCD,60ABC∠=︒,E,F分别是BC, PC的中点.(Ⅰ)证明:AE⊥PD;(Ⅱ)若H为PD上的动点,EH与平面P AD所成最大角的正切值为62,求二面角E—AF—C的余弦值.分析:第1题容易发现,可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD,使命题获证,而第2题,则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后,考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S,和两边SE与SC,进而计算二面角的余弦值。

二面角求法及经典题型归纳

二面角求法及经典题型归纳

二面角求法归纳18题,通常是立体几何(12-14分),本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明,考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。

以下是求二面角的五种方法总结,及题形归纳。

定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点(B )向棱AM 作垂线,得垂足(F );在另一半平面ASM 内过该垂足(F )作棱AM 的垂线(如GF ),这两条垂线(BF 、GF )便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1(2009全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,2AD =2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60°(I )证明:M 在侧棱SC 的中点 (II )求二面角S AM B --的大小。

证(I )略解(II ):利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B作BF AM ⊥交AM 于点F ,则点F 为AM 的中点,过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥,GF 交AS 于G ,连结AC ,∵△ADC ≌△ADS ,∴AS-AC ,且M 是SC 的中点, ∴AM ⊥SC , GF ⊥AM ,∴GF ∥AS ,又∵F 为AM 的中点,∴GF 是△AMS 的中位线,点G 是AS 的中点。

则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ,则22=GF ,又∵6==AC SA ,∴2=AM ∵2==AB AM ,060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形,∴3=BF在△GAB 中,26=AG ,2=AB ,090=∠GAB ,∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG FGFG∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-例2. (2010全国I 理,19题,12分)如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB//DC ,AD ⊥DC ,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱SB 上的一点,平面EDC ⊥平面SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB ;(Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 . (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知22121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又.故ADE ∆为等腰三角形.取ED 中点F,连接AF,则226,3AF DE AF AD DF ⊥=-=. 连接FG ,则//,FG EC FG DE ⊥.所以,AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263FG DG DF =-=, 2221cos 22AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,所以,二面角A DE C --的大小为120°.例3(2010浙江省理,20题,15分)如图, 在矩形ABCD 中,点,E F 分别 在线段,AB AD 上,243AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF 翻折成'A EF ,使平面'A EF BEF ⊥平面.(Ⅰ)求二面角'A FD C --的余弦值;(Ⅱ)点,M N 分别在线段,FD BC 上,若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折,使C 与'A 重合,求线段FM 的长.练习(2008山东)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,P A⊥平面ABCD,60ABC∠=︒,E,F分别是BC, PC的中点.(Ⅰ)证明:AE⊥PD;(Ⅱ)若H为PD上的动点,EH与平面P AD所成最大角的正切值为62,求二面角E—AF—C的余弦值.分析:第1题容易发现,可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD,使命题获证,而第2题,则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后,考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S,和两边SE与SC,进而计算二面角的余弦值。

求二面角的五种方法

求二面角的五种方法

求二面角的五种方法一、定义法:由图形的特殊条件按定义直接作出. 如在空间四边形ABCD 中, AB =AC , DB =DC , 求二面角A -BC -D 的大小.例1如图, 过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD , 设PA =A B=a ,求二面角B -PC -D 的大小.例2二面角α-BC -β大小为120°, A ∈α,B ∈β, 且AB ⊥BC , BC ⊥CD ,AB =BC =CD =1, 求二面角A -BD -C 的正切值.例3如图, 已知四面体SABC 中, ∠ASB =2π,∠ASC =α(0<α<2π), ∠CSB =β(0<β<2π), 二面角A -SC -B 的大小为θ, 求证:θ=π-arccos(cos α·cot β).二、垂面法:通过作二面角棱的垂面, 此垂面与二面角的两个面所交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.例4⑴空间三条射线PA ,PB ,PC 不共面, 若∠APC =∠APB =60°,∠BPC =90°, 则二面角B -PA -C 的大小是______;⑵已知∠AOB =90°, 过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC , 使它与OA ,OB 分别成45°,60°的角, 则二面角A -OC -B 的余弦值为______.例5如图, 在△ABC 中, AB ⊥BC , SA ⊥平面ABC , DE 垂直平分SC , 且分别交AC ,SC 于D ,E , 又SA =AB , SB =BC , 求二面角E -BD -C 的大小.三、延伸法:若所求的两个面只有一个公共点是已知的, 因此要把两个面延伸面得到二面角的棱, 然后再求出它的平面角.例6直角梯形ABCD 中, AB ⊥AD , AD ⊥CD , AB =2, CD =4, 平面PAD ⊥平面ABCD , △PBC 是边长为10的正三角形, 求平面PAD 和平面PBC 所成二面角的大小.例7设正方体ABCD-A1B1C1D1中, E为AA1中点, 求平面B1DE和底面ABCD所成二面角的大小.四、垂线法:利用三垂线定理或其逆定理作出平面角.例8已知由O点出发的三条射线OA,OB,OC不共面,且∠AOB=∠AOC, 求证:二面角A-OB-C与二面角A-OC-B相等.例9二面角M-CD-N中, A为平面M上一定点, △ADC的面积为定值S, DC=a,B为平面N内一点, AB⊥CD, 若AB与平面N成30°角, 求面积△BCD的最大值, 并求此时二面角M-CD-N的大小.五、射影法:若多边形面积为S, 它在一个平面上的射影的面积为S0, 则多边形所在平面与这个平面所成的二面角θ, 满足S0=S cosθ, 利用这个公式求二面角的方法称“射影法”, 射影法对于解决棱不太明显的二面角问题有独特的作用.例10过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD, 若AB=PA, 则平面ABP与平面CDP所成的二面角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°例11 P是正方形ABCD所在平面外一点, △PAB是正三角形, 且平面PAB⊥平面ABCD,求二面角P-AC-B的大小.友情提示:本资料代表个人观点,如有帮助请下载,谢谢您的浏览!。

【原稿】五法求二面角

【原稿】五法求二面角

五法求二面角一、 定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点(B )向棱AM 作垂线,得垂足(F );在另一半平面ASM 内过该垂足(F )作棱AM 的垂线(如GF ),这两条垂线(BF 、GF )便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD,AD 2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60°(I )证明:M 在侧棱SC 的中点 (II )求二面角S AM B --的大小。

证(I )略解(II ):利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ,则点F 为AM 的中点,过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥,GF 交AS 于G ,连结AC ,∵△ADC ≌△ADS ,∴AS-AC ,且M 是SC 的中点, ∴AM ⊥SC , GF ⊥AM ,∴GF ∥AS ,又∵F 为AM 的中点,∴GF 是△AMS 的中位线,点G 是AS 的中点。

则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ,则22=GF ,又∵6==AC SA ,∴2=AM ∵2==AB AM ,060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形,∴3=BF在△GAB 中,26=AG ,2=AB ,090=∠GAB ,∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-FGFG练习1如图,已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 为菱形,P A ⊥平面ABCD ,60ABC ∠=︒,E ,F 分别是BC , PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE ⊥PD ;(Ⅱ)若H 为PD 上的动点,EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为2E —AF —C 的余弦值. 分析:第1题容易发现,可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ,使命题获证,而第2题,则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后,考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ,和两边SE 与SC ,进而计算二面角的余弦值。

二面角问题求解方法大全

二面角问题求解方法大全

二面角问题求解方法大全本页仅作为文档封面,使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March五法求二面角一、 定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,2AD =2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60°(I )证明:M 在侧棱SC 的中点 (II )求二面角S AMB --的大小。

练习1如图,已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 为菱形,PA ⊥平面ABCD ,60ABC ∠=︒,E ,F 分别是BC , PC 的中点.(Ⅰ)证明:AE ⊥PD ; (Ⅱ)若H 为PD 上的动点,EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62,求二面角E —AF —C 的余弦值.二、三垂线法三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2. 如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB 111111ABCD P -ABCD60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥AD PABPC AD A BD P -- (Ⅰ)证明:平面PBE ⊥平面PAB ;(Ⅱ)求平面PAD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小.练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ,侧棱与底面成600的角,侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

(1)求证:AC 1⊥BC ;(2)求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。

求二面角的五种方法

求二面角的五种方法

求二面角的五种方法一、定义法:由图形的特殊条件按定义直接作出. 如在空间四边形ABCD 中, AB =AC , DB =DC , 求二面角A -BC -D 的大小.例1如图, 过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD , 设PA =A B=a ,求二面角B -PC -D 的大小.例2二面角α-BC -β大小为120°, A ∈α,B ∈β, 且AB ⊥BC , BC ⊥CD ,AB =BC =CD =1, 求二面角A -BD -C 的正切值.例3如图, 已知四面体SABC 中, ∠ASB =2π,∠ASC =α(0<α<2π), ∠CSB =β(0<β<2π), 二面角A -SC -B 的大小为θ, 求证:θ=π-arccos(cos α·cot β).二、垂面法:通过作二面角棱的垂面, 此垂面与二面角的两个面所交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.例4⑴空间三条射线PA ,PB ,PC 不共面, 若∠APC =∠APB =60°,∠BPC =90°, 则二面角B -PA -C 的大小是______;⑵已知∠AOB =90°, 过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC , 使它与OA ,OB 分别成45°,60°的角, 则二面角A -OC -B 的余弦值为______.例5如图, 在△ABC 中, AB ⊥BC , SA ⊥平面ABC , DE 垂直平分SC , 且分别交AC ,SC 于D ,E , 又SA =AB , SB =BC , 求二面角E -BD -C 的大小.三、延伸法:若所求的两个面只有一个公共点是已知的, 因此要把两个面延伸面得到二面角的棱, 然后再求出它的平面角.例6直角梯形ABCD 中, AB ⊥AD , AD ⊥CD , AB =2, CD =4, 平面PAD ⊥平面ABCD , △PBC 是边长为10的正三角形, 求平面PAD 和平面PBC 所成二面角的大小.例7设正方体ABCD-A1B1C1D1中, E为AA1中点, 求平面B1DE和底面ABCD所成二面角的大小.四、垂线法:利用三垂线定理或其逆定理作出平面角.例8已知由O点出发的三条射线OA,OB,OC不共面,且∠AOB=∠AOC, 求证:二面角A-OB-C与二面角A-OC-B相等.例9二面角M-CD-N中, A为平面M上一定点, △ADC的面积为定值S, DC=a,B为平面N内一点, AB⊥CD, 若AB与平面N成30°角, 求面积△BCD的最大值, 并求此时二面角M-CD-N的大小.五、射影法:若多边形面积为S, 它在一个平面上的射影的面积为S0, 则多边形所在平面与这个平面所成的二面角θ, 满足S0=S cosθ, 利用这个公式求二面角的方法称“射影法”, 射影法对于解决棱不太明显的二面角问题有独特的作用.例10过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD, 若AB=PA, 则平面ABP与平面CDP所成的二面角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D.90°例11 P是正方形ABCD所在平面外一点, △PAB是正三角形, 且平面PAB⊥平面ABCD,求二面角P-AC-B的大小.。

最新版,二面角求法及经典题型归纳

最新版,二面角求法及经典题型归纳

最新版,二面角求法及经典题型归纳立体几何中,二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,其中这条直线称为二面角的棱,而这两个半平面则被称为二面角的面。

二面角的平面角是指以二面角的棱上一点为端点,在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角。

二面角的大小范围在0°到180°之间。

在求解二面角时,可以使用三垂线定理,即平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直。

此外,还可以使用二面角的平面角的定义法、垂面法和三垂线法。

其中,定义法是在棱上取一点,在两个半平面内作垂直于棱的两条射线,这两条射线所夹的角即为二面角的平面角。

垂面法是做垂直于棱的一个平面,这个平面与两个半平面分别有一条交线,这两条交线所成的角即为二面角的平面角。

三垂线法则是过一个半平面内一点(记为A)做另一个半平面的一条垂线,过这个垂足(记为B)再做棱的垂线,记垂足为C,连接AC,则∠ACB即为该二面角的平面角。

两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有着密切的关系。

在实际求解中,可以使用定义法来解题,并利用三角函数、正弦定理和余弦定理进行计算。

例如,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以通过在二面角S-AMB中半平面ABM上的一已知点(B)向棱AM作垂线,得到垂足(F),然后在另一半平面ASM内过该垂足(F)作棱AM的垂线(如GF),这两条垂线(BF、GF)便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,最后使用直角三角函数、正弦定理和余弦定理求解即可。

过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD,设PA=AB=a,求二面角BPCD的大小。

三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。

通常当点P在一个半平面上,就可以用三垂线定理法求二面角的大小。

本定理也提供了另一种添辅助线的一般规律。

例如,过二面角B-FC-C中半平面BFC上的已知点B作另一半平面FC的垂线,得垂足O;再过该垂足O作棱FC的垂线,得垂足P,连结起点与终点得斜线段PB,便形成了三垂线定理的基本构图(斜线PB、垂线BO、射影OP)。

二面角求法及经典题型归纳

二面角求法及经典题型归纳

二面角求法归纳18题,通常是立体几何(12-14分),本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明,考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。

以下是求二面角的五种方法总结,及题形归纳。

定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点(B )向棱AM 作垂线,得垂足(F );在另一半平面ASM 内过该垂足(F )作棱AM 的垂线(如GF ),这两条垂线(BF 、GF )便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1(2009全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,2AD =2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60°(I )证明:M 在侧棱SC 的中点 (II )求二面角S AM B --的大小。

证(I )略解(II ):利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B作BF AM ⊥交AM 于点F ,则点F 为AM 的中点,过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥,GF 交AS 于G ,连结AC ,∵△ADC ≌△ADS ,∴AS-AC ,且M 是SC 的中点, ∴AM ⊥SC , GF ⊥AM ,∴GF ∥AS ,又∵F 为AM 的中点,∴GF 是△AMS 的中位线,点G 是AS 的中点。

则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ,则22=GF ,又∵6==AC SA ,∴2=AM ∵2==AB AM ,060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形,∴3=BF在△GAB 中,26=AG ,2=AB ,090=∠GAB ,∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG FGFG∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-例2. (2010全国I 理,19题,12分)如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB//DC ,AD ⊥DC ,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱SB 上的一点,平面EDC ⊥平面SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB ;(Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 . (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知22121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又.故ADE ∆为等腰三角形.取ED 中点F,连接AF,则226,3AF DE AF AD DF ⊥=-=. 连接FG ,则//,FG EC FG DE ⊥.所以,AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263FG DG DF =-=, 2221cos 22AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,所以,二面角A DE C --的大小为120°.例3(2010浙江省理,20题,15分)如图, 在矩形ABCD 中,点,E F 分别 在线段,AB AD 上,243AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF 翻折成'A EF ,使平面'A EF BEF ⊥平面.(Ⅰ)求二面角'A FD C --的余弦值;(Ⅱ)点,M N 分别在线段,FD BC 上,若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折,使C 与'A 重合,求线段FM 的长.练习(2008山东)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,P A⊥平面ABCD,60ABC∠=︒,E,F分别是BC, PC的中点.(Ⅰ)证明:AE⊥PD;(Ⅱ)若H为PD上的动点,EH与平面P AD所成最大角的正切值为62,求二面角E—AF—C的余弦值.分析:第1题容易发现,可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD,使命题获证,而第2题,则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后,考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S,和两边SE与SC,进而计算二面角的余弦值。

二面角的几种方法及例题

二面角的几种方法及例题

二面角大小的求法(例题)二而角的类型和求法可用框图展现如下:一、定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;例、如图,己知二面角a-a-B等于120° ,PA丄a ,Ae a ,PB丄P,Be P.求ZAPB的大小.做OB丄交线,交于点O,连接OAPB丄平面0/. PB丄交线同理PA丄交线X ••• OB丄交线/.交线丄面PAOB/.交线丄OA即可得ZAOB为面的二面角,ZAOB=120°所以ZAPB=60°例、在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PA丄平面A BCD, PA=AB=a,求二而角B-PC-D的大小。

提示:“AB三A PCD,而且是直角三角形二、三垂线定理法:己知二而角其中一个面一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二而角的平而角;例、在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形,PA丄平面ABCD, PA=AB=a, ZABC=30°,求二而角P-BC-A 的tag 大小。

过A做AH丄BC,交BC 于H,连接PH"A丄面ABCD/. PA 丄AB, PA 丄BC/. BC丄面PHA/. ZPHA为二面角在A ABH中ZABH=30°, AB=aAH=a/2tagZPHA = 2例:如图,ABCD-AbCD是长方体,侧棱AAi长为1,底而为正方体且边长为2, E是棱BC的中点,求面GDE与而CDE所成二而角的正切值.提示:CO丄DE,而且是长方体!!!A B例、A ABC 中,ZA=90° , AB二4, AC二3,平面ABC 外一点P 在平而ABC的射影是AB中点M,二面角P—AC—B的大小为45°。

求(1)二面角P—BC—A的大小;(2)二而角C—PB—A的大小提示:角PAB是二面角,找到每个面的直角!!!射影,那么PM为面ABC的垂线!例、如图4,平而Q丄平而0, a C p =1, AG Q, BG0,点A在直线/上的射影为九,点B在/的射影为B|,己知AB=2, AA,=1, BBi=V2,求:二面角A] — AB —Bi的大小.四、射影法:(面积法)利用面积射影公式s ^=s原cose,其中&为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平而角;例、在四棱锥P-ABCD中,ABCD为正方形,PA丄平面ABCD, PA=AB = a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

二面角求法总结

二面角求法总结

二面角求法总结一、定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1:(全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,2AD =,2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60°(I )证明:M 在侧棱SC 的中点(II )求二面角S AM B --的大小。

练习1:(山东)如图,已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 为菱形,PA ⊥平面ABCD ,60ABC ∠=︒,E ,F 分别是BC , PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE ⊥PD ;(Ⅱ)若H 为PD 上的动点,EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62,求二面角E —AF —C 的余弦值.二、三垂线法FG三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2.(山东卷理)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。

(1)证明:直线EE1//平面FCC1;(2)求二面角B-FC1-C的余弦值。

练习2(天津)如图,在四棱锥ABCDP-中,底面ABCD是矩形.已知60,22,2,2,3=∠====PABPDPAADAB.(Ⅰ)证明⊥AD平面PAB;(Ⅱ)求异面直线PC与AD所成的角的大小;(Ⅲ)求二面角ABDP--的大小.三.补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决例3(湖南)如图所示,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形,∠BCD =60°,E 是CD 的中点,PA ⊥底面ABCD ,PA =2. (Ⅰ)证明:平面PBE ⊥平面PAB ;(Ⅱ)求平面PAD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小.练习3-1:已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ,侧棱与底面成600的角,侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

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五种方法求二面角及练习题一、 定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点(B )向棱AM 作垂线,得垂足(F );在另一半平面ASM 过该垂足(F )作棱AM 的垂线(如GF ),这两条垂线(BF 、GF )便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1(2009全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,2AD =2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60°(I )证明:M 在侧棱SC 的中点 (II )求二面角S AM B --的大小。

证(I )略解(II ):利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ,则点F 为AM 的中点,过F 点在平面ASM 作GF AM ⊥,GF 交AS 于G ,连结AC ,∵△ADC ≌△ADS ,∴AS-AC ,且M 是SC 的中点, ∴AM ⊥SC , GF ⊥AM ,∴GF ∥AS ,又∵F 为AM 的中点,∴GF 是△AMS 的中位线,点G 是AS 的中点。

则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ,则22=GF ,又∵6==AC SA ,∴2=AM ∵2==AB AM ,060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形,∴3=BF在△GAB 中,26=AG ,2=AB ,090=∠GAB ,∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-练习1(2008)如图,已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 为FG菱形,PA ⊥平面ABCD ,60ABC ∠=︒,E ,F 分别是BC , PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE ⊥PD ;(Ⅱ)若H 为PD 上的动点,EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62,求二面角E —AF —C 的余弦值.分析:第1题容易发现,可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ,使命题获证,而第2题,则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后,考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ,和两边SE 与SC ,进而计算二面角的余弦值。

(答案:二面角的余弦值为515) 二、三垂线法三垂线定理:在平面的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。

如(例2)过二面角B-FC 1-C 中半平面BFC 上的一已知点B 作另一半平面FC 1C 的垂线,得垂足O ;再过该垂足O 作棱FC 1的垂线,得垂足P ,连结起点与终点得斜线段PB ,便形成了三垂线定理的基本构图(斜线PB 、垂线BO 、射影OP )。

再解直角三角形求二面角的度数。

例2.(2009卷理) 如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB//CD ,AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

(1) 证明:直线EE 1//平面FCC 1; (2) 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

证(1)略解(2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱AB 的中点,所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取CF 的中点O,则OB ⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD,所以CC 1⊥BO,所以OB ⊥平面CC 1F,过O 在平面CC 1F 作OP ⊥C 1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB 为二面角B-FC 1-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中,3OB =,在Rt △CC 1F 中, △OPF ∽△CC 1F,∵11OP OF CC C F =∴2222222OP =⨯=+, EABCF E 1A 1B 1C 1D 1DF 1OPEABCFE 1 A 1B 1C 1D 1D在Rt △OPF 中,22114322BP OP OB =+=+=,272cos 14OP OPB BP ∠===,所以二面角B-FC 1-C 的余弦值为77. 练习2(2008)如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是矩形.已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB .(Ⅰ)证明⊥AD 平面PAB ;(Ⅱ)求异面直线PC 与AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角A BD P --的大小.分析:本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题,在证明AD ⊥平面PAB 后,容易发现平面PAB ⊥平面ABCD ,点P 就是二面角P-BD-A 的半平面上的一个点,于是可过点P 作棱BD 的垂线,再作平面ABCD 的垂线,于是可形成三垂线定理中的斜线与射影容,从而可得本解法。

(答案:二面角A BD P --的大小为439arctan) 三.补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决例3(2008)如图所示,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形,∠BCD =60°,E 是CD 的中点,PA ⊥底面ABCD ,PA =2.(Ⅰ)证明:平面PBE ⊥平面PAB ;(Ⅱ)求平面PAD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小. 分析:本题的平面PAD 和平面PBE 没有明确的交线,依本法显然要补充完整(延长AD 、BE 相交于点F ,连结PF .)再在完整图形中的PF .上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。

(Ⅰ)证略 解: (Ⅱ)延长AD 、BE 相交于点F ,连结PF .过点A 作AH ⊥PB 于H ,由(Ⅰ)知平面PBE ⊥平面PAB ,所以AH ⊥平面PBE .在Rt △ABF 中,因为∠BAF =60°, 所以,AF =2AB =2=AP .在等腰Rt △PAF 中,取PF 的中点G ,连接AG . 则AG ⊥PF .连结HG ,由三垂线定理的逆定理得, PF ⊥HG .所以∠AGH 是平面PAD 和平面PBE 所成二面角的平面角(锐角). ACEDP FGHA BCEDP在等腰Rt △PAF 中,2AG PA == 在Rt △PAB 中,225AP ABAH PBAPAB ====+所以,在Rt △AHG 中,sin AH AGH AG ∠=== 故平面PAD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小是 练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ,侧棱与底面成600的角,侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

(1)求证:AC 1⊥BC ; (2)求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。

提示:本题需要补棱,可过A 点作CB 的平行线L(答案:所成的二面角为45O) 四、射影面积法(coss S射影)凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos 斜射S S =θ)求出二面角的大小。

例4.(2008理)如图,在三棱锥P ABC -中,2AC BC ==,90ACB ∠=,AP BP AB ==,PC AC ⊥. (Ⅰ)求证:PC AB ⊥;(Ⅱ)求二面角B AP C --的大小;分析:本题要求二面角B —AP —C 的大小,如果利用射影面积法解题,不难想到在平面ABP 与平面ACP 中建立一对原图形与射影图形并分别求出S 原与S 射 于是得到下面解法。

解:(Ⅰ)证略(Ⅱ)AC BC =,AP BP =,APC BPC ∴△≌△.又PC AC ⊥,PC BC ∴⊥. 又90ACB ∠=,即AC BC ⊥,且ACPC C =,BC ∴⊥平面PAC .ABEP ACBPACBB 1C 1A 1L取AP 中点E .连结BE CE ,. AB BP =,BE AP ∴⊥.EC 是BE 在平面PAC 的射影, CE AP ∴⊥.∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 的射影, 于是可求得:2222=+===CB AC AP BP AB ,622=-=AE AB BE ,2==EC AE 则1222121=•=•==∆CE AE S S ACE 射, 3622121=•=•==∆EB AE S S ABE 原 设二面角B AP C --的大小为ϑ,则3331cos ===原射S S ϑ ∴二面角B AP C --的大小为33arccos =ϑ练习4: 如图5,E 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点,求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值.分析 平面AB 1E 与底面A 1B 1C 1D 1交线即二面角的棱没有给出,要找到二面角的平面角,则必须先作两个平面的交线,这给解题带来一定的难度。

考虑到三角形AB 1E 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影是三角形A 1B 1C 1,从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。

(答案:所求二面角的余弦值为cos θ=32). 五、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法,可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量计算解题。

例4:(2009卷理)如图,在五面体ABCDEF 中,FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ,AB ⊥AD ,M 为EC 的中点,AF=AB=BC=FE=12AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小;(II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ; 求二面角A-CD-E 的余弦值。

现在我们用向量法解答:如图所示,建立空间直角坐标系,以点A 为坐标原点。

设,1=AB 依题意得(),,,001B (),,,011C (),,,020D (),,,110E (),,,100FA 1D 1B 1C 1EDBCA图5.21121M ⎪⎭⎫ ⎝⎛,, (I )(),,,解:101B F -= (),,,110DE -= .2122100DEBF DE cos =•++==,于是BF所以异面直线B F 与DE 所成的角的大小为060.(II )证明:,,,由⎪⎭⎫ ⎝⎛=21121AM (),,,101CE -= ()0AM CE 020AD =•=,可得,,, .AMD CE A AD AM .AD CE AM CE .0AD CE 平面,故又,因此,⊥=⊥⊥=•.CDE AMD CDE CE 平面,所以平面平面而⊥⊂(III )⎪⎩⎪⎨⎧=•=•=.0D 0)(CDE E u CE u z y x u ,,则,,的法向量为解:设平面.111(1.00),,,可得令,于是==⎩⎨⎧=+-=+-u x z y z x又由题设,平面ACD 的一个法向量为).100(,,=v练习5、(2008)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC ⊥侧面11A ABB . (Ⅰ)求证:AB BC ⊥;(Ⅱ)若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角1A BC A --的大小为ϕ,试判断θ与ϕ的大小关系,并予以证明.分析:由已知条件可知:平面ABB 1 A 1⊥平面BCC 1 B 1⊥平面ABC 于是很容易想到以B 点为空间坐标原点建立坐标系,并将相关线段写成用坐标表示的向量,先求出二面角的两个半平面的法向量,再利用两向量夹角公式求解。

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