2021版新高考数学(文科)一轮复习集训30 平面向量的数量积与平面向量应用举例

平面向量的数量积与平面向量应用举

例

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一、选择题

1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()

A．4B．3C．2D．0

B[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.]

2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为()

A.4

13B．－

4

13 C.

5

4 D．－

5

4

D[∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，

∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．

∵λa＋b与b垂直，∴(λa＋b)·b＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，

即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－5 4.]

3．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，则|a－b|＝()

A. 6

B. 5 C．2 D. 3

A[因为|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，所以|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋5－0＝6，所以|a－b|＝ 6.故选A.]

4．a，b为平面向量，已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则a，b夹角的余弦值等于()

A．－4

5B．－

3

5 C.

3

5 D.

4

5

B [∵a ＝(2,4)，a －2b ＝(0,8)，∴b ＝1

2[a －(a －2b )]＝(1，－2)，

∴a·b ＝2－8＝－6.设a ，b 的夹角为θ，∵a·b ＝|a||b|cos θ＝25×5cos θ＝10cos θ，

∴10cos θ＝－6，∴cos θ＝－3

5，故选B.]

5.如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，请设法计算AB →·AD →＝( )

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

B [以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,1)，

C (6,4)，AB →

＝(4,1)，AD →＝BC →＝(2,3)，∴AB →·AD →

＝4×2＋1×3＝11，故选B.]

6．(2019·河北衡水模拟三)已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,4)，则“k ＝－1

2”是“|a ＋b |2＝a 2＋b 2”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

C [由|a ＋b |2＝a 2＋b 2，得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2，得a·b ＝0，得(1，k )·(2,4)＝0，解得k ＝－12，所以“k ＝－1

2”是“|a ＋b |2＝a 2＋b 2”的充要条件．故选C.]

7．(2019·宝鸡模拟)在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝1，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝( )

A ．0

B ．1 C.9

4

D ．－9

4

B [以点

C 的坐标原点，分别以CA →，CB →

的方向为x 轴，y 轴的正方向建立

平面直角坐标系(图略)，则C (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫

13，23，所以CP →·CB

→＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝13＋2

3＝1.故选B.]

二、填空题

8．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为 ．

32

[∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22

＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－1

2，又〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝3

2.]

9．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则a 在b 方向上的投影等于 ．

－1

2 [∵|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3， ∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝3， ∴a·b ＝－1，

∴a 在b 方向上的投影为a·b

|b |＝－12.]

10．如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝4，CD ＝8.若CE →＝－7DE →，3BF →＝FC →，则AF →·BE →＝ .

－11 [以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图．

则A (0,0)，B (4,0)，E (1,4)，F (5,1)，所以AF →＝(5,1)，BE →＝(－3,4)，则AF →·BE →

＝－15＋4＝－11.]

1．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )

A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6

A [由|a ＋b |＝|a －b |知，a·b ＝0，所以a ⊥b .将|a －b |＝2|b |两边平方，得|a |2－2a·b ＋|b |2

＝4|b |2

，所以|a |2

＝3|b |2

，所以|a |＝3|b |，所以cos 〈a ＋b ，a 〉＝

(a ＋b )·a |a ＋b ||a |

＝|a |22|b||a|＝3|b |22|b |·3|b |

＝32，所以向量a ＋b 与a 的夹角为π6，故选A.]

2．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a·b ＝1

2，则(a ＋c )·(2b －c )的最小值为( )

A ．－2

B ．－ 3

C ．－1

D ．0

B [因为a·b ＝|a||b |·cos 〈a ，b 〉＝cos 〈a ，b 〉＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.不妨设a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，32，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a ＋c )·(2b －c )＝2a·b －a·c ＋2b·c

－c 2＝1－cos θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋3

2sin θ－1＝3sin θ，所以(a ＋c )·(2b －c )的最小值为

－3，故选B.]

3．在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，a ，b ，c 成等比数列，a ＋c ＝3，cos B ＝3

4，则AB →·BC →＝ .

－3

2 [由a ，b ，c 成等比数列得ac ＝b 2，在△ABC 中，由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－3ac 2ac ，则

34＝9－3ac 2ac ，解得ac ＝2，

则AB →·BC →＝ac cos(π－B )＝－ac cos B ＝－3

2.]