2016年高等数学之定积分临考复习攻略

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定积分的求解技巧总结

定积分的求解技巧总结定积分是微积分中的重要概念之一，它在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。

在求解定积分的过程中，我们需要掌握一些技巧和方法，以便快速有效地求解定积分问题。

下面是关于定积分求解技巧的总结。

1. 凑微分法：凑微分是一种常见的定积分求解技巧，它通过巧妙地选择变量代换，将被积函数转化为易于求解的形式。

凑微分法的关键是选择合适的代换变量，使得被积函数中有微分的部分能够与代换变量的微分形式完全匹配。

例如，当被积函数为形如$f(x)g'(x)$的形式时，我们可以选择合适的代换变量，使得$g'(x)$变为某个函数$u$的微分形式$du$，然后利用凑微分法将被积函数变为$udu$的形式，进而方便地求解。

2. 分部积分法：分部积分法是定积分求解中最常用的一种技巧之一。

它通过对被积函数中的某一项进行分部积分，并利用积分的性质将被积函数转化为易于求解的形式。

分部积分法的基本公式为$\\int{u dv} = uv - \\int{v du}$，其中$u$和$v$是可以求导或可积的函数。

通过不断应用该公式，我们可以将被积函数中的一项转化为另一项的积分形式，从而简化求解过程。

3. 换元法：换元法是求解定积分的另一种常用技巧，它通过选择合适的代换变量，将被积函数转化为易于求解的形式。

换元法的关键是选择合适的代换变量和对应的微分形式。

通常情况下，我们选择代换变量$y = f(x)$，然后计算其导数$dy$，将原定积分转化为新的定积分。

选择合适的代换变量是换元法的关键，需要根据被积函数的特点进行选择，以便简化求解过程。

4. 奇偶性：奇偶性是定积分求解中常用的一种简化技巧。

通过判断被积函数的奇偶性，可以将定积分的求解范围缩小一半，从而简化求解过程。

如果被积函数$f(x)$具有奇函数的性质，即$f(-x) = - f(x)$，那么在对称区间上的定积分可以简化为单侧的定积分。

类似地，如果被积函数$f(x)$具有偶函数的性质，即$f(-x) = f(x)$，那么在对称区间上的定积分可以简化为两侧定积分的加和。

定积分计算的基本技巧

定积分计算的基本技巧定积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量等。

在实际应用中，掌握定积分的计算技巧是非常重要的。

本文将介绍定积分计算的基本技巧，帮助读者更好地理解和应用定积分。

一、基本积分公式在计算定积分时，我们首先需要掌握一些基本的积分公式。

以下是一些常用的基本积分公式：1. 常数函数的积分公式：∫kdx = kx + C其中，k为常数，C为积分常数。

2. 幂函数的积分公式：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C其中，n为实数，n ≠ -1，C为积分常数。

3. 指数函数的积分公式：∫e^x dx = e^x + C其中，C为积分常数。

4. 三角函数的积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C其中，C为积分常数。

5. 对数函数的积分公式：∫1/x dx = ln|x| + C其中，C为积分常数。

二、换元法换元法是定积分计算中常用的一种技巧。

通过引入新的变量，将原积分转化为更容易计算的形式。

换元法的基本思想是，通过选择适当的变量替换，将原积分转化为新变量的积分，然后再对新变量进行求解。

具体步骤如下：1. 选择适当的变量替换，使得被积函数的形式更简单。

常用的变量替换包括三角函数的替换、指数函数的替换等。

2. 计算新变量的微分，将原积分中的自变量全部替换为新变量。

3. 将原积分转化为新变量的积分。

4. 对新变量进行求解，得到最终的结果。

三、分部积分法分部积分法是定积分计算中另一种常用的技巧。

通过将被积函数进行分解，将积分转化为更容易计算的形式。

分部积分法的基本思想是，将被积函数分解为两个函数的乘积，然后利用积分的性质进行转化。

具体步骤如下：1. 选择适当的分解方式，将被积函数分解为两个函数的乘积。

2. 对分解后的函数进行求导和积分，得到新的函数。

3. 将原积分转化为新函数的积分。

4. 对新函数进行求解，得到最终的结果。

定积分计算的基本技巧

定积分计算的基本技巧定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理等领域有着广泛的应用。

在进行定积分计算时，掌握一些基本的技巧可以帮助我们更快更准确地求解问题。

本文将介绍定积分计算的基本技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、基本积分表在进行定积分计算时，首先需要掌握一些基本的积分表，这些基本积分表可以帮助我们快速求解一些常见函数的积分。

下面是一些常用的基本积分表：1. $\int k \,dx = kx + C$，其中$k$为常数，$C$为积分常数。

2. $\int x^n \,dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$，其中$n$为非零常数。

3. $\int e^x \,dx = e^x + C$。

4. $\int \sin x \,dx = -\cos x + C$。

5. $\int \cos x \,dx = \sin x + C$。

6. $\int \frac{1}{x} \,dx = \ln |x| + C$。

通过掌握这些基本积分表，我们可以在计算定积分时更加得心应手。

二、换元法换元法是定积分计算中常用的一种方法，通过引入新的变量来简化被积函数的形式，从而更容易求解积分。

换元法的基本思想是将被积函数中的变量用一个新的变量表示，然后通过求导和代入等操作将原积分转化为一个更容易求解的形式。

例如，对于形如$\int f(u) \cdot f'(u) \,du$的积分，我们可以令$v=f(u)$，则$dv=f'(u) \,du$，原积分可以化简为$\int v \,dv$，从而更容易求解。

三、分部积分法分部积分法是求解定积分中常用的一种方法，它是积分运算中的乘法法则的逆运算。

分部积分法的公式为$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，通过选择合适的$u$和$dv$可以将原积分转化为一个更容易求解的形式。

在使用分部积分法时，通常选择一个部分求导后形式简单的函数作为$du$，另一个部分作为$v$，通过不断应用分部积分法，可以将原积分逐步化简为容易求解的形式。

定积分的计算方法与技巧

定积分的计算方法与技巧定积分是高等数学中重要的一部分，它在数学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。

本文将介绍定积分的基本概念和计算方法，以及一些常用的技巧。

一、定积分的基本概念定积分是对连续函数在一定区间上的面积进行求解的方法。

设f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则它在该区间上的定积分为：∫(b,a) f(x) dx其中，∫是积分符号，f(x) 是被积函数，dx 表示积分变量。

二、定积分的计算方法1. 基本积分公式对于一些常见的函数，有一些基本积分公式可供使用。

比如：∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C (n≠-1)∫e^x dx = e^x + C∫sinx dx = -cosx + C∫cosx dx = sinx + C等等，使用这些基本积分公式可以简化复杂的计算过程。

2. 函数的分段积分对于一些在区间上不连续的函数，可以尝试将区间划分成几个子区间，然后在每个子区间上分别进行积分计算。

这个方法被称为分段积分。

3. 反常积分对于某些函数，其在一定区间上可能无法被积分，这时需要使用反常积分的方法进行计算。

反常积分分为两种情况：无穷积分和间断积分。

无穷积分是对于某些函数在无穷区间上的积分。

间断积分是对于某些函数在一定区间上存在间断点的积分。

三、定积分的技巧1. 积分中的代换对于一些复杂的积分式，可以使用代换的方法将其转化成一些已知的积分式，从而简化计算。

例如，对于∫cos(x^2)dx ，可以使用代换 y=x^2 ，将积分式转化成∫cos(y)dy 。

2. 微积分基本定理微积分基本定理指出，对于连续函数 f(x) ，其在区间 [a,b] 上的定积分可以表示成其原函数 F(x) 在区间 [a,b] 上的值之差，即：∫(b,a) f(x) dx = F(b) - F(a)这个定理可以用来简化一些定积分的计算。

3. 奇偶对称性对于一些奇偶对称的函数，其在区间 [a,b] 上的定积分可以简化为：∫(b,a) f(x) dx = 2∫(b,a/2) f(x) dx （偶函数）∫(b,a) f(x) dx = 0 （奇函数）例如，对于 f(x) = sin(x) ，其在区间 [0,π] 上的定积分可以简化为：∫(π,0) sin(x) dx = 2∫(π/2,0) sin(x) dx = 24. 积分中的分数分解对于一些积分式中含有分数的情况，可以使用分数分解的方法将其拆分成一些已知的积分式。

求解定积分常用技巧

求解定积分常用技巧定积分是微积分中常见的计算积分的方法之一，它可以用于求解函数在给定区间上的累计量。

在求解定积分过程中，我们可以运用一些常用的技巧来简化计算，提高效率。

下面将介绍一些常见的定积分技巧。

1. 基本积分公式基本积分公式是定积分中最基础和最重要的技巧之一。

它是由导数公式反过来得出的，通过记忆和熟练掌握基本积分公式，可以大大简化计算过程。

常见的基本积分公式有：- ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中 n ≠ -1；- ∫ e^x dx = e^x + C；- ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C；- ∫ cos(x) dx = sin(x) + C；- ∫ 1/x dx = ln|x| + C。

2. 分部积分法分部积分法适用于积分中含有乘积的情况，它可以将一个函数的积分转化为另一个函数的积分和一项微分的乘积。

分部积分法的公式为：∫ u dv = uv - ∫ v du。

通过选择合适的 u 和 dv，可以简化积分的计算过程。

通常，我们选择u 为整个函数或导数不易计算的部分，dv 为另一个部分。

3. 换元积分法换元积分法是指通过引入一个新的变量来变换定积分的形式，将复杂的积分问题转化为简单的形式。

它适用于含有复杂函数的积分问题，并通过选取适当的换元变量完成变换。

换元积分法的公式为：∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du ，其中 u = g(x)。

通过选择适当的 u 和 du，可以简化积分的计算过程。

常见的换元变量选择包括三角函数、指数函数等。

4. 奇偶函数性质奇函数和偶函数是两种具有对称性的特殊函数。

在定积分中，如果被积函数是奇函数，那么在对称区间上的积分结果为 0。

具体来说，如果函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，则 f(x) 是奇函数。

如果函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则 f(x) 是偶函数。

函数导数定积分复习建议

方法概述：

⑴二次函数的表达式有三种形式，即一般式，顶点式和交点式，不同形式的表达式，在推理和运算中有着不同的作用，求函数值问题常用一般式；求最大值最小值或值域问题常用顶点式；确定函数值符号及方程的根有关的问题常用交点式。 ⑵二次函数在闭区间上必存在最大值和最小值，相应的最值只能在区间端点或图象顶点处取得，具体求最值时，要根据二次函数图象的开口方向和对称轴与区间端点的相对位置关系这两个要素来确定，必要时应分类讨论。 ⑶处理一元二次方程根的分布问题，一般利用根与系数的关系，或转化为二次函数图象与轴的交点位置关系利用数形结合来解决。有时也可利用根的定义通过分离参数来转化。
函数、导数、定积分复习建议
省扬中高级中学高三数学备课组
一、课标要求：

1、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数） 2、导数部分文理科选修内容的差异
二、考试说明---函数与导数内容要求：三、热点分析：
函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
5、信息技术在教学中的使用与高考中不使用计算器的矛盾及对策：

随着时代的发展，特别是数学的广泛应用和现代信息技术的发展对社会各个领域的影响，课程标准重新审视了基础知识、基本技能和能力的内涵，形成了符合时代要求的新的 “数学基础”，增加了算法的内容，加强了概率、统计的内容，突出了数学的文化价值和实际应用等。例如，课程标准提倡利用计算机、计算器处理数据、进行模拟活动来呈现以往数学中难以呈现的课程内容，使学生将更多的精力投入到有意义的探索性活动中去，实现信息技术与课程内容的有机整合。考试大纲中明确地指出2008年高考不允许使用计算器，因此有些需要借助于计算器来实现的知识难以考察。下面就这些问题展开研究。考纲在“函数与基本初等函数”中指出“根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解”。这里应着重于通过理解二分法求函数零点近似值的步骤，体会二分法的思想。

学习高数定积分计算常用技巧

学习高数定积分计算常用技巧
学习高数定积分计算常用技巧
定积分应用广泛且复杂,一般有求立体的体积(柱体、棱柱体、楔形体、旋转体、壳体积等)、平面曲线的长度、旋转曲面的表面积、力作的功、物体的质心、解简单的微分方程、求指数增长与衰减等，。

高等数学定积分应该怎么去学习最简单?接下来，小编话你知：先学好不定积分,然后在定积分的应用方面多做题。

优质解答：
广义来说,定积分的用处就是计算广义的面积，
决定定积分结果的因素：
1、被积分函数(integrand)的形式,也就是被积函数,是否能够积得出来;
2、在积分区间内是否有奇点(singular point),或者说有没有竖直渐近线(vertical asymptote).
如果有竖直渐近性,这时的定积分就变成广义积分(improper integration)
定积分的几何意义：
1、纯粹几何图形而言,定积分的意义是由曲线、x轴,区间起点的垂直线x=a、区间终点的垂直线x=b,所围成的'面积.
2、也可以广义而言,定积分的几何意义就是“抽象的面积”，但是在具体应用题中,要看具体物理过程而定,例如：
A、如果横轴是体积,纵轴是压强,“抽象面积”的意义是热力学系统对外做功;
B、如果横轴是时间,纵轴是电流,“抽象面积”的意义是电源对外放出的电量;。

高考定积分知识点总结

高考定积分知识点总结定积分是高等数学中的重要内容之一，也是高考数学考试中常见的题型。

本文将对高考中常见的定积分知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地准备考试。

一、定积分的基本概念定积分是对一个区间上的函数进行求和的过程。

区间可以是有限区间，也可以是无限区间。

定积分的计算可以看作是曲线下的面积，也可以理解为函数的反导数。

二、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，包括线性性质、区间可加性、保号性等。

这些性质在定积分的计算和性质分析中起到了重要作用。

三、定积分的计算方法在高考中，求定积分通常通过几种基本的计算方法来完成，包括换元法、分部积分法、定积分的性质等。

不同的计算方法适用于不同的函数和题目类型，需要根据具体情况选择合适的方法。

四、定积分的应用定积分在数学中有广泛的应用。

在高考中，常见的应用包括计算面积、求曲线的弧长、求平均值等。

理解和掌握这些应用可以帮助我们更好地解决与定积分相关的题目。

五、典型题目解析以下是一些高考中常见的定积分题目及其解析，供同学们参考和练习：例题一：计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx解析：根据定积分的计算公式，我们有∫(0 to 1) x^2 dx = [x^3/3] (0 to 1) = 1/3例题二：计算不定积分∫(2 to 5) (2x+1) dx解析：根据定积分的计算公式，我们有∫(2 to 5) (2x+1) dx = [x^2+x] (2 to 5) = (5^2+5) - (2^2+2) = 24例题三：求函数f(x)=2x在区间[0，3]上的平均值。

解析：函数的平均值可以通过定积分来计算，平均值=1/(b-a) * ∫(a to b) f(x) dx = 1/(3-0) * ∫(0 to 3) 2x d x = 1/3 * [x^2] (0 to 3) = 1/3 * (3^2-0^2) = 3通过以上例题解析，我们可以看到定积分的计算方法和应用的具体过程，希望同学们通过练习更加熟练掌握这些知识点。

如何快速解决高考数学中的定积分

如何快速解决高考数学中的定积分高考是让许多学生感到畏惧的重大事件，而高考数学中的定积分更是让学生们感到棘手的难题。

对于那些不擅长数学的学生来说，搞定定积分是一项重大的成就。

因此，本文旨在介绍如何快速解决高考中的定积分。

1. 学会基础概念在快速解决高考中的定积分之前，我们必须先掌握基础概念。

定积分，简而言之，就是求一个函数在某个区间内的面积。

如果在高中阶段你已经掌握了基本概念，那么现在你应该拥有足够的知识储备。

如果你还不熟悉这些术语，那么建议重新学习一下。

2. 了解不同种类的定积分在高中的数学教学中，我们通常只学习了定积分的一些基础概念，例如定积分的定义、洛必达法则等等。

但实际上，高中生应该了解不同种类的定积分。

这些种类包括：反常定积分、广义定积分、定积分及其应用、定积分的计算等等。

如果你想快速解决高考中的定积分，你需要熟悉这些不同种类的定积分，并学会如何应用这些概念。

3. 从前往后逐步解决题目一个常见的错误是，许多学生发现题目很难后，就会立刻放弃，或者不愿意继续考虑。

这是一种不可取的行为。

如果你试图通过快速解决问题来提高你的定积分水平，我们建议从前往后，逐步解决每个问题。

通过这种方法，你可以为自己提供足够的思考时间，也可以逐步理解和掌握概念。

4. 给自己足够的时间解决数学问题需要足够的时间和注意力。

如果你在解决数学问题的时候缺乏专注力，你可能会错过某些非常重要的细节。

这是一种很常见的错误。

给自己足够的时间，同时保持专注，这样才能够快速高效地解决问题。

5. 参加补习班或者找到一个良师益友如果你确实想快速解决高考数学中的定积分，在这个过程中你需要全面地学习，甚至需要参加一些补习班，找一个良师益友。

如果你能找到一个优秀的老师或者同学帮助你理解这些概念，你会快速进步。

实际上，这种异质式学习方法可能是快速掌握数学概念的最佳方式。

总之，高考数学中的定积分对于学生来说是一项很具挑战性的任务。

如果你能够熟练掌握基础概念，了解不同种类的定积分，从前往后逐步解决问题，并给自己足够的时间，你将会在这方面真正的取得进步。

定积分计算的方法与技巧

定积分计算的方法与技巧摘要：定积分是积分学的重要组成部分，其概念抽象、难以理解、解题方法灵活多变。

本文讨论了定积分计算的各种方法与技巧。

关键词：定积分换元积分法分部积分法计算方法定积分与不定积分是积分学的两个组成部分，定积分不仅是积分学的基础，而且是概率统计、复变函数等课程的重要知识工具.定积分概念抽象、定理较多，学生不仅在理论学习中难以理解掌握，在定积分计算中难度也很大，往往面对一个题目，不知如何下手.因此，本文通过对各种题型、各种解题方法的分析研究，讨论了定积分计算的方法与技巧，希望对初学者有所帮助.一、利用定积分定义计算定积分定积分的思想方法是：“分割、取近似、求和、求极限”，实质是在连续区间上求和，我们通过例子来说明定积分定义的含义.例1.用定积分定义计算：edx.解：将区间［0，1］n等分，分成n个小区间［，］，则每个小区间的长为Δx=，并取ξ=为右端点（i=1，2，…，n），得到：原式=f（ξ）Δx=e•==e-1.注：一般来说，用定义计算定积分是十分麻烦的，实际计算中，并不用上述方法.二、利用定积分性质估算定积分的值例2.估算定积分（1+sinx）dx的值解：f（x）=1+sinx在［，π］上的最大值为f（）=2，最小值为f（π）=1，即：1≤1+sinx≤2，所以：π=1×（-）≤（1+sinx）dx≤2×（-）=2π.三、利用Newton-Leibniz公式计算定积分设f（x）在［a，b］上连续，且F′（x）=f（x），则f（x）dx=F（b）-F（a），这就是Newton-Leibniz公式.由此看出：Newton-Leibniz公式刻画了定积分与不定积分的紧密联系，它使得计算定积分时，只要找到被积函数f（x）的某个原函数F（x），F（x）在b，a两点的函数值的差就是所求的定积分.Newton-Le ibniz公式是最基本的定积分计算公式，而找到f（x）的原函数F（x）是应用这个公式的关键，所以，熟练使用Newton-Leibniz公式的关键是对不定积分的计算相当熟练.例3.计算定积分：（1）dx；（2）dx.解：（1）原式=（3x+）dx=［x+arctanx］=1+（2）原式=dx=tanx|=1四、利用定积分对积分区间的可加性计算定积分如果被积函数含有绝对值或平方根时，应按绝对值内或被开方式子的正负号将积分区间分段求定积分的代数和.同样，对分段函数的定积分，也应该按分段情况逐段积分.例4.计算定积分：（1）；（2）f（x）dx，其中f（x）=x+1，x≤1x，x＞1解：（1）原式==（cosx-sinx）dx+（sinx-cosx）dx=［sinx+cosx］+［-cosx-sinx］=2（-1）（2）f（x）dx=（x+1）dx+xdx=［x+x］+［x］=五、利用换元积分法计算定积分不定积分的换元积分法有两种类型，同样定积分的换元积分法也有两种类型：当用第一类换元积分法求定积分时，若未引进新的积分变量，则积分上、下限不变；当用第二类换元积分法求定积分时，由于引入了新的积分变量，因此，积分上、下限要作相应改变.例5.计算定积分：（1）（1-sinθ）dθ；（2）dx；（3）dx；（4）已知dx=，求a.解：（1）原式=dθ+（1-cosθ）dcosθ=π+［cosθ-cosθ］=π-（2）原式=d（x-1）=［（x-1）+arcsin（x-1）］=（3）令x=π-t，则原式=（-dt）=dt-dt所以，原式=dt=-［arctan（cost）］=.（4）令=t，即x=ln（t+1），dx=dt，则:原式=•dt=2arctant|=π-2arctan，由-2arctan=得：arctan=，所以a=ln2.六、利用分部积分法计算定积分分部积分法的公式为：uv′dx=［uv］-u′vdx，而如何确定恰当的u，v与不定积分的思想完全相同，当u，v选择不恰当时，很难算出定积分，具体求解时，有时须先换元，再分部积分.例6.计算定积分：dx解：令x=sint，dx=costdt，则：原式=costdt=-（cott）′tdt=-tcott|+cottdt=π+ln3.七、对称区间上的定积分的计算由公式f（x）dx=［f（x）+f（-x）］dx=2f（x）dx，f（x）为偶函数0，f（x）为奇函数，可计算对称区间上的定积分或者可化为对称区间上的定积分.例7.计算定积分：（1）I=sin（lnx）dx；（2）I=dx解：（1）令t=lnx，则I=esintdt=sint（e+e）dt=（e-e）（2）令t=lnx并应用得arctanu+arctan=得：I=（arctane+arctane）sintdt=sintdt=.注：从上例看出：对积分上限、下限互为倒数的区间［，a］上的定积分f（x）dx，可引入变换t=lnx，化为对称区间［-lna，lna］上的定积分f（x）dx=ef （e）dt.定积分的计算方法很多，除上面介绍的方法外，还有周期函数的定积分计算，建立递推公式计算定积分，等等，同时定积分的各计算方法不是孤立的，很多题目都可能是几种计算方法联合使用，只有多练习才能熟能生巧.。

定积分的计算方法与技巧

定积分的计算方法与技巧定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线下方的面积、质量、体积等问题。

在实际应用中，掌握定积分的计算方法和技巧是非常重要的。

本文将介绍几种常见的定积分计算方法和一些实用的技巧。

一、基本定积分的计算基本定积分是指像多项式函数、指数函数、对数函数等这类基本函数的积分。

对于这种类型的函数，我们可以直接利用积分的基本性质进行计算。

1. 多项式函数的定积分对于多项式函数，我们可以利用幂重要性质进行积分计算。

具体来说，我们只需要按照原来多项式的基本形式，将每一项的次数加1，并且除以新的次数，即可得到原多项式函数的不定积分。

例如，要计算函数f(x)=3x^2+4x+1 的定积分∫f(x)dx，我们只需要按照下列步骤进行计算：i) 将每一项次数加1并除以新的次数：f(x)=3x^3/3+4x^2/2+xii) 化简简化后的函数：f(x)=x^3+2x^2+xiii) 最后对得到的简化函数积分：∫f(x)dx=(1/4)x^4+(2/3)x^3+1/2x^2+C2. 指数函数的定积分对于指数函数，我们可以运用特定的计算规则来求解。

例如，e^x 的不定积分为自身，e^x 的定积分同样为自身：∫e^xdx = e^x + C3. 对数函数的定积分对于对数函数，我们可以利用换元积分法来求解。

例如，lnx 的不定积分为xlnx-x，lnx 的定积分可以通过换元积分法计算得到：∫lnxdx = xlnx - x + C二、常用计算技巧除了基本定积分的计算方法，还有一些常用的计算技巧可以帮助我们更快地求解定积分。

1. 利用对称性对称性是一个有用的技巧，它可以帮助我们简化积分的计算。

当函数在某个区间上是对称的时候，我们可以利用对称性将积分区间缩小一半。

这样一来，我们只需要计算一半的积分，然后乘以2即可得到整个区间上的定积分。

2. 利用换元积分法换元积分法是另一个常用的技巧，它可以帮助我们将一个复杂的积分转化成一个简单的积分。

《定积分》全章复习与巩固_知识讲解

《定积分》全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】要点一：定积分的概念定积分的概念如果函数=()y f x 在区间[]a b ，上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取点()1,2,,i i n =L ξ，作和式：11()()nnn i i i i baS f x f n==-=∆=∑∑ξξ．当n →+∞时，上述和式n S 无限趋近于常数，那么称该常数为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：()baf x dx ⎰，即+1()lim()nbi an i b af x dx f n→∞=-=∑⎰ξ．要点诠释：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰L （称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定定积分的背景——面积和路程问题定积分的概念定积分的意义及性质定积分的计算及意义定积分微积分基本定理平面图形的面积定积分的简单应用简单几何体的体积积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如12(1)x dx+⎰与32(1)x dx+⎰的值就不同．要点二：定积分的几何意义要点诠释：（1）当()0f x≤时，由()y f x=、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，积分()dbaf x x⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[()]d()b ba aS f x x f x S=-=-=-⎰⎰，即()dbaf x x S=-⎰，如图（b）．（2）当()f x在区间[a，b]上有正有负时，积分()dbaf x x⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x轴上方面积取正号，x轴下方面积取负号）．在如图（c）所示的图象中，定积分132()dbaf x x S S S=+-⎰．要点三：定积分的运算性质性质1：()d()b ba ak f x x k f x kS==⎰⎰；性质2：[()g()]d()g()db b ba a af x x x f x x x±=±⎰⎰⎰；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。

高中数学定积分解题技巧

高中数学定积分解题技巧在高中数学中，定积分是一个重要的概念和工具，它有着广泛的应用领域，涉及到面积、体积、平均值等问题的求解。

定积分的解题技巧对于学生来说是非常重要的，下面我将通过具体的题目举例，分析和说明一些常见的定积分解题技巧，希望能够帮助到高中学生和他们的家长。

1. 求定积分的基本步骤首先，我们来看一个简单的例子：求函数$f(x)=2x$在区间$[1,3]$上的定积分。

解题步骤如下：（1）求不定积分：$\int 2x \, dx=x^2+C$（2）计算上限和下限的值：$F(3)-F(1)=3^2+C-(1^2+C)=8$所以，函数$f(x)=2x$在区间$[1,3]$上的定积分为$8$。

通过这个例子，我们可以看出求定积分的基本步骤是：先求不定积分，然后计算上限和下限的值，最后相减得到定积分的值。

2. 利用函数的对称性简化计算有些函数具有对称性，利用对称性可以简化定积分的计算。

例如，对于偶函数来说，如果函数在对称轴两侧的取值相等，那么函数在该区间上的定积分就等于两侧的定积分的和的一半。

例如，我们要求函数$f(x)=x^2$在区间$[-2,2]$上的定积分。

解题步骤如下：（1）求不定积分：$\int x^2 \, dx=\frac{1}{3}x^3+C$（2）计算上限和下限的值：$F(2)-F(-2)=\frac{1}{3}(2^3+C)-\frac{1}{3}(-2^3+C)=\frac{16}{3}$所以，函数$f(x)=x^2$在区间$[-2,2]$上的定积分为$\frac{16}{3}$。

通过这个例子，我们可以看出利用函数的对称性可以简化定积分的计算，减少计算量。

3. 利用定积分的性质简化计算定积分具有一些性质，利用这些性质可以简化定积分的计算。

例如，定积分的线性性质和积分中值定理。

（1）线性性质：对于任意常数$a$和$b$，有$\int (af(x)+bg(x)) \, dx=a\int f(x) \, dx+b\int g(x) \, dx$。

定积分计算的方法与技巧

定积分计算的方法与技巧定积分是微积分的重要内容之一，用于计算曲线下方的面积、求平均值、求定积分等。

本文将介绍一些定积分计算的方法与技巧，包括基本积分公式、换元法、分部积分法、定积分的性质以及数值积分等。

一、基本积分公式在进行定积分计算时，掌握一些基本积分公式是非常重要的。

以下是一些常见的基本积分公式：- ∫kdx = kx + C （k为常数，C为常数）- ∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C （n为非负整数，C为常数）- ∫e^x dx = e^x + C- ∫a^x dx = a^x/ln(a) + C （a>0且a≠1）- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C- ∫1/sqrt(1-x^2) dx = arcsin(x) + C二、换元法换元法是解决复杂定积分的有效方法之一、在进行换元法时，我们可以选择一个合适的变量替换，使得被积函数简化。

设有∫f(g(x))g'(x)dx，令u=g(x)，则dx=du/g'(x)，所以∫f(u)du 即可。

换元法的关键是选择合适的变量替换。

三、分部积分法分部积分法用于对乘积进行积分。

设有∫u(dv)，其中u为一个可微函数，dv为一个可积函数，根据分部积分法的公式：∫u(dv) = uv - ∫v(du)通过选择合适的u和dv，将原问题转化为求解形式更简单的积分。

如果最后的∫v(du)也可以通过分部积分法进一步解决，则可以多次应用该方法。

四、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，可以帮助我们简化计算：- ∫[a,b] f(x) dx = -∫[b,a] f(x) dx （积分区间调换，结果取负值）- ∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx （可加性）- ∫[a,b] k*f(x) dx = k*∫[a,b] f(x) dx （常数倍性）- 若f(x)在[a,b]上连续，则∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数五、数值积分当无法通过手算得到解析解时，可以使用数值积分的方法来求解定积分。

积分与定积分应用题解题技巧总结

积分与定积分应用题解题技巧总结在数学学习过程中，积分和定积分是非常重要的概念和工具。

它们在解决实际问题和计算函数面积等方面都有广泛的应用。

然而，对于初学者来说，解积分和定积分的应用题可能会有一定的挑战。

在本文中，我将总结一些解决这类题目的技巧和要点。

1. 阅读问题描述：首先，我们应该仔细阅读题目，并理解问题的要求和限制条件。

在阅读题目时，我们要特别注意数学符号和术语的定义，并确保对其有清晰的理解。

2. 抽象问题：在解决积分和定积分的应用题时，我们需要将问题抽象成数学的形式。

通常，我们可以将问题中的实际情境用函数表示，并确定所需求解的数学表达式。

例如，如果问题描述了一个变化的速度，我们可以将速度函数表示为f(t)，其中t表示时间。

3. 确定积分区间：在应用题中，我们通常需要对函数在给定区间上进行积分。

因此，我们需要确定积分的上下限。

这些上下限可以反映问题中的时间、空间或其他因素。

在确定积分区间时，我们要考虑问题的实际背景，并确保积分的范围与问题相符。

4. 利用已知条件：在解决积分和定积分应用题时，我们通常会给出一些已知条件。

这些条件可以是函数在某点的值或者函数的导数等信息。

我们应该充分利用这些已知条件，以便求解积分或者定积分。

5. 选择适当的积分方法：求解应用题时，我们需要根据具体情况选择适当的积分方法。

常见的积分方法包括不定积分、定积分、分部积分、换元积分等。

在选择积分方法时，我们应该根据题目中给出的条件和所要求解的表达式进行判断，并选择合适的方法进行计算。

6. 注意特殊情况和边界条件：在解决应用题时，我们要特别注意计算过程中可能出现的特殊情况和边界条件。

例如，当被积函数在积分区间上不连续或者有间断点时，我们需要分段计算积分，并对积分区间进行适当划分。

此外，当积分区间的上下限为无穷大时，我们需要采用特殊的方法进行处理。

7. 检查结果：完成计算后，我们应该对结果进行检查，以验证所得答案是否符合题目的要求。

考研数学定积分冲刺阶段的复习攻略

考研数学定积分冲刺阶段的复习攻略考研数学定积分冲刺阶段的复习要点1、复习知识体系在讲定积分的时候，我又回归到原来的讲法：从知识体系讲起。

因为定积分这章非常重要，考试考查的内容多而广。

这章包括：定积分的定义，性质：微积分基本定理;反常积分;定积分的应用。

这四个部分各有侧重点。

其中定积分的定义是重点;要理解微积分基本定理;要掌握定积分在几何和物理上面的应用。

至于反常积分大家了解就行了。

2、深刻回顾知识点在掌握了知识体系之后，自然就需要明确具体的重点知识点了。

首先是定积分的定义及性质。

大家需要深刻理解定积分的定义。

我觉得同学们不仅要会用自己的话来表述定义，而且要一步一步的写出精髓。

比如说从定义中体现的思想：微元法。

同学们要理解分割，近似，求和，取极限这四个步骤。

同时要知道其几何意义及定义中需要注意的方面。

对定积分定义的考察在每年考研中是必考内容。

所以希望引起大家的足够重视。

至于性质，大家关键也在于理解。

特别是区间可加性;比较定理;积分中值定理。

对这三个性质大家一定要知道是怎么来的。

考研中有关积分的证明题多多少少会用到这三个性质。

所以大家只有理解了才懂得在什么时候用。

然后是微积分基本定理。

这个知识点非常重要。

因为它定义了一种新的函数：积分上限函数。

而且在一定的条件下，它的导数就是f(x)。

所以我们扩展了函数类型。

那么导数应用中的切线与法线;单调性;极值;凹凸性等应用就可以与积分上限函数联系了。

同时提出了牛顿-莱布尼茨公式，使得我们可以用不定积分来计算定积分。

希望同学们要掌握牛顿-莱布尼茨公式的证明过程。

补充说一点：求定积分常用的方法是基本积分公式;换元积分法(凑微分法和换元积分法);分部积分法。

其中换元积分法和分部积分法是重点。

大家要理解换元积分法的思想。

即我们通过复合函数求导公式推出了凑微分法;通过三角代换，根式代换等提出了换元积分法。

而我们通过相乘函数的导数公式推出了分部积分法。

所以大家只有知道这些方法是怎么来的才能更好的使用这些方法。

高等数学定积分重点难点复习大纲例题讲解

第五章定积分一、基本要求：1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质.2.理解积分上限的函数，并掌握其求导法则.3.掌握牛顿——莱布尼兹公式.4.掌握定积分的换元法和分布积分法.5.理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法.6.了解定积分的近似计算方法.二、主要内容Ⅰ.定积分概念：1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2,,)i i x x i n -=，小区间的长度记为1,(1,2,,)i i i x x x i n -∆=-=，在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1()ni i i f x ξ=∆∑，若01lim ()ni i i f x λξ→=⋅∆∑ 1(max{})i i nx λ≤≤=∆存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.记为1()lim ()nbi i ai f x dx f x λξ→==⋅∆∑⎰当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。

3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ.定积分的几何意义定积分()ba f x dx ⎰在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和xb =以及x 轴所围图形面积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负)Ⅲ.定积分的性质1. 补充规定：(1)当a b =时，()0ba f x dx =⎰(2)当a b >时,()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰2. 性质： (1) [()()]()()bb ba aaf xg x dx f x dx g x dx --+=+⎰⎰⎰(2) ()(),()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数(3)()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(4)ba dxb a =-⎰(5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则()0,()ba f x dx ab ≥<⎰推论1：若在[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()(),()b ba a f x dx g x dx ab ≤<⎰⎰. 推论2：()(),()b ba a f x dx f x dx ab ≤<⎰⎰.(6 ) 若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤,则()()(),()ba mb a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰ (7) (定积分中值定理)：若()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在ξ，使()()(),()ba f x dx fb a a b ξξ=-≤≤⎰. 3. 连续函数()f x 在[,]a b 上的平均值，1()ba y f x dxb a-=-⎰ Ⅳ. 积分上限函数及其导数1. 若对任意[,]x a b ∈，()xa f t dt ⎰存在，则称()()xa x f t dt Φ=⎰为积分上限的函数.2. 若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上有界. 且积分上限函数()()xa x f t dt Φ=⎰在[,]ab 上连续.3. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[,]ab 上可导，且'()()(),()xa d x f t dt f x a xb dxΦ==≤≤⎰.4. 设()f x 连续，()x φ可导，则()''()()[()]()x a d x f t dt f x x dxφφφΦ==⎰.5. 设()f x 连续，()x φ，()x ϕ可导，则 ()'''()()()[()]()[()]()x x d x f t dt f x x f x x dxφϕφφϕϕΦ==-⎰. Ⅴ. 牛顿——莱布尼兹公式.(微积分基本定理)设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰.Ⅵ. 定积分的换元法设()f x 在[,]a b 上连续，()x t φ=满足： (1) (),()a b φαφβ==.(2)()t φ在[,]αβ(或[,]βα)上具有连续导数，且()x t φ=的值域不越出[,]a b 的范围，则有'()[()]()ba f x dx f t t dt βαφφ=⎰⎰.注：当()t φ的值域[,]R A B φ=越出[,]a b 的范围，但满足其余条件时，只要()f x 在[,]A B 上连续，则换元法的结论仍然成立. Ⅶ. 定积分的分部积分法设()u x 与()v x 在[,]a b 上具有连续导数，则有()()()()()()bbba aau x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰Ⅷ. 几类特殊的积分公式1. 设()f x 在[,]a a -上连续，则有0()[()()]aaa f x dx f x f x dx -=+-⎰⎰.2()()[,]()()[,]a aaf x dxf x a a f x dx f x a a -⎧-⎪=⎨⎪-⎩⎰⎰当为上连续的偶函数时0当为上连续的奇函数时2. 设()f x 是以l 为周期的连续函数，则对任意实数a ，有0()()a lla f x dx f x dx +=⎰⎰. 3. 设()f x 在[0,1]上连续，则220(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰4.2200123134221242sin cos 13531n n n n n n n n n xdx xdx n n n n πππ--⎧⎪-⎪--⎪==⎨-⎪=⎪⎪⎩⎰⎰为正偶数为大于1的正奇整数1 Ⅸ. 反常积分(广义积分) 1. 无穷限的反常积分 (1) 设()f x 在[,)a +∞上连续, ()lim()ba ab f x dx f x dx ∞→+∞=⎰⎰(2) 设()f x 在(,]b -∞上连续,()lim()bbaa f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰(3) 设()f x 在(,)-∞+∞上连续,()()()lim()lim()baa b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ∞∞-∞-∞→-∞→+∞=+=+⎰⎰⎰⎰⎰若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()f x dx ∞-∞⎰收敛. 只要有一个极限不存在，()f x dx ∞-∞⎰就发散. 2. 无界函数的反常积分(1) 设()f x 在(,]a b 上连续，点a 为()f x 的瑕点，()lim ()bbatt af x dx f x dx +→=⎰⎰(2) 设()f x 在[,)a b 上连续，点b 为()f x 的瑕点，()lim ()b taat bf x dx f x dx -→=⎰⎰(3) 设()f x 在[,]a b 上除点c ()a c b <<外连续，点c 为()f x 的瑕点，()()()lim ()lim ()bc b t baacatt ct cf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -+→→=+=+⎰⎰⎰⎰⎰若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()ba f x dx ⎰收敛. 只要有一个极限不存在，()ba f x dx ⎰就发散. 3. 反常积分的审敛法(1)(比较审敛法1)设()f x 在[,)(0)a a +∞>上连续，且()0f x ≥. 若存在常数0M >及1p >，使得()pMf x x ≤()a x ≤<+∞，则反常积分()af x dx +∞⎰收敛；若存在常数0N >，使得()Nf x x≥ ()a x ≤<+∞，则反常积分()a f x dx +∞⎰发散.(2)(极限审敛法1) 设()f x 在[,)a +∞上连续，且()0f x ≥. 若存在常数1p >，使得lim()p x x f x →∞存在，则反常积分()a f x dx +∞⎰收敛；若lim ()0x xf x d →∞=>，(或lim ()x xf x →∞=+∞)则反常积分()a f x dx +∞⎰发散. (3) (比较审敛法2)设()f x 在(,]a b 上连续，且()0f x ≥. x a =为()f x 的瑕点.若存在常数0M >及1q <，使得()()()qMf x a x b x a ≤<≤-，则反常积分()ba f x dx ⎰收敛；若存在常数0N >，使得()Nf x x a≥- ()a x b <≤，则反常积分()ba f x dx ⎰发散.(4)(极限审敛法2) 设()f x 在(,]a b 上连续，且()0f x ≥. x a =为()f x 的瑕点. 若存在常数01q <<，使得lim()()q x a x a f x +→-存在，则反常积分()ba f x dx ⎰收敛；若lim()()0x a x a f x d +→-=>，(或lim()()x a x a f x +→-=+∞)则反常积分()ba f x dx ⎰发散. 三、重点与难点1. 积分上限的函数及其导数.2. 牛顿——莱布尼兹公式.3. 定积分的换元法和分部积分法. 四、例题 1. 求2222212lim()12n nn n n n →∞++++++ 分析：由定积分定义知01()()lim()nbiia i n f x dx f x λξ→=→∞=⋅∆∑⎰，可见求右端的极限也可通过求左端的定积分值而得到. 解决此类问题的关键是把和式归结为某个函数在某区间上的积分和式.解：原式22221111lim lim lim 11()n n ni i n n n i i i iii n x i n i nnξξ→∞→∞→∞======∆+++∑∑∑ 11122220001111(1)ln(1)ln 212122x dx d x x x x ==+=+=++⎰⎰2. 下列解法是否正确 (1).220sec 02tan x dx x ππ==+⎰(2).111122211111111x tdxdt dx x t x =----⇒=-+++⎰⎰⎰令，即11221112011dx dx x x --⇒=++⎰⎰解：这两题的解法都不正确. (1) 被积函数220sec ()2tan x f x dx x π=+⎰在积分区间[0,]π内2x π=处不满足“牛顿——莱布尼兹”公式的条件，故不能直接应用公式. (2) 代换1x t=在[1,1]-上不连续，故在[1,1]-上不可导，不符合换元法的条件.3. 求下列定积分(1)0π⎰ (2)221min{,}x x dx -⎰(3)2-⎰(4)21⎰解：000x dx πππ==⎰⎰⎰22xdx xdx ππ-=-⎰33222222sin sin 33x x πππ=-224333=+=注：带绝对值符号的函数的积分，需先脱掉绝对值符号，如在积分区间上脱掉绝对值符号后为分段函数，则转化为分段函数的积分.(2) 2211min{,}12x x x x xx ⎧-≤≤=⎨<≤⎩2122211113min{,}6x x dx x dx xdx --=+=⎰⎰⎰(3)2221d---==⎰⎰⎰21arcsin 4612x πππ-==-+=-(4)2211=⎰⎰令1sin ,x t -=则cos dx tdt =原式222222000(sin 1)cos cos cos cos t tdt td t tdt πππ=+=-+⎰⎰⎰23111cos 32234t πππ=-+=+ 4. 设()f x 连续，0()()xg x x f t dt =⎰，求''(0)g解：'0()()()xg x xf x f t dt =+⎰ (1)'(0)0g =''''00()()()(0)(0)lim lim xx x xf x f t dt g x g g x x→→+-==⎰()()lim ()(0)lim2(0)1xx x f t dt f x f x f f x→→=+=+=⎰ 注：此题没有()f x 可导的条件，故“对(1)式两边在对x 求导. 得'''''()()()()2()()(0)2(0)g x f x xf x f x f x xf x g f =++=+⇒=“这种解法是错误的. 5. 计算下列极限 (1)20sin 0ln(1)lim sin 2xxx t dt tdt→+⎰⎰(2)2030[()]lim xttxx te f u du dtx e →⎰⎰解：(1)20sin 0000ln(1)ln(12)24lim limlim sin(2sin )cos sin 2sin 2xxx x x t dt x xx x xtdt→→→++⋅==⎰⎰(2)22232323[()]()()lim limlim(3)3xx txtx xxx x x te f u du dtxef u duf u dux ex x ex x →→→-==++⎰⎰⎰⎰20()2(0)0lim0323x f x x f x →-⋅-⋅===+6.设()f x 为连续函数，且221(2)()arctan 2xx x t f t dt x -=⎰，(1)1f =，求21()f x dx ⎰.解：22212()()arctan 2xxx x x f t dt tf t dt x -=⎰⎰ 两边对x 求导，得242()2[2(2)()][4(2)()]1xx xf t dt x f x f x xf x xf x x+---=+⎰ 整理后，有241()[()]21xx xf t dt xf x x=++⎰ 令1x =，即得21113()[(1)]224f x dx f =+=⎰7.设()f x 在(,)-∞+∞内连续，且0()()()2x xF x t f t dt =-⎰证明：(1)若()f x 为偶函数，则()F x 也是偶函数.(2)若()f x 为单减函数，则()F x 也是单增函数 .. 证明：(1)00()()()()()()22x x x xF x t f t dt u f u du t u --=--=--+-=-⎰⎰ 0()()()2x xu f u du F x =-=⎰即()F x 为偶函数(2) 00()()()2xx x F x f t dt tf t dt =-⎰⎰ '0011()()()()[()()]222x x x F x f t dt f x xf x f t dt xf x =+-=-⎰⎰00011[()()][()()]22x x xf t dt f x dt f t f x dt =-=-⎰⎰⎰由()f x 单减，当0t x <<时，()()0f t f x -> '01()[()()]0(0)2xF x f t f x dt x ⇒=->>⎰时当0x t <<时，()()0f t f x -<. 0'011()[()()]0[()()]22x x F x f t f x dt f t f x dt ⇒=->=-⎰⎰(0)x <时即在(,)-∞+∞上，()F x 为单增函数. 8.计算下列各题：(1)52222(sin )cos x x xdx ππ-+⎰ (2)2ln(1)(0)ax a x e dxa -+>⎰(1) 解：52cos x x 为奇函数，22sin cos x x 为偶函数.原式522222222222cos sin cos sin cos x xdx x xdx x xdx ππππππ---=+=⎰⎰⎰22242220002sin (1sin )2sin sin x x dx xdx xdx πππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰=1312()224228πππ⨯-⨯= (2)分析：此题的积分区间是对称区间，而对称区间上的定积分有公式⎰⎰-+=-aaa dx x f x f dx x f 0)]()([)(，若)()(x f x f -+在],0[a 上容易积分，该公式就可利用了.解：⎰⎰--+-+=+ax x aa x dx e x e x dx e x 0222])1ln()1ln([)1ln(⎰⎰++=++=-a x x x ax x dx e e e x dx e e x 001)1(ln 211ln 2 303232322a x dx x aa===⎰ 9.计算⎰-πk dx x 02sin 1 (k 为正整数)解：原式⎰⎰-=-=ππk k dx x x dx x x 002cos sin )cos (sin⎰⎰⎰--++-+-=πππππk k dx x x dx x x dx x x )1(20cos sin cos sin cos sin⎰-=π0cos sin dx x x k])cos (sin )sin (cos [440⎰⎰-+-=πππdx x x dx x x k])sin (cos )cos (sin [440πππx x x x k +-+=k 22=注：x x cos sin - 是周期为π的周期函数. 10.求dx x x ⎰++121)1ln( 解：令t x tan =，原式dt t tdt tt ⎰⎰+=+=402402)tan 1ln(sec sec )tan 1ln(ππ设dt t ⎰+=I 40)tan 1ln(πdt t dt t t dt tt⎰⎰⎰-+=+=I 404040cos ln )sin ln(cos )cos sin 1ln(πππ dt t dt t ⎰⎰--=4040cos ln )4cos(2ln πππ(1)而du u du u dt t ⎰⎰⎰=-=-40044)cos 2ln )cos 2ln()4cos(2ln ππππ)4(t u -=πdu u du ⎰⎰+=4040cos ln 2ln ππ 代入(1)式得 dt t du u du ⎰⎰⎰-+=I 404040cos ln cos ln 2ln πππ2ln 82ln 40ππ==⎰du所以2ln 81)1ln(102π=++⎰dx x x11.求⎰+20cos sin sin πdx ee e xx x解：⎰⎰⎰+=+-=+=I 20sin cos cos 02sin cos cos 20cos sin sin πππdx e e edx e ee dx e e e x x xt t t x x x于是 22220sin cos cos sin πππ===++=I ⎰⎰dx dx ee e e xx xx420cos sin sin ππ=+=I ⇒⎰dx e e e xx x12.求⎰⎰-101][22dx dt e x x t .解：⎰-221x t dt e 为x 的函数，令⎰-=221)(x t dt e x f 原式⎰⎰⎰-===10'2121210)(2)(22)()(dx x f x x f xx d x f dx x xf ⎰⎰---=102112]2[22422dx x e x dt ex x x t⎰⎰-=-=--104103)(4144x d e dx e x x x )1(411-=-e 13. 设函数⎰=Φxdt t x 0sin )((1) 当n 为正整数，且ππ)1(+<≤n x n 时，证明)1(2)(2+<Φ≤n x n (2) 求xx x )(limΦ+∞→解：(1)由0sin ≥t ,且ππ)1(+<≤n x n⎰⎰+<Φ≤⇒ππ)1(0sin )(sin n n dt t x dt t有由t sin 是周期为π的周期函数.n tdt n dt t n dt t n 2sin sin sin 0==≤⎰⎰⎰πππ同理)1(2sin )1(0+=⎰+n dt t n π因此，当ππ)1(+<≤n x n 时，有)1(2)(2+<Φ≤n x n(2)由(1)知当ππ)1(+<≤n x n 即ππn x n 11)1(1≤<+ 有ππn n x x n n )1(2)()1(2+≤Φ<+，令∞→x ，有∞→n . 而ππ2)1(2lim=+∞→n n n ，ππ2)1(2lim =+∞→n n n π2)(lim=Φ⇒+∞→x x x 14.设)(x f 在]1,0[上连续，且单调递减，证明对)1,0(∈∀α,有⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f αα证法一：⎰⎰⎰+=1010)()()(ααdx x f dx x f dx x f于是⎰⎰-100)()(dx x f dx x f αα=])()([)(100⎰⎰⎰+-ααααdx x f dx x f dx x f =⎰⎰--10)()()1(ααααdx x f dx x f由积分中值定理 )()(10ξααf dx x f =⎰ αξ≤≤10)()1()(21ξααf dx x f -=⎰ 12≤≤ξα因此⎰⎰-100)()(dx x f dx x f αα=)()1()()1(21ξααξααf f ---=)]()([)1(21ξξααf f -- (1021≤≤≤≤ξαξ)因)(x f 单减，则有)()(21ξξf f ≥，即⎰⎰≥10)()(dx x f dx x f αα.证法二：设⎰⎰-=1)()(1)(dx x f dx x f F ααα (10≤<α)2201)()()()()(αξααααααααf f dxx f f F -=-=⎰ αξ≤≤0 0)()(≤-=αξαf f即)(αF 在]1,0(上单调不增，即0)1()(=≥F F α，即有⎰⎰≥100)()(dx x f dx x f αα. 注：此题还可以用积分换元法加以证明.15.设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，且满足⎰=2102)(2)1(dx x f x f . 证明在)1,0(内至少有一点ξ使)(2)('ξξξf f -=.证：设)()(2x f x x F =，由积分中值定理，21)()()(1212102⋅==⎰⎰ξF dx x F dx x f x (2101≤≤ξ)即⎰=21021)(2)(dx x f x F ξ，而dx x f x f F ⎰==21022)(2)1(1)1(即)1()(1F F =ξ，由罗尔定理，存在)1,0()1,(1⊂∈ξξ，使0)('=ξF 而)()(2)('2'x f x x xf x F +=，即有0)()(2)('2'=+=ξξξξξf f F 也即0)()(2'=+ξξξf f ，)(2)('ξξξf f -=.16.计算下列反常积分. (1)⎰+∞-22ln 1dx x x (2) ⎰+∞+0232)1(arctan dx x x (3)⎰-10211ln dx x解：(1) ⎰+∞-22ln 1dx xx =⎰+∞--21)ln 1(x d x =⎰∞++∞---2221ln 1dx x xx=+∞+-2122ln 1x=22ln -. (2)令x x tan =，⎰+∞+0232)1(arctan dx x x dt t tt ⎰=223sec sec π=dt t t ⎰20cos π=t d t sin 20⎰π=⎰-2020sin sin ππtdt t t =20cos 2ππt +=12-π.(3) ∞=--→2111lnlim xx , 1=x 为被积函数的瑕点.⎰-10211lndx x=⎰-+-→t t dx x x 01)1)(1(1ln lim =⎰-++--→tt dx x x 01)]1ln()1[ln(lim=t t x x x x x 01)]1ln()1(2)1ln()1([lim --++++--→=)]1ln()1(2)1ln()1([lim 1t t t t t t --++++--→=)2ln 1(2-17.已知π=⎰+∞∞--dx e x 2，12=⎰+∞∞-+-dx ce x x .求c 的值. 解：=⎰+∞∞-+-dx cexx 2)21(41)21(2-⎰∞+∞---x d e ec xt x =-21令 dt e e c t ⎰∞+∞--412dt e ce t ⎰∞+∞--=241π41ce=即ππ414111ec ce=⇒=.18.设⎩⎨⎧<<=其它10)(x xx f ，⎩⎨⎧<≥=-0)(x x e x g x，求函数dx x t g x f t h ⎰+∞∞--=)()()(的表达式.解：因为)(x f 在)1,0(上为x x f =)(，在)1,0(之外都为零.故dx x t g x f t h ⎰+∞∞--=)()()(⎰-=10)(dx x t xg而⎩⎨⎧≥-=---其它0)()(x t e x t g x t当0<t 时，由于积分变量]1,0[∈x ，故总有t x > 从而0)(=-x t g ，0)()(10=-=⎰dx x t xg t h .当10≤≤t 时，⎰⎰⎰-+-=-=1010)()()()(t tdx x t xg dx x t xg dx x t xg t h 当积分变量x 在]1,[t 上变化时，0≤-x t ，0)(=-x t g ，所以0)(1=-⎰t dx x t xg从而⎰⎰⎰--==-=txtttx tdx xeedx xe dx x t xg t h 000)()(t t t t t x x t e t e te e e xe e ---+-=+-=-=1)1(][0 当1>t 时，t x t t x e dx xe e dx xe dx x t xg t h ---===-=⎰⎰⎰101010)()(.综上 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+<=--时当时当时当110100)(t e x t e t t h t t 注：本题是含参变量的反常积分，这是一类重要的积分，它在概率统计以及积分变换中都会用到.定积分自测题(A)一. 选择题(每小题3分，共15分).1.=⎰dt e dxd b x t 2( ) (A)2x e (B)2x e - (C)22x b e e - (D)22x xe - 2.dx x x I ⎰-=3021,则( )(A)化为)1()1(21230212x d x I ---=⎰后计算(B)进行代换t x sin =后计算(C)进行代换t x =-21，dt t I ⎰--=30212121后计算 (D) 进行代换t x cos =后计算3.设)(x f 连续且2)0(=f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰00)()(2x cx x dtt tf x F x ，若)(x F 在0=x 处连续，则=c ( )(A)0=c (B) 1=c (C)c 不存在 (D) 1-=c4.设)(x f 在[a a ,-]上连续，则⎰-aa dx x f )(等于( ) (A)⎰adx x f 0)(2 (B)0 (C) ⎰-+adx x f x f 0)]()([ (D)⎰--adx x f x f 0)]()([ 5.设)(x f 是连续的奇函数，则)(x f 的任一原函数( )(A)是偶函数 (B)是奇函数 (C)可能是奇函数，也可能是偶函数 (D)非奇非偶函数二.(7分)求]4121141[lim 22222nn n n -+++-∞→ . 三.计算下列各题(每题6分，共12分). 1.202200)()(lim22dt edt e xt xt x ⎰⎰-→2.设dt t x f xx ⎰-+=sin 2)1arctan()(，求)0('f . 四.计算下列定积分(每题8分，共56分). 1.⎰+21ln 11e dx xx 2.dx x x ⎰-20cos sin π3.⎰-+43412)1(1dx x x x 4.⎰+x e dx 1 5.dx x ⎰+π4302cos 1 6.dx x x ⎰--112247.dx xx ⎰+∞22ln 1五.(10分) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-001)(2x ex xx f x，求dx x f ⎰-31)2(.定积分自测题(B)一. 选择题(每小题3分，共15分).1.设0)(=⎰dx x f ba ，且)(x f 在],[b a 连续，则( )(A)在],[b a 上，0)(≡x f (B)必存在],[b a ∈ξ，使0)(=ξf (C)存在唯一的],[b a ∈ξ，使0)(=ξf (D)不一定存在],[b a ∈ξ，使0)(=ξf 2.设dt t I x e ⎰=ln 1，dt t I xe ⎰=22)(ln ，(0>x )，则( )(A)对一切e x ≠，有21I I < (B)仅当e x >时，有21I I < (C)对一切e x ≠，有21I I ≥ (D)仅当e x <时，有21I I < 3.当0→x 时，⎰-=102)sin()(x e dt t x f 与43)(x x x g +=比较，是( ) (A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但非等价无穷小 (D)等价无穷小4.函数dt t t tx x⎰+-=0213)(ϕ在区间]1,0[上的最小值为( ) (A)21 (B)31 (C)41(D)05.=-+⎰→xdtt xx cos 1)1ln(lim2sin 0( )(A)8 (B)4 (C)2 (D)1 二.填空题(每小题3分，共15分). 1. 设)(x f 为连续函数，则=--⎰-aa dx x f x f x )]()([2.2. =+++++∞→)212111(lim nn n n . 3. 若dx x f dx x xf a⎰⎰=0202)(21)(，则=a .4. 设⎩⎨⎧≤<≤≤=21110)(2x x x x f ，而⎰=x dt t f x F 1)()( )20(≤≤x ，则=)(x F .5. =-⎰dx x 201.三.计算下列各题(每题8分，共56分).1.⎰-+10x x ee dx2.⎰+214)1(x x dx3.θθθθππd ⎰-+22234sin )sin (cos 4.dx x x⎰+202sin 3sin π5.⎰--2ln 021dx e x6.⎰+∞++02)1()1ln(dx x x 7.已知5)2(,3)2(,1)0('===f f f ，求⎰10'')(dx x xf . 四.(8分) 设⎰+=x dt t t x f 111ln )( )0(>x ,试求)1()(xf x f +. 五.(6分) 设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，且)0()(3132f dx x f =⎰.证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)('=ξf .定积分自测题(C)一. 选择题(每小题3分，共18分).1.设)(x f 为连续函数，那么函数⎰=xdt t tf x F 02)()(为( ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)单调增加函数 2.⎰=xa dt t f )2('( )(A))]()([2a f x f - (B))2()2(a f x f - (C))]2()2([2a f x f - (D))]2()2([21a f x f - 3.函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续是定积分dx x f ba ⎰)(存在的( ) (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)无关条件 4.设⎰--+=114121sin dx e x x I x ，⎰--++=1142)1sin (2dx e x x I x ，⎰---+=1143)1sin (2dx e xx I x ，则( )(A)321I I I << (B)231I I I <<(A)213I I I << (A)123I I I << 5.设)(x f 连续，则⎰=-x dt t x tf dxd 022)(( ) (A))(2x xf (B))(2x xf - (C))(22x xf (D))(22x xf - 6.广义积分收敛的是( ) (A)⎰+∞e dx x x ln (B)⎰+∞e dx x x ln 1(C)⎰+∞ex x dx 2)(ln (D)⎰+∞e xx dxln 二.填空题(每小题3分，共12分). 1.=+⎰))1ln((22x xtdt t e dx d .2.设)(x f 在]4,0[上连续，且3)(212-=⎰-x dt t f x ，则=)2(f . 3.设)(x f 为连续函数，且dx x f x x f e⎰-=1)(ln )(，则=⎰dx x f e1)(.4.=-+⎰-dx x x 1122)1(.三.计算下列各题(每题8分，共40分).1.⎰+402cos 1πdx x x 2.⎰+++203)1(1x x dx3. ⎰+edx xx 1ln 1 4.⎰+10222)1(dx x x 5.⎰+-5ln 031dx e e e xx x 四.(10分) 已知dt te ax a x a t xx ⎰∞-+∞→=-+2)(lim，试求a 的值. 五.(10分) 已知⎰=+-→x x dt ta t x bx 0201sin 1lim，求b a ,的值. 六.(10分) 设)('x f 在],0[a 上连续，且0)0(=f .证明：2)(2Ma dx x f a≤⎰，其中)(max '0x f M a x ≤≤=.定积分自测题答案自测题(A)一. 1.D 2.A 3.B 4.C 5.A 二. 6π.三. 1.1 2.2π四. 1.)13(2- 2.)12(2- 3.3831ln 4-4.ee+12ln 5.122- 6.2332-π7.2ln 1 五. e137-自测题(B)一.1.B 2.B 3.C 4.D 5.B 二. 1.0 2.2ln 3.4=a4.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-=21110)1(31)(3x x x x x F 5.1三. 1.e arctan 2.1732ln413.16π4.31ln 41- 5.)32ln(23+- 6.1 7.2 四.2)(ln 21x五.提示：利用积分中值定理及罗尔定理.自测题(C)一. 1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C二. 1.)1ln(2)1ln(422x xe x e x x +-+ 2.41)2(=f 3.e1 4.2 三. 1.)22ln4(21+π 2.6π3.234.82-π 5.4-π四. 25=a五. 1,4==b a六. ],0(a x ∈∀，由拉格朗日中值定理，x f f x f )()0()('ξ=-，),0(x ∈ξ.又因0)0(=f ，故x f x f )()('ξ=，],0[a x ∈，于是2'0'02)()()(a M dx x M dx x f dx x f dx x f aa aa=≤≤=⎰⎰⎰⎰ξξ.。

2016考研数学定积分中两个公式巧妙解题

2016考研数学定积分中两个公式巧妙解题在《高等数学》定积分部分有两个计算公式，虽然结论只出现在例题中，但为后续的解题带来很大的方便，因此有必要熟记这两个公式，以便在考研数学中节省宝贵时间，更加胸有成竹。

这两个公式如下：本题是2014年考研数学二和数学三的真题，在解题过程中用到了公式②，使得解题过程变得更为简洁准确率提高，而且节省了解题时间，这在考试中是至关重要的。

上述例1和例2在解题过程中应用公式①、公式②来计算定积分，使得看似复杂的题目可以迎刃而解。

因此，掌握这两个公式也是十分必要的。

著名数学家华罗庚把读书的过程归纳为：“由薄到厚”与“由厚到薄”两个阶段，考研数学的复习过程也是如此。

前期的基础复习阶段是“由薄到厚”的过程，冲刺阶段则是“由厚到薄”的过程，只要考生认真复习，善于总结将各个章节不同的知识点用自己的方式加以总结和整理，在考研过程中必将从容应对，取得理想成绩。

When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your moments of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face;And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。

定积分的应用，固定套路，固定方法，固定技巧看完绝对受益

定积分的应用，固定套路，固定方法，固定技巧看完绝对受益
学过高等数学的朋友想必面对定积分简直是不知所云，关于定积分的知识也是有点难以让人接受，但是考试有一定会考定积分这一方面的知识，所以定积分对大家来说简直就像一个噩梦一样。

可是我想告诉大家的是定积分只是有点繁琐而已，只要你进入定积分的世界里面，相信你做关于定积分的题一定会易如反掌。

今天，我就来给大家介绍一种关于定积分的题型，解决这种问题的思路可以用非常简单来形容，希望大家可以掌握，对大家有所益处、
例题献上，供您享用
是不是简直易如反掌，非常简单呢？相信大家学到这一招后，解决关于定积分的应用的题型不会再没有头绪，一定会把这类题型做对，相信你可以。

数学其实就是一个很奇妙的学科，如果你没有进入到它的世界里面，那么你是根本不会领略其中的风采的，更不会发现有美丽神奇的万花筒藏匿其中。

附赠同济六版高等数学关于定积分的应用的讲解知识。

定积分解题技巧浅析

定积分解题技巧浅析
定积分就是在一段间隔内求某个函数的积分，即求函数在这段间隔上的和。

定积分也是数学中比较重要的内容，所以在考试中也是考查的重点。

本文将从定积分的几何意义，该如何解题，以及应用到实际中的方法三个方面来分析定积分的解题技巧。

首先，让我们来看看定积分的几何意义。

定积分表示在一段间隔上求函数f(x)的积分和，它等价于函数f(x)在该间隔上构成的面积。

这种定积分和函数求导有着很大的关系，因为它们都是为了表达函数在某一段间隔上的特性。

通俗点来讲，定积分可以说是反求导的过程。

其次，让我们来看看定积分的解题方法。

一般来说，定积分的解题方法分为两步：
第一步是找到定积分的性质和解析式，这一步可以借助定积分的性质和各类积分解析式，来及时完成。

第二步是结合实际问题，运用数学方法去解决，比如用代数计算，或者使用分类计算方法。

最后，我们来看看定积分如何应用到实际中。

定积分可以用来表示在一段间隔内求某个函数的积分，比如面积、体积以及球的面积、体积等，它还可以用来表示运动的距离，以及重力场中的重力势能等。

另外，定积分还可以用来计算某一物理量在某一时刻的变化量，比如热能、动能等。

综上所述，定积分是一个非常重要的数学概念，它在实际生活中有着广泛的应用，其解题技巧也是非常重要的。

本文从几何意义，解
题方法，以及实际应用等三个方面，简要介绍了定积分的解题技巧。