高考物理带电粒子在无边界匀强磁场中运动技巧和方法完整版及练习题含解析

高考物理带电粒子在无边界匀强磁场中运动技巧和方法完整版及练习题含解析一、带电粒子在无边界匀强磁场中运动1专项训练1．在矩形区域abcd 中,存在如图甲所示的磁场区域(包括边界),规定磁场方向垂直纸面向里为正,其中22bc ab l e ==，为bc 边界上的一点,且2lce ，=重力可忽略不计的正粒子从d 点沿dc 方向以初速度0v 射入磁场,已知粒子的比荷为k ，求：(1)如果在0时刻射入磁场的粒子经小于半个周期的时间从边界上的e 点离开,则磁场的磁感应强度0B 应为多大? (2)如果磁场的磁感应强度002v B kl=，欲使在小于半个周期的任意时刻射入磁场的粒子均不能由ad 边离开磁场,则磁场的变化周期0T 应满足什么条件? (3)如果磁场的磁感应强度002v B kl=，在bc 边的右侧加一垂直bc 边向左的匀强电场,0时刻射入磁场的粒子刚好经过0T 垂直bc 边离开磁场,再次进入磁场后经过0T 从a 点离开磁场区域,则电场强度E 以及粒子在电场中的路程x 分别为多大?【答案】(1)0045v B kl =； (2)0056l T v π≤；(3)()208,(01221v E n n kl π==⋯+，，）；()21,(01238n l x n π+==⋯，，，）【解析】 【分析】 【详解】（1）由题意作出粒子的运动轨迹，如图1所示，在磁场中，洛伦兹力提供向心力，有20000v qvB m R =由几何关系，有22200()2l R l R =+-解得054R l =由于qk m= 解得045v B kl=； （2）由0mv R qB =可知，粒子运动的半径为 2l R =临界情况为粒子从t=0时刻射入，并且轨迹恰好与ad 边相切，如图2所示圆周运动的周期为002m lT qB v ππ==； 由几何关系可知，02T t =内，粒子转过的圆心角为56π； 对应运动时间为1556212t T T ππ==应满足12T t ≥联立可得0056lT v π≤（3）根据题意画出粒子的运动轨迹如图3所示由题意有00122m T qB π=⨯ 得002lT v π=在电场中有qE ma =往返一次用时为2v t a∆=；应有01()2t n T ∆=+，可得()20821v E n klπ=+，（n=0，1，2…）；运动的路程为()02112228n l tx v π+∆=⨯⨯=，（n=0，1，2，3…）2．如图纸面内的矩形 ABCD 区域存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，对边 AB ∥CD 、AD ∥BC ，电场方向平行纸面，磁场方向垂直纸面，磁感应强度大小为 B .一带电粒子从AB 上的 P 点平行于纸面射入该区域，入射方向与 AB 的夹角为 θ（θ<90°），粒子恰好做匀速直线运动并从 CD 射出．若撤去电场，粒子以同样的速度从P 点射入该区域，恰垂直 CD 射出.已知边长 AD=BC=d ，带电粒子的质量为 m ，带电量为 q ，不计粒子的重力.求：(1)带电粒子入射速度的大小；(2)带电粒子在矩形区域内作直线运动的时间； (3)匀强电场的电场强度大小．【答案】（1）cos qBd m θ（2）cos sin m qB θθ （3）2cos qB dm θ【解析】 【分析】画出粒子的轨迹图，由几何关系求解运动的半径，根据牛顿第二定律列方程求解带电粒子入射速度的大小；带电粒子在矩形区域内作直线运动的位移可求解时间；根据电场力与洛伦兹力平衡求解场强. 【详解】（1） 设撤去电场时，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R ，画出运动轨迹如图所示，轨迹圆心为O ．由几何关系可知：cos d Rθ=洛伦兹力做向心力：200v qv B m R= 解得0cos qBdv m θ=（2）设带电粒子在矩形区域内作直线运动的位移为x ，有sin d xθ= 粒子作匀速运动：x=v 0t 联立解得cos sin m t qB θθ=（3）带电粒子在矩形区域内作直线运动时，电场力与洛伦兹力平衡：Eq=qv 0B解得2qB dE mcos θ=【点睛】此题关键是能根据粒子的运动情况画出粒子运动的轨迹图，结合几何关系求解半径等物理量；知道粒子作直线运动的条件是洛伦兹力等于电场力.3．如图，圆心为O 、半径为r 的圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B 。

P 是圆外一点，OP =3r 。

一质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子从P 点在纸面内垂直于OP 射出。

己知粒子运动轨迹经过圆心O ，不计重力。

求 (1)粒子在磁场中做圆周运动的半径； (2)粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间。

【答案】(1)(2)【解析】【分析】本题考查在匀强磁场中的匀速圆周运动及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识解决问题的的能力。

【详解】（1）找圆心，画轨迹，求半径。

设粒子在磁场中运动半径为R，由几何关系得：①易得：②（2）设进入磁场时速度的大小为v，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有③进入圆形区域，带电粒子做匀速直线运动，则④联立②③④解得4．如图所示，水平放置的两块长直平行金属板a、b相距为d，a、b间加有电压， b板下方空间存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计重力)，从贴近a板的左端以v0的初速度水平射入匀强电场，刚好从狭缝P处穿过b板进入匀强磁场，最后粒子打到b板的Q处(图中未画出)被吸收．已知P到b板左端的距离为2d，求：（1）进入磁场时速度的大小和方向； （2）P 、Q 之间的距离；（3）粒子从进入板间到打到b 板Q 处的时间．【答案】（1）002,45v （2）02mv Bq（3）022d m v Bq π+ 【解析】 【分析】 【详解】（1）粒子在两板间做类平抛运动，则：v 0t=2d12y v t =d ， 所以，v 0=v y v p =22002yv v v +=，0tan y v v θ=＝1，θ＝45°（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O ，半径为r ，如图；2p p mv Bqv R=，得：p mv R Bq=左手定则，判断出粒子轨迹，022PQ mv x R Bq==（3）在电场中的时间102d t v = 磁场中的周期2mT qBπ=2142m t T qBπ== ，则12022d m tt t v qBπ=+=+ 【点睛】此题关键是搞清粒子的运动特点：在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，画出粒子的运动轨迹图即可解答.5．如图所示，某同学没计了一个屏蔽高能粒子辐射的装置，圆环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B 。

将辐射源放在圆心O 处，辐射源在纸面内向外辐射质量为m 电荷量为q 的粒子，粒子速度大小不同，已知环形区域内圆半径为R ，外圆半径为3R ，辐射源放出的粒子恰好均不能从磁场外边界射出，求：（1）辐射源射出粒子的最大速度值；（2）从O 点以最大速度射出的粒子第一次回到O 点的时间。

【答案】（1）3qBR；（2）463m π+（）【解析】 【详解】（1）设离子最大速度为m v ，圆周运动半径为r ，由几何关系：由几何关系得：3cos Rr R α=+tan rRα=解得： 6πα=，3r =由洛伦兹力提供向心力：2mm qBv m v r=解得：m v =（2）速度最大的离子在磁场中运动的时间为t 1，转过的圆心角为β，()2423βπππα=--=圆周运动周期为T ，则有：2mT qBπ=在磁场中运动时间为：12t T βπ=在无磁场去运动时间为t 2，则有：22mt R v =从O 点射出到回到O 点的时间：12t t t =+解得：(43q t m Bπ+=6．如图所示，在磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场中有一粒子源，粒子源从O 点在纸面内均匀的向各个方向同时发射速率为v 、比荷为k 的带正电的粒子， PQ 是在纸面内垂直磁场放置的厚度不计的挡板，挡板的P 端与O 点的连线与挡板垂直，距离为vkB，且粒子打在挡板上会被吸收．不计带电粒子的重力与粒子间的相互作用，磁场分布足够大，求:（1）为使最多的粒子打在挡板上，则挡板至少多长；（2）若挡板足够长，则打在挡板上的粒子在磁场中运动的最长时间差是多少； （3）若挡板足够长，则打在挡板上的粒子占所有粒子的比率。

【答案】（1）3v；（2）43kBπ；（3）512。

【解析】【分析】【详解】（1）粒子在磁场中受到洛伦兹力提供做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：2vqvB mr=解得：mv v rqB kB ==在挡板左侧能打在挡板上部最远点的粒子恰好与挡板相切，如图所示：由题意可知：vr OPkB==由几何知识可得：vPNkB=设粒子初速度方向与OP夹角为θ，随着θ从0开始逐渐增大，粒子打在挡板上的点从N 点逐渐下移；当粒子刚好通过P点时，粒子开始打在挡板的右侧，设此时打在挡板上的点为M，在△OPM中，由几何关系可得：()222PM r r=-所以3vPM=当夹角θ继续增大，则粒子打在挡板上的点从M点逐渐下移至P点，由以上分析知道,挡板长度至少等于3vkB时，挡板吸收的粒子数最多． （2）由以上分析知，当粒子恰好从左侧打在P 点时，时间最短，如图2轨迹1所示由几何知识得粒子转过的圆心角为：13πθ=当粒子从右侧恰好打在P 点时，时间最长，如轨迹2所示由几何知识得粒子转过的圆心角为：253πθ=粒子的运动周期：222r m T v qB kBπππ=== 最短时间：112t T θπ=最长时间：222t T θπ=最长的时间差：2142T t t kBπ∆=-=（3）粒子出射方向水平向右的粒子和沿轨迹2的粒子速度方向之间都能打在板上，粒子方向的夹角为：56πα=打到板上的粒子占所有粒子的比率为：5212αηπ==7．如图所示，在平面直角坐标系x 轴的上方（ 2.74 2.74a x a -≤≤，0y ≥）区域范围内存在着匀强磁场，磁感应强度为B 。

在空间（32x a =-，12y a =）处有一粒子源P ，能向平面内各个方向发射质量为m 、带电量为-q ，速度为0v 的带电粒子。

（已知0mv a qB=，答案涉及位置或长度的均用a 表示），求：(1)x 轴上能接收到粒子的区域长度L 1；(2)x 上能被不同角度射出的两个粒子打中的区域长度L 2；(3)若在x 轴的正半轴上铺设挡板，且粒子源P 打出的部分粒子恰好垂直打在挡板上并反弹，每次反弹后速度方向相反，大小为原来的0.6倍，则求这些粒子出磁场时的纵坐标y 及粒子在磁场中运动的时间。

【答案】(1)115322L a a =+ (2)215322L a =- (3)350y a= 52m t qB π= 【解析】 【详解】(1)根据题意，粒子在磁场中运动的半径2v Bqv m R=，0mv R aqB ==粒子打在MN 上的范围如图1所示最右侧：22PD R a ==()22115222ED a a a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭最左侧：F 与MN 相切，由几何关系知221322EF a a a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭ 解得 1153L =(2)如图1所示，有不同角度射出的两个粒子打中的长度为OD, 32OE EF a == 得2153L OD ==- (3)粒子垂直打在挡板上，由几何关系可知OG a =，150POG ∠=o 粒子打在G 点后反弹，00.60.6mv R a qB'==， 1.2GH a = 再反弹0.36R a '='，之后从磁场右边界出去，由几何关系可知2.74 1.20.361cos 0.362a a a a a θ---==，60θ=o93sin 60y R a ==''o 150POG ∠=o2mT qBπ=所有粒子周期相同 粒子走过的圆心角为150180120450o o o o α=++=所以45053602mt T qBπ==o o8．某研究小组设计了如图所示的双立柱形粒子加速器，整个装置处于真空中．已知两个立柱底面均为边长为d 的正方形，各棱均分别和某一坐标轴平行．立柱1下底面中心坐标为,,022d d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，立柱2下底面中心坐标为41,,022d d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，它们的上底面均位于10z d =的平面内．两个立柱上、下底面间的电压大小均为U ，立柱1内存在着沿z 轴正方向的匀强电场，立柱2内存在着沿z 轴负方向的匀强电场，两立柱外电场均被屏蔽．在10z d >和0z <的空间内存在着沿x 轴正方向的两个匀强磁场，其磁感应强度分别是1B 和2B （均未知）．现有大量的带正电的粒子从立柱1底面各处由静止出发，经过立柱1、2加速后能全部回到立柱1的下底面．若粒子在经过0z =和10z d =两个平面时，仅能自由进出两立柱的底面（经过其它位置均会被吸收）；该粒子质量为m 、电荷量为q ，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．求：（1）粒子经过立柱2下底面时的动能k E ； （2）磁感应强度1B 和2B 的大小；（3）若两立柱上、下底面间电压的大小可调且在粒子运动过程中保持同一定值；两个磁场仅方向可变且保持与z 轴垂直．求从立柱1下底面出发的粒子再次回到立柱1下底面的最短时间t ．【答案】（1）2qU ；（21210mU d q 15mUd q3）200442(525)221mqU π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 【详解】（1）粒子经过立柱2下底面时，共经过2次加速，根据动能定理：k 20qU E =-，2k E qU =．（2）要使大量的带正电的粒子从立柱1底面各处由静止出发，经过立柱1、2加速后能全部回到立柱1的下底面，需要立柱1最左面的到达立柱2最左面，立柱1最右面的到达立柱2最右面，第2次加速后亦然，即在磁场中圆周运动半径等于10d ．第一次加速后：2112qU mv =，()21110v qv B m r d r==，解得11210mUB d q=第一次加速后：22122qU mv =，()22210v qv B m r d r==，解得215mUB d q=（3）粒子在磁场中的圆周运动时间与粒子速度无关，等于半个周期，所以要减少时间需要减少电场中的运动时间，但是随着速度增加，圆周运动的半径变大，其最大半径为对角线，对应粒子从立柱1最左面的到达立柱2最右面，而且是对角线，如图：最大半径为22m 1442(21)22r d d d =+=， 由2111m v qv B m r =，2222mv qv B m r =，解得：11442qB dv =，22442qB dv =最短时间为：11212101022d m m dt v v v qB qB ππ=++++， 解得()200442525221mt qU π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦9．如图1所示，左边有一对平行金属板，两板相距为d ，电压为U ；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B 0，方向与金属板面平行并垂直于纸面朝里。