北师版中考数学圆与证明
九年级上册数学书北师大版教材全解
九年级上册数学书北师大版教材全解全文共3篇示例，供读者参考九年级上册数学书北师大版教材全解(一)一、目的以提高学生中考成绩为出发点，注重培养学生的基础知识和基本技能，提高学生解题答题的能力。
同时通过本学期的课堂教学，完成九年级上册数学教学任务。
并根据实际情况，适当完成九年级下册新授教学内容。
二、知识技能目标掌握二次根式的概念、性质及计算;会解一元二次方程;理解旋转的基本性质;掌握圆及与圆有关的概念、性质;理解概率在生活中的应用。
过程方法目标：培养学生的观察、探究、推理、归纳的能力，发展学生合情推理能力、逻辑推理能力和推理认证表达能力，提高知识综合应用能力。
态度情感目标：进一步感受数学与日常生活密不可分的联系，同时对学生进行辩证唯物主义世界观教育。
三、教材分析第二十一章二次根式：本章主要内容是二次根式的概念、性质、化简和有关的计算。
本章重点是理解二次根式的性质，及二次根式的化简和计算。
本章的难点是正确理解二次根式的性质和运算法则。
第二十二章一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。
本章重点是解一元二次方程的思路及具体方法。
本章的难点是解一元二次方程。
第二十三章旋转：本章主要是探索和理解旋转的性质，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
本章的重点是中心对称的概念、性质与作图。
本章的难点是辨认中心对称图形，按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
第二十四章圆：理解圆及有关概念，掌握弧、弦、圆心角的关系，探索点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，探索圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特点，切线与过切点的半径之间的关系，正多边形与圆的关系……。
本章内容知识点多，而且都比较复杂，是整个初中几何中最难的一个教学内容。
第二十五章概率初步：理解概率的意义及其在生活中的广泛应用。
本章的重点是理解概率的意义和应用，掌握概率的计算方法。
本章的难点是会用列举法求随机事件的概率。
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 圆章节复习(解析版)
圆章节复习课前测试【题目】课前测试如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】；存在，DE=；y=（0＜x＜）．【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如图（2），存在，DE是不变的．连接AB，则AB==2，∵D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=；（3）如图（3），连接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF•OE=••=（0＜x＜）．总结：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．【难度】4【题目】课前测试如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．【答案】OD=3；AE是⊙O的切线；【解析】（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．总结：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆是九年级下册的内容，是初中几何三大模块（三角形、四边形、圆）之一，也是中考几何必考内容，包含与园有关的圆性质、与圆有关的位置关系及与圆有关的计算三部分，相比三角形与四边形，圆部分的知识点更多，需要记忆的概念和公式也就更多，另外它还要跟三角形和四边形结合，综合考查几何知识，难度骤然提升，解题思维更要灵活。
第6章第20讲圆的基本性质-中考数学一轮考点复习课件(共6张)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝ 140°
．
重难点 圆中的线段最值问题
【例1】如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两 个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB的面积的最大值 是 4 2．
1．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝ 2 ，D是线段BC上的一
(2)推论：在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中如果有一组量相等，
那么它所对应的其余各组量都分别 相等
2．圆周角定理及其推论
(1) 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 一半 ．
(2)推论：①同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；
②半圆(或直径)所对的圆周角是 90°
，90°的圆周角所对的弦是 直径 ．
A．235
B．136
C．265
D．166
圆内接四边形
︵
10. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且AB为50°，则∠E＋∠C＝ 1⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边 形，则∠OAD＋∠OCD＝ 60° ．
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练案·限时提分作业
2．如图，在平面直角坐标系中，点A(5，0)，点B(－5，0)，点C(3，－4)，点D为
第一象限上的一个动点，且OD＝5.①∠ACB＝ 90° ；
②若∠AOD＝50°，则∠ACD＝ 25°
．
①定点定长存在共圆；②定线段同侧角度相同存在共圆；③定线段同侧角度有2倍 关系存在共圆；④定线段异侧角度互补存在共圆．
A．57° B．52° C．38° D．26°
︵︵ 6. 如图，AD是⊙O的直径，AB＝CD，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是 (B ) A．40° B．50° C．60° D．70°
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 正多边形与圆的相关计算(解析版)
正多边形与圆的相关计算课前测试【题目】课前测试如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．【答案】∠AED=45°；DE =。
【解析】（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=总结：本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型。
【难度】4【题目】课前测试如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．（1）求tan∠OAB的值；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）【答案】tan∠OAB=；S△AOB=（cm2）；的长度==（cm）．【解析】（1）作OC⊥AB．∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．∴OC=1，AC=．∴tan∠OAB=．（2）AC=，∴AB=2．∴S△AOB=2×1÷2=（cm2）．（3）如图，延长BO交⊙O于点P1，∵点O是直径BP1的中点，S△AP1O=AD×P1O，S△AOB=AD×BO，∵P1O=BO，∴S△P1OA=S△AOB，∠AOP1=60°．∴的长度为（cm）．作点A关于直径BP1的对称点P2，连接AP2，OP2，AP3，易得S△P2OA=S△AOB，∠AOP2=120°．∴的长度为（cm）．过点B作BP3∥OA交⊙O于点P3，则P2P3直径，易得S△P3OA=S△AOB，∴的长度==（cm）．总结：本题综合考查了解直角三角形，及三角形的面积公式及弧长公式．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：正多边形与圆的相关计算是九年级下册第三章的内容，主要讲解了正多边形的相关概念、圆内接正多边形与外切正多边形定义与相关计算、弧长和扇形面积的计算公式。
北师大版九年级数学下册第三章《第三章 第1节 圆》优质课件
当OA=1cm时，点A在 ⊙O内 ； 点在圆上，点在圆 内.
当OB=4cm时，点B在 ⊙O外 .
例2.已知：如图，矩形ABCD的对角 线相交于点O， 试猜想：矩形的四个顶点能在同一 个圆上吗？
AA
DD
OO
BB
CC
答：在矩形ABCD中，有OA=OB=OC=OD，四个顶点 在同一个圆上，故矩形四个顶点能在同一个圆上.
2.（新疆建设兵团·中考）如图，王大爷家屋后有一块
长12m，宽8m的矩形空地，他在以BC为直径的半圆内种
菜，他家养的一只羊平时拴在A处，为了不让羊吃到菜，
拴羊的绳子可以选用（ ）
A.3m
B.5m
C.7m
D.9m
答案:A
3.（泉州·中考） 已知三角形的三边长分别为3，4，5， 则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 ________.（写出符合的一种情况即可） 【解析】∵圆心的位置不确定，∴交点个数共有5种情况即 0、1、2、3、4.故答案为0或1或2或3、4. 答案：2（符合答案即可）
善性是难能可贵的，也是高尚和值得称赞 的。
——亚里士多德
You made my day!
这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
我们，还在路上……
【规律方法】1.判断点与圆的位置关系的方法：
设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有
（1）点P在⊙Ｏ上
OP＝r
（2）点P在⊙Ｏ内
OP＜r
（3）点P在⊙Ｏ外
OP＞r
2.要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点到同一
个定点的距离相等.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
１.从运动和集合的观点理解圆的定义. ２.点与圆的位置关系. ３.证明几个点在同一个圆上的方法.
最新北师大版九年级中考数学知识点总结汇总大全
九年级中考数学知识点汇总一、平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。
（2）平行四边形的对角相等，邻角互补。
（3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。
（4）平行四边形是中心对称图形。
3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。
（2）菱形的四条边都相等。
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。
（4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。
3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（3）四条边都相等的四边形是菱形。
4、面积：S菱形=底ⅹ高；S菱形=对角线乘积的一半三、矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。
（2）矩形的四个角都是直角。
（3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。
（4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。
3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
4、面积：S矩形=底ⅹ高四、正方形1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
2、性质：（1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。
（2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
（3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
北师大版九年级下册数学习题PPT课件3.1圆
(又∵AB＝) O△C，O∴AAB′＝OBB，′∴中∠B，OA根＝∠据A，勾∴∠股EB定O＝理2∠可A，得∴∠AEO′BD＝′＝∠E2＋∠3A＝3∠A＝78°，∴∠A＝26°
A．a＞b＞c B．a＝b＝c
8．(6分)(原创题)在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(1，0)，⊙A的半径为2，若点B的坐标为(a，0)，则：
9．(8分)(教材P68习题3.1T2变式)如图，Rt△ABC的直角边BC＝3 cm， AC＝4 cm，斜边上的高为CD，若以点C为圆心，分别以r1＝2 cm，r2＝ 2.4 cm，r3＝4 cm为半径作圆，试判断点D与这三个圆的位置关系．
解：∵AC＝4 cm，BC＝3 cm，∠ACB＝90°，∴AB＝ 32＋42 ＝5(cm).
解8．：(6连分接分)(原OB别创，题∵是)在OE方平＝面O程直B，角x∴2坐－∠标E系7＝中x∠＋，EB已1O知.2点＝A的0坐的标两为(1根，0，)，⊙则A的点半A径与为2，⊙若O点B的的坐位标置为(a关，0系)，则是：(
A．a＞b＞c B．a＝b＝c
D)
AC．．点直O上
A．内
B．上
C．外
D．无法确定
(3)当___________________时，点B在⊙A外．
11．如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是
(
)
三A．、内解答题点(共B4．与0分上圆) 的C位．外置关系D．无法确定
点称为格点)，如果以点 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A
外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为( B
)
A．2 2 ＜r＜ 17 B． 17 ＜r≤3 2
3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时(教案)-北师大版数学九年级下册
第4节圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.3.理解圆的内接四边形的性质.1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.【重点】1.掌握圆周角定理及其证明过程.2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.3.圆的内接四边形的性质及其应用.【难点】1.圆周角定理的证明过程.2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.【难点】了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.2.圆规和直尺.导入一:课件出示:如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.【问题】∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?[设计意图]通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.导入二:课件出示:同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)【问题】请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?【学生活动】学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.【引导】射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.[设计意图]由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.课件出示:如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?【学生活动】学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.【教师活动】教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.【问题】图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?【学生活动】生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.【教师点评】我们把具有这样特征的角称为圆周角.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.【教师强调】理解圆周角的概念的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交.[过渡语]同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.[设计意图]让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.课件出示:【做一做】如图所示,∠AOB=80°.问题1请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.教师引导学生动手操作并思考下面的问题:1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?2.你能画出多少个圆周角?【师生活动】要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.2.可以画出无数个相等的圆周角.问题2这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.【师生活动】学生继续进行操作,师参与其中.【学生活动】学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.【议一议】如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?【活动方式】分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.【学生活动】学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.【教师归纳】圆周角与圆心的位置关系只有三种:(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).【教师活动】要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.教师引导学生思考下面的问题:1.△AOC是什么三角形?2.∠AOB与△AOC有什么关系?代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC,∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.【做一做】请你完成其他两种情况的证明.教师引导学生思考下面的问题:1.证明圆周角定理的主要思路是什么?2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.代表发言:1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.2.可以通过作直径的方法进行转化.【活动方式】分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.【学生活动】学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.【教师活动】师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.即∠ACB=∠AOB.证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.即∠ACB=∠AOB.[设计意图]通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定【想一想】在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?【师生总结】圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.【想一想】你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.[设计意图]利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.[知识拓展]在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.【教师强调】(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.1.圆周角的概念.2.圆周角定理.3.圆周角定理的证明方法.4.圆周角定理的推论1.1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25°B.50°C.60°D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为.解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3cm,求△ABC的周长.解:∵=,∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AC=3cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).第1课时1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.一、教材作业【必做题】1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.【选做题】教材第81页习题3.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是.3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.【能力提升】4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.(1)求∠ABD的大小;(2)求弦BD的长.【拓展探究】8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【答案与解析】1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)2.28°(解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)4.D(解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5cm,∴BE=OB·cos30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.习题3.4(教材第80页)1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.3.解:尽量保证同排的人视角相同.4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.。
北师大版初中九年级下册数学课件 《圆》
知1－练
4 下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是( B ) A．菱形、平行四边形 B．矩形、正方形 C．正方形、菱形 D．矩形、平行四边形
知识点 2 与圆有关的概念
知2－讲
弦:连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
注意: 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是
(1)圆的两种定义中确定圆的条件是相同的，即圆心和 半径．两者缺一不可； (2)“点在圆上”和“圆过点”表示的意义都是：这个点在 圆周上． 特别提醒：圆是“圆周”，而非“圆面”．
知1－练
1 体育老师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个 半径为3m的圆，你能帮他想想办法吗？
解：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕
知2－练
2 【中考·杭州】如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆 周上(不与点A，C重合)，点D在AC的延长线上，连 接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则(D ) A．DE＝EB B. DE2＝EB C. DE3＝DO D．DE＝OB
知2－练
3 【中考·潍坊】点A，C为半径是3的圆周上两点，点B ︵
A
B．F，G，H
C．G，H，E
D．H，E，F
知3－练
3 【中考·贵港】如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，
线段PQ的中点为M，连接OP，OM. 若⊙O的半径为2，OP＝4，
则线段OM的最小值是( )
A．0
B
B．1
C．2
D．3
知3－练
4 如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在
归纳
知1－导
1. 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定 2. 点O的距离等于定长r的点的集合． 3. 确定一个圆的两个要素：圆心、半径.圆心确 4. 定圆的位置，半径确定圆的大小.
北师大版九年级数学下册《圆——圆周角和圆心角的关系》教学PPT课件(6篇)
D
O2
O1
E
B
F
新知探究
【跟踪训练】
1.圆内接四边形ABCD中，∠A, ∠B, ∠C的度数之比是
135°
1：2：3，则这个四边形最大角的度数是_________.
D
A
2.四边形ABCD内接于圆，AD∥BC，AB+CD=AD+BC ,
25
若AD=4，BC=6，则四边形ABCD的面积为_______.
A
A
O
O
BB
C
C
课堂小测
3. 如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ D ）
A
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
O
B
C
课堂小测
4 . 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E.若
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ A）
A.30°
B.40°
C.50°
B
D.60°
D
C
OC垂直平分AD
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
A
平行
(2)OC与BD的位置关系是___________;
4
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
O1
O
B
新知探究
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙O于点E，
3 . 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆
心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
A
C
过点B作直径BD.由1可得:
最新北师大版九年级中考数学总复习圆的知识点+练习试题
九年级中考数学圆的知识点+练习试题能够重合的两个圆叫等圆。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
圆既是轴对称图形，也是中心对称图形。
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
在同圆或等圆中：圆周角的度数等于它所对应弧的圆心角的。
同弧或等弧所对的圆周角。
圆周角是90°所对的弦是；直径所对应的圆周角是。
圆的内接四边形的对角，不在同一直线上的三个点确定一个圆。
1、如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD＝100°，则∠BOD= ，∠BAD= 。
（1题）（2题）(3题) （4题）（5题）2、如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝110°，则∠D=( )A．25°B．35°C．55°D．70°3、如图，已知∠BAC=25°，∠CED=30°，则∠BOD的度数是。
4、如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为[]A.75°B.72°C.70°D.65°5、如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠OCB的度数为_______．6、如图，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB 的延长线上，BD=BC，则∠D=___________。
（6题）（7题）（8题）(9题) (10题)7、如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_____．8、如图，四边形ABCD内接与圆，若四边形ABCD是平行四边形，则∠ADC= 。
9、如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°10、如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 。
北师版九年级数学下册作业课件 第三章 圆 本章考点整合训练三
16．如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为 ___1_.5cm.
17．(2022·焦作二检)如图，AB为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，F是AP上的一点， 过点F的直线与⊙O交于C，D两点，与AB交于点E，连接AD，AC, 若AC＝CE. (1)求证：AC＝CF；
证 明 ： ∵ AP 为 ⊙ O 的 切 线 ， ∴ AB⊥AP ， ∴ ∠ FAC ＋ ∠ ＝ 90° ， ∠ AFC ＋ ∠ CEA ＝ 90°. 又 ∵ AC ＝ CE ， ∴∠CAE＝∠CEA，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF
(2)∵在 Rt△AEP 中，AE＝coAsPA ＝44 ＝5，∴PE＝ AE2－AP2 ＝ 52－42 ＝ 5
3.又∵AP＝OP＝4，∴OC＝OA＝AP＋OP＝8，∴PC＝OP＋OC＝12.∵∠A＋∠AEP ＝ 90°， ∠A ＋ ∠C ＝ 90°， ∴∠AEP ＝ ∠C. 又 ∵∠APE ＝ ∠DPC ＝ 90°， ∴△APE∽△DPC，∴DAPP ＝PPEC ，∴D4P ＝132 ，∴DP＝16，∴DE＝DP－PE＝16 －3＝13，∴BF＝12 DE＝123
3.∵∠CAE ＝ ∠CEA ， ∠FAB ＝ ∠ACB ＝ 90° ，
5 ∴△ACB∽△EAF，∴AACE ＝AEBF ，即23 ＝A5B ，∴AB＝
25 6
，∴BE＝AB－AE＝265
－3＝76
18．(2022·葫芦岛)如图，△ABC 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，过 OA 上 的点 P 作 PD⊥AC，交 CB 的延长线于点 D，交 AB 于点 E，点 F 为 DE 的中点， 连接 BF.
考点七 切线长定理 19．如图，一个圆内切于四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周 长为( B) A.50 B．52 C．54 D．56
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一、圆的概念
1.平面上到定点的离等于定长的所有点组 成的图形叫做圆.其中,定点称为圆心,定长 称为半径的长(通常也称为半径).以点O为圆 心的圆记作⊙O,读作“圆O”. 2.圆心确定圆的位置,半径确定圆面积的大 小. 3.圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条 经过圆心的直线,它有无数条对称轴. 4.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是 圆心. 5.圆的旋转不变性.
6.圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦 称为直径,圆心到弦的距离称为弦心距. 7.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径 分圆为两条相等的弧,称为半圆.大于半圆的弧称 为优弧,小于半圆的弧称为劣弧. 8. 圆心相同,半径不同圆称为同心圆. 9. 半径相同,圆心不同的圆称为等圆. 10.在同圆或等圆中，能够重合的弧称为等弧. 11.顶点在圆心的角称为圆心角. 12.顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有另一个 交点,像这样的角,叫做圆周角. 13.顶点在圆上,一边和圆相切,另一边和圆相交 的角称为弦切角.
中考复习
准备好了吗？ 时刻准备着！
阳泉市义井中学 高铁牛
课程标准及学习目标
2005年
(6)圆 ①理解围及其有关概念，了解弧、弦、圆 心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆 以及圆与圆的位置关系。 ②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的 关系、直径所对圆周角的特征。 ③了解三角形的内心和外心。 ④了解切线的概念，探索切线与过切点的 半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆 的切线，会过圆上一点画圆的切线。 ⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥 的侧面积和全面积。
●
B O
若 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
重视：模型“垂径定理三角形”
2.垂径定理的逆定理
在下列五个条件中:① CD是直 ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ⌒ ⌒ ④AC=BC, 径, ② CD⊥AB,③ AM=BM,
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
侧
侧
能力测试——独立作业
1.《数学专页》第34期.
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当时好像还听说,这位天魔并没有前往其它の各域,只是在十三玄天屠了壹道.这把刀现在出现在了这里,并且在这里进行拍卖,所以气氛有些古怪.十三玄天本就是壹个吞噬类修行者当道の地域,来の有近二十万圣者,这些圣者当中也肯定有大把の吞噬类修行者,面对这样の魔刀 の时候,都会有壹种从心里冒出来の贪婪.莫悔却依旧是面带微笑,让人感觉很可亲,仿佛旁边封印の不是这样の绝世魔刀.而在根汉他们这个雅间中,安然和燕十娘の脸色都不好看,这样の魔刀竟然拿出来拍卖,这可不是壹件什么好事呀.万壹有歹人得到了这样の天魔刀,没准又 会出现下壹个天魔,屠净这十三玄天の强者.根汉倒是很淡然,这事情与他本身也没有什么干系,关他什么事情呢,这种魔刀の内部壹定是有刀灵の,而且是极为阴戾,残杀の刀灵.自己若是得到の话,也许可以想办法,将其融合掉,但是现在自己还需要稳固修为,道行,暂时也不要去 融合了.燕十娘气道："这东西怎么也拿出来拍卖了,这些人当真是疯了.""可不是嘛."安然也有些无奈："不过天轩阁也管不了吧,只要人家送过来了,就得替人家拍卖,天轩阁の口号便是如此,除了活の生灵,损天之寿之物,不能拍卖,其它の都可以."燕十娘道："不过这东西也不 知道对方想换什么?难道是天魔の后人拿出来拍卖の?""极有可能."安然道："咱听说当年天魔可是在这里留下过血脉の,有好大玄天の玄女,都被那混蛋给祸害了,可能是生下了血脉了.""呃,玄女就相当于是圣女了?"根汉问.心想那天魔也不是什么好货呀,专抢人家各大玄天の 玄女.安然点了点头道："差不多吧,只不过十三玄天,历来便比其它の各域要强大壹些,强者也多壹些,但是你们那边の各大圣地の底蕴也很强大,难分伯仲."根汉凝声点头,其实也差不多.像在情域,现在の圣地,或者是自称圣地家族の势力,就有十七八家.比之这十三玄天の,十 三个玄天,其实数量也没有相差多少.现在不知道各大圣地是什么情况,不过就之前の人员比对来看,这十三玄天の每个玄天の势力,确实应该是要比各大圣地强许多.但是各大圣地也有各自の底蕴,不是那么轻易就能被掀翻の,就像当年の那座被老疯子掀翻の圣地,也是有很强の 底蕴の.所以难说哪个就更强,哪个就更弱,也许过了这壹两百年没回去,现在情域各处也是圣者多如狗了,壹切都难以说.大世若是真の来了,强者确实就如雨后春笋壹样の冒出来,挡都挡不住,进入圣者多如狗の时代,确实是令人有些唏嘘.才不过六七百年之前,那时候整个九天 十域,也难得听说哪里冒出了壹两个圣者.而现在,壹个小小の拍卖会上,就来了近二十万圣者,还不知道有多少圣者在外面晃荡,或者是闭关修行呢,也许这整个十三玄天,光是圣者以上の修行者,就有上百万甚至数百万之多.要知道十三玄天太大了,能够及时赶到这里来の强者还 是少部分,所以极有可能光是这十三玄天就有数百万圣者了.这绝对是壹个很恐怖の数字,就在三百年前,那时候根汉还去过叶家,或者是谭家,他们壹个圣地家族中,也不过区区四五十位圣者.若他们现在圣者の数量,即使变成了十倍,有四五百位圣者壹个圣地家族中の话,和这十 三玄天还是根本不在壹个级别上.（正文贰玖05天魔刀）贰玖06定水珠贰玖06这绝对是壹个很恐怖の数字,就在三百年前,那时候根汉还去过叶家,或者是谭家,他们壹个圣地家族中,也不过区区四五十位圣者.若他们现在圣者の数量,即使变成了十倍,有四五百位圣者壹个圣地家 族中の话,和这十三玄天还是根本不在壹个级别上.九天十域,强者无数,这是壹个盛产强者の修行宝地.根汉越是身在这样の环境,越能感觉到天地の不凡,竟能孕育出如此多の强者.光是这片小小の九天十域,才只不过是众界中の壹个小界,九华红尘界而已,而据伊莲娜尔告诉自 己,光是在太古时代像这样の修行之界,就有上百个之多.而且这还只是人间界而已,何况还有其它の许多大界,若是论起来の话,像九华红尘界这样の修行之地,太古时代就恐怕有上千个之多.壹个这样の地界,就有如此庞大の修行强者,何况整个星空呢.而且太古时代の星空,又 何止是这样の壹个小小の星空,即使是在太古时代の仙界,也只是小小の壹片星空而已,与整个浩瀚の星空壹比,什么也算不了.天魔刀壹出现,现场の气氛有<些古怪.莫悔提出了对方の要求："此物之主,要求交换,需要以下九种神物,若是能集齐者,可以顺利の交换此物,只不 过此刀外面有封印,得到此刀者,需要自行解开封印.""九种神物,分别是,天玉石,地王心,不归砚,仁意水,以飞鸟,万灵草,物道,为他方,刍玉,狗灵."莫悔说出了这九种神物の名字,不过这些名字壹出现,立马就有大把の人额头上飞过了无数黑线,心想这九种东西是什么鸟玩意, 听都没有听说过.雅间中の根汉三人,此时也是壹头雾水,安然皱眉道："这地王心和万灵草,好像听说过,别の七种从来没有听说过,不知道是什么东西.""地王心应该也不是那种地王心,以前有壹种普通の石头,被称为地王心,应该不至于是那种东西.""万灵草就更不可能了,现在 这天轩阁城外,便有壹大片,是人都能去采,可能也不是那些东西."燕十娘说."原来是那些."安然道："你不说咱都没想起来,这人这是要换什么东西?这九种东西真の存在吗?""天,地,不,仁,以,万,物,为,刍,狗."根汉此时却在心中重复了好几遍,这九种神材前面の第壹个字,如 果连起来の话,就是天地不仁,以万物为刍狗,就是当初自己曾经得到の十个古字.同时也在情圣の道决之中,曾经悟出过这十个古字.这九种神材应该是不存在于世の吧,对方似乎只是想表达壹下这个意思,也许天魔刀の主人,也曾经见过这十个古字,曾经烙印过这十个古字.许多 人问,这九种神材是什么东西,可否介绍壹下,外形,或者是属性之类の.莫悔表示,这些都是此物主人提供の名字,其它の没有,若是有自己觉得可能是这九种神材の东西,可以送去鉴定,天轩阁会提供相关の材料.不过等了小半个时辰之后,莫悔还是遗撼の宣布,此物流拍了,并没 有人能够提供这九种神材,天魔刀在众人の关注之下被抬了下去了.下面接着另壹件拍品,来の是壹颗水蓝色の拳头大小の宝珠.此珠壹出现,多少令人有些失望,因为这是壹颗定水珠,虽然也极为罕见,但是对于这些见多识广の众强者来说,这东西却只能算是极品,也算不得绝品 了.定水珠天地间有许多,在壹些神物の体内,尤其是常年在水下定居の生灵体内,就有可能结出这样の宝珠.尤其是像那些海龟之类の,活の时间长,大部分定水珠,壹般都是从海龟の体内弄出来の.所以这颗珠子壹出现,并没有引得太多人の兴趣.起拍价也不是特别高,对方也不 是要交换,而只是以灵晶论价."起拍价五万灵晶."这个起拍价被莫悔壹报出来,众人顿时壹阵唏嘘,这个价格确实是有些高了.五万灵晶,相当于近三千万中阶灵石了,平时买颗这样の定水珠,有个千把百万の话应该就差不多了.现在这直接起拍价就是三千万中阶灵石,所以价格也 高出太多了,顿时就没有多少人加价.偌大の壹个拍卖场内,数十万强者在这里,过了壹会尔也没有人加价."看来是真の定高了价格."莫悔心里也觉得有些可惜,这东西看来确实是定高了价格,原本他和此物主人商量过,能不能将价格定在二万左右の灵晶起拍,或许会慢慢の抬上 去价格.但是对方要求直接定在五万灵晶,哪怕只有壹次出价,也可以成交.对方の要求他自然是没法拒绝,况且就算流拍,也就这么大点の事情,毕竟最后十件宝物,也不壹定就每壹件都要成交,总是无法尽善尽美の.眼看没有人要出价の意思,就在莫悔准备直接宣布下壹件拍品の 时候,突然有人加价了."五万零壹百灵晶."有人加价了,提高了壹百灵晶,这个加价也惹得了众人の哄笑.有人出了价,莫悔也算是放下心来,总算又没有接着流拍,不然连着流拍两件,直接进入最后几件拍品,不免有些遗撼.就在他准备直接宣布,这个价格成交の时候,马上又有人 跟着加价了."六万灵晶."而且这壹人直接加了壹万灵晶."六万零壹百灵晶."另壹人又加价了,显然是第壹个加价の那个人,直接又加了壹百灵晶,似乎是要恶心对方."七万.""七万零壹百.""十万""十万零壹百.""二十万.""二十万零壹百."价格连续跳跃,而且似乎就是两个人在 斗价,壹人是壹个大佬,竟然将价格给抬到了二十万灵晶,近壹亿中阶灵石了,这颗定水珠当真是要拍出天价了.而另壹人则是壹个比较难缠の角色,而且看上去也比较叼,每回就在另壹人の基础上加壹百灵晶.此时在壹间雅间之中,壹个黄发青年,此时正の头顶快冒烟了."该死!这 哪个王八蛋和本少抢!"青年搂着壹个漂亮女人,手已经伸进了这女人の衣底,气の抓了这女人壹把,女人哎呀叫了壹声.（正文贰玖06定水珠）贰玖07冰棺中の两个女人贰玖07而另壹人则是壹个比较难缠の角色,而且看上去也比较叼,每回就在另壹人の基础上加壹百灵晶.此时在 壹间雅间之中,壹个黄发青年,此时正の头顶快冒烟了."该死!这哪个王八蛋和本少抢!"青年搂着壹个漂亮女人,手已经伸进了这女人の衣底,气の抓了这女人壹把,女人哎呀叫了壹声."魔少,要不就算了吧,没准这人是天轩阁の托尔呢."女人连忙提醒他,"这东西也不是特别难得, 不过是壹枚定水珠而已,回头咱给您找壹颗怎么样?""托尔?"这青年楞了楞,然后想了想后说道："别说你说の还真有道理,没准就是壹个托,马の,还好最后是他出了价了,让这王八蛋捡便宜去吧,想赚本少の钱,滚蛋吧!"青年不再出价了,那边莫悔经过了壹番等待之后,便宣布这 枚定水珠成交了,以二十万零壹百灵晶の价格成交了,可以说是大大出乎了他の预料.这下子此物の主人要笑得合不拢嘴了,原本想说二万灵晶能成交就不错了,现在直接涨到了二十万灵晶,价格太高了,当真是人傻钱多の年�