感悟_不等_赏析课例_不等关系与不等式_

若这个人的 月 通 话 时 间 为 ｘ 分 钟 ， 怎样用不 等式表示一个月的手机话费不超过 １ ５ ０ 元？ 练习二 由于 地 震 ， 灾区学生小李家中经济 发生困难 ， 为帮助小李解决开学费用问题 ， 小李所 在班级学 生 决 定 承 担 这 笔 费 用 ． 若每人承担１ ２ 元， 则多余 ８ 若每人承担 １ 则不够 ， 若每 ４元， ０元， 人承担 １ 又多出 ４ 请设适当的变量 １元， ０ 元以上 ． 表示实例中的关系 ．
２ ０ １ ２年 第５ １ 卷 第 １ 期 数学通报
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“不等” 感悟
— — — 赏析课例“ 不等关系与不等式”
俞 昕
（ ） 浙江省湖州市第二中学 ３ １ ３ ０ ０ ０
在本市直属高中数学青年教师优质课评比中 ， 一堂获得一等奖的《 不等关系与不等式》 获得同行的 一致好评， 让我们用一副对联来开始对这堂课的研 上联是： 赏 实 例， 赏 古 赏 今 万 物 均 含 不 等； 下联 究， 是： 求知识， 求 表 求 里 凡 是 究 其 所 以； 横 批 是： 感悟 不等． １ 课例重现 师： 同学们， 你们知道今天是几号吗？ 生： ５月１ １日． 师： 那么你们知道两个月前的今天， 也就是 ３ 月 １ １日发生了一件什么大事？ 生： 日本地震了． 师： 今天这节课我们就来聊一聊日本地震的那 些事儿． 首先回放一下日本地震时可怕的瞬间 （ 播放 视频） 一夜之间， 关于日本地震的新闻向我们铺天 ． 盖地袭来， 我们看一下当时的一些新闻． （ ） 幻灯片： 日本政府向核电站周围 ３ 公里之内 １ 要求核电站周围 ３ 公里至 １ 的居民发出疏散劝告， ０ （ ） 公里的居民不要外出． 东京的经济学家们估计， ２ 东京电力公司处理完核泄漏事故， 至少需要 １ ０ 万亿 （ ） 日元． 按照日本政府的估算， 地震的直接损失最 ３ （ ） 日本政府拟发行 １ 高就可达２ ５万亿日元． ４ ０ 万亿 日元以上“ 复兴再生债” ． 你觉得从这些报道的数字中可以抽象出什么数 学关系？ 生： 是不等式． 师： 哪里看出来的？ 生： 都是范围． 师： 好， 都是跟数字有关的范围， 它们代表了一 种不等关系． 我觉得在这些新闻中出现了一些字眼 ， 特别好， 比方说第一条 的 “ 三公里之内 ” 第二 条 的
ａ ＝ｂ ， ａ－ｂ ＞０ａ ＞ｂ ， ａ－ｂ ＜０ａ ＜ห้องสมุดไป่ตู้ ． 这就是两个实 数 比 较 大 小 的 依 据 ， 不要看它
很简单 ， 它是我们以后判别不等式的基础 ， 要好好 另外我们还用了类比的思想 ， 请同学们在以 掌握 ． 后的学习中要 好 好 体 会 ． 我们再回过头来看看刚 才的题目 ． 幻灯片 ： 验证事实 已知 ａ ＞ｂ ＞ ０， ｍ ＞０ ，
月租费 中国电信卡 ３ ０元 每分钟通话费 ０ ． ４ ０元
ｂ＋ ｍ ｂ） 这个实验说明了这个不等式 是 成 立 ＞ ａ ＋ｍ ａ
的． 你能 从 用 数 学 的 方 法 说 明 这 个 公 式 是 成 立 的吗？ 师： 要证明它是成立的 ， 就需要知道两个实数 比较大小的依据 ． 幻灯片： 两个实数比较大小的依据： ａ－ ｂ＝０
ｂ＋ ｍ ｂ 求证 ： ． ＞ ａ ａ ＋ｍ （ ） 师生合作运用 “ 作差法 ” 证明上述不等式 ．
师： 我们把这样的比较大小的方法称为 “ 作差 法” 我们再来 分 析 一 下 整 个 解 答 的 过 程 ， 可以分 ． 第一步 是 作 差 ； 第 二 步 是 变 形， 包括通分 为几步 ． 和因式分解 ； 第 三 步 是 判 断 符 号； 最 后 是 下 结 论． 这就是完整的作差比较法的四步 ． 至此 ， 我们就有 能 力 走 入 第 三 篇 章 " " 重 建 家园 ． 日本在重建家园的过程中遇到了一个问题 ， 我想这个问题同学们都能解决 ． 幻灯片 ： 建筑设计规定 ： 民用住宅的窗户面积 必须小于地板面积 ， 但按照采光标准 ， 窗户面积 ｂ 与地板面积ａ 的 比 值 应 该 不 小 于 ０ 且这个比 ． １， 值越大 ， 住宅的 采 光 条 件 越 好 ． 试 问： 同时增加相 等的窗户面积和地板面 积 ｍ ， 住宅的采光条件是 变好了 ， 还是变坏了？ 师： 我 们 先 来 分 析 一 下， 请同学找出不等 关系 ．
图１
用不等式这一工具就可以更深入地表示地震带 来不等关系． 让我们走进第一篇章（ 幻灯片： 日本 ９ ． ０ 级地震引发的系列灾害 ） 灾害之一是核辐射， 我们 ．
２ ８ 来看一下专家给出的图片． 师： 我们取其中的一些来看一下． 师生分析过程略．
数学通报 ２ ０ １ ２年 第５ １卷 第１期 师生分析过程略 ． 幻灯片 ： 用不 等 式 表 示 实 际 的 不 等 关 系 有 哪 些步骤？ 师： 请大家讨论一下 ． 中间过程略 ． （ 师： 下面我们 要 用 盐 做 一 个 实 验 ． 拿出食用 ， 碘盐做实验 ） ａ 克盐水中有ｂ 克盐 （ ａ ＞ｂ ＞ ０ ） 若再加入 ｍ 克盐 ， 则盐水更咸了 ， 这说明了什么？ （ 写下 公 式 ： 已 知 ａ ＞ ｂ ＞ ０， 则有 ｍ ＞ ０，
２ ０ １ ２年 第５ １ 卷 第 １ 期 数学通报 师生分析过程略 ． 师： 对， 刚才已经证明了这个不等关系 ． 师： 一个小小的不等式 ｂ＋ ｍ ＞ ｂ 让我们看 ａ ＋ｍ ａ 足以说明它的魅力 ． 到了两个实际背景 ， 师： 大家有看 过 芭 蕾 舞 表 演 吗？ 它 带 给 你 最 深的影响是什么啊？ 幻灯片 ： 一个 人 的 身 材 比 例 在 黄 金 分 割 的 时 候是最美的 ， 一 般 人 下 半 身 长 ｂ 与 全 身 长ａ 比 值 假设演员脚尖立起提高了 在０ ． ７ ５－０ ． ６ 之 间． 比例变为 了 什 么？ 这 中 间 又 蕴 含 了 怎 样 的 不 ｍ， 等关系？ 师生分析过程略 ． 师： 因 为 这 样 的 不 等 式 ｂ＋ ｍ ＞ ｂ 是 成 立 ａ ａ ＋ｍ 的， 所以踮起脚尖后就给人一种美的感觉 ． 师： 最 后 请 同 学 来 发 言， 这堂课你学到了 什么？ 学生回答略 ． （ ； 师： 总结 ） 一． 不等关系与不等式 （ 组） 二． 两 个实数比较大小的依据 ； 三． 数学方法 、 数学思想 ． 师： 我们通过四句话来记住本节课的内容 “ 不 等关系万 万 千 ， 不 等 式 组 来 表 示， 作差比较是基 础， 类比思想很重要 ” ． 布置作业略 ． ２ 赏评课例 双管齐下 ” "" 贯穿课堂明暗两线 ２ ． １ “ 本节课的教学设计以 “ 日本地震 ” 贯穿整个课 堂教学 ， 将不等 关 系 与 一 个 典 型 重 要 的 不 等 式 融 入三 个 篇 章 之 中 ， 正所谓“ 明暗 两线巧 穿插， 珠联 璧亦合 ” 明线是不等关系和不等式 ， 暗线是 “ 日本 ． 地震 ” 所贯穿的积极的学习情感 ， 积极的情趣可以 、 “ 爆发出惊人的力 量 ． 教师设置了“ 核 辐 射” 饮用 、 “ ” 、 “ 水” 制止谣 ‘ 盐’ 重建家园 ” 等问题情境 ， 学生 在其中逐步掌握怎样用数学中的不等式来表示生 并且学生注意力高度集中 ， 思维 活中的不等关系 ， 活跃 、 敏 捷， 记 忆 力 增 强， 观 察 力 敏 锐， 想象力 丰富 ． 洞若观火 ” "" 关注学生应用潜能 ２ ． ２ “ ， 新课标中特 别 提 出 了 “ 数 学 建 模” 但纵观目
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前的高中数学 教 学 ， 数学建模的真正落实还是令 人担忧的 ， 本节 课 为 我 们 的 数 学 应 用 教 学 树 立 了 一个很好的范 例 ． 将每一个不等式问题都融入我 尤其是对于不等式 ｂ＋ ｍ ＞ ｂ 们的现实生活中 ， ａ ＋ｍ ａ 的讲解 ， 深入分 析 、 丝 丝 入 扣， 通过三个典型的实 、 “ 例“ 盐水问题 ” 采光度问题” 和“ 高跟鞋问题” 向 学生展示这个 重 要 不 等 式 的 应 用 和 证 明 ， 让学生 认识到数学 知 识 的 生 活 化 ， 数学“ 源 于 现 实， 寓于 现实 ” ． 金针度人 ” "" 度于学生思想方法 ２ ． ３ “ 本节课是以实 践 应 用 为 主 ， 但数学的学习是 离不开推理证明的 ． 从数学的创造过程来看 ， 它与 任何科学知识的创造过程一样 ， 需要通过观察 、 类 比、 归纳形成猜 想 ． 教 师 用 食 用 碘 盐 做 实 验， 通过 合情推理得到不等式 ｂ＋ ｍ ＞ ｂ ， 然后引导学生 ａ ＋ｍ ａ 作差法 ” 严密证明这个不等 再运用演绎推理使用 “ 式． 其次在得到 “ 两个实数比较大小的依据” 时采 用 了“ 类比 ” 的思想由 “ 类比得 ａ－ ｂ＝０ ａ＝ｂ ” 到“ 和“ ａ－ ｂ＞０ ａ ＞ｂ ” ａ－ ｂ＜０ ａ ＜ｂ ” ． 笔者认为 ， 教师还可以引导学生自己举出一 些事例 ， 建立不 等 关 系 模 型 ， 并 加 以 证 明． 这样可 以更充分地发挥学生的主动性 ． 如坐春风 ” "" 沐浴感受数学文化 ２ ． ４ “ “ 日本地震 ” 是目前大家所关注的生态环境与 资源问题 ． 如今 人 类 对 生 态 环 境 采 用 的 多 是 一 种 即使要保护环境 ， 也是从保护人类 功利主义态度 ， 自身的角度出 发 ． 本节课的执教教师在数学的人 文层面上做的比较深入 ， 让学生通过本课的学习 ， 意识到科学是双刃剑 ， 它在给人类生产 、 人类文明 带来发展进步的同时 ， 也带来了灾难甚至毁灭 ． 利 益与祸害 ， 其 实 不 在 乎 科 学 本 身， 而在于人的运 用． 科学技术可以是一种改造世界的物质力量 ， 成 为造福人类的工具 ， 也可以成为危害人类的手段 ， 导致科学的异化 ． 基于以上观点 ， 笔者认为本节课 的设计可以更加充分的体现 “ 人与自然 ” 这一人文 精神 ， 这是值得斟酌之处 ．
“ ， ， 至少” 第三条的“ 最高” 第四条的“ 以上” 这些词就 ． 说明了里面包含的不等关系． 在我们的身边也有大 量的不等关系． （ 幻灯片： 大小、 高矮、 远近、 高低、 轻重． 结合图 片） 同学们能举个例子， 说明身边的不等关系吗？ 学生回答略． 师： 不等关系在我们身边非常多， 比如“ 雷声大， 、 “ 雨点小” 道高一尺， 魔高一丈” 都包含了不等关系， 今天我们就要从数学的角度来讲讲不等关系 ． 今天 （ 的课题是 “ 不等关系与不等式 ” 幻灯片和黑板都显 示课题） ．