湖南省2016届高三下学期普通高等学校招生全国统一考试考前演练(四)数学(文)试题 扫描版含答案
2016湖南数学高考文科试卷及解答
2016湖南数学高考文科试卷及解答(总11页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-选择题：本大题共12小题，每小题5分（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则AB =（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7}（2）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b= （A（B（C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)（7）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为n=n +1结束输出x,y x 2+y 2≥36？x =x+n-12，y=ny 输入x,y,n开始（A ）（B ）（C ） （D ）（10）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A,11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22（C ）33 （D ）13 （11）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足 （A ）2y x = B ）3y x = （C ）4y x = D ）5y x =（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13) ~ (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22) ~ (24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =___________ （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=___________. （15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为_________（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
2016年湖南省高考考前演练文科数学试卷(4)含答案解析
2016年湖南省普通高等学校全国统一考前演练数学试卷（文科）（4）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i为虚部单位，若（1﹣i）z=2i，则z的虚部为（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i2．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣1）（x+3）≥0}，集合B={x|（）x＜9}，则（∁U A）∪B=（）A．（﹣2，1）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（1，+∞）3．在四边形ABCD中，=（2，3），=（6，﹣4），则该四边形的面积为（）A．2B．13 C． D．264．执行如图所示的程序，则输出的结果为（）A．B．C．D．根据上表可得回归直线=2x﹣a．则预测身高为180cm的学生的体重为（）A．73kg B．75kg C．77kg D．79kg6．已知向量=（a n，1），=（a n+1，2），且a1=1．若数列{a n}的前n项的和为S n，且∥，则S n=（）A．2n﹣1 B．1﹣2n C．2﹣（）n﹣1D．（）n﹣27．已知实数x、y满足，目标函数z=x+y，则z的最大值为（）A．3 B．2 C．D．8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的表面积为（）A． B．C．D．9．能够把圆x2+y2=R2的周长和面积同时平分为相等的两部分的函数称为该圆的“和谐函数”，下列函数不是圆x2+y2=4的“和谐函数”的是（）A．f（x）=2x+B．f（x）=tan C．f（x）=x3+x D．f（x）=ln10．已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）是幂函数，对任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＜0，若a、b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒小于0 B．恒大于0 C．等于0 D．无法判断11．将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则下面对函数y=g（x﹣）+g（x）的叙述正确的是（）A．函数的最大值为2，最小值为﹣2B．x=是函数的一条对称轴C．函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈ZD．将y=g（x﹣）+g（x）图象向左平移个单位得到函数y=sin2x的图象12．已知直线l与双曲线﹣=1交于A、B两点，现取AB的中点M在第一象限，并且在抛物线y2=4x上，M到抛物线焦点的距离为2，则直线l的斜率为（）A．1 B．2 C．D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．已知x∈[0，π]，使sinx≥的概率为_______．14．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为_______．15．已知数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12．则a10=_______．16．设过曲线f（x）=e x+x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=2cosx﹣ax上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为_______．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin2+cos2B=1．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2，求y=a+c的取值范围．18．某媒体对“推迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下面是在某两单位得到的数（2）用分层抽样的方法从赞同“推迟退休”的人员中随机抽取6人作进一步调查分析，将这附：K2=．19．如图：四边形ABCD为等腰梯形，且AD∥BC，E为BC中点，AB=AD=BE．现沿DE 将△CDE折起成四棱锥C′﹣ABED，点O为ED的中点．（1）在棱AC′上是否存在一点M，使得OM⊥平面C′BE？并证明你的结论；（2）若AB=2，求四棱锥C′﹣ABED的体积的最大值．20．已知圆C过定点A（0，p），圆心C在抛物线x2=2py（p＞0）上，圆C与x轴交于M、N两点，当C在抛物线顶点时，圆C与抛物线的准线交于G、H，弦GH的长为2．（1）求抛物线的解析式；（2）当圆心C在抛物线上运动时．①|MN|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．②记|AM|=m，|AN|=n．求+的最大值，并求出此时圆C的方程．21．设函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切；①求实数a，b的值；②求函数f（x）在[，e]上的最大值；③当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1：（α为参数），曲线C2：（θ为参数）．（1）化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C2上的点P对应的参数为θ=，Q为C1上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosβ﹣sinβ）=6距离的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）使f（x）≥m恒成立的实数m的最大值为t，若a、b均为正实数，且满足a+b=2t．求a2+b2的最小值．2016年湖南省普通高等学校全国统一考前演练数学试卷（文科）（4）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i为虚部单位，若（1﹣i）z=2i，则z的虚部为（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1﹣i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得=．则z的虚部为：1．故选：C．2．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣1）（x+3）≥0}，集合B={x|（）x＜9}，则（∁U A）∪B=（）A．（﹣2，1）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|（x﹣1）（x+3）≥0}={x|x≥1或x≤﹣3}，则∁U A={x|﹣3＜x＜1}，B={x|（）x＜9}={x|x＞﹣2}则（∁U A）∪B={x|x＞﹣3}，故选：B3．在四边形ABCD中，=（2，3），=（6，﹣4），则该四边形的面积为（）A．2B．13 C． D．26【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量数量积的坐标表示和向量垂直的条件：数量积为0，求得向量的模，由四边形的面积公式||•||，计算即可得到所求．【解答】解：由=（2，3），=（6，﹣4），可得•=2×6+3×（﹣4）=0，即AC⊥BD，又||==，||==2，则该四边形的面积为||•||=××2=13．故选：B．4．执行如图所示的程序，则输出的结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出S=1++++…+的值，利用裂项法即可计算得解．【解答】解：由程序框图知，本程序的功能是计算S=1++++…+的值．由于：S=1+（1﹣）+（）+（）+…+（）=1+1﹣==．故选：D．根据上表可得回归直线=2x﹣a．则预测身高为180cm的学生的体重为（）A．73kg B．75kg C．77kg D．79kg【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为180cm的高三男生的体重【解答】解：∵=170，=57，=2x﹣a，∴57=2×170﹣a，∴a=283，当x=180时，y=2×180﹣283=77，故选C．6．已知向量=（a n，1），=（a n+1，2），且a1=1．若数列{a n}的前n项的和为S n，且∥，则S n=（）A．2n﹣1 B．1﹣2n C．2﹣（）n﹣1D．（）n﹣2【考点】等比数列的前n项和；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由∥，可得2a n=a n+1，再利用等比数列的通项公式及其求和公式即可得出．【解答】解：由∥，则2a n=a n+1，∴{a n}是以1为首项的等比数列，公比q=2，∴S n==2n﹣1．故选：A．7．已知实数x、y满足，目标函数z=x+y，则z的最大值为（）A．3 B．2 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+y，得y=﹣2x+2z，平移直线y=﹣2x+2z，由图象知当直线y=﹣2x+2z经过点A时，直线y=﹣2x+2z的截距最大，此时z最大，由得，即A（2，2），此时z=2+1=3，故选：A．8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的表面积为（）A． B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知，该几何体是圆锥的一部分，底面为扇形，圆心角为120°，半径为2，锥体的高为4．其表面积为： ++=．故选D．9．能够把圆x2+y2=R2的周长和面积同时平分为相等的两部分的函数称为该圆的“和谐函数”，下列函数不是圆x2+y2=4的“和谐函数”的是（）A．f（x）=2x+B．f（x）=tan C．f（x）=x3+x D．f（x）=ln【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定B、C、D三个函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，且图象过原点，而A不能，即可得出结论．【解答】解：因为B、C、D三个函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，且图象过原点，而圆2+y2=4是中心对称图形并关于原点对称，所以B、C、D三个函数的图象均能平分该圆的面积与周长，而A不能，故选A．10．已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）是幂函数，对任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＜0，若a、b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒小于0 B．恒大于0 C．等于0 D．无法判断【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性求解即可．【解答】解：由已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）是幂函数，可得m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1，当m=2时，f（x）=x3；当m=﹣1时，f（x）=x﹣3．对任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＜0，函数是单调减函数，∴m=﹣1，f（x）=x﹣3．a+b＞0，ab＜0，可知a，b异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则f（a）+f（b）恒小于0．故选：A．11．将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则下面对函数y=g（x﹣）+g（x）的叙述正确的是（）A．函数的最大值为2，最小值为﹣2B．x=是函数的一条对称轴C．函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈ZD．将y=g（x﹣）+g（x）图象向左平移个单位得到函数y=sin2x的图象【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最值、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（2x+）的图象，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）的图象，所给的函数y=g （x ﹣）+g （x ）=sin [2（x ﹣）﹣]+sin （2x ﹣）=﹣cos2x +（sin2x﹣cos2x ）=sin （2x ﹣），所以y 的最大值为，最小值为﹣，故A 错误；但x=时，y=0，故x=不是对称轴，故B 错误；令2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+，解得 k π﹣≤x ≤k π+．故C 正确；将函数向左平移个单位得到 y=sin （2x +），故D 错误，故选：C ．12．已知直线l 与双曲线﹣=1交于A 、B 两点，现取AB 的中点M 在第一象限，并且在抛物线y 2=4x 上，M 到抛物线焦点的距离为2，则直线l 的斜率为（ ）A ．1B ．2C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据点与抛物线的关系求出中点M 的坐标，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式． 【解答】解：由已知设M （a ，b ）， 抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1 ∵M 到抛物线焦点（1，0）的距离为2，∴a +1=2，即a=1，此时b 2=4，则b=2，即M （1，2）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得﹣=1，﹣=1，两式相减可得，（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）﹣（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=0，M 为AB 的中点，即有x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，可得直线AB 的斜率为k====．故选：C二、填空题（本大题共4小题，每题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．已知x ∈[0，π]，使sinx ≥的概率为 ．【考点】几何概型．【分析】求出满足sinx ≥的区间宽度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：由x ∈[0，π]，sinx ≥，可得≤x ≤，∴所求概率为P==，故答案为：．14．已知A 、B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为 ． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意画出图形，过点M 作MN ⊥x 轴，得到Rt △BNM ，通过求解直角三角形得到M 坐标，代入双曲线方程可得a 与b 的关系，结合a ，b ，c 的关系和离心率公式，求得双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1（a ＞0，b ＞0），如图所示，|AB |=|BM |，∠ABM=120°，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，则∠MBN=60°， 在Rt △BMN 中，|BM |=|AB |=2a ，∠MBN=60°，即有|BN |=2acos60°=a ，|MN |=2asin60°=a ，故点M 的坐标为M （2a ， a ），代入双曲线方程得﹣=1，即为a 2=b 2，即c 2=2a 2，则e==．故答案为：．15．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n =a n+1﹣a n （n ∈N *），若b 3=﹣2，b 10=12．则a 10= 21 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数的通项公式可得b n ，再利用“累加求和”方法与等差数列的求和公式即可得出a n ．【解答】解：设等差数列{b n }的公差为d ，∵b 3=﹣2，b 10=12．∴b 1+2d=﹣2，b 1+9d=12，解得b 1=﹣6，d=2．∴b n =﹣6+2（n ﹣1）=2n ﹣8． ∵b n =a n+1﹣a n （n ∈N *），∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=（2n ﹣10）+（2n ﹣12）+…+（﹣6）+3=+3=n 2﹣9n +11．当n=10时，a 10=102﹣9×10+11=21． 故答案为：21．16．设过曲线f （x ）=e x +x （e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g （x ）=2cosx ﹣ax 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为 [﹣1，2] ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f （x ）的导数，设（x 1，y 1）为f （x ）上的任一点，可得切线的斜率k 1，求得g （x ）的导数，设g （x ）图象上一点（x 2，y 2）可得切线l 2的斜率为k 2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，分别求y 1=a +2sinx 2的值域A ，y 2=的值域B ，由题意可得B ⊆A ，可得a 的不等式，可得a 的范围．【解答】解：f （x ）=e x +x 的导数为f ′（x ）=e x +1， 设（x 1，y 1）为f （x ）上的任一点，则过（x 1，y 1）处的切线l 1的斜率为k 1=e x1+1， g （x ）=2cosx ﹣ax 的导数为g ′（x ）=﹣2sinx ﹣a ，过g （x ）图象上一点（x 2，y 2）处的切线l 2的斜率为k 2=﹣a ﹣2sinx 2． 由l 1⊥l 2，可得（e x1+1）•（﹣a ﹣2sinx 2）=﹣1，即a +2sinx 2=，任意的x 1∈R ，总存在x 2∈R 使等式成立． 则有y 1=a +2sinx 2的值域为A=[a ﹣2，a +2]．y 2=的值域为B=（0，1），有B ⊆A ，即（0，1）⊆[a ﹣2，a +2]，即，解得﹣1≤a ≤2．故答案为：[﹣1，2]．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2sin 2+cos2B=1．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b=2，求y=a +c 的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosB+2cos2B﹣1=0，进而解得cosB的值，结合范围B∈（0，π），即可得解B的值．（Ⅱ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得y=a+c=4sin（A+），求得范围，利用正弦函数的性质可得sin（A+）∈（，1]，进而可求y=a+c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由2sin2+cos2B=1，有1﹣cos（A+C）+cos2B=1．∴cosB+2cos2B﹣1=0，∴cosB=或cosB=﹣1，又B∈（0，π），∴B=．…（Ⅱ）由正弦定理，∴y=a+c=2RsinA+2RsinC=（sinA+sinC）…= [sinA+sin（﹣A）]= [sin（A+）]=4sin（A+）．…而c=﹣A，∴，∴sin（A+）∈（，1]，∴y=4sin（A+）∈（2，4]．…18．某媒体对“推迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下面是在某两单位得到的数（1）是否有99.9%的把握认为赞同“推迟退休”与职业有关？（2）用分层抽样的方法从赞同“推迟退休”的人员中随机抽取6人作进一步调查分析，将这附：K2=．【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由题设知K2==≈11.978＞10.828，由此得到结果；（2）所抽样本中男士有，女士有4人，基本事件总数为15个，满足恰有1名为企业职工和1名事业职工的基本事件有2×4=8个，由此能求出事件“恰有1名为企业职工和1名事业职工”的概率．【解答】解：（1）K2==≈11.978＞10.828．∴有99.9%的把握认为赞同“推迟退休”与职业有关．…（2）由分层抽样是按比例抽取，所以，．…∴企业抽取2人记为a、b，事业抽取4人记为1、2、3、4．总的事件：共15个基本事件，符合条件的事件为：8个，…∴所求概率为P=．…19．如图：四边形ABCD为等腰梯形，且AD∥BC，E为BC中点，AB=AD=BE．现沿DE 将△CDE折起成四棱锥C′﹣ABED，点O为ED的中点．（1）在棱AC′上是否存在一点M，使得OM⊥平面C′BE？并证明你的结论；（2）若AB=2，求四棱锥C′﹣ABED的体积的最大值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．（2）底面ABED的面积不变为2．当平面C'ED⊥平面ABED时，锥体的高最大，根据棱锥的体积公式进行求解即可．【解答】解：（1）存在，当M为AC的中点时，OM⊥平面C′BE．取BC'的中点F，连结MF，FE．∵MF为△ABC'的中位线．∴MP∥AB，MP=AB，又AB∥ED，AB=ED，O为ED中点，∴MF∥EO，MF=EO．∴四边形EFMO为平行四边形．∴MO⊥EF．而EF⊂平面BEC'，OM⊄平面BEC'，∴OM⊥平面BEC'．（2）∵底面ABED的面积不变为2．∴当平面C'ED⊥平面ABED时，锥体的高最大．即C'O⊥平面ABED时，体积最大，此时OC'=，∴最大体积为=2．20．已知圆C过定点A（0，p），圆心C在抛物线x2=2py（p＞0）上，圆C与x轴交于M、N两点，当C在抛物线顶点时，圆C与抛物线的准线交于G、H，弦GH的长为2．（1）求抛物线的解析式；（2）当圆心C在抛物线上运动时．①|MN|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．②记|AM|=m，|AN|=n．求+的最大值，并求出此时圆C的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据抛物线的定义，结合圆的弦长公式建立方程进行求解即可．（2）①根据直线和圆相交的弦长公式进行计算即可．②求出相应的长度，结合基本不等式进行求解．【解答】解：（1）抛物线的准线为y=﹣，当C在抛物线顶点时，圆C的半径为p，圆C 的方程为x2+y2=p2．∴弦长l=2=2=p=2．∴p=2，∴抛物线的方程为x2=4y．（2）①记C（a，），圆C的半径r=．由垂径定理知|MN|=2=2=2×2=4．∴|MN|为定值4．②由①知，M（a﹣2，0），N（a+2，0），∴|AM|==，|AN|==．∴+====2•=2，当a=0时， +=2．当a≠0时， +=2•=2≤2=2．当且仅当a=±2时， +有最大值为2，此时圆C的方程为（x±2）2+（y﹣2）2=8．21．设函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切；①求实数a，b的值；②求函数f（x）在[，e]上的最大值；③当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】①求出函数的导数，根据切线方程，得到切线的斜率和切点，进而得到a，b；②求出导数，求出极值和端点的函数值，比较即可得到最大值；③当b=0时，即有alnx≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，求出最小值，再求﹣x的最小值即可．【解答】解：①函数f（x）=alnx﹣bx2，的导数f′（x）=﹣2bx，由于函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，则a﹣2b=0，﹣b=﹣，解得a=1，b=；②f（x）=lnx﹣x2，f′（x）=x，f′（x）=0，解得x=1，1∈[，e]，且f（1）=﹣，f（）=﹣1﹣，f（e）=1﹣e2，则函数f （x ）在[，e ]上的最大值为：f （1）=﹣；③当b=0时，不等式f （x ）≥m +x 对所有的a ∈[0，]，x ∈（1，e 2]都成立，则alnx ≥m +x 对所有的a ∈[0，]，x ∈（1，e 2]都成立，即m ≤alnx ﹣x 对所有的a ∈[0，]，x ∈（1，e 2]都成立， 令h （a ）=alnx ﹣x ，则h （a ）为一次函数，由于x ∈（1，e 2]，则lnx ＞0，在a ∈[0，]上单调递增，则h （a ）min =h （0）=﹣x ，即有m ≤﹣x 对所有的x ∈（1，e 2]都成立． 则m ≤（﹣x ）min =﹣e 2．即有实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣e 2]．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知圆O 是△ABC 的外接圆，AB=BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． （Ⅰ）求证：AC •BC=AD •AE ；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE 的长．【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（I ）如图所示，连接BE ．由于AE 是⊙O 的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E 与∠ACB 都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB ．进而得到△ABE ∽△ADC ，即可得到． （II ）利用切割线定理可得CF 2=AF •BF ，可得BF ．再利用△AFC ∽△CFB ，可得AF ：FC=AC ：BC ，进而根据sin ∠ACD=sin ∠AEB ，AE=，即可得出答案．【解答】证明：（I ）如图所示，连接BE ．∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE=90°．又∠E 与∠ACB 都是所对的圆周角， ∴∠E=∠ACB ．∵AD ⊥BC ，∠ADC=90°． ∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB ：AD=AE ：AC ， ∴AB •AC=AD •AE ． 又AB=BC ，∴BC •AC=AD •AE ． 解：（II ）∵CF 是⊙O 的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE==【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1：（α为参数），曲线C2：（θ为参数）．（1）化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C2上的点P对应的参数为θ=，Q为C1上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosβ﹣sinβ）=6距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1：（α为参数），利用平方关系可得普通方程．曲线C2：（θ为参数），利用平方关系可得普通方程．（2）由已知P（3，4），Q，M，直线C3：ρ（cosβ﹣sinβ）=6，利用互化公式可得直角坐标方程．再利用点到直线的距离公式、和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（1）曲线C1：（α为参数），利用平方关系可得：=1，是焦点在y轴上的椭圆．曲线C2：（θ为参数），利用平方关系可得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，是以（3，4）为圆心，1为半径的圆．（2）由已知P（3，4），Q，M，直线C3：ρ（cosβ﹣sinβ）=6，化为直角坐标方程：x﹣y﹣6=0．d==≤．当sin=1时取等号．∴PQ中点M到直线C3：ρ（cosβ﹣sinβ）=6距离的最大值是．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）使f（x）≥m恒成立的实数m的最大值为t，若a、b均为正实数，且满足a+b=2t．求a2+b2的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，分类讨论，求出不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）利用基本不等式，即可求a2+b2的最小值．【解答】解：（Ⅰ）x≤1时，﹣x+1﹣x+2≤4，∴x≥﹣0.5，∴﹣0.5≤x≤1；1＜x＜2时，x﹣1﹣x+2≤4，恒成立；x≥2时，x﹣1+x﹣2≤4，∴x≤3.5，∴2≤x≤3.5，综上所述，不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣0.5≤x≤3.5}．…（Ⅱ）由f（x）≥m知m≤1，∴t=1．即a+b=2，则a2+b2=（a+b）2﹣2ab=4﹣2ab≥4﹣2•=4﹣2•1=2当且仅当a=b=1时取最小值2．…2016年9月12日。
【数学】湖南2016届高三下学期高考模拟三数学文试题Word版含答案
【关键字】数学数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数对应的点在直线上，则实数的值为（）A．0 B．1 C．-1 D．32.若，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．3. 的值等于（）A．B．C．D．14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．．D．5.已知点的可行域是如图阴影部分（含边界），若目标函数取得最小值的最优解有无数个，则的取值为（）A．1 B．2 C．6 D．86.如图是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，若，则的离心率是（）A．B．C．D．7.直线与椭圆恒有交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．8.如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在处南偏西30°且相距20海里的处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往处求助，则（）A．B．C．D．9.设命题，使，则使得为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．10.如图，在等腰直角三角形中，设向量为边上靠近点的四等分点，过点作的垂线，点为垂线上任意一点，则（）A．B．C．D．11.已知正项数列满足，且，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12.偶函数满足，且当时，，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．13.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其回归直线方程是，且，请估算时，____________．14.已知立方体分别是棱，中点，从中任取两点确定的直线中，与平面平行的有__________条．15.在数列中，若存在一个确定的正整数，对任意满足，则称是周期数列，叫做它的周期．已知数列满足，当数列的周期为3时，则的前2016项的和___________．16.设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是_____________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）某中学的高三一班中男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）在（2）中的实验结束后，第一次做实验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．18.（本题满分12分）已知向量，设函数．（1）若，求的单调递加区间；（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积的最大值．19.（本题满分12分）在如图所示的几何体中，平面平面，四边形平行四边形，．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．20.（本题满分12分）已知圆，点是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点 . （1）当点在圆上运动时，求点的轨迹曲线的方程；（2）若直线是过点且相互垂直的两条直线，其中直线交曲线于两点，直线与圆相交于两点，求四边形面积等于14时直线的方程． 21. （本小题满分 12分） 已知．（1）若1x =是()f x 的极值点，讨论()f x 的单调性； （2）当2a ≥-时，证明：()f x 在定义域内无零点．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于D C ，两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点． （1）求证：,,,B D H F 四点共圆；（2）若2,AC AF ==BDF ∆外接圆的半径． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线 B 是过点()1,1P -，倾斜角为4π的直线，以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线A 的极坐标方程是22123sin ρθ=+． （1）求曲线A 的普通方程和曲线B 的一个参数方程； （2）曲线A 与曲线B 相交于,M N 两点，求MP NP 的值． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()()2,2f x x g x m x m R =-=-∈． （1）解关于x 的不等式()23f x x ->；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求m 的取值范围．参考答案一、选择题1. B 【解析】因为()1z i bi b i =-=+，对应的点为(),1b ，所以1b =，选B． 2. C 【解析】取1,1a b ==-，排除选项A ，取0,1a b ==-，排除选项B ，取0c =，排除选项D ，显然2101c >+，对不等式a b >的两边同时乘211c +成立，故选C ． 3. C 【解析】()(000000000000000002sin 45cos15sin 302sin 45cos15sin 45152sin 45cos15sin 45cos15cos 45si sin 45cos15cos 45sin15sin 60-=--=--=+==故选C ．4. A 【解析】该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为2的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为2，所以体积83V =，选A ． 5. C 【解析】当0a >时，210,0a a >-<，当221641AC k a a -==⇒=-时，目标函数2z x ay =-在线段AC 上的所有点处都取得最小值，∴6a =，选C ．6. B 【解析】由题意知，1214F F F A ==，∵122F A F A-=，∴22F A =，∴126F A F A +=，∵12=4F F ，∴2C 的离心率是4263=，选B7. B 【解析】()11y k x =-+恒过点()1,1P ，由点()1,1P 在椭圆内或椭圆上得：1119m+≤得98m ≥且9m ≠，选B . 8. A 【解析】在ABC ∆中，040,20,120AB AC ABC ==∠=．由余弦定理，得22202cos1202800BC AB AC AB AC =+-=，所以BC =10. A 【解析】以点O 为原点建立直角坐标系，所以()()311,0,0,1,,44A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，不妨设P 取点C ，∴()()31311,1,144442OP b a ⎛⎫-=-=-+=-⎪⎝⎭，故选A ．11. A 【解析】∵()110n n n a na ++-=，∴11n n a n a n +=+，∴1211112n n n a n n n--==-.∴122311111111111111112231122311n n a a a a a a n n n n n ++++=+++=-+-++-=-+++，∵12231n n a a a a a a m ++++≥恒成立，∴11122m ≤-=，故选A . 12. D 【解析】由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111log 31,53log 51a a a a <<⎧⎪⎪>-⇒<<⎨⎪<-⎪⎩，故D 正确.二、填空题 13.76 【解析】由题意知11,2x y ==，故样本中心为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，代入回归直线方程1ˆˆ3y x a =+，得1ˆ6a =．所以3x =时，76y =． 14．6【解析】连接,EH,FG EG ，∵//EH FG ，∴EFGH 四点共面，由//,//,,EG AB EH AD EGEH E AB AD A ''''==，可得平面EFGH 与平面AB D ''平行，所以符合条件的共6条.15. 1344 【解析】∵32111x x x a a =-=-=-，∴()2016672111344S a a =⨯++-=. 16. 21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【解析】令()2ln 20xg x x ex m x =-+-=，∴()2ln 20xm x ex x x =-++>， 设()2ln 2x h x x ex x =-++，令()()212ln 2,x f x x ex f x x =-+=，∴()221ln xf x x-'=，发现函数()()12,f x f x 在()0,x e ∈上都是单调递增，在[),x e ∈+∞上都是单调递减，∴函数()2ln 2xh x x ex x=-++在()0,x e ∈上单调递增，在[),x e ∈+∞上单调递减，∴当x e =时，()2max 1h x e e =+，∴函数有零点需满足()max m h x ≤，即21m e e≤+．三、解答题17.【解析】（1）由题意可知，抽样比416015==，所以某同学被抽到的概率为115. 课外兴趣小组中男同学454360⨯=（人），女同学1（人）……………………………………………2分（2）把3名男同学和1名女同学分别记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有()()()()()()()()()()()()121312123231323123,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a a a a a b a a a a a b b a b a b a ，，共12个，其中恰有一名女同学的有6个. 所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122P ==…………………………7分 （3）由题意可知两名同学做实验得到的数据的平均数及方差分别为：由于2212s s >，因此，第二位同学的实验更稳定…………………………………………12分18.【解析】（1）()2cossin ,13cos 2cos ,1222x x x f x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭24cos sin 13cos sin cos 3324x x x x x x π⎛⎫=++-=-+=-+ ⎪⎝⎭…………………………………3分22,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即322,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦…………………………………………6分（2）因为()344f A A π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以sin 42A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又因为()0,A π∈，所以3,444A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故44A ππ-=， 所以2A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分于是在ABC ∆中，22210b c a +==，故221152222b c S bc +=≤=，当且仅当5b c ==时等号成立， 所以ABC ∆的面积的最大值为52………………………………………………………12分 19.【解析】①∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面AC E 平面ABCD AC =，∵,BC AC BC ⊥⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面AEC ……………………………………………………………………………2分AE 平面AEC ，∴BC AE ⊥，……………………………………………3分又2,1AC AE EC ===，∴222AC AE CE =+，∴AE EC ⊥………………………………………………………4分 且BCEC C =，∴AE ⊥平面BCEF ……………………………………………6分（2）设A C 的中点为G ，连接EG ，∵AE CE =，∴A EG C ⊥………………………………………………7分 ∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面ACE平面ABCD AC =，∴EG ⊥平面ABCD …………………………………………9分 ∵//,EF BC EF ⊄平面ABCD ，所以点F 到平面ABCD 的距离就等于点E 到平面ABCD 的距离，即点F 到平面ABCD 的距离为EG 的长…………………………………………10分 ∴13D ACF F ACDE ACD ACD V V V S EG ---∆===， ∵111222=12222ACD S AC AD EG AC ∆==⨯==，，………………………………………11分∴11326D ACF V -=⨯⨯=，即三棱锥D ACF -的体积为6…………………………………12分 20.【解析】（1）连接QB ，∵4,AQ QP QP QB +==，∴4AQ QB +=， 故点Q 的轨迹是以点,A B 为焦点，24a =为长轴的椭圆， 所以22,1,3a c b ===，点Q 的轨迹曲线C 的方程为：22143x y +=…………………………………………………5分 （2）①当直线1l 的斜率不存在时，则直线1l 的方程为：1x =-，直线2l 的方程为：0y =，故228,3b MN EF a ===，∴183122MFNE S =⨯⨯=，不合题意，故直线1l 的斜率存在．．．．．．．．．．．．．．．6分②当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为：()()()11221,,,,y k x E x y F x y =+， ∴142MFNE S EF MN EF =⨯⨯=. 联立()221143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()()22223484120k x k x k +++-=，∴221212228412,3434k k x x x x k k --+==++，……………………………………………………8分∴2211234k EF k +==⨯+， ∴22211448121143434MFNEk S EF k k +⎛⎫==⨯=+= ⎪++⎝⎭…………………………………………10分∴243k =，∴k =， 此时，直线1l的方程为()12y x =+或()12y x =-+……………………………………12分21.【解析】（1）∵()1x af x e x+'=-，由1x =是()f x 的极值点，知()0f x '=， 故110a e +-=，∴1a =-，………………………………………………………………2分① 当01x <<时，1011,1x e e x -><=，则()0f x '>，所以()f x 在()0,1内单调递增； ② 当1x >时，10101,1x e e x-<<>=，则()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞内单调递减……………5分（2）因为函数()f x 的定义域为()0,+∞， 当2a ≥-时，2x a x e e +-≥，∴()2ln ln x a x f x x e x e +-=-≤-………………………………………6分令()()221ln ,x x g x x e g x e x --'=-=-，令()21x h x e x -=-，∴()2210x h x e x-'=--<， ∴()g x '在()0,+∞上递减，又()1110g e-'=->，()01202g e '=-<，……………………………8分 ∴()g x '在()0,+∞上有唯一的零点0x ， ∴02010x e x --=，∴00001ln 2,2x x ex x =-+=-…………………………………………9分当00x x <<时，则()0g x '>，所以()g x 在()00,x 内单调递增； 当0x x >时，则()0g x '<，所以()g x 在()0,x +∞内单调递减. ∴()()02000max 01ln 220x g x g x x e x x -==-=-+-<-=…………………………………11分故当2a ≥-时，()0g x <，故()()0f x g x ≤<，所以当2a ≥-时，()f x 在定义域内无零点…………………………………………………12分22.【解析】（1）因为AB 为圆O 的一条直径， 所以BF FH ⊥． 又DH BD ⊥，故,,,B D F H 四点在以BH 为直径的圆上.所以，,,,B D F H 四点共圆…………………………………………………………4分 （2）由题意得AH 与圆B 相切于点F ， 由切割线定理得2AF AC AD =，即(22,4AD AD ==，所以()11,12BD AD AC BF BD =-===， 又AFD ADH ∆∆，则DH ADBF AF=，得DH =. 连接BH （图略），由（1）可知，BH 为BDF ∆外接圆的直径.BH =，故BDF ∆………………………………………………………………10分23.【解析】（1）∵22123sin ρθ=+，∴()223sin 12ρθ+=，即曲线A 的普通方程为：22143x y +=， 曲线B的一个参数方程为：112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设12,PM t PN t ==，∴12MP NP t t =．文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.把1212x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入方程22143x y +=中，得：2231411222⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：27502t -=，∴1212107t t t t +==-， ∴12107MP NP t t ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.【解析】（1）由()223223x f x x x x ≥⎧->⇔⎨-->⎩或2223x x x <⎧⎨-->⎩， ∴x ∈∅或13x <-，故原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由()()f x g x ≥，得22x m x -≥-对任意的x R ∈恒成立， 当0x =时，不等式22x m x -≥-成立；当0x ≠时，问题等价于22x m x-+≤对任意的非零实数恒成立， ∵22221x x x x++-+≥=， ∴1m ≤，即m 的取值范围是(],1-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
全国2016届高考数学下学期信息交流模拟试卷(四)文(扫描版)
全国2016届高考数学下学期信息交流模拟试卷（四）文（扫描版）第I 卷选抒题（共"分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题吕分*共60分，毎小题分 别给岀四个选项*只有一个选项符合题意）1.设集合 M = {-1,1,2,3,4,5} T J V ={x | JC < 3} t 则 MPlMN ）A. {3,4,5}B. {4,5} c {-1,1} D. {-1,1,2}2. 复数二二在复平面内所对应的点位于（）1+尸 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 命题丄>丄“的否定为（ ）n n + \A. V?? E N 、、—£ ------B.n z? + 1 c.丄兰一^— D .«0 %+l4. 甫数f （jc ） = ln.e-2的零点是（ A. eB, VeC.5. 抛物线X =------ b 的焦点坐标是（4A.（70）B. （O 严 1）（1八 （ 1、 C. 一一,0D”0,——1 16丿1 16丿&•若半而向駅M 在方方向上的投彫为2 ,且力二（一1,3）,则a b = （ ）A. 710B. 10C. 2価D. 207.在等差数列{碍}中，吗+旳=8,贝仏2 +⑷+兔二（）A.8B. 12C. 16D. 207号卷• 2016年全国岛萼信息交流模拟试卷（N* *—V1考信息交流模拟试卷（四） :科）试题皆题）两部分"满分15。
分，着试时闾12（吩钟、' .. ,■'8. 已知二棱锥的三视图如下图所示，其中止视图是止二角形，側视图是直角三角形，则该三棱锥的体积是（）B.痊3C. 3^3 T1 V39.甲、乙、内三人站成一排，则屮、丙不梢邻的槪率是（）2115 扎一R —（L. —D.—33262 ..2A. 0 C. 4D.以上都有町能1L 执行如图所示的程序権图,则输出的总=（）5 4412,若定义在7?上的函数/（对满足/（x ）-/（x ）-2>0,/（0） = ~l .则不等式f ｛x ）>e K -2 （其 中£为自然对数的底数｝的解集为（）E ｛四）・数学（史科）试题第］贞共4贞10.已知収關线口二—警"（口九』"）的离心率为血.则直 a~ o~塞厶 Ji.『JI n, 1 V-竺咒与取曲线C 的交点个数为（ ）A.2正视图A.(0；，十司氐- l)U(0,4™^G (-«,())U(0,+«) D. (-!,+«?)'第U卷非选择題｛冀汕分)本巻包括必考题和选考题两部分第㈡题-第21题为必考题，每个试题考主都必须做答•第22题-第24题为选琴题「考生根据要求做答.二、填空题：(本大题共4小题.每小题5分，共20分，把答案填在题中橫线上爲(g托｝113.已知sin —+住,那么cos la - ^(2 ) 5\+旷4"14.实数满足条件x-2y+2>0,则z^x-y-\的晟小值为_____________ -15.我市某校组织学牛.参加英语测试‘某班50人的成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)440,60)460,80).[80,100].已知前？组的驀依次构成等比数列，第2组r第组距4组、第2组的理圭依次构成等等数列，则及格]大于等于60 组距分)的人数是^16.若直线/:^ + ^ = l(£/>0,i>0)经过点(1,2),则直线/与坐标 a b轴所围成的三角形面积的最小值是_____________/^©*2016年全国髙考倍息交流模拟试三.解答题：（解答应写岀总要的文字说阴，证明过程或演算步骤:）（本小题满分12分）在锐角中,角A t B,C的对边分別为u t b t c\耳4^7^sin A-la.（I ）求3£〃的值：（h ）若口= 3#二2、求（?的值.-!«. »v i ■-18.（本小题满分12分）H车流a 卜（万辆）0-1011-5051T071-808MOO>100拥挤•优良〉轻度中度重度严重等级拥挤拥挤拥挤拥挤!日期10月I日10月2日10月3日10月4日⑴月5 H10月6H10»70i，车流量（万辆）120110857560105，1°（］）求该城龙国庆节期间车流量的平均值与方差斗（H ）臬人国庆节期间连续2天到该城市游玩，求这2大他遇到的车流就拥挤等级肉为严重拥挤的概率.：（四）•数学（文科）试题第2页共4页19.（本小题满分12分）如图，在宜三梭中.点D是EC的中点* 卫J?丄AC.AB-3.AC = 4 t（I ）求证：為B"平面AD"（n）求三梭锥的体机2ft.（本小题满分H分）如图、已知椭圆（？:二+卷=1（日>A>0）腑离心率为 0MC与岡匸7（耳-2丁+尸乂1确且仅有/肿个交点.且交点2 F都在圆心广的圧方.相交所得的弦JJ9KA—3-（I）求椭圆（?的标准亦程；（u）若过盘卩川）的¥】浓与肘线c交「忖寿臥乩求o\i ox的最大値/^®*20J6年全国髙考信息交流橈拟试卷（押ti KJ2L(*小题满分12分)已知函数/a)=2-字2(x R\(I)讨论函数/(x)的单调性；(1[)当耳2 0时* f (x) 2 0 •求"的取值范围・也)*数学｛文科)试题第3页共4页请考生衽第22、23、24题中任选一题件答"注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写漬题号。
2016届湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学高三四校联考(文)数学试题 word版
湖南省2016届高三四校联考试题数学（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数)3(i i -的共轭复数是（）A.i 31+B.i 31-C.i 31+-D.i 31--2.设R U =，{}12>=x x A ，{}0log 2>=x x B ，则=B C A U （）A ．{}0<x xB ．{}1>x xC ．{}10≤<x xD ．{}10<≤x x 3.计算 107cos 47cos 17cos 47sin +的结果等于（） A.21-B.23C.22D.214.已知向量)1,1(-=，),1(m =，若4)2(=⋅-，则=m （） A.1- B.0 C. D.25.已知抛物线)0(2>=a ax y 的焦点到准线距离为，则=a （） A.4 B.2 C.41 D.216.下列命题是假命题的是（）A ．R ∈∀ϕ，函数)2sin()(ϕ+=x x f 都不是偶函数B ．R ∈∃βα,，使βαβαcos cos )cos(+=+C ．向量)1,2(-=a ，)0,3(-=b ，则a 在b 方向上的投影为2D ．“1≤x ”是“1<x ”的既不充分又不必要条件7.已知双曲线12222=-b y a x 的离心率为332，则双曲线的两渐近线的夹角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ab C c b a =-+tan )(222，则角C 的值为（） A.6π或65π B.3π或32π C.6π D.32π 9.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则y x z -=23的最大值为（)A.33B.3C.3D.910.如图所示程序框图，如果输入三个实数c b a ,,，要求输出这三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应填入下面四个选项中的（）A.x c >B.x c <C.b c >D.c b >11.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为3316cm ，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（）A.8B.38C.4D.3412.对于函数)(x f ，若R c b a ∈∀,,，)(),(),(c f b f a f 为某三角形的三边长，则称)(x f 为“可构造三角形函数”，已知122)(+-=x x tx f 是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是（）A.]0,1[-B.]0,(-∞C.]1,2[--D.]21,2[--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设函数⎩⎨⎧<>=).0)((),0(log )(2x x g x x x f 若)(x f 为奇函数，则)41(-g 的值为_______.14.已知点)0,1(-A ，过点A 可作圆0122=+++mx y x 的两条切线，则m 的取值范围是______.15.已知)2,0(,cos 62sin 5πααα∈=，则=2tanα_____.16.已知函数)(2)(2R x b ax x x f ∈+-=，给出下列命题： ①R a ∈∃，使)(x f 为偶函数；②若)2()0(f f =，则)(x f 的图象关于1=x 对称； ③若02≤-b a ，则)(x f 在区间),[+∞a 上是增函数； ④若022>--b a ，则函数2)()(-=x f x h 有2个零点. 其中正确命题的序号为_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和)12(-=n n k S ，且83=a . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）如图AB 是⊙O 的直径，点C 是弧AB 上一点，VC 垂直⊙O 所在平面，E D ,分别为VA ，VC 的中点.（1）求证：⊥DE 平面VBC ；（2）若6==CA VC ，⊙O 的半径为5，求点E 到平面BCD 的距离.19.（本小题满分12分）（1）求这40个学生数学成绩的众数和中位数的估计值；（2）若从数学成绩)100,80[内的学生中任意抽取2人，求成绩在)90,80[中至少有一人的概率.20.（本小题满分12分）在平角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率21=e ，且过点)3,0(，椭圆C 的长轴的两端点为B A ,，点P 为椭圆上异于B A ,的动点，定直线4=x 与直线PA 、PB 分别交于N M ,两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在定点经过以MN 为直径的圆，若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数)0,(ln 2)1()(2>∈∈--=a R a N k x a x x f k且. （1）求)(x f 的极值；（2）若2016=k ，关于x 的方程ax x f 2)(=有唯一解，求a 的值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，交ABC ∆的外接圆于E . （1）求证：DCBDAC AB =； （2）若3=AB ，2=AC ，1=BD ，求AD 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 2=，曲线2C 的参数方程为t ty t x (53254⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=为参数). （1）判断1C 与2C 的位置关系；（2）设M 为1C 上的动点，N 为2C 上的动点，求MN 的最小值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知R b a ∈,，12)(---=x x x f . （1）若0)(>x f ，求实数x 的取值范围；（2）对R b ∈∀，若)(x f b a b a ≥-++恒成立，求a 的取值范围.湖南省2016届高三四校联考试题数学（文科）参考答案1.B 【解析】i i i i i 313)3(2+=-=-，∴i 31+的共轭复数为i 31-，故选B . 2.C 【解析】易知{}0>=x x A ，{}1>=x x B ，则{}10≤<==x x B C A U ，故选C. 3.D 【解析】2130sin )1747sin()17sin (47cos 17cos 47sin )1790cos(47cos 17cos 47sin ==-=-+=++ ，故选D.4.C 【解析】由已知得)2,3(),1()2,2(2m m --=--=-，又)1,1(-=， ∴423)2(=-+=⋅-m a b a ，∴1=m ，故选C.5.D 【解析】抛物线方程化为y a x 12=，∴)41,0(a F ，焦点到准线距离为121=a ，∴21=a ，故选D.6.A 【解析】易知A 错，故选A.7.C 【解析】34222222=+==a b a a c e ，∴222433a b a =+，223a b =∴.两渐近线方程x x a b y 33±=±=，9.D 【解析】令t y x =-2，由约束条件知]2,31[∈t ，故932max ==z ，故选D. 10.B 【解析】易知x c <，故选B.11.B 【解析】设底面边长为x ，则316433==x V ，∴4=x .∴侧视图是长为4，宽为32的矩形，38324=⨯=侧S ，故选B.12.D 【解析】121112112)(++-=+--+=xx x t t x f . ①当01=+t 即1-=t 时，1)(=x f ，此时)(),(),(c f b f a f 都为，能构成一个正三角形的三边长，满足题意.②当01>+t 即1->t 时，)(x f 在R 上单调递增，1)(<<-x f t ，∴1)(),(),(<<-c f b f a f t ，由)()()(c f b f a f >+得21112-≤<-⇒≥-t t .③当01<+t 即1-<t 时，)(x f 在R 上单调递减，t x f -<<)(1，由)()()(c f b f a f >+得22-≥⇒-≥t t ，∴12-<≤-t . 综上：212-≤≤-t ，故选D. 二、填空题13.2 【解析】22log 41log )41()41()41(222=-=-=-=-=--f f g . 14.),2(+∞ 【解析】点)0,1(-A 在圆外，∴011>++m ，∴2->m .又∵14)2(222-=++m y m x 表示圆，∴220142-<>⇒>-m m m 或，∴2>m .15.31 【解析】αααcos 6cos sin 10=，∴53sin =α， 3153541sin cos 12cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2tan 2=-=-===αααααααα. 16.①③ 【解析】①当0=a 时，b x x f +=2)(显然是偶函数，故①正确. ②由)2()0(f f =，则b a b +-=44，而b a x a x b x a x x f +-+-+=++-+=+21)22()1(2)1()1(22，ba x a xb ax a x x b x a x x f +-+-+=++-+-=+---=-21)22(2221)1(2)1()1(222，∴)1()1(x f x f -≠+，∴)(x f 的图象不关于1=x 对称，故②错误.③2222)()()(a b a x a b a x x f -+-=-+-=在区间),[+∞a 上是增函数，故③正确. ④2)()(22--+-=a b a x x h 有4个零点，故④错误.17.【解析】（1）当2≥n 时，1112)12()12(---⋅=---=-=n n n n n n k k k S S a ，28223=⇒=⋅=k k a ，∴n n a 2=.当1=n 时，2)12(111=-⋅==k S a ，综上所述，n n a 2=. .................6分 （2）由（1）知，n n n na 2⋅=，则n n n n n T 22)1(2322211321⋅+-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-① 143222)1(2322212+⋅+-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n n n T ②①-②得：132122222+⋅-+⋅⋅⋅+++=-n n n n T ，112)12(2221)21(2++⋅--=⋅---=-n n n n n n n T ，11222++⋅--=-n n n n T ，22)1(1+-=+n n n T . ............12分18.【解析】（1）∵AB 是⊙O 的直径，C 是弧AB 上一点，∴CB AC ⊥. 又∵VC 垂直⊙O 所在平面，∴AC VC ⊥，∴⊥AC 平面VCB . 又∵E D ,分别为VC VA ,的中点，∴AC DE ∥， ∴⊥DE 平面VCB . ..................6分 （2）设点E 到平面BCD 的距离为d ， 由CDE B BCD E V V --=得332183131⨯⨯⨯⨯=⋅∆BCD S d ，∴2232323923821298===⨯⨯⨯=d ， 即点E 到平面BCD 的距离为223. ..............12分 19.【解析】（1）众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，即众数的估计值为115. ......3分设中位数的估计值为x ，则5.0030.0)110(10020.010010.0005.010=⨯-+⨯+⨯+⨯x ，解得115=x .∴中位数的估计值为115. ......................6分（2）从图中知，成绩在)90,80[的人数为24010005.01=⨯⨯=m （人）， 成绩在)100,90[的人数为44010010.02=⨯⨯=m （人），设成绩在)90,80[的学生记为b a ,，成绩在)100,90[的学生记为f e d c ,,,. 则从成绩在)100,80[内的学生中任取2人组成的基本事件有),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(f e f d e d f c e c d c f b e b d b c b f a e a d a c a b a 共15种.其中成绩在)90,80[的学生至少有一人的基本事件有),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(f b e b d b c b f a e a d a c a b a 共9种.所以成绩在)90,80[的学生至少有一人的概率为53159==P . .............12分 20.【解析】（1）⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-==34341222222222b a b a b a a c e ， ∴椭圆C 的方程为13422=+y x . .........................5分 （2）设PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，),(00y x P ， 取2,2002001-=+=x y k x y k ，4344434)41(3420202020202021-=--⋅=--=-=x x x x x y k k ， ....................7分由)2(:1+=x k y l PA 知)6,4(1k M ，由)2(:2-=x k y l PB 知)2,4(2k N ， ∴MN 的中点)3,4(21k k G +.∴以MN 为直径的圆的方程为2212212212)3()26(41)3()4(k k k k k k y x -=-=--+-， 令0=y ，∴22212122212126969168k k k k k k k k x x +-=++++-， ∴012168212=++-k k x x ，∴0)43(121682=-⨯++-x x ， 即0782=+-x x ，解得17==x x 或. ∴存在定点)0,7(),0,1(经过以MN 为直径的圆. 21.【解析】（1）xa x x f k 12)1(2)(⋅--='， 当k 为奇数时，022)(>+='xax x f ，∴)(x f 在),0(+∞上单调递增，)(x f 无极值. 当k 为偶数时，xa x a x x a x x a x x f ))((22222)(2-+=-=-='， ∴)(x f 在),0(a 上单调递减，),(+∞a 上单调递增，∴)(x f 有极小值，a a a a a a a f x f ln ln 2)()(-=-==极小值. ..............5分（2）∵2016=k ，则x a x x f ln 2)(2-=， 令ax x a x x g 2ln 2)(2--=，)(2222222)(22a ax x xx a ax x a x a x x g --=--=--='令0)(='x g ，∴02=--a ax x ，∵0>a ，0>x ，∴2420aa a x ++=.当),0(0x x ∈时，0)(<'x g ，∴)(x g 在),0(0x 上单调递减.当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x g ，∴)(x g 在),(0+∞x 上单调递增. ..........9分又0)(=x g 有唯一解，∴⎩⎨⎧='=0)(0)(00x g x g ，即⎩⎨⎧=--=--②①,0,02ln 20200020a ax x ax x a x ..............10分②-①得：101ln 20ln 200000=⇒=-+⇒=-+x x x a ax x a . ∴21=a . ....................12分 22.【解析】（1）如图，过D 作AB DM ∥交AC 于M ，连接BE . ∴①MCAM DC BD = 又∵AD 平分BAC ∠，∴CAD BAD ∠=∠，又AB DM ∥，∴ADM BAD ∠=∠，∴ADM CAD ∠=∠.∴MD AM =. ∴②CMAM CM MD AC AB AC CM AB MD ==⇒=， 由①②知DC BD AC AB =. ..................5分（2）∵DC BD DE AD ⋅=⋅， 又32312=⨯=⇒=DC DC BD AC AB ， ∵ABE ADC ∆∆~. ∴AE AC AB AD =，∴AC AB AE AD ⋅=⋅， ∴AC AB DE AD AD ⋅=+⋅)(， ∴316326321232=-=⨯-⨯=⋅-⋅=⋅-⋅=DC BD AC AB DE AD AC AB AD ， ∴334=AD . ........................10分 23.【解析】θρρcos 2:21=C ，∴0222=-+x y x ，所以1C 的普通方程为1)1(22=+-y x ， 342:2-=+y x C ，∴843--=y x ， 所以2C 的普通方程为0843=++y x .圆心)0,1(1C 到0843=++y x 的距离1511583>=+=d ， ∴1C 与2C 相离. .............5分（2）561511min =-=MN . .....................10分 24.【解析】（1）由0)(>x f 得12->-x x ，两边平方得124422+->+-x x x x ， 解得23<x ，即实数x 的取值范围是)23,(-∞. .....................5分 （2）a b a b a b a b a 2=-++≥-++， ∵12)(---=x x x f ，1)(max =x f ， ∴21212112-≤≥⇒≥⇒≥a a a a 或. 所以a 的取值范围为),21[]21,(+∞--∞ . ..................10分。
湖南省2016届高三四校联考 理数答案
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湖南2016届高三下学期高考模拟三数学文试题Word版含答案
数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若复数()()1,z i bi b R =-∈对应的点在直线y x =上，则实数b 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．32.若,,,a b c R a b ∈>，则下列不等式成立的是（ ） A ．1b a < B ．22a b > C ．2211a bc c >++ D ．a c b c > 3. 0002sin 45cos15sin30-的值等于（ ）A ．12B ．22C ．32D ．14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83 B ．8 C ．453D ．45 5.已知点(),P x y 的可行域是如图阴影部分（含边界），若目标函数()2,0z x ay a =->取得最小值的最优解有无数个，则a 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．6D ．86.如图12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12,C C 在第一象限的公共点，若121F F F A =，则2C 的离心率是（ ）A ．13 B ．23 C ．15 D ．257.直线()11y k x =-+与椭圆2219x y m+=恒有交点，则m 的取值范围是（ ） A ．9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()9,99,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U C ．()9,99,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U D ．9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8.如图，位于A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在A 处南偏西30°且相距20海里的C 处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往B 处求助，则sin ACB ∠=（ ）A ．217 B ．2114 C ．32114D ．2128 9.设命题0:p x R ∃∈，使()20020x x a a R ++=∈，则使得p 为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a >-B ．2a <C ．1a ≤D ． 0a <10.如图，在等腰直角三角形ABO 中，设向量,,1,OA a OB b OA OB C ====u u u v u u u v为边AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l ，点P 为垂线l 上任意一点，则()OP b a -=u u u vg （ ）A ．12-B ．12C ．32-D ．3211.已知正项数列{}n a 满足()110n n n a na ++-=，且11a =，不等式12231n n a a a a a a m ++++≥g g L g 对任意*n N ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(],1-∞D ．(),1-∞12.偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．13.对具有线性相关关系的变量,y x 有一组观测数据()(),1,2,,8i i x y i =L ，其回归直线方程是1ˆˆ3yx a =+，且()1238123828x x x x y y y y ++++=++++=L L ，请估算3x =时，y =____________．14.已知立方体,,F,G,H ABCD A B C D E ''''-分别是棱,.AD BB B C '''，DD '中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB D ''平行的有__________条．15.在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期．已知数列{}n x 满足()12211,1,n n n x x a a x x x ++==≤=-，当数列{}n x 的周期为3时，则{}n x 的前2016项的和2016S =___________．16.设函数()322ln f x x ex mx x =-+-，记()()f xg x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是_____________．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）某中学的高三一班中男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）在（2）中的实验结束后，第一次做实验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由． 18.（本题满分12分） 已知向量2cos,1,cos ,3cos 22x x a b x π+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设函数()()f x a b a =-g ． （1）若x R ∀∈，求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，且()4,f A a ==求ABC ∆的面积S 的最大值． 19.（本题满分12分）在如图所示的几何体中，平面ACE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 平行四边形，090,//,1ACB EF BC AC BC AE EC ∠=====．（1）求证：AE ⊥平面BCEF ； （2）求三棱锥D ACF -的体积． 20.（本题满分12分）已知圆()22:116A x y ++=，点()1,0B 是圆A 内一个定点，P 是圆A 上任意一点，线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q .（1）当点P 在圆A 上运动时，求点Q 的轨迹曲线C 的方程；（2）若直线12,l l 是过点A 且相互垂直的两条直线，其中直线1l 交曲线C 于,E F 两点，直线2l 与圆A 相交于,M N 两点，求四边形MFNE 面积等于14时直线1l 的方程．21. （本小题满分 12分） 已知()ln x af x x e+=-．（1）若1x =是()f x 的极值点，讨论()f x 的单调性； （2）当2a ≥-时，证明：()f x 在定义域内无零点．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于D C ，两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点． （1）求证：,,,B D H F 四点共圆；（2）若2,22AC AF ==BDF ∆外接圆的半径． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线 B 是过点()1,1P -，倾斜角为4π的直线，以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线A 的极坐标方程是22123sin ρθ=+．（1）求曲线A 的普通方程和曲线B 的一个参数方程； （2）曲线A 与曲线B 相交于,M N 两点，求MP NP g 的值．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()()2,2f x x g x m x m R =-=-∈． （1）解关于x 的不等式()23f x x ->；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求m 的取值范围．参考答案一、选择题1. B 【解析】因为()1z i bi b i =-=+，对应的点为(),1b ，所以1b =，选B ． 2. C 【解析】取1,1a b ==-，排除选项A ，取0,1a b ==-，排除选项B ，取0c =，排除选项D ，显然2101c >+，对不等式a b >的两边同时乘211c +成立，故选C ． 3. C 【解析】()(000000000000000002sin 45cos15sin 302sin 45cos15sin 45152sin 45cos15sin 45cos15cos 45si sin 45cos15cos 45sin15sin 60-=--=--=+==故选C ．4. A 【解析】该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为2的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为2，所以体积83V =，选A ． 5. C 【解析】当0a >时，210,0a a >-<，当221641AC k a a -==⇒=-时，目标函数2z x ay =-在线段AC 上的所有点处都取得最小值，∴6a =，选C ．6. B 【解析】由题意知，1214F F F A ==，∵122F A F A -=，∴22F A =，∴126F A F A +=，∵12=4F F ，∴2C 的离心率是4263=，选B7. B 【解析】()11y k x =-+恒过点()1,1P ，由点()1,1P 在椭圆内或椭圆上得：1119m+≤得98m ≥且9m ≠，选B . 8. A 【解析】在ABC ∆中，040,20,120AB AC ABC ==∠=．由余弦定理，得22202cos1202800BC AB AC AB AC =+-=g g，所以BC =10. A 【解析】以点O 为原点建立直角坐标系，所以()()311,0,0,1,,44A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，不妨设P 取点C ，∴()()31311,1,144442OP b a ⎛⎫-=-=-+=- ⎪⎝⎭u u u v g ，故选A ．11. A 【解析】∵()110n n n a na ++-=，∴11n n a n a n +=+，∴1211112n n n a n n n--==-g g L g g . ∴122311111111111111112231122311n n a a a a a a n n n n n ++++=+++=-+-++-=-+++g g L g g g L g L ，∵12231n n a a a a a a m ++++≥gg L g 恒成立，∴11122m ≤-=，故选A . 12. D 【解析】由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111log 31,53log 51a a a a <<⎧⎪⎪>-⇒<<⎨⎪<-⎪⎩，故D 正确.二、填空题 13.76 【解析】由题意知11,2x y ==，故样本中心为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，代入回归直线方程1ˆˆ3y x a =+，得1ˆ6a =．所以3x =时，76y =． 14．6【解析】连接,EH,FG EG ，∵//EH FG ，∴EFGH 四点共面，由//,//,,EG AB EH AD EG EH E AB AD A ''''==I I ，可得平面EFGH 与平面AB D ''平行，所以符合条件的共6条.15. 1344 【解析】∵32111x x x a a =-=-=-，∴()2016672111344S a a =⨯++-=. 16. 21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【解析】令()2ln 20xg x x ex m x =-+-=，∴()2ln 20xm x ex x x =-++>， 设()2ln 2x h x x ex x =-++，令()()212ln 2,x f x x ex f x x =-+=，∴()221ln xf x x-'=，发现函数()()12,f x f x 在()0,x e ∈上都是单调递增，在[),x e ∈+∞上都是单调递减，∴函数()2ln 2xh x x ex x =-++在()0,x e ∈上单调递增，在[),x e ∈+∞上单调递减，∴当x e =时，()2max1h x e e =+，∴函数有零点需满足()max m h x ≤，即21m e e≤+．三、解答题17.【解析】（1）由题意可知，抽样比416015==，所以某同学被抽到的概率为115. 课外兴趣小组中男同学454360⨯=（人），女同学1（人）……………………………………………2分（2）把3名男同学和1名女同学分别记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有()()()()()()()()()()()()121312123231323123,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a a a a a b a a a a a b b a b a b a ，，共12个，其中恰有一名女同学的有6个. 所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122P ==…………………………7分 （3）由题意可知两名同学做实验得到的数据的平均数及方差分别为：()()()()()()()()()()1222222212222222687071727471,5697070727471,5687170717171727174714,569717071707172717471 3.25x x s s ++++==++++==-+-+-+-+-==-+-+-+-+-==由于2212s s >，因此，第二位同学的实验更稳定…………………………………………12分18.【解析】（1）()2cossin ,13cos 2cos ,1222x x x f x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g24cos sin 13cos sin cos 3324x x x x x x π⎛⎫=++-=-+=-+ ⎪⎝⎭…………………………………3分22,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即322,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦…………………………………………6分 （2）因为()344f A A π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以sin 42A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又因为()0,A π∈，所以3,444A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故44A ππ-=， 所以2A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分于是在ABC ∆中，22210b c a +==，故221152222b c S bc +=≤=g，当且仅当b c == 所以ABC ∆的面积的最大值为52………………………………………………………12分 19.【解析】①∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面AC E I 平面ABCD AC =，∵,BC AC BC ⊥⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面AEC ……………………………………………………………………………2分AE 平面AEC ，∴BC AE ⊥，……………………………………………3分又2,1AC AE EC ===，∴222AC AE CE =+，∴AE EC ⊥………………………………………………………4分且BC EC C =I ，∴AE ⊥平面BCEF ……………………………………………6分（2）设A C 的中点为G ，连接EG ，∵AE CE =，∴A EG C ⊥………………………………………………7分 ∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面ACE I 平面ABCD AC =， ∴EG ⊥平面ABCD …………………………………………9分 ∵//,EF BC EF ⊄平面ABCD ，所以点F 到平面ABCD 的距离就等于点E 到平面ABCD 的距离，即点F 到平面ABCD 的距离为EG 的长…………………………………………10分 ∴13D ACF F ACDE ACD ACD V V V S EG ---∆===， ∵111222=12222ACD S AC AD EG AC ∆====g ，，………………………………………11分 ∴12213D ACF V -=⨯=，即三棱锥D ACF -的体积为26…………………………………12分 20.【解析】（1）连接QB ，∵4,AQ QP QP QB +==，∴4AQ QB +=，故点Q 的轨迹是以点,A B 为焦点，24a =为长轴的椭圆，所以22,1,3a c b ===， 点Q 的轨迹曲线C 的方程为：22143x y +=…………………………………………………5分 （2）①当直线1l 的斜率不存在时，则直线1l 的方程为：1x =-，直线2l 的方程为：0y =，故228,3b MN EF a ===，∴183122MFNE S =⨯⨯=，不合题意，故直线1l 的斜率存在．．．．．．．．．．．．．．．6分②当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为：()()()11221,,,,y k x E x y F x y =+， ∴142MFNE S EF MN EF =⨯⨯=. 联立()221143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴()()22223484120k x k x k +++-=， ∴221212228412,3434k k x x x x k k--+==++，……………………………………………………8分 ∴2211234k EF k +==⨯+， ∴22211448121143434MFNEk S EF k k +⎛⎫==⨯=+= ⎪++⎝⎭…………………………………………10分 ∴243k=，∴k =， 此时，直线1l 的方程为)1y x=+或)1y x =+……………………………………12分21.【解析】（1）∵()1x a f x e x+'=-，由1x =是()f x 的极值点，知()0f x '=， 故110a e +-=，∴1a =-，………………………………………………………………2分① 当01x <<时，1011,1x e e x-><=，则()0f x '>，所以()f x 在()0,1内单调递增； ② 当1x >时，10101,1x e e x -<<>=，则()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞内单调递减……………5分（2）因为函数()f x 的定义域为()0,+∞，当2a ≥-时，2x a x e e +-≥，∴()2ln ln x a x f x x e x e +-=-≤-………………………………………6分令()()221ln ,x x g x x e g x e x --'=-=-，令()21x h x e x -=-，∴()2210x h x e x-'=--<， ∴()g x '在()0,+∞上递减，又()1110g e -'=->，()01202g e '=-<，……………………………8分 ∴()g x '在()0,+∞上有唯一的零点0x ， ∴02010x e x --=，∴00001ln 2,2x x ex x =-+=-…………………………………………9分 当00x x <<时，则()0g x '>，所以()g x 在()00,x 内单调递增；当0x x >时，则()0g x '<，所以()g x 在()0,x +∞内单调递减.∴()()02000max 01ln 220x g x g x x e x x -==-=-+-<-=…………………………………11分 故当2a ≥-时，()0g x <，故()()0f x g x ≤<，所以当2a ≥-时，()f x 在定义域内无零点…………………………………………………12分22.【解析】（1）因为AB 为圆O 的一条直径，所以BF FH ⊥．又DH BD ⊥，故,,,B D F H 四点在以BH 为直径的圆上.所以，,,,B D F H 四点共圆…………………………………………………………4分（2）由题意得AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得2AF AC AD =g ，即(22,4AD AD ==g ， 所以()11,12BD AD AC BF BD =-===， 又AFD ADH ∆∆:，则DH AD BF AF =，得DH =. 连接BH （图略），由（1）可知，BH 为BDF ∆外接圆的直径.BH =，故BDF ∆………………………………………………………………10分23.【解析】（1）∵22123sin ρθ=+，∴()223sin 12ρθ+=，即曲线A 的普通方程为：22143x y +=， 曲线B的一个参数方程为：11x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设12,PM t PN t ==，∴12MP NP t t =g ．把112x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入方程22143x y +=中，得：2231411222⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：27502t -=，∴12121077t t t t +=-=-，∴12107MP NP t t ==g ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.【解析】（1）由()223223x f x x x x ≥⎧->⇔⎨-->⎩或2223x x x <⎧⎨-->⎩， ∴x ∈∅或13x <-， 故原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由()()f x g x ≥，得22x m x -≥-对任意的x R ∈恒成立， 当0x =时，不等式22x m x -≥-成立；当0x ≠时，问题等价于22x m x-+≤对任意的非零实数恒成立， ∵22221x x x x++-+≥=， ∴1m ≤，即m 的取值范围是(],1-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
湖南省2016届高三四校联考 文数答案
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湖南省高三数学考前演练试卷(一)文(含解析)
湖南省2016年高三普通高等学校招生全国统一考前演练数学试卷（文科）（一）（解析版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|0＜x＜3}，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，1，2} B．{0，1，} C．{0，3，4} D．{3，4}2．如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．给出下列四个命题，其中假命题是（）A．“∀x∈R，sinx≤1”的否定为“∃x∈R，sinx＞1”B．“若a＞b，则a﹣5＞b﹣5”的逆否命题是“若a﹣5≤b﹣5，则a≤b”C．∃x0∈（0，2），使得sinx=1D．∀x∈R，2x﹣1＞04．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，m），且sinα=﹣，则tanα等于（）A．﹣B．C．D．﹣5．设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣16．如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为（）A．B． C．或D．或7．根据程序框图计算，当a=98，b=63时，该程序框图结束的结果是（）A．a=7，b=7 B．a=6，b=7 C．a=7，b=6 D．a=8，b=88．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为（）A．πB．πC．πD．π9．已知F1，F2是双曲线=1（a，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．10．已知三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为（）A．8πB．8πC．5π D．6π11．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=x3+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序是）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a12．已知a，b∈（0，1），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高考专题二中—16下学期第四次模拟考试 .docx
二中2015—2016学年度下学期第四次模拟考试高三（16届）数学（文科）试卷说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1log |2<=x x A ，{}02|2<-+=x x x B ，则B A （ ）A ．()2，∞-B ．()10，C ．()22，-D ．()1，∞- 2．已知复数z 满足i i i z 31)1)(2(-=+-)(为虚数单位i ，在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知实数a 满足2<a ，则事件“点)1,1(M 与点)0,2(N 分别位于直线012=+-y ax l ： 两侧”的概率为（ ） A ．43 B.85C.83 D. 814.下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）A ．{}2 B.{}2,1 C ．{}2,1,0 D ．{}3,2 5．在等比数列{}n a 中，3115=⋅a a ，4133=+a a ，则515a a ＝（ ）A ．3或31 B . 31 C ．3 D ．－3或－31 6．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若幂函数()af x x =在(0,)+∞内单调递减，则0<a ”的逆否命题是“若0a ≥，则幂函数()a f x x =在(0,)+∞内单调递增”B ．已知命题p 和q ，若q p ∧为假命题，则命题p 与命题q 中必有一个是真命题、一个是假命题C ．若,x y R ∈，则“y x =”是“2()2x y xy +≥ ”的充要条件D ．若命题2000:,10p x R x x ∃∈++<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++>7．设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则下列四组条件中：①,α⊂a b ∥β，βα⊥； ②βαβα⊥⊥⊥,,b a ； ③,α⊂a β⊥b ，α∥β； ④α⊥a ，b ∥β，α∥β。
湖南省2016届高三四校 文数答案
湖南省$%#&届高三四校联考试题数学!文科"参考答案一#选择题题!号#$'()&*+,#%###$答!案-./././--/#!$解析%1!'"1"2'1"1$2#3'1&4#3'1的共轭复数为#"'1&故选-!$!$解析%易知"2'#"##%(&$2'#"###(&则"$%%$2'#"%&#'#(&故选.!'!$解析%!15(*678!#*6378!(*678!!,%63#*6"2!15(*678!#*6378!(*6!"!15#*6"2!15!(*6"#*6"2!15'%62#$&故选/!(!$解析%由已知得$ " 2!"$&$""!#&&"2!"'&$"&"&又 2!"#&#"&4!$ " " 2'3$"&2(&4&2#&故选.!)!$解析%抛物线方程化为#$2#'(&4)%&#(!"'&焦点到准线距离为#$'2#&4'2#$&故选/!&!$解析%易知0错&故选0!*!$解析%*$2+$'$2'$3,$'$2('&4''$3',$2('$&4',$2'$!两渐近线方程(29,'#29槡''#&渐近线的斜率-2槡''&2'%6&故两渐近线夹角为&%6&故选.!+!$解析%'$3,$"+$$',2#$:;5.(78!.278!.$!15.(!15.2#$&.)!%&"&4+2 &或)&&故选0!,!$解析%令$#"(2/!由约束条件知/)#'&)*$&故0<;=2'$2,&故选/!#%!$解析%易知+&#&故选-!##!$解析%设底面边长为#&则12槡'(#'槡2#&'&4#2(&4侧视图是长为(&宽为槡$'的矩形&2侧槡槡2(>$'2+'&故选-!#$!$解析%3!#"2$#3#"/"#$#3#2#"/3#$#3#& 当/3#2%即/2"#时&3!#"2#&此时3!'"&3!,"&3!+"都为#&能构成一个正三角形的三边长&满足题意!当/3##%&即/#"#时&3!#"在 上单调递增&"/&3!#"&#!4"/&3!'"&3!,"&3!+"&#!由3!'"33!,"#3!+"得"$/*#("#&/'"#$! 当/3#&%即/&"#时&3!#"在 上单调递减&#&3!#"&"/&由3!'"33!,"#3!+"得$*"/(/*"$&4"$'/&"#!综上+"$'/'"#$&故选/!二#填空题#'!$!$解析%4"!"#(23"!"#(2"3!"#(2"?8@$#(2"?8@$$"$2$!#(!!$&3A "!$解析%点"!#&%"在圆外&4#3&3##%&4&#"$!又B #3&!"$$3($2&$("#表示圆!4&$("##%(&#$或&&"$&4&#$!#)!#'!$解析%#%!15 78! 2&78! &4!152')&:;5 $2!15 $78! $2$!15$ $$!15 $78! $2#"78! !152#"()')2#'!#&! !$解析% 当'2%时&3!#"2"#$3,"显然是偶函数&故 正确!由3!%"23!$"&则","2"("('3,"&而3!#3#"2"!#3#"$"$'!#3#"3,"2"#$3!$"$'"#3#"$'3,"&3!#"#"2"!#"#"$"$'!#"#"3,"2"#"$#3#$"$'3$'#3,"2"#$3!$'"$"#3#"$'3,"&43!#3#"+3!#"#"&43!#"的图像不关于#2#对称&故 错误! 3!#"2"!#"'"$3,"'$"2!#"'"$3,"'$在区间)'&3A "上是增函数&故 正确! 5!#"2"!#"'"$3,"'$""$有(个零点&故 错误!三#解答题#*!$解析%!#"当6*$时&'6226"26"#2-!$6"#""-!$6"#"#"2- $6"#&''2- $$2+(-2$&4'62$6!当62#时&'#22#2- !$#"#"2$&综上所述&'62$6!&分 !$"由!#"知6'626 $6则762#>$#3$>$$3'>$'3 3!6"#"$6"#36 $6! $762#>$$3$>$'3'>$(3 3!6"#"$636 $63#! " 得+"762$#3$$3$'3 3$6"6 $63#&"762$!#"$6"#"$"6 $63#2$!$6"#""6 $63#&"762$63#"$"6 $63#&762!6"#"$63#3$!#$分 #+!$解析%!#"B "$为,8的直径&.是,"$上一点&4".-.$!又B 1.垂直,8所在平面&41.-".&4".-平面1.$!又B 9&:分别为1"&1.的中点&49:.".&49:-平面1.$!&分 !$"设点:到平面$.9的距离为;&由1:"$.921$".9:得#'; 2/$.92#'>+>#$>'>'&4;2+>,$#$槡>+>'$2,槡'$2'槡$2槡'$$&即点:到平面$.9的距离为槡'$$!#$分 #,!$解析%!#"众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点&即众数的估计值为##)!'分 设中位数的估计值为#&则#%>%!%%)3%!%#%>#%3%!%$%>#%3!#"##%">%!%'%2%!)&解得#2##)!4中位数的估计值为##)!&分!$"从图中知&成绩在)+%&,%"的人数为%!%%)>#%>(%2$!人"&成绩在),%&#%%"的人数为&$2%!%#%>#%>(%2(!人"&设成绩在)+%&,%"的学生记为'&,&成绩在),%&#%%"的学生记为+&;&*&3!则从成绩在)+%&#%%"内的学生中任取$人组成的基本事件有!'&,"!'&+"!'&;"!'&*"!'&3"!,&+"!,&;"!,&*"!,&3"!+&;"!+&*"!+&3"!;&*"!;&3"!*&3"共#)种!其中成绩在)+%&,%"的学生至少有一人的基本事件有!'&,"!'&+"!'&;"!'&*"!'&3"!,&+"!,&;"!,&*"!,&3"共,种&所以成绩在)+%&,%"的学生至少有一人的概率为<2,#)2')!#$分$%!$解析%!#"*$2+$'$2'$",$'$2#(&$0122'('$2(&,$2''!4椭圆.的方程为#$(3($'2#!)分 !$"设<"#<$的斜率分别为-#&-$&<!#%&(%"!即-#2(%#%3$&-$2(%#%"$&-#-$2($%#$%"(2'#"#$%!"(#$%"(2' ("#$%(#$%"(2"'(&*分 由=<"+(2-#!#3$"知>!(&&-#"&由=<$+(2-$!#"$"知?!(&$-$"&4>?的中点@!(&'-#3-$"!4以>?为直径的圆的方程为!#"("$3!("'-#"-$"$2#(!&-#"$-$"$2!'-#"-$"$&令(2%&4#$"+#3#&3,-$#3&-#-$3-$$2,-$#"&-#-$3-$$&4#$"+#3#&3#$-#-$2%&4#$"+#3#&3#$>"!"'(2%&即#$"+#3*2%&解得#2*或#2#&4存在定点!#&%"&!*&%"经过以>?为直径的圆!#$分$#!$解析%!#"3A !#"2$#"!"#"-$' ##&当-为奇数时&3A !#"2$#3$'##%&43!#"在!%&3A "上单调递增&3!#"无极值!$分 当-为偶数时&3A !#"2$#"$'#2$#$"$'#2$!#3槡'"!#"槡'"#&43!#"在!%&槡'"上单调递减&!槡'&3A "上单调递增&43!#"有极小值&3!#"极小值23!槡'"2'"$'?5槡'2'"'?5'!)分 !$"B -2$%#&&则3!#"2#$"$'?5#&令4!#"2#$"$'?5#"$'#&4A !#"2$#"$'#"$'2$#$"$'#"$'#2$#!#$"'#"'"令4A !#"2%&4#$"'#"'2%&B '#%&##%&4#%2'3'$3(槡'$!当#)!%&#%"时&4A !#"&%&44!#"在!%&#%"上单调递减!当#)!#%&3A "时&4A !#"#%&4!#"在!#%&3A "上单调递增!,分 又4!#"2%有唯一解&44!#%"2%&4A !#%"2%'&即#$%"$'?5#%"$'#%2%& #$%"'#%"'2%&'#%分 " 得+$'?5#%3'#%"'2%($?5#%3#%"#2%(#%2#!4'2#$!#$分$$!$解析%!#"如图&过9作9>."$交".于>&连结$:!4$99.2">>.! 又B "9平分3$".&43$"923."9&又9>."$&43$"923"9>&43."923"9>!4">2>9!4>9"$2.>".("$".2>9.>2">.>! 由 知"$".2$99.!)分 !$"B "9 9:2$9 9.!又"$".2$99.(9.2$>#'2$'&B /"9.4/"$:&4"9"$2".":&4"9 ":2"$ ".&4"9 !"939:"2"$ ".&4"9$2"$ ".""9 9:2"$ "."$9 9.2'>$"#>$'2&"$'2#&'&4"92槡(''!#%分$'!$解析%.#+ $2$78! &4#$3($"$#2%&所以.#的普通方程为!#"#"$3($2#&.$+#(3$2"('&4'#2"(("+&所以.$的普通方程为'#3((3+2%!圆心.#!#&%"到'#3((3+2%的距离;2"'3+")2##)##&4.#与.$相离!)分 !$"">?"<152##)"#2&)!#%分 $(!$解析%!#"由3!#"#%得"#"$"#"#"#"&两边平方得#$"(#3(##$"$#3#&解得#&'$&即实数#的取值范围是"A &!"'$!)分 !$""'3,"3"'","*"'3,3'","2$"'"&B 3!#"2"#"$"""#"#"&3!#"<;=2#&4$"'"*#("'"*#$('*#$或''"#$!所以'的取值范围为"A &"!*#$5#$&3A )"!#%分。
2016届湖南省高三下学期普通高等学校招生全国统一考试考前演练(四)数学(文)试题
考前演练（四）数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i 为虚部单位，若()12i z i -=，则z 的虚部为( ) A ．1-B ．i -C ．1D ．i2．已知全集U R =，集合()(){}130A x x x =-+≥，集合193xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则()U A B = ð( )A ．()2,1-B ．()3,-+∞C ．()(),32,-∞--+∞D ．()1,+∞3．在四边形ABCD 中，()()2,3,6,4AC BD ==-，则该四边形的面积为( )A ．213B ．13C ．13D ．264．执行如图所示的程序，则输出的结果为( ) A ．20152016B ．20162017C ．40312016D ．403320175．从某校随机选取5名高三学生，其身高与体重的数据如下表所示： 身高x cm 165 168 170 172 175 体重y kg4951556169根据上表可得回归直线2y x a =-．则预测身高为180cm 的学生的体重为( ) A ．73kgB ．75kgC ．77kgD ．79kg6．已知向量()()1,1,,2n n a a +==a b ，且11a =．若数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且a b ，则n S =( )A ．21n-B ．12n-C ．1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．122n⎛⎫- ⎪⎝⎭7．已知实数x 、y 满足20,,2,x y y x x +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩目标函数12z x y =+，则z 的最大值为( )A ．3B ．2C ．32D ．128．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的表面积为( ) A ．4543ππ+B ．2543ππ+C ．124543ππ++ D ．244543ππ++9．能够把圆222x y R +=的周长和面积同时平分为相等的两部分的函数称为该圆的“和谐函数”，下列函数不是圆224x y +=的“和谐函数”的是( ) A ．()122x xf x =+B ．()tan2x f x = C ．()3f x x x =+D ．()4ln 4xf x x-=+10．已知函数()()2231m m f x m m x+-=--是幂函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x -<-，若a 、b R ∈，且0,0a b ab +><，则()()f a f b +的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．等于0D ．无法判断11．将函数()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则下面对函数()6y g x g x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的叙述正确的是( ) A ．函数的最大值为23，最小值为23-B ．23x π=是函数的一条对称轴 C ．函数的增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．将()6y g x g x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象向左平移3π个单位得到函数3sin 2y x =的图象12．已知直线l 与双曲线221412x y -=交于A 、B 两点，现取AB 的中点M 在第一象限，并且在抛物线24y x =上，M 到抛物线焦点的距离为2，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．2C ．32D ．52二、填空题（本大题共4小题，每题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．已知[]0,x π∈，使1sin 2x ≥的概率为______． 14．已知A 、B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在双曲线上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120︒．则双曲线的离心率为______．15．已知数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列，且()*1n n n b a a n N +=-∈，若3102,12b b =-=．则10a =______．16．设过曲线()xf x e x =+（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x x ax =-上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为______． 三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22sin cos 212A CB ++=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2b =，求y a c =+的取值范围． 18．（本小题满分12分）某媒体对“推迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下面是在某两单位得到的数据（人数）．赞同 反对 合计 企业职工 10 20 30 事业职工20525合计 30 25 55（1）是否有99.9%的把握认为赞同“推迟退休”与职业有关？（2）用分层抽样的方法从赞同“推迟退休”的人员中随机抽取6人作进一步调查分析，将这6人作为一个样本，从中任选2人，求恰有1名为企业职工和1名事业职工的概率．()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．（本小题满分12分）如图：四边形ABCD 为等腰梯形，且AD BC ，E 为BC 中点，AB AD BE ==．现沿DE 将CDE ∆折起成四棱锥C ABED '-，点O 为ED 的中点．（1）在棱AC '上是否存在一点M ，使得OM 平面C BE '？并证明你的结论； （Ⅱ）若2AB =，求四棱锥C ABED '-的体积的最大值．20．（本小题满分12分）已知圆C 过定点()0,A p ，圆心C 在抛物线()220x py p =>上，圆C 与x 轴交于M 、N 两点，当C 在抛物线顶点时，圆C 与抛物线的准线交于G 、H ，弦GH 的长为23． （1）求抛物线的解析式；（2）当圆心C 在抛物线上运动时．①MN 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． ②记,AM m AN n ==．求m nn m+的最大值，并求出此时圆C 的方程． 21．（本小题满分12分）设函数()2ln ,,f x a x bx a b R =-∈．（1）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切； ①求,a b 的值；②求函数()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．（2）当0b =时，若不等式()f x m x ≥+对所有的(230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，求实数m 的取值范围． 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知圆O 为ABC ∆的外接圆，AB BC =，AD 是BC 边上的高，AE 是O 的直径，过点C 作O 的切线交BA 的延长线于点F ． （1）求证：AC BC AD AE ⋅=⋅； （2）若2,22AF CF ==，求AE 的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1cos ,:3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线23cos ,:4sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）． （1）化1C 、2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若2C 上的点P 对应的参数为2πθ=，Q 为1C 上的动点，求PQ 中点M 到直线()3:cos sin 6C ρββ-=距离的最大值．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =-+-． （Ⅰ）求不等式()4f x ≤的解集；（Ⅱ）使()f x m ≥恒成立的实数m 的最大值为t ，若,a b 均为正实数，且满足2a b t +=．求22a b +的最小值．湖南省2016届高三下学期普通高等学校招生全国统一考试考前演练（四）数学（文）试题参考答案一、选择题1．C 【解析】由()2111iz i i i i==+=-+-，∴虚部为1，选C ． 2．B 【解析】{1A x x =≥或}3x ≤-，则{}{}31,2U A x x B x x =-<<=>-ð， ∴(){}3U A B x x =>- ð，选B ．3．B 【解析】由已知，0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥． 又13,213AC BD ==，∴1132S AC BD =⋅=四边形，选B ． 4．D 【解析】由程序框图知，本程序的功能是计算1111112233420162017S =++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯的值． 1111111140341403311112233420162017201720172017S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋅⋅⋅+-=+-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．选D ． 5．C 【解析】170,57x y ==，∴572170,283a a =⨯-=，当180x =时，218028377y =⨯-=，选C ．6．A 【解析】由a b ，知12n n a a +=，∴{}n a 是以11a =为首项的等比数列，公比2q =，∴122112nn n S -==--．选A ．7．A 【解析】作出图形知，当2,2x y ==时，z 有最大值，213z =+=．8．D 【解析】由三视图知，该几何体是圆锥的一部分，底面为扇形，圆心角为120︒，半径为2，锥体的高为4． 其表面积为：21111454244542422225282233333ππππππ++⨯⨯⨯+⨯⋅⋅⋅+⋅⋅=++=．选D ． 9．A 【解析】因为B 、C 、D 三个函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，且图象过原点，而圆224x y +=是中心对称图形并关于原点对称，所以B 、C 、D 三个函数的图象均能平分该圆的面积与周长，而A 不能，选A ．10．A 【解析】由已知()()2231m m f x m m x+-=--⋅为幂函数，所以2m =或1m =-，当2m =时，()3f x x =；当1m =-时，()3f x x -=．11．C 【解析】由已知()sin 2,sin 2sin 23sin 266663g x x y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 所以y 的最大值为3，最小值为3-，故A 错误； 但23x π=时，0y =．故23x π=不是对称轴，B 错误； 令222232k x k πππππ-≤-≤+．解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈．故C 正确； 将函数向左平移3π个单位得到3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．故D 错误，选C ． 12．C 【解析】由已知设()00,M x y ，则022px +=，即00012,1,2x x y +===，∴()1,2M ． 设()()1122,,,A x y B x y ，则有2211222214121412x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①② -①②得()()12121212124x x y y x x y y +-=-+， ∴()()1201212120121333422AB x x x y y k x x y y y +-===⋅=⋅=-+，选C ．二、填空题13．23【解析】由1sin 2x ≥知566x ππ≤≤，∴所求概率为52663P πππ-==． 14．2【解析】设双曲线为()222210,0x y a b a b-=>>．过M 作HM x ⊥轴于H ，由已知，2,120AB BM a ABM ==∠=︒． ∴,3BH a HM a ==．∴()2,3M a a ，∴2222431a a a b -=，∴221a b=，∴2212b e a =+=．15．21【解析】由{}n b 为等差数列，3102,12b b =-=，知28n b n =-． ∴()()()213211n n n a a a a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅+-+12311n b b b b a -=+++⋅⋅⋅++2911n n =-+当10n =时，10100901121a =-+=．16．[]1,2-【解析】设()11,x y 为()f x 上的任一点，则过()11,x y 处的切线1l 的斜率为111x k e =+． 过()g x 图象上一点()22,x y 处的切线2l 的斜率为222sin k a x =--． 由已知()()1212sin 1x e a x +⋅--=-，即1212sin 1x a x e +=+， 1x R ∀∈，总存在2x R ∈使等式成立．则有122sin y a x =+的值域为[]2,2A a a =-+．1211x y e =+的值域()0,1B ， 有B A ⊆，即()[]0,12,2a a ⊆-+，∴20,21,a a -≤⎧⎨+≥⎩∴12a -≤≤．三、解答题17．解：（1）由22sin cos 212A CB ++=， 有()1cos cos 21AC B -++=． ∴2cos 2cos 10B B +-=， ∴1cos 2B =或cos 1B =-， 又()0,B π∈， ∴3B π=．………………………………………………………………………………………………………6分（2）由正弦定理242sin 332b R B ===， ∴2sin 2sin y a c R A R C =+=⋅+⋅()4sin sin 3A C =+……………………………………………………………………………………………8分42sin sin 33A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 43sin 63A π⎡⎤⎛⎫=⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． (10)分 而232C A ππ=-<， ∴62A ππ<<，∴3sin ,162A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，∴(23,4y ⎤∈⎦．………………………………………………………………………………………………12分18．解：（1）()2255105202053911.97810.8283025253045K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯．∴有99.9%的把握认为赞同“推迟退休”与职业有关．………………………………………………………5分（2）由分层抽样是按比例抽取，所以66102,2043030⨯=⨯=．…………………………………………7分 ∴企业抽取2人记为a 、b ，事业抽取4人记为1、2、3、4．总的事件： (10)分共15个基本事件，符合条件的事件为：8个，∴所求概率为815P =．…………………………………………………………………………………………12分19．解：（1）存在，当M 为AC '的中点时，OM 平面C BE '．…………………………………………1分取BC '的中点F ，连结,MF FE ． ∵MF 为ABC '∆的中位线． ∴12MF AB，又AB ED ，O 为ED 中点， ∴MF EO ．∴四边形EFMO 为平行四边形． ∴MO EF ．而EF ⊂平面BEC '，OM ⊄平面BEC '，∴OM 平面BEC '．…………………………………………………………………………………………6分 （2）∵底面ABED 的面积不变为23．∴当平面C ED '⊥平面ABED 时，锥体的高最大．..................................................................8分 即C O '⊥平面ABED 时，体积最大，此时3OC '=， (10)分∴最大体积为123323⨯⨯=．……………………………………………………………………………12分 20．解：（1）抛物线的准线为2p y =-，当C 在抛物线顶点时，圆C 的半径为p ，圆C 的方程为222x y p +=． ∴弦长222322324p p p p ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．∴2p =，∴抛物线的方程为24x y =．……………………………………………………………………………………4分（2）①记2,4a C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆C 的半径22224a r a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．由垂径定理知22222222222442244444a a a a MN r a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒+-⋅+-=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴MN 为定值4．………………………………………………………………………………………………7分 ②由①知，()()2,0,2,0M a N a -+， ∴()()2222222248,2248AM a a a AN a a a =-+=-+=++=++． ∴()2222242244442821616641622164646464a m n m n a a a a n m mn a a a a ++++++====⋅=+++++，……………9分 当0a =时，2m n n m +=．……………………………………………………………………………………10分 当0a ≠时，242216161621212122646428m n a n m a a a+=⋅+=+≤+=+⨯+． 当且仅当22a =±时，m n n m+有最大值为22， 此时圆C 的方程为()()222228x y ±+-=．……………………………………………………………12分 21．解：（1）①由()2a f x bx x '=-，有()()11,210,f f ⎧=-⎪⎨⎪'=⎩∴20,1,2a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，∴1,1.2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………………………3分 ②由①知()()2211ln ,2x f x x x f x x-'=-=． 当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减．∴但1x =时，()f x 有最大值()()max 112f x f ==-．……………………………………………………7分 （2）当0b =时，()ln f x a x =．由题意有ln a x m x ≥+对(230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∀∈∈⎦⎢⎥⎣⎦恒成立．即ln m a x x ≤-对(230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∀∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立． 令()ln h a a x x =-，即()h a 为一次函数，()min m h a ≤．∵(21,x e ⎤∈⎦，∴ln 0x >，∴()()min 0h a h x ==-，∴(2,1,m x x e ⎤≤-∀∈⎦都成立．∴2m e ≤-．……………………………………………………………………………………………………12分22．解：（1）连结BE ，得90ABE ADC ∠=∠=︒．又ACB AEB ∠=∠，∴ADC ABE ∆∆∽． ∴AC AD AE AB=．即AD AE AC AB ⋅=⋅． 又AB BC =，∴AD AE AC BC ⋅=⋅．…………………………………………………………………………………………5分（2）∵CF 与O 相切，∴2CF AF FB =⋅，即82BF =⨯，∴4,2BF AB ==．……………………………………………………………………………………………7分 易证ACF CBF ∆∆∽， ∴,2AF AC AC FC BC==．………………………………………………………………………………………8分 ∴()22222222cos 422242ACD +-∠===⨯⨯， ∴14sin 4ACD ∠=， ∴4142sin 7AB R ACD ==∠．即AE 的长为4147．……………………………………………………10分23．解：（1）221:13y C x +=，是焦点在y 轴上的椭圆； ()()222:341C x y -+-=，是以()3,4为圆心，1为半径的圆．…………………………………………5分 （2）由已知()()33cos 53sin 3,5,cos ,3sin ,,,:6022P Q M C x y αααα⎛⎫++--= ⎪ ⎪⎝⎭． ∴3cos 53sin 136cos sin 7sin 7sin 72222662222d ααππαααα++⎛⎫⎛⎫--------+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====． 最大值为8422=．…………………………………………………………………………………………10分 24．解：（1）()23,2,1,12,32, 1.x x f x x x x -≥⎧⎪=<<⎨⎪-≤⎩∴()4f x ≤的解集为1722x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．……………………………………………………………………4分 （2）由()f x m ≥知1m ≤．∴1t =．即2a b +=．则()22222424242122a b a b a b ab ab +⎛⎫+=+-=-≥-⋅=-⋅= ⎪⎝⎭ 当且仅当1a b ==时取最小值2．……………………………………………………………………………10分。
湖南省2016届高三高考冲刺卷(全国卷I)(四)理数试题Word版含答案.doc
理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数i z -=1，则z z+1对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 若集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ，}02|{2>-∈=x x R x B ，则)(B C A R I 所含的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3.在单调递减等比数列}{n a 中，若13=a ，2542=+a a ，则=1a （ ） A ．2 B ．4 C ．2 D ．224. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）A ．32cmB ．33cm C ．333cm D ．33cm5.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=8,log 80,6cos )(2x x x xx f π，=-))16((f f （ ）A ．21-B ．23-C ．21D ．236.高三某班上午又4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课．如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（ ）A ．36B ．24C ．18D ．127.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y x y 02，且y x z +=2的最小值为4，则实数b 的值为（ ）A ．1B ．2C ．25D ．3 8.下列推断错误的是（ ）A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”B ．命题p ：存在R x ∈0，使得01020<++x x ，则非p ：任意R x ∈，都有012≥++x xC ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“1<x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件9.设函数42)(-+=x e x f x，52ln )(2-+=x x x g ，若实数b a ,分别是)(),(x g x f 的零点，则（ ）A ．)(0)(b f a g <<B ．)(0)(a g b f <<C ．)()(0b f a g <<D ．0)()(<<a g b f10.已知抛物线)0(22>=p px y 上一点)0)(,1(>m m M 到其焦点的距离为5，双曲线122=-y ax 的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数=a （ ） A ．91 B ．41 C ．31 D ．21 11.在ABC Rt ∆中，3==CB CA ，N M ,是斜边AB 上的两个动点，且2=MN ，则⋅的取值范围为（ ）A ．]25[2, B ．[2,4] C ．[3,6] D ．[4,6]12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，)1,0(),1,1(),0,1(C B A ，映射f 将xOy 平面上的点),(y x P 对应到另一个平面直角坐标系v uO '上的点),2('22y x xy P -，则当点P 沿着折线C B A --运动时，在映射P 的作用下，动点'P 的轨迹是（ ）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设曲线)(1*+∈=N n xy n 在点)1,1(处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则201420152201512015log log log x x x +++Λ的值为 .14.已知二项式nxx )1(2+的展开式的二项式之和为32，则展开式中含x 项的系数是 .15.设数列}{n a 共有n 项（*∈≥N n n ,3），且11==n a a ，对于每个),11(*∈-≤≤N n n i i 均有}3,1,31{1∈+i i a a ． （1）当3=n 时，满足条件的所有数列}{n a 的个数为 ； （2）当10=n 时，满足条件的所有数列}{n a 的个数为 .16.已知R 上的不间断函数)(x g 满足：（1）当0>x 时，0)('>x g 恒成立；（2）对任意的R x ∈都有)()(x g x g -=．奇函数)(x f 满足：对任意的R x ∈，都有)()3(x f x f -=+成立，当]3,0[∈x 时，x x x f 3)(3-=，若关于x 的不等式)2()]([2+-≤a a g x f g 对]3,3[-∈x 恒成立，则a 的取值范围为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设ABC ∆是锐角三角形，三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，并且)3sin()3sin()sin )(sin sin sin B B B A B A +-=+-ππ（.（1）求角A 的值；（2）若12=⋅，72=a ，求c b ,（其中c b <）.18.某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节．笔试有B A ,两个题目，该学生答对B A ,两题的概率分别为21和31，两题全部答对方可进入面试．面试要回答甲、乙两个题目，该学生答对这两个题目的概率均为21，至少答对一题即可被聘用（假设每个环节的每个题目回答正确与否是相互独立的）． （1）求该学生被公司聘用的概率；（2）设该学生答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19.如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，1===BC DC PD ，2=AB ，DC AB //，ο90=∠BCD ，E 为棱PC 上异于C 的一点，BE DE ⊥．（1）证明：E 为PC 的中点； （2）求二面角A DE P --的大小.20.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为22，过椭圆顶点),0(),0,(b a 的直线与圆3222=+y x 相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点)0,2(M 的直线与椭圆C 相交于两点B A ,，设P 为椭圆上一点，且满足OP t B O OA =+（O 为坐标原点），当352||<-PB PA 时，求实数t 的取值范围.21.设函数)1()1ln()1()(2->+++=x bx x x a x f ，曲线)(x f y =过点)1,1(2+--e e e ，且在点)0,0(处的切线方程为0=y . （1）求b a ,的值；（2）证明：当0≥x 时，2)(x x f ≥；（3）若当0≥x 时，2)(mx x f ≥恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 切圆O 于点B ，BC 是圆O 的直径，AC 交圆O 于点D ，DE 是圆O 的切线，DE CE ⊥于E ，4,3==CE DE ，求AB 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 23121（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为）（4sin 22πθρ+=．直线l 与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于点P . （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求||1||1PB PA +的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数3)(|,2||12|)(+=++-=x x g a x x x f . （1）当2-=a 时，求不等式)()(x g x f <的解集； （2）设1->a ，且当)21,2[a x -∈时，)()(x g x f ≤，求a 的取值范围.文科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8[ 9 10 11 12 答案DCBBCADCAADA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1-； 14．10； 15．(1)3 (2)3139； 16．),1[]0,(+∞-∞Y 三、解答题：本大题共6个题，共70分． 17．解：（1）B B B B B A 22sin )sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin +-⋅+=∵c b <，∴6,4==c b .18．解：记答对B A ,，甲，乙各题分别为事件D C B A ,,11，，则21)()(,31)(,21)(11====D P C P B P A P ．（1）所求事件的概率为81)21211(3121)](1[)(11=⨯-⨯=⋅-⋅⋅D C P B A P ．（2）ξ的取值为0，1，2，3，4，313221)()0(11=⨯=⋅==B A P P ξ， 2132213121)()1(1111=⨯+⨯=⋅+⋅==B A B A P P ξ，24121213121)()()2(11=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅==D C P B A P P ξ，121)21(3121)()()3(21211=⨯=⋅+⋅⋅⋅==C D C D C P B A P P ξ，241)21(3121)()()4(211=⨯⨯=⋅⋅⋅==D C P B A P P ξ.∴ξ的分布列为∴1241412132412211310)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． 19．（1）取AB 中点F ，以D 为坐标原点，分别以DP DC DF ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)1,,0(),0,1,0(),0,1,1(),0,1,1(),1,0,0(),0,0,0(y y E C B A P D --，)1,,0(y y DE -=，)1,1,1(y y BE ---=．（1）210)1()1(2=⇒=-+-=⋅⇒⊥y y y y BE DE BE DE . ∴)21,21,0(E ，即E 为PC 的中点． （2）)21,21,0(=DE ,)0,1,1(-=DA ，设平面ADE 的一个法向量为),,(000z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02121000000y x z y m DA m DE ，令10=x ，则)1,1,1(-=m ． 平面PDE 的一个法向量为)0,0,1(=n ，则33||||,cos =>=<n m n m n m ，故二面角A DE P --的大小为33arccos．20．解：（1）由题意知22==a c e ，∴21222222=-==a b a a c e ，即222b a =① ∵过椭圆顶点),0(),0,(b a 的直线),0(),0,(b a 与圆3222=+y x 相切，∴32||||22=+b a ab ②，由①②联立解得1,222==b a ，故椭圆C 的方程为1222=+y x ．（2）由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：)2(-=x k y ，),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x P ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)2(22y x x k y 得0288)21(2222=-+-+k x k x k ．0)28)(12(464224>-+-=∆k k k ，212<k ， 2221218k k x x +=+，22212128k k x x +-=⋅，∵OP t B O OA =+，∴),()2121y x t y y x x =++，（， )21(82221k t k t x x x +=+=，)21(4]4)([122121k t kk x x k t t y y y +-=-+=+=，∵点P 在椭圆上，∴2)21()4(2)21(8222222=+-++k t k k t k ，∴)21(16222k t k +=，∵352||<-， ∴352||1212<-+x x k ，920]4))[(1(212212<-++x x x x k ， ∴920]21284)21(64)[1(222242<+-⨯-++k k k k k ，∴0)134)(14(22>+-k k ，∴412>k ，∴21412<<k ， ∵)21(16222k t k +=，∴222221882116k k k t +-=+=，∴3622-<<-t 或2362<<t ， ∴实数t 的取值范围为Y )362,2(--)2,362(. 21．解：（1）b x a x x a x f +++++=)1()1ln()1(2)('，∵0)0('=+=b a f ，1)1()1()1e ('222+-=+-=-+=-e e e e a e b ae f ，∴1=a ，1-=b ．（2）x x x x f -++=)1ln()1()(2，设)0(,)1ln()1()(22≥--++=x x x x x x g ，x x x x g -++=)1ln()1(2)('，01)1ln(2))'('(>++=x x g ，∴)('x g 在),0[+∞上单调递增，∴0)0(')('=≥g x g ，∴)(x g 在),0[+∞上单调递增，∴0)0()(=≥g x g ，∴2)(x x f ≥． （3）设22)1ln()1()(mx x x x x h --++=，mx x x x x h 2)1ln()1(2)('-+++=，由（2）知)1()1ln()1(22+=+≥++x x x x x x ，∴x x x ≥++)1ln()1(，∴mx x x h 23)('-≥，①当023≥-m 即23≤m 时，0)('≥x h ，∴)(x h 在),0[+∞上单调递增，∴0)0()(=≥h x h 成立． ②当23<-m 即23>m 时，x m x x x h )21()1ln()1(2)('--++=,m x x h 23)1ln(2)(''-++=，令0)(''=x h ，得012320>-=-m ex ，当),0[0x x ∈时，0)0()('=<h x h ，∴)(x h 在),0[0x 上单调递减，∴0)0()(=<h x h 不成立． 综上，23≤m ． 请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.解：连接OD ，∵DE 是圆O 的切线，∴DE OD ⊥，又DE CE ⊥于E ，∴CE OD //， ∴OCD ODC ECD ∠=∠=∠，∵3,3==CE DE ，∴5=CD ， ∴43tan tan tan =∠=∠=∠OCD ODC ECD ，∴54cos =∠OCD ，故425cos =∠=OCD CD BC ，故1675tan =∠⋅=OCD BC AB ，∴AB 的长为1675.23.解：（1）利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程为）（4sin22πθρ+=化为θρθρcos 2sin 22+=，所以普通方程为x y y x 2222+=+，即2)1()1(22=-+-y x .（2）直线与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于点P ，把直线的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 23121（t为参数）代入曲线C 的普通方程2)1()1(22=-+-y x 中，得012=--t t ，∴⎩⎨⎧-=⋅=+112121t t t t ，∴54)(||||||1||1||1||121221212121=-+=⋅-=+=+t t t t t t t t t t PB PA . 24．（1）当2-=a 时，不等式)()(x g x f <可化为03|22||12|<---+-x x x ， 设函数3|22||12|---+-=x x x y ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=1,63121,221,5x x x x x x y其图象如图所示，从图象可知，当且仅当)2,0(∈x 时，0<y ，所以原不等式的解集是}20|{<<x x .（2）当)21,2[a x -∈，a x f +=1)(，不等式)()(x g x f ≤ 化为31+≤+x a ，∴2-≥a x 对)21,2[a x -∈都成立，故22-≥-a a ，即34≤a ，从而a 的取值范围是]34,1(-．。