指数函数图像讲义的平移

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函数像的平移与伸缩

函数像的平移与伸缩函数的平移和伸缩是数学中常见的概念，它们描述了函数图像在平面上以及在坐标轴上的变化。

通过对函数进行平移和伸缩的操作，我们可以改变函数的位置和形状，从而得到不同的函数。

一、函数的平移函数的平移是指将函数图像沿着坐标轴的某个方向移动一定的距离。

具体来说，对于一般的函数y = f(x)来说，将x坐标加上一个常数h，y坐标加上一个常数k，就可以将函数图像平移至(x+h, y+k)的位置。

1. 向右平移：将函数图像整体向右移动，可以通过将x坐标加上一个正数来实现。

例如，对于y = f(x)来说，如果将x坐标加上h，那么新函数的表达式可以写为y = f(x-h)。

2. 向左平移：将函数图像整体向左移动，可以通过将x坐标加上一个负数来实现。

例如，对于y = f(x)来说，如果将x坐标加上-h，那么新函数的表达式可以写为y = f(x+h)。

3. 向上平移：将函数图像整体向上移动，可以通过将y坐标加上一个正数来实现。

例如，对于y = f(x)来说，如果将y坐标加上k，那么新函数的表达式可以写为y = f(x) + k。

4. 向下平移：将函数图像整体向下移动，可以通过将y坐标加上一个负数来实现。

例如，对于y = f(x)来说，如果将y坐标加上-k，那么新函数的表达式可以写为y = f(x) - k。

二、函数的伸缩函数的伸缩是指改变函数图像的形状和大小，通常通过对函数的自变量和因变量进行伸缩系数的操作来实现。

1. 水平伸缩：水平伸缩是指改变函数图像在x轴方向上的形状。

通过改变自变量x的伸缩系数a的值，可以实现水平伸缩。

如果0 < a < 1，表示将函数图像在x轴方向上收缩；如果a > 1，表示将函数图像在x轴方向上拉伸。

具体而言，对于y = f(x)来说，将x乘以a，新函数的表达式可以写为y = f(ax)。

2. 垂直伸缩：垂直伸缩是指改变函数图像在y轴方向上的形状。

通过改变因变量y的伸缩系数b的值，可以实现垂直伸缩。

函数图像的三种变换平移变换

函数图像的三种变换一、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种：沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。

以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。

同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。

沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。

同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。

据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。

高中数学函数的图像变形与平移技巧

高中数学函数的图像变形与平移技巧在高中数学中，函数的图像变形与平移是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。

掌握了这些技巧，不仅可以更好地理解函数的性质，还能够解决一些实际问题。

本文将通过具体的例题，详细介绍函数图像的变形与平移技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、函数图像的上下平移考虑函数y = f(x)，如果我们将函数图像上移h个单位，那么新的函数为y =f(x) + h。

同样地，如果我们将函数图像下移h个单位，那么新的函数为y = f(x) - h。

这里的h可以是任意实数。

举个例子，考虑函数y = x^2，我们将其上移2个单位，那么新的函数为y =x^2 + 2。

这时，原来的抛物线图像上移了2个单位，变成了一个更高的抛物线。

同样地，如果我们将函数y = x^2下移2个单位，那么新的函数为y = x^2 - 2。

这时，原来的抛物线图像下移了2个单位，变成了一个更低的抛物线。

通过这个例子，我们可以看到，函数图像的上下平移只需要在原来的函数上加上或减去一个常数。

这个常数表示平移的距离，正数表示上移，负数表示下移。

二、函数图像的左右平移考虑函数y = f(x)，如果我们将函数图像左移k个单位，那么新的函数为y =f(x + k)。

同样地，如果我们将函数图像右移k个单位，那么新的函数为y = f(x - k)。

这里的k可以是任意实数。

举个例子，考虑函数y = x^2，我们将其左移3个单位，那么新的函数为y = (x + 3)^2。

这时，原来的抛物线图像左移了3个单位，变成了一个更靠左的抛物线。

同样地，如果我们将函数y = x^2右移3个单位，那么新的函数为y = (x - 3)^2。

这时，原来的抛物线图像右移了3个单位，变成了一个更靠右的抛物线。

通过这个例子，我们可以看到，函数图像的左右平移只需要在原来的函数的自变量上加上或减去一个常数。

这个常数表示平移的距离，正数表示左移，负数表示右移。

三、函数图像的纵向伸缩与压缩考虑函数y = f(x)，如果我们将函数图像纵向伸缩a倍，那么新的函数为y = a * f(x)。

函数图像的移动规律

函数图像的移动规律函数图像的移动是数学中一个基础而重要的概念，它描述了在坐标系中，函数图像在不同条件下的位置变化规律。

本文将从函数图像的平移、伸缩和翻转三个方面，探讨函数图像的移动规律，并介绍相应的数学表示和几何解释。

一、函数图像的平移函数图像的平移是指将函数图像在坐标系中沿着水平或垂直方向移动一定的距离。

具体来说，水平方向的平移会改变函数图像的横坐标，而垂直方向的平移则会改变函数图像的纵坐标。

1. 水平方向的平移若函数y=f(x)的图像经过水平方向平移a个单位，则平移后的函数为y=f(x-a)。

这意味着原先定义域为x的函数，经过平移后的函数定义域变为x-a。

平移后的函数图像在横坐标上所有点的横坐标都减去a，相当于整个图像向右平移了a个单位。

2. 垂直方向的平移若函数y=f(x)的图像经过垂直方向平移b个单位，则平移后的函数为y=f(x)+b。

这表示平移后的函数图像在纵坐标上所有点的纵坐标都增加了b，相当于整个图像向上平移了b个单位。

二、函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将函数图像在坐标系中沿着横轴或纵轴方向进行的比例变化。

具体而言，横轴方向的伸缩会改变函数图像的横坐标，在图像上产生水平方向的压缩或拉伸；纵轴方向的伸缩则会改变函数图像的纵坐标，在图像上产生垂直方向的压缩或拉伸。

1. 横轴方向的伸缩若函数y=f(x)的图像在横轴方向进行了横向压缩或拉伸的变化，则变化后的函数为y=f(kx)，其中k为一个正实数。

当02. 纵轴方向的伸缩若函数y=f(x)的图像在纵轴方向进行了纵向压缩或拉伸的变化，则变化后的函数为y=kf(x)，其中k为一个正实数。

当0三、函数图像的翻转函数图像的翻转是指将函数图像关于坐标系中某条直线进行对称变换。

具体来说，有关翻转的几种情况如下：1. 关于x轴的翻转若函数y=f(x)的图像关于x轴进行了翻转，则变化后的函数为y=-f(x)。

这意味着翻转后的函数图像在纵坐标上的值取相反数，相当于整个图像关于x轴对称。

函数解析式平移规律

函数解析式平移规律函数的解析式平移规律是数学中的一个重要概念，它描述了函数图像在坐标平面上的平移过程。

平移是指将函数的图像沿着横轴和纵轴分别向左或向右、向上或向下移动一定的距离。

这个规律在实际问题的建模和解决中起着重要的作用。

在平移规律中，首先需要明确一个概念，即平移的方向。

当我们平移函数图像时，横轴的平移方向是左右，纵轴的平移方向是上下。

根据平移的方向，我们可以判断函数图像向左移动、向右移动、向上移动还是向下移动。

平移的距离是平移规律的另一个重要要素。

平移的距离可以是一个具体的数值，也可以是一个变量。

当我们平移函数图像时，平移的距离可以是水平方向的偏移量、垂直方向的偏移量，或者两个方向的组合。

平移的距离可以是正数，表示向右或向上移动；也可以是负数，表示向左或向下移动。

在实际问题中，我们经常会遇到需要应用平移规律进行建模和解决的情况。

例如，物体的运动轨迹可以用函数来描述，当物体平移时，函数图像也会相应地发生平移。

平移规律可以帮助我们描述物体的位置和运动状态，从而更好地理解和预测物体的运动轨迹。

平移规律还可以应用于图形的绘制和设计领域。

例如，当我们在计算机上设计一个游戏关卡的地图时，可以使用平移规律来控制地图元素的位置，以达到想要的效果。

平移规律还可以用于绘画中，通过平移函数图像可以创造出各种有趣的图案和效果。

要使用平移规律进行函数图像的平移，首先需要确定平移的方向和距离。

然后，可以根据平移规律的公式进行计算和操作。

对于一般的函数解析式，横轴的平移规律可以表示为f(x-a)，纵轴的平移规律可以表示为f(x)+b。

其中，a代表横轴的平移距离，b代表纵轴的平移距离。

通过使用平移规律，我们可以更加灵活地处理和分析函数图像，更好地理解函数的性质和行为。

平移规律的应用范围十分广泛，不仅在数学中有着重要意义，还在科学、工程、艺术等领域中发挥着重要的作用。

总之，函数的解析式平移规律是数学中的一个重要概念，它描述了函数图像在坐标平面上的平移过程。

函数图像的平移与反射

函数图像的平移与反射函数图像的平移与反射是数学中一个重要的概念。

在平面直角坐标系中，函数图像的平移是指将函数图像上的点整体沿着横轴或纵轴方向移动一定的距离，而图像的形状不发生改变。

反射则是指对图像进行镜像翻转，使得图像关于某条直线对称。

一、函数图像的平移平移是指将函数图像上的每个点按照一定的规律整体移动，从而改变函数图像在平面坐标系中的位置。

平移可以沿着横轴方向或纵轴方向进行。

1. 沿横轴平移当我们将函数图像沿横轴方向平移时，可以通过改变函数中的自变量来实现。

设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，平移的距离为a （正数表示向右平移，负数表示向左平移），则有如下公式：g(x) = f(x - a)其中，函数g(x)的横坐标值比原函数f(x)的横坐标值小a个单位。

通过这个公式，我们可以将函数图像沿横轴平移。

2. 沿纵轴平移同理，当我们将函数图像沿纵轴方向平移时，可以通过改变函数中的因变量来实现。

设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，平移的距离为b（正数表示向上平移，负数表示向下平移），则有如下公式：g(x) = f(x) + b其中，函数g(x)的纵坐标值比原函数f(x)的纵坐标值大b个单位。

通过这个公式，我们可以将函数图像沿纵轴平移。

二、函数图像的反射函数图像的反射是指将函数图像进行镜像翻转，使得图像关于某条直线对称。

反射可以分为关于x轴反射和关于y轴反射两种情况。

1. 关于x轴反射将函数图像关于x轴进行反射时，可以通过改变函数中的因变量的符号来实现。

设原函数为f(x)，反射后的函数为g(x)，则有如下公式：g(x) = -f(x)通过这个公式，我们可以将函数图像关于x轴进行反射。

2. 关于y轴反射将函数图像关于y轴进行反射时，可以通过改变函数中的自变量的符号来实现。

设原函数为f(x)，反射后的函数为g(x)，则有如下公式：g(x) = f(-x)通过这个公式，我们可以将函数图像关于y轴进行反射。

关于函数平移的知识点与图

关于函数平移的知识点与图函数平移是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们理解和解决各种数学问题。

本文将从基本概念开始，逐步介绍函数平移的知识点，并通过图示进行解释。

1. 什么是函数平移？函数平移是指将函数图像在平面上沿着横轴或纵轴方向移动一定的单位长度。

平移可以改变函数图像在坐标系中的位置，但不改变其形状、斜率和曲率。

2. 横向平移横向平移是指函数图像沿着横轴方向移动。

设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，平移的单位长度为a。

横向平移后的函数可以表示为：g(x) = f(x - a)其中，f(x - a)表示将原函数f(x)中的每个点横坐标减去a后得到的新函数。

2.1. 向左平移当平移单位长度为正数a时，函数图像将向左平移。

例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向左平移2个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = (x - 2)^2这意味着函数图像中的每个点的横坐标都减去2。

2.2. 向右平移当平移单位长度为负数-a时，函数图像将向右平移。

例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向右平移3个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = (x + 3)^2这意味着函数图像中的每个点的横坐标都加上3。

3. 纵向平移纵向平移是指函数图像沿着纵轴方向移动。

设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，平移的单位长度为b。

纵向平移后的函数可以表示为：g(x) = f(x) + b其中，f(x) + b表示将原函数f(x)中的每个点纵坐标加上b后得到的新函数。

3.1. 向上平移当平移单位长度为正数b时，函数图像将向上平移。

例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向上平移4个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = x^2 + 4这意味着函数图像中的每个点的纵坐标都加上4。

3.2. 向下平移当平移单位长度为负数-b时，函数图像将向下平移。

例如，考虑函数f(x) =x^2，如果我们将其向下平移5个单位长度，新函数可以表示为：g(x) = x^2 - 5这意味着函数图像中的每个点的纵坐标都减去5。

计算指数函数的平移和缩放

计算指数函数的平移和缩放指数函数是数学中的重要函数之一，它具有形如f(x) = a⋅bˣ的表达式，其中a和b都是常数，b被称为底数。

在研究指数函数时，我们常常需要考虑平移和缩放对其图像的影响。

一、指数函数的平移平移是指将函数图像上下或左右移动的操作，它可以通过改变指数函数中的常数项来实现。

设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其上下平移h个单位，则得到新的指数函数f(x) = a⋅bˣ + h。

当h为正值时，函数图像将向上平移，而当h为负值时，函数图像将向下平移。

平移的距离是|h|，也就是h的绝对值。

举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。

如果我们将其上移2个单位，则得到新的指数函数f(x) = 2ˣ + 2。

相比于原来的函数，新函数的图像将整体上移2个单位。

二、指数函数的缩放缩放是指将函数图像进行拉伸或压缩的操作，它可以通过改变指数函数中的底数来实现。

设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其按横轴方向缩放k倍（k>0），则得到新的指数函数f(x) = a⋅(b/k)ˣ。

当k大于1时，函数图像将被水平拉伸，而当0<k<1时，函数图像将被水平压缩。

缩放倍数是k的倒数，也就是1/k。

举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。

如果我们将其在横轴方向压缩为原来的一半，则得到新的指数函数f(x) = 2ˣ/2 = 2ˣ/4。

相比于原来的函数，新函数的图像将在横轴方向缩短一半。

三、平移和缩放的综合应用在实际问题中，我们常常需要同时考虑指数函数的平移和缩放。

此时，我们可以先进行缩放操作，再进行平移操作。

设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其按横轴方向缩放k倍，并将结果向左平移h个单位，则得到新的指数函数f(x) = a⋅(b/k)ˣ + h。

这里的缩放倍数是k，平移距离是|h|，分别决定了函数图像的水平压缩程度和水平平移距离。

举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。

指数函数图像的变换

将指数函数y= 2 x 的图象向左平行移动1个单位长度，
就得到函数y= 2 x1 的图象，将指数函数y= 2 x
的图象向左 9
平行移动2
88
个单位长度，
77
就得到函数
66
y= 2 x2
55
的图象。
44
33
22
11
-6
-4 -3 -2-2 -1 0 1 22 3 4
6
8
对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们遇到的有以下几种形式：
变
横坐标取相反数
换
纵坐标不变
图象关于y轴对称
在同一坐标系中作出下列函数的图象，并说明它们之间有什么关系？
（1）y=2x与y=2|x|
y
yy==22|xx|
1
O
x
由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：
保留y=f(x)中y轴右侧部分，再加上这部分关于y轴对称的图形.
练习设f(x)= x2 2x ，作出求函数y=|f(x)|
将指数函数y= 2 x 的图象向右平行移动1个单位长度，
就得到函数y= 2x1 的图象，将指数函数y= 2 x
的图象向右
9
平行移动2
88
个单位长度，
77
就得到函数
66
y= 2x2
55
的图象。
44
33
22
11
-6
-4 -3 -2-2 -1 0 1 22 3 44 5 6
8
练习.已知函数y=|2x-2|
y=f(x)+k

指数函数图象的平移

课堂小结
(1) 本节学习了指数函数图像的平移，并拓展到一般函数图像平移的情形；
(2) 掌握平移方法，利用平移画出相关函数图像，理解平移方向与正负号的关系.
2 21
（2）类似可比较函数y=2x-2与y=2x的关系：
∵y=2-1-2与y=2-3 相等 y=20-2与y=2-2 相等
y y 2x y=2x-2
y=2…3-2 与…y=21 相等
∴y=2(t+2)-2与y=2t 相等
两个函数图像上纵坐标相等
1
的点的横坐标恰好相差 2
O
x
点(t, 2t) 右移2 点(t+2, 2t)
不再是指数函数了.
比较函数y 2 x、y 2x1与 y 2x2 的关系
y 2x
向左平行移动1个单位长度 x2
y
8
● ● y＝2x
7
6 y＝2x＋1
5
y＝ 2x +2
4 3
●●
2● ●
1 ● ●
●●
-5 -4 -3 -2-1O 1 2 3 4 5 x
y y=f(x)
y=f(x+m) 左移m 右移m y=f(x-m)
O
x
注意: 数与形变化的变化规律
（2）沿y 轴上下平移 (n>0)
y
上移n O 下移n
y=f(x)+n y=f(x)
y=f(x)-
n x
（3）函数f (x) 平移的一般规律 y= f(x- m)
左右移
y=f(x)
上下移
y = f(x)+n
1. 实例说明下列函数图像与指数函数y=2x
图像的关系, 并画出它们的示意图：

指数函数图像的平移

33
mn
1.1m 1.1n
mn
⑶比较下列各数的大小：
10 , 0.42.5 ,
2 0.2
1 0.42.5 0
2 0.2
小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.
642的图象向左平行移动1个单位长度就得到函数y的图象向左平行移动1个单位长度就得到函数y3210125025050625012502505031250625012502505a0时向左平移a个单位
指数函数的定义：
形如 y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。
比较函数y= 2 x1 、y= 2x2 与y= 2 x 的关系：
9
88 77 66
55 44 33 22
11
-6
-4 -3 -2-2 -1 0 1 22 3 4
6
8
将指数函数 y= 2 x 的图象向左平行移动1个单
位长度，就得到函数y= 2 x1 的图象
2 将指数函数 y= x 的图象向左平行移动1个单位
2
2 x2
对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们遇到的有以下几种形式：
函数
口决：左加右减；上加下减
y=f(x)
y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|)
长度，就得到函数y= 2 x2 的图象

指数函数图象的变换

(C)向左平移1个单位长度 (D)向右平移1个单位长度
分析
∵
y3(1)x (1)x1 33，∴可以把函数yFra bibliotek (1)x 3
的图像向右平移1个单位长度，得到
函数 y (1 ) x1的图像，故选(D). 3
例2：函数 y a x 2 1 (a 0 且 a 1 ) 的图像必经过点（2，2）
分析：令 y a x 必过点（0，1）
y=-f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称
y=-f(x)
y轴右边图像保持不变，左边图像与右边图像关于y轴对称
y=f(|x|)
x轴上方图像保持不变，下方图像翻折到x轴上方
y=|f(x)|
例1 为了得到函数 y 3(1)x 的图像，可以把函数
3
y
(1) x 3
的图像(
D
)
(A)向左平移3个单位长度 (B)向右平移3个单位长度
a>0时，向左平移a个单位，a<0时，向右平移|a|个单位
y=f(x)
y=f(x+a)(a≠0)
b>0时，向上平移b个单位，b<0时，向下平移|b|个单位
y=f(x)
y=f(x)+b(b≠0)
y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x)
y=f(-x)与y=f(x)的图像关于y轴对称
y=f(-x)
∴f(0)=g(2)即 a0 a2a
∴a=2
y a x 右移2个单位 y ax2上移1个单位 yax2 1
（0，1）
（2，1）
（2，2）
变换作图法：
移动向量a=(2,1)
选基函数
写变换过程
画图像
例3：若 f (x) ax 与 g (x ) a x a(a 0 且 a 1 ) 的图像关于直线x=1对称，则a= 2

指数函数图像的变换

y=f(x+1)
1 -1 O 1 y=f(x)-1 -1
y=f(x-1)
x
函数图象的平移变换：
y=f(x)
y=f(x+a)左右平移
a>0,向左平移a个单位 a<0,向右平移|a|个单位
b>0,向上平移b个单位 y=f(x) y=f(x)+b 上下平移 b<0,向下平移|b|个单位
比较函数y= 2 x、1 y= 2 x2 与y= 2 x 的关系：
一﹑平移变换
1.讨论函数 y x 2 与 y x 2 2 ,y (x 1)2
的图象之间的关系.
y
y x2 2
归纳：
y x2
左右平移:
左正右负
平移
y=f(x) 平移|h|个单位 y=f(x+h)
2
1 y (x 1)2
变
-1 0
1
x
换上下平移:
上正下负
y=f(x)
的图象向左 9
平行移动2
88
个单位长度，
77
就得到函数
66
y= 2 x2
55
的图象。
44
33
22
11
-6
-4 -3 -2-2 -1 0 1 22 3 4
6
8
对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们遇到的有以下几种形式：
将指数函数y= 2 x 的图象向左平行移动1个单位长度，
就得到函数y= 2 x1 的图象，将指数函数y= 2 x
的图象向左 9

3.3.3指数函数及性质(平移及对称变换)

x
;Leabharlann (2)讨论f (x)的单调性.小结
1.y=ax 与y=ax+h(a>0,a≠1）的关系； 2. y f (x) 的图像的作法； 3.
y f ( x ) 的图像的作法.
作业
1.课本P78页5，补充：
的图像，并指出它的单调区间. 1 x2 2.画出y ( ) 的图像，并指出它的单调区间. 2 1 x 1 x 3.要得到y=( ) 的图像，只需将y 2 的图像 2 向平移个单位. 1.画出y=2
1 x 6 y a 与 y 图像关于y轴对称 a
x
当x 0时, 0 y 1 4 在R上是增函数
当x 0时, y 1 4 在R上是减函数
结论1：

一般地，a>b>1时，（1）当x<0时，总有ax <bx <1; (2) 当x=0时，总有ax =bx =1; （3）当x>0时，总有ax >bx >1; (4) 当x>0时，底数越大，其函数值增长越快.
x 1
2
(-1,0)
(0,1)
(1,1)
o
推广
y=ax 与y=ax+h(a>0,a≠1）的关系: （1）当h<0时，把y=ax 的图像向右平移 h 个单
位，可以得到y=ax+h 的图像. （2）当h>0时，把y=ax 的图像向左平移 h个单位，可以得到y=ax+h 的图像.
-x (3)y=2 的值域是（0，1]
；
(4)y a x 1 (a 0, a 1)的图像一定通过点（-1，1）； 1 x 右移1个单位 (5)把y=( ) 的图像上各点向，再向上移2个单位 3 1 可以得到y= 3 (6)作出y=2

指数函数平移

指数函数平移指数函数定义为f(x)=a^x，其中a为底数，是有理数且$$a > 0$$，$$a 1$$。

指数函数描述一种单调增加的函数关系，它可以用来表示一般概念“快速增长”的物理表达。

指数函数平移是一种数学概念，指的是通过改变指数函数的参数，将原有的指数函数的图像向左或向右移动来获得新的指数函数图形。

指数函数的平移往往涉及以下三个参数：指数函数的底数a、指数函数的指数x和指数函数的常数b。

一般来说，当底数a不变，指数x发生变化时，指数函数会发生平移，即f (x) = a^x可表示为f (x + k) = a^(x + k)，其中k为一个实数，指数函数会向右平移k位，否则会向左平移。

其次，当底数a发生变化时，指数函数发生变化，即f (x) = a^x 可表示为f (x) = (a + k)^x，其中k为一个实数，指数函数会向右平移k位，否则会向左平移。

最后，当常数b发生变化时，指数函数发生变化，即f (x) = a^x + b可表示为f (x) = a^x + (b + k)，其中k为一个实数，指数函数会向右平移k位，否则会向左平移。

从上述可知，根据指数函数的定义，当改变指数函数的参数时，即使不改变指数函数的函数解析式，也可以改变指数函数的图形。

若改变参数，指数函数可以以线性方式向右或向左移动，这种移动可以被称为“指数函数平移”。

接下来，分析指数函数平移后指数函数的变化。

当改变底数a时，指数函数向右或向左移动的情况下，函数图形的斜率不变，但函数的顶点位置会发生变化，由此可见，改变函数的底数a可以改变函数图形的顶点位置，而不改变函数图形的斜率。

当改变参数x时，指数函数会沿着x轴移动，函数图形的斜率不变，函数的顶点不变，但函数的顶点位置会发生变化；而当改变常数b时，指数函数的函数图形会沿着y轴向上或向下移动整个函数图形，函数的顶点不变。

根据上述分析，指数函数平移的结论可以总结如下：1.改变指数函数的参数a可以改变函数图形的顶点位置，但函数图形的斜率不变；2.改变指数函数的参数x可以改变函数图形的顶点位置，但函数图形的斜率和顶点不变；3.改变指数函数的常数b可以改变函数图形的整个函数图形的位置，但函数的顶点不变。

指数函数平移

指数函数平移指数函数的平移是数学中的一个重要概念，它是指把指数函数的原点做出一定的变化，让指数函数的图像在坐标系中左右、上下移动。

平移是指数函数参数调整过程中的一种操作，它可以帮助我们更改指数函数的图形，以便更好地理解指数函数的特性和表达式。

指数函数的平移也称之为参数调整，它可以帮助我们更好地理解和表达指数函数的特性。

通常情况下，可以通过平移来增大或减小指数函数的值，并改变指数函数的曲线。

指数函数的平移可以分为三种，即水平平移，上下平移，和参数调整。

水平平移是指沿着x轴将指数函数进行左右移动，移动的方向与移动量有关。

上下平移是指沿着y轴将指数函数进行上下移动，移动的方向与移动量有关。

最后，参数调整是指修改指数函数的参数，使指数函数的函数图发生变化。

在指数函数的平移中，水平平移是最重要的一种操作，它可以将一个指数函数的中心点转向另一个位置，从而使指数函数的函数图发生变化。

举个例子，如果我们想要将y=2^x函数的中心点向右平移3个单位，则可以将其写成y=2^（x-3）的形式。

这里的-3表示的是右平移的量，而+3表示的是左平移的量。

而上下平移则涉及到指数函数的另一个参数，也就是“指数自变量”。

像y=2^x一样，“2”这个数字就是指数函数的一个参数，也就是“指数自变量”。

这个参数使指数函数得以变化，也就是说可以通过改变这个参数来使指数函数本身进行上下平移。

最后，改变指数函数参数也是一个有效的指数函数平移方法，但其处理方式与水平平移和上下平移有些不同。

如果想要改变指数函数的函数图，首先要找出函数中的(?x)，其中的参量x表示的是指数函数的参数。

我们可以将这个参量乘以一个系数来改变函数的大小，也可以对函数进行 x加减操作来改变函数的形状。

指数函数的平移能够让我们更好地理解指数函数的特性和表达式，从而帮助我们更好地应用指数函数。

它分为三个方面：水平平移、上下平移和参数调整。

水平平移是指沿着x轴将指数函数进行左右移动；上下平移是指沿着 y将指数函数进行上下移动；参数调整是指修改指数函数的参数，使指数函数的函数图发生变化。

函数图象平移口诀

函数图象平移口诀函数图象平移问题是常见的问题之一，其中最常见的平移方向是左右和上下，而左右、上下平移时，其解析式的变化是有规可循的，现介绍如下：一、左右平移如果函数f(x)的图象向左(或右)平移m个单位，所得函数图像的解析式为f(x m)(或f(x-m))；例如，已知函数y=2x 1．如果把函数的图象向左平移3个单位，所得图象的解析式为：y=2(x 3)1，即y=2x 7；如果把函数的图象向右平移3个单位，所得图象的解析式为：y=2(x-3)1，即y=2x-5．左右平移可用口诀记为：左加右减自变量．二、上下平移如果函数f(x)的图象向上(或下)平移n个单位，所得函数图像的解析式为f(x) n(或f(x)-n)；例如，已知函数y=x2-3x 2.如果把函数的图象向上平移1个单位，所得图象的解析式为：y=x2-3x 21，即y=x2-3x 3；如果把函数的图象向下平移1个单位，所得图象的解析式为：y=x2-3x 2-1，即y=x2-3x 1.上下平移可用口诀记为：上加下减常数项．运用口诀'左加右减自变量，上加下减常数项'求函数图象平移解析式问题简单易记，轻松自如，而且可以避开画图的麻烦．请看：例1把直线y=2x向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得直线解析式为：y=2(x-3)2，即y=2x-4．例2 把抛物线y=x2-3x 4向左平移3个单位，再向下平移5个单位，求平移后抛物线的解析式．解：平移后的抛物线解析式为:y=2(x 3)2-3(x 3)4-5，即y=2(x26x 9)-3x-94-5，整理，得：y=2x29x 8；例3 把抛物线y=x2沿着直线y=-x平移2√2个单位，所得抛物线解析式是___________．解析：沿直线y=-x平移，其方向有两种情形：如果是向x轴正方向平移，则由平移距离2√2个单位可知是向右平移2个单位，再向下平移2个单位，此时平移后的抛物线解析式为：y=(x-2)2-2，即y=x2-4x 2；如果是向x轴负方向平移，则由平移距离2√2个单位可知是向左平移2个单位，再向上平移2个单位，此时平移后的抛物线解析式为：y=(x 2)22，即y=x24x 6．例4把双曲线y=6/x向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的双曲线与坐标轴的交点坐标．解析：依据口诀，双曲线平移后的解析式为y=6/(x 1)-2，令x=0，得y=6-2=4，所以平移后的双曲线与y轴的交点坐标是（0，4）；令y=0，得0=6/（x 1）-2，解得x=2，所以平移后的双曲线与x 轴的交点坐标是（2，0）．例5已知直线y=x/2．把直线向右平移若干个单位，再向上平移相同的单位，使得平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积为1，求平移后的直线解析式．解析：设每次平移n个单位，则平移后的直线为y=(x-n)/2 n，它与y轴的交点为A，与x轴的交点为B．令x=0，得y=-n/2 n=n/2，所以A（0，n/2）；令y=0，得0=（x-n）/2 n，解得x=-n，所以B（-n，0）．依题意，得1/2·n/2·n=1，n2=4，又n>0，所以n=2.所以平移后的直线为y=(x-2)/22，即y=x/21.例6已知直线y=x-1与抛物线y=-(x-2)23.（1）说明直线与抛物线有两个交点；（2）如何只按一个方向平移抛物线，使得平移后的抛物线与直线只有一个公共点？解析：（1）联立y=x-1与y=-(x-2)23，消去y，得x-1=-(x-2)2 3，整理，得x2-3x=0，所以x1=0，x2=3；所以y1=-1，y2=2，所以直线与抛物线有两个交点（0，-1）和（3，2）；（2）如果抛物线向上平移n个单位后与直线只有一个交点，则平移后的解析式为y=-(x-2)23 n，联立y=x-1与y=-(x-2)23 n，消去y，得x-1=-(x-2)23 n，整理，得x2-3x-n=0，依题意，得△=98n=0，n=-9/8；如果抛物线向左平移m个单位后与直线只有一个交点，则平移后的解析式为y=-(x-2 m)23，联立y=x-1与y=-(x-2 m)23，消去y，得x-1=-(x-2 m)23，整理，得x2(2m-3)x m2-4m=0，依题意，得△=(2m-3)2-4(m2-4m)=0，整理，得4m=-9，m=-9/4；综上，把抛物线向下平移9/8个单位或向右平移9/4个单位，所得抛物线与直线只有一个公共点．。