第5章弯曲剪应力

P=20KN
D
B
1m FBy
Fs
10KN
计算约束反力：
FAy 30KN,
FBy 10 KN ,
作内力图
20KN
10KN 10KN.m
M
20KN.m
（3）正应力强度计算 [ ] 40MPa [ ] 100 MPa
30
q=10KN/m
P=20KN
zC
200 157.5
Fs
I z 6013 cm4
(z)
Fs
(y)
翼缘部分的水平切应力沿翼缘 宽度按直线规律变化；
并与腹板部分的竖向剪力 形成“剪应力流” 。
翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。
T形截面梁切应力沿高度的分布规律
计算公式
y
Fs
S
*
Z
bI z
τmax
切应力危险点 中性轴处
圆形截面梁切应力沿高度的分布规律
y
Fs
S
*
Z
bI z
1 在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。
切应力分布规律
max
切应力沿截面高度按 抛物线规律变化。
中性轴处
最大正应力所在的点 3 FS 2A
工字形截面梁切应力沿高度的分布规律
y
Fs
S
*
Z
bI z
切应力危险点 中性轴处
最大切应力
τmax
max
Fs Af
腹板上的切应力呈抛物线变化； 腹板部分的切应力合力占总剪力的95~97%。
工字形截面的翼缘
切应力强度条件
max
(
FS
Sz bI
,m z
ax
)m
ax
[
]
对于等宽度截面， m ax发生在中性轴上；
对于宽度变化的截面， m ax不一定发生在中性轴上。
在进行梁的强度计算时，需注意以下问题： (1) 对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪 应力的强度条件是次要的。
一般情况下，以正应力设计为主， 切应力校核为辅；
'
Fs
S* Z
bI z
y
Fs
S* Z
bI z
距离中性轴为y的直 线上点的切应力计 算公式
y
Fs
S* Z
bI z
各项的物理意义
Fs 欲求切应力的点所在截面的剪力；
Iz
欲求切应力的点所在截面对中 性轴的惯性矩；
b 欲求切应力的点处截面的宽度；
Sz* 横截面上距离中性轴为y的横线以外部分 的面积A1对中性轴的静矩。
材料力学
交通与车辆工程学院 李丽君
§5-4 弯曲切应力
横力弯曲 横截面上内力 既有弯矩又有剪力； 横截面上应力 既有正应力又有切应力。
P
A
a
FA Fs P
C L
M
Pa
P
a
FB
P
FA=FB=P 观察AC段内力 Fs=P M线性规律上升
横截面上的剪力产生切应力 横截面上的切应力合成剪力
关于切应力的假设
切应力的最大值发生在中性轴上， 该处的正应力为零。
对于横截面上其余各点，同时存在正应力、切应力。
这些点的强度计算，应按强度理论进行计算。
例题 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切 应力为0.34MPa，木材的[σ[= 10 MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷F。
F
50
50
l
50
100
试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情 况又如何？
q=10KN/m
C A
2m
3m
P=20KN
D
B
1m
200 30
200 30
(1) 平面图形几何性质计算
200
(a) 确定中性轴的位置
yC
Sz A
3 20 21.5 3 2010 203 2
15.75cm
30 200
zC
157.5 z
(M dM ) Iz
A1 y1 dA
(M dM ) S*
Iz
Z
同理
F1
M Iz
S* Z
微元体的平衡方程
F2 F1 'bdx 0
F1
M Iz
S* Z
F2
(M
dM ) Iz
S* Z
dM S * 'bdx 0
Iz Z
' dM
S* Z
dx bIz
'
Fs
S* Z
bI z
切应力计算公式
30
(b) 计算图形对形心主轴的惯性矩
Iz
1 3 203 12
3 20 (15.75 10)2
1 2033 203[(20 15.75) 1.5]2 6013cm4
12
(c) 最大静矩： Sz,max 315.75 7.88 372cm3
（2）绘剪力图、弯矩图
q=10KN/m
C
2m
A FAy 3m
FAy
FBy
10KN
10KN 20KN
10KN.m
M
对于A截面：
20KN.m
(
m
ax)
A
M
A
(4.25 6.013
3)10 10 8
2
24.1MPa
(
m
ax)
2 横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点
3 竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线规律变化
τmax
切应力危险点
中性轴处
最大切应力
max
4 3
Fs A
圆环截面的最大切应力 y
z
Fs
max
Fs
max= 2.0 A
切应力的危险点 能否说：“切应力的最大值一定发生在中性轴上”？
当中性轴附近有尺寸突变时 最大切应力不发生在中性轴上； 当中性轴附近有没有尺寸突变时 最大切应力发生在中性轴上；
(2) 对于较粗短的梁，当集中力较大时， 截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件。
(3) 载荷离支座较近时， 截面上的剪力较大； (4) 薄壁截面梁时，也需要校核切应力。 (5) 木梁顺纹方向，抗剪能力较差; (6) 工字形截面梁，要进行切应力校核;
（7）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘， 该处的切应力为零；
F 1 画梁的剪力图和弯矩图
Fs M
FL
F x
x
2 按正应力强度条件计算许可载荷
max
M max Wz
6F1l bh2
F1
bh2
6l
3.75kN
3 按切应力强度条件计算许可载荷
max 3FS / 2A 3F2 / 2bh
F2 2 bh / 3 10kN
Fs
M
FL
50 50 50 100
距中性轴等远 的各点处切应 力大小相等。
在AC 段取长为dx的微段
FP
s
MP
P
a
分析微段上的应力
1
My Iz
wk.baidu.com
2
(M
dM Iz
)
y
切开微段分析
分析微段的平衡条件
F2 F1 Fs ( ' ) 0
计算右侧截面正应力形成的合力
F2 A1 2dA
(M dM ) y1 dA
A1
Iz
5 梁的许可载荷为
F
F x x
4 按胶合面强度条件计算许 可载荷
g
FS
S
* Z
IZb
g
F3
10050 50 bh3 b
g
12
F3 3.825kN
F
Fi
min
3.75kN
10kN
3.825kNmin
F 3.75kN
例2 铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力
为[ ] 40MPa ，许用压应力为 [ ] 100 MPa，[ ] 35MPa 。