模糊等价矩阵
Matlab笔记记录——模糊聚类解析总结计划原理及实现023
23.模糊聚类剖析原理及实现聚类剖析，就是用数学方法研究和办理所给定对象，依据事物间的相像性进行区分和分类的过程。
传统的聚类剖析是一种硬区分，它把每个待识其他对象严格地区分到某个类中，拥有非此即彼的性质，这种分类的类型界线是分明的。
跟着模糊理论的成立，人们开始用模糊的方法来办理聚类问题，称为模糊聚类剖析。
因为模糊聚类获得了样本数与各个类其他不确立性程度，表达了样本类属的中介性，即成立起了样本关于类其他不确立性的描绘，能更客观地反应现实世界。
本篇先介绍传统的两种（适合数据量较小情况，及理解模糊聚类原理）：鉴于择近原则、模糊等价关系的模糊聚类方法。
（一）预备知识一、模糊等价矩阵定义 1 设 R=(r ij )n×n为模糊矩阵， I 为 n 阶单位矩阵，若R 知足i)自反性： I≤R （等价于 r ii =1）；ii)对称性： R T=R;则称 R 为模糊相像矩阵，若再知足niii) 传达性： R2≤R（等价于( r ik r kj ) r ij）k1则称 R 为模糊等价矩阵。
定理 1 设 R 为 n 阶模糊相像矩阵，则存在一个最小的自然数k（k<n）, 使得 R k为模糊等价矩阵，且对全部大于k 的自然数 l，恒有R l=R k. R k称为 R 的传达闭包矩阵，记为 t(R).二、模糊矩阵的λ-截矩阵定义 2 设 A=(a ij)n×m为模糊矩阵，对随意的λ∈[0,1], 作矩阵Aa ij( )n m此中，a ij( )1,aij 0,aij称为模糊矩阵 A 的λ-截矩阵。
明显，Aλ为布尔矩阵，且其等价性与与A一致。
意义：将模糊等价矩阵转变为等价的布尔矩阵，能够获得有限论域上的一般等价关系，而等价关系是能够分类的。
所以，当λ在[0,1]上改动时，由 Aλ获得不一样的分类。
若λ1＜λ2,则Aλ1≥Aλ2,进而由Aλ2 确立的分类是由Aλ1 确立的分类的加细。
当λ从 1 递减变化到 0 时，Aλ的分类由细变粗，渐渐合并，形成一个分级聚类树。
数学建模方法详解--模糊数学
数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。
例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。
随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。
模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。
本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。
1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。
在此，总是假设问题的论域是非空的。
为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。
对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。
于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。
所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。
模糊聚类分析
模糊聚类分析----96845308-7160-11ec-a68e-7cb59b590d7d聚类分析就是将一个没有类别标记的样本集按照某种准则划分成若干个子集（类），使相似的样本尽可能归为一类，而不相似的样本尽可能划分到不同的类中。
由于在对样本集进行聚类的过程中，没有任何关于类别的先验知识，所以聚类分析属于无监督分类的范畴。
传统的聚类分析是一种硬划分，它严格地将每个待识别对象划分为一个类。
阶级划分的界限是明确的，具有非此即彼的性质。
在现实世界中，无论是一组对象根据其亲和力和相似性形成一个组，还是一个对象是否属于一个类别，其边界往往是不明确的，并且具有“这个和那个”的性质。
对于这种具有不确定性的聚类问题，模糊聚类分析提供了一种强有力的分析工具。
模糊聚类分析能够建立样本对于类别的不确定性描述，表达样本类属的中介性，已经成为聚类分析研究的主流。
粗略来讲，模糊聚类分析方法可分为两类：基于模糊等价关系的聚类方法和基于目标函数的聚类方法。
有时，这两类方法也结合起来使用。
一、数据预处理在模糊聚类分析中，我们称待分类的对象为样本。
要对样本进行合理的分类，首先应考虑样本的各种特性指标（观测数据）。
设有n个被分类对象，即样本集为x={x1，x2，…，xn}每一个xi有m个特性指标，即xi可表示为特性指标向量xi={xi1，xi2，…，xim}其中xij表示第i个样本的第j个特性指标。
于是，n个样本的特性指标矩阵为⎜⎜x21⎜M⎜⎜十、⎜n1x12lx1m⎜x22lx2m⎜xn2lxnm⎜⎜通常，我们也将样本集记为特性指标矩阵的形式，即x=(xij)n×m。
如果M个特征指标的维度和数量级不同，在运行过程中可能会突出一些大数量级特征指标的作用，而一些小数量级特征指标的作用可能会减少甚至被排除，导致每个特征指标的分类缺乏统一的尺度。
因此，为了消除不同特征指标单位和数量级的影响，当特征指标的维度和数量级不同时，通常会提前对各种指标值进行数据标准化（归一化），使每个指标值统一在一个共同的数值特征范围内。
模糊等价矩阵与模糊相似矩阵
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
形成一个动态的图象.那么,由于 的变化而分出的类
有何特征呢?这就是下面的定理要说明的问题.
定理3-9 若 0 1则, R分出的每一个类必是 R 所分出的子类.
证 ( rij 1 rij ) (rij rij 1),
亦即
rij 1 rij 1 ( ).
这说明,若 i, j 按照R 归为一类,则按 R 亦必归为
故 R S .
再设 R S , 来证明 R S.
(反证法) 假设 R S, 则必 (i0, j0 ), 使 ri0 j0 si0 j0 .
取
则有 ri0 j0 ,
r i0 j0
1,
s i0 j0 0, 这与 R S 矛盾.
故 R S.
(2) (R U S) R U S , (R I S) R I S . 证 只证第一式.设 R U S C, R U S D, 从而有 rij sij cij , rij sij dij . 于是,要证 (R U S) R U S
一类,从而证明了定理的正确性.此定理指出 越大,
类分得越细.因此若要把问题分得细些,只需增大 即可.
例2 试将例1中的 U 分类.
解 例1中 U 上的模糊关系 R 的矩阵为
%
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4
1
0.4
0.4
0.4
R 0.8 0.4 1 0.5 0.5
0.5
0.4
又由 Q R, 有 Qk Rk 从而有 Q Qk Rk ,
即 Q Rk , 再由 k 的任意性得
于是有
Q U Rk
k 1
t(R) U Rk
3[1].3模糊等价矩阵与模糊相似矩阵
![3[1].3模糊等价矩阵与模糊相似矩阵](https://img.taocdn.com/s3/m/50a5b402763231126edb1170.png)
0.4 1 0.4 0.4 0.4
0.8 0.4 1 0.5 0.5
0.5 0.4 0.5 1 0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
已经证明 R 是等价矩阵,现在利用 截矩阵 R 对 U 分类.所谓利用 R 对 U 分类是指:令 由1降至0,
R 的 截矩阵 R 对应于模糊关系的 截关系.
显然 R 的元素仅能是0或1,因此相应的 截关系
是一普通关系.例如
0.8 0.3 0.6 R 0.2 0.4 0.7 0.5 0.8 1
1 0 1 0 0 1 0 1 1
t ( R) R R R m t ( R )
k l m 1
所以
Rl R k
由此定理,我们可得出求相似矩阵传递闭包的 简捷方法如下: 计算
R R R R R
2 4 2k 2k 1
直至出现
因为 所以
R R
2k
2k 1
,
则 t (R) R
ij
且
s 0 ( rij ) ( sij ) 0 dij 0
总之 cij dij , 故 C D, 即
( R S ) R S
(3)
(Q R) Q R
S Q R. 要证 (Q R) Q R , 即要证
R0.6
1 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 1
此时分为三类: {u1 , u3},{u2 },{u4 , u5 }
模糊数学(模糊等价关系)
λ越大，分类越细
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21
动态聚类图
λ由1变到0的过程，是Rλ的分类由细到 粗的过程，从而形成了一个动态的聚
类图。
x1 x2 x3 x4 x5
λ =1
λ =0.8
λ =0.6 λ =0.5 λ =0.4
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22
3-8 模糊相似关系
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Q4 Q3 Q Q2 Q Q3;
...
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12
模糊等价关系
定义. 模糊关系R∈F(U×U) , 满足 （1）自反性：R (u,u)=1; （2）对称性：R(u,v)=R(v,u); （3）传递性：R2 ⊆R 则称R为模糊等价关系
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13
模糊等价矩阵
若模糊关系R满足R(u,v)=R(v,u)，则 称R具有对称性
模糊对称矩阵
rij = rji
例如：
1 0.4 0.5 A 0.4 1 0.9
0.5 0.9 1
9
传递性
若模糊关系R满足RоR⊆R，则称R具 有传递性
模糊传递矩阵
n
rij k1(rik rkj )
10
模糊传递矩阵——例
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26
传递闭包是什么？
R的传递闭包t(R) 是包含R的最小的传递关系
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27
传递闭包的定理1
定理1. 设模糊矩阵 A ∈ μn×n ，则A的 传递闭包t(A)是
t( A) A A2 ... An ... Ak
k 1
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CH1-8模糊矩阵与模糊关系
3
模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂
设A = (aik)m×s，B = (bkj)s×n，定义模糊矩阵A 与B 的 合成为： A ° B = (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s} .
模糊方阵的幂 定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A ° A，A3 = A2 ° A，…，Ak = Ak-1 ° A.
0.1 0.3 0.2 0.1 0.5 0.1 , B , C A 0.2 0.1 0.3 0.2 0.3 0.2
5
0.1 0.3 0.2 0.1 0.5 0.1 A 0.2 0.1, B 0.3 0.2 , C 0.3 0.2
定义2 设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵， 相等：A = B aij = bij； 包含：AB aij≤bij； 并：A∪B = (aij∨bij)m×n； 交：A∩B = (aij∧bij)m×n； 余：Ac = (1- aij)m×n.
2
1 ... 1 E 幂等律：A∪A = A，A∩A = A； 1 ... 1 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A；
模糊关系矩阵模糊评价矩阵模糊矩阵模糊矩阵的合成运算模糊矩阵合成运算模糊评判矩阵模糊一致矩阵关系矩阵优先关系矩阵离散数学关系矩阵
第8节 模糊矩阵与模糊关系
1
一、 模糊矩阵
定义1 设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反 矩阵.
模糊相似矩阵
0.5
0.5
0.4 0.4 0.4
1 0.5 0.5
0.5 0.5
1
0.6
0.6 1
t(R)0.8 1
0
0
0 0 0
1 0 0
0 0
1 0
0 1
利用λ ＝0.8时的截关系，将X分成4个等 价类：
{x1, x3}, {x2}, {x4}, {x5}
利用λ ＝1时的截关系，将X分成5个等价 类：
{x1}, {x2}, {x3}, {x4}, {x5}
2020/2/5
17
λ ＝0.8
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4
1
0.4
0.4
0.4
1 0 1 0 0
0
1
0
0
0
t(R) 0.8
0
1
0
0
0
t(R) 0.8 0.4 1 0.5 0.5
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
对称性、自反性显然 传递性
2020/2/5
14
定理1的意义
模糊等价矩阵普通等价矩阵 普通等价矩阵⇔普通等价关系 普通等价关系可以分类 当λ在[0,1]上变动时，得到不同的Rλ, 从而
得到不同的分类
2020/2/5
15
模糊等价矩阵分类——例
设X={x1, x2, x3 ,x4, x5 }
1 0.4 0.8 0.5 0.5
模糊数学第四章
经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1， 且消除了量纲的影响。但不一定在[0,1]上。
模糊聚类分析的步骤一
平移－极差变换(变换至0-1区间)：
x '' ik
x 'ik min{x 'ik }
1i n
max{x 'ik } min{x 'ik }
1i n 1i n
(k 1,..., m)
R0.5
1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1
R0.4
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2、距离法：
绝对值倒数法、绝对值指数法、绝对值减数法、海明 距离法、欧式距离法、切比雪夫距离法。
3、其它方法：主观评分法
模糊聚类分析的步骤二
1、相似系数法： （1）数量积法
1 m rij 1 xik x jk M k 1
i j i j
其中 M max xik x jk
m
x
k 1 m k 1
ik
xi x jk x j
2 2 ( x x ) jk j k 1 m
( xik xi )
1 m 1 m 其中 xi xik , x j x jk , i, j 1,2,L n. m k 1 m k 1
模糊聚类分析的步骤二
模糊聚类分析的步骤二
2、距离法 直接距离法：rij＝1-c*d(xi,xj) (11)海明距离： (12)欧式距离： (13)切比雪夫距离：
(完整版)模糊等价矩阵
0.4
1
0.4
0.4
0.4
1 0 1 1 1
0
1
0
0
0
t(R) 0.8 0.4 1 0.5 0.5
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
t(R)0.5 1 0 1 0 1 0
1 1 1
1 1
1 1
11
利用λ ＝0.5时的截关系，将X分成2个等 价类：
{x1, x3, x4, x5}, {x2}
例如：
1 0.4 1 0
A
0.1
1
0
1 I
2020/8/17
4
自反矩阵的定理
定理. 设模糊矩阵 A ∈Mn×n是自反矩阵，则有 I ⊆ A⊆A2 ⊆ A3 ⊆…⊆ An-1 ⊆An⊆…
证明:
A2 A A A I A; A3 A2 A A2 I A2; ...
2020/8/17
5
对称性
若模糊关系R满足R(u,v)=R(v,u)，则称R具有 对称性
模糊对称矩阵
rij = rji
例如：
1 0.4 0.5 A 0.4 1 0.9
0.5 0.9 1
2020/8/17
6
传递性
若模糊关系R满足RоR⊆R，则称R具有传递 性
模糊传递矩阵
n
rij k1(rik rkj )
2020/8/17
13
模糊等价矩阵的性质
若R为模糊等价矩阵，则 R= R2 = R3 = … = Rn-1 = Rn
证明： 自反性： R⊆R2 ⊆…⊆ Rn-1 ⊆Rn
传递性: R⊇R2⊇…⊇Rn-1⊇Rn
模糊聚类分析方法
第二节 模糊聚类分析方法在科学技术、经济管理中常常要按一定的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。
例如，根据生物的某些性状可对生物分类，根据土壤的性质可对土壤分类等。
对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。
由于科学技术、经济管理中的分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。
一、模糊聚类分析的一般步骤1、第一步：数据标准化[9]（1） 数据矩阵设论域12{,,,}n U x x x =为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，即12{,,,}i i i im x x x x = (1,2,,)i n =，于是，得到原始数据矩阵为111212122212m m n n nm x x x x x x x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭。
其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。
（2） 数据标准化在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。
但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。
因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。
通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换i k kikkx x x s -'= (1,2,,;1,2,i n k m ==其中 11n k i k i x x n ==∑，k s = 经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。
但是，再用得到的ikx '还不一定在区间[0,1]上。
② 平移·极差变换111m i n {}m a x {}m i n {}i k i k i nikik iki ni nx x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m =显然有01ikx ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。
模糊等价矩阵
没有了传递性的要求
2019/1/2
27
为何研究模糊相似关系？
实际应用中，通常只能得到自反和对称矩 阵（相似矩阵），模糊等价矩阵较为少见
Questions.
对具有相似关系的元素如何分类？ 相似矩阵可否改造为等价矩阵？
2019/1/2
28
概念——传递闭包
设A, Â, B∈F(U×U)，若Â为包含A的传 递关系(即A⊆Â且Â2⊆ Â)，且对于任何包 含A的传递关系B，都有Â⊆B，则称Â为A 的传递闭包，记为t(A)= Â .
rij = rji
例如：
1 0.4 A 0.4 1 0.5 0.9
0.5 0.9 1
6
2019/1/2
传递性
若模糊关系R满足RоR⊆R，则称R具有传递 性 模糊传递矩阵
rij (rik rkj )
k 1
n
2019/1/2
7
模糊传递矩阵——例
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 分成3个等 价类： {x1, x3}, {x2}, {x4, x5}
2019/1/2 20
λ ＝0.5
1 0.4 t ( R ) 0.8 0.5 0.5
2019/1/2
42
本章内容
4.1
模糊关系
4.2
4.3
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
利用λ ＝1时的截关系，将X分成5个等价 类： {x1}, {x2}, {x3}, {x4}, {x5}
2019/1/2 18
模糊等价矩阵与模糊相似矩阵
模糊相似矩阵的应用场景
聚类分析
通过模糊相似矩阵可以对数据进 行聚类分析，将相似的对象归为 一类，从而对数据进行分类。
模式识别
模糊相似矩阵可以用于模式识别， 通过比较不同对象之间的相似度， 可以识别出相似的模式或结构。
决策支持
在决策支持系统中，模糊相似矩 阵可以用于评估不同方案或策略 的相似度，从而为决策者提供参 考依据。
模糊等价矩阵与模糊相似矩阵的定义
模糊等价矩阵
在模糊集理论中，模糊等价矩阵是一 个特殊的模糊矩阵，表示元素之间的 等价关系。它具有特定的性质，如自 反性、对称性和传递性。
模糊相似矩阵
与模糊等价矩阵类似，模糊相似矩阵 也是一个模糊矩阵，表示元素之间的 相似关系。它同样具有自反性和对称 性，但不具备传递性。
适用范围
模糊等价矩阵适用于具有严格传递关系的数据，如评分数据、评价数据等。而 模糊相似矩阵适用于具有非严格传递关系的数据，如文本数据、社交网络数据 等。
05
结论
对模糊等价矩阵与模糊相似矩阵的综合评价
模糊等价矩阵和模糊相似矩阵是模糊 数学中的重要概念，它们在处理不确 定性和模糊性方面具有显著的优势。 通过对模糊等价矩阵和模糊相似矩阵 的综合评价，可以更好地理解它们的 特性和应用价值。
对未来研究的展望
随着模糊数学理论的不断发展，模糊等价矩阵和模糊相似矩阵的研究也将不断深入。未来研究可以进 一步探讨这两种矩阵的性质和关系，及它们在不同领域的应用效果和改进方法。
未来研究可以尝试将模糊等价矩阵和模糊相似矩阵与其他数学工具和方法相结合，以开发更加有效的 算法和模型，解决更加复杂的问题。同时，也需要加强模糊数学在实际问题中的应用研究，以推动模 糊数学的发展和应用。
模糊等价矩阵与模糊相似 矩阵
模糊等价矩阵
模糊等价矩阵”;英文对照fuzzy equivalence matrix;”模糊等价矩阵”;在学术文献中的解释1、R满足自反性、对称性,且满足:(3)传递性min(r*k,r助)镇r.j’称为模糊等价矩阵,根据任意指定的闭值(0耳入蕊1),将R‘载为普通等价矩阵R‘,‘人文献来源2、这一矩阵称为模糊等价矩阵.用平方自合成法可以构造出等价矩阵,方法如下:R.R==R.R.R.=R.若R=R.则R为模糊等价矩阵基于模糊等价关系的模糊聚类分析收藏假设R是X上的模糊等价关系,则对任意的a,R的a-截集是X上的普通等价关系,因此,可以根据X上的模糊关系,对X进行模糊分类。
当取不同的a值,则可以得到不同的分类结果,即分类是动态的。
实际操作中,一般情况下,我们所获得是一系列样本,假设有N个,每个样本可以看作是M维空间中的一个点。
可以表示如下,论域:,对第i个元素有1.数据预处理考虑到不同的数据可能有不同的量纲,因此,再处理之前,有必要对数据进行相当的变换。
常用的变换标准差变换和极差变换:标准差变换:经过变换后,每个变量的均值为0,标准差为1,并可以消除量纲的影响,但值不一定在0和1之间。
极差变换:经过变换后,消除了量纲的影响,并且值在0和1之间。
2 模糊相似矩阵的建立由已知的数据,可以建立论域上的模糊关系矩阵,其目的是为构造模糊等价矩阵提供数据。
计算模糊关系矩阵由很多方法,如夹角余弦法,相关系数法,算术平均法,几何平均法,最大最小法,以夹角余弦为例,可用下述公式计算:3 用传递闭包法求模糊等价矩阵由以上过程所建立的矩阵一般仅具有自反性和对称性,不满度传递性,必须进行变换转换为模糊等价矩阵。
常采用传递闭包法,即从上述R矩阵出发,求R^2-->R^4-->R^8...,直到第一次出现R^k × R^k=R^k,这时表明R以具有传递性。
4 根据模糊等价矩阵和某以a得到分类结果。
部分代码实现:'**********************************数据的标准差变化****************************''过程名:Norm_Diff'参数:Data() - Double ,待变换的二维数组'说明:执行改函数后数组中了保存变换的数据'作者:'修改者:laviepbt'修改日期:2006-11-1''**********************************数据的标准差变化****************************Public Sub Norm_Diff(ByRef Data() As Double)Dim m As Integer, N As Integer, i As Integer, j As IntegerDim Ave As Double, s As DoubleN = UBound(Data, 1): m = UBound(Data, 2) 'n样品数,m变量数For j = 1 To mAve = 0For i = 1 To NAve = Ave + Data(i, j)NextAve = Ave / N 'ave是平均值s = 0For i = 1 To Ns = s + (Data(i, j) - Ave) ^ 2 's是标准差Nexts = Sqr(s / N)For i = 1 To NData(i, j) = (Data(i, j) - Ave) / sNextNextEnd Sub'**********************************数据的极差变换****************************''过程名:Extre_Diff'参数:Data() - Double ,待变换的二维数组'说明:执行改函数后数组中了保存变换的数据'作者:'修改者:laviepbt'修改日期:2006-11-1''**********************************数据的极差变换****************************Public Sub Extre_Diff(ByRef Data() As Double)Dim m As Integer, N As Integer, i As Integer, j As IntegerDim Max As Double, Min As Double, d As DoubleN = UBound(Data, 1): m = UBound(Data, 2) 'N样品数,M变量数For j = 1 To mMax = -10000000000#: Min = 10000000000#For i = 1 To NIf Data(i, j) > Max Then Max = Data(i, j)If Data(i, j) < Min Then Min = Data(i, j)Nextd = Max - Min 'd是极差For i = 1 To NData(i, j) = (Data(i, j) - Min) / d '极差标准化变换NextNextEnd Sub'**********************************夹角余弦法****************************''过程名:Angle_Cos'参数:Data() - Double ,二维数组数据' R() - Double, 相似矩阵'说明:'作者:'修改者:laviepbt'修改日期:2006-11-1''**********************************夹角余弦法****************************Public Sub Angle_Cos(ByRef Data() As Double, ByRef R() As Double) Dim m As Integer, N As Integer, i As Integer, j As Integer, k As Integer Dim S1 As Double, Si2 As Double, Sj2 As DoubleN = UBound(Data, 1): m = UBound(Data, 2) 'N样品数,M变量数For i = 1 To NFor j = 1 To NIf i = j ThenR(i, j) = 1ElseS1 = 0: Si2 = 0: Sj2 = 0For k = 1 To mS1 = S1 + Data(i, k) * Data(j, k)Si2 = Si2 + Data(i, k) ^ 2Sj2 = Sj2 + Data(j, k) ^ 2NextR(i, j) = Int((S1 / Sqr(Si2 * Sj2)) * 1000 + 0.5) / 1000End IfNextNextEnd Sub'**********************************相关系数法****************************''过程名:Correlation'参数:Data() - Double ,二维数组数据' R() - Double, 相似矩阵'说明:'作者:'修改者:laviepbt'修改日期:2006-11-1''**********************************相关系数法****************************Public Sub Correlation(ByRef Data() As Double, ByRef R() As Double) Dim m As Integer, N As Integer, i As Integer, j As Integer, k As IntegerDim Xia As Double, Xja As DoubleDim S1 As Double, Si2 As Double, Sj2 As DoubleN = UBound(Data, 1): m = UBound(Data, 2) 'N样品数,M变量数For i =1 To NFor j = 1 To NIf i = j ThenR(i, j) = 1ElseXia = 0: Xja = 0For k = 1 To mXia = Xia + Data(i, k)Xja = Xja + Data(j, k)NextXia = Xia / mXja = Xja / mS1 = 0: Si2 = 0: Sj2 = 0For k = 1 To mS1 = S1 + Abs((Data(i, k) - Xia) * (Data(j, k) - Xja)) Si2 = Si2 + (Data(i, k) - Xia) ^ 2Sj2 = Sj2 + (Data(j, k) - Xja) ^ 2NextR(i, j) = Int((S1 / Sqr(Si2 * Sj2)) * 1000 + 0.5) / 1000 End IfNextNextEnd Sub'**********************************传递闭包法****************************''过程名:TR'参数:R() - Double ,相似矩阵' RR() - Double, 模糊乘积矩阵'说明:'作者:'修改者:laviepbt'修改日期:2006-11-1''**********************************传递闭包法****************************Public Sub TR(ByRef R() As Double, ByRef RR() As Double)Dim N As Integer, l As IntegerDim i As Integer, j As Integer, k As IntegerDim i1 As Integer, j1 As IntegerDim dMax As DoubleN = UBound(R, 1)ReDim dMin(1 To N) As Doublel = 0100:l = l + 1If l > 100 ThenMsgBox "已进行100次自乘,仍然没有获得传递性", vbCritical, "错误"Exit SubEnd IfFor i = 1 To NFor j = 1 To NFor k = 1 To NIf R(i, k) <= R(k, j) ThendMin(k) = R(i, k)ElsedMin(k) = R(k, j)End IfNextdMax = dMin(1) '模糊矩阵的乘法,取小取大For k = 1 To NIf dMin(k) > dMax Then dMax = dMin(k) NextRR(i, j) = dMaxNextNextFor i = 1 To NFor j = 1 To N'判断是否式模糊等价矩阵,若非则继续做If R(i, j) <> RR(i, j) ThenFor i1 = 1 To NFor j1 = 1 To NR(i1, j1) = RR(i1, j1)NextNextGoTo 100End IfNextNext End Sub。
模糊矩阵
模糊矩阵定义 2-8 设()n m ij r R ⨯=，[]1,0∈∀λ，记()()n m ij r R ⨯=λλ其中 ()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=λλλij ij ij r r r 01则称λR 为R 的λ截矩阵。
λ截矩阵λR 表示λ截关系，即()V U v u ⨯∈∀,，有()()[]1,0,1,∈∀≥⇔=λλλv u R v u R截矩阵必然是布尔矩阵。
例 2-9 如例2-8所示的模糊矩阵，若取9.0=λ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000010101R 定义 2-9 设()V U F Q ⨯∈，()W V F R ⨯∈。
Q 对R 的合成是从U 到W 的一个模糊关系，记为R Q 。
它的关系程度是()()()()()w v R v u Q w u R Q Vv ,,,∧∨=∈当()U U F R ⨯∈，记R R R =2,R R R n n 1-=二、几种重要特性 1、对称性定义 2-10 设()n m ij r R ⨯∈=μ，则称()m n ji T r R ⨯∈=μ为R 的转置矩阵。
其中T ij ji r r ∆=。
若R R T =，则称R 为对称矩阵。
定义 2-11 设()V U F R ⨯∈，而()U V F R T ⨯∈，则T R 称为R 的转置关系，即()U V u v ⨯∈∀,，()()v u R u v R T ,,=定义 2-12 设()U U v u ⨯∈∀,，()()v u R v u R T ,,=，则称R 具有对称性（即是对称关系）。
可见， R 是对称关系⇔()()v u R u v R ,,= 2、自反性定义 2-13 若()U U v u ⨯∈∀,，()1,=u u R ，则称R 为U 上的自反关系；若()n n ij r R ⨯=且1=iir ，则称R 为自反矩阵。
定义 2-14 若()U U v u ⨯∈∀,，有()⎩⎨⎧≠==v u vu v u I 01, 则称I 为恒等关系。
模糊分析方法及其应用ppt(第三章)
u1 , u2 U . R(u1 , u2 ) 0.7
表示 u1与u2 的相像程度是70％
例2 设身高论域 Ｕ＝｛140,150,160,170,180｝(单位：cm) 体重论域 V＝{40,50,60,70,80} (单位：kg) 以公式体重＝身高－100为基础产生的 模糊关系见下表： （人的身高与体重之间的模糊关系）
注：（1）交换律不成立. 即一般
A B B A
（2）只有A的列数＝B的行数时，
A B 才有意义.
运算性质：
( （1）结合律：A B) C A ( B C )
（2）分配律： A ( B C ) ( A B) ( A C )
( B C ) A ( B A) (C A)
是F对称矩阵.
定义3.11设 A nn 则称A为模糊传递矩阵. 例如：
0.1 0.2 0.3 A 0 0.1 0.2 0 0 0.1
若 A A
2
0.1 0.1 0.2 2 则 A A A 0 0.1 0.1 A 0 0 0.1
aij aij
显然，F矩阵A的λ-截矩阵为Boole矩阵.
0 0.1 0.8 0 例3 设 A 0 0.8 0 0 0.1 0.8 1 0.6
,求A0.7 , A0.5
解：
0 0 0 1 A0.7 0 1 0 0 , 0 1 1 0 0 0 0 1 A0.5 0 1 0 0 0 1 1 1
λ-截矩阵的性质：
(1)
A B A B
(2) ( A B ) A B (3) ( A B ) A B (4) ( A ) ( A )
模糊聚类中的模糊等价矩阵
结论:
Y 假设 R ∈ n, R# 为 R 的最优 模糊等价矩阵, 把 R# 中除 aii = 1 外的元素按是否 相等划分为 k 类( k n A A A A A - 1) , 把相等的元素划分为一类, 记这 k 类为 1, 2 , 3, … , k. i 类中元素取值 记为 ti. 把 与上述
B B B B B 各类元素对应的 R 中的元素也分为 k 类, 记作 1, 2, 3, … , k. 设 i的元素记为 bi1, bi2, bi3, … , bimi,
∞X
n=
X . 由极限保号性定理, X
的参数系与
X
n的参数系相似,
故
X
∈C(
～ ～
X
)
,
从而
C(
～ ～
X
)
为
闭集, 易见 C( X～ ～) 为X～ ～的闭包. 由泛函分析中 结论: 凸集的闭包是凸集, 可知 C( X～ ～) 为凸集, 从而 C( X～ ～) 为有界
闭凸集.
证毕
Y 定理 2. 4 R∈ n,
定理113的证明我们注意到infx以上证明过程不仅证明了最优模糊等价阵的存在性而且还证明了在平移等价类的闭包中与给定的模糊相似矩阵r距离最近的模糊等价阵的存在性与唯一性以后我们称此模糊等价阵为局部最优模糊等说明局部最优模糊等价阵具有唯一性
1999 年 4 月
系统工程理论与实践
第 4 期
模糊聚类中的模糊等价矩阵
bi2, bi3, …
, bimi, 则 ti=
bi1+
bi2+
bi3+ mi
…
+
bimi ( i =
1, 2, …
, n-
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利用λ ＝0.8时的截关系，将X分成4个等 价类： {x1, x3}, {x2}, {x4}, {x5}
2018/10/8 19
λ ＝0.6
1 0.4 t ( R ) 0.8 0.5 0.5
1 0 0.4 0.8 0.5 0.5 0 1 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 t ( R )0.6 1 0 0.4 0.5 1 0.6 0 0 0 0 0.4 0.5 0.6 1
2018/10/8
10
模糊等价矩阵
若论域U是有限论域，则U上的模糊等价关 系R可表示为模糊等价矩阵
模糊等价矩阵
自反性 rii = 1 对称性 rij = rji 传递性
n
rij (rik rkj )
k 1
11
2018/10/8
R是否为模糊等价矩阵？
设 X 8, 9, 65, 400 ，模糊矩阵
2
IA;
2
...
2018/10/8 5
对称性
若模糊关系R满足R(u,v)=R(v,u)，则称R具有 对称性 模糊对称矩阵
rij = rji
例如：
1 0.4 A 0.4 1 0.5 0.9
0.5 0.9 1
6
2018/10/8
传递性
若模糊关系R满足RоR⊆R，则称R具有传递 性 模糊传递矩阵
rij (rik rkj )
k 1
n
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7
模糊传递矩阵——例
0.1 0.2 A 0 0.1 0 0 0.3 2 0.2 , A ? 0.1
0.1 0.1 2 A 0 0.1 0 0
2018/10/8
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
1 0.1 0.1 1 R ~ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
表达 X X 上的模糊关系 R ，请验证 ~ = “大约相等”
R XX 矩阵 R ~ 是否为模糊等价矩阵，关系 ~ 是否为
上的模糊等价关系.
12
2018/10/8
等价布尔关系
一个布尔矩阵具有如下特性，则称其为等 价的布尔矩阵，对应一个普通的等价关系
0.2 0.1 A 0.1
8
模糊传递矩阵的定理
定理. 设模糊矩阵 Q ∈Mn×n是传递矩阵， 则有
Q ⊇Q2 ⊇ Q3 ⊇… ⊇Qn-1 ⊇Qn ⊇… 证明:
Q Q
3
2 3
QQ QQ ;
2
Q Q
4
2
QQ ;
3
9
...
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模糊等价关系
定义. 模糊关系R∈F(U×U) , 满足 （1）自反性：R (u,u)=1; （2）对称性：R(u,v)=R(v,u); （3）传递性：R2 ⊆R 则称R为模糊等价关系
第4章 模糊关系与聚类分析
2018/10/8
1
本章内容
4.1
模糊关系
4.2
4.3
模糊等价关系
聚类分析
2018/10/8
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
模糊关系的三个性质
自反性 对称性 传递性
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3
自反性
若模糊关系R满足R(u,u)=1或I⊆R，则称R具 有自反性 模糊自反矩阵
rii = 1
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λ ＝1
1 0.4 t ( R ) 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
1 0 t ( R)1 0 0 0
1 0 0.4 0.8 0.5 0.5 0 1 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 t ( R )0.8 1 0 0.4 0.5 1 0.6 0 0 0 0 0.4 0.5 0.6 1
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
利用λ ＝1时的截关系，将X分成5个等价 类： {x1}, {x2}, {x3}, {x4}, {x5}
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λ ＝0.8
1 0.4 t ( R ) 0.8 0.5 0.5
对于任何λ∈[0,1]，Rλ是等价布尔矩阵。 证明：
对称性、自反性显然 传递性
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定理1的意义
模糊等价矩阵普通等价矩阵 普通等价矩阵⇔普通等价关系 普通等价关系可以分类 当λ在[0,1]上变动时，得到不同的Rλ, 从而 得到不同的分类
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模糊等价矩阵分类——例
自反性 对称性 传递性
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13
模糊等价矩阵的性质
若R为模糊等价矩阵，则 R= R2 = R3 = … = Rn-1 = Rn 证明： 自反性： R⊆R2 ⊆…⊆ Rn-1 ⊆Rn
传递性: R⊇R2⊇…⊇Rn-1⊇Rn
2018/10/8
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模糊等价矩阵的定理1
定理1. R是模糊等价矩阵⇔
设X={x1, x2, x3 ,x4, x5 }
1 0.4 R 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
求当λ ＝1, 0.8, 0.6, 0.5, 0.4时的聚类结果。
例如：
1 0.4 1 A 0.1 1 0
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0 I 1
4
自反矩阵的定理
定理. 设模糊矩阵 A ∈Mn×n是自反矩阵，则有 I ⊆ A⊆A2 ⊆ A3 ⊆…⊆ An-1 ⊆An⊆… 证明:
A A A A I A;
2
A A
3
2
A A