模糊数学(模糊关系合成)
第六章 模糊关系方程
若
( X (u, v) R(v, w)) S(u, w), (u, w)
vV ~
~
~
则称 X 是方程的一个解. ~
第六章 模糊关系方程
定义1 满足模糊关系方程X R S 的 X
~~ ~
~
称为方程的解.
如果模糊关系方程X R S 有解， ~~ ~
则称方程是相容的. 否则称方程是不相容的.
如果模糊关系方程X R S 的某个解X ，
~~ ~
~
对其他的任意一个解X ,恒有 X X , 称 X 为
~
~
~
~
方程的最大解.
第六章 模糊关系方程
定理1 给出模糊关系方程
XR S
(I)
~~ ~
其中R F (V W ), S F (U W )为已知，
~
~
X F (U V )为未知模糊关系.令
( x1, x2 , x3 ) 0.2 0 0.2 (0.2, 0.4, 0.2) 0 0.6 0.1
3
X ( x1 , x2 , x3 ), xk {s j | rkj s j }, k 1,2,3
j1
3
k 1时, x1 {s j | r1 j s j } 0.2
j1
3
k 2时, x2 {s j | r2 j s j } 1
X
~
(
ui
,
vk
)
{sij
j1
| rkj
sij }
第六章 模糊关系方程
X
~
X
(
xik
)nm
,
R
~
R
Hale Waihona Puke (rkj )ml ,S
模糊数学的原理及其应用
模糊数学的原理及其应用1. 模糊数学的概述•模糊数学是一种数学理论和方法，用于描述和处理模糊和不确定性的问题。
•模糊数学可以更好地解决现实世界中存在的模糊性问题。
2. 模糊数学的基本概念•模糊集合：具有模糊性的集合，其元素的隶属度可以是一个区间或曲线。
•模糊关系：描述元素之间模糊的关联，可以用矩阵、图形或规则表示。
•模糊逻辑：基于模糊集合和模糊关系的逻辑运算，用于推理和决策。
3. 模糊数学的原理•模糊集合理论：模糊集合的定义、运算和性质。
•模糊关系理论：模糊关系的表示、合成和推理。
•模糊逻辑理论：模糊逻辑运算的定义、规则和推理机制。
4. 模糊数学的应用领域•控制理论：在模糊环境下设计控制系统，提高系统的鲁棒性和自适应能力。
•人工智能：利用模糊推理和模糊决策技术，实现模糊推理机和模糊专家系统。
•决策分析：在不确定和模糊环境下进行决策，提供可靠的决策支持。
•模式识别：用模糊集合和模糊关系描述和识别模糊模式。
•数据挖掘：利用模糊数学方法在大数据中发现模糊规律和模糊模式。
•经济学：模糊数学在经济学中的应用，如模糊经济学和模糊决策理论。
•工程优化：在多目标优化和约束优化中应用模糊数学方法。
•生物学：模糊生物学在生物信息学和细胞生物学中的应用。
5. 模糊数学的优势和局限5.1 优势•能够处理和描述模糊和不确定的问题，适用于现实世界的复杂问题。
•可以通过合适的模型和规则进行推理和决策，提供可靠的解决方案。
•可以用简单的数学方法解决复杂的问题，不需要严格的数学证明。
5.2 局限•模糊数学方法在某些问题上可能无法提供明确的结果。
•模糊数学需要根据实际情况选择合适的模型和参数，需要一定的经验和专业知识。
•模糊数学方法的计算复杂性较高，在大规模问题上可能不适用。
6. 总结•模糊数学是一种处理模糊和不确定问题的数学理论和方法。
•模糊数学包括模糊集合理论、模糊关系理论和模糊逻辑理论。
•模糊数学在控制理论、人工智能、决策分析等领域应用广泛。
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学，也被称为模糊逻辑或模糊理论，是一种基于模糊概念和模糊集合的数学分析方法，用于处理不精确或不确定性的问题。
模糊数学允许将不明确的概念和信息进行量化和处理，以便更好地处理现实生活中存在的模糊性问题。
模糊数学的基本原理是引入模糊集合的概念，其中的元素可以具有模糊或不确定的隶属度。
模糊数学中的隶属函数可以用于刻画元素对于一个模糊集合的隶属程度。
模糊集合的运算可以通过模糊逻辑实现，模糊逻辑是概率逻辑和布尔逻辑的扩展，它允许使用连续的度量范围来推导逻辑结论。
模糊逻辑中的运算包括取补、交集和并集等，它们可以用来处理模糊概念之间的关系。
模糊数学在许多领域都有广泛的应用。
在控制系统中，模糊控制可以用于处理难以量化的问题，如温度、湿度和压力等。
在人工智能领域，模糊推理可以用于处理自然语言的不确定性和模糊性。
在决策分析中，模糊数学可以用于处理多个决策因素之间的不确定性和模糊性。
此外，模糊数学还在模式识别、图像处理、数据挖掘和人机交互等领域得到广泛应用。
通过使用模糊数学的方法，可以更好地处理现实世界中存在的不确定性和模糊性，从而提高问题解决的准确性和效率。
模糊数学基本概念
模糊数学是一种处理模糊和不确定性问题的数学方法，它基于模糊集合理论，用于描述和处理无法精确量化的概念和现象。
以下是模糊数学的一些基本概念：
模糊集合：模糊集合是一种将不确定性或模糊性引入集合概念的数学工具。
与传统的集合不同，模糊集合中的元素具有一定的隶属度，表示元素与集合的模糊关系。
隶属函数：隶属函数是模糊集合中元素与集合的隶属度之间的映射关系。
它描述了元素在模糊集合中的程度或概率。
模糊关系：模糊关系是一种描述模糊集合之间的关系的数学工具。
它反映了元素之间的模糊连接或模糊相似性。
模糊逻辑：模糊逻辑是一种处理模糊命题和推理的逻辑系统。
它扩展了传统的二值逻辑，允许命题具有模糊的真值或隶属度。
模糊推理：模糊推理是一种基于模糊规则和模糊推理机制进行推理和决策的方法。
它能够处理模糊的输入和输出，并提供模糊的推理结果。
模糊数学运算：模糊数学中存在一系列的运算，包括模糊集合的并、交、补运算，模糊关系的复合运算等。
这些运算用于处理模糊集合和模糊关系的操作。
模糊控制：模糊控制是一种应用模糊数学方法进行控制的技术。
它通过模糊逻辑和模糊推理实现对复杂系统的控制，具有适应性和容错性的特点。
以上是模糊数学的一些基本概念，它们构成了模糊数学理论的基础，被广泛应用于人工智能、决策分析、模式识别、控制系统等领域。
模糊数学_3第五章 模糊映射与变换,模糊关系方程
f fR : u V
满足：
{ f (u)} R | u
f (u ) vu
反之任给一普通映射 f : U V 也可确定普通关系
R {(u,v) | v f (u )}
或
1 当v f (u ) X R (u ,v) 0 当v f (u )
普通关系的映射象和原象都是清晰的。
~
R | u 4 f (u4 ) (0.7,0,0.4)
~
R | u1 0.4 0.7 0 ~ R | u 2 0.1 0.4 0.3 R ~ u R|u ~ 3 0 0.5 0 R | u 4 0.7 0 0.4 ~ v
对于模糊集合普通映射， f : U V 给定 A F (U )，在 f 之下的象应当是什么？ ~ 给定 B F (V )，在 f 之下的原象应当是什么？ ~ 普通集合 f 怎样扩展到 F (U ) 与 F (V ) 之间去。 • 定义5.６ 设 f : U V ，所谓 f 在模糊集类上的扩展， 1 乃是指这样两个映射，仍记为 f 与 f
f : U V
设 A 1, 0, 0.2, 0, 0.1,， 0.9
~
由扩展原理： f ( A) (v1) A (u1 ) A (u2 ) A (u3 )
~ ~ ~ ~
1 0 0.2 1
f ( A) (v2 ) 0.1
f ( A) (v3 ) 0.9
在身高论域V上应表现为
0 .1 0 .2 1 . 5 1 .6
b a R (0.8,1,0.8,0.6,0.2) 0.8 1 0.8 0.6 0.2 1.4m 1.5m 1.6m 1.7m 1.8m
模糊数学法的原理及应用
模糊数学法的原理及应用1. 引言模糊数学是一种基于模糊逻辑的数学方法，其目的是处理那些现实世界中存在不确定性和模糊性的问题。
相对于传统的二值逻辑，模糊数学可以更好地刻画事物的模糊性和不确定性，因此被广泛应用于各个领域。
2. 模糊数学的基本概念模糊数学的基本概念包括模糊集合、隶属函数和模糊关系等。
2.1 模糊集合模糊集合是指元素隶属于集合的程度可以是连续的，而不仅仅是二值的。
模糊集合可以用隶属函数来描述，隶属函数将元素和隶属度之间建立了映射关系。
2.2 隶属函数隶属函数描述了元素对模糊集合的隶属程度。
隶属函数通常是一个在区间[0, 1]上取值的函数，表示元素隶属于模糊集合的程度。
2.3 模糊关系模糊关系是指模糊集合之间的关系。
模糊关系可以用矩阵来表示，其中每个元素表示了模糊集合之间的隶属度。
3. 模糊数学的应用模糊数学在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用实例。
3.1 模糊控制模糊控制是一种通过模糊逻辑和模糊推理来进行控制的方法。
模糊控制可以应用于各种物理系统，例如温度控制、汽车驾驶等，通过模糊控制可以更好地应对系统不确定性和模糊性的问题。
3.2 模糊分类模糊分类是一种模糊集合的分类方法。
与传统的二值分类不同，模糊分类可以更好地处理具有模糊边界的样本。
模糊分类可以应用于各种模式识别和数据挖掘任务中。
3.3 模糊优化模糊优化是一种利用模糊数学方法进行优化的技术。
传统的优化方法通常需要准确的数学模型和目标函数，而模糊优化可以在模糊和不确定的情况下进行优化。
3.4 模糊决策模糊决策是一种基于模糊逻辑和模糊推理的决策方法。
模糊决策可以用于各种决策问题，例如投资决策、风险评估等，通过模糊决策可以更好地处理决策中的不确定性和模糊性。
4. 总结模糊数学是一种处理不确定性和模糊性的有效方法，它可以更好地刻画现实世界中存在的模糊信息。
模糊数学在控制、分类、优化和决策等领域都有广泛的应用。
随着人工智能和大数据技术的不断发展，模糊数学的应用将会更加重要和广泛。
2模糊控制的数学基础
分解定理
设A是论域X上的模糊集合，λ∈[0, 1]，A是A的λ截集，则有
A A 0, 1 其中λAλ为x的一个特殊模糊集合，其隶属函数为
, A (x) 0,
x A x A
说明任何一个模糊集可由 一个普通集合簇来表示
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2.3 模糊集合与普通集合的联系
分解定理 为了对分解定理有一个直观的了解，在左图中，取λ1、 λ2∈[0,1]两个值
集合的直积 序偶 将不同的事物按一定顺序排列起来组成一个整体， 用以表达它们之间的关系，这就叫做序偶。 集合的直积 有两个集合X，Y，从X中取一个元素x，从Y中取一个元 素y，把它们组成一个序偶，所有元素序偶的全体组成一 个新的集合，这个集合叫做集合X，Y 的直积，表示为
X Y {(x, y) | x X , y Y}
A {x | x X , A (x) }
称 A为A的λ强截集
当λ=1时，得到的最小的水平截集A1称为模糊集合A的核。 当λ=0+时，得到的最大的水平截集称为模糊集合A的支集。 如果A的核A1非空，则称A为正规模糊集，否则称为非正规 模糊集。
Page 27
2.3 模糊集合与普通集合的联系
λ水平截集
0
25 50 75 100
u
Page 20
2.2 模糊集合
例2.2.3
“年轻”和“年老”模糊集合可以写为：
Y
1
1
(
x
25) 5
2
1
x 0x25
25x200
x
O
0
1
(
x
5 50
)
2
1
x 0x50
50x200
x
Page 21
计算机智能控制第2讲模糊数学的基本概念-10-9资料
高斯函数 S函数
II函数
Z函数
S函数
II函数
关系的定义
关系的定义
关系是客观世界存在的普遍现象。如父子关
系、大小关系、属于关系、二元关系、多元关系
、多边关系等等(关系明确）直积体现着两集合
间的无约束关系，若给以约束，就形成关系。在
普通集合中，设论域U和V，从U到V的一个关系定
义为直积
1、为什么采用模糊控制？
传统的自动控制控制器的综合设计都要建立 在被控对象准确的数学模型(即传递函数模 型或状态空间模型)的基础上，但是在实际 中，很多系统的影响因素很多，油气混合 过程、缸内燃烧过程等) ，很难找出精确的 数学模型。这种情况下，模糊控制的诞生 就显得意义重大。因为模糊控制不用建立 数学模型不需要预先知道过程精确的数学 模型。
用模糊矩阵R来表示为
那么家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度如 何？
模糊关系 也存在关 系合成， 主要通过 模糊关系 矩阵来合 成。
模糊关系合成
定义2-5 模糊关系合成：如果R和S分别为迪卡
尔空间
和
上的模糊关系，则R和S的合
成是定义在迪卡尔空间
上的模糊关系，
并记为
。其隶属度函数的计算方法为：
从模糊中寻找确定，“矬子里选将军”
定义：设Aλ∈F(U), λ∈[0,1] 则：
(1)
称Aλ为A的一个-
λ截集，称λ为阈值（或置信水平）。
(2) λ强截集。
称Aλ为A的一个-
(3) SuppA={u|u∈U, A(u)>0} ，A的支集
KerA={u|u ∈U,A(u)=1} ，A的核。
当A的核不空，称A为正规F集。
的一个子集R，记为
模糊数学1第二讲-模糊集合与模糊关系
目录
• 引言 • 模糊集合的基本概念 • 模糊关系的定义和性质 • 模糊关系的应用 • 结论
01 引言
主题简介
模糊集合
模糊集合是传统集合的扩展，允许元 素具有不明确的隶属度。它能够更好 地描述现实世界中许多事物的模糊性 和不确定性。
模糊关系
模糊关系是描述模糊元素之间关联的 方式，可以用于描述事物之间的不确 定性和相似性。
3
模糊关系具有自反性，即任意一个模糊集合都与 自身有完全的关联。
模糊关系的运算
01
并运算
表示两个模糊集合之间的合并关系， 结果是一个新的模糊集合。
补运算
表示一个模糊集合的补集关系，结 果是一个新的模糊集合。
03
02
交运算
表示两个模糊集合之间的交集关系， 结果是一个新的模糊集合。
非运算
表示一个模糊集合的否定关系，结 果是一个新的模糊集合。
人工智能与机器学习
模糊数学在人工智能和机器学习领域有巨大的潜力，特别 是在处理不确定性和含糊性方面。未来可以进一步探索模 糊数学在人工智能和机器学习领域的应用。
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感谢您的观看
04
04 模糊关系的应用
在决策分析中的应用
模糊决策
利用模糊集合理论，可以将决策 问题中的不确定性和模糊性纳入 数学模型中，从而更准确地描述 和解决决策问题。
模糊多属性决策
在多属性决策中，模糊集理论可 以用于处理属性值的不确定性， 通过权重调整和属性值模糊化， 实现更准确的决策分析。
模糊综合评价
基于模糊集合理论的综合评价方 法，能够综合考虑多个因素和条 件，对复杂系统进行全面、客观 的评价。
模糊关系方程的求解方法(ⅰ)
模糊关系方程的求解方法(ⅰ)模糊关系方程（Fuzzy Relation Equation，FRE）是模糊数学中的一种重要工具，用于描述两个或多个模糊集之间的关系。
在实际应用中，模糊关系方程可以用来分析和处理各种信息不确定性问题，具有很高的实用性和广泛的应用前景。
一、模糊关系方程的定义模糊关系方程是一种表示模糊关系的数学工具，它定义了一个模糊集关系，用于描述两个或多个模糊集之间的关系。
它的一般形式为：R = R(x, y)其中，x、y是两个变量，R(x, y)是它们之间的模糊关系，通常用一个模糊规则来定义，如下所示：IF x is A and y is B, THEN R(x, y) is C其中，A、B、C分别是三个模糊集，表示变量x、y和它们的关系R(x, y)。
这个规则是根据当前问题场景和需求来确定的，可以人工经验或使用专家系统等技术来定义。
二、模糊关系方程的求解方法模糊关系方程的求解方法有很多，本文介绍以下三种常用方法：1.等价变换法等价变换法是一种利用变换函数将原问题转化为等价的新问题去求解的方法。
该方法的基本思想是将原问题中的变量通过变换函数映射到新的变量上，然后求解等价的新问题，最后再将结果通过逆变换函数还原回原问题中的变量上。
这种方法适用于模糊化程度较低的问题，计算量较小，但容易出现误差。
2.迭代逼近法迭代逼近法是一种通过迭代计算来逐步逼近模糊关系方程解的方法。
该方法的基本思想是先给出一个初始的解或解集，然后通过迭代计算的方式逐步不断地优化解的准确度和稳定性，直到满足一定的收敛条件为止。
这种方法适用于任意模糊度的问题，计算效率较高，但容易受到初始解的影响。
3.逻辑推理法逻辑推理法是一种利用模糊逻辑运算规则和模糊推理机制来推导求解模糊关系方程的方法。
该方法的基本思想是先将模糊关系方程转化为一组模糊规则或模糊逻辑表达式，然后通过运用模糊逻辑运算规则和模糊推理机制来推导求解出问题的答案。
模糊数学 第四章---模糊关系
2.模糊自反关系(fuzzy reflexive relations)
定义 R F ( X X ), 若x X , R( x, x) 1，
则称R为模糊自反关系.
X有限时，R (rij )nn , rii R( xi , xi ) 1 根据主对角线元素是否为1判定R 是否自反
2. 运算
设R, S F ( X Y )
R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y );
( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y ) ( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y )
设R (rij )nm , S ( sij )nm ,
即R( xi , y j ) rij , S ( xi , y j ) sij
则（R S )( xi , y j ) R( xi , y j ) S ( xi , y j ) rij sij 所以，R S (rij sij )nm .
1
X 有限时，
根据矩阵是否为对称阵判定R 是否对称关系
0.3 0.1 为对称关系. 0.1 0.3
命题3.3 R对称 [0， 1]， R 是普通对称关系.
证明： 设R对称，且( x, y) R , 则R( x, y)
故R( y, x) R( x, y) ( y, x) R
类似可得： R S (rij sij ) nm . R c (1 rij )nm .
R 1 ( yi , x j ) R( x j , yi ) rji R S i, j, rij sij
模糊数学中的模糊关系与模糊矩阵
模糊数学中的模糊关系与模糊矩阵模糊数学，作为应用于不确定性问题的重要工具，对于描述模糊和不确定现象具有重要意义。
其中，模糊关系和模糊矩阵是模糊数学中的两个重要概念。
本文将对模糊关系和模糊矩阵进行详细介绍，并探讨其在实际问题中的应用。
1. 模糊关系在模糊数学中，模糊关系是指一种描述元素之间模糊互相关系的工具。
模糊关系可以表示为一个二元组R = (U×V, {μR(u,v)})，其中U和V是两个隶属函数，代表了元素u和v之间的隶属程度，μR(u,v)表示模糊关系R在元素u和v之间的隶属度。
模糊关系可以通过物理世界的实际问题得到，例如描述两个城市之间的距离、两个人之间的亲密程度等。
在实际问题中，模糊关系常常用于描述隶属程度的模糊性，以及元素之间关系的不确定性。
2. 模糊矩阵模糊矩阵是模糊关系的一种表示形式。
它是一个正方形矩阵，矩阵的每个元素都表示了模糊关系的隶属度。
假设元素集合U={u1, u2, ..., un}，模糊关系R可以表示为一个n×n 的模糊矩阵R=(μR(u,v))，其中μR(u,v)表示元素u和v之间的隶属度。
模糊矩阵中的元素可以是实数也可以是区间，取决于具体问题的模糊性程度和不确定性程度。
模糊矩阵在实际问题中的应用十分广泛。
例如，在推荐系统中，可以利用模糊矩阵描述用户对不同商品之间的喜爱程度；在风险评估中，可以利用模糊矩阵描述不同因素之间的关联程度，以及对整体风险的影响程度等。
3. 模糊关系的运算模糊关系可以进行多种运算，用以描述元素之间的模糊关系以及模糊关系之间的逻辑关系。
（1）模糊关系的合成运算模糊关系的合成运算可以将两个模糊关系进行组合，得到新的模糊关系。
常用的合成运算有模糊交、模糊并、模糊合和模糊补等，通过这些运算可以描述模糊关系之间的逻辑操作。
（2）模糊关系的传播运算模糊关系的传播运算可以通过已知模糊关系推导出新的模糊关系。
传播运算可以根据给定的模糊关系和传播规则，计算出新的模糊关系，用以描述元素之间的关系传递和传递程度。
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学，又称模糊逻辑或模糊理论，是一种用于处理模糊和不确定性问题的数学方法。
它与传统的二值逻辑不同，二值逻辑中的命题只能有“是”和“否”两种取值，而模糊数学允许命题
取任意模糊程度的值，介于完全是和完全否之间。
模糊数学的基本原理是模糊集合论。
在模糊集合中，每个元素都有一个属于该集合的隶属度，代表了该元素与集合之间的模糊关系。
隶属度的取值范围通常是0到1之间，其中0表示不
属于该集合，1表示完全属于。
模糊集合的隶属函数则用来描
述每个元素的隶属度大小。
模糊数学的应用广泛。
在工程领域中，它常用于模糊控制系统的设计与分析。
传统的控制系统中，输入和输出之间的关系是通过确定性的数学模型来描述的，而模糊控制则允许系统中存在不确定性和模糊性，并通过模糊推理来实现系统的控制。
在人工智能领域中，模糊数学也有着重要的应用。
模糊逻辑可以用来处理自然语言的模糊性和歧义性，对于机器翻译、信息检索和智能对话系统等任务具有重要意义。
此外，模糊数学还可以应用于风险评估、决策分析、模式识别、数据挖掘等领域。
通过将模糊数学方法应用于这些问题，可以更好地处理不确定性和模糊性信息，并得到更准确的结果。
总而言之，模糊数学是一种处理模糊和不确定性问题的数学方法，通过模糊集合论和模糊推理来建模和分析。
它在各个领域
都有广泛的应用，可以帮助人们更好地处理现实世界中的复杂问题。
模糊数学法
模糊数学法引言模糊数学法是一种用于处理模糊不确定性问题的数学方法。
它是由美国数学家洛特菲尔德于1965年提出的，被认为是一种在现实世界中处理不明确、含糊和不确定性信息的有效工具。
在传统的数学中，我们通常使用精确的数值来进行计算和推导。
然而，在现实生活中，很多问题都是模糊不清的，无法用精确的数值来描述。
例如，判断一个人的身高是否高大，这个问题就存在模糊性，因为高大的标准因人而异。
在这种情况下，传统的数学方法就失去了效力，需要使用模糊数学法来处理。
模糊集合模糊集合是模糊数学的核心概念之一。
传统的集合理论中，元素要么属于集合，要么不属于集合，不存在属于程度的概念。
而在模糊集合中，元素的归属程度可以是模糊的。
一个元素可以部分属于集合，部分不属于集合。
这种归属程度的模糊性可以用[0,1]之间的数值来表示，称为隶属度。
模糊集合可以用一个隶属函数来描述。
隶属函数是一个将元素映射到隶属度的函数。
例如，对于一个描述“高大”人的模糊集合，可以用一个隶属函数将每个人映射到0到1之间的一个隶属度，表示这个人属于“高大”这个集合的程度。
模糊逻辑模糊逻辑是模糊数学的另一个重要概念。
传统的逻辑推理是基于真假的二值逻辑，而模糊逻辑则允许命题的真实性程度是模糊的。
模糊逻辑中的命题可以是“完全真”、“完全假”或者处于两者之间的模糊状态。
模糊逻辑使用模糊推理来推导出模糊命题的真实性程度。
它可以用于解决模糊不确定性问题，例如模糊控制系统中的决策问题、模糊信息检索等。
模糊数学应用模糊数学方法在很多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：模糊控制模糊控制是模糊数学的一个重要应用领域。
在传统的控制系统中，输入和输出之间的关系通常是精确的，可以用精确的数学模型来描述。
然而，在现实生活中，很多控制系统的输入和输出之间的关系是模糊的，无法用精确的数学模型来描述。
在这种情况下，可以使用模糊控制方法来设计控制系统，通过模糊推理来处理模糊的输入和输出。
模糊数学方法
四 模糊数学方法模糊数学方法，是一种研究和处理模糊现象的新型数学方法。
这一方法，是由美国自动控制专家查德(L.A.Zadeh)于1965年首次提出来的。
20多年来，模糊数学方法在自然科学和社会科学研究的各个领域得到了广泛应用。
4.1糊子集及其运算在经典集合论中，一个元素对于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，绝不允许模棱两可。
这一要求就从根本上限定了以经典集合论为基础的常规数学方法的应用范围，它只能用来研究那些具有绝对明确的界限的事物和现象。
但是，在现实世界中，并非所有事物和现象都具有明确的界限。
譬如，“高与矮”，“好与坏”，“美与丑”，……，这样一些概念之间就没有绝对分明的界限。
严格说来，这些概念就是没有绝对的外延，这些概念被称之为模糊概念，它们不能用一般集合论来描述，而需要用模糊集合论去描述。
4.1.1子集及其表示方法1.模糊子集(1)隶属函数：在经典集合论中，一个元素x 和一个集合A 之间的关系只能有x A ∈或者x A ∉这两种情况。
集合可以通过其特征函数来刻划，每一个集合A 都有一个特征函数C A (x)，其定义如下：由于经典集合论的特征函数只允许取0与1两个值，故与二值逻辑｛0，1｝相对应。
模糊数学是将二值逻辑｛0，1｝拓广到可取[0，1]闭区间上任意的无穷多个值的连续值逻辑。
因此，也必须把特征函数作适当的拓广，这就是隶属函数μ(x)，它满足：0≤μ(x)≤1 (2)(1)式也可以记作μ(x)∈[0，1](2)模糊子集的定义：1965年，查德首次给出了模糊子集的如下定义：设U 是一个给定的论域(即讨论对象的全体范围)，μA ：x →[0，1]是U 到[0，1]闭区间上的一个映射，如果对于任何x ∈U ，都有唯一的μA (x)∈[0，1]与之对应，则该映射便给定了论域U 上的一个模糊子集，μA 称做 的隶属函数，μA (x)称做x 对 的隶属度。
2.模糊子集的表示方法通过上述关于模糊子集的定义可以看出，一个模糊子集完全由其隶属函数所刻划。
模糊数学
R2 R1(x, y) = R2(x, y)；包含：R1 R2 R1(x, y)≤R2(x, y)；并： R1∪R2 的隶属函数为(R1∪R2 )(x, y) = R1(x, y)∨R2(x, y)；交： R1∩R2 的隶属函数为： (R1∩R2 )(x, y) = R1(x, y)∧R2(x, y)；余：Rc 的隶属函数为 Rc (x, y) = 1- R(x, y)。 (R1∪R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系 “R1 或者 R2”的相关程度, y)表示(x, y)对模糊关系“R1 且 R2”的相·关程度, 糊关系 “非 R”的相关程度。 模糊关系的矩阵表示 :
其外延也是清晰的，可记为 Cantor 集（普通集合）。然而在论域上讨论的某些 概念， 只能模糊的非唯一的回答， 我们无法用一个 Cantor 集表达该概念的外延， 了表达模糊概念的外延，就产生了模糊集合（Fuzzy Sets）。 模糊集合不仅指出含有哪些元素，而且还是指出各元素隶属该集的程度。 设 X 是全集， A(x)是模糊集合 A 的隶属函数. 如果 X 是有限集合或可数集合, 则 将模糊集合 A 表示为 A A 表示为 A
如果 R 为布尔矩阵时,
则关系 R 为普通关系,
即 xi 与 yj 之间要么有关系
(rij = 1), 要么没有关系( rij = 0 )。 模糊关系的合成:
○
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则 R1 与 R2
的复合 R1 R2 是 X 到 Z 上的一个关系:
(R1○R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }.当论域为有限时,
模糊数学模糊关系合成
n
rij k1(rik rkj )
34
模糊传递矩阵——例
0.1 0.2 A 0 0.1
0 0
0.3 0.2, A2 ? 0.1
0.1 0.1
A2
0
0.1
0 0
0.2 0.1 A 0.1
35
模糊传递矩阵的定理
定理. 设模糊矩阵 Q ∈Mn×n是传递 矩阵，则有
Q ⊇Q2 ⊇ Q3 ⊇… ⊇Qn-1 ⊇Qn ⊇… 证明:
21kxyrxye???22kyzryze???11例例1的答案?把把y当作变量把x和z都当作常量2212kxykyzyyrrxzee????????12例例1的答案222222212222kxykyzxzxzkxkkxyyxyyzyzxzxyyzyyyrreeeee???????????????????????????????????yy问题变成了确定曲线交点的横坐标当时13模糊关系的合成例2?设设r为模糊关系x远大于y其隶属函数如下则合成关系rr应该为x远远大于y试问其隶属函数是什么
25
模糊关系合成的性质
注意
合成运算的交运算的分配律不成立！
26
模糊关系合成的性质5,6
(5) (QоR) λ= Qλо Rλ 推论 (Rn) λ= (Rλ)n
(6) (QоR) T= QTо RT 推论 (Rn) T= (RT)n
27
课后作业
28
3-7 模糊等价关系及聚类图
29
模糊关系的三个概念
z
y*
y*
x 2
z
当y
y *时 ， R1 o R2
(ek (x y)2
yY
e ) k ( y z )2
e e e k ( x y* )2
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ek( yz)2 )
e e e k (x y* )2
k (x xz )2 2
k ( xz )2 2
12
模糊关系的合成——例2
设R为模糊关系“x远大于y”，其隶属 函数如下，则合成关系RоR应该为“x 远远大于y”，试问其隶属函数是什么？
0, x y
R(x,
y)
（ 1
100 (x y)2
v)
S
(v,
w1
))
(R(u1, v1) S(v1, w1)) (R(u1, v2 ) S(v2, w1))
(0.5 0.8) (0.3 0.3)
0.5
R
0.5 0.4
0.3 0.8
,
S
0.8 0.3
0.5 0.7
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19
模糊矩阵的乘积
设Q (qik )ml F (U V ), R (rkj )ln F (V W ) 则Q对R的合成为 Q R S (sij )mn F (U W )，其中
Q R(u, w) (Q(u,v) R(v, w)) vV
8
R2=？
若R∈F(U×U),记R2 = RоR Rn = Rn-1оR
9
模糊关系的合成——例1
设足R1为X×Y上的模糊关系,其隶属函数满
R1(x, y) ek (xy)2
设R2为Y×Z上的模糊关系,其隶属函数满足
R2 ( y, z) ek ( yz)2
(5) (QоR) λ= Qλо Rλ 推论 (Rn) λ= (Rλ)n
(6) (QоR) T= QTо RT 推论 (Rn) T= (RT)n
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27
课后作业
吉林大学计算机科学与技术学院
28
3-7 模糊等价关系及聚类图
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29
模糊关系的三个概念
自反性 对称性 传递性
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30
自反性
若模糊关系R满足R(u,u)=1或I⊆R， 则称R具有自反性
模糊自反矩阵
rii = 1
例如：
A
1
0.1
0.4
1
1
0
0 1
I
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31
自反矩阵的定理
定理. 设模糊矩阵 A ∈Mn×n是自反矩阵， 则有
22
模糊关系合成的性质1,2
(1)结合律 (QоR)оS=Qо(RоS)
(2) 0-1律 0оR=Rо0=0 IоR=RоI=R
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23
模糊关系合成的性质3,4
(3) Q⊆R⇒ QоS⊆RоS Q⊆R⇒ Qm⊆Rm
(4) 分配律（对∪分配） (Q∪R)оS=(QоS)∪(RоS) Sо(Q∪R) =(SоQ)∪(SоR)
试求R1、 R2的合成。
10
例1的答案
把y当作变量，把x和z都当作常量
R1
R2 (x, z)
(ek (xy)2
yY
e ) k ( yz)2
11
例1的答案
问题变成了确定曲线交点的横坐标y*
(x y*)2 ( y* z)2
x
y*
y* z
z
y*
y*
x
2
z
当y y*时，R1
R2
(ek (x y)2
6
合成关系的表示
关系Q和关系R的合成可以表示为
Q R {(u, w) | v,(u,v) Q,(v, w) R}
用特征函数来表示，则有 Q R(u, w) (Q(u, v) R(v, w))
vV
7
经典关系合成模糊关系合成
设Q∈F(U×V),R∈F(V×W),所谓Q对R 的合成，就是从U到W的一个模糊关系， 记作QоR，其隶属函数为
l
sij k1(qik rkj ),i 1,.., m, j 1,..., n
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20
模糊矩阵乘积vs.经典矩阵乘积
实数相乘“×” 实数取小“∧” 实数相加“+” 实数取大“∨”
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21
课题作业：计算RоS
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存在一个y，y是x的兄弟，且y是z父 亲
xSz存在y∈X,使xQy且yRz 称叔侄关系S是兄弟关系Q和父子关
系R的合成，记为S=QоR
5
关系合成的定义
设Q∈P(U×V),R∈P(V×W), S∈P(U×W)
若(u,w)∈S存在v∈V,使 (u,v)∈Q且(v,w)∈R，则称关系S是 由关系Q与关系R合成的，记作 S=QоR
模糊数学 7
1
内容回顾
普通关系模糊关系 有限论域上，布尔矩阵模糊矩阵 模糊关系（模糊矩阵）的运算
2
3-5 模糊关系的合成
3
经典关系的合成
X表示人群 兄弟关系Q：XX，父子关系R：
XX，叔侄关系S：XX 问：Q,R,S这三个关系之间存在着什么
关系？
X Q X R X S
4
叔侄关系
x,z存在叔侄关系（x是z的叔叔或伯 伯）？
I ⊆ A⊆A2 ⊆ A3 ⊆…⊆ An-1 ⊆An⊆…
S 0.8 0.5 0.3 0.7 (v1, w1) (v1, w2 ) (v2 , w1) (v2 , w2 )
?
?
?
?
R S
(u1, w1) (u1, w2 ) (u2 , w1) (u2 , w2 )
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18
以(u1, w1)为例
R
S
(u1,
w1
)
vV
(
R(u1,
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24
请计算
A
0.1 0.2
0.3 0.1
,
B
0.2 0.3
0.1 0.2
,
C
0.5 0.3
0.1 0.2
求(A B) C,(A C) (B C)
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模糊关系合成的性质
注意
合成运算的交运算的分配律不成立！
吉模糊关系合成的性质5,6
）－1,
x
y
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13
例2答案
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14
例2答案
同例1一样，首先把y作为变量，x和 z均当作常量，画出对应的曲线
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15
例2答案
求出交点的横坐标z* 求得交点的纵坐标，即为合成关系
RоR的隶属函数
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模糊关系合成的矩阵表示
对于有限论域上的模糊关系，可表 示称模糊矩阵
模糊关系的合成模糊矩阵的合成
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模糊矩阵合成
R
0.5 0.4
0.3 0.8 ,
S
0.8 0.3
0.5 0.7
,
求R
S
R 0.5 0.3 0.4 0.8 (u1, v1) (u1, v2 ) (u2 , v1) (u2, v2 )