第二学期慈溪市七年级数学竞赛模拟试题

2011学年第二学期七年级数学竞赛试题考试时间：120分钟，满分120分一、选择题（每小题4分，共24分）1．设a 是无理数，且a ，b 满足01=+--b a ab ，则b 是一个（ ）（A ）小于0的有理数（B ）大于0的有理数（C ）小于0的无理数（D ）大于0的无理数 2．三角形三条边的长a ，b ，c 都是质数，且16=++c b a ，则这个三角形是（ ） （A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）直角三角形或等腰三角形 3．现有8根木棒,它们分别是1，2，3，4，5，6，7，8，若从8根木棒中抽取3根拼三角形,要求三角形的最长边为8,另两边之差大于2(以上单位:厘米),那么可以拼成不同三角形的种数为（ ）（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种4．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和8，图中阴影部分的面积为( ) （A ）1（B ）2（C ）3（D ）45．有一个正方体A ，B，C 的对面分别是z y x ,,三个字母,如图所示,将这个正方体从现有位置依此翻到第1，2，……，12格,这时顶上的字母是（ ）. （A ）x （B ）y （C ）z （D ）A6．我市某区在中心广场要建造一个花圃，花圃分为4个部分(如图)，现要求同一个区域内种同一种颜色的花，要求相邻部分不能栽种相同颜色的花，则不同的栽种方法共有（ ）种(花的颜色共4种)． （A ）81（B ）82（C ）83（D ）84 二、填空题（每小题5分，共50分）第4题第5题第6题7．已知012=-+a a ，则2011223++a a =.8．甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需325元，若购甲4件，乙10件，丙1件共需410元，那么购甲、乙、丙各1件共需________元.9．已知0,0,aa b><化简=---+-22)4()1(a b b a ___________. 10．已知2a ＋2b ＋ab ＝32，且a ＋b ＋3ab ＝－21，那么a ＋b ＋ab 的值为__________.11．如图所示的方格纸中，点A 、B 、C 都是格点（小正方形的顶点），则∠BAC 与∠BCA 度数的和为.12．ABC ∆中,,,900α=∠=∠A ACB 以C 为中心将ABC ∆旋转θ角到C B A 11∆（旋转过程中保持ABC ∆的形状大小不变）B 点恰落在11B A 上，如图，则旋转角θ的大小 为_________.13．在近似计算中，有效数字的个数可以用来衡量近似数的近似程度，使计算简化．但稍一不慎，它也会给我们带来麻烦。

如2100=1267650600228229401496703205376，某次计算中，出现（2100+1010）-2100=0．请指出这次近似计算时取的有效数字的个数最多是. 14．小明某天登录到某中学数学网站，他在首页看到了一个“您是通过什么方式知道网站的”小调查，查看了投票结果，发现投票总人数是800，其中“数学游戏”项的投票占68%，当天他再次登录该网站时，发现“数学游戏”项的投票率上升到72%，则此时投票总人数至少为__________人.15．一辆自行车，前胎行驶5000km 就不能继续使用，后胎行驶3000km 就不能继续使用，若在行驶中合理交换前后胎，则最多可以行驶__________km .第11题第12题θαB 1A 1CB A16．所谓机器洗牌，是将一副扑克牌按一定次序重新排列，即将第一张牌放到第1k 张牌的位置，将第二张牌放到第2k 张牌的位置，将第三张牌放到第3k 张牌的位置，……，等等．设按原先点数的顺序排列的13张红心同色纸牌（正面朝上）： A ，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J ，Q ，K 经第一次洗牌后，牌的顺序变为3，8，K ，A ，4，10，Q ，J ，5，7，6，2，9 则再经过两次同样方式的洗牌后，牌的顺序应该是．三、解答题（第17题10分、第18、19、20题各12分，共46分）17．已知a ，b ，c 为实数且多项式c bx ax x +++23能被432-+x x 整除. （1）求c a +4的值； （2）求c b a --22的值.18．某租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A 、B 两地收割小麦，其中30台派往A 地，20台派往B 地．两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：（1）设派往A 地x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y （元），请用x 表示y ，并注明x 的范围．（2）若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案写出．19．有三张点数不同的扑克牌，随意分给甲、乙、丙每人一张，然后收起来洗牌之后再分给他们，这样分了n 次之后，三人累计的点数：甲为16，乙为11，丙为24，已知甲第一次得到的牌是其中点数最大的一张，求这三张牌的点数各是多少?(说明：扑克牌的点数与牌面上的数字相同，对于“A ”、“K ”、“Q ”、“J ”，它们的点数分别是l ，13，12，11)20．如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ． （1）“若BD 平分∠ABC ，则CE=12BD ”，说明这一结论成立的理由；（2）若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．EDC B2011学年第二学期七年级数学竞赛参考答案及评分标准一、选择题（每小题4分，共24分）二、填空题（每小题5分，共50分）7． 2012 ； 8． 155 ； 9．-3 ；10．61； 11． 45°； 12．α2； 13． 20 ；14． 915 ； 15． 3750 ； 16．9，6，5，K ，3，Q ，8，10，A ，2，7，J ，4． 三、解答题（第17题10分、第18、19、20题各12分，共46分）17．已知a ，b ，c 为实数且多项式c bx ax x +++23能被432-+x x 整除. （1）求c a +4的值； （2）求c b a --22的值.解：（1）∵)1)(4(432-+=-+x x x x ，-----------------------------2分∴4+x ，1-x 能整除c bx ax x +++23把4-=x 代入得：041664=+-+-c b a ① 把1=x 代入得： 01=+++c b a ②②⨯4-①得：c a +4=12 ③-----------------------------6分（2）由③得：43c a -=④ 代入②得143-=++-c b c ，即c b 434--=⑤ ∴c b a --22=1423826=-++-c c c -----------------------------10分18．某租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A、B两地收割小麦，其中30台派往A地，20台派往B地．两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：（1）设派往A地x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），请用x表示y，并注明x的范围．（2）若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案写出．解：（1）y=（30-x）×1800+（x-10）×1600+1600x+（30-x）×1200=200x+74000，------------5分10≤x≤30；-----------------------------7分（2）200x+74000≥79600，解得x≥28，-----------------------------9分三种方案，依次为x=28，29，30的情况①当x=28时，派往A地28台乙型联合收割机，那么派往B地2台乙，派往A地的2台甲型收割机，派往B地18台甲．②当x=29时，派往A地29台乙型联合收割机，那么派往B地1台乙，派往A地的1台甲型收割机，派往B地19台甲．③当x=30时，派往A地30台乙型联合收割机，那么派往B地0台乙，派往A地的0台甲型收割机，派往B地20台甲．-----------------------------12分19．有三张点数不同的扑克牌，随意分给甲、乙、丙每人一张，然后收起来洗牌之后再分给他们，这样分了n 次之后，三人累计的点数：甲为16，乙为11，丙为24，已知甲第一次得到的牌是其中点数最大的一张，求这三张牌的点数各是多少?(说明：扑克牌的点数与牌面上的数字相同，对于“A”、“K”、“Q”、“J”，它们的点数分别是l ，13，12，11)解：设三张牌点数分别为,,,113,a b c c b a ≤<<≤且则()16112451317n a b c ++=++==⨯3216,17,3a b c a b c n ++≥++=++==且则-----------------------------4分甲三次得的点数为232323,,,1617,a x x a x x a b c x x b c ++=<=+++<+则所以---------------6分再由c b ≠得，b x ≠2，b x ≠3，所以c x x ==32-----------------------------8分 由乙得，1y ，2y ，3y 及a y ≠1可得321y y y ++=11<16=c c a ++则推理可得b y y ==32，c y =1得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+242112162a b b c c a -----------------------------10分解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===3410c b a -----------------------------12分20．如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ． （1）“若BD 平分∠ABC ，则CE=12BD ”，说明这一结论成立的理由；（2）若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由． 解：（1）延长BA 、CE 交于F∠BAC 为直角，CE ⊥BD 于E∠∴BAC=∠CAF ，∠ACF=∠DBA AB=AC ∴△ABD ≌△ACF∴BD=CF---------------------------------------------------4分 BD 平分∠ABC ，BE=BE ∴△FEB ≌△CEB∴CE=EF=21CF=21BD------------------------------------------6分（2）不变--------------------------------------------------------------7分 过A 作AG ⊥BE 于G ，作AH ⊥CF 于H在△ABG 与△ACH 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠=AHC AGB ACH ABD ACAB ∴△ABG ≌△ACH∴AG=AH-----------------------------------------------------------------10分在Rt △GAE 与Rt △AHE 中ED C BFGH⎩⎨⎧==AE AE AHAG ∴Rt △GAE ≌Rt △AHE∴∠AED= 45-------------------------------------------------------------------------12分第6题提示：如果1、4相同，则有4×3×3=36种方式；如果1、4不同，则有4×3×2×2=48种方式．那么加起来应该有84种方式． 第13题提示：2100=1267650600228229401496703205376 是一个31位数， l 010= l000 000 0000是一个11位数，由此可见这次近似计算时取的有效数字的个数最多是20． 第14题提示：800×（1-68%）=256人．从极端考虑，后来投票的人都投了“数学游戏”项，设再次登录该网站时“数学游戏”项的投票数为x 人，则x ÷（256+x ）=72%，解得x ≈659． 投票总人数至少的人数为：256+659=915人 第15题提示：每只轮胎的磨损总量设为1，每行驶1km 前后胎的损耗度分别为50001，30001， 行驶xkm 后交换，继续行驶ykm 报废．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1500013000113000150001y x y x ，所以，3750=+y x km ∴最多可行驶3750km ． 第16题提示： 洗牌的方式是： （1）→(4)；（2）→（12）；（3）→（1）；（4）→（5）；（5）→（9）；（6）→（11）；（7）→（10）；（8）→（2）；（9）→（13）；（10）→（6）；（11）→（8）；（12）→（7）；（13）→（3）。