矩阵与行列式基础知识
矩阵与行列式解析矩阵与行列式的性质与运算规律
矩阵与行列式解析矩阵与行列式的性质与运算规律矩阵和行列式是线性代数中重要的概念和工具。
它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将详细解析矩阵与行列式的性质和运算规律。
一、矩阵的性质与运算规律1. 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的数。
它由m行n列元素组成，记作A=(a_ij),其中1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数或维数。
2. 矩阵的运算规律2.1 矩阵的加法和减法设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个同阶矩阵，则它们的和C=A+B的定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_ij+b_ij。
矩阵的减法定义类似。
2.2 矩阵的数乘设A=(a_ij)是一个矩阵，k是一个数，则kA的定义为kA=(ka_ij)，其中ka_ij=ka_ij。
2.3 矩阵的乘法设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，B=(b_ij)是一个n行p列的矩阵，则它们的乘积C=AB的定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_i1b_1j+...+a_inb_nj。
3. 矩阵的性质3.1 矩阵的转置设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，A的转置记作A^T，定义为A^T=(a_ji)是一个n行m列的矩阵。
3.2 矩阵的逆设A是一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，B为A的逆矩阵。
若A不可逆，则称为奇异矩阵。
3.3 矩阵的行列式矩阵A的行列式记作|A|，行列式是一个标量，它由矩阵元素按一定规则计算而得。
行列式的性质包括行列式的加法性、数乘性、转置性等。
二、行列式的性质与运算规律1. 行列式的定义行列式是一个方阵的特征值之一。
设A=(a_ij)是一个n阶方阵，行列式的定义为|A|=a_11a_22...a_nn-a_11a_23...a_n(n-1)-...-a_1n-1a_2n...a_n。
2. 行列式的运算规律2.1 行列式的数乘若k是数，A是n阶方阵，则kA的行列式等于k的n次方乘以A 的行列式，即|kA|=k^n|A|。
矩阵与行列式知识点总结
矩阵与行列式知识点总结矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将对矩阵和行列式的定义、性质以及相关运算进行总结，以便读者对这两个概念有更深入的了解。
一、矩阵的定义与性质矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，包含m行n列，用记号A[m×n]表示。
其中，每个数字称作矩阵的元素，用aij表示第i行第j列的元素。
矩阵可以是实数矩阵、复数矩阵或其他数域上的矩阵。
矩阵的性质包括以下几点：1. 矩阵的大小由它的行数和列数决定，记作m×n。
2. 矩阵可以进行加法和数乘运算。
3. 矩阵的转置将行和列对换。
4. 矩阵可以相乘，但乘法不满足交换律。
5. 矩阵对应的行向量和列向量也有相应的定义和运算。
二、行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的特殊函数，对于方阵A[n×n]，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式是一个标量值，可以用于衡量矩阵的性质。
行列式的性质包括以下几点：1. 行列式的值可以是实数、复数或其他数域上的元素。
2. 行列式的值表示了矩阵所包含的信息，可用于判断矩阵的可逆性、线性相关性等。
3. 行列式满足代数运算的规律，如加法、数乘、转置等。
4. 行列式可以通过对换行或列、倍乘行或列等行列变换来计算。
5. 行列式的值等于其转置矩阵的值。
三、矩阵与行列式的运算矩阵与行列式之间存在着紧密的联系，它们可以进行多种运算。
1. 矩阵的加法和数乘运算：两个矩阵相加（减）时，先确定它们的大小是否一致，然后逐个对应元素相加（减）。
数乘运算即将一个矩阵的每个元素乘以一个常数。
2. 矩阵的乘法运算：两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数。
将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行对应元素的乘法运算，并求和得到结果矩阵的相应元素。
3. 矩阵的转置运算：矩阵的转置是将其行和列交换得到的新矩阵。
转置后的矩阵行数与原矩阵的列数相等，列数与原矩阵的行数相等。
总复习-1矩阵与行列式
I 矩阵、行列式一、矩阵的概念及其初等变换 矩阵概念矩阵与行列式的区别：矩阵（数表）行列式（数）记号：1111n m n m a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭m n A ⨯ ()ij m n a ⨯1111n m nn a a a a n Aij na 化简：1111m n m n a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪→⎝⎭1111nm nn a a a a =矩阵的初等变换理论定义：（看书） 结论一对任一m n ⨯矩阵A ，设()R A r =，有1,11,1000000000110r n r r rn m n c c c c A A ++⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行变（的行最简形矩阵）应用1 高斯消元法解线性方程组增广矩阵A −−−→行变行最简形矩阵（可直接写出解）应用2 列摆行变法判定向量组的线性相关性及求最大无关组、秩和线性表示式1,1111,12100(,,,)(,,,)0000000011,,r n r r r n r n r n c c c c J J εαααε+++⎛⎫⎪⎪ ⎪−−−→=⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭行变设则12,,,n ααα 与11,,,,,r r n J J εε+ 有相同的线性相关性。
应用3 行初等变换法求逆矩阵A -1、A -1B1(,)(,)A E E A -−−−→行变1(,)(,)A B E A B -−−−→行变结论二对任一m n ⨯矩阵A ，设()R A r =，有000r m n E A A ⨯⎛⎫−−−−→ ⎪⎝⎭列行变和变（的相抵标准形）应用1 初等变换法求矩阵的秩（可作列变）应用2 标准形思路：,,000rEA P Q P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中是可逆矩阵. 结论三 初等变换与初等矩阵的转化关系：箭号等号关系（“左行右列”）二、矩阵的运算加法、数乘、乘法、转置 关于矩阵乘法，注意：（1） 矩阵乘法与数的乘法不同之处不满足交换律AB BA ≠222()2A B A AB B +≠++ 22()()A B A B A B -≠+- ()k k k AB A B ≠注意：,A B 设均为方阵，则错误！未找到引用源。
第一章 矩阵与行列式
第一章 矩阵与行列式第一节 矩阵及其运算一、矩阵的概念人们在从事经济活动、科学研究、社会调查时, 会获得许多重要的数据资料, 将这些数据排成一个矩形的数表111212122212n nm m mn a a a a a a a a a L L M M M L以便于进行储存、运算和分析, 这种矩形的数表就是矩阵.定义1 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成m 行n 列的矩形 数表111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭L L M M M L称为m 行n 列矩阵, 简称为m n ⨯矩阵, 其中ij a 称为矩阵的位于第i 行、第j 列的元素. 通常, 我们用大写字母,,A B L 表示矩阵. 例如, 记111212122212.n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L M M M L其中小括号“()” 也可用方括号“[]”代替. 有时, 矩阵也简记为()ij m nA a ⨯=或()ij A a =. 特别地, 当m n =时, 称A 为n 阶矩阵或n 阶方阵, 其中一阶方阵()a 是一个数, 括号可略去.元素全为实数的矩阵称为实矩阵, 元素全为复数的矩阵称为复矩阵. 本书主要在实数范围内讨论问题.对于由n 个未知量、m 个方程组成的线性方程组：11112211211222221122,,.n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L (1.1.1) 称矩阵A 11121121222212n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭LL M M M M L(1.1.2)为线性方程组(1.1.1)的增广矩阵；称矩阵A =111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭L L M M M L(1.1.3) 为线性方程组(1.1.1)的系数矩阵；矩阵12m b bB b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M (1.1.4)称为线性方程组(1.1.1)的常数项矩阵.显然, 线性方程组(1.1.1)由矩阵(1.1.2)完全地确定.下面介绍一些特殊的矩阵.(1) 零矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵, 记为O . (2) 列矩阵、行矩阵 在矩阵A 中, 如果1n =, 则11211m a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M , 称这种只有一列的矩阵为列矩阵；同样, 如果1m =, 则()11121n A a a a =L ,称这种只有一行的矩阵为行矩阵.我们也将列矩阵和行矩阵分别称为列向量和行向量. 列向量和行向量统称为向量. 向量的元素称为分量, 有n 个分量的向量称为n 维向量. 矩阵与 向量有密切的联系, 矩阵()ij m nA a ⨯=可以看成由n 个m 维列向量12,1,2,,j j mj a a j n a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 组成, 也可以看成由m 个n 维行向量()12,1,2,,i i in a a a i m =LL 组成.(3) 负矩阵 如果矩阵()ij m nA a ⨯=, 则()ij m nA a ⨯-=-称为矩阵A 的负矩阵.(4) 行阶梯形矩阵 如果矩阵每一行的第一个非零元素所在的列中, 其下方元素全为零, 则称此矩阵为行阶梯形矩阵. 例如矩阵10234023450056700018A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 12102032210003100000B --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭均为行阶梯形矩阵, 而矩阵10232023450056700418C ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 则不是行阶梯形矩阵.(5) 行最简形矩阵 如果行阶梯形矩阵中, 非零行的第一个非零元素均为1, 且其所在列的其余元素均为0, 则称此矩阵为行最简形矩阵. 例如, 矩阵1060301205000110000⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭是行最简形矩阵.(6) 上(下)三角矩阵 n 阶方阵的左上角到右下角元素的连线称为主对角线, 左下角到右上角元素的连线称为次(副)对角线. 如果方阵的主对角线下(上)方元素全为0, 则称此矩阵为上(下)三角矩阵. 矩阵11121222000n n nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M L 为上三角矩阵, 矩阵11212212000n n nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭LL M M M L 为下三角矩阵.(7) 对角矩阵 如果方阵中除主对角线上的元素外, 其余元素全为0, 则称此矩阵为对角矩阵. 例如, 矩阵12000000n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M L 为对角矩阵.(8) 单位矩阵 在对角矩阵中, 如果()11,2,,i i n λ≡=L , 即为 100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M L, 则称此矩阵为单位矩阵. 单位矩阵一般用E 或I 表示.定义2 如果两个矩阵()ij A a =, ()ij B b =的行数相同、列数也相同, 则称矩阵A 与B 为同型矩阵.定义3 如果两个同型矩阵m n A ⨯, m n B ⨯的对应元素均相等, 即 ()1,2,,;1,2,,ij ij a b i m j n ===L L , 则称矩阵A 与B 相等, 记作A B =.二、矩阵的运算 1. 矩阵的加法定义4 由两个同型矩阵()m n ij m nA a ⨯⨯=, ()m n ij m nB b ⨯⨯=对应元素的和,即ij ij a b +()1,2,,;1,2,,i m j n ==L L 组成的m n ⨯矩阵称为矩阵A 与B 的和,记作A B +, 即111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫ ⎪+++ ⎪+= ⎪ ⎪+++⎝⎭L L M M M L . 由此定义及负矩阵的概念, 我们定义矩阵A 与B 的差为()A B A B -=+-.注 只有同型矩阵才能相加(减). 2. 数与矩阵相乘(简称数乘)定义5 数k 乘矩阵A 的每一个元素所得到的矩阵称为数k 与矩阵A 的积, 记作kA , 即111212122212.n n m m mn ka ka ka ka ka ka kA ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M L 矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算, 其满足如下性质：(1) A B B A +=+； (2) ()()A B C A B C ++=++； (3) ()()A A λμλμ=；(4) ()A A A λμλμ+=+； (5) ()A B A B λλλ+=+； (6) A O A +=； (7) 1A A =；(8) ()A A O +-=.上面的λ, μ都是任意常数.例1 设112034A -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 403123B -⎛⎫= ⎪--⎝⎭, 求A B +和23A B -.解14102(3)5110(1)3(2)43117A B +-++---⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭；224120923068369A B --⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭102133121--⎛⎫= ⎪-⎝⎭.3. 矩阵与矩阵相乘(矩阵的乘法)n 个变量12,,,n x x x L 与m 个变量12,,,m y y y L 之间的关系式11111221221122221122,,.n n n nm m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩L L L L L L L L L L L L (1.1.5) 表示一个从变量12,,,n x x x L 到变量12,,,m y y y L 的线性变换.设有两个线性变换11111221332211222233,.z a y a y a y z a y a y a y =++⎧⎨=++⎩ (1.1.6)和111112222112223311322,,.y b x b x y b x b x y b x b x =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ (1.1.7) 若要求出从12,x x 到12,z z 的线性变换, 可将(1.1.7)代入(1.1.6), 得 111111221133111112122213322221112221233112112222223322()(),()().z a b a b a b x a b a b a b x z a b a b a b x a b a b a b x =+++++⎧⎨=+++++⎩ (1.1.8) 线性变换(1.1.8)可看作是先作线性变换(1.1.7)、再作线性变换(1.1.6)的结果, 我们称线性变换(1.1.8)为线性变换(1.1.6)与(1.1.7)的乘积, 相应地, 我们将线性变换(1.1.8)所对应的矩阵定义为(1.1.6)与(1.1.7)所对应的矩阵的乘积,即 111211121321222122233132bb a a a b b a a a b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭111112211331111212221332211122212331211222222332.a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++⎛⎫= ⎪++++⎝⎭一般地, 我们有：定义6 设有矩阵()ij m sA a ⨯=和()ij s nB b ⨯=, 规定矩阵A 与B 的乘积是一个m n ⨯矩阵()ij m nC c ⨯=, 记为C AB =. 其中11221,1,2,,;1,2,,.ij i j i j is sjsik kj k C a b a b a b a b i m j n ==+++===∑L L L注 只有当前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数时, 两个矩阵才能相乘, 且乘积矩阵C 中的元素ij C 就是A 的第i 行与B 的第j 列的对应元素乘积的和.例2 设201131012A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 100221B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求AB .解AB 201101310201221-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2100(1)22002(1)11130121032110110(2)20012(2)1⨯+⨯+-⨯⨯+⨯+-⨯⎛⎫ ⎪=-⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⨯+⨯+-⨯⨯+⨯+-⨯⎝⎭ 0117.40-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭例3 求矩阵1111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭与1111B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的乘积AB 及BA .解111122;111122AB ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭111100.111100BA ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭由以上例题可以看出矩阵乘法与数的乘法有两点显著不同：(1) 矩阵乘法不满足交换律：AB 与BA 未必同时有意义(如例2, BA 没有意义)；即使都有意义也未必相等(如例3). 因此为明确起见, 称AB 为A 左乘B , 或B 右乘A . 只有在一些特殊情况下才有AB BA =, 这时称A 与B 是乘法可交换的. 容易验证数量矩阵aE 与任何同阶方阵A 乘法可交换, 即()().aE A A aE aA ==(2) 矩阵乘法不满足消去律：由AB O =不能得出A O =或B O =(如例3), 即,A O B O ≠≠但AB 有可能为O .有了矩阵相等和乘法的定义, 我们可以把线性方程组(1.1.1)写成矩阵形式：AX B =, 其中A =111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L L M M M L, 1122,.n m x b x b X B x b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M若B O =, 则称(1.1.1)为齐次线性方程组；若B O ≠, 则称(1.1.1)为非齐次线性方程组. 也可以把线性变换(1.1.5)写成矩阵形式：Y AX =, 其中12,m y y Y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭MA 与X 同上所设.可以证明矩阵的乘法有下列性质： (1) ()()AB C A BC =；(2) ()A B C AB AC +=+；()B C A BA CA +=+； (3) ()()()AB A B A B λλλ==, λ为任意常数； (4) ()().m m n m n m n n aE A aA A aE ⨯⨯⨯==定义7 设A 为n 阶方阵, k 为正整数, 称k 个A 的连乘积为方阵A 的k次幂, 记作k A , 即.k kA AA A =L 14243当,k l 都为正整数时, 由矩阵乘法的性质, 得(1) k l k l A A A +=；(2) ()lk kl A A =.注 由于矩阵乘法不满足交换律, 所以, 一般地()kk k AB A B ≠. 例4 设1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求nA (n 为正整数).解1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；2111112010101A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 3121113010101A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 一般地, 有101n n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭.其正确性可由数学归纳法证得, 证明略.4. 矩阵的转置定义8 把m n ⨯矩阵A 的行与列互换得到的一个n m ⨯矩阵, 称为A 的转置矩阵, 记作T A . 例如, 矩阵120311A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的转置矩阵为1321.01T A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭矩阵的转置也是一种运算, 满足下述运算规律：(1) ()TT A A = ；(2) ()TT T A B A B +=+ ；(3) ()TT A A λλ=, λ为一个数；(4) ()TT T AB B A = .例5 已知201132A -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 171423201B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求().T AB解法1 因为1712010143423132171310201AB -⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,所以()0171413310TAB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 解法214221017()72003141313112310T T T AB B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.定义9 设A 为n 阶方阵, 如果满足T A A =, 即 ,,1,2,,.ij ji a a i j n ==L则称A 为对称矩阵. 对称矩阵的特点是：关于主对角线对称的对应元素相等.定义10 设A 为n 阶方阵, 如果满足T A A =-, 即ij ji a a =-, ,1,2,,.i j n =L则称A 为反对称矩阵. 反对称矩阵的特点是：主对角线上的元素全为0, 其余关于主对角线对称的对应元素则互为相反数.习题1-11. 设111210111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 120124051B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭, 求23AB A -及T A B .2. 已知两个线性变换113212331232,232,45.x y y x y y y x y y y =+⎧⎪=-++⎨⎪=++⎩ 和 1122133233,2,.y z z y z z y z z =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩ 求从1z , 2z , 3z 到1x , 2x , 3x 的线性变换. 3. 计算下列乘积：(1) 401123520-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭421⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭；(2) ()123321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (3) 321⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭()123；(4) 121232101110324-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.4. 设A =1203-⎛⎫ ⎪⎝⎭, B =2032⎛⎫⎪-⎝⎭, 问(1) AB BA =吗?(2) ()2A B +=2A +2AB +2B 吗? (3) ()A B +()A B -=2A 2B -吗? 5. 举反例说明下列命题是错误的： (1) 若2A O =, 则A O =； (2) 若2A A =, 则A O =或A E =； (3) 若AX AY =, 且A O ≠, 则X Y =.6. 设A =1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭, 1111B ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求2()AB , 22A B .第二节 矩阵的初等变换与初等矩阵一、初等变换的概念中学里, 已经学过用加减消元法解二、三元线性方程组.例1 解三元线性方程组1231231232344,23,226 2.x x x x x x x x x --+=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩ (1.2.1) 解 为叙述方便, 方程组的第i 个方程记为(1,2,3)i r i =. i j r r ↔表示对调第i 、第j 个方程, (0)i kr k ≠表示用k 乘第i 个方程的两边, i j r kr +表示第j 个方程的两边乘以k 然后加到第i 个方程上.方程组(1.2.1)12312r r r ↔⨯−−−→12312312323,2344,3 1.x x x x x x x x x +-=-⎧⎪--+=⎨⎪+-=-⎩ (1.2.2)21311232232323,22,2 2.r r r r x x x x x x x +-+-=-⎧⎪−−−→+=-⎨⎪--=⎩ (1.2.3)321232323,22,00.r r x x x x x ++-=-⎧⎪−−−→+=-⎨⎪=⎩(1.2.4)方程组(1.2.4)呈阶梯状(其增广矩阵为行阶梯形矩阵), 称为阶梯形方程组. 方程组(1.2.4)有3个未知量但有效方程只有2个, 因此有1个未知量可以任意取值, 称为自由未知量. 我们不妨取3x 为自由未知量. 先由方程组(1.2.4)中的2r 得：2322x x =--, 再代入(1.2.4)中的1r 得：1351x x =+.方程组(1.2.4)与方程组(1.2.1)是同解的, 由于3x 取值的任意性, 因此方程组(1.2.1)有无穷多组解, 其一般形式(通解)是13233351,22,.x x x x x x =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩ 若令3x c =, 即得123x X x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=5122c c c +⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭=521c ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭+120⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,其中c 为任意常数.解方程组(1.2.1)的过程中施行了3种变换：(1) 换位变换 即互换两个方程的位置；(2) 倍乘变换 即用一个非零常数乘某一方程；(3) 倍加变换 即把一个方程乘以常数后加到另一个方程上去. 这三种变换统称为线性方程组的初等变换.首先, 我们用换位、倍乘和倍加变换得到的新方程组可以用同类型变换变回原方程组(例如方程组(1.2.2)1232r r r ↔⨯−−−→方程组(1.2.1)), 因此线性方程组 的初等变换是同解变换；其次, 可以证明：任何线性方程组都可以用初等变换化为阶梯形方程组, 而阶梯形方程组很容易判定是否有解, 且有解时容易通过自下而上的“回代”得到解.由于线性方程组AX B =和其增广矩阵A 相互唯一地确定, A 的每一行 对应AX B =中的一个方程, 因此线性方程组的初等变换就对应着其增广矩阵的相应行变换.定义1 对矩阵施行的下列3种变换统称为矩阵的初等行变换： (1) 换位变换 对调矩阵的第i 行和第j 行, 记为i j r r ↔； (2) 倍乘变换 用常数0k ≠乘第i 行, 记为i kr ；(3) 倍加变换 把第j 行的k 倍加到第i 行上去, 记为i j r kr +.把上述定义中的“行”换成“列”(所有记号只要把""r 换成""c )即为矩阵的初等列变换. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.回顾例1, 方程组(1.2.1)的初等变换(消元)过程可以用增广矩阵的初等行变换表示如下：234412132262A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭12312r r r ↔⨯−−−→121323441131--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭=A 121312r r r r +-−−−→121301220122--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭=A 232r r +−−−→121301220000--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭=A 3 122r r -−−−→105101220000-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭=A 4,A 3是行阶梯形矩阵, A 4是行最简形矩阵, A 4对应的方程组为132351,22,00.x x x x -=⎧⎪+=-⎨⎪=⎩取3x 为自由未知量, 并令3x c =, 即得1235122x c X x c x c +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==--=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭521c ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭+120⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭, 其中c 为任意常数.利用初等行变换, 把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 是一种很重要的运算. 行阶梯形矩阵不是唯一的, 但其非零行的行数是唯一确定 的(第五节将给出证明). 在解线性方程组AX B =时, 将增广矩阵A 化为行阶梯形矩阵, 就可以看出原方程组中是否有矛盾方程, 从而判断AX B =是否有解；在有解时, 进一步地将A 化为行最简形矩阵, 即可写出方程组AX B =的解.例2 将矩阵A =212341352012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.解A =212341352012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭21312212301110111r r r r --⎛⎫⎪−−−→--- ⎪ ⎪---⎝⎭32212301110000r r -⎛⎫ ⎪−−−→--- ⎪ ⎪⎝⎭(行阶梯形矩阵)1212(1)r r ⨯⨯-−−−→13112201110000⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12121101201110000r r -⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (行最简形矩阵)例3 求解方程组123423412341234231,41,234,23 6.x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-=⎪⎨++-=⎪⎪+--=-⎩解11231011411231423116A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪---⎝⎭31412111231011410114301578r r r r A --⎛⎫ ⎪-⎪−−−→= ⎪- ⎪---⎝⎭3242211231011410000200639r r r r A --⎛⎫ ⎪-⎪−−−→= ⎪ ⎪---⎝⎭34311231011410063900002r r A ↔⎛⎫ ⎪-⎪−−−→= ⎪--- ⎪⎝⎭,矩阵3A 是行阶梯形矩阵, 其对应的方程组为123423434231,41,639,0 2.x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-=⎪⎨--=-⎪⎪=⎩ 第四个方程为02=, 这是不可能的, 故原方程组无解.例4 求解方程组1234123412341234231,234,324,23 6.x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=-⎪⎨---=-⎪⎪+--=-⎩ 解11231123143112423116A ⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪---- ⎪---⎝⎭ 213141321112310114504711701578r r r r r r A ---⎛⎫ ⎪--⎪−−−→= ⎪---- ⎪---⎝⎭ 3242421123101145003272700633r r r r A +-⎛⎫⎪--⎪−−−→= ⎪---⎪---⎝⎭4323112310114500327270005151r r A -⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→= ⎪--- ⎪⎝⎭1331451()411231011450019900011r r A ⨯-⨯⎛⎫⎪--⎪−−−→= ⎪⎪⎝⎭34241494351120201101001000011r r r r r r A -+--⎛⎫⎪-⎪−−−→= ⎪⎪⎝⎭231312261000101001001000011r r r r r r A ----⎛⎫⎪-⎪−−−→= ⎪⎪⎝⎭,3A 是行阶梯形矩阵, 6A 是行最简形矩阵, 6A 对应的方程组为12341,1,0,1.x x x x =-⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩故原方程组有唯一解, 即12341101x x x x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 二、初等矩阵定义2 将单位矩阵作一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵. 对应于三类初等行、列变换, 有下列三种类型的初等矩阵：(1) 初等换位矩阵 对调单位矩阵的第i , j 两行或第i , j 两列而得到的矩阵, 即为11011(,)11011E i j ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭O L M O M L O i j ←←第行第行 (2) 初等倍乘矩阵 用常数0k ≠乘单位矩阵的第i 行或第i 列而得到的矩阵, 即为11(())11E i k k i ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=← ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭O O 第行(3) 初等倍加矩阵 把单位矩阵的第j 行的k 倍加到第i 行上而得到的矩阵, 即为11(,())11k i E i j k j ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪← ⎪= ⎪⎪← ⎪⎪⎪⎝⎭O L O M O 第行第行 (,())E i j k 也可看作是把单位矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列上而得到的矩阵.下面我们用一个初等矩阵左乘或右乘一个矩阵. 例如111211112121222313233132321222100001010n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L L L ； 111213111312212223212322123132100001010m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a aa a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M M M M M M .由此可见, 用三阶初等换位矩阵(2,3)E 左乘矩阵3n A ⨯, 相当于对矩阵3n A ⨯作一次相应的初等换位行变换(即对调矩阵3n A ⨯的第2,3两行)；用三阶初等换位矩阵(2,3)E 右乘矩阵3m A ⨯, 相当于对矩阵3m A ⨯作一次相应的初等换位列变换(即对调矩阵3m A ⨯的第2,3两列).用初等倍乘矩阵或初等倍加矩阵左乘或右乘一个矩阵, 可得类似的结论.一般地, 有如下定理.定理 设A 是一个m n ⨯矩阵, 对A 施行一次初等行变换, 相当于在A 的左边乘一个相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换, 相当于在A 的右边乘一个相应的n 阶初等矩阵.由定理可知, 对于同阶初等矩阵, 有(1) (,)(,);E i j E i j E ⋅= (1.2.5) (2) 1(());E i E i k E k ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1.2.6)(3) (,())(,()).E i j k E i j k E -⋅= (1.2.7)习题1-21. 把下列矩阵化为行阶梯形矩阵及行最简形矩阵：(1) 121131114302-⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭；(2) 1111532114012211543314⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.2. 求解下面的方程组(1) 12341234123412343520,2350,7430,415790.x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-+-+=⎪⎪+-+=⎩(2) 123423412341234231,41,234,236,x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-=⎪⎨++-=⎪⎪+--=-⎩(3) 123451234512345321,335432,2244 3.x x x x x x x x x x x x x x x +++-=⎧⎪+++-=⎨⎪+++-=⎩第三节 行 列 式一、n 阶行列式的定义 对于二元线性方程组11112212112222,.a x a x b a x a x b +=⎧⎨+=⎩ (1.3.1) 用消元法可得：当112212210a a a a -≠ 时, 存在唯一的解122212*********,b a b a x a a a a -=-211121*********b a b ax a a a a -=-.如果我们将方程组(1.3.1)的系数矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭所对应的二阶行列式定义为1112112212211222a a D A a a a a a a ===-, (1.3.2) 并记1D =112222b a b a , 2D =111212ab a b , 则方程组(1.3.2)的解可写成如下形式11D x D =, 22Dx D=. (1.3.3)同样, 可以用行列式表示三元线性方程组111122133121122223323113223333,,.a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (1.3.4) 的解. 为此定义111213212223112233122331132132313233132231122133112332a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++--- (1.3.5)为系数矩阵所对应的三阶行列式, 用()1,2,3j D j =分别记用方程组(1.3.4)右端的常数列替换D 中的第j 列所得的三阶行列式, 则当0D ≠时, 方程组(1.3.4)的解可写为11D x D =, 22Dx D =, 33D x D=. (1.3.6)式(1.3.3)和式(1.3.6)分别用二、三阶行列式来表示方程组(1.3.1)、(1.3.4)的解. 这些公式形式简单, 便于记忆, 明显地表示出线性方程组的解与方程组的系数和常数项的关系. 这就启发我们考虑：如果含有n 个未知量、n 个方程的线性方程组有唯一解, 能否给出类似的求解公式？回答是肯定的 . 为此, 必须推广二、三阶行列式.二阶及三阶行列式的定义, 即公式(1.3.2)及(1.3.5), 可以用“对角线法则”来记忆(见下图)：11122122a a a a 111213111221222321223132333132a a a a a a a a a a a a a a a (-) (+) (-) (-) (-) (+) (+) (+)二阶行列式等于主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积.三阶行列式等于主对角线及与其平行的两条线上各 3 个元素的乘积之和, 减去副对角线及与其平行的两条线上各3 个元素乘积之和.例1 求行列式的值：12(1)34-, 102(2)211313---. 解 (1)1214(2)31034-=⨯--⨯=； (2) 1022113(4)0(6)012313--=-+-+----=--.例2 求解方程211123049x x =. 解 方程左端的三阶行列式2223418129256,D x x x x x x =++---=-+由2560x x -+=, 解得2x =或3x =.分析三阶行列式的定义, 我们发现第一, 式(1.3.5)的右端有3!项, 除去带有的正、负号外, 每项都是这个行列式中的每一行和每一列中任取1个且仅取1个元素的积. 如果把元素的第1个下标, 即行标(表示元素所在的行)按照123顺序排列, 则它的任意 一项可写成123123j j j a a a , 这里123,,j j j 是1, 2, 3 的一个排列(由１, 2, 3这三个数按某种次序所排成的一个有序数组), 元素的第2个下标, 即列标k j 表示 该元素所在的列.第二, 这6项中带有正号的那些项, 列标123,,j j j 形成3个排列： 123, 231, 312；带有负号的那些项的列标也形成3个排列：321, 213, 132.我们感兴趣的是, 这2组排列的区别是什么？为了回答这个问题, 我们给出下面几个定义.定义1 由1,2,,n L 这n 个数按某种次序所排成的一个有序数组12n j j j L 称为一个n 元全排列.显然, n 元全排列的个数为n !定义2 对于n 个不同元素, 若事先规定各元素之间有一个标准次序(例如n 个不同的自然数, 可规定由小到大为标准次序), 于是在这n 个元素的任一排列中, 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时, 就说有1个逆序.定义3 一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数, 用τ表示. 定义4 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 递序数为偶数的排列称为偶排列.标准排列12n L 的逆序数(12)0n τ=L , 为偶排列. 可以证明：当2n ≥时,n 元全排列中奇 、偶排列各占一半, 即各有!2n 个.例3 求排列32514的逆序数, 并指明奇偶性. 解 在排列32514中, 3排在首位, 没有逆序；2的前面比2大的数有一个(3), 故有1个逆序； 5是最大数, 没有逆序；1的前面比1 大的数有三个(3, 2, 5), 故有3个逆序；4的前面比4大的数有一个(5), 故有1个逆序, 于是这个排列的逆序数为(32514)1315τ=++=. 从而排列32514是奇排列.现在回过来考察三阶行列式展开式中各项正负号的取法, 因为(123)0τ=, (231)2τ=, (312)2τ=, (321)3τ=, (213)1τ=, (132)1τ=,由此可见：任一项带正号或负号完全由它的行标为标准次序时, 列标形成的 排列123j j j 的奇偶性来决定, 即当列标形成的排列为偶排列时, 该项取正 号；列标形成的排列为奇排列时, 该项取负号. 因此, 我们有1231231112133!()212223123313233(1)j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=-∑, (1.3.7) 其中3!∑表示对1,2,3的所有排列求和, 共有3!6=项.二阶行列式也可以表示成和式12122!1112()122122(1)j j j j a a a a a a τ=-∑.定义5 设()ij n n A a ⨯=是一个n 阶方阵(2)n ≥, 称121211121!21222()1212(1)n n nn nj j j j j nj n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑L L L L M M M L (1.3.8)为n 阶行列式, 也可称为方阵A 的行列式, 记为A 或det A . 规定一阶行列式a a =(注意不要与绝对值混淆).下面是n 阶行列式的等价定义：121211121!21222()1212(1)n n nn ni i i i i i n n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑L L L L M M M L , (1.3.9)上式右端各项的n 个因子是按列标组成标准次序的.由行列式的定义知, 若行列式的某行(列)的元素都是零, 则此行列式为零.例4 证明对角行列式(对角线以外的元素均为0)(1)1212n nλλλλλλ=L O； (2)1(1)2212(1)n n n nλλλλλλ-=-L N.证明 (1) 由行列式的定义即得.(2) 若记,1i i n i a λ+-=则由行列式的定义可得1122,11nn nn a a a λλλ-=NN12,1112(1)(1)n n n n a a a ττλλλ-=-=-L L , 其中τ为排列(1)21n n -L 的逆序数, 故(1)12(1)2n n n τ-=+++-=L . 例5 证明行列式112122112212000nn n n nna a a D a a a a a a ==L L L M M M L. 证明 由于当j i >时, 0ij a =, 故D 中可能不为0的元素i i p a , 其下标应有i p i ≤, 即121,2,,n p p p n ≤≤≤L .在所有排列12n p p p L 中, 能满足上述关系的排列只有一个排列12n L , 其逆序数0τ=, 所以D 中可能不为0的项只有一项1122(1)nn a a a τ-L , 即1122nn D a a a =L . 对角线以下(上)的元素都为零的行列式称为上(下)三角行列式, 它们的值与对角行列式一样, 都等于主对角线上元素的乘积.二、行列式的性质 记111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a =L L M M M L, 112111222212n n T n n nna a a a a a A a a a =L LM M M L, 行列式T A 称为行列式A 的转置行列式.性质1 行列式与它的转置行列式相等. 例如3421=--3241-=-5.由性质1可知, 行列式对行成立的性质, 对列也成立, 反之亦然. 以下叙述行列式性质时, 只对行叙述.性质2 互换行列式的两行, 行列式变号. 例如3421=--5, 2134--=5-.推论 若行列式有两行元素完全相同, 则此行列式为零.性质3 行列式中某一行的所有元素乘同一数k 等于用k 乘原行列式(第i 行乘以k , 记作：i r k ⨯).推论1 行列式中某一行的所有元素的公因子可提到行列式记号外. 由此推论及矩阵的运算, 设A 为n 阶方阵, λ为数, 则n A A λλ=. 例如, 若A 是三阶方阵且2A =, 则322216A =⋅=.推论2 行列式中如果有两行的元素对应成比例, 则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行元素都是两数之和, 例如11121112212n i i i i in inn n nna a a D a a a a a a a a a '''=+++L M M ML MM M L,则行列式D 等于下面的两个行列式之和：111211212n i i in n n nn a a a D a a a a a a =L M M M L M M M L 111211212ni i in n n nna a a a a a a a a '''+L M M M LM M M L. 注 行列式的加法与矩阵的加法不同.性质5 把行列式的某一行的各元素乘以同一个数, 然后加到另一行对应的元素上去, 行列式不变.以上性质不难由行列式的定义证得, 以性质4为例, 证明如下. 性质4的证明 由(1.3.8)式, 得 1212!()12(1)()n i i n n j j j j j ij ij nj D a a a a a τ'=-+∑L L L 1212!()12(1)n i n n j j j j j ij nj a a a a τ=-∑LL L1212!()12(1)n i n n j j j j j ijnj a a a a τ'+-∑L L L 111211212n i i in n n nn a a a a a a a a a =LM MM LM M M L111211212ni i in n n nna a a a a a a a a '''+L M M M L M M M L. 例6 计算行列式121024*********3D -=---. 解D21314123r r r r r r -++ 1210003202110213-- 23r r ↔ 1210021100320213--- 42r r - 1210021100320022---4323r r + 12100211003210003--10123203=-⨯⨯⨯=-.例7 计算行列式3111131111311111D =. 解 这个行列式的特点是各列4个数之和都是6. 将第2, 3, 4行同时加到第一行, 提出公因子6, 然后各行减去第一行, 得D121314r r r r r r +++ 6666131111311111 116r ⨯ 11111311611311111213141r r r rr r --- 1111020064800200002=. 例8 设2113A -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 3452B -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求,A ,B AB .解 217,13A -== 342652B -==. 因为21341101352182AB ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以110182182AB -==.我们注意到：AB A B =. 一般地, 有下列结论：定理1 若A , B 为同阶方阵, 则AB A B =, 从而.AB BA =三、行列式按行(列)展开在三阶行列式的定义式(1.3.5)中, 如果把含111213,,a a a 的项分别合并, 并提出公因子, 则有1112132223212223113233313233a a a aa a a a a a a a a a = 2123123133aa a a a - 2122133132aa a a a +. (1.3.10) 据此, 一个三阶行列式的计算可转化为三个二阶行列式的计算. 自然有一个问题：一个n 阶行列式的计算能否转化为n 个1n -阶行列式的计算, 从而达到降阶的目的？下面讨论这个问题.定义6 在n 阶行列式A 中划去第i 行和第j 列后所剩下的2(1)n -个元素按原来的相对位置所构成的1n -阶行列式称为ij a 在A 中的余子式, 记为ij M , 而称(1)i j ij ij A M +=-为ij a 在A 中的代数余子式, 这里1,i j n ≤≤.例9 在行列式123456789A =中, 求23M , 33M , 23A , 33A . 解 2312678M ==-, 232323(1)6A M +=-=, 3312345M ==-, 333333(1)3A M +=-=-. 利用代数余子式, 式(1.3.10)可以写成111112121313A a A a A a A =++,将上式推广到一般情况, 有下面的结论：定理2 n 阶行列式(2n ≥)等于它的任一行(列)各元素与其代数余子式乘积之和, 即1122i i i i in in A a A a A a A =+++L 1nij ij j a A ==∑, 1,2,,i n =L . (1.3.11)或1122j j j j nj nj A a A a A a A =+++L 1nij ij i a A ==∑, 1,2,,j n =L . (1.3.12)推论 行列式的任一行(列)的元素与另一行(列)的元素的代数余子式乘积之和等于零. 即11220i j i j in jn a A a A a A +++=L , (1.3.13) 11220i j i j ni nj a A a A a A +++=L , (1.3.14)其中i j ≠.定理1按行(列)展开计算行列式的方法称为降阶法. 计算行列式时, 将行列式按行(列)展开与行列式的性质结合起来用, 常常能够达到事半功倍的效果.例10 计算行列式 (即本节例6)1210241210213423D -=---.解 利用行列式的性质, 将行列式的某行(列)除某个元素外的其余元素化为0, 再按该行(列)展开.D21312c cc c-+1000203212113213---1r 按展开110321(1)211213+⨯--32r r -032211022-1c 按展开21322(1)22+⨯--21020=-⨯=-.例11 证明123213132222123111()()()x x x x x x x x x x x x =---. 证明123222123111x x x x x x 2131c c c c --121312222212131100x x x x x x x x x x ---- 213111212131311(1)()()()()x x x x x x x x x x x x +--=⨯--+-+2131213111()()x x x x x x x x =--++213132()()()x x x x x x =---.上例中的行列式称为三阶范得蒙德行列式. 类似可证n 阶范得蒙德行列式1222212111112111()n n n i j j i nn n n n x x x x x x D x x x x x ≤<≤---==-∏L L L M M M L . 四、克拉默法则下面介绍利用行列式求含有n 个未知量、n 个方程的线性方程组解的公式. 设方程组为11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L (1.3.15) 由各方程中的未知量的系数构成的行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =L L M M M L(1.3.16) 称为方程组(1.3.15)的系数行列式, 用常数项12,,,n b b b L 替换D 中第j 列的相应元素得行列式记为j D , 即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j nj n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=L L L L M M M M M LL. 定理3 (克拉默法则)如果n 元线性方程组(1.3.15)的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解,1,2,,j j D x j n D ==L .。
矩阵与行列式的计算与性质
矩阵与行列式的计算与性质矩阵与行列式是线性代数中重要的数学概念，对于许多数学和工程问题的建模与求解都非常关键。
本文将介绍矩阵与行列式的基本概念，以及它们的计算方法和一些常见的性质。
一、矩阵的定义与基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一种按照行和列排列的数表。
一个m行n列的矩阵常记作A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的分类根据矩阵的特点，可以将其分为以下几种类型：1）零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
2）对角矩阵：只有主对角线上的元素不为零，其余元素都为零的矩阵。
3）上三角矩阵：主对角线以下的元素都为零的矩阵。
4）下三角矩阵：主对角线以上的元素都为零的矩阵。
5）方阵：行数等于列数的矩阵。
6）转置矩阵：将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和（差）矩阵记作C=A±B，即C=[c_ij]，其中c_ij=a_ij±b_ij。
2.2 矩阵的数乘给定一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘记作B=kA，即矩阵B 的每个元素等于k乘以矩阵A对应元素。
2.3 矩阵的乘法给定一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积矩阵C=A*B是一个m行p列的矩阵。
矩阵C的第i行第j列的元素c_ij等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素对应乘积的和。
三、行列式的定义与性质3.1 行列式的定义对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其中a_ij是方阵A中第i行第j列的元素，方阵A的行列式记作det(A)或|A|，计算方法如下：1）当n=1时，det(A)=a_11；2）当n>1时，det(A)=a_11*A_11+a_12*A_12+...+a_1n*A_1n，其中A_11、A_12、...、A_1n是n-1阶子矩阵的行列式。
3.2 行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1）行列式与转置：det(A)=det(A^T)，其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。
矩阵和行列式知识要点
矩阵和行列式知识要点一、矩阵（Matrix）1.定义矩阵是按照一定规则排列的数（或变量）的矩形阵列。
一般用大写字母表示，如A、B，其元素用小写字母表示并用下标表示元素的位置。
2.类型根据矩阵的元素可以分为实矩阵（元素为实数）、复矩阵（元素为复数）、数值矩阵（元素为纯数值而不是变量）等。
3.运算(1)矩阵的加法：对应元素相加。
(2)矩阵的数乘：矩阵的每个元素乘以相同的数。
(3)矩阵的乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A乘以B的结果是一个新的矩阵C，C的第i行第j列的元素是A的第i行与B的第j列元素的乘积之和。
4.逆矩阵如果一个方阵A存在逆矩阵A-1，使得A与A-1相乘等于单位矩阵I，即A·A-1=I，那么称A为可逆矩阵或非奇异矩阵，A-1为A的逆矩阵。
5.矩阵的转置将一个矩阵的行变为同序数的列，列变为同序数的行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
二、行列式（Determinant）1.定义行列式是一个表示线性变换对坐标的拉伸或者压缩程度的标量值。
一般用竖线“，，”或者方括号“[]”表示。
2.性质(1)行列式的值等于其转置矩阵的值。
(2)行列式对换两行（列）变号。
(3)行列式中如果有两行（列）相同，则行列式的值为0。
(4)行列式其中一行（列）的元素都是两数之和，行列式的值可以分开计算。
3.行列式的计算方法(1)拉普拉斯展开法：取行（列）进行展开，将问题逐步转化为计算较小规模的子行列式。
(2)数学归纳法：将行列式的展开按照第一行（列）来进行，用递归的方法逐步减小行列式的规模。
4.逆矩阵与行列式的关系若矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1的值等于A的行列式的倒数，即A-1=1/，A。
三、矩阵和行列式的应用1.线性方程组2.线性变换矩阵可以表示线性变换，通过矩阵与向量的乘法，可以实现向量的旋转、缩放等操作。
3.特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的固有性质，通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以得到矩阵的重要信息，如对称矩阵的主对角线元素就是其特征值。
矩阵与行列式
矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。
本文将介绍矩阵和行列式的定义、性质以及它们之间的关系。
一、矩阵的定义与性质1.1 矩阵的定义矩阵是一个二维的数组，由 m 行 n 列元素组成。
通常我们用大写字母表示矩阵，如 A = [a_ij]。
其中，a_ij 表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。
1.2 矩阵的运算矩阵可以进行加法、减法和数乘等运算。
设 A 和 B 是同型矩阵，即具有相同的行数和列数，则有以下运算规则：- 矩阵加法：A + B = [a_ij] + [b_ij] = [a_ij + b_ij]- 矩阵减法：A - B = [a_ij] - [b_ij] = [a_ij - b_ij]- 数乘：kA = k[a_ij] = [ka_ij]，其中 k 是标量。
1.3 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要部分。
设 A 是 m × n 的矩阵，B 是n × p 的矩阵，则它们的乘积 C = AB 是一个 m × p 的矩阵，且满足以下定义：- C 的第 i 行第 j 列元素 c_ij 可通过将 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应位置的元素进行乘法运算，并求和得到。
二、行列式的定义与性质2.1 行列式的定义行列式是一个多项式，用于表示一个方阵的性质。
一个 n × n 的方阵 A 的行列式记作 |A| 或 det(A)。
对于 2 × 2 的方阵 A = [[a, b], [c, d]]，其行列式为 |A| = ad - bc。
对于n > 2 的方阵，行列式的计算可以使用代数余子式或按行（列）展开法进行。
2.2 行列式的性质- 行列式是一个线性运算：对于任意一个 n × n 的方阵 A，如果将某一行（列）的元素按比例加（减）到另一行（列），则行列式的值也会按相同比例变换。
- 互换行（列）会改变行列式的符号：如果交换方阵 A 的两行（列），行列式的值会变为原值的相反数。
矩阵与行列式基础知识
4. 矩阵的转置
1. 定义（转置）
a11
设
A
a21
am1
a11
称
AT
a12
a1n
a21 a22
a2 n
a12 a22
am 2
a1n
a2 n
，
amn
am1
am 2
为A的转置.
amn
Amn , ( AT )nm
例
A
1
3
4 5
2 0
,
B 18 6 9,
2. 运算律 ① ( AT)T = A
7
1 6 0 8
x1
X
x2
x3 x4
1
b
0
3
AX b
类比
ax b
xb
a
怎样求解矩阵方程？
AX b ？
因此，有必要了解和学习矩阵和行列 式的相关知识，以便方便的求解矩阵方程。
矩阵的相关概念
相等矩阵
A (aij )与B (bij )同型，且
aij bij , i 1,..., m; j 1,..., n
矩阵的线性运算律：加法、数乘.
① AB B A ③ AO A
② (A B) C A (B C) ④ A ( A) O
⑤ 1A A
4. 矩阵的乘法
我们把矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记作 C AB．
1. 乘法的定义：A (aij )ms 和 B (bij )sn ，如果 AB C
A2 2
5 4 23 14 4
x1
A1 A
5,
x2
A2 A
14
矩阵与行列式基础知识 介绍
我们常常会碰到一些求解方程的问题：
矩阵与行列式
矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中的重要概念，它们在数学和各个科学领域中具有广泛的应用。
本文将对矩阵和行列式的定义、性质以及它们之间的关系进行介绍。
1. 矩阵的定义和性质矩阵是一个由数值组成的矩形数组。
通常用大写字母表示一个矩阵，如A。
矩阵有两个维度，行和列。
一个m行n列的矩阵有m个行向量和n个列向量。
矩阵可以进行加法和数乘运算。
矩阵的加法是对应元素相加，数乘是将矩阵的每个元素与一个标量相乘。
矩阵加法和数乘满足交换律和结合律。
矩阵的乘法是一个重要的运算，需要满足两个矩阵的乘法条件。
设A为m行n列的矩阵，B为n行p列的矩阵，那么它们的乘积AB为一个m行p列的矩阵。
矩阵乘法满足结合律，但一般不满足交换律。
2. 行列式的定义和性质行列式是一个用于表示方阵性质的数值。
一个n阶方阵的行列式可以用记号det(A)表示。
行列式的计算涉及到对角线之差的乘积。
对于一个2阶方阵A，其行列式可以表示为ad-bc，其中a、b、c和d是方阵A的元素。
行列式具有一些重要的性质。
若A为一个n阶方阵，那么以下性质成立：- 若A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 若A的某一行（列）乘以k，则det(A)乘以k。
- 若A的两行（列）交换，则det(A)取相反数。
行列式还有一些特殊性质，如一个方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式，以及方阵可逆（存在逆矩阵）当且仅当其行列式不为0。
3. 矩阵和行列式的关系矩阵和行列式之间有一些重要的关系。
对于一个n阶方阵A，其行列式可以表示为det(A) = |A|。
行列式在计算矩阵的逆、求解线性方程组和特征值等问题中起着重要的作用。
矩阵的秩和行列式也有关系。
对于一个m行n列的矩阵A，其秩r 小于等于m和n中较小的值。
若r等于n，说明矩阵的每一列都是线性无关的。
此外，矩阵的特征值与行列式密切相关。
方阵A的特征值是满足方程det(A-λI)=0的λ值，其中I是单位矩阵。
特征值和特征向量在矩阵的对角化、稀疏矩阵和网络图等领域有广泛应用。
矩阵与行列式
二、行列式(Determinant)
determinant:
n.[数]行列式；决定因素
adj.决定因素的、限定性的
m rows and n
columns, written
m×n矩阵
当m=n时，也叫作
2×2方阵、3×3方阵
行列式是一个数！
计算方阵的行列式
(只要求掌握2×2
方阵)
二、行列式(Determinant)
一、矩阵(Matrix)
4.乘法的计算：
两个矩阵相乘
要求：A is an m×p matrix and B is a
p×n matrix.
Then the product A×B is a m×n matrix.
一、矩阵(Matrix)
4.乘法的计算： 要求：A is an m×p matrix and B is a
p×n matrix.
两个矩阵相乘 Then the product A×B is a m×n matrix.
一、矩阵(Matrix)
4.乘法的计算：
要求：左矩阵取行，右矩阵取列，对
应相乘再相加。
两个矩阵相乘
2
3 2 0
× 1
0 1 2
3
−3
1
2
=
×+×+×
×+×+×
=
Find determinant
Find determinant −
−
二、行列式(Determinant)
Find determinant: ①
−
②
−
行列式与矩阵
是无意义的. 例如: 1 A = B = (3 4 ) 2 但 A ,B 均 无 意 义 .
AB =
3 6
8
=0
(5)行列式相等与矩阵相等不同.两行列式相等只 要值一样就认为是相等的.两矩阵相等,则要求对 应元素都分别相等. 2,n维向量中的维数与n维向量空间中的维数是否相同? 答: n维向量中的维数是指该向量有n个分量,或者 说它 R n 是的一员; n维向量空间中的维数是指向量 空间的基所含向量的个数.有时两者不尽相同,如:
1.矩阵与行列式的区别是什么?
答:矩阵与行列式是两个完全不同的概念.矩阵仅仅是 一个矩形的"数表",行列式是在一个方形数表中根 据定义规则进行运算的代数式,这是基本的区别.具体 来说有以下几点: (1)行列式是方形数表中定义,对不是方形的数表,不 能讨论行列式的问题,而矩阵无此限制. (2)矩阵的加法与行列式的加法不同.例如:
V = {(0, x2 , , xn ) xi ∈ R, i = 2,3, , n}
是一n-1维向量空间,但V中的向量却是n维的. (3)研究向量的线性相关性与讨论线性方程组有何联系? 答:向量是讨论线性方程组的有效工具.由m各方程 n个未知数构成线性方程组,可用m个n+1维向量代表. 这样,当m个向量线性无关时,表示方程组中没有多 余方程;当m个向量线性相关时,表示方程组中有多 余方程;由于向量组的秩即方程组中独立方程的个数, 而极大线性无关组则表示原方程组中去掉多余方程后 相互独立的与原方程组等价的方程组;另外,当有解 时,线性方程组的解也可以由向量组线性表出.
(4)有无只含一个向量的线性空间?有无含有有限个向量的 线性空间? 答:零空间是唯一的只含一个向量的线性空间.此外不 存在有限个向量构成的线性空间. (5)在秩为r阶的矩阵中,有无等于零的r阶子式?有无等 于零的r-1阶子式和有无等于零的r+1阶子式? 答:矩阵的秩等于r表示矩阵不为零的子式的最高阶数位r, 可以从两个方面来理解:其一,该矩阵至少存在一个不 为零的r阶子式(其余的r阶子式可以等于零,也可以不等 于零);其二,该矩阵的所有的r+1阶子式都等于零.据 此,该矩阵可能有r-1阶,r阶等于零的子式,但不可能有 等于零的r+1阶子式.
矩阵与行列式的基本概念与运算
矩阵与行列式的基本概念与运算矩阵和行列式是线性代数中基本的概念和工具。
在数学和工程领域中，它们广泛应用于解方程组、描述线性映射和计算变换等问题。
本文将介绍矩阵和行列式的基本概念，并讨论它们的运算规则和性质。
一、矩阵的基本概念矩阵是由一组排列成矩形的数按照一定规律排列组成的数表。
具体地，一个 m×n 的矩阵由 m 行和 n 列构成，其中每个元素可以是任意实数或复数。
通常用大写字母表示矩阵，如 A、B、C，矩阵元素用小写字母表示，如 aij，表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。
例如，一个 2×3 的矩阵可以表示为：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23]二、矩阵的运算1. 矩阵的加法与减法设有两个 m×n 的矩阵 A 和 B，它们可以相加或相减，其结果仍为一个 m×n 的矩阵。
加法运算的规则是将对应位置的元素相加，减法运算的规则是将对应位置的元素相减。
例如，设有两个 2×2 的矩阵 A 和 B：A = [a11 a12][a21 a22]B = [b11 b12][b21 b22]则矩阵 A 与 B 的和为：A +B = [a11+b11 a12+b12][a21+b21 a22+b22]2. 矩阵的数乘矩阵与数的乘积为将矩阵的每个元素与该数分别相乘。
例如，设有一个 2×2 的矩阵 A 和一个数 k：A = [a11 a12][a21 a22]则矩阵 A 与数 k 的乘积为：kA = [ka11 ka12][ka21 ka22]3. 矩阵的乘法设有两个矩阵 A 和 B，若矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数，则可以进行矩阵乘法运算。
矩阵乘法的规则是将矩阵 A 的每一行与矩阵 B 的每一列对应位置元素相乘，并将结果相加。
例如，设有两个 2×3 的矩阵 A 和 B：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23]B = [b11 b12 b13][b21 b22 b23][b31 b32 b33]则矩阵 A 与 B 的乘积为一个 2×3 的矩阵 C：C = [a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32a11b13+a12b23+a13b33][a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32a21b13+a22b23+a23b33]三、行列式的基本概念行列式是一个由矩阵中元素按一定规则组合而成的标量。
大学数学易考知识点线性代数中的矩阵与行列式
大学数学易考知识点线性代数中的矩阵与行列式大学数学易考知识点：线性代数中的矩阵与行列式在大学数学中，线性代数是一门重要的基础课程，其中矩阵与行列式是其核心内容之一。
掌握了矩阵与行列式的基本概念和操作方法，对于理解和应用线性代数具有极大的帮助。
本文将介绍线性代数中矩阵与行列式的相关知识点，帮助理清概念、加深理解，并为后续的学习奠定基础。
一、矩阵的基本概念与运算1. 矩阵的定义矩阵是一个由m行n列的数字按一定顺序排成的一个矩形阵列。
其常用表示形式为：A = [aij]m×n = |a11 a12 .. a1n||a21 a22 .. a2n||... ... .. ... ||am1 am2 .. amn|其中，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2. 矩阵的运算（1）矩阵的加法：若A = [aij]m×n，B = [bij]m×n为两个m×n矩阵，则矩阵A与B的和为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。
（2）矩阵的数乘：若A = [aij]m×n为一个m×n矩阵，k为任意实数，则kA = [kaij]m×n。
（3）矩阵的乘法：若A = [aij]m×p为一个m×p矩阵，B = [bij]p×n为一个p×n矩阵，则矩阵A与B的乘积为C = [cij]m×n，其中cij =∑(k=1→p) aikbkj。
二、行列式的基本概念与性质1. 行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数。
对于一个n阶方阵A = [aij]n×n，其行列式记为|A|或det(A)，定义为：|A| = ∑(s∈Sn) (sgn(s)·a1s(1)·a2s(2)·...·ans(n))其中，Sn为全排列的集合，sgn(s)为排列s的逆序数的(-1)^k次方。
矩阵和行列式复习知识点.doc
矩阵和行列式复习知识梳理9.1 矩阵的概念： 矩阵 ：像 ， ， 的矩形数字（或字母）阵列称为 矩阵 .通常用大写字母 A 、B 、C 表示三个矩阵分别是 2 × 1 矩阵， 2× 2 矩阵（二阶矩阵） ， 2× 3 矩阵； ① 矩阵行的个数在前。
② 矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。
行向量、列向量单位矩阵 的定义：主对角线元素为 1，其余元素均为 0 的矩阵增广矩阵 的含义及意义： 在系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的值的矩阵。
通过矩阵变换，解决多元一次方程的解。
9.2 矩阵的运算 【矩阵加法】不同阶的矩阵不可以相加；A 11 A 12B11B 12A BA 11B 11 A 12 B 12 记A， BB21 ，那么 A 21 B 21A 22 ，A21A22B22B 22【矩阵乘法】，=A 1B 1 A 1B 2 ；A 2B 1 A 2B 2A 11B11A 12 B21A 11B12ABA 22B21A 21B12A 21B11【矩阵的数乘】 kA Ak (ka ij ).【矩阵变换】相似变换的变换矩阵特点： k等 轴对称变换的变换矩阵： 、 旋转变换的变换矩阵：等A 12B22A 22B22、 等9.3 二阶行列式【行列式】行列式是由解线性方程组产生的一种算式；行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵， 与矩阵不同的是， 矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。
行列式行数、列数一定相等；矩阵行数、列数不一定相等。
a d二阶行列式的值 D ac bdb c展开式 ac - bd【二元线性方程组】对于二元一次方程组a1 x b1 y c1D x D x ，通过加减消元法转化为方程组a2 x b2 y c2 D y D y其中 D a1 b1 , D x c1 b1 , D y a1 c1a2 b2 c2 b2 a2 c2方程的解为用行列式来讨论二元一次方程组解的情况。
矩阵与行列式
矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中两个重要的概念，它们在各个领域中都起到了重要的作用。
本文将从基本定义、性质和应用角度综述矩阵与行列式的相关内容。
1. 矩阵的定义和基本性质1.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列元素排列成的矩形阵列。
在数学中，一般用大写字母表示矩阵，如A、B等。
矩阵A用小写字母a_ij表示其中第i 行第j列的元素。
例如，A = [a_ij] = [a_11, a_12, ..., a_1n; a_21, a_22, ..., a_2n; ..., a_m1, a_m2, ..., a_mn]。
1.2 矩阵的基本性质- 矩阵加法和减法：两个相同维度的矩阵可以进行加法和减法运算，结果仍为相同维度的矩阵。
- 矩阵乘法：矩阵乘法满足结合律和分配律。
若A为m×n阶矩阵，B为n×p阶矩阵，则它们的乘积C=AB为m×p阶矩阵，其中c_ij 表示矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积。
- 矩阵转置：将矩阵A的行转换为列，列转换为行，得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
2. 行列式的定义和基本性质2.1 行列式的定义行列式是一个用于描述线性方程组性质的特征数。
设A = [a_ij]为n阶矩阵，其行列式记作det(A)或|A|，定义为行列式等于n阶排列的代数和。
即，det(A) = Σ(-1)^P(i1,i2,...,in)*a_1i1*a_2i2*...*a_nin，其中P(i1,i2,...,in)表示排列(i1,i2,...,in)的逆序数。
2.2 行列式的基本性质- 行列式的性质一：行列式与转置矩阵的关系。
det(A^T) =det(A)。
- 行列式的性质二：行列式与初等行变换的关系。
若矩阵A经过初等行变换得到矩阵B，则det(B) = r*det(A)，其中r为初等行变换的乘积常数。
- 行列式的性质三：交换行列式的两行（列）值变号，行列式不变。
即交换矩阵的两行或两列，行列式值不变。
矩阵和行列式知识要点
矩阵和行列式知识要点一、矩阵的定义与基本运算：1.矩阵的定义：矩阵是一个按照矩阵元素排列形成的矩形阵列。
通常用大写字母表示，如A。
2.矩阵的元素：矩阵中的每个数称为矩阵的元素，用小写字母表示，如a。
3.矩阵的维数：矩阵的行数和列数称为矩阵的维数。
若一个矩阵有m 行n列，称为m×n阶矩阵。
4.矩阵的运算：a.矩阵的加法：如果两个矩阵A和B的维数相同，则它们可以相加，A+B的结果是一个与A和B维数相同的矩阵，即对应元素相加。
b.矩阵的数乘：如果一个矩阵A乘以一个数k，那么结果是一个与A 维数相同的矩阵，即将A的每个元素乘以k。
c.矩阵的乘法：如果两个矩阵A和B可以相乘，那么它们的乘积AB 的结果是一个新的矩阵，其行数等于A的行数，列数等于B的列数。
矩阵乘法不满足交换律。
二、行列式的定义与性质：1.行列式的定义：对于一个n×n的矩阵，将它的元素按照一定的规则排列成一个方阵，方阵元素的排列称为一个排列，用行列式表示。
行列式实际上是对矩阵的一种性质的一种数学描述。
2.行列式的计算：a.二阶行列式：二阶行列式即2×2阶矩阵的行列式。
b. 三阶行列式：三阶行列式即3×3阶矩阵的行列式。
可以利用“Sarrus法则”进行计算。
c. n阶行列式：n阶行列式可以利用定义展开、代数余子式、Laplace定理等方法进行计算。
3.行列式的性质：a.行列式的性质1：行列式与它的转置行列式相等。
b.行列式的性质2：互换行列式的两行（两列），行列式变号。
c.行列式的性质3：若行（列）中有零元素，则行列式的值为0。
d.行列式的性质4：若行（列）的其中一元素可被另一行（列）的元素表示，则行列式的值为0。
e.行列式的性质5：行列式中有两行（两列）完全相同，则行列式的值为0。
三、逆矩阵与可逆矩阵：1.逆矩阵的定义：对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵），则A称为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵，且B=A^(-1)。
矩阵与行列式的基本知识
矩阵与行列式的基本知识矩阵与行列式是线性代数中的重要概念和工具，广泛应用于数学、物理、计算机科学等各个领域。
本文将介绍矩阵与行列式的基本知识，包括定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的定义和性质矩阵是由m行n列元素排列成的一个矩形数表。
常用的表示方法是用大写字母表示矩阵，例如A, B, C等。
一个矩阵可以用一个m×n的数表表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每个元素可以是实数、复数或者其他数域中的元素。
矩阵中的元素可以用小写字母表示，例如a11, a12等。
矩阵中的元素按照行和列的顺序排列，例如矩阵A可以表示为：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]矩阵的运算包括矩阵加法、矩阵乘法以及数乘等。
矩阵加法的定义是对应元素相加，即若A和B是同型矩阵，则它们的和A + B的定义是一个矩阵，其中的每个元素是A和B中对应元素的和。
矩阵乘法的定义是第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的对应元素相乘并求和。
若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB的定义是一个m×p的矩阵，其中的每个元素由矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的对应元素相乘并求和。
矩阵具有一些重要的性质，例如矩阵的转置、逆矩阵和对称矩阵等。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
矩阵的逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
对于方阵（行数等于列数的矩阵），若存在逆矩阵，则称该矩阵是可逆的。
二、行列式的定义和性质行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵，它的行列式可以用|A|表示。
行列式的定义是一个关于矩阵元素的表达式。
|a11 a12 ... a1n||a21 a22 ... a2n||... ... ... ...||an1 an2 ... ann|一个2阶方阵A的行列式可以表示为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21行列式可以用于判断矩阵的某些性质，例如矩阵的可逆性和线性方程组的解的情况。
高中数学矩阵与行列式
高中数学矩阵与行列式矩阵与行列式是高中数学中重要的内容，它们在代数和几何中有广泛应用。
本文将从基本定义、运算性质、逆矩阵和行列式的应用等方面来探讨矩阵与行列式的知识。
一、矩阵的基本定义矩阵是由$m$行$n$列的数表所组成，用$A=(a_{ij})_{m \timesn}$表示，其中$a_{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行、第$j$列的元素。
根据矩阵的定义，可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵等。
二、矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、数乘和乘法等，下面将对这些运算性质做详细介绍。
1. 矩阵的加法设$A=(a_{ij})_{m \times n}$和$B=(b_{ij})_{m \times n}$是两个$m\times n$的矩阵，它们的和$A+B$定义为$(a_{ij}+b_{ij})_{m \times n}$，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
2. 矩阵的数乘设$A=(a_{ij})_{m \times n}$是一个$m \times n$的矩阵，$k$是一个实数，那么$kA$定义为$(ka_{ij})_{m \times n}$，即将矩阵$A$中的每个元素乘以$k$得到新的矩阵。
3. 矩阵的乘法设$A=(a_{ij})_{m \times s}$和$B=(b_{ij})_{s \times n}$是两个矩阵，它们的乘积$AB$是一个$m \times n$的矩阵，定义为$(c_{ij})_{m \times n}$，其中$c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}$。
即矩阵$A$的第$i$行与矩阵$B$的第$j$列相乘并求和得到新矩阵$AB$的第$i$行第$j$列的元素。
三、逆矩阵逆矩阵是矩阵的重要概念，对于一个方阵$A$，如果存在一个方阵$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$是单位矩阵，则称$A$是可逆矩阵，$B$是$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$。
逆矩阵具有以下性质：1. 如果矩阵$A$可逆，则其逆矩阵唯一。
矩阵与行列式
第一章 矩阵与行列式释疑解惑 1． 关于矩阵的概念：最难理解的是：矩阵它是一个“数表”，应当整体地去看它，不要与行列式实际上仅是一个用特殊形式定义的数的概念相混淆；只有这样，才不会把用中括号或小括号所表示的矩阵如a c b d ⎛⎫ ⎪⎝⎭写成两边各划一竖线的行列式如a c b d ，或把行列式写成矩阵等。
还要注意，矩阵可有(1)m ≥行和(1)n ≥列，不一定m n =；但行列式只有n 行n 列。
n 阶行列式是2n 个数（元素）按特定法则对应的一个值，它可看成n 阶方阵 111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 的所有元素保持原位置而将两边的括号换成两竖线时由行列式定义确定的一个新的对象：特定的一个数值，记作det A 、A 或n D ，即111det nij k k k A A a a A ====∑（如二阶方阵a d A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭所对应的行列式是这样一个新的对象：a d ac bd b c =-）。
也正因为于此，必须注意二者的本质区别，如当A 为n 阶方阵时，不可把A λ与A λ等同起来，而是n A A λλ=，等等。
2． 关于矩阵的运算：矩阵的加（减）法只对同形矩阵有意义；数λ乘矩阵m n A ⨯是用数λ乘矩阵m n A ⨯中每一个元素得到的新的m n ⨯矩阵；二矩阵相乘与前述这两种线性运算有着实质上的不同，它不仅要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数，而且积的元素有其特定的算法（即所谓行乘列），乘法的性质与前者的性质更有质的不同（如交换律与消去律不成立），对此要特别加以注意，也不要与数的乘法的性质相混淆。
3． 关于逆阵：逆阵是由线性变换引入的，它可只由AB E =来定义（A 与B 互为逆阵），这是应用的基础。
要记住方阵可逆的充要条件为0A ≠以及关系式*AA A E =，二者有着重要与广泛的应用。
要弄清A 的伴随方阵是矩阵()ij A a =的各元素代数余子式为元素的矩阵的转置，否则会出错。
矩阵与行列式
矩阵与行列式矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵和行列式的定义、性质和应用，并探讨它们在数学和科学中的重要作用。
一、矩阵的定义和表示方法矩阵是按照行列排列的数的矩形阵列。
一般用大写字母表示，如A、B。
矩阵具有行数和列数两个维度。
一个m行n列的矩阵可以表示为：A = [aij]其中，i表示行的序号，j表示列的序号，aij表示矩阵中第i行第j列的元素。
例如，一个2行3列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23]二、矩阵的基本运算1. 矩阵的相等两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等。
即A = B当且仅当aij = bij，对于所有的i和j。
2. 矩阵的加法和减法两个矩阵A和B的加法和减法定义如下：A +B = [aij + bij]A -B = [aij - bij]其中，A和B必须具有相同的行数和列数。
3. 矩阵的数乘一个矩阵A与一个数k的乘法定义如下：kA = [k * aij]其中，aij是矩阵A的元素。
4. 矩阵的乘法两个矩阵A和B的乘法定义如下：C = AB其中，C的第i行第j列的元素是矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。
矩阵乘法的前提是A的列数等于B的行数。
三、行列式的定义和性质行列式是一个标量值，它是一个与矩阵相关的函数。
一个n阶方阵A的行列式可以表示为|A|或det(A)。
1. 二阶行列式对于一个2阶方阵：A = [a11 a12a21 a22]它的行列式定义为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21 2. 三阶行列式对于一个3阶方阵：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]它的行列式定义为：|A| = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32- a13 * a22 * a31 - a12 * a21 * a33 - a11 * a23 * a323. 行列式的性质行列式具有以下基本性质：- 如果A的某一行或某一列的元素全为零，则|A| = 0。
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4. 矩阵的转置
1. 定义（转置）
设
a11
A
a21
am1
a11
称
AT
a12
a1n
a21 a22
a2 n
a12 a22
am 2
a1n
a2 n
，
amn
am1
am 2
为A的转置.
amn
Amn , ( AT )nm
例
A
1 3
4 5
2
0
,
B 18 6 9,
2. 运算律 ① ( AT)T = A
a11
a12
a1n
a21
a22
a2n
D ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin
an1
an 2
ann
那么D等于下列两行列式的和，即 D D1 D2 ，其中
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
D1 ai1 ai2
ain
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
D2 bi1 bi2
bin
xn bn
x1
A1 A
,
x2
A2 A
,,
xn
An A
a11 a1, j1 b1 a1, j1 a1n
其中Aj
a21
a2, j1
b2
a2, j1
a2n
an1 an, j1 bn an, j1
ann
j 1,2,n
例
求解方程组
52xx112xx22
3 4
解
52
A
51 2 2 1
a2n
x2
b2
即Ax
am1
am2
amn
xn
bm
a11 a12 a1n x1 0
• 若右端向量 0
则
a
21
a22
a2n
x2
0 即Ax
0为齐次线性方程组.
am1
am2
a
Байду номын сангаас
mn
xn
0
矩阵的运算
1. 矩阵的加法运算
加法定义：有mn 矩阵 A (aij ) 和 B (bij ) ， 那么 矩阵 Cij 为A和B的和。
1 3
AT
4
5 ;
2 0
18
BT
6
.
9
② (A+B)T = AT+BT
③ (kA)T = kAT ④ (AB)T = BTAT
⑤ (A1A2……Ak)T = ATk ATk-1……AT1
例 已知 求 ( AB)
A
2 1
0 3
1
2
，B
1 4 2
7 2 0
1
3
1
，
解 因为
1 7 1
矩阵与行列式基础知识 介绍
我们常常会碰到一些求解方程的问题：
5xx11
2x2 3x2
4x3
3x4 7 x4
1 0
x1 6x2
8x4 3
能否如一元一次方程一样求解?
ax b xb
a
矩阵概念的引入
5xx11
2x2 3x2
4x3
3x4 7 x4
1 0
x1 6x2
8x4 3
22 11 (1)5 32 01 25
20 11 (1)(1)
30 01 2(1)
0 0 2
2
16
2
矩阵乘法的运算规律：
(AB)C = A(BC) k (AB) = (kA)B = A(kB) A(B+C) = AB + AC (B + C)A = BA +CA
注：矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，
n阶行列式的定义
a11 a12 ... a1n D a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
(q1q2 qn )
(1) a a q11 q2 2...aqnn
q1q2 ...qn
(1) 1 2 a a l1s1 l2s2 ...alnsn
1
方程组的矩阵和向量表示形式
a11x1 a12x2 a1n xn b1
•
m个方程n个未知量的线性方程组：
a21x1
a22 x2
a2n
xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
• 向量形式
• 矩阵形式
a11 a12 a1n x1 b1
a21
a22
2
AB
1
0 3
1
2
4 2
2 0
3 1
0 17
14 13
3
10
所以
0 17
( AB)
14
13
3 10
另解
1 4 2 2 1 0 17
( AB)
B A
7
2
0
0
3
14
13
1 3 1 1 2 3 10
行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入 的，但在线性代数和其它数学领域以及工 程技术中，行列式是一个很重要的工具。 本节主要介绍行列式的定义、性质及其计 算方法。
a11 b11
a21
b21
a12 b12 a22 b22
... a1n b1n
...
a2n
b2n
C= :
: ... :
am1
bm2
am2 bm2
...
amn
bmn
记作：C=A+B
注意： (1) 同型矩阵才能相加、减； (2) 相加、减结果为同型矩阵;
2. 减法运算
负矩阵：
矩阵的线性运算律：加法、数乘.
① AB B A ③ AO A
② (A B) C A (B C) ④ A ( A) O
⑤ 1A A
4. 矩阵的乘法
我们把矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记作 C AB．
1. 乘法的定义：A (aij )ms 和 B (bij )sn，如果 AB C
则矩阵C中每个元素都是A的行，B的列对应元素之积的和。
即
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj k 1
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
0 2 0
C
AB
2 3
1 0
1
2
1 1
1 5
1
1
20 11 (1)1 30 01 21
a11 a12 ... a1n
A=
a21
a 22
...
a2n
: : : :
am1
am2
...
amn
矩阵A也记作 Amn
m=n时，称A为n阶矩阵（n阶方阵）.
矩阵概念的引入
5xx11
2x2 3x2
4x3
3x4 7 x4
1 0
x1 6x2
8x4 3
1 2 0 3
引入矩阵形式： A 5 3 4
an1 an2
ann
an1 an2
ann
性质3（行列式的初等变换） 设A为n阶矩阵， （1）交换A第i,j行（列）的位置得到A1，则 A1 A ; （2）把A的第j行（列）乘以数 k(k 0)得到 A2 ，则 A2 k A ；
（3）把的第j行（第i列）的k倍加到第i行（第j列）上得到
A3，则
A (aij )
A (A) O
减法：
A B A (B) (对应元素相减)
A B AB O
3. 矩阵的数乘
设有一个矩阵 A (aij ) ， 是一个数，那么矩阵
a11
a21
a12 a22
a1n
a2 n
am1 am2
amn
称为矩阵A 与数 的乘积（简称矩阵的数乘），记作 A．
7
1 6 0 8
x1
X
x2
x3 x4
1
b
0
3
AX b
类比
ax b
xb
a
怎样求解矩阵方程？
AX b ？
因此，有必要了解和学习矩阵和行列 式的相关知识，以便方便的求解矩阵方程。
矩阵的相关概念
相等矩阵
A (aij )与B (bij )同型，且
aij bij , i 1,..., m; j 1,..., n
记为A=B.
特殊矩阵 零矩阵: 如
0 0
0
O22
0
0
,
O21
0
.
行矩阵、列矩阵：
6
（1
0
1
2）,
4
3
行矩阵、列矩阵也称为向量
对角矩阵：
a11
A
a22
diag(a11,
a22
,...,
ann
)
ann
aii 称为对角元.
如
A
2 0
0 1
diag(2,
1)
单位矩阵：
1
I
1
diag(1,1, ...,1)
把方程组系数抽取出来，形成一个数字方块，取名为系数矩阵，记为A
1 2 0 3
A 5 3 4
7
1 6 0 8
在系数矩阵最后一列添加方程右端的常数列，称之为增广矩阵，记为B
1 2 0 3 1 B 5 3 4 7 0
1 6 0 8 3
矩阵的概念
一. 矩阵的定义：由 mn个数排成的m行n列数表， 称为m行n列矩阵。aij 表示矩阵A的第i行第j列的元 素。矩阵表示如下：