因式分解全章分析共19页
专题04 因式分解篇(解析版)
专题04 因式分解考点一：因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。
2. 因式分解的方法：①提公因式法：()cbamcmbmam++=++公因式的确定：公因式＝各项系数的最小公倍数×相同字母（式子）的最低次幂。
若多项式首项是负的，则公因式为负。
用各项除以公因式得到另一个式子。
②公式法：平方差公式：()()bababa-+=-22。
完全平方公式：()2222bababa±=+±③十字相乘法：利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。
对于一个二次三项式cbxax++2，若满足21aaa⋅=，21ccc⋅=，且bcaca=+1221，那么二次三项式cbxax++2可以分解为：()()22112cxacxacbxax++=++。
当1=a时，二次三项式是cbxx++2，此时只需21ccc⋅=，且bcc=+21，则cbxx++2可分解为：()()212cxcxcbxx++=++。
④分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解--分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式。
（分组分解法一般针对四项及以上的多项式）3. 因式分解的具体步骤：（1）先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。
（2）观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。
四项及以上则考虑分组分解。
（3）检查因式分解是否分解完全。
必须分解到不能分解位置。
再无特比说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。
1．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．2．（2022•永州）下列因式分解正确的是（ ）A．ax+ay＝a（x+y）+1B．3a+3b＝3（a+b）C．a2+4a+4＝（a+4）2D．a2+b＝a（a+b）【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．【解答】解：A选项，ax+ay＝a（x+y），故该选项不符合题意；B选项，3a+3b＝3（a+b），故该选项符合题意；C选项，a2+4a+4＝（a+2）2，故该选项不符合题意；D选项，a2与b没有公因式，故该选项不符合题意；故选：B．3．（2022•湘西州）因式分解：m2+3m＝ ．【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：原式＝m（m+3）．故答案为：m（m+3）．4．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．故答案为：3a（a﹣7b）．5．（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝ ．【分析】直接提取公因式xy，进而分解因式得出答案．【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y）．故答案为：xy（x+y）．6．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（ ）A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．故选：A．7．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝ ．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．8．（2022•烟台）把x2﹣4因式分解为 ．【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故答案为：（x+2）（x﹣2）．9．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ ．【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32＝（m+n﹣3）2．故答案为：（m+n﹣3）2．10．（2022•苏州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝ ．【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×6＝24．故答案为：24．11．（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝ ．【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，故答案为：（x+1）2．12．（2022•济南）因式分解：a2+4a+4＝ ．【分析】利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝（a+2）2，故答案为：（a+2）2．13．（2022•宁波）分解因式：x2﹣2x+1＝ ．【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．14．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（x﹣2）2．故选：D．15．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（ ）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）【分析】把所给公式中的b换成﹣b，进行计算即可解答．【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），∴a3﹣b3＝a3+（﹣b3）＝a3+（﹣b）3＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]＝（a﹣b）（a2+ab+b2）故选：A．16．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝ ．【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式＝3x（x2﹣4y2）＝3x（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．17．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝ ．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）＝2（a+1）2．故答案为：2（a+1）2．18．（2022•辽宁）分解因式：3x2y﹣3y＝ ．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：3x2y﹣3y＝3y（x2﹣1）＝3y（x+1）（x﹣1），故答案为：3y（x+1）（x﹣1）．19．（2022•恩施州）因式分解：a3﹣6a2+9a＝ ．【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，故答案为：a（a﹣3）2．20．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝ ．【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022（x2﹣2x+1）＝2022（x﹣1）2．故答案为：2022（x﹣1）2．21．（2022•常德）分解因式：x3﹣9xy2＝ ．【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．【解答】解：x3﹣9xy2＝x（x2﹣9y2）＝x（x+3y）（x﹣3y），故答案为：x（x+3y）（x﹣3y）．22．（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝ ．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x2（1﹣x2）＝x2（1+x）（1﹣x）．故答案为：x2（1+x）（1﹣x）．23．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（ ）A．﹣12B．﹣3C．3D．12【分析】根据十字相乘法可以将多项式39x2+5x﹣14分解因式，然后再根据多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），即可得到a、b、c的值，然后计算出a+2c的值即可．【解答】解：∵39x2+5x﹣14＝（3x+2）（13x﹣7），多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），∴a＝2，b＝13，c＝﹣7，∴a+2c＝2+2×（﹣7）＝2+（﹣14）＝﹣12，故选：A．24．（2022•内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．25．（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 ．【分析】方法一：直接将a2﹣b2进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a2﹣b2＝a﹣b，由此可得原式＝a+b+9＝10．方法二：将原式分为三部分，即a2﹣（b2﹣2b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a+b﹣1＝0．从而得出原式的值．【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9＝（a+b）（a﹣b）+2b+9又∵a+b＝1，∴原式＝a﹣b+2b+9＝a+b+9＝10．方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9＝a2﹣（b2﹣2b+1）+10＝a2﹣（b﹣1）2+10＝（a﹣b+1）（a+b﹣1）+10．又∵a+b＝1，∴原式＝10．26．（2022•黔西南州）已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是 ．【分析】将a2b+ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b），∵ab＝2，a+b＝3，∴原式＝2×3＝6．故答案为：6．。
因式分解全章分析
• 建议二：准确把握因式分解定义 • 在讲解因式分解的概念时，把握两个 注意点，每讲一个注意点，都要配以 相应的题目加以巩固，形成图文并茂。 • 注意1：因式分解与整式乘法是相反 方向的恒等变形，因式分解的结果必 须转化为积的形式。 • 注意2：因式分解必须分解到每个因 式都不能分解为止。
• 建议三：注重变式教学 • 例 分解因式： x2－4x+4 • 变式1：x2+4－4x 分析：让学生进一步掌握公 式的特征. • 变式2：2x2y－8xy+8y 分析：先提取公因式，再用 公式法. • 变式3：x (x－4)+4 分析：先退一步进行乘法运 算,再用公式分解因式. • 变式4：(a+b)2－4(a+b)+4 分析：渗透整体思想. • 变式5：x4－8x2+16 分析：连续用两次公式(编制 题目时,注意控制难度，连续用公式不能超过两次).
(三)、分解不彻底 分解不彻底是分解因式时最容易犯的错 误，应注意分解因式要分解到每个因式 不能再分解为止。 例8 分解因式(m2+1)2-4m2 误解：原式=(m2+1+2m)(m2+1-2m) 分析：分解出来的因式，没有继续分解 彻底。
总之，因式分解的错误原因很多，要认 真审题，深刻理解公式，牢记分解方法， 并能灵活运用。以下口诀在教学过程中 不妨试一试，希望对咱们的学生有所帮 助： 首项有负常提负，各项有公先提公； 某项提出莫漏1，公式特点要牢记； 各个因式看仔细，括号本章教学重点是因式分解的提取公 因式法和运用公式法。 • ②难点是在因式分解中，把比较复杂 的符号形式转化为简单的公式变形。
二、教学建议 建议一：由浅入深、循序渐进地讲 授知识 基础知识要落实到位,不要急于拔高. 教学时要根据教材的层次,先易后难, 对于技巧性很强的因式分解的题目 要少讲,严格控制题目的难度，教学 中不要随意扩充，从中考的角度学 习分解因式.
因式分解ppt(共22张PPT)
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
因式分解ppt课件
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《因式分解》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解因式分解的意义，了解分解因式与整式乘法的关系； 2．掌握提公因式法分解因式，理解添括号法则； 3. 会用公式法分解因式；4. 综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、添括号的法则括号前面是“﹢”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都变号. 要点四、公式法 1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点五、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq cp q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点六、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、已知21x x +-＝0，求3223x x ++的值．【思路点拨】观察题意可知21x x +=，将原式化简可得出答案． 【答案与解析】解：依题意得：21x x +=， ∴3223x x ++， ＝3223x x x +++， ＝22()3x x x x +++， ＝23x x ++，＝4；【总结升华】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．类型二、公式法分解因式2、已知2x －3＝0，求代数式()()2259x x x x x -+--的值． 【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解． 【答案与解析】解：()()2259x x x x x -+--，＝322359x x x x -+--， ＝249x -．当2x －3＝0时，原式＝()()2492323x x x -=+-＝0．【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解． 举一反三：【变式】()()33a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）A ．229a y+B ．229a y-+C ．229a y-D ．229a y--【答案】C ；3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如()()()4422x y x y x y x y -=-++，当x ＝9，y ＝9时，x y -＝0，x y +＝18，22x y +＝162，则密码018162．对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式324x xy -进行因式分解，得到()()32422x xy x x y x y -=+-，然后把x ＝10，y ＝10代入，分别计算出()2x y +及()2x y -的值，从而得出密码． 【答案与解析】解：()()()32224422x xy x x yx x y x y -=-=+-，当x ＝10，y ＝10时，x ＝10，2x ＋y ＝30，2x －y ＝10， 故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键． 举一反三：【变式】利用因式分解计算 （1）16.9×18＋15.1×18（2） 22683317- 【答案】 解：（1）16.9×18＋15.1×18＝()116.915.18⨯+＝13248⨯= （2）22683317-＝()()683317683317+⨯- ＝1000×366 ＝366000． 4、因式分解：（1）()()269a b a b ++++； （2）222xy x y ---（3）()()22224222x xyy x xy y -+-+．【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法：()2222a b a ab b ±=±+．【答案与解析】解：（1）()()()22693a b a b a b ++++=++（2）()()2222222xy x y xy x y x y ---=-++=-+（3）()()22224222x xyy x xy y -+-+＝()()24222x xy yx y -+=-【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全． 举一反三：【变式】下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）A ．21x + B ．221x x +- C ．21x x ++ D ．244x x ++【答案】D ；5、先阅读，再分解因式：()24422224444(2)2x x x x x x +=++-=+-()()222222x x x x =-+++，按照这种方法把多项式464x +分解因式．【思路点拨】根据材料，找出规律，再解答． 【答案与解析】解：442264166416x x x x +=++-＝()222816x x +-＝()()228484x xxx +++-．【总结升华】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．（1）根据你发现的规律填空：2x px qx pq +++=()2x p q x pq +++=＿＿＿＿＿＿；（2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：①2710x x ++；②2712y y -+．【思路点拨】（1）根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答； （2）根据（1）的结论直接作答． 【答案与解析】解：（1）()()x p x q +⨯+（2）①()()271025x x x x ++=++②()()271234y y x x -+=--【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式．运用这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数12,a a 的积12a a ，把常数项c 分解成两个因数12c c 的积12,c c ，并使1221a c a c +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号． 举一反三：【变式】已知A ＝2a +，B ＝25a a -+，C ＝2519a a +-，其中a ＞2． （1）求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； （2）指出A 与C 哪个大？说明理由． 解：（1）B －A ＝()21a -＋2＞0，所以B ＞A ；（2）C －A ＝25192a a a +---，＝2421a a +-， ＝()()73a a +-．因为a ＞2，所以a ＋7＞0，从而当2＜a ＜3时，A ＞C ；当a ＝3时，A ＝C ；当a ＞3时，A ＜C ．【巩固练习】 一.选择题1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（ ）． A ．()()22422m n m n m n -=+- B ．()()2111m m m +-=-C ．()23434m m m m --=-- D ．()224529m m m --=--2. 把24a a -多项式分解因式，结果正确的是（ ）A ．()4a a -B ．()()22a a +-C ．()()22a a a +-D ．()224a -- 3. 下列多项式能分解因式的是（ ） A ．22x y +B ．22x y--C ．222x xy y-+-D ．22x xy y-+4. 将2m()2a -＋()2m a -分解因式，正确的是（）A ．()2a -()2m m - B ．()()21m a m -+ C ．()()21m a m -- D ．()()21m a m --5. 下列四个选项中，哪一个为多项式28102x x -+的因式？（ ）A ．2x －2B ．2x ＋2C ．4x ＋1D ．4x ＋2 6. 若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）A.－15B.－2C.8D.2 7. 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是（）A ．2)5(b a - B ．2)5(b a + C ．)23)(23(b a b a +- D ．2)25(b a - 8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（ ）①22a b --； ②2224x y -； ③224x y -； ④()()22m n ---； ⑤22144121a b -+；⑥22122m n -+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二.填空题9.分解因式：()241x x -- ＝________.10.把23x x c ++分解因式得：23x x c ++＝()()12x x ++，则c 的值为________.11．若221x y -=，化简()()20122012x y x y +-＝________．12. 若2330x x +-=，32266x x x +-＝__________. 13.把()()2011201222-+-分解因式后是___________.14.把多项式22ax ax a --分解因式，下列结果正确的是_________.15. 当10x =，9y =时，代数式22x y -的值是________.16.把2221x y y ---分解因式结果正确的是_____________. 三.解答题 17.分解因式：（1）234()12()x x y x y ---； （2）2292416a ab b -+； （3）21840ma ma m --.18. 已知10a b +=，6ab =，求：（1）22a b +的值；（2）32232a b a b ab -+的值． 19.已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式()5x +，且17m n +=，试求m 、n 的值．20. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成()()219x x --，另一位同学因看错了常数项而分解成()()224x x --，请将原多项式分解因式．【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】A ；【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式. 2. 【答案】A ；【解析】()244a a a a -=-. 3. 【答案】C ；【解析】A ．不能分解；B ．2222()x y x y --=-+，不能分解；C ．()2222x xy y x y -+-=--，故能够分解；D ．不能分解．4. 【答案】C ； 【解析】2m()2a -＋()2m a -＝2m ()2a -()2m a --＝()()21m a m --．5. 【答案】A ；【解析】将28102x x -+进行分解因式得出()()281024122x x x x -+=--，进而得出答案即可．6. 【答案】D ；【解析】2(3)(5)28x x x x -+=+-. 7. 【答案】A【解析】2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-＝()()()22325a b a b a b -++=-⎡⎤⎣⎦.8. 【答案】D ；【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解. 二.填空题9. 【答案】()22x -；【解析】()()22241442x x x x x --=-+=-.10.【答案】2；【解析】()()21232x x x x ++=++.11.【答案】1； 【解析】()()()()()201220122012201222201211x y x y x y x y x y+-=+-=-==⎡⎤⎣⎦.12.【答案】0；【解析】()3222662362360x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=. 13.【答案】20112； 【解析】()()()()()201120122011201120112221222-+-=--=--=.14.【答案】()()21a x x -+；【解析】22ax ax a --＝()()2(2)21a x x a x x --=-+.15.【答案】19；【解析】()()()()2210910919x y x y x y -=+-=+-=.16.【答案】()()11x y x y ++--；【解析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．三.解答题 17.【解析】解：（1）234()12()x x y x y ---＝224()[3()]4()(32)x y x x y x y y x ---=--； （2）22292416(34)a ab b a b -+=-；（3）()()()2218401840202ma ma m m a a m a a --=--=-+. 18.【解析】解：∵10a b +=，6ab =，则（1）()2222a b a b ab +=+-＝100－12＝88；（2）()()2322322224a b a b ab ab a ab b ab a b ab ⎡⎤-+=-+=+-⎣⎦＝6×（100－24）＝456． 19.【解析】解：设另一个因式是x a +，则有()()5x x a ++＝()255x a x a +++＝2x mx n ++∴5a m +=，5a n =，这样就得到一个方程组5517a ma nm n +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得2107a n m =⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴m 、n 的值分别是7、10． 20.【解析】解：设原多项式为2ax bx c ++（其中a 、b 、c 均为常数，且abc ≠0）．∵()()()22219210922018x x x x x x --=-+=-+， ∴a ＝2，c ＝18；又∵()()()2222426821216x x x x x x --=-+=-+， ∴b ＝－12．∴原多项式为221218x x -+，将它分解因式，得()()2222121826923x x x x x -+=-+=-．。
因式分解全章分析共21页文档
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30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
因式分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ全章分析
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
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26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
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27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
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28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
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29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
因式分解ppt课件
02
03
04
因式分解的基本概念：定义、 性质、方法等
因式分解的技巧：提公因式、 平方差公式、十字相乘法等
因式分解的应用：代数式化简 、解方程等
Hale Waihona Puke 学习方法：理论学习、练习、 小组讨论等
因式分解的应用与重要性
01
02
03
04
代数式化简
利用因式分解简化复杂的代数 式，提高计算效率
解方程
通过因式分解将方程转化为多 个简单方程，便于求解
因式分解的作用
有助于理解方程的解 法
可以用于解决一些数 学问题，如求根、解 方程等
可以将一个复杂的多 项式简化成易于理解 的形式
课程目标和学习方法
掌握因式分解的基本方法 学习如何将一个多项式分解成几个整式的乘积
通过练习，达到能够快速、准确地完成因式分解的目标
02
因式分解的基本概念
整式和因式的定义
分解6a4b3+18a3b2+12a2b
首先，我们可以发现6a4b3和18a3b2可以组合成一项，得到(6a4b3+18a3b2)，接着观察多项式，我 们可以发现12a2b可以单独列出来，所以原多项式可以分解为(6a4b3+18a3b2)+12a2b。
应用题中的例子
在一个水池设计中，需要将一个圆形的水池分割成若干个小 的区域，这时候就需要使用到因式分解的方法，将圆形水池 的面积分解成若干个小的面积之和，这样就可以更加方便地 进行设计和规划。
掌握因式分解的方法
因式分解的方法有很多种，初学者可能难以掌握。解决办 法是加强对方法的学习，可以通过大量的练习来掌握。
解决因式分解的问题
因式分解的问题可能比较复杂，初学者可能难以解决。解 决办法是加强对问题的分析，学会拆解问题，找出合适的 解决方法。
因式分解教材分析
第一章《因式分解》教材分析一、教材的地位和作用初中数学中,因式分解是最常用最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中.《数学课程标准》虽然降低了因式分解的特殊技巧的要求，也对因式分解常用的四种方法减少为二种，但丝毫没有否定因式分解的教育价值及其在代数运算中的重要作用。
在第二章的《分式》学习中,处处有因式分解的存在, 不论是在约分、通分以及分式的各种运算,都需要进行因式分解才能解答.学生如果不能正确地进行多项式的因式分解,那将在分式学习中举步维艰,无从下手.在解一元二次或高次方程、方程组、不等式中，因式分解是一种重要的解法；在研究代数式、三角式的恒等变形中，分解因式是主要手段之一；在数的计算中，因式分解也是进行简便计算的一种常用技巧。
因此因式分解是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解的方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用,也是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体.二、《新课程标准》的要求能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
三、本章学习目标1. 通过探索因式分解的过程，比较和整式乘法的联系与区别，体会逆向思维方法和转化的数学思想。
2. 了解因式分解的意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式法分解因式。
3. 会用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）。
4. 通过对平方差公式、完全平方公式的逆向变形及将一个整式看做“元”进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、猜想等能力，进一步体会换元思想，提高处理数学问题的技能。
四、本章编写特点及教学建议本章共有三节内容第一节《因式分解》，利用993-99例子突出与因数分解的类比，体会因式分解的必要性；帮助学生理解a3-a的分解，在这一活动过程中学生可以进一步体会字母表示数，我们要给学生足够的时间进行观察、思考，引导学生运用类比的方法进行思考。
(完整版)因式分解题型分类解析
因式分解一、因式分解的概念：因式分解(分解因式）：把一个多项式化为几个整式（ )的形式。
二、因式分解的方法：1、提公因式法：（1）公因式的构成一般情况下有三部分:①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式。
（3)注意：①提取完公因式后,看另一个因式的项数与原多项式的项数是否一致，可用来检验是否漏项；②提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底"；③如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。
2、公式法：运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式:①平方差公式: a2－b2＝②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝a2－2ab＋b2＝3、十字相乘法：x2+（a+b）x+ab=特点：(1）二次项系数是1；（2)常数项是两个数的乘积；(3）一次项系数是常数项的两因数的和。
一、按知识点：题型一： 概念的理解：例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是？请说出理由.（1）、()ay ax y x a +=+ （2)、()()()1121222-+++=-++y y y x x y xy x (3)、)3)(3(92-+=-x x a a ax （4）、222)1(12xx x x +=++ (5）、a a a a ••=223题型二: 提公因式法:例2、（1)1+++b a ab （2）、m m m 2616423-+-（3）)3(2)3(a a m -+- (4）32)(2)(6b a a b a ---题型三： 完全平方公式：例4、（1）49142+-a （2)412---m m（3)22)()(2c b c b a a ++++ （4）22363y xy x -+-题型四： 平方差公式：例3、下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ）①22b a -- ②2242b a - ③422--y x ④1922+-b a ⑤22)()(x y y x -+- ⑥14-x题型五:十字相乘法：（4）36152+-a a (5）542-+x x (6)22-+x x二、按解题技巧:技巧一 :符号变换例：(m+n ）(x-y)+(m-n)(y —x ） 分解因式:-a 2-2ab-b 2技巧二 ：系数变换例：分解因式 4x 2—12xy+9y 2分解因式221439xy y x ++技巧三 ：指数变换例：分解因式x 4—y 4 分解因式 a 4-2a 4b 4+b 4技巧四： 展开变换例：a （a+2）+b(b+2)+2ab 分解因式x(x-1)-y(y-1)技巧五 ：添项变换技巧六 :分组分解法（1)分组后能直接提公因式：例:分解因式：bn bm an am +++ 分解因式bx by ay ax -+-5102(2)分组后能直接运用公式：例：分解因式:ay ax y x ++-22 分解因式：2222c b ab a -+-因式分解在计算中的应用：计算212122+-++-++-+656543432222…+201020092010200920092008200920082222+-++-应用扩展：因式分解在解方程与等式变换中的应用:解方程0)2753)(3555()2653)(3555(=++-++x x x x因式分解题型总结：题型一：求未知数1. 若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____.2.若23(2)(5)x x a x x ++=-+则a =_____。
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
因式分解方法总结分析 八年级中级数学课件(1)1-1
通过数学教学培养学生的发散性思维的必要性在于发散性思维的特性和数学的本质所在。发散性思维是指从同一源材料探求不同答案、从不同的方面寻求答案的思维过程，它富于联想、思路宽广， 善于分解组合和引申推广，从不同的角度寻求解决问题的各种可能的途径。有很大的变通性和独创性，而数学教学的主要任务就是培养学生的数学思维：数学思维的最高层次就是创造性思维，培养学生 数学的创造性思维的一个很重要的环节就是加强学生数学的发散性思维的训练。长期以来，数学教学以集中思维为主要的思维方式，学生习惯于按照书上写的与教师的方式去思考问题，用符合常规的思 路和方法解决问题，这对于基础知识基本技能的掌握是必要的，但对于数学兴趣的激发、智力能力的发展是不够的。因此，但对于数学中教师要有意识地培养学生的发散性思维。
赞可夫说过：“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西，是很容易从记忆中挥发掉的。”发散思维的形成是以乐于求异的心理倾向作为一种重要内驱办的。教师要善于选择具体题例，创设问题情境，例 如：一条水渠，甲单独修要8 天完成，乙Байду номын сангаас独修要6天完成，现在甲先修了4天，剩下让乙修，乙还要几天完成？教师本来用意是用方程来解答，可学生都能按照小学思路作出(15fbe3fc07057c_html_54120dbd8ccc1b78.gif ×4)÷5fbe3fc07057c_html_479be657d99409d6.gif 、6×（1-5fbe3fc07057c_html_22c4c0215f03843c.gif ×4）、6-5fbe3fc07057c_html_89564ed7300e5be0.gif ×4÷5fbe3fc07057c_html_90f5b45e4c9687c5.gif 解答。对于学生在思维过程中时不时出现的求异因素要及时给予肯定和热情表扬，并记上优分以资鼓励使学生真切体验到自己求异成果的价值，反馈出更 大程度的求异积极性，对于学生欲寻异解而不能时，则要细心、点拔、潜心诱导，帮助他们获得成功，让他们在对于问题的多解的艰苦追求并且获得成功中，备享思维发散这一创造性思维活动的乐趣, 使学生渐渐生成自觉的求异意识,并日渐发展为稳定的心理倾向,在面临具体问题时,就会能动地作出”还有另解吗?“试试看,再从另一角度分析一下!”的求异思考。