4-1、正弦交流电路
电工技术第四章正弦交流电路习题解答
tωAi /A222032πtAi /A 2032π6πA102i 1i 第四章 正弦交流电路［练习与思考]4—1-1 在某电路中,()A t i 60 314sin 2220-=⑴指出它的幅值、有效值、周期、频率、角频率及初相位，并画出波形图。
⑵如果i 的参考方向选的相反,写出它的三角函数式，画出波形图，并问⑴中各项有无改变？ 解：⑴ 幅值 A I m 2220有效值 A I 220=频率 3145022f Hz ωππ===周期 10.02T s f==角频率 314/rad s ω=题解图4。
01初相位 s rad /3πψ-=波形图如题解图4.01所示 (2） 如果i 的参考方向选的相反, 则At i ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32 314sin 2220π，初相位改变了，s rad /32πψ=其他项不变。
波形图如题解图 4.02所示。
题解图4。
024—1-2已知A)120314sin(101 -=t i ，A )30314sin(202+=t i⑴它们的相位差等于多少？⑵画出1i 和2i 的波形。
并在相位上比较1i 和2i 谁超前，谁滞后。
解：⑴ 二者频率相同，它们的相位差︒-=︒-︒-=-=1503012021i i ψψϕ+1+1（2）在相位上2i 超前,1i 滞后。
波形图如题解图4.03所示。
题解图4。
03 4—2—1 写出下列正弦电压的相量V )45(sin 2201 -=t u ω，)V 45314(sin 1002 +=t u 解：V U ︒-∠=•4521101 V U ︒∠=•4525024-2-2 已知正弦电流)A60(sin 81 +=t i ω和)A 30(sin 62 -=t i ω，试用复数计算电流21i i i +=,并画出相量图.解：由题目得到A j j j j I I I m m m ︒∠=+=-++=︒-︒+︒+︒=︒-∠+︒∠=+=•••1.231093.32.9)32.5()93.64()30sin 630cos 6()60sin 860cos 8(30660821 所以正弦电流为)A 1.23(sin 101 +=t i ω题解图4.04 相量图如题解图4.04所示。
正弦交流电路
二单元正弦交流电路引言正弦交流电的产生：正弦交流电路:含有正弦电源而且电路各部分所产生的电压和电流均按正弦规律变化的电路。
因为交流电可以利用变压器方便地改变电压、便于输送、分配和使用。
所以，在生产和生活中普遍应用正弦交流电。
着重讨论和分析交流电路的基本概念、基本规律和基本分析方法。
随时间按正弦规律变化的交流电压、电流、电动势称为正弦电压、电流、电动势。
正弦量：正弦电压、电流、电动势统称为正弦量。
Riab)sin(m i t I i ψω+=规定电流参考方向如图：iωtiψ正半周：电流实际方向与参考方向相同负半周：电流实际方向与参考方向相反+-最大值角频率初相角正弦量的三要素课题1正弦交流电的基本概念一、正弦量的三要素表达式：波形：用带有下标m 的大写字母表示:I m 、U m 、E m有效值：一个交流电流的做功能力相当于某一数值的直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交流电流的有效值。
用大写字母表示：I 、U 、 E1. 最大值描述正弦量变化范围的参数。
tiＴ最大值I m⎰=Tdti TI 021正弦量最大值与有效值的关系EE m 2=II m 2=UU m 2=2. 角频率ω描述正弦量变化快慢的参数。
单位：rad/s周期(T ): 变化一个循环所需要的时间，单位(s)。
频率( f ): 单位时间内的周期数单位(Hz)。
三者间的关系示为：=2π/T =2πfωTωt 2ππtiＴT/2我国和大多数国家采用50Hz 作为电力工业标准频率(简称工频)，少数国家采用60Hz 。
iωt)sin(i m t I i ψω+=iψt =0 时的相位角称为初相角或初相位。
i ψ同频率正弦量的相位角之差，用ϕ表示。
二、相位差：180±取值范围：相位差可反映同频率正弦量超前滞后关系。
180±相位差的取值范围：3. 初相iψ影响初相得因素：项前负号（±180°）Cos （90 °）)sin(1m ψtωU u +=如：)()(21ψωψωϕ+-+=t t 21ψψ-=若21>-=ψψϕ电压超前电流ϕ或电流滞后电压ϕuiu iϕωtO)2ψ+=t ωI i sin(m电流超前电压︒-=-=9021ψψϕ︒90电压与电流同相021=-=ψψϕ电流超前电压ϕ021<-=ψψϕ电压与电流反相︒=-=18021ψψϕu iωt ui ϕOu iωtui 90°O u i ωtui Oωtui u i O一、复数1. 复数的表示形式A = a + j b1）代数形式：为虚数单位1j -=ϕcos A a =ϕsin A b =22ba A +=ab=ϕtan aAb+1+jϕA实部虚部ϕA A =2）极坐标形式：模幅角2. 两种形式的互换代数极坐标代数极坐标课题2正弦量的相量表示法3. 复数运算（熟记公式）111j b a A +=222j b a A +=1）加减运算（用代数形式）：则()()212121j b b a a A A ±+±=±设则222ϕA A =111ϕA A =212121ϕϕ+=⋅A A A A 212121ϕϕ-=A A A A 设2）乘除运算（用极坐标形式）：1A 2A 3A 321A A A ++思考如何用作图的方法得到复数的差？3）复数的相等111j b a A +=222j b a A +=21a a =如果21b b =则21A A =222ϕA A =111ϕA A =如果21A A =21ϕϕ=则21A A =4. 旋转因子（模为1，辐角为的复数）ϕ一个复数乘以ϕj e等于把其逆时针旋转角。
第4章 正弦交流电
i = I m sin(ωt + ϕ i )
u、 i
0
t
3
正弦交流电路分析中仍然使用参考方向, 正弦交流电路分析中仍然使用参考方向,当实际方向 与参考方向一致时，正弦量大于零；反之小于零。 与参考方向一致时，正弦量大于零；反之小于零。
i
u
R
i
实际方向和参考方向一致
t
实际方向和参考方向相反
用小写字母表 示交流瞬时值
ωt
22
3.相量表示法 3.相量表示法
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量 旋转矢量在纵轴上 概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上 的投影值来表示。 投影值来表示。 来表示
u = U m sin (ω t + ϕ )
Um
ωϕ
ϕ
矢量长度 =
ωt
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
在t = 0时刻，矢量以角速度ω按逆时针方向旋转
19
复数的加减可以在复平面上用平行四边形来进行。 复数的加减可以在复平面上用平行四边形来进行。前 面例题的相量图见下面左图，右图是另一种画法。 面例题的相量图见下面左图，右图是另一种画法。右图的 画法更为简捷，当有多个相量相加减时会显得很方便。 画法更为简捷，当有多个相量相加减时会显得很方便。 +j A1+ A2 A1+ A2 A2 A1 O +1 O A1 +1 A2
= r (cos ϕ + j sin ϕ )
复数的指数形式 复数的指数形式： 指数形式： 复数的极坐标形式 复数的极坐标形式： 极坐标形式：
A = re
jϕ
A = r∠ϕ
实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用 实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数 共轭复数。 A*表示A的共轭复数，则有 表示A的共轭复数， A=a+jb +jb A*=a-jb
正弦交流电电路稳态分析
(t ) (t )
1
2
1
2
（4-9）
ψ1﹥ψ2，φ﹥0，称电压u比电流i超前φ角，或i
比u滞后φ 角。
当两同频正弦量的相位差φ=00时，我们称它们 同相，当φ=1800时，称反相。图4.2中，u超前i 角度ψ1-ψ2。
注意，不同频率的两个正弦量不能进行相位比 较。
练习.判断如图4-1-1（a)（b)（c)（d）中 i1 与i2哪两个正弦量同相、超前、正交、反相?
两个频率相同的正弦量的相位角之差或初 相位之差，称相位差。
同频率正弦量的相位差
u U m sin(t 1) i Im sin(t 2 )
同一正弦交流电路中，电压u和电流i 的频 率是相同的，但初相位不一定相同。如图 4.2所示，
图4.2 不同相位的电压电流信号
同频率正弦量的相位差
它们的初相位分别为ψ1和ψ2。它们的相位差为
特别地，复数 e j 的模为1，辐角为。把一个复
数乘以 e j 就相当于把此复数对应的矢量反时针方
向旋转 角。
2 正弦量的相量表示
设有一复数 A(t) Ae j(t) 它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且 辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为
由于
A(t) Ae j(t) Ae je jt Aejt A(t) Ae j(t) A cos(t ) j A sin(t )
一般所讲的正弦电流或电压的大小，均是指有效值。例如交流电压 380V或220V都是指电压的有效值，其最大值分别为 537V、311V。交 流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值。
3．初相位
在正弦电流4-1式及图4.1中，ωt +ψ称相位 角，简称相位。当t=0 时的相位角即ψ称为 初相角或初相位。初相位ψ值决定了计时时 刻的角度，初相位不同，正弦量的初始值 不同；当ψ=0时，初始值为零。
《电工技术基础与仿真(Multisim 10)》项目4单相正弦交流电路分析
p
ui
Im
sin tU m
sin(t
2
)
U m I m cos t sin t
UI sin 2t
在电感元件的交流电路中，没有任何能量消耗，只 有电源与电感元件之间的能量交换，其能量交换的 规模用无功功率Q来衡量，它的大小等于瞬时功率 的幅值。
QL UI I 2 X L
4.2.3 纯电容电路
将开关K1闭合，K2和K3断开，分别按给定的频 率值调节信号源的频率，每次在信号发生器中设 置好频率后，打开仿真开关，双击万用表符号， 得到测量数据，
任务3 相量法分析正弦交流电路
4.3.1 RLC串联电路 1．RLC串联电路电压电流关系 (1)瞬时关系 由于电路是串联的，所以流过R、L、C三元
件的电流完全相同
1 Z1
1 Z2
（2）复阻抗并联的分流关系
I1
U Z1
I
Z Z1
I
Z2 Z1 Z2
U
I2
I Z1 Z1 Z2
I I1 I2 Z1 Z2
a）
I
U
Z
b)
4.3.3 功率因数的提高
1．提高功率因数的意义 功率因数愈大，所损耗的功率也就愈小，
输电效率也就愈高。 负载的功率因数 愈高，发电机可提供的有
1．电压与电流的关系 线性电容元件在图所示的关联方向的条件下
iC
C duc dt
i +
u
C
_
i C duc dt
C dUm sin t
dt
U mC cost
U
mC
s
in(t
2
)
据此，可得出电容元件电压与电流关系的结论：
2.正弦交流电路
解： I = 100∠30o A = 100e j30° A
•
= 100(cos 30° + j sin 30°)A = 86.6 + j 50 A
U = 220∠ − 60 o V = 220e - j60°V = 220(cos 60° − j sin 60°)V = 110 − j190.5V
= i = I m sin (ω t + ϕ ) = I m e
？
jϕ
= Im ϕ
②只有正弦量才能用相量表示， 只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。 非正弦量不能用相量表示。 ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 同频率的正弦量才能画在同一相量图上
& ⋅ A = A e jθ1 ⋅ A e jθ2 = A A e j (θ1 +θ2 )= A A ∠θ +θ A1 &2 1 2 1 2 1 2 1 2
乘法：模相乘， 乘法：模相乘，角相加
| A1 | ∠ θ1 | A1 | e jθ1 | A1 | j( θ1−θ 2 ) | A1 | = = = e = • jθ 2 | A2 | | A2 | A 2 | A2 | ∠ θ 2 | A2 | e A1
ϕ = ϕu − ϕi
ϕ
3 ϕ =− π 4
应有ϕ ≤180 °
ϕu
ϕi
ϕ > 0, u 超前 i ϕ 角度 ϕ = 0 ，u 与 i 同相位 ϕ < 0, 则 u 滞后 i 一个ϕ角 π ϕ =± ， 则说 u 与 i 正交
ϕ =π ， 则说 u 与 i 反相
2
特殊相位关系： 特殊相位关系：
第4章 正弦交流电路
——元件上电压和电流的关系；元件的功率
4.4.2电阻、电感、电容串联电路
1.RLC串联电路 2. RL串联电路
4.4.3电阻、电感、电容并联电路
课后小计：
4．4 电阻、电感、电容电路
案例4.2 各种加工机械，如车床、铣床、刨床、磨床及大型加工机械 （龙门铣床、龙门刨床）等，应用最多的是电机类负载。交流异步电动机 的等效电路如图4.12所示。电路中的f1侧为定子侧，f2侧为转子侧，r1、r2 和X1、X2分别为定子侧和转子侧的等效电阻和电感。从电路中可见，交流 异步电动机属于电感性负载，而且不是简单的电阻与电感相串联的负载。 因此分析电动机时就要按照它的等效电路模型，利用交流电路计算的方法 进行分析计算。
二、新授：4.2正弦量的相量表示
4.2.1复数
4.2.2复数的运算
4.2.3相量
1.相量法的定义 2. 正弦量的相量表示 3.例题分析
4.2.3电路基本定律的相量形式
1.基尔霍夫电流定律的相量形式
2.基尔霍夫电压定律的相量形式
课后小计：
4．2正弦量的相量表示
4．2．1复数
1．复数的实部、虚部和模
叫1虚单位，数学上用i来代表它，因为在电工中i代表电流，所以
即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。
复数与复平面上的有向线段（矢 量）对应，复数的加减与表示复数 的有向线段（矢量）的加减相对应， 并且复平面上矢量的加减可用对应 的复数相加减来计算。
图4.6 矢量和与矢量差
4.2.2 复 数 的 运 算
2．复数的乘除
两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。
2．正弦量的向量表达式
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量，并在大 写字母上打“●”表示。
正弦交流电路定义 -回复
正弦交流电路定义-回复什么是正弦交流电路？正弦交流电路是指由正弦波形的电压或电流组成的电路系统。
正弦波形是一种周期性变化的波形，具有均匀而连续的变化特点，可以描述许多实际电源和负载所产生的电压和电流。
在正弦交流电路中，电压和电流的大小会随着时间的推移而不断变化，但其变化满足正弦函数的规律。
正弦函数是一种典型的周期函数，其图像呈现出一种重复模式，具有相同的幅值和频率。
正弦交流电路由多个元素组成，包括电源、负载以及连接电源和负载的导线。
电源可以是交流电源或直流电源，而负载可以是电阻、电感、电容或他们的组合。
在正弦交流电路中，电压和电流的变化遵循欧姆定律、基尔霍夫定律和电容、电感的特性等。
欧姆定律描述了电压、电流和电阻之间的关系，表明它们成正比关系；基尔霍夫定律描述了电流在闭合电路中的分配和电压在闭合电路中的合成；电容和电感则分别描述了电压和电流随时间的变化规律。
正弦交流电路在实际应用中具有广泛的用途。
例如，在家庭中，我们常常使用交流电路来为各种电器设备供电，如电视机、冰箱、空调等。
在工业生产中，正弦交流电路也是不可或缺的部分，被用于各种电机、照明设备、变压器、电子器件等的驱动和控制。
为了更好地分析和设计正弦交流电路，我们可以使用交流电路理论和相关工具。
交流电路理论包括复数分析法、相频特性、幅频特性、相频特性等方法和概念，可以帮助我们理解电压和电流在正弦交流电路中的行为。
此外，计算机软件也可以提供模拟和仿真工具，以帮助我们更好地理解和优化正弦交流电路的性能。
总而言之，正弦交流电路是由正弦波形的电压或电流组成的电路系统，具有周期性变化的特点。
它在日常生活和工业生产中广泛应用，通过交流电路理论和相关工具的应用，我们可以更好地分析和设计正弦交流电路。
4正弦交流电路
−1
θ
Re 0 a
a = r cos θ b = r sin θ
r = a +b θ = arctg b a
2 2
②三角形式
A = r cos θ + jr sin θ
欧拉公式） e = cos θ + jsin θ（欧拉公式） jθ A = re = r cos θ + jr sin θ
jθ
③指数形式
u
波形图
U
T
m
ϕ
ωt
瞬时值
u = U m sin (ω t + ϕ )
& U
相量图
ϕu
复数 符号法
& = a + jb =U e jϕ ⇒ U ∠ϕ U
提示
计算相量的相位角时， 计算相量的相位角时，要注意所在 象限。 象限。如：
& U = 3 + j4
u = 5 2 sin(ω t + 53 ⋅1 )
两种正弦信号的关系
同 相 位
i2
ψ1 =ψ 2
ψ2 ψ1
i2
i1 i1
t
t
ϕ =ψ1 −ψ2 =0
i1
与
相 位 领 先 相 位 落 后
ϕ =ψ1 −ψ 2 > 0
i2同相位
ψ1 ψ2
i1
ψ2
ψ1
i1 领先于 i2
ϕ =ψ1 −ψ2 < 0
i2
t
i1 落后于 i2
三相交流电路：三种电压初相位各差120 三相交流电路：三种电压初相位各差120ο。
新问题提出： 新问题提出： 提出 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 故引入相量的复数运算法。 故引入相量的复数运算法。 相量的复数运算法 相量 复数表示法 复数运算
正弦交流电路-详解
275.已知一正弦信号源的电压幅值为10 mV，初相位为30°，频率为1 000 Hz，则电 压瞬时值表达式为__D____。
A．u(t) 10 2 sin(314t 30)mV B． u(t) 10sin(314t 30) mV
C． u(t) 10 2 sin(2000 t 30) mV D．u(t) 10sin(2000 t 30) mV
i
初相位：
初相位等于t =0 时的相位角）， O
ωt
是观察正弦波的起点。（又称相位）
初相位等于 0 的正弦量称为参考正弦量
相位差 ：
如：u Umsin( ω t ψ1 ) i Imsin( ω t ψ2 )
则相位差 ： ( t 1 ) ( t 2 )
ψ1 ψ2
两个同频率正旋量相位差等于初相位之差。
282.如图所示，某正弦电流波形图，其瞬时值表达式为__B____。
i 10 2 sin(314 t 90) i 10sin(314t 90) i 10sin(314t 90) i 10sin(31.4t 90)
301.正常情况下用电压表测的电压值是______；而设备名牌上的电压值是__C____。 A．最大值/最大值 B．有效值/最大值 C．有效值/有效值 D．最大值/有效值
令：XL ωL 2πfL 称为感抗
90
③相位关系 ：u 超前 i 90度
ψu ψi 90
感抗的说明：
XL 2 π fL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路
交流：f
XL
电感L具有通直阻交的作用
XL ω L 2 π f L 感抗XL是频率的函数
XL和I与f的关系图示：
I , XL
ωt
正弦交流电路
幅值（最大值）、有效值：表示正弦量的大小 周期、频率、角频率：表示正弦量的变化速度 初相位：给出观察正弦量的起始点
目录
正弦交流电的基本概念 正弦量的向量表示法 单一参数的交流电路 RLC串联交流电路 阻抗的串并联
正弦量的相量表示法
●瞬时值表达式（三角函数表达式）
●波形图
i 2I sin(wt )
例
u1 4 2 sin wt 60
u2 3 2 sin wt 30
U2
ua u1 u2 ub u1 u2
U a U1 U 2 523
ua 5 2 sin wt 23
U b U1 U 2 597
ub 5 2 sin wt 97
Ub
5
U1
4
Ua
97 o
U
U
有效值相量图
用符号: I U E 表示。
包含大小与相位信息。
例
i1 8 2 sin wt 60 i2 6 2 sin wt 30
I1 860o A I2 6 30o A
相量式
有效值
I1 8
60 o
30 o
6
I2
初相位
相量图
正弦量的相量表示法
●同频率正弦量的运算
加减运算用相量图—平行四边形法则
有向线段表示正弦量 有向线段不等于正弦量
ω
u Um sinw t
Um
wt
正弦量的相量表示法
相量用复平面的有向线段表示，其长度（相量的模）表示正弦量的有效值；其与横轴 的夹角（相量的幅角）表示正弦量的初相位。
直角坐标式：
U a jb U cos j sin
指数式：
U Ue j
极坐标式：
电工学--正弦交流电1
三、相位、初相位、相位差(表示变化进程) 相位、初相位、相位差(表示变化进程)
时的相位，称为初相位角 初相位角或 ： ϕ t = 0 时的相位，称为初相位角或初相位。 i
i = 2 I sin (ω t + ϕ ) ：正弦量的相位角或相位 （ωt + ϕ） 正弦量的相位角或相位
ωt
U I
效值
当 i = I m sin
(ω t +ϕ )时， 可得
Im I = 2
瞬时值i可写为： 瞬时值 可写为： 可写为
i = 2I sin (ω t + ϕ )
可得
同理: 同理
u = Um sin (ω t + ϕ )
U = m U 2
瞬时值u可写为： 瞬时值 可写为： 可写为
u = 2U sin (ω t +ϕ )
南京航空航天大学
正弦量的相量表示法
ω
u = U m sin(ω t + ϕ )
Um
ϕ
ωt
ϕ
矢量长度 =
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
ϕ
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
南京航空航天大学
正弦量的相量表示法
ω
u = U m sin(ω t + ϕ )
Um
ϕ
ωt
ϕ
正弦量在某时刻的瞬时值可以由旋转有向线段在该瞬 时在纵轴上的投影值来表示。 时在纵轴上的投影值来表示。 正弦量可用旋转有向线段表示， 正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段可用 复数表示，所以正弦量可用复数表示。 复数表示，所以正弦量可用复数表示。
南京航空航天大学
问题与讨论
的电器， 若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于 220V 的线路上? ~ 220V
《电工学》教案02正弦交流电路
7. 掌握三相四线制供电系统中单相及三相负载的正确联接方法，理解中线的作用；
8. 掌握对称三相电路电压、电流及功率的计算。
2.1 正弦电压与电流
1. 正弦电流及其三要素
随时间按正弦规律变化的电流称为正弦电流，同样地有正弦电压等。这些按正弦规律变
化的物理量统称为正弦量。
设图 2.1 中通过元件的电流 i 是正弦电流，其参考方向如图所示。正弦电流的一般表达
式为：
i (t)= I m sin(ωt+ψ)
图 2.1 电路元件
图 2.2 正弦电流波形图
它表示电流 i 是时间 t 的正弦函数，不同的时间有不同的量值，称为瞬时值，用小写字
母表示。电流 i 的时间函数曲线如图 2.2 所示，称为波形图。
I m 为正弦电流的最大值（幅值），即正弦量的振幅，用大写字母加下标 m 表示正弦量 的最大值，例如 I m 、U m 、 Em 等,它反映了正弦量变化的幅度。( t +ψ)随时间变化，称
少角度或时间，以角度表示时为ψ1-ψ2，若以时间表示，则为(ψ1-ψ2)/ω。如果两个正弦 电流的相位差为 12 = ，则称这两个正弦量为反相。如果 12 = 2 ，则称这两个正弦量为正
交。
图 2.4 正弦量的相位关系
3. 有效值
周期电流 i 流过电阻 R 在一个周期所产生的能量与直流电流 I 流过电阻 R 在时间 T 内所
从以上分析可知：
（1） 电感两端的电压与电流同频率；
（2） 电感两端的电压在相位上超前电流 90°；
（3） 电感两端的电压与电流有效值(或最大值)之比为 L。
令
X L = L =2 f L
X L 称为感抗，它用来表示电感元件对电流阻碍作用的一个物理量。它与角频率成正比。
第4章 正弦交流电路
b
同频正弦量的乘除法运算与复数运算相同，而 且在线性电路当中，运算后的频率是不会改变的。
§4.3 电阻、电感、电容元件的交流电路
一、电阻元件的交流电路
iR 2I Rsin( t i ) uR R 2I Rsin( t i )
2U Rsin( t u )
时域下的电阻模型
由于直流电在电阻上做功大小为 I2RT ,于是根据定义有：
I RT i Rdt R Im 2 sin 2 tdt
2 2 0 0
T
T
即： I 2 RT RIm 2
T
0
1 cos 2t RTIm 2 dt 2 2
得
Im I 0.707 Im 2
结果说明正弦电流的有效值等于最大值的0.707倍。同理， 正弦电压的有效值为：
U 1 U 1 u1 U 2 U 2 u 2
b
U b U b ub
k 1
则对应于 u1 (t ) u2 (t ) ub (t ) uk (t )
有
U1 U 2 U b U k
k 1
b
同理设 i1 (t ) 2 I 1 sin( t i 1 ) i 2 (t ) 2 I 2 sin( t i 2 ) i b (t ) 2 I b sin( t ib )
复数A的实部a1及虚部a2与模a及辐角θ的关系为：
a1 a cos
其中
a2 a sin
a2 arctg a1
a
2 a1
2 a2
1.复数的表示形式:
根据上式关系式及欧拉公式
+j a2 O
正弦交流电路课件
d
真空（空气）介电常数： 0 8.86 1012 F / m
介质相对介电常数：
r
0
28
电工电子技术与应用
主题4 正弦交流电路
§4-2单相正弦交流电路的分析
※纯电容交流电路分析
二、电容器的电容量
3.电容器的标注
（1）直标法：主要用在体积较大的电容器上，标注 的内容有多有少。一般情况下，标称容量、额定电压 及允许偏差这3项参数大都标出，
※三相负载的连接
1
电工电子技术与应用
主题4 正弦交流电路
§4-1 正弦交流电的基本物理量
※正弦交流电的产生
一、电源的种类
2
电工电子技术与应用
主题4 正弦交流电路
§4-1 正弦交流电的基本物理量
※正弦交流电的产生
二、正弦交流电的产生 当线圈在匀强磁场中旋转时，导线切割磁感线，产生感应
电动势，该电动势按照正弦规律变化。。
※纯电容交流电路分析
一、认识电容器 1.电容器的结构与类型 （2）类型
按材料分类
21
电工电子技术与应用
主题4 正弦交流电路
§4-2单相正弦交流电路的分析
※纯电容交流电路分析
一、认识电容器 1.电容器的结构与类型
固定电容器
22
电工电子技术与应用
主题4 正弦交流电路
§4-2单相正弦交流电路的分析
※纯电容交流电路分析
7
电工电子技术与应用
主题4 正弦交流电路
§4-1 正弦交流电的基本物理量
※正弦交流电的表示方法
一、解析式表示法 用正弦函数的数学表达式来表示正弦交流电的方法称为解析式
表示法。 如正弦电压： u 14.14sin(100 t )V
正弦交流电路
2. 平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值
i
P=UI
=I2R=i U2/2RI
sint
Uu =IRR
u 2U sint
P1 Tpd t1Tuidt
T0
T0
大写 1 T 2UIsin2t dt
T0
1
T
UI(1cos2t)dtUI
T0
§ 3.4 理想电感元件上的正弦稳态响应
一、电压电流关系
即：瞬时值和相量满足基尔霍夫定律，有效值不满足
I1I2I30
I1
I3
I1-I2+I3= 0
I2
U 3
U 4
U 2 U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 0 U 1
U 5
U 6
例： i162si nt (3)0
i282si nt (6)0
求i=i1+i2
i
解： I 1 6 3 0 5 .1 9 j3 6
Im[Ime ji e jt ]
复指数函数中的一个复常数
复常数定义为正弦量的相量，记
为
Im
相量 的表示
Im 为“最大值”相量
Im Im eji Im i
I 为“有效值”相量 IIeji Ii
相量是一个复数
注意
1）相量可以代表一个正弦量，但不等于该
正弦量。
U 50ej15° 50
2
sin(
实部是余弦量 虚部是正弦量
则 I[ m Im e j( t i)] Im sitn ( i)
正弦量可以用上述形式复数函数描述
I[ m Im e j( t i)] Im sitn ( i)
正弦量可以用上述形式复数函数描述
电工基础5.1 正弦交流电的基本概念
u Um cos(t 60) 当t=0时，所以 u(0) Um cos(60)
（１） Im 为电流i的振幅 （２）Ｕｍ为电压u的振幅 3.周期，频率和角频率 （1）周期
正弦量变化一次所用的时间称为周期，用T表 示单位为秒（s）。
（2）频率
正弦量单位时间内变化的周期数称为频率。用f表 示，单位为赫兹（Hz）. ①周期与频率的关系 f 1 T
②频率的单位
1kHZ 103 HZ
按能量等效的概念定义，以电流为例。设两个相同
电阻R，分别通过正弦电流 i 和直流电流I。
1 有效值
（1）正弦电流 I 通过R在一个周期T里消耗的能量为
Q1 T pdt T i2Rdt R T i2dt
0
0
0
（2）直流电I通过R在相同时间T内产生的能量为
Q2 PT I 2RT
图4-3 例4-1图
解:(1)有波形图可知，T 16ms
2
T
2
16103
125rad / s
f
1 T
16
1 103
62.5HZ
或
2f 2 62.5 125rad / s
由波形图可知，从时间起点到离原点最近的波
形最大值所需的时间为2ms。则初相
随时间按正弦规律变化的交流电流或电压称为 正弦电流或电压。 （2）正弦量
正弦电压、电流统称为正弦量或正弦交流电
二 正弦量的三要素
1.正弦电流i Im cos(t i )
Im ， 和 i分别称为振幅，角频率和
初相位。此三个量称为正弦量的三要素。波形 如图4-2所示。
2. 振幅
正弦量在一个周期内的最大值称为振幅。用 Am 表示
电工技术第四章 正弦交流电路习题解答
tωi /A222032πtωi /A 2032π6πA102i 1i 第四章 正弦交流电路[练习与思考]4-1-1 在某电路中，()A t i 60 314sin 2220-=⑴指出它的幅值、有效值、周期、频率、角频率及初相位，并画出波形图。
⑵如果i 的参考方向选的相反，写出它的三角函数式，画出波形图，并问⑴中各项有无改变？ 解：⑴ 幅值 A I m 2220有效值 A I 220= 频率 3145022f Hz ωππ===周期 10.02T s f== 角频率 314/rad s ω=题解图4.01 初相位 s rad /3πψ-=波形图如题解图4.01所示(2) 如果i 的参考方向选的相反, 则A t i ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32 314sin 2220π，初相位改变了，s r a d /32πψ=其他项不变。
波形图如题解图4.02所示。
题解图4.024-1-2 已知A )120314sin(101 -=t i ，A )30314sin(202 +=t i ⑴它们的相位差等于多少？⑵画出1i 和2i 的波形。
并在相位上比较1i 和2i 谁超前，谁滞后。
解：⑴ 二者频率相同，它们的相位差︒-=︒-︒-=-=1503012021i i ψψϕ (2)在相位上2i 超前，1i 滞后。
波形图如题解图4.03所示。
题解图4.03+1+j1m I ∙2m I ∙mI ∙︒60︒30︒1.234-2-1 写出下列正弦电压的相量V )45(sin 2201 -=t u ω，)V 45314(sin 1002 +=t u解：V U ︒-∠=∙4521101 V U︒∠=∙4525024-2-2已知正弦电流)A 60(sin 81 +=t i ω和)A 30(sin 62 -=t i ω，试用复数计算电流21i i i +=，并画出相量图。
解：由题目得到Aj j j j I I I m m m ︒∠=+=-++=︒-︒+︒+︒=︒-∠+︒∠=+=∙∙∙1.231093.32.9)32.5()93.64()30sin 630cos 6()60sin 860cos 8(30660821所以正弦电流为)A 1.23(sin 101 +=t i ω题解图4.04 相量图如题解图4.04所示。
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(1-1)
教学目标： 1、了解单相正弦交流电的产生 过程，掌握交流电的波形图。 2、理解频率、角频率、周期、 最大值、有效值、相位与相位 差之间的关系。
教学重难点： 1、正弦量的三种表示方法 2、掌握频率、角频率、周期、 最大值、有效值、相位与相位 差之间的关系。
教学过程
2A
310V
0 45
u
i
t
90
(1-20)
2A
u/V,i/A
u i
解： (1)最大值：
310V
0 45
Um=310V Im=2A 45 90 (2) u i
t
(3) u i 45 (90 ) 135
90
电压超前电流1350 ，即3π/4 (4) T 1 1 0.02( s ) f 50 3 3 4 t T 0.02 7.5(ms) 2 8
4、当
u i
时，
即： 0
i
u i
u i 180
u i
时
u
说明电压滞后电流 角 说明电压与电流反相
正弦函数表达式 例1: 已知：
有效值：
i I m sin t i
i sin 1000 t 30
Im 1 I 0.707A 2 2
i 2I sin t i
时的相位，称为初相位或初相角。
：正弦波的相位角或相位 （t i）
i： t = 0
i
t
说明： i 给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
(1-11)
i
计时起点不同，初相角值不同
i
0
i
t
0
t
i
0
i 0
i
i
0 i 180
t
i
0
t
180 i 0
i 180
两个同频率正弦量间的相位差( 初相差)
i1
2
i2
t
1
i1 I m1 sin t 1
i2 I m 2 sin t 2
t 2 t 1 2 1
(1-13)
两种正弦信号的相位关系
同 相 位
i2
2 1
i1
i2
t
i1
1 2
相 位 超 前 相 位 滞 后
1 2 0
领先于 i 2 i t 1
1 2
i1
1 2 0
i2
2
1
t
i1 落后于 i2
(1-14)
u U m sin t u
u 100sin(6280 t 30 ) i 10sin(6280 t 60 ) u i 30 60 90
结论: 说明电压滞后电流90°
因角频率（）不变，所以以后讨论同频率正弦 波时， 可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。
小 结
单位：秒，毫..
单位：赫兹，千赫兹 .. 单位：弧度/秒
1 f T
2 2 f T
(1-8)ຫໍສະໝຸດ 小常识* 电网频率： 中国 50 Hz
美国 、日本 60 Hz * 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率： 30 KHz - 3×104 MHz
(1-9)
正弦波 特征量之一 -- 幅度
1、随时间按正弦规律周期性变化的电压和电流统称为 正弦电量，或称为正弦交流电。
2、最大值、角频率和初相位是确定一个正弦量的三要素 （1）最大值反映正弦量的变化范围 （2）角频率反映正弦量变化的快慢 （3）初相反映正弦量在计时起点的状态
3、两个同频率正弦量的初相位之差称为相位差，相位差 是不随计时起点而变化的
A
频率：
1000 rad/s 1000 f 159 Hz 2 2
初相位：
i 30
例2 100V
10 A
30 60
i
u
在一交流电路中，电压、电流 波形如图所示
t
已知：
6280 rad / s
写出u、i的瞬时值表达式 计算u、i之间的相位差
解：确定三要素
4、在热效应方面与交流电等效的直流值称为交流电的有效 值，正弦量的有效值是最大值的0.707倍
(1-19)
课间作业
3-1 已知正弦电压和正弦电流的波形图如图书3-1所 示，频率为50HZ，试指出它们的最大值、初相位以 及二者之间的相位差，并说明哪个正弦量超前？超 前多少度？超前多少时间？（P93页） u/V,i/A
最大值
电量名称必须大写, 下标加 m。如：
i I m sin t i
I m 为正弦电流的最大值
Um、Im、Em
在工程应用中常用有效值 I 表示幅度 常用交流电表指示的电压、电流读数是被测 物理量的有效值，民用电220V标准电压也是指
供电电压的有效值。
(1-10)
正弦波 特征量之三 -- 初相位
复习旧知
1、在生产和生活的各个领域中所用的电能， 一般是直流电还是交流电？
2、由于交流电在生产和生活的各个领域中
广泛使用，所以我们要努力学好交流电，才
能服务于社会
(1-4)
新课导入
讨论正弦交流电的重要性（与直流电相比较）
1、易于产生和使用：交流电机比直流电机结构简单、制造 方便、运行可靠
2、易于输送和分配：正弦交流电可以方便地通过变压器进 行远距离输送和分配 3、易于变换：正弦交流电不但可以用变压器变换电压， 而且可以通过整流器获得需要的直流电
交流电路与直流电路的比较
1、相同点：两种电路的计算分析方法的基本规则是一致的 2、不同点：在交流电路中除了要考虑耗能元件R外，还要 考虑储能元件电容C和电感L的作用。
§3.1 正弦交流电的基本概念
正弦交流电路
所谓正弦交流电路，是指含有正弦电源而且电路
各部分的电压和电流均按正弦规律变化的电路。
正弦交流电的方向
电压电流相位差：
1、当
i I m sin t i
2、当
u i
时，
即： 0
i
u i
即： 0
u
u i
时，
u
i
0
说明电压电流同相位
0
说明电压超前电流 角
u U m sin t u
电压电流相位差：
3、当
i I m sin t i
(1-21)
课后作业
3-2 某正弦电流的频率为20HZ， 有效值为 5
2 A ，在t=0时，电流
的瞬时值为5A，且此时刻电流在
增加，求该电流的瞬时值表达式。 （P93页本章习题3-2）
(1-22)
本节课结束
(1-23)
i
+ u R
u,i
+
实际方向和假设方向一致
-
t
实际方向和假设方向相反
(1-6)
i
Im
2
T
o
I m
T 2
t
正弦电动势
正弦量: 正弦电压
正弦电流 频率（或周期、角频率）
正弦量的三要素： 幅值（或有效值） 或特征量 初相位
(1-7)
正弦波 特征量之一 -- 频率
i
t
T
描述变化周期的几种方法
1. 周期 T： 变化一周所需的时间 2. 频率 f： 每秒变化的次数 3. 角频率 ω ： 每秒变化的弧度