2014东莞二模文数
东莞市2014届高三模拟(一)数学文
P ABCD 1图东莞市2014届高三文科数学模拟试题(一)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|560A x x x =--<，{}|2B x x =<，则()R A C B ⋂=（ ）A ．()1,2-B ．[)1,2-C ．()2,6D ．[)2,62. 已知回归直线的斜率的估计值是1.2，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程是（ ） A ． 1.24y x ∧=+ B ． 1.25y x ∧=+ C ． 1.20.2y x ∧=+ D ．0.95 1.2y x ∧=+ 3．已知)2 , 1(-=，52||=，且//，则=A ．)4 , 2(-B ．)4 , 2(-C ．)4 , 2(-或)4 , 2(-D ．)8 , 4(-4．a 、R b ∈，“b a ≠”是“ab b a 222>+”成立的 A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件5．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ） A ．48 B ．56 C ．64 D ．726．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．4B ．8C ．11D ．137．已知函数()sin()32mf x x π=+-在[]0,π上有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．2⎡⎤⎣⎦ B ．)C ．⎤⎦D ．2⎤⎦8．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ，若,,AB C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）ABCD 9．已知(2,1)A ，(1,2)B -，31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，动点(,)P a b 满足02OP OA ≤⋅≤ 且02OP OB ≤⋅≤ ，则点P到点C 的距离大于14的概率为（ ）A ．5164π-B ．564πC ．116π-D ．16π10．设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈都有'()()f x f x >成立，则（ ） A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B. 3(ln 2)2(ln3)f f =C. 3(ln 2)2(ln3)f f <D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定二、填空题：（本大共4小题,每小题5分,满分30分 ） （一）必做题（11-13题） 11．在复平面内，复数103ii-对应的点的坐标为___________． 12．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是 …（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5413．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第．．1．层．），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．（1） 试问第n 层()2n N n *∈≥且的点数为___________个；（2） 如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有_____层． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程）已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为1cos =θρ，)20,0(cos 4πθρθρ<≤≥=则曲线1C 与2C 交点的极坐标．．．为 ．15.（几何证明选讲选做题）如图，已知PC 、DA 为⊙O 的切线，C 、A 分别为切点，AB 为⊙O 的直径，21,2==DP CD DA ，则=AB ． 三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）设函数()f x m n =⋅，其中向量()2cos ,1m x = ，()cos 2n x x = ，x R ∈．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知()2,1f A b ==，ABC ∆，求c 的值．频率/组h)17. （本小题满分12分）对某电子元件进行寿命追踪调查，所得情况如右频率分布直方图.（1）图中纵坐标0y 处刻度不清，根据图表所提供的数据还原0y ；（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取20个元件，寿命为100~300之间的应抽取几个；（3）从（2）中抽出的寿命落在100~300之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个寿命为100~200，一个寿命为200~300”的概率.18. （本小题满分14分）如图，已知四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，且1,2,2,45,90===︒=∠︒=∠PA AB CB ABC DAB .（1）求证：//AB 平面PCD ； （2）求证：⊥BC 平面PAC ；（3）若M 是PC 的中点，求三棱锥MAD C -的体积.已知数列{}n a 中，)(3,1*11N n a a a a n nn ∈+==+. （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足n n n n a n b ⋅⋅-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式12)1(-+<-n n nn T λ对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围.20．（本小题满分14分）（1）已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N1=（O 为坐标原点），F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=⋅PN M F ，求点P 的 轨迹方程.（2）如图，已知椭圆14:22=+y x C 的上、下顶点分别为B A 、，点P 在椭圆上，且异于点B A 、，直线BP AP 、与直线2:-=y l 分别交 于点N M 、，（ⅰ）设直线BP AP 、的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅为定值； （ⅱ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）． （1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设0a >，问是否存在0(1,)3a x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．东莞市2014届高三文科数学模拟试题(一)参考答案11．()1,3- 12．550 13．(1)()61n - （3分） (2)8（2分） 14. )3,2(π15. 34. 三、解答题（本大题共6小题，满分80分。
高三复习高中数学三角函数基础过关习题(有答案)
2015年高三复习高中数学三角函数基础过关习题一．选择题（共15小题）5．（2014•宝鸡二模）函数y=2sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．πC．2πD．6．（2014•宁波二模）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣7．（2014•邯郸二模）已知函数f（x）=2sin（x+φ），且f（0）=1，f'（0）＜0，则函数图象的一条对称轴的方程为（）A．x=0 B．x=C．x=D．x=8．（2014•上海模拟）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的一条对称轴是（）A．B．C．x=πD．x=1．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π2．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π3．（2014•香洲区模拟）函数是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数4．（2014•浙江模拟）函数f（x）=sin（2x+）（x∈R）的最小正周期为（）A．B．4πC．2πD．π9．（2014•云南模拟）为了得到函数y=sin x的图象，只需把函数y=sinx图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变10．（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定11．（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．12．（2013•天津模拟）将函数y=cos（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式是（）A．y=cos（﹣）B．y=cos（2x﹣）C．y=sin2x D．y=cos（﹣）13．（2013•安庆三模）将函数f（x）=sin（2x）的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）=cos2x B．g（x）=﹣cos2x C．g（x）=sin2x D．g（x）=sin（2x+）14．（2013•泰安一模）在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．3C．D．715．（2012•杭州一模）已知函数，下面四个结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）的图象是由y=2cos2x的图象向左平移个单位得到D．函数是奇函数二．解答题（共15小题）18．（2014•长安区三模）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．19．（2014•诸暨市模拟）A、B是直线图象的两个相邻交点，且．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若的面积为，求a的值．16．（2015•重庆一模）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（x）＜m在上恒成立，求实数m的取值范围．17．（2014•东莞二模）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅲ）若，α是第二象限的角，求sin2α．20．（2014•广安一模）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=3，若向量=（sinA，﹣1）与向量=（2，sinB）垂直，求a，b的值．21．（2014•张掖三模）已知f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．（Ⅰ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．22．（2014•漳州三模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，若向量=（1，sinA），=（2，sinB），且∥．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求角A的大小及△ABC的面积．23．（2013•青岛一模）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足，函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减．（Ⅰ）证明：b+c=2a；（Ⅱ）若，证明：△ABC为等边三角形．24．（2012•南昌模拟）已知函数．（1）若f（α）=5，求tanα的值；（2）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求f（x）在（0，B]上的值域．25．（2012•河北区一模）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知成等差数列，且=9，求a的值．26．（2012•韶关一模）已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．27．（2012•杭州一模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、对称轴方程及单调区间；（Ⅱ）现保持纵坐标不变，把f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h（x）；（ⅰ）求h（x）的解析式；（ⅱ）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，h（A）=，c=2，试求△ABC的面积．28．（2011•辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．29．（2011•合肥二模）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位后，得到的图象与函数g（x）=sin2x的图象重合．（1）写出函数y=f（x）的图象的一条对称轴方程；（2）若A为三角形的内角，且f（A）=•，求g（）的值．30．（2011•河池模拟）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m=（sinB，1﹣cosB）与向量n=（2，0）的夹角为，求的最大值．2015年高三复习高中数学三角函数基础过关习题（有答案）参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．2．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π，故选：B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．3．（2014•香洲区模拟）函数是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简函数，然后直接求出周期，和奇偶性，确定选项．解答：解：因为：=2cos2x，所以函数是偶函数，周期为：π故选B．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，考查计算能力，是基础题．4．（2014•浙江模拟）函数f（x）=sin（2x+）（x∈R）的最小正周期为（）A．B．4πC．2πD．π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，求得结果．解答：解：函数f（x）=sin（2x+）（x∈R）的最小正周期为T==π，故选：D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．5．（2014•宝鸡二模）函数y=2sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．πC．2πD．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，得出结论．解答：解：函数y=2sin（2x+）的最小正周期为T==π，故选：B．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．6．（2014•宁波二模）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x﹣），利用正弦函数的对称性即可求得答案．解答：解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x ﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题．7．（2014•邯郸二模）已知函数f（x）=2sin（x+φ），且f（0）=1，f'（0）＜0，则函数图象的一条对称轴的方程为（）A．x=0 B．x=C．x=D．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得2sinφ=1，且2cosφ＜0，可取φ=，可得函数f（x）的解析式，从而得到函数的解析式，再根据z余弦函数的图象的对称性得出结论．解答：解：∵函数f（x）=2sin（x+φ），且f（0）=1，f'（0）＜0，∴2sinφ=1，且2cosφ＜0，∴可取φ=，函数f（x）=2sin（x+）．∴函数=2sin（x+）=2cosx，故函数图象的对称轴的方程为x=kπ，k∈z．结合所给的选项，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的导数，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．8．（2014•上海模拟）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的一条对称轴是（）A．B．C．x=πD．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得得函数图象对应的函数解析式为y=cosx，再利用余弦函数的图象的对称性求得所得函数图象的一条对称轴方程．解答：解：将函数的图象向左平移个单位，可得函数y=cos[2（x+）﹣]=cos2x的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象对应的函数解析式为y=cosx，故所得函数的对称轴方程为x=kπ，k∈z，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．（2014•云南模拟）为了得到函数y=sin x的图象，只需把函数y=sinx图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：把函数y=sinx图象上所有的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，可得函数y=sin x的图象，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．解答：解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．点评：本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．11．（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．解答：解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．点评：本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．12．（2013•天津模拟）将函数y=cos（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式是（）A．y=cos（﹣）B．y=cos（2x﹣）C．y=sin2x D．y=cos（﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：将函数y=cos（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=cos（x﹣）的图象再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式是y=cos[（x+）﹣]=cos（x﹣），故选：D．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．13．（2013•安庆三模）将函数f（x）=sin（2x）的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）=cos2x B．g（x）=﹣cos2x C．g（x）=sin2x D．g（x）=sin（2x+）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：直接利用平移原则，左加右减上加下减，化简求解即可．解答：解：将函数f（x）=sin（2x）的图象向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，g（x）的解析式：g（x）=cos2x，故选A．点评：本题考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．以及诱导公式的应用．14．（2013•泰安一模）在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．3C．D．7考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由△ABC的面积S△ABC=，求出AC=1，由余弦定理可得BC，计算可得答案．解答：解：∵S△ABC==×AB×ACsin60°=×2×AC×，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，故选A．点评：本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出AC，是解题的关键．15．（2012•杭州一模）已知函数，下面四个结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）的图象是由y=2cos2x的图象向左平移个单位得到D．函数是奇函数考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性；余弦函数的对称性．专题：计算题．分析：由f（x）=2cos（2x+）可求得周期T=π，从而可判断A的正误；将代入f（x）=2cos（2x+）可得f（）的值，看是否为最大值或最小值，即可判断B的正误；y=2cos2x的图象向左平移个单位得到y=2cos2（x+）=2cos（2x+），显然C不对；f（x+）=2cos（2x+）=﹣2sinx，可判断D的正误．解答：解：∵f（x）=2cos（2x+），故周期T=π，可排除A；将代入f（x）=2cos（2x+）可得：f（）=2cos=0≠±2，故可排除B；y=2cos2x的图象向左平移个单位得到y=2cos2（x+）=2cos（2x+），故可排除C；f（x+）=2cos（2x+）=﹣2sinx，显然为奇函数，故D正确．故选D．点评：本题考查余弦函数的奇偶性与对称性及其周期的求法，关键是熟练掌握三角函数的性质，易错点在于函数图象的平移变换的判断，属于中档题．二．解答题（共15小题）16．（2015•重庆一模）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（x）＜m在上恒成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数的最值；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值，可得实数m的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=cosx（sinx+cosx ）﹣•+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴函数的最小正周期为．（2）∵，∴，∴．∵f（x）＜m在上恒成立，∴．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于基础题．17．（2014•东莞二模）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅲ）若，α是第二象限的角，求sin2α．考点：正弦函数的定义域和值域；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：常规题型；计算题．分析：（Ⅰ）将代入已知函数关系式计算即可；（Ⅱ）利用辅助角公式将f（x）化为f（x）=2sin（2x+）即可求f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅲ）由f（）=2sinα=，可求得sinα，α是第二象限的角，可求得cosα=，利用正弦函数的二倍角公式即可求得sin2α．解答：解：（Ⅰ）f（）=sin（2×）+cos（2×）=×﹣×=0；（Ⅱ）∵f（x）=2（sin2x+cos2x）=2（cos sin2x+sin cos2x）=2sin（2x+）．∴f（x）的最大值为2，最小正周期T==π；（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）=2sin（2x+），∴f（）=2sinα=，即sinα=，又α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2××（﹣）=﹣．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查同角三角函数间的基本关系，考查正弦函数的性质及应用，利用辅助角公式求得f（x）=2sin（2x+）是关键，属于中档题．，18．（2014•长安区三模）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．考点：正弦函数的单调性；余弦定理．分析：（Ⅰ）函数f（x）展开后，利用两角和的咨询公司化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间．（Ⅱ）利用f（A）=，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）因为===所以函数f（x）的单调递增区间是〔〕（k∈Z）（Ⅱ）因为f（A）=，所以又0＜A＜π所以从而故A=在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=∴1=b2+c2﹣2bccosA，即1=4﹣3bc．故bc=1从而S△ABC=点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，单调增区间的求法，余弦定理的应用，考查计算能力，注意A 的求法，容易出错．常考题型．19．（2014•诸暨市模拟）A、B是直线图象的两个相邻交点，且．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若的面积为，求a的值．考点：余弦定理的应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：（I）利用二倍角公式，两角差的正弦公式，化简函数f（x）的解析式为﹣sin（ωx﹣），根据周期，解得ω的值．（II）由f（A）=﹣，求得sin（2A﹣）=，结合A的范围求得A的值，再根据三角形的面积求出边b 的值，利用余弦定理求出a的值．解答：解：（I）．由函数的图象及，得到函数的周期，解得ω=2．（II）∵，∴．又∵△ABC是锐角三角形，，∴，即．由，由余弦定理，得，即．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，两角差的正弦公式，正弦函数的周期性，根据三角函数的值求角，求出A的大小，是解题的关键．20．（2014•广安一模）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=3，若向量=（sinA，﹣1）与向量=（2，sinB）垂直，求a，b的值．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：（I）利用二倍角公式即公式化简f（x）；利用三角函数的周期公式求出周期；令整体角在正弦的递增区间上求出x的范围即为递增区间．（II）先求出角C，利用向量垂直的充要条件列出方程得到边a，b的关系；利用余弦定理得到a，b，c的关系，求出a，b．解答：解：（Ⅰ）∵（2分）令，∴函数f（x）的单调递增区间为，（4分）（Ⅱ）由题意可知，，∴，∵0＜C＜π，∴（舍）或（6分）∵垂直，∴2sinA﹣sinB=0，即2a=b（8分）∵②（10分）由①②解得，a=1，b=2．（12分）点评：本题考查三角函数的二倍角公式、考查三角函数的公式、考查求三角函数的性质常用的方法是整体角处理的方法、考查三角形中的余弦定理．21．（2014•张掖三模）已知f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．（Ⅰ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．考点：三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：综合题．分析：先利用二倍角公式的变形形式及辅助角公式把函数化简为y=2sin（ωx+）﹣1，根据周期公式可求ω，进而求f（x）（I）由x的范围求出的范围，结合正弦函数的图象及性质可求（II）由及f（C）=1可得，，结合已知C的范围可求C 及A+B，代入2sin2B=cosB+cos（A﹣C），整理可得关于sinA的方程，解方程可得解答：解：==依题意函数f（x）的最小正周期为3π，即，解得，所以（Ⅰ）由得，所以，当时，（Ⅱ）由及f（C）=1，得而，所以，解得在Rt△ABC中，，2sin2B=cosB+cos（A﹣C）2cos2A﹣sinA﹣sinA=0，∴sin2A+sinA﹣1=0，解得∵0＜sinA＜1，点评：以三角形为载体，综合考查了二倍角公式的变形形式，辅助角公式在三角函数化简中的应用，考查了三角函数的性质（周期、单调区间、最值取得的条件）时常把ωx+φ作为一个整体．22．（2014•漳州三模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，若向量=（1，sinA），=（2，sinB），且∥．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求角A的大小及△ABC的面积．考点：解三角形；平面向量共线（平行）的坐标表示．分析：（Ⅰ）通过向量平行，求出A，B的关系式，利用正弦定理求出b的值，通过余弦定理求出c的值；（Ⅱ）直接利用正弦定理求出A的正弦函数值，然后求角A的大小，结合C的值确定A的值，利用三角形的面积公式直接求解△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）∵=（1，sinA），=（2，sinB），，∴sinB﹣2sinA=0，由正弦定理可知b=2a=2，又∵c2=a2+b2﹣2abcosC，，所以c2=（）2+（2）2﹣2cos=9，∴c=3；（Ⅱ）由，得，∴sinA=，A=或，又C=，∴A=，所以△ABC的面积S===．点评：本题是中档题，考查正弦定理与余弦定理的应用，注意向量的平行条件的应用，考查计算能力．23．（2013•青岛一模）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足，函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减．（Ⅰ）证明：b+c=2a；（Ⅱ）若，证明：△ABC为等边三角形．考点：余弦定理的应用；三角函数恒等式的证明；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）通过已知表达式，去分母化简，利用两角和与差的三角函数，化简表达式通过正弦定理直接推出b+c=2a；（Ⅱ）利用函数的周期求出ω，通过，求出的值，利用余弦定理说明三角形是正三角形，即可．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA﹣cosBsinA﹣cosCsinA∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinAsin（A+B）+sin（A+C）=2sinA…（3分）sinC+sinB=2sinA…（5分）所以b+c=2a…（6分）（Ⅱ）由题意知：由题意知：，解得：，…（8分）因为，A∈（0，π），所以…（9分）由余弦定理知：…（10分）所以b2+c2﹣a2=bc因为b+c=2a，所以，即：b2+c2﹣2bc=0所以b=c…（11分）又，所以△ABC为等边三角形．…（12分）点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．24．（2012•南昌模拟）已知函数．（1）若f（α）=5，求tanα的值；（2）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求f（x）在（0，B]上的值域．考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数的恒等变换及化简求值；解三角形．专题：计算题．分析：（1）把f（α）=5代入整理可得，，利用二倍角公式化简可求tanα（2）由，利用余弦定理可得，，即，再由正弦定理化简可求B，对函数化简可得f（x）=2sin（2x+）+4，由可求．解答：解：（1）由f（α）=5，得．∴．∴，即，∴．（5分）（2）由，即，得，则，又∵B为三角形内角，∴，（8分）又==（10分）由，则，故5≤f（x）≤6，即值域是[5，6]．（12分）点评：本题主要考查了利用正弦及余弦定理解三角形，辅助角公式的应用，及正弦函数性质等知识的简单综合的运用，属于中档试题．25．（2012•河北区一模）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知成等差数列，且=9，求a的值．考点：正弦函数的单调性；数列与三角函数的综合；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（I）利用两角和差的三角公式化简f（x）的解析式，得到sin（2x+），由2kπ﹣≤（2x+）≤2kπ+，解出x的范围，即得f（x）的单调递增区间．（II）在△ABC中，由，可得sin（2A+）值，可求得A，用余弦定理求得a 值．解答：解：（I）f（x）==sin2x+cos2x=sin（2x+）．令2kπ﹣≤（2x+）≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z．即f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（II）在△ABC中，由，可得sin（2A+）=，∵＜2A+＜2π+，∴＜2A+=或，∴A=（或A=0 舍去）．∵b，a，c成等差数列可得2b=a+c，∵=9，∴bccosA=9．由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣3bc=18，∴a=3．点评：本题考查等差数列的性质，正弦函数的单调性，两角和差的三角公式、余弦定理的应用，化简函数的解析式是解题的突破口．26．（2012•韶关一模）已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2ωx+），由此求得f（）的值．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出函数f（x）的单调递增区间．由2x+=kπ+求得x的值，从而得到f（x）图象的对称轴方程．解答：解：（1）函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），因为f（x）最小正周期为π，所以=π，解得ω=1，所以f（x）=2sin（2x+），f（）=2sin=1．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．由2x+=kπ+可得x=kπ+，k∈z．所以，f（x）图象的对称轴方程为x=kπ+，k∈z．…（12分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题．27．（2012•杭州一模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、对称轴方程及单调区间；（Ⅱ）现保持纵坐标不变，把f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h（x）；（ⅰ）求h（x）的解析式；（ⅱ）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，h（A）=，c=2，试求△ABC的面积．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：（I）利用二倍角的三角函数公式降次，再用辅助角公式合并得f（x）=sin（2x+）﹣，再结合函数y=Asin （ωx+φ）的图象与性质的有关公式，可得f（x）的最小正周期、对称轴方程及单调区间；（II）（i）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的公式，不难得到h（x）的解析式为h（x）=sin（x+）﹣；（ii）根据h（A）的值结合三角形内角的范围和特殊三角函数的值，求得A=，再由结合正弦定理，讨论得三角形是等腰三角形或是直角三角形，最后在两种情况下分别解此三角形，再结合面积公式可求出△ABC的面积．解答：解：（I）∵f（x）==sin2x﹣=sin2xcos+cos2xsin﹣，∴f（x）=sin（2x+）﹣，f（x）的最小正周期为T==π．令2x+=+kπ，得x=+kπ，k∈Z，所以函数图象的对称轴方程为：x=+kπ，（k∈Z）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解之得﹣+kπ≤x≤+kπ，所以函数的单调增区间为[﹣，+kπ]，（k∈Z）同理可得，函数的单调减区间为[+kπ，+kπ]，（k∈Z）（II）∵保持纵坐标不变，把f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h（x）∴h（x）=f（x）=sin（x+）﹣，（i）h（x）的解析式为h（x）=sin（x+）﹣；（ii）∵h（A）=sin（A+）﹣=，∴sin（A+）=，结合A∈（0，π）得A=∵=∴sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=①当A=B时，因为c=2，A=，所以△ABC是边长为2的等边三角形，因此，△ABC的面积S=×22=．②当A+B=时，因为c=2，A=，所以△ABC是斜边为2的直角三角形∴a=csinA=2×=，b=ccosA=2×=1因此，△ABC的面积S=××1=．综上所述，得△ABC的面积是或．点评：本题综合了三角恒变换、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、利用正余弦定理解三角形等知识，对三角函数的知识进行了综合考查，是一道中档题．28．（2011•辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．考点：解三角形．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先由正弦定理把题设等式中边转化成角的正弦，化简整理求得sinB和sinA的关系式，进而求得a和b的关系．（Ⅱ）把题设等式代入余弦定理中求得cosB的表达式，把（Ⅰ）中a和b的关系代入求得cosB的值，进而求得B．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA∴sinB=sinA，=（Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2，可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45°点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．29．（2011•合肥二模）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位后，得到的图象与函数g（x）=sin2x的图象重合．（1）写出函数y=f（x）的图象的一条对称轴方程；（2）若A为三角形的内角，且f（A）=•，求g（）的值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：（1）由题意可知将函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍即可得的到f（x）的图象可得f（x）=sin（x﹣），令可求答案．（2）由f（A）=可得，sin（A﹣=结合已知0＜A＜π，且0＜sin（A﹣=可得从而可求得cos（A﹣）=而=代入可求答案．解答：解：（1）由题意可知将函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍即可得的到f（x）的图象，∴f（x）=sin（x﹣）由得∴（2）由f（A）=可得，sin（A﹣=∵0＜A＜π，且0＜sin（A﹣=。
广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案
东莞市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高二文科数学（B 卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A ．()2,0B ．()0,2C ．()1,0D ．()0,1 2、若函数()y f x '=在区间()12,x x 内是单调递减函数，则函数()y f x =在区间()12,x x 内的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．3、数列{}n a 的通项为21n a n =-，n *∈N ，其前n 项和为n S ，则使48n S >成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．104、若方程22131x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1k < B ．13k << C ．3k > D ．1k <或3k > 5、已知命题:p n ∃∈N ，104n n+<，则p ⌝为（ ） A ．n ∃∈N ，104n n +< B ．n ∀∈N ，104n n+> C ．n ∃∈N ，104n n +≤ D ．n ∀∈N ，104n n+≥6、在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a =b =45A =，则B =（ ）A ．60B ．30C ．60或120D ．30或1507、数列{}n a 的通项公式()11n a n n =+，已知它的前n 项和56n S =，则项数n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 8、若实数a ，b 满足22a b +=，则39a b +的最小值是（ ）A ．6B ．12C ．D ．9、已知sin 60a =，cos60b =，A 是a 、b 的等差中项，正数G 是a 、b 的等比中项，那么a 、b 、A 、G 的从小到大的顺序关系是（ ）A ．G b a <A << B ．G b a <<<A C ．G b a <<A < D ．G b a <<A < 10、已知()()201f x x xf '=--，则()2014f 的值为（ ）A ．20122014⨯B ．20132014⨯C ．20132015⨯D ．20142016⨯二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 11、函数()2lg 12y x x =+-的定义域是 ．（用集合表示）12、已知()338f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线斜率为 ． 13、已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则4a = ． 14、已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆于A ，B 两点，且2F ∆AB 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15、（本小题满分12分）如果不等式20x mx n ++≤的解集为[]1,4A =，[]1,a a B =-．()1求实数m ，n 的值；()2设:p x ∈A ，:q x ∈B ，若q 是p 的充分条件，求实数a 的取值范围．16、（本小题满分12分）对于函数()2cos 2xf x =，若C ∆A B 满足()1f A =，C 7B =，sin B =C A 及AB 的长．17、（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 中，22a =，44a =，各项为正数的等比数列{}n b 中，11b =，1237b b b ++=．()1求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； ()2若nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18、（本小题满分14分）北京市周边某工厂生产甲、乙两种产品．一天中，生产一有所限制，每天用煤最多45吨，用水最多50吨．问该厂如何安排生产，才能是日产值最大？最大的产值是多少？19、（本小题满分14分）平面内一动点(),x y M 到定点()F 0,1和到定直线1y =-的距离相等，设M 的轨迹是曲线C ． ()1求曲线C 的方程；()2在曲线C 上找一点P ，使得点P 到直线2y x =-的距离最短，求出P 点的坐标； ()3设直线:l y x m =+，问当实数m 为何值时，直线l 与曲线C 有交点？20、（本小题满分14分）已知函数()22ln 2x f x x a e =-+（其中R a ∈，无理数2.71828e =⋅⋅⋅）．当x e =时，函数()f x 有极大值12．()1求实数a 的值；()2求函数()f x 的单调区间；()3任取1x ，22,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，证明：()()123f x f x -<．东莞市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高二文科数学（B 卷）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题11. {}34x x -<< 12. 9 13．3- 141 三、解答题15．解：（1） 不等式20x mx n ++≤的解集为[1,4]A =1,4∴是方程20x mx n ++=的两个根，……………2分由韦达定理得14m +=-，14n ⨯= ……………4分∴实数,m n 的值分别为5,4- ……………………6分（2） q 是p 的充分条件，∴q p ⇒，即B 是A 的子集， ……………………8分即{114a a -≥≤， …………………11分解得24a ≤≤． 所以实数a 的取值范围为|{a 24a ≤≤．…………12分 16.解：由()1f A =得2cos12A =， 即1cos 22A = ∵A 是ABC ∆的内角， ∴23A π= ∴23A π=……………3分由正弦定理：BACA BC sin sin =……………………6分又∵BC=7,sin B =得sin 5sin BC BAC A⋅=== ……………8分 又∵A AC AB AC AB BC cos 2222⋅⋅-+=，即222175222AB AB =++⋅⨯⨯ ,解得3=AB ……………12分17．解：（1）由已知{}n a 为等差数列，设其公差为d ，首项为1a ，则………1分11234a d a d +=⎧⎨+=⎩. ……………3分 解之得111a d =⎧⎨=⎩∴1(1)1n a n n =+-⨯=……………5分各项为正数的等比数列{}n b 中，公比设为q （0q >）.由11b =，1237b b b ++=得217q q ++=解之得2q =或3q =-（舍去）……………7分 （2）由（1）知n a n =，12n n b -=∴12n n n n a nc b -==……………8分 ∴0121123...2222n n nS -=++++...............① ...............9分 1231123 (22222)n n nS =++++……………② ……………10分 ①－②得：012111111...222222n n n nS -=++++- ……………11分11[1()]21212n n n ⨯-=--222n n +=-……………………………………13分 ∴n S 1242n n-+=-即为所求. ………………………………………14分18．解：设每天生产甲种产品x 吨，乙种产品y 吨． ……………1分 依题意可得线性约束条件5346355000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩……………4分 目标函数为1012z x y =+, ……………5分……………8分 将1012z x y =+变形为5612z y x =-+ 当直线5612z y x =-+在纵轴上的截距12z达到最大值时，……………9分即直线5612zy x =-+经过点M 时，z 也达到最大值. ……………10分由53463550x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得M 点的坐标为(5,7) ……………12分所以当7,5==y x 时，max 510712134z =⨯+⨯= ……………13分因此，该厂每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，才能使该厂日产值最大，最大的产值是134万元. ……………14分19．解：（1）依题意知曲线C 是抛物线，设其为22(0)x py p =>，由定义可得12p=，解得2p =，………2分∴抛物线C 的方程为24x y =.……………3分(2)设点00(,)P x y ，点P 到直线2y x =-的距离为d ，则有2004x y =,由点到直线距离公式得d 7分 ∴当02x =，01y =即(2,1)P 时，点P 到直线2y x =-的距离最短，最短距离为.……………………8分(3)由题意，联立y x m =+和24x y =消去y 并整理得2440x x m --=，………………10分直线与曲线C 有交点∴2(4)160m ∆=-+≥…………12分解之得1m ≥-即为所求. …………14分20．解：（1）由题知221()ln 22e f e e a e =-+=，解得0a =……………2分（2）由题可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，……………3分又22'2221()()()x e x e x e x f x x e e x e x-+-=-== …………5分 由2()()0e x e x e x +->得0x e <<；2()()0e x e x e x+-<得x e >；…………7分故函数()f x 单调增区间为(0,)e ，单调减区间为(,)e +∞……………8分（3）因为22()ln 2x f x x e=-，由（1）知函数()f x 的单调减区间为(,)e +∞，故()f x 在2[,]e e 上单调递减，………………9分∴2max 211()()ln 1222e f x f e e e ==-=-=；4222min 2()()ln 222e e f x f e e e ==-=-；………………10分∴max min ()()f x f x -=2213(2)222e e ---=max min ()()f x f x ∴-2332e -=<………① …………11分依题意任取212,[,]x x e e ∈，欲证明12()()3f x f x -<，只需要证明max min ()()f x f x -3<，…………13分由①可知此式成立，所以原命题得证. …………14分。
广东省东莞市2013-2014学年高二上学期期末考试数学文(A)试题(WORD版)
东莞市2013—2014学年度第一学期期末教学质量检查高二文科数学（A 卷）考生注意：本卷共三大题，20小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确. ）1.设d c b a >>,，则下列不等式一定正确的是（ ） A. d b c a +>+ B. bd ac > C. dbca > D. dbc a -->2．在ABC ∆中，若ab c b a 2222+=+，则C =（ ）A.030 B.0150 C.045 D.0135 3．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若021=+S S ,则公比q =（ ） A.-1 B.-2 C.1 D.2 4．已知M 是椭圆116292=+y x 上的点，若21F F ，是椭圆的两个焦点，则21MF MF +=（ ）A.6B.8C.18D.32 5.曲线12+-=x y 在点(1,0)处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．01=-+y xD ．01=--y x6．抛物线)0(22>=p px y 上的一点A 的横坐标为2，点A 到抛物线焦点的距离为5，则p 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 7．已知1>x ，则函数14-+=x x y 的最小值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．若双曲线1222=-my x 的离心率为2，则实数m 的值为（ ）A. 32B. 3C. 3D. 6 9．命题1-1:≠≠b a p 或，命题0:≠+b a q ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．设函数)(x f y =在区间),(b a 上的导函数为)(x f '，)(x f '在区间),(b a 上的导函数为)(x f ''，若在区间),(b a 上)(x f ''<0恒成立，则称函数)(x f 在区间),(b a 上为“凸函数”.已知函数2233314121)(x x x x f --=在区间),(b a 上为“凸函数”，则a b -的最大值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．） 11．已知命题,01,:2<-∈∀x R x p 则p ⌝是_________________. 12．已知函数2331)(ax x x f -=在2=x 处有极值，则实数a 的值为_______________13．已知数列}{n a 中，)(,211*+∈+==N n n a a a n n ，则=5a ____________.14．有n 粒球),2(*∈≥N n n ，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求这出两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求这出两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为n S .例如对于4粒球有如下两种分解：)1,1,1,1()2,1,1()3,1()4(→→→，此时61121314=⨯+⨯+⨯=S ；)1,1,1,1()2,1,1()2,2()4(→→→，此时61111224=⨯+⨯+⨯=S ，于是发现4S 为定值，请你研究n S 的规律，归纳n S =_______________.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）已知a 为实数，命题p ：关于x 的方程0-2=+a ax x 有实数根；命题q ：方程1292=+ay x 所表示的曲线为双曲线，若)(q p ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围。
广东省东莞市2014届高三第二次模拟考试文科数学试卷(带解析)
广东省东莞市高2014届三第二次模拟考试文科数学试卷（带解析）1．设集合{}1M x x =>，{}21P x x =>，则下列关系中正确的是（ ） A.MP P = B.M P = C.M P M = D.M P P =【答案】A 【解析】试题分析：由题意知{}()()21,11,P x x =>=-∞-+∞，所以M P ⊆，因此MP P =，M P M =，故选A.考点：集合的包含关系2．复数11i +的虚部是（ ） A.12- B.12 C.12i D.1【答案】A 【解析】 试题分析：()()111111122i i i i i -==-++-，因此，复数11i +的虚部是12-，故选A.考点：1.复数的除法；2.复数的概念3．对于非零向量a 、b ，“//a b ”是“0a b +=”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：取()1,2a =，()2,4b =，则//a b ，且()3,60a b +=≠，所以//0a b a b ⇒+=/，另一方面，0a b +=，则b a =-，a 与b 互为相反向量，则//a b ，所以//0a b a b ⇐+=，所以“//a b ”是“0a b +=”成立的必要不充分条件，故选B. 考点：1.共线向量；2.充分必要条件4．已知函数()y f x =的图象与ln y x =的图象关于直线y x =对称，则()2f =（ ） A.1 B.e C.2e D.()ln 1e -【答案】C 【解析】试题分析：由于函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数log a y x =（0a >且1a ≠）关于直线y x =对称，因此()x f x e =，()22f e ∴=，故选C.考点：反函数的概念5．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为（ ） A.4.84 B.0.8 C.1.6 D.3.2【答案】D 【解析】试题分析：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩的数据分别是82、84、86、86、87，其平均数为x =()18284868687855++++=，因此所剩下的数据的方差为()()()()2222211682858485286858785 3.255s ⎡⎤=-+-+⨯-+-==⎣⎦，故选D.考点：1.茎叶图；2.方差6．已知m 、n 是两条直线，α、β是两个平面，给出下列命题：①若n α⊥，n β⊥，则//αβ；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；③若m 、n 为异面直线，n α⊂，//n β，m β⊂，//m α，则//αβ．其中正确命题的个数（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个【答案】B 【解析】试题分析：如下图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，棱1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，对于命题①，1AA ⊥平面ABCD ，1AA ⊥平面1111A B C D ，则平面//ABCD 平面1111A B C D ，命题①为真命题；对于命题②，1A B 和1A D 的中点E 和F 都在平面2222A B C D 内，但是平面1A BD 与平面2222A B C D 不平行，命题②不正确；对于命题③，BD 与11AC 为异面直线，BD ⊂平面ABCD ，//BD 平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，11//AC 平面ABCD ，则可以在平面2222A B C D 内找到22//B D BD ，2211//A C AC ，于是得到平面//ABCD 平面2222A B C D ，平面1111//A B C D 平面2222A B C D ，所以，平面//ABCD平面1111A B C D ，命题③正确，故选B.D 2C 2B 2A 2D 1C 1B 1A 1F E DC BA考点：空间中点、线、面的位置关系7．已知实数x 、y 满足00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11y x ω-=+的取值范围是（ ）A.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】试题分析：作出不等式组00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩所表示的可行域如下图所示，则11y x ω-=+可视为可行域内的一点(),x y 与点()1,1C -连线之间的斜率，过点C 且与y 轴垂直的直线与线220x y --=上交于点3,12D ⎛⎫⎪⎝⎭，直线220x y --=与x 轴交于点()1,0B ，当过点C 的直线从点D 往向上的区域移动时，倾斜角增大，此时ω从0变化至使得直线过点C 的直线与直线0x y -=近乎平行，此时01ω≤<；当过点C 的直线从点B 到点D 移动时，倾斜角增大，此时ω的值从CB k 变化至0，而011112CO k -==-+，此时102ω-≤≤，综上所述，ω的取值范围是1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故选D. 考点：1.线性规划；2.直线的斜率8．已知双曲线()22210x y a a-=>的右焦点与抛物线28y x =焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）A.y =B.y x =C.y =D.3y x =± 【答案】D 【解析】试题分析：抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，由题意知2221243a a +==⇒=，故双曲线的方程为2213x y -=，因此双曲线的渐近线方程为y x =，故选D. 考点：1.双曲线与抛物线的几何性质；2.双曲线的渐近线 9．若224mn+<，则点(),m n 必在（ ）A.直线20x y +-=的左下方B.直线20x y +-=的右上方C.直线220x y +-=的右上方D.直线220x y +-=的左下方 【答案】A【解析】试题分析：由基本不等式得224222m n mn++>+≥=，即22222m n ++>，因此有222m n ++< 20m n ⇒+-<，因此点(),m n 在直线20x y +-=的左下方，故选A.考点：1.基本不等式；2.线性规划10．如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC =xOA yOB +，则 （ ）A.01x y <+<B.1x y +>C.1x y +<-D.10x y -<+<【答案】C 【解析】试题分析：由于A 、B 、D 三点共线，设AD AB α=，则()O D O A A D O A A B O A O B O Aαα=+=+=+-()1OA OB αα=-+，由于O 、C 、D 三点共线，且点D 在圆内，点C 在圆上，OC 与OD 方向相反，则存在1λ<-，使得()()11OC OD OA OB OA OB xOA yOB λλααλαλα⎡⎤==-+=-+=+⎣⎦，因此()1x λα=-，y λα=，所以1x y λ+=<-，选C.考点：1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示11．已知数列{}n a 是等差数列，31a =，41018a a +=，则首项1a = . 【答案】3-. 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则有3121a a d =+=，()()4101113921218a a a d a d a d +=+++=+=，解得13a =-，2d =.考点：等差数列12．函数339y x x =-+的极小值是 . 【答案】7. 【解析】试题分析：233y x '=-，令0y '=，解得1x =±，列表如下：故函数339y x x =-+在1x =处取得极小值，即313197y =-⨯+=极小值.考点：函数的极值13．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =，3b =，4cos 5B =. 则sin A 的值为 . 【答案】25. 【解析】试题分析：4c o s5B =且0B π<<，所以02B π<<，所以3sin 5B ===，由正弦定理得s i ns i nabA B =，sin 312sin 2535a B Ab ∴==⨯⨯=. 考点：正弦定理14．如图，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心O ，已知6PA =，223AB =，12PO =，则圆O 的半径是__ .【答案】8. 【解析】试题分析：2240633PB PA AB =+=+=，设圆O 的半径为R ，由割线定理得PC PD PA PB ⋅=⋅，即()()222240126803PO R PO R PO R R -+=-=-=⨯=，22128064R ∴=-=，解得8R =.考点：割线定理15．直线3cos 2301sin 230x t y t ⎧=+⎨=-+⎩（t 为参数）的倾斜角是【答案】50. 【解析】试题分析：直线3cos 2301sin 230x t y t ⎧=+⎨=-+⎩的斜率为sin 230tan 230tan 50cos 230k ===，因此该直线的倾斜角为50.考点：1.直线的参数方程；2.直线的斜率16．已知函数()2f x x x =，x R ∈.（1）求38f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最大值和最小正周期；（3）若28f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，α是第二象限的角，求sin 2α.【答案】（1）0；（2）最大值为2，最小正周期为π；（3）. 【解析】试题分析：（1）直接将38x π=代入函数解析式进行计算即可；（2）利用辅助角公式对三角函数()f x 的解析式进行化简，从而利用公式求出函数()h x 的最大值与最小正周期；（3）利用已知条件求出sin α的值，然后利用同角三角函数的基本关系求出cos α的值，最终利用二倍角公式求出sin 2α的值.（1）33322088822f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）()2222cos sin 2sin cos 22sin 2444f x x x x x x πππ⎫⎛⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x ∴的最大值为2，最小正周期为22T ππ==； （3）由（1）知，()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以2sin 28f απα⎛⎫-==⎪⎝⎭，即sin α=，又α是第二象限角，所以cos 4α===-，所以sin 22sin cos 2ααα⎛=== ⎝⎭ 考点：1.辅助角公式；2.三角函数的最值与周期；3.同角三角函数的基本关系；4.二倍角17．（本小题满分12分）一工厂生产甲、乙、丙三种样式的杯子,每种样式均有500ml 和700ml 两种型号，某天的产量如右表（单位：个）：按样式分层抽样的方法在这个月生产的（1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500ml 杯子的概率． 【答案】（1）2500z =；（2）710. 【解析】 试题分析：（1）先求出在丙、乙样式的杯子中所抽取的杯子数目，然后利用分层抽样中每层的入样比相等得到乙样式的杯子的总数，从而求出z 的值；（2）先确定所抽取的样本中500ml 和700ml 杯子各自的数目，并进行编号，利用列举法求出基本事件的总数与问题中涉及的事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出相应事件的概率. （1）设该厂本月生产的乙样式的杯子为n 个，在丙样式的杯子中抽取x 个，由题意得，2550008000x=，所以40x =， 则100402535--=，所以，25355000n=，7000n =，故2500z =； （2）设所抽取样本中有m 个500ml 的杯子，因为分层抽样的方法中在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，所以200050005m=，解得2m =，也就是抽取了2个500ml 杯子，3个700ml 杯子，分别记作1A 、2A 、1B 、2B 、3B ，则从中任取2个的所有的基本事件为：()12,A A 、()11,A B 、()12,A B 、()13,A B 、()21,A B 、()22,A B 、()23,A B 、()12,B B 、()13,B B 、()23,B B ，共10个，其中至少有1个500ml 的杯子的基本事件：()12,A A 、()11,A B 、()12,A B 、()13,A B 、()21,A B 、()22,A B 、()23,A B ，所以从中任取2个，至少有1个500ml 杯子的概率为710. 考点：1.分层抽样；2.古典概型18．如图，已知AB ⊥平面ACD ，//DE AB ，22AD AC DE AB ====，且F 是CD 的中点，AF = （1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （3）求此多面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3 【解析】试题分析：（1）取CE 的中点P ，连结FP 、BP ，利用中位线证明1//2PF DE ，利用题中条件得到1//2AB DE ，进而得到//PF AB ，于是说明四边形ABPF 为平行四边形，得到//BP AF ，最后利用直线与平面平行的判定定理证明//AF 平面BCE ；（2）由DE ⊥平面ACD 得到AF DE ⊥，再利用等腰三角形三线合一得到AF CD ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理证明AF ⊥平面CDE ，结合（1）中的结论//BP AF 证明BP ⊥平面CDE ，最后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面BCE ⊥平面CDE ；（3）利用已知条件得到平面ABDE ⊥平面ADC ，然后利用平面与平面垂直的性质定理求出椎体C ABDE -的高，最后利用椎体的体积公式计算该几何体的体积. （1）取CE 中点P ，连结FP 、BP ，F 为CD 的中点， //FP DE ∴，且12FP DE =，又//AB DE ，且12AB DE = //AB FP ∴，且AB FP =， ABPF ∴为平行四边形，//AF BP ∴，又AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ，//AF ∴平面BCE ；（2）3AF =2CD ∴=，所以ACD ∆为正三角形，AF CD ∴⊥，AB ⊥平面ACD ，//DE AB ，DE ∴⊥平面ACD ，又AF ⊂平面ACD ， DE AF ∴⊥，又AF CD ⊥，CD DE D =，AF ∴⊥平面CDE ，又//BP AF ，BP ∴⊥平面CDE ， 又BP ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ；（3）此多面体是一个以C 为定点，以四边形ABED 为底边的四棱锥，()12232ABED S +⨯==，平面ABDE ⊥平面ADC ，∴等边三角形AD 边上的高就是四棱锥的高，133C ABDE V -∴=⨯=.考点：1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直；3.椎体体积的计算 19．已知函数()21322f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()(),n n S n N *∈均在函数()y f x =的图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令11n n n n na a c a a ++=+，证明：121222n n c c c n <+++<+. 【答案】（1）()1n a n n N *=+∈；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）利用1n =时，11a S =以及2n ≥时，1n n n a S S -=-以此求出数列{}n a 的通项公式；（2）利用基本不等式12221n n n c n n ++=+>++由此证明122n c c c n +++>，利用裂项法得到11212n c n n =+-++，由此计算出数列{}n c 的前n 项和，于此证明12122n c c c n +++<+.（1）点(),n n S 在()f x 的图象上，21322n S n n ∴=+，当2n ≥时，11n n n a S S n -=-=+； 当1n =时，112a S ==适合上式，()1n a n n N *∴=+∈；（2）证明：由1112221n n n n n a a n n c a a n n ++++=+=+>=++， 122n c c c n ∴+++>，又121122112n n n c n n n n ++=+=+-++++， 121111112233412n c c c n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122222n n n =+-<++， 121222n n c c c n ∴<+++<+成立. 考点：1.定义法求数列通项；2.基本不等式；3.裂项法求和 20．已知函数()()322f x x ax x a R =--+∈.（1）当1=a 时，求函数()f x 的极值； （2）若对x R ∀∈，有()43f x x '≥-成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）极大值5227，极小值1；（2）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）将1a =代入函数()f x 的解析式，利用导数结合表格求出函数()f x 的极大值与极小值；（2）对x 的符号进行分三类讨论①0x >；②0x <；③0x =，主要是取绝对值符号，结合基本不等式求出参数a 的取值范围，最后再相应地取a 在三种情况下对应取值范围的交集.（1）当1=a 时，()322f x x x x =--+，()()()2321131f x x x x x '=--=-+，令()0f x '=，解得113x =-，21x =， 当()0f x '>时，得1x >或13x <-； 当()0f x '<时，得113x -<<， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴当13x =-时，函数()f x 有极大值，()152327f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭极大，当1x =时函数()f x 有极小值，()()11f x f ==极小； （2）()2321f x x ax '=--，∴ 对x R ∀∈，()43f x x '≥-成立，即243213x ax x --≥-对x R ∀∈成立； ①当0x >时，有()2132103x a x -++≥，即12133a x x+≤+，对()0,x ∀∈+∞恒成立，1323x x +≥=，当且仅当13x =时等号成立，12122a a ∴+≤⇒≤； ②当0x <时，有()2131203x a x +-+≥， 即11233a x x-≤+，对(),0x ∀∈-∞恒成立，1323x x +≥=，当且仅当13x =-时等号成立，11222a a ∴-≤⇒≥-，③当0x =时，a R ∈综上得实数a 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 考点：1.函数的极值与导数；2.函数不等式恒成立；3.基本不等式；4.参变量分离法21．如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆()()222:20T x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M 、N 的任意一点，且直线MP 、NP 分别与x 轴交于点R 、S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）TM TN ⋅的最小值为15-，此时圆T 的方程为()2213225x y ++=； （3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）利用圆的方程的求出a 的值，然后根据离心率求出c 的值，最后根据a 、b 、c 的关系求出b ，最后确定椭圆的方程；（2）先根据点M 、N 的对称性，设点()11,M x y ，将TM TN ⋅表示为1x 的二次函数，结合1x 的取值范围，利用二次函数求出TM TN ⋅的最小值，从而确定点M 的坐标，从而确定圆的方程；（3）设点()00,P x y ，求出MP 、NP 的方程，从而求出点R 、S 的坐标，最后利用点P 在椭圆上来证明OR OS ⋅为定值.（1）依题意，得2a =，c e a ==，c ∴=1b =， 故椭圆C 的方程为2214x y +=； （2）点M 与点N 关于x 轴对称，设()11,M x y 、()11,N x y -， 不妨设10y >，由于点M 在椭圆C 上，所以221114x y =-， （*）由已知()2,0T -，则()112,TM x y =+，()112,TN x y =+-，()()()221111112,2,2TM TN x y x y x y ∴⋅=+⋅+-=+-，()222211111558112143444555x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=++=+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于122x -<<，故当185x =-时，TM TN ⋅取得最小值为15-， 由（*）式，135y =，故83,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =， 故圆T 的方程为：()2213225x y ++=； （3）设()00,P x y ，则直线MP 的方程为：()010001y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101R x y x y x y y -=-， 同理：100101S x y x y x y y -=-，故222210012201R S x y x y x x y y -=- （**） 又点M 与点P 在椭圆上，故()220041x y =-，()221141x y =-，代入（**）式，得：()()()2222221001012222010*******R S y y y y y y x x y y y y ----===--所以4R S R S OR OS x x x x ⋅=⋅==为定值.考点：1.椭圆的方程；2.平面向量的数量积；3.直线与椭圆的位置关系。
广东省东莞市2014届高三第二次模拟考试理科数学试卷(带解析)
广东省东莞市2014届高三第二次模拟考试理科数学试卷（带解析）1．已知全集U R =，集合{}09,A x x x R =<<∈和{}44,B x x x Z =-<<∈集合()UA B ð中的元素共有（ ）A.3个B.4个C.5个D.无穷多个 【答案】B 【解析】试题分析：(][),09,+U A =-∞∞ð，而{}3,2,1,0,1,2,3B =---，因此(){}=3,2,1,0UA B ---ð，故选B.考点：集合的基本运算2．若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A.2B.1C.2-D.1或2 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知2320a a -+=且10a -≠，解得2a =，故选A.考点：复数概念3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，420S =，则该数列的公差d =（ ） A.2 B.3 C.6 D.7 【答案】B 【解析】试题分析：2124S a d =+=，414620S a d =+=，解得3d =，故选B. 考点：等差数列的前n 项和4．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为（ ）A.12B.1C.2D.4 【答案】C 【解析】试题分析：抛物线()220y px p =>的准线方程为2px =-，圆心坐标为()3,0，因此有342p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得2p =，故选C. 考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与圆的位置关系 5．若向量()cos ,sin a θθ=，()3,1b =-，则2a b -的最大值为（ ）A.4B.2【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知1a =，2b =，3cos sin a b θθ⋅=-，而()222a b a b -=-4==-=，因此2a b -的最大值为4=，故选A. 考点：1.平面向量的模；2.三角函数的最值6．已知平面α、β和直线m ，给出条件：①//m α；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤//αβ.由这五个条件中的两个同时成立能推导出//m β的是（ ） A.①④ B.①⑤ C.②⑤ D.③⑤【答案】D 【解析】试题分析：对于A 选项，若//m α且αβ⊥，则m 与β的位置关系不确定，A 选项错误；对于B 选项，若//m α且//αβ，则m β⊂或//m β，B 选项也不正确；对于C 选项，若m α⊥且//αβ，则m β⊥，C 选项也错误；对于D 选项，若m α⊂且//αβ，则直线m 与平面β无公共点，故D 选项正确，故选D. 考点：空间中点、线、面的位置关系7．若变量x 、y 满足约束条件02143y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则35z x y =+的取值范围是（ ）A.(],9-∞B.[)3,+∞C.[]8,9-D.[]8,3- 【答案】C 【解析】试题分析：作出不等式组02143y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域如下图所示，3作直线:35l z x y =+，则z 可视为直线l 在x 轴上的截距的3倍，直线43x y -=交x 轴于点()3,0A ，交直线21x y -=于点()1,1B --，当直线l 经过可行域上的点A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 33509z =⨯+⨯=；当直线l 经过可行域上的点B 时，直线l 在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即()()min 31518z =⨯-+⨯-=-，故选C.考点：线性规划8．对任意实数x 、y ，定义运算x y ax by cxy ⊗=++，其中a 、b 、c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知123⊗=，234⊗=，并且有一个非零常数m ，使得x R ∀∈，都有x m x ⊗=，则34⊗的值是（ ）A.4-B.4C.3-D.3 【答案】D 【解析】试题分析：x R ∀∈，都有x m x ⊗=，则()x m ax bm cmx a cm x bm x ⊗=++=++=，由于m 为非零常数，则00bm b =⇒=，因此1223a c ⊗=+=，23264a c ⊗=+=，解得5a =，1c =-，因此()34312351213a c ⊗=+=⨯+⨯-=，故选D.考点：新定义运算9．一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的俯视图的面积为 .【答案】1. 【解析】试题分析：由三视图“长对正、高平齐、宽相等”的原则可知，该三棱锥的俯视图是以2为底边长，1为高的直角三角形，其面积为12112S =⨯⨯=. 考点：三视图10．二项式5的展开式中常数项为_______.【答案】40.【解析】试题分析：二项式5的展开式的第1r +项为()555361552rrr r r r r T C C x--+⎛=⋅⋅=⋅-⋅ ⎝，令550236r r -=⇒=，故二项式5的展开式中常数项为()225240C ⋅-=. 考点：二项式定理11．执行如图的程序框图，输出的=S .【答案】3. 【解析】试题分析：第一次循环，2log 3S =，213k =+=；8k <成立，执行第二次循环，23log 3log 4S =⋅，314k =+=；以此类推，执行最后一次循环，237log 3log 4log 8S =⋅⋅⋅，718k =+=；8k <不成立，输出237ln 3ln 4ln 8ln 83ln 2log 3log 4log 83ln 2ln 3ln 7ln 2ln 2S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅===. 考点：1.算法与程序框图；2.换底公式12．已知函数()cos ,01,0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩，则()22f x dx π-⎰的值等于 .【答案】3【解析】试题分析：由题意知()002222221cos sin 213f x dx dx xdx xxπππ---=+=+=+=⎰⎰⎰.考点：1.分段函数；2.定积分13．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c =b =120B =，则ABC ∆的面积等于________.【答案】2. 【解析】试题分析：由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则有21262a ⎛⎫+-⨯-= ⎪⎝⎭，整理得240a -=，由于a >，解得a =，113sin sin12022ABC S ac B ∆∴===考点：1.余弦定理；2.三角形的面积14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线1l 的方程是sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线2l 的方程是31x ky +=.如果直线1l 与2l垂直，则常数k = . 【答案】3-. 【解析】试题分析：将直线1l 的极坐标方程化为普通方程得10x y +-=，其斜率11k =-，而直线31x ky +=的斜率为23k k =-，因此有()12311k k k ⎛⎫=-⋅-=- ⎪⎝⎭，解得3k =-. 考点：1.极坐标方程与普通方程之间的转化；2.两直线的位置关系15．（几何证明选讲选做题）如图3，在ABC ∆中，//DE BC ，//EF CD ，若3BC =，2DE =，1DF =，则AB 的长为_______.【答案】92. 【解析】试题分析：由于//DE BC ，23AE DE AC BC ∴==，//EF CD ，23AF AE AD AC ∴==，即23AF DF AF =+，即213AF AF =+，解得2AF =，3AD AF DF ∴=+=，由23AD AB =，得3922AB AD ==. 考点：相似三角形16．设函数()sin sin 2f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，x R ∈. （1）若12ω=，求()f x 的最大值及相应的x 的取值集合； （2）若8x π=是()f x 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和()f x 的最小正周期.【答案】（1）()f x x 的集合为34,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； （2）2ω=，()f x 的最小正周期为π.【解析】试题分析：（1）将12ω=先代入函数()f x 的解析式，借助辅助角公式将三角函数()f x 的解析式进行化简，化简为()s i n 24x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而求出函数()f x 的最大值，并通过令()2242x k k Z πππ-=+∈求出 相应的x 的取值集合；（2）先利用条件求出ω的表达式，根据ω所满足的条件求出ω的值，最后利用周期公式求出函数()f x 的最小正周期.利用整体法求出三角函数()f x 的最大值，并通过对角的限制列方程求出相应的x 的取值集合（1）()sin sin sin cos 2f x x x x x πωωωω⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭当12ω=时，sin cos 2224x x x fx π⎛⎫==- ⎪⎝⎭－， 而1sin 124x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为2， 此时2242x k πππ-=+，k Z ∈，即342x k ππ=+，k Z ∈， ()f x ∴取最大值2时，相应的x 的集合为34,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； （2）依题意sin 0884f πωππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即84k ωπππ-=，k Z ∈， 整理，得28+=k ω，又100<<ω，所以10280<+<k ，141<<-k ，而k Z ∈，所以0=k ，2=ω，所以()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为π.考点：1.诱导公式；2.辅助角公式；3.三角函数的最值；4.三角函数的零点；5.三角函数的周期性17．地为绿化环境，移栽了银杏树2棵，梧桐树3棵.它们移栽后的成活率分别 为23、12，每棵树是否存活互不影响，在移栽的5棵树中：（1）求银杏树都成活且梧桐树成活2棵的概率； （2）求成活的棵树ξ的分布列与期望. 【答案】（1）16；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）先求出银杏数分别成活0、1、2棵的概率，以及梧桐树分别成活0、1、2、3棵的概率，然后利用事件的独立性求出题中事件的概率；（2）先确定随机变量ξ的可能取值，利用事件的独立性求出随机变量ξ在相应取值下的概率，列出分布列求出随机变量的数学期望即可. （1）设A 表示“银杏树都成活且梧桐树成活2棵”，设()0,1,2i A i =表示“银杏树成活i 棵”；()019P A =，()149P A =，()249P A =， ()0,1,2,3k B k =表示“梧桐树成活k 棵”；()018P B =，()138P B =，()238P B =，()318P B =，()()()2031186P A P A P B ∴===；（2）ξ的可能的取值：0、1、2、3、4、5，()()()001072P P A P B ξ===，()()()()()01107172P P A P B P A P B ξ==+=，()()()()()()()02112019272P P A P B P A P B P A P B ξ==++=，同理：()25372P ξ==，()249P ξ==，()1518P ξ==，ξ∴的分布列为6E ξ∴=. 考点：1.事件的独立性；2.随机变量的分布列及其数学期望18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD AD ==，E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ； （2）求证：面PAB ⊥平面PDC ；（3）在线段AB 上是否存在点G ，使得二面角C PD G --的余弦值为13？说明理由. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）线段AB 上存在点14G AG AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，使得二面角C PD G --的余弦值为13. 【解析】 试题分析：（1）连接AC 经过点F ，利用中位线得到//EF PA ，再由直线与平面平行的判定定理得到//EF 平面PAD ；（2）利用平面与平面垂直的性质定理结合侧面PAD ⊥底面ABCD 得到CD ⊥平面PAD ，从而得到PA CD ⊥，再由勾股定理证明PA PD ⊥，结合直线与平面垂直的判定定理证明PA ⊥平面PCD ，最后利用平面与平面垂直的判定定理得到平面PAB ⊥平面PDC ；（3）取AD 的中点O ，连接OP 、OF ，利用平面与平面垂直的性质定理证明OP ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OA 、OF 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法解决题中二面角问题.（1）证明：连接AC ，由正方形性质可知，AC 与BD 相交于BD 的中点F ， F 也为AC 中点，E 为PC 中点. 所以在CPA ∆中，//EF PA ，又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， 所以//EF 平面PAD ；（2）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 面ABCD AD =ABCD 为正方形，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD . 又PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥.又PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形，且2APD π∠=，即PA PD ⊥.又CDPD D =，且CD 、PD ⊂面PDC ，所以PA ⊥面PDC .又PA ⊂面PAB ，所以面PAB ⊥面PDC ；（3）取AD 的中点O ，连接OP 、OF ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD . 而O 、F 分别为AD 、BD 的中点，所以//OF AB ， 又ABCD 是正方形，故OF AD ⊥.以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -，则有()1,0,0A ，()1,2,0C -，()0,1,0F ，()1,0,0D -，()0,0,1P ， 若在AB 上存在点G ，使得二面角C PD G --的余弦值为13，连接PG 、DG ， 设()()1,,002G a a ≤≤，则()1,0,1DP =，()2,,0GD a =--，由（2）知平面PDC 的法向量为()1,0,1PA =-，设平面PGD 的法向量为(),,n x y z =.则00n DP n GD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x z x ay +=⎧⎨--=⎩，解得22a z y a x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令2y =-，得(),2,n a a =--， 所以1cos ,32n PA n PA n PA⋅<>===⋅，解得12a =（舍去12-）.所以，线段AB 上存在点111,,024G AG AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得二面角C PD G --的余弦值为13.考点：1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直的性质与判定；3.利用空间向量法处理二面角19．设数{}n a 满足：()123n n a a a a n a n N *+++⋅⋅⋅+=-∈.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）若()()21n n b n a =--，且对任意的正整数n ，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【解析】试题分析：（1）先令1n =求出1a 的值，然后令2n ≥，由123n n a a a a n a +++⋅⋅⋅+=-得到()123111n n a a a a n a --+++⋅⋅⋅+=--，将两式相减得到11122n n a a -=+，利用定义法证明数列{}1n a -是等比数列；（2）在（1）的基础上求出数列{}n a 的通项公式，进而确定数列{}n b 的通项公式，将不等式214n b t t +≤转化为()2max 14n b t t ≤-，利用作差法研究数列{}n b 的单调性，确定数列{}n b 的最大项的值，从而解出相应的不等式即可.（1）当1n =时，则有111a a =-，解得112a =， 当2n ≥且n N *∈时，1231n n n a a a a a n a -+++⋅⋅⋅++=-，()123111n n a a a a n a --+++⋅⋅⋅+=--，上式-下式，得11121n n n n n a a a a a --=-+⇒=+，所以11122n n a a -=+， 故()1111111111112221112n n n n n n a a a a a a -----+---===---，且1111122a -=-=- 因此数列{}1n a -是首项为12-，公比为12的等比数列， 因此11111222n n na -⎛⎫-=-⋅=-⎪⎝⎭； （2）()()2212n n nn b n a -=--=，214n b t t +≤对任意的正整数n 恒成立，则()2max 14n t t b -≥，()()11111221232222n n n n n n n n n n nb b ++++-------=-==， 当2n ≤且n N *∈时，10n n b b +->，即1n n b b +<，因此123b b b <<， 当3n =时，则10n n b b +-=，则有34b b =，当4n ≥且n N *∈时，10n n b b +-<，即1n n b b +>，则数列从第四项开始单调递减， 因此，3b 或4b 最大，()34max 18n b b b ∴===， 所以21148t t -≥，即28210t t --≥，解得14t ≤-或12t ≥，因此实数t 的取值范围是11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 考点：1.定义法求数列通项；2.等比数列的定义；3.数列的单调性；4.不等式恒成立 20．已知定点()11,0F -、()21,0F ，动点(),P x y ，且满足1PF 、12F F 、2PF 成等差数列.（1）求点P 的轨迹1C 的方程；（2）若曲线2C 的方程为()()2222202x t y t t t ⎛-+=+<≤ ⎝⎭，过点()2,0A -的直线l 与曲线2C 相切，求直线l 被曲线1C 截得的线段长的最小值.【答案】（1）22143x y +=：（2）7. 【解析】试题分析：（1）利用题中的条件得到椭圆的定义，求出椭圆的实轴长与焦距，然后利用a 、b 、c 之间的关系求出b 的值，从而确定点P 的轨迹1C 的方程；（2）先设直线l 的方程为()2y k x =+，利用直线l 与圆2C相切，结合0∆=确定k 和t 之间的等量关系，然后联立直线与椭圆1C 的方程，求出交点的坐标，利用两点间的距离公式求出弦长的表达式，利用换元法将弦长表达式进行化简，并利用函数单调性求出弦长的最小 值.（1）由()11,0F -、()21,0F ， 12124PF PF FF +=> ， 根据椭圆定义知P 的轨迹为以1F、2F 为焦点的椭圆，其长轴24a =，焦距22c =，短半轴b ==1C 的方程为22143x y +=. （2）过点()0,2-A 与x 轴垂直的直线不与圆2C 相切，故可设l :()2yk x =+， 由直线l 与曲线2C ()2t t =+，化简得t =t ⎛∈ ⎝⎦，由02t<=≤，解得201k<≤，联立()222143y k xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y整理得()2222431616120k x k x k+++-=，直线l被曲线1C截得的线段一端点为()0,2-A，设另一端点为B，解方程可得()22224312,4343k kBk k⎛⎫--⎪⎪++⎝⎭，有AB==，，则212121414nABn nn==--，(n∈，考查函数14y nn=-的性质知14y nn=-在区间(上是增函数，所以n=14y nn=-min72AB==考点：1.椭圆的定义与方程；2.直线与圆的位置关系；3.直线与椭圆的位置关系；4.两点间的距离21．已知函数()f x满足如下条件：当(]1,1x∈-时，()()ln1f x x=+，且对任意x R∈，都有()()221f x f x+=+.（1）求函数()f x的图象在点()()0,0f处的切线方程；（2）求当(]21,21x k k∈-+，k N*∈时，函数()f x的解析式；（3）是否存在(]21,21kx k k∈-+，0k=、1、2、、2011，使得等式()20112kk kkx f x=⎡⎤-=⎣⎦∑2012401922017⨯+成立？若存在就求出kx（0k=、1、2、、2011），若不存在，说明理由.【答案】（1）y x=；（2）()()2ln2121k kf x x k=-++-；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）先求出()0f 与()0f '的值，利用点斜式求出相应的切线方程；（2）利用题中的条件结合迭代法求出函数()f x 在区间(]()21,21k k k N -+∈上的解析式；（3）构造新函数()()2k g x x f x =-，考查函数()g x 在区间(]()21,21k k k N -+∈上的单调性，求出函数()g x 在区间(]()21,21k k k N -+∈上的最小值()2g k ，于是得到()()()22121kk g x g k k ≥=-⋅+，然后利用分组求和法与错位相减法来证明 题中相应的等式.（1）(]1,1x ∈-时，()()ln 1f x x =+，()11f x x '=+， 所以，函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为()()()000y f f x '-=⋅-，即y x =；（2）因为()()221f x f x +=+，所以，当(]21,1x k -∈-，k N *∈时，(]21,1x k -∈-，()()()()232221242126221f x f x f x f x =-+=-++=-+++ ()()122222212ln 2121k k k k k f x k x k --==-+++++=-++-；（3）考虑函数()()2kg x x f x =-，(]21,21x k k ∈-+，k N ∈，则()()22222121k kkx k g x x k x k -'=-=-+-+， 当k x k 212<<-时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当k x 2=时，()0g x '=；当122+<<k x k 时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以，当(]21,21x k k ∈-+，k N ∈时，()()()22121kg x g k k ≥=-+，当且仅当k x 2=时，()()()22121kg x g k k ==-+.所以，()()()20112011201122121kkk k k k k k x f x g x k ===⎡⎤⎡⎤-=≥-+⎣⎦⎣⎦∑∑∑，而()()1221211232212nkn k k n n =⎡⎤-⋅+=⋅+⋅++-+⎣⎦∑，令()121232212n n S n =⋅+⋅++-，则()23121232212n n S n +=⋅+⋅++-，两式相减得，()123112222222212n n n S n +-=⋅+⋅+⋅++⋅--()()()21111222112212232621n n n n n -++⋅-=⋅+--=----，所以，()12326n n S n +=-+，故()201120122011021212011401922017kk k S =⎡⎤-+=+=⋅+⎣⎦∑， 所以，()()()2011201120111022121401922017kk n k k k k k k x f x g x k +===⎡⎤⎡⎤-=≥-+=⋅+⎣⎦⎣⎦∑∑∑，当且仅当k x k 2=，0k =、1、2、、2011时，()()()201120112011122121401922017kk n k k k k k k x f x g x k +===⎡⎤⎡⎤-==-+=⋅+⎣⎦⎣⎦∑∑∑， 所以，存在唯一一组实数k x k 2=，0k =、1、2、、2011，使得等式()201112401922017kn k k k x f x +=⎡⎤-=⋅+⎣⎦∑成立. 考点：1.导数的几何意义；2.函数的解析式；3.分组求和法与错位相减法。
广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题(B卷) 扫描版含答案
东莞市2014-2015学年度第一学期高二文科数学期末考试试卷（B卷）2014—2015学年度第一学期期末教学质量检查高二文科数学（B 卷）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题11. {}34x x -<< 12. 9 13．3- 141三、解答题 15．解：（1） 不等式20x mx n ++≤的解集为[1,4]A =1,4∴是方程20x mx n ++=的两个根，……………2分由韦达定理得14m +=-，14n ⨯= ……………4分∴实数,m n 的值分别为5,4- ……………………6分（2） q 是p 的充分条件， ∴q p ⇒，即B 是A 的子集， ……………………8分即 {114a a -≥≤， …………………11分解得24a ≤≤．所以实数a 的取值范围为|{a 24a ≤≤}．…………12分16.解：由()1f A =得2cos 12A =， 即1cos 22A = ∵A 是ABC ∆的内角， ∴23A π= ∴23A π=……………3分 由正弦定理：BAC A BC sin sin = ……………………6分又∵BC=7,sin 14B =得7sin 5sin BC B AC A ⋅=== ……………8分 又∵A AC AB AC AB BC cos 2222⋅⋅-+=， 即222175222AB AB =++⋅⨯⨯ ,解得3=AB ……………12分 17．解：（1）由已知{}n a 为等差数列，设其公差为d ，首项为1a ，则………1分11234a d a d +=⎧⎨+=⎩. ……………3分 解之得111a d =⎧⎨=⎩∴1(1)1n a n n =+-⨯=……………5分 各项为正数的等比数列{}nb 中，公比设为q （0q >）.由11b =，1237b b b ++=得217q q ++=解之得2q =或3q =-（舍去）……………7分（2）由（1）知n a n =，12n n b -=∴12n n n n a n c b -==……………8分 ∴0121123...2222n n n S -=++++...............① ...............9分 1231123 (22222)n n n S =++++...............② ...............10分 ①－②得：012111111 (222222)n n n n S -=++++- ……………11分 11[1()]21212n n n ⨯-=--222n n +=-……………………………………13分 ∴n S 1242n n -+=-即为所求.18．解：设每天生产甲种产品x 吨，乙种产品y 依题意可得线性约束条件5346355000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩……………4分目标函数为 1012z x y =+, ……………5分作出线性约束条件所表示的平面区域如图所示……………8分将1012z x y =+变形为5612z y x =-+ 当直线5612z y x =-+在纵轴上的截距12z 达到最大值时，……………9分 即直线5612z y x =-+经过点M 时，z 也达到最大值. ……………10分 由53463550x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 点的坐标为(5,7) ……………12分 所以当7,5==y x 时，max 510712134z =⨯+⨯= ……………13分因此，该厂每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，才能使该厂日产值最大，最大的产值是134万元. ……………14分19．解：（1）依题意知曲线C 是抛物线，设其为22(0)x py p =>，由定义可得12p =，解得2p =，………2分∴抛物线C 的方程为24x y =.……………3分(2)设点00(,)P x y ，点P 到直线2y x =-的距离为d ，则有2004x y =,由点到直线距离公式得d===………………7分 ∴当02x =，01y =即(2,1)P 时，点P 到直线2y x =-的距离最短，最短距离为.……………………8分 (3)由题意，联立y x m =+和24x y =消去y 并整理得2440x x m --=，………………10分直线l 与曲线C 有交点∴2(4)160m ∆=-+≥…………12分解之得1m ≥-即为所求. …………14分20．解：（1）由题知221()ln 22e f e e a e =-+=，解得0a =……………2分（2）由题可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，……………3分 又22'2221()()()x e x e x e x f x x e e x e x-+-=-== …………5分 由2()()0e x e x e x +->得0x e <<；2()()0e x e x e x+-<得x e >；…………7分 故函数()f x 单调增区间为(0,)e ，单调减区间为(,)e +∞……………8分 （3）因为22()ln 2x f x x e=-，由（1）知函数()f x 的单调减区间为(,)e +∞，故()f x 在2[,]e e 上单调递减，………………9分 ∴2max 211()()ln 1222e f x f e e e ==-=-=； 4222min 2()()ln 222e ef x f e e e ==-=-；………………10分 ∴max min ()()f x f x -=2213(2)222e e ---= max min ()()f x f x ∴-2332e -=<………① …………11分 依题意任取212,[,]x x e e ∈，欲证明12()()3f x f x -<，只需要证明max min ()()f x f x -3<，…………13分由①可知此式成立，所以原命题得证. …………14分。
2014二模(文科)试题及参考答案
试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2014．4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合A B 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤ 4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是A ．y =B ．21y x =-+C ．cos y x =D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是图1俯视图侧视图正视图 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为A．14 B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 A．3 B．6C ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8, 按表1的方式进行 排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若 2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅ 的值为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.表2H FE DC BA 18．（本小题满分14分） 如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点.（1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =，求直线1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分 ∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………9分 212cos 4πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，∴142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cossin sin442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分 ∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分 两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生， 则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ， 则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：M OHFE DC B A{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分 （2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==， 由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM = ……………6分 在△AME中，AE =1AM =，EM = ∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==. 在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====, ∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分OHFEDCBA ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C = , ∴FH ⊥平面ABCD . ∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H = ,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 （3）解：连接EC ， 在Rt △BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCFV EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分 ∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++， ∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分 ∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅ 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=， ∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ .……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠- ，……………11分 两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦ . ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x-≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分 当0x >时,12x x +≥=当且仅当12x x =,即2x =时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥- ∴a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分① 当0∆≤,即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分② 当0∆>,即a <-或a >, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a > ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211l n 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln 44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分 ∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分 第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =，∴()12122k k k k -=∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()225124k k k +=+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。
东莞市2014届高三期末考试文科综合答案
2013—2014学年度第一学期高三调研测试文科综合（参考答案）二、非选择题（本大题共6小题，满分160分）36．（共28分）（1）（12分）答：①实施创新驱动发展战略，坚持科技创新，增加创新驱动发展新动力。
（3分）②推进经济结构战略性调整，扩大内需，促进经济结构的优化升级。
（3分）③推动城乡一体化发展。
走中国特色城镇化，农业现代化道路。
（3分）④全面促进资源节约和环境保护，增加可持续发展的能力。
（3分）（根据十八大精神或新教材内容回答言之成理可酌情给分，以旧教材的思路回答且与最新政策不冲突者亦可酌情给分。
）（2）（6分）答：①市场能通过价格、供求关系变化，实现资源合理配置，促进劳动生产率的提高和资源有效利用。
（市场调节的优点）（3分）②市场“决定性”作用是对“基础性”作用的加强和确定，尊重了市场规律，减少其它因素对市场的不必要干预，把经济改革提高到了一个新的高度（3分）（评论时言之成理可酌情给分）（3）（10分）答：①履行好管理与服务的基本职能，为经济发展和人民生活创造良好的经济和社会环境。
（3分）②转变政府职能。
深化行政体制改革，创新行政管理方式，建设服务型政府，进一步提高政府为经济社会发展服务、为人民服务的能力和水平。
（3分）③政府要坚持为人民服务的宗旨和对人民负责的原则。
（2分）依法行政，审慎行使民主权利、科学民主决策，提升公信力和执行力，建设法治政府。
（2分）（如若从政务公开、健全权力运行制约和监督体系等方面回答言之有理可酌情给分，但总分不可超过10分）37．（共24分）（1）（13分）答：①矛盾具有特殊性。
(2分)各民族间经济、政治、历史、地理等因素不同，决定了各民族文化之间存在差异，中国文化具有鲜明的民族特征(2分)。
②矛盾具有普遍性。
(2分)社会实践的共性，决定了在实践中产生的中华文化又有世界文化的共性和普遍规律(2分)。
③事物是矛盾特殊性与普遍性的统一。
(3分)文化是民族的，又是世界的，中华文化既有自己的文化个性，又是世界文化不可缺少的色彩(2分)。
2013-2014学年度高二下东莞市四校联考数学模拟试卷(文科)(三)
高二文科第一学期四校联考模拟试卷（三）命题人:陈广西—、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。
1．在ABC ∆中，若B a A b cos sin =，则B 的值为（ ）A ． 30B ． 45C ． 60D ． 902．在ABC ∆中，若,sin sin cos 2C A B = 则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形3.已知锐角∆ABC 中，AB=4,AC=1，∆ABC 的面积为3，则∙的值为（ ）A 、2B 、-2C 、4D 、-44．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A.7 B. 6 C. 3 D. 2 5．已知条件p ：1x ≤，条件q ：1x≥1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 6、等比数列{}n a 中492=a a ，则102922212log log log log a a a a +++ 等于（ ）A ．5B ．10C ．32D ．10247、对于任意实数a 、b 、c 、d ，命题①bc ac c b a >≠>则若,0,；②22,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,22；④ba b a 11,0<>>则若；⑤bd ac d c b a >>>>>则若,0,0．其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.48、直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4)B ．(－3，－4)C ．(0，－3)D ．(－3,2)9. 已知命题p ：2,10x R x ∃∈+≤，那么p ⌝是( )A ． 2,10x R x ∃∈+≤ B ．2,10x R x ∀∈+≤C ． 2,10x R x ∃∈+> D ．2,10x R x ∀∈+>10. P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点， 且1290F PF ∠=︒，则21F PF S ∆等于( )A.1B. 2C.4D. 8 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. 数列 ,5616,458,344,232,121⨯-⨯⨯-⨯⨯-的一个通项公式为 . 12．命题“若ab =0,则a =0或b =0”的逆否命题是（第10题图）13．若不等式220axbx ++>的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-4131|x x ，则a b -＝__________14．椭圆1492022=+y x 的焦点为21,F F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则△AB 2F 的周长为三、解答题（本大题共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 15.（12分）设△ABC 的三边长分别为c b a ,,，已知1a =，3b =，且2cos 10C -=. （1）求角C 的度数；（2）求c ；（3）求△ABC 的面积.16．（ 12分）设命题p ：方程0422=++mx x 有实数根；命题q ：方程22(2)3100x m x m +--+=有实数根．已知p q ∨为真，q ⌝为真，求实数m 的取值范围．17、（14分）某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元。
2014年广东省“十二校”高考数学二模试卷(文科)
2014年广东省“十二校”高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设a∈R，若（a-i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=（）A.2B.1C.0D.-1【答案】B【解析】解：∵（a-i）2i=（a2-1-2ai）i=2a+（a2-1）i为正实数，∴2a＞0，且（a2-1）=0，∴a=1，故选B．化简复数到最简形式，由题意知，此复数的实部大于0，虚部等于0，解出a的值．本题考查两个复数代数形式的乘法，复数为正实数的条件．2.已知全集U={2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，4，5}，则（）A.M∩N={4}B.M∪N=UC.（∁U N）∪M=UD.（∁U M）∩N=N【答案】B【解析】解：∵全集U={2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，4，5}，∴C U M={2}，C U N=[3}．∴M∩N={4，5}，故A错；M∪N={2，3，4，5}=U，故B对；（C U N）∪M={3，4，5}，故C错；（C U M）∩N={2}，故D错．故选B．由题意，由全集U={2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，4，5}，求出它们的交集、并集或补集即可得到答案．本题考查交并补集的运算，属于集合中的基本运算题，熟练掌握交、并、补运算的定义是解题的关键．3.下列命题中的假命题是（）A.∃x∈R，x3＜0B.“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件C.∀x∈R，2x＞0D.若p∧q为假命题，则p、q均为假命题【答案】D【解析】解：当x=-1时，x3=-1＜0，故A为真命题；∵“a＞0”时，“|a|＞0”成立，而“|a|＞0”时，“a＞0”不一定成立，故“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件，故B为真命题由对数函数的性质，2x＞0恒成立，故C为真命题若p∧q为假命题，则p，q可能一个为真命题，一个为假命题，故D为假命题故选D利用特称命题的性质，充要条件的定义，全称命题的性质，及复合命题真假的判断方法，逐一分析四个答案，即可得到结论．本题考查逻辑语言，指数函数、幂函数的值域，充要条件的判断及复合命题真假性的判断．属于中等题4.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A.α内存在直线与l异面B.α内存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交【答案】A【解析】解：直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故B，C，D错误故选A根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l 与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．本题考查线线、线面位置关系的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力．其中利用已知判断出直线l与α的关系是解答本题的关键．5.在等差数列{a n}中，a2+a12=32，则2a3+a15的值是（）A.24B.48C.96D.无法确定【答案】B【解析】解：设等差数列{a n}中首项为a1，公差为d，所以有：a2+a12=a1+d+a1+11d=32，即：a1+6d=16．∴2a3+a15=2（a1+2d）+a1+14d=3（a1+6d）=3×16=48．故选B．先设等差数列{a n}中首项为a1，公差为d，利用a2+a12=32求出首项a1和公差d之间的关系；再代入所求问题整理即可求得结论．本题主要考查等差数列中基本量之间的关系．因为已知条件中只有一个等式，没法求出首项a1和公差d；所以在求解本题时，用的是整体代入的思想．6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出i的值是（）A.63B.31C.27D.15【答案】A【解析】解：因为S赋值为0，0不大于50，S=S2+1=02+1=1，i=2i+1=2×1+1=3；1不大于50，S=S2+1=12+1=2，i=2×3+1=7；2不大于50，S=S2+1=22+1=5，i=2×7+1=15；5不大于50，S=S2+1=52+1=26，i=2×15+1=31；26不大于50，S=S2+1=262+1=667，i=2×31+1=63；667大于50，算法结束，输出i的值为63．故选A．题目首先给计数变量S和输出变量i赋值0和1，然后判断S与50的大小关系，S小于等于50进入执行框，S大于50时结束．本题考查的是程序框图题，解答的关键是清楚框图表达的意思，特别是当不满足条件是执行循环，满足条件时算法结束，输出i．7.动圆M经过双曲线x2-=1左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是（）A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=-8x【答案】D【解析】解：双曲线x2-=1左焦点为（-2，0），则∵动圆M经过双曲线x2-=1左焦点且与直线x=2相切，∴M到（-2，0）的距离等于M到直线x=2的距离，∴M的轨迹是以（-2，0）为焦点的抛物线，∴圆心M的轨迹方程是y2=-8x．故选：D．求出双曲线的焦点，根据动圆M经过双曲线x2-=1左焦点且与直线x=2相切，可得M到（-2，0）的距离等于M到直线x=2的距离，利用抛物线的定义，即可得出结论．本题考查双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．8.O是△ABC所在的平面内的一点，且满足（-）•（+-2）=0，则△ABC 的形状一定为（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.斜三角形【答案】C【解析】解：∵====0，∴∴△ABC为等腰三角形．故选C利用向量的运算法则将等式中的向量，，用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的平行四边形法则，平面向量的数量积运算，向量模的计算，以及等腰三角形的判定方法，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．9.已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D 上的动点，点A（，0），则z=||的最大值为（）A.6B.C.4D.2【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当M位于点B（0，2）时，z=||取得最大值则d=，故选：B．作出不等式对应的平面区域，根据z=||的几何意义，利用距离公式即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据距离公式结合数形结合是解决本题的关键．10.已知a是函数f（x）=2x-x的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A.f（x0）=0B.f（x0）＞0C.f（x0）＜0D.f（x0）的符号不确定【答案】C【解析】解：∵在（0，+∞）上是增函数，a是函数的零点，即f（a）=0，∴当0＜x0＜a时，f（x0）＜0，故选C．a是函数的零点，函数是增函数，本题根据函数的单调性和零点的性质进行求解．函数是增函数，单调函数最多只有一个零点，a是函数的唯一零点．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.某单位有200名职工，现用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1-200编号，并按编号顺序平均分为40组（1-5号，6-10号…，196-200号）．若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是______ ．【答案】42【解析】解：∵从200名职工中，用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，则样本数据间隔为，若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是22+4×5=42，故答案为：42．根据系统抽样的定义可知样本数据间隔为5，然后根据第5组的号码即可得到结论．本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定样本数据间隔是解决本题的关键，比较基础．12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，A=，a=，c=1，则△ABC的面积S= ______ ．【答案】【解析】解：∵A=，a=，c=1，∴由正弦定理=得：sin C==，由a＞c，得到A＞C，∴C=，∴B=π-（A+C）=，即△ABC为直角三角形，则△ABC的面积S=ac=．故答案为：由A的度数求出sin A的值，再由a与c的值，利用正弦定理求出sin C的值，又a大于c，利用三角形的边角关系判断出A大于C，利用特殊角的三角函数值求出C的度数为，可得出三角形ABC为直角三角形，利用直角边乘积的一半即可求出三角形ABC的面积S．此题考查了正弦定理，三角形的面积，以及三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13.已知实数a≠0，函数f（x）=，＜，，若f（1-a）=f（1+a），则a的值为______ ．【答案】-【解析】解：当a＞0时，1-a＜1，1+a＞1∴2（1-a）+a=-1-a-2a解得a=舍去当a＜0时，1-a＞1，1+a＜1∴-1+a-2a=2+2a+a解得a=故答案为对a分类讨论判断出1-a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．14.已知点P是曲线C：（θ为参数，π≤θ≤2π）上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点P的直角坐标为______ ．【答案】，【解析】解：由曲线C：（θ为参数，π≤θ≤2π）消去参数θ化为（-3≤y≤0）．由直线OP的倾斜角为，可得直线OP的方程为y=x．联立，解得x=y=-．∴点P，．故答案为：，．利用平方关系把曲线C的参数方程化为直角坐标方程，与直线OP的方程联立即可得出．本题考查了把椭圆的参数方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交问题，属于基础题．15.如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB、CB，已知BC=3，BD=4，则AB= ______ ．【答案】2【解析】解：由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB=∠ADB，同理∠ACB=∠DAB，所以△ACB∽△DAB，从而，即AB2=BC•BD．因为BC=3，BD=4，所以AB=2．故答案为：2．先由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB=∠ADB，同理得到∠ACB=∠DAB，即可得到△ACB∽△DAB，进而得到结论．本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．属于基础题．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.已知函数f（x）=sinx+cos（x-π）（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）若函数f（x）的图象过点（α，），＜α＜．求f（+α）的值．【答案】解：（1）∵f（x）=sinx-cosx=2（sinx-cosx）=2sin（x-），∴函数f（x）的最小正周期T=2π，值域为[-2，2]；（2）∵f（α）=2sin（α-）=，∴sin（α-）=，又＜α＜，∴0＜α-＜，∴cos（α-）==，∴f（+α）=2sin[（+α）-]=2sin[（α-）+]=2（sin（α-）cos+cos（α-）sin）=2（×+×）=．【解析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=2sin（x-），利用正弦函数的性质即可求得f（x）的最小正周期和值域；（2）依题意易知，sin（α-）=，cos（α-）=，利用两角和的正弦即可求得f（+α）的值．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查同角三角函数间的关系与两角和的正弦，考查运算求解能力，属于中档题．17.为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．【答案】解：（Ⅰ）百米成绩在[16，17）内的频率为0.32×1=0.32，则共有1000×0.32=320人；（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x依题意，得3x+8x+19x+0.32+0.08=1，∴x=0.02设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩，∴n=50∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×1×50=3，记他们的成绩为a，b，c百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50=4，记他们的成绩为m，n，p，q．则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a，b}，{a，c}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，c}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共21个其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，共12个，∴P=【解析】（1）根据频率分步直方图中小正方形的面积是这组数据的频率，用长乘以宽得到面积，即为频率．（II）根据所有的频率之和是1，列出关于x的方程，解出x的值做出样本容量的值，即调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．（III）本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从第一、五组中随机取出两个成绩，满足条件的事件是成绩的差的绝对值大于1秒，列举出事件数，根据古典概型概率公式得到结果．本题考查样本估计总体，考查古典概型的概率公式，考查频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力．18.一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E-ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2．（1）求证：AC⊥BD；（2）求三棱锥E-BCD的体积．【答案】（1）证明：因为EA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．又因为AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．因为BD⊂平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）（2）解：因为点A、B、C在圆O的圆周上，且AB⊥AC，所以BC为圆O的直径．设圆O的半径为r，圆柱高为h，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，（6分）解得所以BC=4，．以下给出求三棱锥E-BCD体积的两种方法：方法1：由（1）知，AC⊥平面EBD，所以．（10分）因为EA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EA⊥AB，即ED⊥AB．其中ED=EA+DA=2+2=4，因为AB⊥AC，，所以．（13分）所以．（14分）方法2：因为EA⊥平面ABC，所以．（10分）其中ED=EA+DA=2+2=4，因为AB⊥AC，，所以．（13分）所以．（14分）【解析】（1）由已知中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，结合线面垂直的定义及线面垂直的判定定理，我们易求出AC⊥平面EBD，进而得到答案．（2）要求三棱锥E-BCD的体积，我们有两种办法，方法一是利用转化思想，将三棱锥E-BCD的体积转化为三棱锥C-EBD的体积，求出棱锥的高和底面面积后，代入棱锥体积公式，进行求解；方法二是根据V E-BCD=V E-ABC+V D-ABC，将棱锥的体积两个棱次的体积之差，求出两个辅助棱锥的体积后，得到结论．本题考查的知识点是棱锥的体积公式，简单空间图形的三视图，直线与平面垂直的性质，其中根据已知中三视图的体积，判断出几何体中相关几何量的大小，结合已知中其中量，进而判断出线面关系是解答本题的关键．19.已知数列{a n}有a2=P（常数P＞0），其前N项和为S n，满足S n=（n∈N*）（1）求数列{a n}的首项a1，并判断{a n}是否为等差数列，若是求其通项公式，不是，说明理由；（2）令P n=+，T n是数列{P n}的前n项和，求证：T n-2n＜3．【答案】（1）解：由S1=a1==0，得a1=0，当n≥2时，a n=S n-S n-1=-，故（n-2）a n=（n-1）a n-1，故当n＞2时，a n==…•a2=（n-1）p，由于n=2时a2=p，n=1时a1=0，也适合该式，故对一切正整数n，a n=（n-1）p，a n+1-a n=p，由于p是常数，故数列{a n}为等差数列．a n=（n-1）p；（2）证明：S n==，P n=+=+=2+2（），∴T n=2n+2（1-+-+-+-+…+-+）=2n+2（1+--）=2n+3-2（+）．∴T n=3-2（+）＜3．【解析】（1）先利用a n=S n-S n-1（n≥2）求出数列的递推关系式（n-2）a n=（n-1）a n-1，再通过一步步代换求出数列的通项公式，最后看是否满足等差数列的定义即可证明结论．（2）先对数列的通项整理得P n=2+2（-），再利用裂项求和法求数列{P n}的前n项和T n，易作出判断；本题主要考查数列的求和以及数列的递推关系式的应用和数列与不等式的综合，是对知识的综合考查，属于中档题．20.如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，△ABF2的周长为8，且△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，证明：点M（1，0）在以PQ为直径的圆上．【答案】解：（1）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，∴4a=8，a=2．∵△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形，∴e=，即，∴c=1，∴b2=a2-c2=3．∴椭圆E的方程为；（2）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），∴m≠0，△=0，∴（8km）2-4×（4k2+3）×（4m2-12）=0．∴4k2-m2+3=0．此时x0==，y0=，即P（，）由，得Q（4，4k+m）．取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）．取k=-，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x-）2+（y-）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）．故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵，，，，∴故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（1，0）．【解析】（1）已知△ABF2的周长为8，即4a=8，求得a，再由△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形可得椭圆的离心率，则c可求，进一步求得b，则椭圆方程可求；（2）联立直线和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后由判别式等于0得到k与m 的关系，从而求得直线与椭圆的公共点的坐标，再由直线y=kx+m与x=4联立求得Q 的坐标，然后利用取特殊值法求得以PQ为直径的圆与x轴的交点坐标，进一步证明得答案．本题椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，训练了特值化思想在解题中的应用，考查了计算能力，是高考试卷中的压轴题．21.若函数y=在（m，+∞）上为增函数（m为常数），则称f（x）为区间（m，+∞）上的“一阶比增函数”，（m，+∞）为f（x）的一阶比增区间．（1）若f（x）=xlnx-2ax2是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；（2）若f（x）=λx3-xlnx-x2（λ＞0，λ为常数），且g（x）=有唯一的零点，求f（x）的“一阶比增区间”；（3）若f（x）是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，求证：∀x1，x2∈（0，+∞），f （x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．【答案】解：（1）若f（x）=xlnx-2ax2是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，则y==lnx-2ax，则y'=，要使f（x）=xlnx-2ax2是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，则y'=≥0恒成立，即a恒成立，∵x＞0，∴a≤0．（2）若f（x）=λx3-xlnx-x2（λ＞0，λ为常数），则g（x）==λx2-lnx-x，由g（x）==λx2-lnx-x=0，得λx2-x=lnx，设y=λx2-x和y=lnx，要使g（x）=有唯一的零点，则由y=λx2-x和y=lnx的图象可知当y=λx2-x经过点（1，0）时，函数g（x）=有唯一的零点，此时λ-1=0，解得λ=1，此时g（x）==x2-lnx-x，g'（x）=2x-1-=，由g'（x）=＞0，得2x2-x-1＞0，∴x＞1或x＜（舍去），即函数g（x）的单调区间为（1，+∞），∴f（x）的“一阶比增区间”是（1，+∞）；（3）∵f（x）是“一阶比增函数”，即在（0，+∞）上是增函数，又∀x1，x2∈（0，+∞），有x1＜x1+x2，x2＜x1+x2，∴＜，＜，即＜，＜∴＜=f（x1+x2）．∴∀x1，x2∈（0，+∞），f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）成立．【解析】（1）利用“一阶比增函数”的意义，利用导数和函数单调性之间的关系即可得出；（2）利用“一阶比增函数”的意义，利用g（x）=有唯一的零点先求出λ的值，即可得到f（x）的“一阶比增区间”；（3）利用“一阶比增函数”的意义及增函数的定义即可证明；本题主要考查函数单调性的应用，正确“一阶比增函数”的意义及增函数的定义及利用已经证明过的结论是解题的关键．涉及的知识点较多，综合性较强．。
2014年广东省东莞高三一模文数试题及答案
东莞市2014届高三第一学期调研测试数学（文科）2013-2014学年度第一学期高三调研测试文科数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）二、填空题（本大题共5小题，作答4小题，每小题5分，共20分．） 11. )4,3[ 12.327(,)2413. 4=i （2分）；4924<≤s （3分） 14.2215. 3三、解答题（本大题共6小题，共80分.） 16.（本小题满分12分）解：(1) 依题意得，x x f sin 2)(+=⋅=. …………2分 ]2, 0 [π∈x ，∴]1 , 0 [sin ∈x , …………3分∴函数)(x f 在区间]2, 0 [π上的最大值为3. …………5分（2）由514)(=A f ，得54sin =A ； …………7分由1331)(=B f ，得135sin =B . …………8分 ∴由正弦定理得2552sin sin ==B A b a . …………10分 又77a b += ，∴52a =. …………12分17．（本小题满分12分）解：（1）由茎叶图知，得分在[50，60）之间的频数为2， …………1分 由频率分布直方图知，得分在[50，60）之间的频率为0.008×10=0.08，………2分 ∴比赛场次共有2250.08=场． …………3分 又∵得分在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4， …………4分∴频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为4100.01625÷=. …………6分 （2）将[80，90）之间的4个得分编号为1，2，3，4，大于90分的2个得分编号为5， 6， …………7分则在不低于80分的比赛场次中任取两场的基本事件为： （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15个， …………9分其中，至少有一场得分在[80，90）之间的基本事件有14个， …………10分 ∴所求概率1415P =. 故至少有一场得分在[)80,90之间的概率是1415. …………12分18．（本小题满分14分）证明：(1) 取CE 的中点G ，连结FG BG 、． …………1分∵F 为CD 的中点， ∴//GF DE 且12GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//AB DE ，∴//GF AB ． …………２分 又12AB DE =，∴GF AB =． …………３分 ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ． …………４分 ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴//AF 平面BCE ． …………５分 （2）∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥． …………６分 ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥． …………７分 又CD DE D = ，故AF ⊥平面CDE ． …………８分 ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ．∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ． …………10分 解：（3）∵AB ⊥平面ACD ，∴AB 是三棱锥B ACF -的高． …………11分ABCDEF（第18题图）G∵△ACD 为等边三角形，且22AD DE AB ===,∴1AB =.…………12分∴13A BCFB ACF ACF VV S AB --∆==⨯ …………13分1132ACD S AB ∆=⨯21121324=⨯⨯⨯⨯= …………14分19．（本小题满分14分）解：(1)由题意可得： .0221=-++n n S a ① ∴2≥n 时, .0221=-+-n n S a ② ①─②得()11122022n n n n n a a a a a n ++-+=⇒=≥， …………3分 又121221111,2222a a a a a a =+=⇒=∴= ， …………5分 ∴{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，且.211-⎪⎭⎫⎝⎛=n n a …………6分（2）由（1）知.2122112111--=--=n n n S …………8分 若⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+n n n S 2λλ为等差数列，则3322123,22,2λλλλλλ++++++S S S 成等差数列, …………9分 则2139325393725221,42824248S S S λλλλλλ⎛⎫⎛⎫+=+++⇒+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得.2=λ …………11分此时，222222+=++=+⋅+n n S n S nn nn λλ，所以 ()()()112222122212222n n n n S n S n n n --⎛⎫⎡⎤++-+-+=+--+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦，…13分故存在实数2=λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++nn n S 2λλ成等差数列. …………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）设点(,)A x y ，则由题可知：)1(211±≠-=+⋅-x x y x y ， …………2分 化简可得：()22112y x x +=≠±， …………4分 所以点A 的轨迹Q 是以()0,1-和()0,1为焦点，长轴长为B 、C 两点）. …………5分 （2）因为不过点B 、C 的直线l 与轨迹Q 只有一个公共点，且公共点在第一象限，所以可设直线l 方程为y kx b =+，其中0,0k b <>，则直线l 与两轴的交点分别为,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭、()0,b .…………6分由2212y kx by x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222220k x kbx b +++-= …………7分∵不过点B 、C 的直线l 与轨迹Q 只有一个公共点，()()222244220k b k b ∴∆=-+-=，即222b k =+， …………8分所以三角形面积21222b k S b k k+⎛⎫=⨯-⨯= ⎪-⎝⎭ …………9分12k k -⎛⎫=+-≥= ⎪⎝⎭ …………11分 当且仅当12k k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即k =l 与两坐标轴围成的三角形面积取得…………12分 此时2224b k =+=，2b =，经检验知：符合题意.∴直线l的方程为2y =+…………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()()x f x ax b e =+，∴()()x f x ax a b e '=++. …………1分∴()0(0)0(0)1f a b e f be '⎧=+=⎪⎨==-⎪⎩，解得1,1a b ==-. …………３分经检验可知，1,1a b ==-时，函数()f x 在0x =处取得极值．∴()()1x f x x e =-. …………4分 （2）证明：①假设0>x 时，函数)(x f 存在增值区间],[n m . ∵0x >时，()0xf x xe '=>，所以函数)(x f 在区间()0,+∞是增函数. …………5分∵函数)(x f 存在增值区间],[n m ，则()()()11()11mnf m m e m f n n e n ⎧=-=+⎪⎨=-=+⎪⎩，问题转化为方程()110x x e x ---=有两个不相等的正根，即函数()()11x h x x e x =---在()0,+∞上有两个不同的零点. …………7分又()1xh x xe '=-，易证()1xh x xe '=-在区间()0,+∞是增函数.………8分∵(0)10,(1)10h h e ''=-<=->，∴在区间()0,1存在0x 使得0()0h x '=，∴当00x x <<时，()0h x '<；当0x x >时，()0h x '>，∴()()11xh x x e x =---在区间()00,x 上是减函数，在区间()0,x +∞上是增函数. …………10分 ∵()()0020h x h <=-<，∴()h x 在区间(]00,x 上不存在零点.而()()()()200230h x h e h x ⋅=-<，∴()h x 在区间()0,x +∞上仅有一个零点，故函数()()1xh x x e x =--在()0,+∞上仅有一个零点，与假设矛盾．故当0,()x f x >时函数不存在“增值区间”． …………12分 解：②函数()2y f x =+存在“增值区间”， …………13分[]0,1是它的一个“增值区间”. …………14分。
广东省“十二校”2014届高三第二次联考数学文试题(附答案)
广东省“十二校”2014届高三第二次联考数学（文科）试题 2014.2本试卷共4页，21小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，若i )i (2-a （i 为虚数单位）为正实数，则a =( )A ．2B ．1C ．0D ．1-2．已知{}{}{}5,4,2,5,4,35432==N M U ，，，，＝，则（ ） A ．{}4=⋂N M B．M N U=C ．U M N C U =⋃)(D ．N N M C U =⋂)(3. 下列命题中的假命题．．．是（ ） A ．0,3<∈∃x R x B ．“0>a ”是“0>a ”的充分不必要条件C ．,20xx R ∀∈> D ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题 4. 若直线l 不平行于平面α，且α⊄l ，则( ).A α内的所有直线与l 异面 B. αC.α内不存在与l 平行的直线D. α内的直线与l5．在等差数列}{n a 中，21232a a +=，则1532a a +的值是（A ．24 B ． 48 C ．96 D ．无法确定6. 某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的值是（A ．63B ．31C ．27D ．157．动圆M 经过双曲线2213y x -=左焦点且与直线2x =则圆心M 的轨迹方程是（ ） 图1 A ．24y x = B ．24y x =- C ．28y x = D ．28y x =-8. O 是ABC ∆所在的平面内的一点，且满足（OB －OC ）·（OB +OC －2OA ）= 0，则ABC ∆的形状一定为（ ）A ．正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形9.已知平面直角坐标系xoy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A ，则||z AM =的最大值为 ( )A. 6C .4 D. 210. 已知a 是函数x x f x21log 2)(-=的零点，若a x <<00，则)(0x f 的值满足（ ）A ．0)(0=x fB ．0)(0>x fC ．0)(0<x fD ．)(0x f 的符号不能确定二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11. 某单位有200名职工，现用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是 12．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C所对的边，,13A a c π===，则ABC∆的面积S= ______．13. 已知实数0m ≠，函数2,1()2,1x m x f x x m x +<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f m f m -=+，则m 的值为________.14、（坐标系与参数方程选做题） 已知点P 是曲线cos :(sin =⎧⎨=⎩43x θC θy θ为参数，)πθπ≤≤2上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为4π，则点P 的直角坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图2，O 和'O 相交于A B 、两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D 两点，连接DB 、CB ，已知3BC =，4BD =，则AB = ．图2三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．（1）求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若函数()f x 的图象过点6(,)5α，344ππα<<.求()4f πα+的值．17（本小题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了 若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将 成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）; ……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如 图3所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19， 且第二组的频数为8.（1）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数； 图3 （2）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（3）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.[来18（本小题满分14分）一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图4所示，其中EA ABC ⊥平面，AB AC ⊥，AB AC =，2AE =．（1）求证：AC BD ⊥；（2）求三棱锥E BCD -的体积．图419（本小题满分14分）已知数列2{}n a a p =有（常数0p >），其前n 项和为,n S 1()2n n n a a S -=满足（*n N ∈） （1）求数列}{n a 的首项1a ，并判断}{n a 是否为等差数列，若是求其通项公式，不是，说明理由； （2）令}{,2112n n n n n n n P T S S S S P 是数列+++++=的前n 项和，求证：32<-n T n20 (本小题满分14分)如图5，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于A B 、两点，2ABF ∆ 的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，证明：点(1,0)M 在以PQ 为直径的圆上。
高考文数学母题题源训练：线性规划
2014年数学高考母题冲击波【母题来源】2014高考广东卷数学文科第4题【母题原题】若变量x、y满足约束条件280403x yxy+≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y=+的最大值等于（）A.7B.8C.10D.11【方法技巧】处理线性规划问题时，一般先要画出不等式组所表示的可行域，然后根据目标函数的几何意义并结合图形找出相应的最优解，最后将最优解代入目标函数即得到相应的最值。
在可行域所表示的图形为封闭多边形时，有时也可以采用将多边形顶点坐标代入目标函数并进行比较来得到最值的办法。
适当地掌握相应的变形，熟悉与可行域有关的几何概型问题的处理。
1.（2014.揭阳一中、潮州金山中学10月联考）已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r 的取值范围是（ ）A.[]1,0-B.[]0,1C.[]0,2D.[]1,2-【考点】1.线性规划；2.平面向量的数量积2.（2014.中山实验11月月考）已知约束条件340210380x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，若目标函数z x =+()0ay a ≥恰好在点()2,2处取得最大值，则a 的取值范围为 （ ）A.103a <<B.13a ≥C.13a > D.102a <<【答案】A【考点】线性规划最优解3.（2014.汕头3月模拟） “3m ≥”是“关于x 、y 的不等式组020100x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【考点】1.不等式组与平面区域；2.充分必要条件4.（2014.东莞二模）已知实数x、y满足220yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11yxω-=+的取值范围是（）A.1 1,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【考点】1.线性规划；2.直线的斜率5.（2014.广州越秀摸底）在区域0,0,60aba b>⎧⎪>⎨+-≤⎪⎩内随机取一个点(,)a b，则关于x的二次函数21y ax bx=-+在区间[),1+∞上是增函数的概率是.【考点】1.线性规划；2.几何概型。
东莞市2014年高考模拟考试数学(文)试题_Word版含答案
东莞市2014年高考模拟考试数学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知0 )4()3(=-+-+i y y x ，其中x ，R y ∈， i 是虚数单位，则=x A ．1 B ．1- C ．7 D ．7- ⒉函数()x x f -=1lg )(的定义域是A ．)0 , (-∞B ．) , 0(∞+C ．)1 , (-∞D ．) , 1(∞+ ⒊如图是根据某城市部分居民2012年 月平均用水量(单位：吨)绘制的样本 频率分布直方图，样本数据的分组为 [1，2），[2，3），[3，4），……，[6，7]． 已知样本中月均用水量低于4吨的户数为 102，则样本中月均用水量不低于4A ．168 B ．178 C ．188 D ．198 ⒋以) 0 , 1 (为圆心，且与直线03=+-y x 相切的圆的方程是 A ．8)1(22=+-y x B ．8)1(22=++y x C ．16)1(22=+-y x D ．16)1(22=++y x⒌设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面。
给出下列四个命题： ①若α⊂m ，βα//，则β//m ②若m 、α⊂n ，β//m ，β//n ，则βα// ③若α⊥m ，β⊥m ，α⊥n ，则β⊥n ④若γα⊥，γβ⊥，α⊥m ，则β⊥m 其中，正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4保密★启用前 试卷类型：B⒍已知ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则=⋅AF AE A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 ⒎执行程序框图，如果输入5=n ，那么输出的=p A ．24 B ．120 C ．720 D ．1440⒏已知函数1)(2--=bx ax x f ，其中] 2 , 0 (∈a ，] 2 , 0 (∈b ，在其取值范围内任取实数a 、b ，则函数)(x f 在区间) , 1 [∞+ 上为增函数的概率为A ．21B ．31C ．32D ．43⒐等轴双曲线∑的中心在原点，焦点在x 轴上，∑与抛物线 241x y =的准线交于P 、Q 两点，若4||=PQ ，则∑的实轴长为A ．32 B ．3 C ．2 D ．3 ⒑设命题p ：函数32sin(π+=x y 的图象向左平移6π单位得到的曲线关于y 轴对称； 命题q ：函数|13|-=xy 在) , 1 [∞+-上是增函数．则下列判断错误．．的是 A ．p 为假 B ．q ⌝为真 C ．q p ∧为假 D ．q p ∨为真二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题（11～13题）⒒某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表数据用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程a x b y+=中，4.9=b ，则据此模型预测，广告费用为6万元时，销售额约为 ．⒓已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足6)(22=-+c b a 且060=C ，则ABC ∆的面积=S ．⒔观察下列各式：24152=-，48172=-，1201112=-，1681132=-……，所得结果都是24的倍数。
东莞二模文科数学试题及答案
788246792第5题图东莞市2014届高三第二次模拟考试数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>，则下列关系中正确的是 A ．M ∪P=P B ．M=PC ．M ∪P=MD ．M∩P=P2．复数11i+的虚部是 A ．12- B ．12 C ．12i D ． 13．对于非零向量,a b ，“a b ∥”是“0a b +=”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()y f x =的图象与ln y x =的图象关于直线y x =对称，则()2f = A ．1 B ．e C ．2e D ．()ln 1e -5．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上， 七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一 个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 A ．4.84 B ．0.8 C ．1.6 D ．3.26．已知,m n 是两条直线，,αβ是两个平面，给出下列命题：①若,n n αβ⊥⊥，则//αβ；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；③若,n m 为异面直线,//,,//n n m m αββα⊂⊂，则//αβ．其中正确命题的个数 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个7．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y ，则11+-=x y ω的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1B ．⎦⎤⎢⎣⎡-31,21 C ．),21[+∞-D ．)1,21[-第15题图8.已知双曲线2221x y a-=()0a >的右焦点与抛物线28y x =焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是A ．5y x =±B ．5y x =C ．3y x =±D ．3y x = 9．若224mn+<，则点(),m n 必在 A ．直线20x y +-=的左下方 B ．直线20x y +-=的右上方 C ．直线220x y +-=的右上方D ．直线220x y +-=的左下方10．如图所示，,,A B C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若OC xOA yOB =+，则A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<二、填空题：（本大共4小题,每小题5分,满分30分 ）11．函数339y x x =-+的极小值是 ．12．已知数列{}n a 是等差数列，3410118a a a =+=，，则首项1a = ．13．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3b =，4cos 5B =． 则sin A 的值为 ．★（请考生在以下两个小题中任选一题作答，全答的以第一小题计分）14．（坐标系与参数方程选做题）直线03cos 2301sin 230x t y t ⎧=+⎨=-+⎩ (t 为参数)的倾斜角是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，O 的割线PAB交O 于,A B 两点，割线PCD 经过圆心O ，已知6PA =，223AB =，12PO =，则O 的半径是__ ．第10题图DOCB三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）已知函数()2sin 22cos 2,f x x x x R =+∈.(1)求38f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 求()f x 的最大值和最小正周期； (3) 若3282f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭,α是第二象限的角,求sin 2α.17.（本小题满分12分）一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯子,每种样式均有500ml 和700ml 两种型号,某天的产量如右表(单位:个):按样式分层抽样的方法在这个月生产 的杯子中抽取100个,其中有甲样式 杯子25个. （1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取 2个杯子，求至少有1个500ml 杯子的概率．18．（本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====2，且F 是CD的中点．3AF =． （1）求证：AF ∥平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求此多面体的体积型号 甲样式 乙样式 丙样式 500ml 2000 z 3000 700ml30004500500019．（本小题满分14分） 已知函数213(),{},22n f x x x a =+n 数列的前n 项和为S 点(,)(n n S n N *∈）均在函数 ()y f x =的图象上。
mjt-2014东莞二模理科数学试题及答案
东莞市2014届高三第二次模拟考试数学（理科）一、选择题：1. 已知全集U =R ,集合{}09,A x x x =<<∈R 和{}44,B x x x =-<<∈Z 集合U A B （）ð中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个2. 若复数()()2321i a a a -++-是纯虚数,则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．2-D ．1或23. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24S =,420S =,则该数列的公差d =( )A ．2B ．3C ．6D ．7 4. 已知抛物线22y px =(0p >)的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．4 5. 若向量(cos ,sin )a θθ=，(3,1)b =-，则2a b -的最大值为（ ）A ．4B ．22C ．2D ．26. 已知平面α、β和直线m ,给出条件:①//m α；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤//αβ.由这五个条件中的两个同时成立能推导出//m β的是( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤7. 若变量,x y 满足约束条件02143y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则35z x y =+的取值范围是( )A ．(],9-∞B ．[)3,+∞C ．[]8,9-D ．[]8,3- 8. 对任意实数,x y ,定义运算x y ax by cxy ⊗=++,其中,,a b c 是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知123⊗=,234⊗=,并且有一个非零常数m ,使得x ∀∈R ,都有x m x ⊗=,则34⊗的值是A. 4-B. 4C. 3-D. 3图 32 31 正视图侧视图图1 是否 1 , 2==S k开始 结束8<k输出S )1(log +⋅=k S S k1+=k k 图2二、填空题： (一)必做题(9～13题)9. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图1所示(均为 直角三角形)，则该三棱锥的俯视图的面积为 .10. 二项式532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_______.11．执行如图2的程序框图，输出的=S ． 12. 已知函数()cos ,01,0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩,则()22d f x x π-⎰的值等于 .13. 已知ABC ∆的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,， 且26120c b B ===︒,,,则ABC ∆的面积等于________.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线1的方程是π2sin 42ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线2的方程是31x ky +=.如果直线1与2垂直，则常数k = ．15.(几何证明选讲选做题)如图3,在ABC ∆中,//DE BC ,//EF CD , 若3BC =,2DE =,1DF =,则AB 的长为________．图4PABCDEF三、解答题：16．(本题满分12分)设函数⎪⎭⎫⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω,R ∈x ． (1) 若21＝ω,求)(x f 的最大值及相应的x 的取值集合； （2）若8π=x 是)(x f 的一个零点,且100<<ω,求ω的值和)(x f 的最小正周期.17．(本题满分12分) 某地为绿化环境，移栽了银杏树2棵，梧桐树3棵.它们移栽后的成活率分别为21,32，每棵树是否存活互不影响，在移栽的5棵树中： （1）求银杏树都成活且梧桐树成活2棵的概率； （2）求成活的棵树ξ的分布列与期望.18.(本题满分14分)如图4,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且22PA PD AD ==,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (1) 求证://EF 平面PAD ； (2) 求证:面PAB ⊥平面PDC ；(3) 在线段AB 上是否存在点G ,使得二面角C PD G --的余弦值为13?说明理由.19.(本题满分14分)设数{}n a 满足：123()n n a a a a n a n N *+++⋅⋅⋅+=-∈．(1)求证：数列{}1n a -是等比数列；(2)若(2)(1)n n b n a =--，且对任意的正整数n ，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围．20.(本题满分14分)已知定点()11,0F -,()21,0F ,动点(),P x y ,且满足1122,,PF F F PF 成等差数列.(1) 求点P 的轨迹1C 的方程；(2) 若曲线2C 的方程为()()22222x t y t t-+=+(202t <≤),过点()0,2-A 的直线l 与曲线2C 相切,求直线l 被曲线1C 截得的线段长的最小值.21.(本题满分14分) 已知函数)(x f 满足如下条件：当]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，且对任意R ∈x ，都有1)(2)2(+=+x f x f ．（1）求函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，函数)(x f 的解析式； （3）是否存在]12,12(+-∈k k x k ，2011210，，，， =k ，使得等式201724019)](2[201220110+⨯=-∑=k kk kx f x成立？若存在就求出kx （2011210，，，， =k ），若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BABCADCD二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 9．1； 10．40； 11．3； 12．3； 13.32； 14．3-； 15.92三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．【解析】(1)x x x x x f ωωωωcos sin 2sin sin )(-=⎪⎭⎫⎝⎛π-+= 当21＝ω时,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42sin 22cos 2sin)(πx x x x f ＝－， 而142sin 1≤⎪⎭⎫⎝⎛π-≤-x ,所以)(x f 的最大值为2, 此时π+π=π-k x 2242,k ∈Z ,即π+π=k x 423,Z ∈k , ∴)(x f 取最大值2时相应的x 的集合为},423|{Z ∈π+π=k k x x （2）依题意048sin 8=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛πππωf ,即π=π-πk 48ω,Z ∈k , 整理,得28+=k ω,又100<<ω,所以10280<+<k ,141<<-k , 而Z ∈k ,所以0=k ,2=ω,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ,)(x f 的最小正周期为π.17.【解析】（1）设A 表示“银杏树都成活且梧桐树成活2棵”设(0,1,2)i A i =表示“银杏树成活i 棵”；01()9P A =；14()9P A =；24()9P A =(0,1,2,3)k B k=表示“梧桐树成活k 棵”；01()8P B =；13()8P B =；23()8P B =；31()8P B =2231()()()=186P A P A P B =⋅=（2）ξ可能的取值：0,1,2,3,4,5001(0)()()72P P A P B ξ===01107(1)()()()()72P P A P B P A P B ξ==+=；02112019(2)()()()()()()72P P A P B P A P B P A P B ξ==++=； 同理：25(3)72P ξ==；2(4)9P ξ==；1(5)18P ξ==；∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4 5P 172 772 1972 2572 29 118∴176E ξ=18.【解析】(1)证明:连结AC ，由正方形性质可知, AC 与BD 相交于BD 的中点F ,F 也为AC 中点,E 为PC 中点.所以在CPA ∆中,EF //PA又PA ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD , 所以//EF 平面PAD(2)证明:因为平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD面ABCD AD =ABCD 为正方形,CD AD ⊥,CD ⊂平面ABCD ,所以CD ⊥平面PAD .又PA ⊂平面PAD ,所以CD PA ⊥.又22PA PD AD ==,所以PAD ∆是等腰直角三角形,且2APD π∠=,即PA PD ⊥.又CD PD D =,且CD 、PD ⊂面PDC ,所以PA ⊥面PDC .又PA ⊂面PAB , 所以面PAB ⊥面PDC(3) 取AD 的中点O ,连结OP ,OF ,因为PA PD =,所以PO AD ⊥. 又侧面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD=, 所以PO ⊥平面ABCD, 而,O F 分别为,AD BD 的中点,所以//OF AB ,又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥, 以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -,则有(1,0,0)A ,()1,2,0C -,(0,1,0)F ,(1,0,0)D -,(0,0,1)P , 若在AB 上存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13,连结,P G D G ,设(1,,0)(02)G a a ≤≤,则(1,0,1),(2,,0)DP GD a ==--,由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(1,0,1)PA =-,设平面PGD 的法向量为(,,)n x y z =.则00n DP n GD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即020x z x ay +=⎧⎨--=⎩,解得22a z y a x y⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩令2y =-,得(),2,n a a =--, 所以221cos ,3242n PA an PA n PAa ⋅<>===⨯+,解得12a =(舍去12-).所以,线段AB 上存在点11,,02G ⎛⎫⎪⎝⎭(14AG AB =),使得二面角C PD G --的余弦值为13.19.【解析】20.【解析】(1)由()11,0F -,()21,0F ,421=+PF PF 12F F > 根据椭圆定义知P 的轨迹为以21,F F 为焦点的椭圆,其长轴42=a ,焦距22=c ,短半轴322=-=c a b ,故1C 的方程为13422=+y x .(2)过点()0,2-A 与X 轴垂直的直线不与圆2C 相切，故可设l :()2y k x =+,由直线l 与曲线2C 相切得()()2122+=++t t k t k ,化简得⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=220,12，t k kt由22021k t k <=≤+,解得201k <≤ 联立()⎪⎩⎪⎨⎧=++=134222yx x k y ,消去y 整理得()0121616342222=-+++k x k x k , 直线l 被曲线1C 截得的线段一端点为()0,2-A ,设另一端点为B ,解方程可得()22224312,4343k k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭,有()2222222243121212434343k k k AB k k k ⎛⎫--+⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 令n k =+12,则21212,(1,2]1414n AB n n n n==∈--,考查函数n n y 14-=的性质知nn y 14-=在区间(1,2]上是增函数, 所以2n =时,nn y 14-=取最大值722,从而min 121227722AB ==.21.【解析】解：（1）]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，11)(+='x x f ， 所以，函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程为)0)(0()0(-'=-x f f y ，即x y =．（2）因为1)(2)2(+=+x f x f ，所以，当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，]1,1(2-∈-k x ，1)2(2)(+-=x f x f 12)4(22++-=x f 122)6(223+++-=x f=1222)2(221+++++-=-- k k k k x f 12)12ln(2-++-=k k k x ．（3）考虑函数)(2)(x f x x g k-=，]12,12(+-∈k k x ，N ∈k ，则12)2(21222)(+--=+--='k x k x k x x g k k k，当k x k 212<<-时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减； 当k x 2=时，0)(='x g ；当122+<<k x k 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；所以，当]12,12(+-∈k k x ，N ∈k 时，12)12()2()(+-=≥kk k g x g ， 当且仅当k x 2=时，12)12()2()(+-==kk k g x g ．所以，]12)12[()()](2[2011201102011+-≥=-∑∑∑===k k k k k kk kk x g x f x而n n k n nk k+-++⋅+⋅=+-∑=2)12(2321]12)12[(210，令n n n S 2)12(232121-++⋅+⋅= ，则1322)12(23212+-++⋅+⋅=n n n S ， 两式相减得，13212)12(22222221+--⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n S62)32(2)12(12)12(222111121---=----⋅+⋅=++-n n n n n ．所以，62)32(1+-=+n n n S ，故2017240192011]12)12[(201220112011+⋅=+=+-∑=S k k k．所以，20172401912)12[()()](2[120110201102011+⋅=+-≥=-+===∑∑∑n k k k k k kk kk x g x f x．当且仅当k x k 2=2011,,2,1,0, =k 时，20172401912)12[()()](2[120112011020110+⋅=+-==-+===∑∑∑n k k k k k kk kk x g x f x．所以，存在唯一一组实数k x k 2=，2011,,2,1,0 =k ，使得等式201724019)](2[12011+⋅=-+=∑n k kk kx f x成立.。
2017年东莞市高三二模数学(文)试题及答案
2017年东莞市高三二模数学(文)试题及答案长春市普通高中2017届高三质量监测（二） 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. C3. D4. D5. C6. B7. D 8. A 9. C 10.D 11. B 12. A简答与提示： 1. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.【试题解析】B 题意可知，{|0}B y y =>，{}1,2A B =. 故选B.2. 【命题意图】本题考查复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系.【试题解析】C 由已知，①②④正确，③错误.故选C.3. 【命题意图】本题考查函数的单调性与奇偶性知识.【试题解析】D A 、B 选项为偶函数，排除，C 选项是奇函数，但在(0,)+∞上不是单调递增函数.故选D.4. 【命题意图】本题考查直线与圆的相关知识. 【试题解析】D 圆22(2)4-+=x y 的圆心关于直线3=y x 对称的坐标为(1,3)，从而所求圆的方程为22(1)(3)4-+-=x y .故选D.5. 【命题意图】本题主要考查空间几何体的体积.【试题解析】C 由已知，堑堵的体积为12018625465002⨯⨯⨯=. 故选C. 6. 【命题意图】本题主要考查几何概型.【试题解析】B 设三个区域圆心角比值为3:4:5，故区域二所占面积比41123=.故选B. 7. 【命题意图】本题主要考查利用平面向量确定点的位置进而解决平几问题.【试题解析】D 由已知，点D 在AB 边的中位线上，且为靠近BC 边的三等分点处，从而有12ABDABCS S∆∆=.故选D.8. 【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.【试题解析】A 有已知，01234201520161008=-+-++-+=S .故选A.9. 【命题意图】本题考查三角函数的有关性质.【试题解析】C 由已知，该函数关于点11(,1)12π对称.故选C.10. 【命题意图】本题主要考查考试对统计图表的识别.【试题解析】D 由图可知D 错误.故选D.11. 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识. 【试题解析】B 由已知双曲线方程为22143-=y x ，设双曲线的上焦点为'F ，则||||4'=+PF PF ，△PAF 的周长为||||||||4||3'++=+++PF PA AF PF PA ，当P 点在第一象限时，||||'+PF PA 的最小值为||3'=AF ，故△PAF 的周长的最小值为10.故选B.12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()()2=+F x f x x ，由任意<x y ，()()2->--f x f y x y 可得()2()2f x x f y y +<+，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f ，因为22(log |31|)3log |31|-<--xxf 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<xxf ，令2log |31|=-x t ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2log |31|1-<x，从而|31|2-<x，解得1,<x 且0≠x . 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 3 14. 7 15. 91 16. 322简答与提示：13. 【命题意图】本题考查同角基本关系式和二倍角公式.【试题解析】221113cos 15(2cos 151)cos302224︒-=︒-=︒=. 14. 【命题意图】本题主要考查线性规划.【试题解析】通过画可行域可以确定，使目标函数2y z x =+取最大值的最优解为(4,6)，故2yz x =+的最大值为7. 15. 【命题意图】本题考查考生有关数列归纳的相关能力.【试题解析】由三角形数组可推断出，第n 行共有21n -项，且最后一项为2n ，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.16. 【命题意图】本题考查四棱锥的外接球问题.【试题解析】由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为1O ，F 为BC 边中点，进而求出132O F =，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为2219()22BD O F +=，所以四棱锥外接球半径为322.三、解答题 17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查等比数列及数列前n 项和.【试题解析】(1) 由题可知*1113()()22N +-=-∈n na a n ，从而有13+=n nbb ，11112=-=b a ，所以{}nb 是以1为首项，3为公比的等比数列. （6分） (2) 由(1)知13-=n nb ，从而1132-=+n na ， 有1111311332222-+-=+++++=n n n n S .（12分）18. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 根据统计数据做出22⨯列联表如下：抗倒伏 易倒伏 合计 矮茎 15 4 19 高茎 101626经计算7.287 6.635k ≈>，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关. （6分）(2) 分层抽样后，高茎玉米有2株，设为,A B ，矮茎玉米有3株，设为,,a b c ，从中取出2株的取法有,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，共10种，其中均为矮茎的选取方式有,,ab ac bc 共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是310. （12分）19. (本小题满分12分) 【命题意图】本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求点到平面距离问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】（1）证明：因为AD ⊥平面,BCD ⊂BC 平面BCD ，所以⊥AD BC ，又因为,⊥=AC BC AC AD A ，所以⊥BC 平面,ACD ⊂BC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD . （6分）（2）由已知可得=CD CD 中点为F ，连结EF ，由于12ED EC AB ===所以ECD ∆为等腰三角形，从而EF =ECD S ∆=1）知⊥BC 平面,ACD 所以E 到平面ACD 的距离为1，ACDS ∆=，令A 到平面CED 的距离为d ，有11133A ECD ECD E ACD ACD V S d V S -∆-∆=⋅⋅==⋅⋅，解得d =. （12分）20. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 联立方程有，22402⎧-+=⎪⎨=⎪⎩x y y px，有22280-+=y py p ，由于直线与抛物线相切，得28320,4∆=-==p p p ，所以28=y x . （4分）(2) 假设存在满足条件的点(,0)(0)>M m m ，直线:=+l x ty m ，有28=+⎧⎨=⎩x ty my x，2880--=y ty m ，设1122(,),(,)A x y B x y ，有12128,8+==-y y t y y m，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222122222222222212121111114()()||||(1)(1)(1)(1)4y y t mAM BM t y t y t y y t m+++=+==++++，当4=m 时，2211||||AM BM +为定值，所以(4,0)M .（12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】(1) ()1'=+--a f x x a x ，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a . （4分）(2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a af x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意；②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ，当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数， 当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为增函减数， 所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点，所以()0<f a ，即21(1)ln 02+--<a a a a a 整理得1ln 12>-a a ，令1()ln 12h a a a =+-，11()02h a a '=+>，()h a 在定义域内单调递增，()()(ln 1)(ln 1)(ln 2)224224e e e e e e h h e e ⋅=+-+-=-，由ln 20.6931, 2.71828e ≈≈知ln 204e -<，故2e a >成立. （12分）22. (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 由22(3sin )12ρθ+=得22143+=x y ，该曲线为椭圆. （5分）（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22143+=x y 得22(4cos )6cos 90t t αα-+-=，由直线参数方程的几何意义，设12||||,||||==PA t PB t ，1226cos ,4cos t t αα-+=- 12294cos t t α-=-，所以21212122127||||||()44cos 2PA PB t tt t t t α+=-=+-==-，从而24cos 7α=，由于(0,)2πα∈，所以27cos α=（10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想. 【试题解析】 (1) 令24,1|1||5|6,1524,5-+≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩x x y x x x x x ，可知|1||5|6++-≥x x ，故要使不等式|1||5|++-≤x x m 的解集不是空集，有6≥m . （5分） （2）由,a b 均为正数，则要证≥a bb aa b a b ，只需证1--≥a b b aa b ，整理得()1-≥a b a b ，由于当≥a b 时，0-≥a b ，可得()1-≥a bab ，当<a b 时，0-<a b ，可得()1->a ba b ，可知,a b 均为正数时()1-≥a bab ，当且仅当=a b 时等号成立，从而≥a bb aa ba b 成立.（10分）。
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7东莞市2014届高三文科数学模拟试题(二)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>，则下列关系中正确的是 A ．M ∪P=P B ．M=P C ．M ∪P=M D ．M ∩P=P2．复数11i +的虚部是 A ．12- B ．12 C ．12i D ．13．对于非零向量,a b ，“a b ∥”是“0a b +=”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()y f x =的图象与ln y x =的图象关于直线y x =对称，则()2f = A ．1 B ．e C ．2e D ．()ln 1e -5．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上， 七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一 个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 A ．4.84 B ．0.8 C ．1.6 D ．3.26．已知,m n 是两条直线，,αβ是两个平面，给出下列命题：①若,n n αβ⊥⊥，则 //αβ；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；③若,n m 为异面直线,//,,//n n m m αββα⊂⊂，则//αβ．其中正确命题的个数A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y ，则11+-=x y ω的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21 C ．),21[+∞-D ．)1,21[-8.已知双曲线2221x y a-=()0a >的右焦点与抛物线28y x =焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是A．y = B．5y x =±C．y = D．3y x =± 9．若224m n+<，则点(),m n 必在A ．直线20x y +-=的左下方B ．直线20x y +-=的右上方C ．直线220x y +-=的右上方D ．直线220x y +-=的左下方10．如图所示，,,A B C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若OC xOA yOB =+，则A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+< 二、填空题：（本大共4小题,每小题5分,满分30分 ） 11．函数339y x x =-+的极小值是 ． 12．已知数列{}n a 是等差数列，3410118a a a =+=，，则首项1a = ．13．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3b =，4cos 5B =． 则sin A 的值为 ．★（请考生在以下两个小题中任选一题作答，全答的以第一小题计分）14．（坐标系与参数方程选做题）直线03cos 2301sin 230x t y t ⎧=+⎨=-+⎩ (t 为参数)的倾斜角是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，O 的割线PAB交O 于,A B 两点，割线PCD 经过圆心O ，已知6PA =， 223AB =，12PO =，则O 的半径是__ ．第10题图三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）已知函数()2,f x x x x R =∈. (1)求38f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 求()f x 的最大值和最小正周期； (3)若282f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭,α是第二象限的角,求sin 2α.17.（本小题满分12分）一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯子,每种样式均有500m l 和700ml 两种型号,某天的产量如右表(单位:个):按样式分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取100个,其中有甲样式 杯子25个. （1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取 2个杯子，求至少有1个500ml 杯子的概率．18．（本小题满分14分）[来源:学科网]如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====2，且F 是CD 的中点．AF =（1）求证：AF ∥平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求此多面体的体积450019．（本小题满分14分） 已知函数213(),{},22n f x x x a =+n 数列的前n 项和为S 点(,)(n n S n N *∈）均在函数 ()y f x =的图象上。
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令11,n n n n na a c a a ++=+证明：121222n c c n <++<+n …+c ．20．（本小题满分14分）已知函数32()2f x x ax x =--+.(a R ∈). （1）当1=a 时，求函数)(x f 的极值； （2）若对x R ∀∈，有4'()||3f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．东莞市2014届高三文科数学模拟试题(二)参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：（本大共4小题,每小题5分,满分30分）三、解答题（本大题共6小题，满分80分。
）17. （本小题满分12分）解: (1).设该厂本月生产的乙样式的杯子为n个,在丙样式的杯子中抽取x个，由题意得,,8000500025x=,所以x=40. -----------2分 则100－40－25＝35，所以，,35500025n=n=7000， 故z ＝2500 --5分共10个,其中至少有1个500ml 杯子的基本事件有7个基本事件:(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2个,至少有1个500ml 杯子的概率为710. --12分18. （ 本小题满分14分）解：（Ⅰ）取CE 中点P ，连结FP 、BP ，∵F 为CD 的中点， ∴FP ∥DE ，且FP=.21DE 又AB ∥DE ，且AB=.21DE ∴AB ∥FP ，且AB=FP ， ∴ABPF 为平行四边形，∴AF ∥BP ． …3分又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂ 平面BCE, ∴AF ∥平面BCE …………5分（Ⅱ）∵2AF CD =，所以△ACD 为正三角形，∴AF ⊥CD∵AB ⊥平面ACD ，DE//A B ∴DE ⊥平面ACD 又AF ⊂平面ACD ∴DE ⊥AF 又AF ⊥CD ，CD ∩DE=D∴AF ⊥平面CDE 又BP ∥AF ∴BP ⊥平面CDE 又∵BP ⊂平面BCE ∴平面BCE ⊥平面CDE …10分 (III)此多面体是一个以C 为定点，以四边形ABED 为底边的四棱锥，(12)232ABED S +⨯==， ABDE ADC ⊥∴面面等边三角形AD 边上的高就是四棱锥的高133C ABDE V -=⨯= …………14分19．（ 本小题满分14分）解：（1）213(,)()22n n n S f x S n n ∴=+点在的图象上，…………2分 当121n n n n a S S n -≥=-=+时，；当1112n a S ===时，，适合上式， 1()n a n n N *∴=+∈ ……………6分（2）证明：由11122,21n n n n n a a n n c a a n n ++++=+=+>=++ 122,n n c c c c n ∴++++> …………………………9分又211121221+-++=+++++=n n n n n n c n 121111112[()()()]233412n c c c n n n ∴+++=+-+-++-++……12分11122222n n n =+-<++121222n n c c c n ∴<+++<+成立 …………………………………14分20．（ 本小题满分14分）解：（1）当1=a 时，32()2f x x x x =--+2'()321f x x x =--=(1)(31)x x -+， ---2分 令'()0f x =，解得121,13x x =-=. 当'()0f x >时，得1x >或13x <-； 当'()0f x <时，得113x -<<. 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：------4分∴当13x =-时，函数()f x 有极大值，15()=()2,327f x f -=极大------5分 当1x =时函数()f x 有极小值，()(1)1f x f ==极小--------6分 （2）∵2'()321f x x ax =--，∴对x R ∀∈，4'()||3f x x ≥-成立，[来源:学科网ZXXK] 即24321||3x ax x --≥-对x R ∀∈成立，---7分 ①当0x >时，有213(21)03x a x -++≥，即12133a x x+≤+，对(0,)x ∀∈+∞恒成立，----------------------------∵1323x x +≥=，当且仅当13x =时等号成立，∴212a +≤12a ⇒≤-------11分 ②当0x <时，有213(12)03x a x +-+≥，即1123||3||a x x -≤+，对(,0)x ∀∈-∞恒成立，∵13||23||x x +≥，当且仅当13x =-时等号成立，∴1122a a -≤⇒≥----------13分故椭圆C 的方程为2214x y += ．…………3分（2）点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ． 由于点M 在椭圆C 上，所以412121xy -=． （*）……………………………4分由已知(2,0)T -，则),2(11y x +=，),2(11y x -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 215811()4555x =+-≥-．……6分由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅取得最小值为15-．由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． …………………………………………8分。