1.1正弦定理和余弦定理知识点

1.1正弦定理和余弦定理
基本要求：
1. 能证明正弦定理、余弦定理．
2. 能理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用．
3. 能用正弦定理、余弦定理解斜三角形．
4. 理解用正弦定理、余弦定理讨论三角形解的情形． 重点：正弦定理和余弦定理及其推导．
难点：用正弦定理解三角形时解的个数的讨论． 考点结构分析：
1. 正弦定理1
：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即：
C
c
B b A a sin sin sin ==． 2. 余弦定理2
：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦积的两倍，即：
A bc c b a cos 2222-+=．
B ca a c b cos 2222-+=．
C ab b a c cos 2222-+=．
3. 余弦定理推论：
bc a c b A 2cos 2
22-+=．
ca c a c B 2cos 2
22-+=．
ab
c b a C 2cos 2
22-+=．
4. 重要结论：
（1） 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A 、B 、
C 的对边，C B A c b a C B A sin sin sin >>⇔>>⇔>>． （2） 在ABC ∆中，给定A 、B 的正弦或余弦值，则C 有解（即存在）的充要条件是0cos cos >+B A ． 5. 解斜三角形的类型：
（1） 已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解．
（2） 已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ∆中，已知a 、b 和
角A 时，解的情况如下：
上表中为锐角时，时，无解；为钝角或直角时，，均无解． （3） 已知三边，用余弦定理有解时，只有一解． （4） 已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．
6. 三角形面积：
（1） ah S 21
=
（h 为BC 边上的高）； （2） C ab S sin 2
1
=；
（3） C B A R S sin sin sin 22
=（R 为ABC ∆外接圆半径）；
（4） R
abc
S 4=
（R 为ABC ∆外接圆半径）； （5） ))()((c p b p a p p S ---=，)(2
1
c b a p ++=．
疑难点清单：
判断三角形形状基本思想是：利用正弦定理进行角边统一．即将条件化为只含角的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形，如等边三角形，等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A 、B 、C 内角的固定范围对三角函数数值的影响． 附：
1. 正弦定理的证明： ① 定义法（教科书中给出）
如图１，在ABC Rt ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，要考虑边长之间的数量关系，就涉及到了锐角三角函数．根据正弦函数的定义，
A
c a
sin =， B c
b
sin =．
所以
c B
b
A a ==sin sin ． 又1sin =C ，所以
C
c
B b A a sin sin sin ==． 那么，对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？
如图２，当ABC ∆是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，
B a CD sin =，
A b CD sin =，
所以
A b
B a sin sin =， 得到
B
b
A a sin sin =． 同理，在ABC ∆中， C
c
B b sin sin =． 所以
C
c
B b A a sin sin sin ==． ② 向量法
如图３，ABC ∆为锐角三角形时，过A 作三位向量→j 垂直于→AB ，则→j 与→AB 的夹角为︒90，→j 与→
BC 的夹角为B -2
π
，→j 与→
CA 的夹角为
A +2
π
，设c AB =，a BC =，b AC =．
因为→
→
→
→
=++0CA BC AB ，
所以00=⋅=⋅+⋅+⋅→
→→→→→→→j CA j BC j AB j ． 即0)2
cos(
||||)2
cos(
||||2
cos
||||=++-+→
→→
→→→
A CA j
B B
C j AB j π
π
π
．
所以A b B a sin sin =，即
B
b
A a sin sin =． 同理可得：C c
B b sin sin =，即C
c
B b A a sin sin sin ==．
当ABC ∆为钝角三角形或者直角三角形时，利用同样的方法可以证得结论．（可以请学生来给出证明） ③ 几何法
如图４，设O 为ABC ∆的外接圆的圆心，连接BO 并延长交 ⊙O 与点A '，连接C A '，则A A ='或A A -='π，∴=A sin
R a B A BC A 2sin ='=
'，即R A a 2sin =，同理可证R B b
2sin =， R C c 2sin =，故有C
c
B b A a sin sin sin ==． 注：在运用时，有时需要对它进行变形，如
C B A c b a sin :sin :sin ::=； A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=．
如图５，当ABC ∆为钝角三角形时，设B 为钝角．过C 作AB 的
垂线与AB 的延长线交于D 点，由三角函数的定义得
A b CD sin =，
B a B a CD sin )180sin(=-︒=，
B a A b sin sin =∴，即B
b
A a sin sin =． 同理可得C c A a sin sin =，C
c
B b A a sin sin sin ==∴．
2. 余弦定理证明：
如图６，设→
→
=a CB ，→
→
=b CA ，→
→
=c AB ，那么→
→
→
-=b a c ，
→
→→→→→→→→→→→→
⋅-⋅-⋅=+⋅-=⋅=b a b b a a b a b a c c c 2)()(||2
C ab b a cos 222-+=
所以
C ab b a c cos 2222-+=．
同理可以证明：
A bc c b a cos 2222-+=．
B ca a c b cos 2222-+=．。