确定函数表达式
确定二次的函数的表达式
确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。
(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。
例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。
例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（ ）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。
如何求解三角函数中的面积最值问题
如何求解三角函数中的面积最值问题
三角函数中的面积最值问题是数学中的一个经典问题，可以通过求解函数的导数来找到最值点。
以下是一个简单的步骤来解决这个问题：
1. 确定函数表达式：首先确定你要研究的三角函数，比如正弦函数、余弦函数或者其他函数。
2. 求导：对函数进行求导，得到函数的导数。
3. 解方程：将导数等于零，然后解方程来找到导数的零点或者驻点。
4. 求最值：对于找到的驻点，将其带入原函数，计算得到对应的面积值。
5. 比较结果：比较所有驻点对应的面积值，找到最大值或最小值。
举个例子，假设我们要求解正弦函数sin(x)在区间[0, π]上的面积最大值。
按照上述步骤进行：
1. 函数表达式：该问题中，函数表达式为sin(x)。
2. 求导：对sin(x)求导得到cos(x)，即函数的导数。
3. 解方程：将cos(x)等于零，得到x=π/2，在区间[0, π]上找到导数为零的点。
4. 求最值：将x=π/2带入原函数sin(x)，计算得到面积值为1。
5. 比较结果：该区间上面积最大值为1，没有更大的值。
通过以上步骤，我们可以求解三角函数中的面积最值问题。
需要注意的是，这个方法只适用于简单的三角函数，对于复杂的函数或更复杂的问题，可能需要使用更高级的数学工具和技巧来求解。
确定二次函数的表达式(第1课时)课件
表达式 （第1课时）
学习目标
1.掌握由两点确定二次函数的表达式。
2.掌握用顶点法确定二次函数表达式。
3.掌握用交点法确定二次函数表达式。
复习回顾
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
图象特征
二次函数
y=a(x-h)2+k
开口方向
a>0
a<0
向上
向下
对称轴
顶点
直线x=h
(h,k)
1
4
1
，
4
∴这条抛物线的表达式为：y= (x-4)2-1.
归纳总结
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
自主合作，探究新知
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的
交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).
(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
y
2
1
O
-4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
1 2 x
反比例函数解题技巧
反比例函数解题技巧
反比例函数是一种特殊的函数形式，也是解题中常见的一种形式。
掌握好反比例函数的解题技巧，可以帮助我们更加高效地解题。
1. 确定函数表达式
首先，我们需要确定反比例函数的函数表达式。
反比例函数通常具有以下形式：
y = k / x
其中，k 是一个常数，x 和 y 分别表示函数的自变量和因变量。
2. 确定变量之间的关系
反比例函数中，自变量 x 和因变量 y 是互相影响的。
我们通常通过分析题目中给定的条件来确定它们之间的关系。
例如，如果题目中给定了 x 和 y 的比例关系，那么反比例函数就可以表示为：
y = k / x = (k / a) * (a / x)
其中，k / a 表示比例系数，a / x 表示比例关系。
3. 利用已知条件求解未知数
通过确定函数表达式和变量之间的关系，我们就可以利用已知条件求解未知数。
例如，如果已知函数关系式为 y = 2 / x，同时知道x = 4，则可以通过代入求解得到 y = 0.5。
另外，如果已知两个点的坐标，我们也可以通过反比例函数求解其中的未知数。
例如，如果已知反比例函数 y = 3 / x，同时知道其中两个点的坐标为 (2, 1) 和 (x, 2)，则可以通过代入求解得到 x =
6。
以上就是反比例函数解题的基本技巧，希望对大家有所帮助。
求函数表达式的六种常用方法
求函数表达式的六种常用方法本文介绍了求解函数表达式的六种常用方法，包括：
1. 代数法：通过代数运算和方程求解，确定函数的表达式。
2. 图形法：绘制函数的图像，通过观察图像的特征确定函数的
表达式。
3. 函数变换法：通过对已知函数进行平移、缩放、反转等变换，得到目标函数的表达式。
4. 插值法：通过已知点的函数值，利用插值方法找出函数的近
似表达式。
5. 微分法：通过对函数进行微分运算，得到函数的导函数表达式，进而推导出原函数的表达式。
6. 梯度下降法：通过迭代计算的方式，根据目标函数与变量的
梯度方向找到函数的最小值或最大值。
这些方法各有特点，根据实际情况选择合适的方法。
在使用这
些方法时，需要注意避免法律复杂问题，确保决策独立且不依赖外
部辅助。
同时，不要引用无法确认内容的引用资料。
以上是对求函数表达式的六种常用方法的简要介绍。
希望本文能够帮助您在求解函数表达式时找到合适的方法。
注意：本文所提供的信息仅供参考，具体使用方法请根据实际需求及相关法律规定进行决策和操作。
三法确定一次函数表达式
三法确定一次函数表达式确定一次函数表达式的方法有三种，分别是点斜式、截距式和一般式。
一、点斜式：点斜式是通过已知直线上一点的坐标和该直线的斜率来确定一次函数表达式的方法。
已知直线上一点的坐标为(x1,y1)，斜率为m，则该直线的点斜式表达式为：y-y1=m(x-x1)其中，m为直线的斜率，定义为直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
例如，已知直线上一点的坐标为(2,3)，斜率为2，则直线的点斜式为：y-3=2(x-2)二、截距式：截距式是通过已知直线在坐标轴上的截距来确定一次函数表达式的方法。
已知直线与x轴的交点为(a,0)，与y轴的交点为(0,b)，则该直线的截距式表达式为：x/a+y/b=1其中，a为直线与x轴的截距，b为直线与y轴的截距。
例如，已知直线与x轴的截距为3，与y轴的截距为4，则直线的截距式为：x/3+y/4=1三、一般式：一般式是通过已知直线上两点的坐标来确定一次函数表达式的方法。
已知直线上两点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则该直线的一般式表达式为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)其中，(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点的坐标。
例如，已知直线上两点的坐标分别为(2,3)和(4,7)，则直线的一般式为：(y-3)/(x-2)=(7-3)/(4-2)以上三种方法都可以用来确定一次函数表达式，选择使用哪种方法取决于已知的条件。
点斜式适用于已知斜率和一点的情况，截距式适用于已知与坐标轴的截距的情况，一般式适用于已知两点的情况。
根据实际情况选择合适的方法，可以快速准确地确定一次函数表达式。
确定函数表达式
热身练习
①已知一次函数的图象经过（2，4）， y=3x-2 。 （0，-2）两点，则表达式为__________ ②已知点A（-4，n），B（2，-4）是一次函
m 数 y kx b 和反比例函数 y 图象的 x
交点坐标，求两个函数表达式。
k 4 例4：如图直线 y 3 x 与双曲线 y x ( x 0) 4 9 交于点A，将直线 y x 向右平移 个单位后，与双 3 2 k 曲线 y ( x 0) 交于点B，与x轴交于点C，若 x y AO 2 , BC 求k的值。
M
Nxຫໍສະໝຸດ （3）中考链接： （2010年北京中考）
4 例2：如图，直线 y x 8 与x轴、y轴分别交 3 于
A、B两点.M是OB上一点，若将△ABM沿AM折 叠，点B恰好落在x轴上的点B1处,试求直线AM的 表达式.
新课讲解
3 x2 3 ， 例3：已知直线l的表达式为：y 2 （1）把l绕原点逆时针旋转90°，求所得函数表达式
y=-x-2
8 y x
15年中考要求
B. 能根据已知条件确定一次函数、反 比例函数的表达式； C. 运用轴对称、旋转等有关内容解决有 关问题；
C.运用坐标与图形运动的有关内容解决 有关问题.
新课讲解
1 y x2 例1：已知直线l的表达式为： 2 ①把l沿x轴翻折后，求所得函数表达式；
1 y x2 2 B1
(1) 试确定此反比例函数的解析式； (2) 点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30 得到线段OB。判断点B是否在此反比例函数的图象上， 并说明理由； (3) 已知点P(m， 3m6)也在此反比例函数的图象上( 其中m<0)，过P点作x轴的垂线，交x轴于点M。若线 段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是 1 ，设Q点 2 的纵坐标为n，求n22 3 n9的值。
五种常见确定函数表达式的方法(最新课件)
(4)若直线y＝kx＋b与第(2)问中的函数图象平行且位于B， D两点之间(包含B，D两点)，求b的范围．
解：由题意知，直线y＝kx＋b与y＝2x－4平行， 则k＝2，所以y＝2x＋b. 若直线y＝2x＋b过点B(5，2)，则2×5＋b＝2，解得b＝－8； 若直线y＝2x＋b过点D(1，6)，则2×1＋b＝6，解得b＝4， 所以－8≤b≤4.
北师版 八年级上
第四章 一次函数
五种常见确定函数表达式的方法
习题链接
提示：点击 进入习题
答案显示
1 y＝10x
5 (1)10；18
2 m＝－3； y＝－6x－9.
(2) y＝54xx， ＋02，≤xx≤＞2，2.
3 y＝－2x－6.
(3) 7 kg.
(1)(5，6)；(1，6) (2)y＝2x－4. 4 (3) 画图略．S△OCE＝2×6×12＝6.
6
(1) y＝－21x＋2. (2) (1，1.5)
(4)－8≤b≤4.
或(－1，2.5)．
1．已知函数y＝(k＋5)xk2－24是关于x的正比例函数，则表 达式为___y_＝__1_0_x____．
2．当m为何值时，函数y＝(m－3)xm2－8＋3m是关于x的一 次函数？并求其函数表达式．
解：由题意得mm2－－38≠＝0，1，所以 m＝－3. 所以函数表达式为 y＝－6x－9.
3．一个一次函数的图象平行于直线y＝－2x，且过点A(－4， 2)，求这个函数的表达式．
解：设这个函数的表达式为y＝kx＋b，由函数图象 平行于直线y＝－2x得k＝－2， 因为图象经过点A(－4，2)． 所以2＝－2×(－4)＋b，解得b＝－6. 所以这个函数的表达式为y＝－2x－6.
4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方 形，且顶点A，B的坐标 分别为(1，2)，(5，2)． (1)点C的坐标为__(_5_，__6_)_， 点D的坐标为__(_1_，__6_) _； (2)若一次函数y＝ax－4(a≠0)的图象经过点C 5 元/kg， 所以 y＝5x； 当 x＞2 时，其中有 2 kg 的种子按 5 元/kg 付款， 其余的(x－2)kg 种子按 4 元/kg(即八折)付款． 所以 y＝5×2＋4(x－2)＝4x＋2. 所以 y 关于 x 的函数表达式为 y＝54xx， ＋02，≤xx≤＞2，2.
北师大版数学八年级上册7《用二元一次方程组确定一次函数表达式》教案1
北师大版数学八年级上册7《用二元一次方程组确定一次函数表达式》教案1一. 教材分析《用二元一次方程组确定一次函数表达式》是北师大版数学八年级上册7的一节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过引入实际问题，让学生经历从实际问题中建立数学模型的过程，从而加深对一次函数的理解。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了了一次函数的基本概念和相关性质，对一次函数有一定的了解。
但是，对于如何利用二元一次方程组确定一次函数表达式，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出数学模型，理解并掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法。
2.过程与方法：培养学生从实际问题中建立数学模型的能力，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法。
2.难点：如何引导学生从实际问题中抽象出数学模型，理解并掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的过程。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.案例教学法：通过分析具体案例，让学生理解并掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.教师准备：准备好相关案例和教学PPT。
2.学生准备：预习一次函数的基本概念和相关性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现具体案例，引导学生从实际问题中抽象出数学模型。
3.操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，让学生动手解二元一次方程组，确定一次函数表达式。
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式在数学的世界里，一次函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系。
而确定一次函数的表达式，则是我们能够顺利通过这座桥梁，解决各种实际问题的关键钥匙。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b（其中 k、b 是常数，k ≠ 0）。
这里的 k 被称为斜率，它决定了函数图像的倾斜程度；b 则是截距，也就是函数图像与 y 轴的交点。
要确定一次函数的表达式，实际上就是要找出 k 和 b 的值。
那怎么来找呢？通常有两种常见的方法：待定系数法和利用函数图像的特征。
先说待定系数法。
假设我们知道一次函数上的两个点的坐标，比如（x₁, y₁）和（x₂, y₂），把这两个点代入函数表达式 y ＝ kx ＋ b 中，就可以得到一个关于 k 和 b 的方程组。
举个例子，如果已知点（1, 3）和（2, 5）在某个一次函数上，那么把（1, 3）代入函数表达式得到 3 ＝ k×1 ＋ b，即 k ＋ b ＝ 3；把（2, 5）代入得到 5 ＝ k×2 ＋ b，即 2k ＋ b ＝ 5。
接下来解这个方程组，就能求出 k 和 b 的值。
从第一个方程 k ＋ b ＝ 3 可以得到 b ＝ 3 k，把它代入第二个方程2k ＋ b ＝ 5 中，就有 2k ＋ 3 k ＝ 5，解得 k ＝ 2。
再把 k ＝ 2 代入 b＝ 3 k ，得到 b ＝ 1。
所以这个一次函数的表达式就是 y ＝ 2x ＋ 1。
再来说说利用函数图像的特征来确定表达式。
如果我们能从图像中直接看出函数与 y 轴的交点，那这个交点的纵坐标就是 b 的值。
而斜率 k 呢，可以通过图像上任意两个点的坐标来计算。
比如说，函数图像与 y 轴交于（0, －2），并且还经过点（2, 4）。
那么 b ＝－2，而斜率 k ＝（4 （－2））÷（2 0）＝ 3 。
所以这个一次函数的表达式就是 y ＝ 3x 2 。
在实际应用中，确定一次函数的表达式非常有用。
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式在数学的世界里，一次函数是我们经常会遇到的重要概念。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，在实际生活中也能帮助我们解决许多问题，比如计算成本、预测趋势等等。
而要有效地运用一次函数，首先我们得学会确定它的表达式。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b ，其中 k 是斜率，b 是截距。
确定一次函数的表达式，关键就在于求出 k 和 b 的值。
那怎么求呢？最常见的方法就是利用给定的条件来建立方程组，然后求解。
比如说，已知一次函数经过两个点的坐标，（x₁, y₁)和(x₂, y₂)。
我们把这两个点代入函数表达式 y ＝ kx ＋ b 中，就能得到两个方程：y₁＝ kx₁＋ by₂＝ kx₂＋ b这样就组成了一个关于 k 和 b 的二元一次方程组，通过解方程组，就能求出 k 和 b 的值，从而确定一次函数的表达式。
举个例子，已知一次函数经过点(1, 3)和(2, 5)。
我们把这两个点代入表达式中：对于点(1, 3)，有 3 ＝ k × 1 ＋ b ，即 k ＋ b ＝ 3 ①对于点(2, 5)，有 5 ＝ k × 2 ＋ b ，即 2k ＋ b ＝ 5 ②用②①，得到：2k ＋ b （k ＋ b) ＝ 5 32k ＋ b k b ＝ 2k ＝ 2把 k ＝ 2 代入①式，得到 2 ＋ b ＝ 3，b ＝ 1所以，这个一次函数的表达式就是 y ＝ 2x ＋ 1 。
除了已知两个点的坐标这种情况，有时候我们还会遇到已知函数图像与坐标轴的交点来确定表达式。
比如，已知一次函数图像与 x 轴交于点(a, 0)，与 y 轴交于点(0, b)。
那么，把这两个点代入表达式 y ＝ kx ＋ b 中，可得：0 ＝ ka ＋ b ③b ＝ 0 × k ＋ b ，即 b ＝ b ④由③式可得 b ＝ ka，将其代入④式，就可以求出 k 的值，进而求出b 的值，确定函数表达式。
另外，如果给定的条件是关于函数的斜率和一个点的坐标，那确定表达式就更简单了。
第六章 确定一次函数表达式
5．若直线 与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个面积单位，则 的值是（）
A、6 B、-6C、 D、
6．一次函数的图像如图所示，那么这个一次函数的解析式是（）
A、 B、 C、 D、
7．已知点A在直线 上，若点A与原点及直线和 轴的交点所
围成的三角形的面积为2，则点A的坐标为（）
11．如图，直线 是一次函数的图像．（1）写出
与 的函数关系式；
（2）当 时，求 的值；（3）当 时， 的值为多少？
本课作业
1．已知正比例函数 的图像上两点 ， ，当 时，有 ，那么 的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
2．一次函数 的图像不经过（）
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
3．一次函数 的图像过点（）
A、（2,-3）B、（1,0）C、（-2,3）D、（0,-1）
4．直线 与 轴交点坐标是（）
例3．根据下列要求分别写出相应的函数关系式：（1） 与 成正比例，其图象经过 ；（2）函数 的图象经过原点．
例4.已知 与 成正比例，且过（1，2）点，求此函数；并画出此函数图象.
例5．在弹性限度内，弹簧的长度 是所挂物体的质量 的一次函数．当所挂物体的质量为1 时，弹簧长10cm；当所挂物体的质量为3 时，弹簧长12cm，请写出 与 之间的关系式，并求出所挂物体的质量为6 时弹簧的长度．
第六章《一次函数》确定函数表达式
姓名________班级_________
【知识要点】
一、确定一次函数解析式的基本思想。
由于一次函数的表达式 中含有两个字母 和 ，因此要确定一个一次函数，即把 和 的值确定下来即可.
正比例函数由于图象经过原点，所以只需求出字母 即可.
湘教版数学八年级下册_【例题与讲解】确定一次函数表达式
4 确定一次函数表达式1．确定一次函数表达式(1)借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y ＝kx (k ≠0)；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y ＝kx 或y ＝kx ＋b 中，求出其中的k ，b ，即可确定出其关系式．(2)确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件①由于正比例函数y ＝kx (k ≠0)中只有一个未知系数k ，故只要一个条件，即一对x ，y 的值或一个点的坐标，就可以求出k 的值，确定正比例函数的表达式．②一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)有两个未知系数k ，b ，需要两个独立的关于k ，b 的条件，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x ，y 的值．【例1】 如图，直线AB 对应的函数表达式是( )．A ．y ＝－32x ＋3 B ．y ＝32x ＋3 C ．y ＝－23x ＋3 D ．y ＝23x ＋3 解析：设直线AB 对应的函数表达式是y ＝kx ＋b (k ≠0)，当x ＝0时，y ＝3，代入得b ＝3，当x ＝2时，y ＝0，则2k ＋3＝0，k ＝－32，故y ＝－32x ＋3. 答案：A点技巧 用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数，故应设成y＝kx＋b(k≠0)的形式，再将A，B两点坐标代入该关系式，即可求出k，b，从而确定出具体的关系式．2．待定系数法(1)定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数．(2)用待定系数法求解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将x，y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程(组)，得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式．【例2－1】一次函数图象如图所示，求其解析式．分析：利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的坐标，再用待定系数法求出k，b的值，从而确定表达式．解：设一次函数解析式为y＝kx＋b，∵一次函数图象过点(0，－2)，∴－2＝k×0＋b，∴b＝－2.∵一次函数图象过点(1,0)，∴0＝k×1＋b，∴k＝2.∴一次函数解析式为y＝2x－2.【例2－2】在直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过三点A(2,0)，B(0,2)，C(m, 3)，求这个函数的表达式，并求m的值．解：根据题意，得2k＋b＝0①，b＝2, km＋b＝3②，把b＝2代入①，得2k＋2＝0，即k＝－1；把b＝2，k＝－1代入②，得m＝－1.故函数的表达式为y＝－x＋2.3．如何确定一次函数的表达式确定正比例函数和一次函数的解析式是一次函数这部分内容考查的一个重要知识点．那么应该怎样确定正比例函数和一次函数的解析式呢？因为正比例函数的解析式y＝kx中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了正比例函数的解析式．而一次函数的解析式y＝kx＋b中，有两个待定系数k和b，因此需要两个条件，此条件可以是直线上的两个点的坐标，也可以是两对变量与函数的对应值．但在实际求正比例函数和一次函数的解析式时，应该具体问题具体分析．(1)定义型若两个量y与x成正比例，可设为正比例函数形式：y＝kx(其中k是常数，k≠0)，再用待定系数法求比例系数k.(2)两(或一)点型把点的坐标代入所设的关系式中，根据点的坐标求解．(3)图象型解决看图获取信息的问题，不仅要注意坐标轴所表示的量是什么，还要抓住图中一些关键的点(如：起点、终点、折线中的折点)所反映出的信息．通过观察图象，发掘图象经过坐标轴上的两点，根据两点的坐标构造待定系数的方程组，求出k，b；它体现了数与形的完美结合，是解题的重要思想方法之一．点在函数图象上，就是说点的坐标满足该图象的函数解析式．只需把点的坐标代入函数解析式，然后求方程(组)的解即可．(4)平移型平移不改变k的大小，只改变b的大小．(5)实际应用型解这类题的方法是对问题的审读和理解，掌握用一个变量的代数式表示另一个变量，建立两个变量间的等量关系，同时从题中确定自变量的取值范围．这是求实际应用型问题的函数关系式的至关重要的一点．【例3－1】求一次函数y＝(m－2)xm2－3－m＋3的关系式．解：由一次函数的定义，得m2－3＝1，且m－2≠0.解得m＝－2.故所求关系式为y＝－4x＋5.【例3－2】直线y＝kx＋b经过点A(－3,0)和点B(0,2)，求这条直线的表达式．分析：把点A和点B的横、纵坐标分别当做x，y的值代入y＝kx＋b中，求出k，b即可．解：把点A和点B的横、纵坐标分别当做x，y的值代入y＝kx＋b中，得0＝－3k＋b,2＝b，得出k＝23，b＝2，从而得出这条直线的表达式为y＝23x＋2.【例3－3】已知某个一次函数的图象如图所示，则该函数的解析式为__________．解析：设一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∵由图可知一次函数y＝kx ＋b的图象过点(0,2)，(1,0)，∴2＝k×0＋b,0＝k×1＋b，解得b＝2，k＝－2.∴一次函数的解析式为y＝－2x＋2.答案：y＝－2x＋2【例3－4】将直线y＝2x向上平移两个单位长度，所得的直线是( )．A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2C．y＝2(x－2) D．y＝2(x＋2)解析：由于直线y＝kx＋b可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)，所以将直线y＝2x向上平移两个单位长度，所得的直线是y＝2x＋2.答案：A【例3－5】大拇指尽量伸开时，拇指与食指的距离称为指距，某研究表明，一般情况下，人的身高h是指距d的一次函数，下表是测得指距与身高的一组数据：(1)求出h与(2)某人身高196 cm，一般情况下他的指距是多少？解：(1)设一次函数的解析式为h＝kd＋b(k，b为常数，且k≠0)．由题意，得160＝20k＋b①，169＝21k＋b②.②－①，得k＝9，代入①，得b＝－20.故一次函数的解析式为h＝9d－20.(2)当h＝196时，196＝9d－20，得d＝24.因此某人身高196 cm，一般情况下他的指距是24 cm.。
用二元一次方程组确定一次函数表达式
用方程 解 行程问题
A、B 两地相距150千米，
1 时后乙距A地
甲、乙两人骑自行车分别从A
120千米,即乙的
、B 两地同时相向而行。假设 小彬 速度是 30千米/时,
他们都保持匀速行驶，则他们
各自到A地的距离s(千米)都是 骑车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米.
4 3
,
2 3
).
( , )
33
教学目标
1.理解作函 数图像的方法与 代数方法各自的 特点.
2.掌握利用 二元一次方程组 确定一次函数的 表达式.
3.进一步理 解方程与函数的 联系，体会知识 之间的普遍联系 和知识之间的相 互转化.
１、二元一次方程组与一次函数有何联系?
二元一次方程组的解是它们对应的两个 一次函数图象的交点坐标；反之，两个一 次函数图象的交点也是它们所对应的二元 一次方程组的解。
1 2
x
1
点拨：由图象知，l1、l2 的 x 的系数都应为负数，排除 A、
C.又 l1、l2的交点为(2，－2)，代入验证可知只有 D 符合．
【跟踪训练】
如图，直线
l的1与交l点2 坐标是____.
l1
y
l2
3
2
1
-2 -1 -01 1 2 3
x
-2
设直线l2为y k2 x b2 , 因为直线l2过点(1, 0), (0, 2),
归纳:
任意一个二元一次方程都可以转化 成y=kx+b的形式,所以每个二元一次 方程都对应一个一次函数.
每个二元一次方程都可转化为一次函数
方程 ax+by=c 的解
求函数表达式的三种方法
求函数表达式的三种方法
在数学中，函数表达式是描述一个函数关系的数学式子。
求解函数表达式可以帮助我们理解函数的性质和行为。
本文将介绍求函数表达式的三种方法。
方法一：函数定义法
函数定义法是最直接的求函数表达式的方法之一。
通过观察函数的定义和性质，我们可以推导出函数的表达式。
例如，对于线性函数y=yy+y，我们可以通过已知的函数值和性质来求解a和b的值。
方法二：变换法
变换法是一种通过对函数进行变换来求得函数表达式的方法。
通过对已知函数进行平移、伸缩、反转等操作，我们可以得到目标函数的表达式。
方法三：逼近法
逼近法是一种通过逼近函数值来求解函数表达式的方法。
通过选取一系列的数据点，我们可以使用插值或拟合方法来逼近函数的表达式。
这种方法在实际问题中非常常见，例如通过实验数据求解出物理规律中的函数表达式。
综上所述，求函数表达式的三种方法各有其特点，适用于不同的情况和问题。
选择合适的方法可以更快更准确地求解函数表达式，帮助我们更好地理解函数的性质和应用。
如何求函数值
如何求函数值
求函数值的过程相对直接，主要涉及到将给定的自变量值代入函数表达式中，然后按照数学运算规则计算出结果。
以下是求函数值的一般步骤：
1.确定函数表达式：首先，需要知道函数的表达式。
这通常
是一个数学公式，例如 y = f(x)，其中 f(x) 是关于 x 的某种数学运算。
2.代入自变量值：将需要求函数值的自变量（通常是 x）的
具体数值代入函数表达式中。
3.执行数学运算：根据函数表达式中的运算规则（如加法、
减法、乘法、除法、指数、对数等），对代入后的表达式进行计算。
4.得出函数值：完成数学运算后，得到的结果就是对应自变
量值的函数值。
例如，假设有一个函数 f(x) = 2x + 3，我们要求当 x = 4 时的函数值。
1.函数表达式是 f(x) = 2x + 3。
2.将 x = 4 代入表达式中，得到 f(4) = 2 \times 4 + 3。
3.执行数学运算，f(4) = 8 + 3。
4.得出函数值，f(4) = 11。
所以，当 x = 4 时，函数 f(x) = 2x + 3 的值为11。
在实际应用中，函数可能更加复杂，但求函数值的基本步骤是相同的：代入、计算、得出结果。
如果函数是通过图像或表格给出的，那么可以通过观察图像上的点或查找表格中的对应项来得到函数值。
证明函数无穷小的步骤
证明函数无穷小的步骤引言：在数学中，函数无穷小是一个重要的概念。
无穷小可以简单地理解为当自变量趋于某个特定值时，函数值趋于零。
本文将介绍函数无穷小的概念以及证明一个函数是无穷小的步骤。
一、函数无穷小的定义在数学中，给定一个函数f(x)，如果对于任意一个正数ε，存在一个正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)|<ε成立，那么我们称函数f(x)在x=x0时是无穷小。
二、证明函数无穷小的步骤要证明一个函数是无穷小，一般可以按照以下步骤进行：1. 确定自变量趋于的特定值确定函数自变量x趋于的特定值，通常用x0表示。
这个特定值可以是任意实数或者正无穷、负无穷。
2. 确定函数表达式确定要证明的函数表达式f(x)。
3. 确定无穷小的定义根据函数无穷小的定义，确定无穷小的具体定义，即对于任意一个正数ε，存在一个正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)|<ε成立。
4. 选择合适的δ根据无穷小的定义，需要选择一个合适的δ来满足条件。
一般来说，可以根据函数表达式进行分析，找到一个合适的δ。
5. 利用数学工具进行推导利用数学工具，如极限、不等式等进行推导，证明当x趋于x0时，函数f(x)满足无穷小的定义。
在推导过程中，要注意推导的合理性和逻辑性，确保每一步都是可靠的。
6. 举例说明为了更好地说明函数是无穷小，可以选择一些具体的例子进行举例，将x取一些特定的值，观察f(x)的变化情况，验证函数是否满足无穷小的定义。
7. 总结和归纳在证明过程中，要对每一步的推导进行总结和归纳，确保证明的完整性和准确性。
总结和归纳可以帮助读者更好地理解证明过程，加深对函数无穷小的理解。
三、举例说明为了更好地理解证明函数无穷小的步骤，下面以一个具体的例子进行说明。
例：证明函数f(x)=2x^2在x=0时是无穷小。
确定自变量趋于的特定值为x=0。
确定函数表达式为f(x)=2x^2。
根据函数无穷小的定义，对于任意一个正数ε，存在一个正数δ，使得当0<|x-0|<δ时，有|2x^2|<ε成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《确定二次函数的表达式(第1课时）》教学设计说明江西省东乡区黎圩中学李智武一、学生知识状况分析学生已经学习了二次函数的一般式和顶点式表达式，二次函数的图像和性质，尤其对特殊类型的二次函数图像已有充分的认识.以前学生已经学习了用待定系数法确定一次函数和反比例函数的关系式，因此本节课学生用类比的方法学习待定系数法确定二次函数的表达式应该并不陌生和困难，因此，课堂教学时应鼓励学生敢于探究与实践，通过小组合作交流等形式，充分调动学生自主学习积极性和培养学生主动发展的习惯和能力.在学生自主学习时，要注意引导学生灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.二、教学任务分析本节内容是义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）九年级下册第二章第3节《确定二次函数的表达式》的第1课时. 本节课是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上展现，目的为二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点.本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，用待定系数法求解二次函数表达式，学生能够根据条件灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.本节课的教学目标知识与技能：能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式，并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式.过程与方法：经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法.情感、态度与价值观：能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念，养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，培养数学的应用意识.学习重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.学习难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节 复习引入1.二次函数表达式的一般形式是什么?y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0) 2.二次函数表达式的顶点式是什么?k h x a y +-=2)( (a ≠0).3.若二次函数y=ax ²+bx+c(a ≠0)与x 轴两交点为(1x ,0),( 2x ,0)则其函数表达式可以表示成什么形式?)x -x (x -x 21）（a y = (a ≠0).复习引入初步探究深入探究反馈练习 与知识拓展课时小结作业布置4.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件；确定反比例函数xky =(k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件.如果要确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ?(学生思考讨论后，回答)第二环节 初步探究引例 如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)的图象，你能求出其表达式吗？分析：要求y 与x 之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．此题设二次函数的顶点坐标式进行求解较为简便，学生较易接受；如学生通过找（10，0）在抛物线上的对称点（-2，0），用交点式)x -x (x -x 21）（a y = (a ≠0)求解或用其他方法求解均可.解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），因此设它的关系式为3)4(2+-=x a y ,又∵图象过点（10，0）, ∴03)410(2=+-a , 解得 121-=a , ∴图象的表达式为3)4(1212+--=x y . 想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？小结：确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常需要3 个条件; 当知道顶点坐标（h,k ）和知道图象上的另一点坐标两个条件，用顶点式k h x a y +-=2)(可以确定二次函数的关系式.例1 已知二次函数y=ax 2+c 的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.分析：二次函数y=ax 2+c 中只需确定a,c 两个系数，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点代入即可.解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数y=ax 2+c 中，得⎩⎨⎧+=-+=,3,43c a c a 解这个方程组，得⎩⎨⎧-==.5,2c a ∴所求二次函数表达式为：y=2x 2－5.第三环节 深入探究例 已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.目的：此例求二次函数的表达式，一方面让学生深入探究根据不同的条件灵活选用二次函数的不同形式，通过待定系数法求出函数关系式，另一方面让学生通过实践感受到二次函数一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数需要三个条件．但由于这个二次函数图象与y 轴交点的纵坐标为1，所以c =1，因此可设y=ax ²+bx+1把已知的二点代入关系式求出a,b 的值即可.教学注意事项：学生可能会根据条件，设二次函数的解析式y=ax ²+bx+c ，把点（0，1），（2，5），（-2，13）代入，用三元一次方程组解决，这对一些学生可能有一定的困难，可通过小组合作交流、个别辅导等形式解决.解法 1 解：因为抛物线与y 轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为12++=bx ax y ，∵图象经过点(2,5)和(-2,13)∴⎩⎨⎧=+-=++,13124,5124b a b a 解得：a=2,b=-2.∴这个二次函数关系式为 1222+-=x x y .解法2 解：设抛物线关系式为 y=ax ²+bx+c ,由题意可知，图象经过点（0，1），(2,5)和(-2,13)，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=,1324,524,1c b a c b a c 解方程组得：a =2,b =-2，c =1.∴这个二次函数关系式为 1222+-=x x y 想一想在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？ 小结：1.用顶点式k h x a y +-=2)(确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k ）坐标时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式. 2. 用一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数时，如果系数a,b,c 中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.如果系数a,b,c 中三个都是未知的，这个我们将在下节课中进行研究.第四环节：反馈练习与知识拓展1.已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），求这个二次函数的表达式.2. 已知二次函数y=x ²+bx+c 的图象经过点（1，1）与（2，3）两点.求这个二次函数的表达式.答案：1.用顶点式1)1(2++-=x y ；2.12+-=x x y ； 目的：四个练习旨在对学生求二次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．四个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求二次函数的方法．对于练习题3，设抛物线的三种表达式都可以求解，应给学生有充分的交流时间，让学生体会到这题用交点式求解更为简便.可以形对于练习题４，教师可引导学生分析，并教学生要学会建立适当的直角坐标系，利用图象分析问题，体会数形结合方法的重要性．学生若出现解题格式不规范的情况，教师应纠正并给予示范，训练学生规范答题的习惯．第五环节课时小结内容：总结本课知识与方法1．本节课主要学习了怎样确定二次函数的表达式，在确定二次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出二次函数的解析式，再根据题目条件（根据图象或已知点）列出方程（组），解方程组求出待确定的系数，最后答(把求出的系数代回关系式中写出关系式).在解题时应灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.因此，用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（设-列-解-答）方程思想数形结合2．本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想．目的：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．3.学习了在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？（1）用顶点式k=2)(确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k）坐-ahxy+标时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式.（2）用一般式y=ax²+bx+c确定二次函数时，如果系数a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.第六环节作业布置课本习题 2.6 第1，2，3题四、教学设计反思1.设计理念本节课的重点是要学生了解用待定系数法求二次函数的表达式需要两个条件的情况，掌握用待定系数法确定二次函数表达式的步骤和方法，并能根据条件灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础．2．突出重点、突破难点策略探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到二次函数就在我们身边．教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求二次函数表达式的一般方法．教学中还注意到尊重学生的个体差异，开展小组合作交流，充分调动学生自主学习的积极性和创造性，使每个学生都学有所获．3.分层教学根据本班学生及教学情况可在教学过程中还可选用拓展资源中《确定二次函数关系式的常见题型及解法》或补充练习题进行相应的补充或拓展．附：板书设计学生演算板书引例用待定系数法确定二次函数的表达式的步骤例1（设-列-解-答）。