基本尺规作图
《尺规作图》课件PPT课件
05
习题与练习
基本题
题目1
作一个角等于已知角
题目2
经过一点作已知直线的垂线
题目3
过直线外一点作已知直线的平行线
进阶题
01
02
03
题目4
作一个三角形，使其三边 长度分别为3cm、4cm、 5cm
02
通过一个点作圆
使用尺规，选取一个点作为圆心，再选取一个长度作为半径，然后以该
点为起点，以该长度为半径，画出一个圆。
03
通过两个点作圆
使用尺规，选取两个点作为圆上的点，再选取这两个点之间的中点作为
圆心，然后以该中点到每个点的距离为半径，分别画出两个圆，这两个
圆就是所求的两个圆。
圆弧的作法
圆弧的基本性质
题目5
作一个角，使其是已知两 角的和
题目6
经过一点作已知直线的垂 直平分线
挑战题
题目7
作一个正方形，使其面积 等于已知三角形的面积
题目8
经过两个已知点作一条直 线的平行线
题目9
作一个五边形，使其内角 和等于已知四边形的内角 和
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在几何学中，尺规作图被广泛应用于解决各种几何问题，如求作线段的中点、等分 线段、求作圆的切线等。
在代数和解析几何中，尺规作图也有着广泛的应用，如求作函数的图像、求作方程 的根等。
在数学竞赛中，尺规作图是重要的解题工具之一，能够解决一些复杂的几何构造问 题。
02
尺规作图的基本技能
直线的作法
直线的基本性质
中考专题复习——初中最基本的尺规作图总结与典型例题
初中基本尺规作图总结与典型例题一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
五种基本的尺规作图
在建筑设计中，尺规作图被广泛 应用于绘制平面图、立面图和剖 面图等，以确保建筑的准确性和
美观性。
机械工程
在机械制图中，尺规作图是绘制精 确零件图和装配图的重要工具，有 助于提高机械制造的精度和效率。
艺术设计
在美术、设计等艺术领域，尺规作 图也被用于创作具有几何美感的作 品，展现出独特的艺术魅力。
技巧分享
分享一些在尺规作图中常用的技巧和注意事项，如如何准确确定切点、如何绘制 垂直直线等，以提高作图的准确性和效率。同时，也可以介绍一些在实际应用中 可能会遇到的特殊情况和处理方法。
06 综合应用与拓展
五种基本尺规作图的综合应用
作一条已知线段的垂直平分线
利用直尺和圆规，可以准确作出已 知线段的垂直平分线，这在几何作 图中非常有用。
技巧分享
在绘制大圆时，可以将圆规两脚间距离调整得稍大一些，以提高绘制效率；在绘制小圆时 ，则需要更加精细地调整圆规两脚间距离，以确保绘制出的圆足够准确。
注意事项
在实例演示和技巧分享中，要强调保持圆规两脚间距离不变的重要性，以及注意调整圆规 两脚间距离的方法。同时，还可以分享一些在绘制过程中可能遇到的问题和解决方法，例 如如何避免圆规针尖滑动导致绘制出的圆不准确等问题。
五种基本的尺规作图
目 录
• 五种基本尺规作图概述 • 直线与角平分线作图 • 垂直平分线与平行线作图 • 圆的作图 • 圆弧连接与切线作图 • 综合应用与拓展
01 五种基本尺规作图概述
定义与分类
定义
尺规作图是指使用无刻度的直尺和圆 规进行作图的方法，是几何学中的基 本作图技能之一。
分类
五种基本的尺规作图包括作一条线段 等于已知线段、作一个角等于已知角 、作已知角的平分线、作线段的垂直 平分线以及作已知线段的中点。
尺规作图资料(完整)
1：尺规作出正三角形2尺规作出正方形3：尺规作出正六边形4：尺规作出正十边形5：尺规作出正十六边形6：尺规作出正十七边形7：尺规作出正十五边形8：尺规作出正五边形9：单尺作出正八边形10:单尺作出正方形11:单尺作出正六边形12:单尺作出正五边形13：单规找出两点间的三等分点14：单规找出两点间的中点15：单规作出等边三角形16：单规作出正八边形17：单规作出正方形18:单规作出正六边形19：单规作出正十边形20：单规作出正十二边形21：单规作出正十六边形22:单规作出正十五边形23单规作出正五边形24：只有两个刻度的直尺作出正三角形25：只有两个刻度的直尺作出正方形初中数学尺规作图专题讲解张远波尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
平面几何作图,限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯。
他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。
这件事的重要性并不在于这个角的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。
限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。
用直尺可以画出第一条公法所说的直线;用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点。
一个作图题,不管多么复杂,如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。
第24讲 尺规作图(解析版)
第24讲 尺规作图1．尺规作图的作图工具 圆规和没有刻度的直尺 2．基本尺规作图类型一：作一条线段等于已知线段 步骤：①作射线OP ；②以O 为圆心，a 为半径作弧，交OP 于A ，OA 即为所求线段．图示：类型三：作线段的垂直平分线步骤：①分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径，在AB 两侧作弧，两弧交于M ，N 点；②连接MN ，直线MN 即为所求垂直平分线．图示：类型四：作一个角等于已知角：步骤：①以O 为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P ，Q ； ②作射线O′A ；③以O′为圆心，OP 长为半径作弧，交O′A 于点M ； ④以点M 为圆心，PQ 长为半径作弧，交前弧于点N ； ⑤过点N 作射线O′B ，∠AO′B 即为所求角．图示：类型五：过一点作已知直线的垂线步骤：点在直线上：①以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交直线于A ，B 两点； ②分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径在直线两侧作弧，交点分别为M ，N ；③连接MN ，MN 即为所求垂线． 点在直线外：①在直线另一侧取点M ； ②以PM 为半径画弧，交直线于A ，B 两点；③分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，交M 同侧于点N ；④连接PN ，则直线PN 即为所求的垂线．图示：3．常见几种基本尺规作图作三角形 ①已知三边作三角形； ②已知两边及其夹角作三角形； ③已知两角及其夹边作三角形； ④已知底边及底边上的高作等腰三角形； ⑤已知一直角边和斜边作直角三角形． 4．作图的一般步骤(1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明； (6)讨论．步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹.考点1：简单尺规作图【例题1】尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形． 已知：如图，∠α，线段a.求作：△ABC ，使AB ＝AC ，∠BAC ＝α，AD ⊥BC 于D ，且AD ＝a.【解析】：作图如图，(1)作∠EAF ＝∠α；(2)作AG 平分∠EAF ，并在AG 上截取AD ＝a ；(3)过D 作MN ⊥AG ，MN 与AE ，AF 分别交于B ，C.则△ABC 即为所求作的等腰三角形归纳：1．熟悉五个基本的作图步骤及作图痕迹． 2．平时多体会和理解一些复杂作图的依据及作图过程． 3．会在常见的作图语言与对应的几何语言之间进行转化．4．提倡在平时画图时，采用尺规作图，强化自己的作图意识和规范性． 考点2： 复杂尺规作图【例题2】如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°.(1)请在BC 上找一点P ，作⊙P 与AC ，AB 都相切，与AC 的切点为Q ；(尺规作图，保留作图痕迹) (2)连接BQ ，若AB ＝3，(1)中所作圆的半径为32，求sin ∠CBQ.【分析】 (1)要求作⊙P 与AB 、AC 相切，根据切线的性质，即点P 到AB 、AC 的距离相等，且点P 在边BC 上，想到角平分线上的点到角两边的距离相等，即作∠BAC 的平分线交BC 于P 点，以点P 为圆心，PB 为半径作圆即可；(2)由切线长定理得AB ＝AQ ，又PB ＝PQ ，则判定AP 为BQ 的垂直平分线，利用等角的余角相等得到∠CBQ ＝∠BAP ，然后在Rt △ABP 中利用正弦函数求出sin ∠BAP ，从而可得到sin ∠CBQ 的值．解：(1)如图所示，⊙P 即为所求：(2)∵AB 、AQ 为⊙P 的切线，∴AB ＝AQ ，∵PB ＝PQ ，∴AP 为BQ 的垂直平分线，∴∠BAP ＋∠ABQ ＝90°，∵∠CBQ ＋∠ABQ ＝90°，∴∠CBQ ＝∠BAP ，在Rt △ABP 中，AP ＝AB 2＋PB 2＝32＋（32）2＝352，∴sin ∠BAP ＝BP AP ＝32352＝55，∴sin ∠CBQ ＝55考点3： 关于尺规作图的应用【例题3】（2019▪广西池河▪8分）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上．（1）尺规作图：作∠BAC 的平分线，与⊙O 交于点D ；连接OD ，交BC 于点E （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE 与AC 的位置及数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）利用基本作图作AD 平分∠BAC ，然后连接OD 得到点E ；（2）由AD 平分∠BAC 得到∠BAD ＝12∠BAC ，由圆周角定理得到∠BAD ＝12∠BOD ，则∠BOD ＝∠BAC ，再证明OE 为△ABC 的中位线，从而得到OE ∥AC ，OE ＝12AC ．【解答】解：（1）如图所示；（2）OE∥AC，OE＝12 AC．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝12∠BAC，∵∠BAD＝12∠BOD，∴∠BOD＝∠BAC，∴OE∥AC，∵OA＝OB，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，OE＝12 AC．一、选择题：1.（2018年湖北省宜昌市3分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，（4）作直线CF．直线CF就是所求的垂线．故选：B．2. （2018•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm【答案】B【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，∴DA=DC，AE=EC=6cm，∵AB+AD+BD=13cm，∴AB+BD+DC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，故选：B．3. （2019•河北•3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选：C．4. （2019•贵阳•3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（）A．2 B．3 C．D．【答案】D【解答】解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，在Rt△ACE中，CE＝＝．故选：D．5. （2018•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）【答案】A【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），∴AH=1，HO=2，∴Rt△AOH中，AO=，由题可得，OF平分∠AOB，∴∠AOG=∠EOG，又∵AG∥OE，∴∠AGO=∠EOG，∴∠AGO=∠AOG，∴AG=AO=，∴HG=﹣1，∴G（﹣1，2），故选：A．二、填空题：6. （2018•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE=cm．【答案】5【解答】解：∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，∴D为AB的中点，E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=5cm．故答案为：5．7. （2019•河南•3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为.【答案】22．【解答】解：如图，连接FC，则AF＝FC．∵AD∥BC，∴∠F AO＝∠BCO．在△FOA与△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF＝BC＝3，∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2+DF2＝FC2，∴CD2+12＝32，∴CD＝2．8. （2018•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是．【答案】【解答】解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5﹣x）2，解得x=，∴CD=BC ﹣DB=5﹣=，故答案为． 三、解答题：9. 2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.(1)利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．(保留作图痕迹，不写作法) ①作AC 的垂直平分线，交AB 于点O ，交AC 于点D; ②以O 为圆心，OA 为半径作圆，交OD 的延长线于点E. (2)在(1)所作的图形中，解答下列问题.①点B 与⊙O 的位置关系是_____________；(直接写出答案) ②若DE ＝2，AC ＝8，求⊙O 的半径．解：(1)如图所示： (2)①连接OC ，如图，∵OD 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∵∠A ＋∠B ＝90°，∠OCB ＋∠ACO ＝90°，∴∠B ＝∠OCB ，∴OC ＝OB ，∴OB ＝OA ，∴点B 在⊙O 上； ②∵OD ⊥AC ，且点D 是AC 的中点，∴AD ＝12AC ＝4，设⊙O 的半径为r ，则OA ＝OE ＝r ，OD ＝OE －DE ＝r －2，在Rt △AOD 中，∵OA 2＝AD 2＋OD 2，即r 2＝42＋(r －2)2，解得r ＝5.∴⊙O 的半径为510. （2018•安徽•分） 如图，⊙O 为锐角△ABC 的外接圆，半径为5.（1）用尺规作图作出∠BAC 的平分线，并标出它与劣弧BC 的交点E(保留作图痕迹，不写作法)； （2）若（1）中的点E 到弦BC 的距离为3，求弦CE 的长.【答案】（1）画图见解析；（2）CE=【解析】【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点A与这点作射线，与圆交于点E ，据此作图即可；（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，由AE平分∠BAC，可推导得出OE⊥BC，然后在Rt△OFC 中，由勾股定理可求得FC的长，在Rt△EFC中，由勾股定理即可求得CE的长.【详解】（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴＝，∴OE⊥BC，∴EF＝3，∴OF＝5﹣3＝2，在Rt△OCF中，CF＝＝，在Rt△CEF中，CE＝＝．11. （2019•江苏泰州•8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于12AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．（2）设AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图直线MN即为所求．（2）∵MN垂直平分线段AB，∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴BD＝5．12. （2018·广东·6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；（2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可；【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，∴∠C=∠A=30°，∵EF垂直平分线线段AB，∴AF=FB，∴∠A=∠FBA=30°，∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．13. （2019•湖北孝感•8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；（1）线段CD与CE的大小关系是CD＝CE；（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．【分析】（1）由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，从而得出答案；（2）证△BCD≌△BFD得CD＝DF，从而设CD＝DF＝x，求出AB＝13，知sin∠DAF＝DFAD＝BCAB，即12+xx＝513，解之求得x＝152，结合BC＝BF＝5可得答案．【解答】解：（1）CD＝CE，由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，∴∠1＝∠2＝∠3，∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°，∴∠CEB＝∠CDE，∴CD＝CE，故答案为：CD＝CE；（2）∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF，∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD，在△BCD和△BFD中，∵，∴△BCD≌△BFD（AAS），∴CD＝DF，设CD＝DF＝x，在Rt△ACB中，AB＝13，∴sin∠DAF＝DFAD＝BCAB，即12+xx＝513，解得x＝152，∵BC＝BF＝5，∴tan∠DBF＝DFBF＝152×15＝32．。
中考复习----五种基本尺规作图
D
A
C
B
l
②.如图，如果点C不在直线l上，应采取怎样的步骤，过 点C画出直线l的垂线？
图 24.4.10
A D
B
五种基本作图：
►做一条线段等于已知线段
►做一个角等于已知角
►做一条线段的垂直平分线
►做一个角的角平分线
►过一点做已知线段的垂线
构扒初中
魏利
做一条线段等于已知线段
做一个角等于已知角
五种 基本 作图
做一条线段的垂直平分线
做一个角的角平分线
过一点做已知线段的垂线
1.作一条线段等于已知线段
已知：线段AB． 求作：线段A′B′， 使A′B′＝AB． 作法与示范：
A B
A′
B′
C′
2、作一个角等于已知角
已知： ∠AOB。
求作： ∠A`O`B`,使∠A`O`B`= ∠AOB。
B
D D`
B`
O
C
A
O`
C`
A`
3、画已知线段的垂直平分线
已知：线段AB。
求作：O.
C A B
D
4、平分已知角
►已知： ∠AOB。
►求作：射线OC，使
∠
AOC= ∠ BOC。
B
E
C
O
D
A
5.过定点作已知直线的垂线
五种基本尺规作图原理
五种基本尺规作图原理
人们使用基本尺规作图原理来实现建筑设计的梦想，它的最大优势是清楚明确的把握，使得建筑几何复杂的形状得以精准描绘。
一般来说，基本尺规作图原理分为5种：法线法、角线法、圆心角法、线段步进正交正切法和自然对对称法。
法线法，是通过已知直线指定一个圆，利用该圆的极点、切点来组合形成一个特定的平面结构。
角线法，是一种构造复杂几何形状的方法，它可以用直角构造多边形，而伴随的弧线则是角线法的补充，可以拓展出多边形的轮廓。
圆心角法，又称极角法，依据圆心角的角度来绘制各种曲线。
线段步进正交正切法，是根据给定的形状，利用正切正交线段连线来拓展出和原线段相似的形状。
自然对称法，是一种以正交正切线段为基础的拓展形状的方法，采用延伸的方式拓展出和原线段相似的曲线。
这些基本尺规作图原理是当代建筑设计最重要的方法之一，可将单纯的几何形状转化为复杂的几何结构，既能满足建筑物的外观、功能，又能节约施工费用，更能确保施工准确，具有极大的应用价值。
尺规作图.精选
第9讲尺规作图1.尺规作图定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图2.五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作一条直线与已知直线垂直。
3.五种基本作图步骤：（1）作一条线段等于已知线段求作：线段AB等于线段a作法：如图，①先画射线AC．②然后用圆规在射线AC上截取AB＝a．线段AB就是所要作的线段．（2）作一个角等于已知角求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：如图，①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．（3）作已知角的平分线求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．②分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．③作射线OC。
OC就是所求的射线．（4）作线段的垂直平分线求作：线段AB的垂直平分线．作法：①分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．（5）经过已知点作这条直线的垂线情况a：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线情况b：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．如图已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．③分别以D和E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F．④作直线CF．直线CF就是所求的垂线．★注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．4.三角形的外接圆、三角形的内切圆的作法。
【中考数学考点复习】第一节 尺规作图 课件(23张PPT)
直平分
线(已 知线段 结论：AB⊥l
， AB)
AO＝OB
到线段两
1.分别以点A，B为圆心，大于
个端点距
1
__2_A__B___的长为半径，在AB两侧 离相等的
作弧，两弧交于两点；
点在这条
2.连接两弧交点所成直线l即为所求 线段的垂
作的垂直平分线
直平分线
上
第一节 尺规作图
类型
步骤
五种基本 尺规作图
第一节 尺规作图
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成都10年真题及拓展
尺规作图的相关计算
1. 如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B 和点 C 为圆心，
以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；②作直线 MN 交
AC 于点 D，连接 BD.若 AC＝6，AD＝2，则 BD 的长为( C )
A．2
的两侧；
到线段两 2.以点P为圆心，PM的长为半径作弧
个端点距 ，交直线l于点A和点B，可得到PA＝
PB；
离相等的
1
3大.分于别2以AB点A、点B为圆心，以
点在这条 线段的垂
________长为半径作弧，交点M的
直平分线
同侧于点N，可得到AN＝BN；
上
4连接PN，则直线PN即为所求作的垂
线
第一节 尺规作图
长为( C )
A．252 3 C．20
B．12 3 D．15
第9题图
第一节 尺规作图
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10．人教版初中数学教科书八年级上册第 35－36 页告诉我们作一个三角 形与已知三角形全等的方法： 已知：△ABC. 求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC. 作法：如图．
初中最基本的尺规作图总结
尺规作图尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .求作：线段AB，使AB = a .作法：（1）作射线AP；（2）在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。
题目二：作已知线段的中点。
已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.作法：（１）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则点O就是所求作的ＭＮ的中点。
（试问：PQ与ＭＮ有何关系？）题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
题目四：作一个角等于已知角。
（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）题目五：已知三边作三角形。
已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法：（1）作线段AB = c；（2）以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心a为半径作弧与前弧相交于C；（3）连接AC，BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目六：已知两边及夹角作三角形。
已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.作法：（1）作∠A=∠α；（2）在AB上截取AB=m ,AC=n；（3）连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目七：已知两角及夹边作三角形。
初中尺规作图基本方法
初中尺规作图基本方法
尺规作图是绘制平面几何图形的一种重要方法，初中阶段主要涉及到以下四种基本作图：
1. 线段作图：给出一条直线段AB，要求在这个线段上取一点P，使AP：PB=2:3。
（具体方法：先作出线段AB，然后以A 为圆心，以AB 为半径画一个圆，再以B 为圆心，以BA 为半径画一个圆，两圆交点记为P，连接AP、PB即可）
2. 直角三角形作图：给定一个直角三角形，要求在某一边上取一点，使该点到此边的距离为另一条直角边的一半。
（具体方法：先作出直角三角形ABC，然后以AB 为直径画一个半圆，半圆上一点记为D，连接BD，把BD 延长至E，使BE=BD，连接CE，设置长为BE 的尺子，从点C 开始，把尺子逐步向E 滑动，途中记录一点F，使CF=BE，连接AF，即为所求点）
3. 等边三角形作图：给定一条直线段AB，要求在这个线段上取一点P，使三角形PAB 为等边三角形。
（具体方法：先作出线段AB，然后以A 为圆心，以AB 为半径画一个圆，再以B 为圆心，以BA 为半径画一个圆，两圆交点分别记为P、Q，连接PQ，以PQ 为边取一等边三角形PQR，PQ 与AB 的交点即为所求点）
4. 正方形作图：给定一条直线段AB，要求在这个线段上取一点P，使PABQ 为
正方形。
（具体方法：先作出线段AB，然后以A 为圆心，以AB 为半径画一个圆，再以B 为圆心，以BA 为半径画一个圆，两圆交点分别记为P、Q，连接PQ，将PQ 延长至R，使PR=AB，连接AR、BR，即可得到正方形PABQ）。
初中5种基本尺规作图步骤
初中5种基本尺规作图步骤
基本尺规作图是初中数学中学习重要过程，也是学习提高崭露头角的利器。
以下是基本尺规作图步骤，详细的操作如下：
第一步：绘制尺规。
首先，在多边形底边某一点找正圆形半径R。
将尺规垂直地放在底边上方，使其刻度线完全压在线段下面，沿着新笔画若干刻度线，用以表明要绘制线段的长度。
第二步：在准备绘制线段的一端找点。
将尺规齐平放在底边上方，然后在底边的一侧放出一根短笔，与尺规垂直，移动尺规以放出笔尖。
第三步：以笔尖作为起点，在尺规上取出指定长度的中点线段。
这一步就完成了准备绘制线段的另一端，也就完成了绘制新笔画的准备环节，接下来就可以开始用尺规绘制线段。
第四步：开始绘制线段。
位置正确后，就可以用尺规连接两个点，然后在尺规上去除多余的线段，将剩下的线段顺滑地拉伸，连接成完整线段。
第五步：最后，将绘制好的线段反复查看，并检查绘制过程中有没有出错。
完成，可以进行下一个多边形的绘制。
通过以上五个步骤，可以实现基本尺规作图的方法，可以更加快捷准确的完成任务。
同时，在这个过程中可以培养专注力和耐心，也是重要素质，必须不断的熟悉和练习，以便提高实际能力。
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基本尺规作图
在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．
尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作已知线段的垂直平分线；
4、作已知角的角平分线；
5、过一点作已知直线的垂线；
题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .
求作：线段AB，使AB = a .
作法：
（1）作射线AP；
（2）在射线AP上截取AB=a .
则线段AB就是所求作的图形。
题目二：作已知线段的中垂线。
已知：如图，线段MN.
求作：直线PQ，使PQ┴MN.
作法：
（１）分别以M、N为圆心，大于
的相同线段为半径画弧，
两弧相交于P，Q；
（２）连接PQ交MN于O．
则直线PQ就是所求作的ＭＮ的中垂线。
题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：
（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA，OB于M，N；
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于
的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；
（3）作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
题目四：作一个角等于已知角。
求作一个角等于已知角∠MON（如图1）．
图（1）图（2）
（1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ；
（4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1． 则∠D CO 1就是所要求作的角．
过一点作已知直线的垂线；
过直线上(或直线外)一点作已知直线的垂线:
①过直线上一点作已知直线的垂线;
图1-9-5
②过直线外一点作已知直线的垂线.
图1-9-6
例1：阅读下面材料：
数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．
小艾的作法如下：
老师表扬了小艾的作法是对的．
请回答：小艾这样作图的依据是．
【答案】等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线
小云的作法如下：
老师说：“小云的作法正确．”
请回答：小云的作图依据是.
【答案】四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行(本题答案不唯一) 例3阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：
作法正确的同学是；
这位同学作图的依据是．
【答案】丁；垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；等量代换。