数学中考复习解答题突破 (4)与三角形有关的计算与证明

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北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](基础)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

中考数学一轮复习专题突破训练—相似三角形

中考数学一轮复习专题突破训练—相似三角形一、单选题1．（2022·北京市第十三中学九年级期中）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE△BC，如果AD：AB＝2：3，那么DE：BC等于（）A．3：2B．2：5C．2：3D．3：5【答案】C【分析】根据相似三角形的判定与性质即可得出结果．【详解】解：△DE∥BC，△△ADE△△ABC，△DE：BC＝AD：AB＝2：3；故选：C．2．（2022·辽宁鞍山市·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB 的中点，CE和BD交于点O，若S△EOB＝1，则四边形AEOD的面积为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B根据平行四边形的性质和相似的判定和性质，可以得到△BOC和△COD的面积，从而可以得到△BCD的面积，再根据△ABD和△BCD的面积一样，即可得到四边形AEOD的面积．【详解】解：△在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，△CD△AB，CD=AB=2BE△△DOC△△BOE，△OC CDOE BE=2，△S△EOB=1，△S△BOC=2，S△DOC=4，△S△BCD=6，△S△DAB=6，△四边形AEOD的面积为：S△DAB-S△EOB=6-1=5，故选：B．3．（2022·全国九年级专题练习）如图，已知AB△CD△EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（）A．2B．4C．245D．365【分析】根据平行线分线段成比例得到3125BC =，然后利用比例性质计算出BC ，从而求出CE 即可．【详解】解：△AB △CD △EF ， △BC AD BE AF =，即3125BC =， △BC =365， △CE =BE -BC =12-365=245，故选C ．4．（2022·全国九年级专题练习）下列四条线段中，不能成比例的是（） A．a ＝2，b ＝4，c ＝3，d ＝6 B ．a ，b c ＝1，d C ．a＝6，b ＝4，c ＝10，d ＝5 D ．a b ＝c d ＝2【答案】C 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A 、2×6=3×4，能成比例； B1 C 、4×10≠5×6，不能成比例；D 、523152⨯=⨯，能成比例．故选：C ．5．（2022·四川省成都市石室联合中学）如图，在ABC 中，点E 和点F 分别在边AB ，AC 上，且//EF BC ，若3AE =，6EB =，9BC =，则EF 的长为（）A ．1B ．92C ．12D ．3【答案】D 【分析】证明△AEF △△ABC ，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【详解】 △//EF BC ， △AEF ABC ∽， △EF AEBCAB， △3AE =，6EB =， 9BC =， △399EF =， △3EF =．故选D ．6．（2022·全国九年级课时练习）将三角形纸片（ABC ）按如图所示的方式折叠，使点C 落在AB 边上的点D ，折痕为EF ．已知3,4AB AC BC ===，若以点B 、D 、F 为顶点的三角形与ABC 相似，那么CF 的长度是（）A ．2B ．127或2 C ．127D ．125或2 【答案】B 【分析】分两种情况：若BFD C ∠=∠或若BFD A ∠=∠，再根据相似三角形的性质解题【详解】△ABC 沿EF 折叠后点C 和点D 重合， △FD CF =，设CF x =，则,4FD CF x BF x ===-，以点B 、D 、F 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况： △若BFD C ∠=∠，则BF FDBC AC =，即443x x -=，解得127x =； △若BFD A ∠=∠，则BF FD AB AC =，即433x x -=，解得2x =．综上，CF 的长为127或2，故选：B ．7．（2022·全国九年级课时练习）已知线段a 、b 、c 、d 满足ab cd =，把它改写成比例式，错误的是（） A ．::a d c b = B ．::a b c d =C ．::d a b c =D ．::a c d b =【答案】B【分析】根据比例的基本性质：外项之积等于内项之积，对选项一一分析，选出正确答案即可．【详解】解：A、a：d＝c：b△ab＝cd，故正确；B、a：b＝c：d△ad＝bc，故错误；C、d：a＝b：c△dc＝ab，故正确；D、a：c＝d：b△ab＝cd，故正确．故选：B．8．（2022·全国九年级课时练习）下列结论不正确的是（）A．所有的矩形都相似B．所有的正三角形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正八边形都相似【答案】A【分析】根据相似图形的判定判断即可；【详解】所有的矩形不一定都相似，故A错误，符合题意；因为正三角形的每个角都等于60︒，满足两个角对应相等，所有的正三角形都相似，故B正确；︒︒︒，满足两个角对应相等，因为等腰直角三角形的三个角分别为,45,45,90所有的等腰直角三角形都相似，故C正确；因为正八边形的每个角都相等，每条边都相等，所有的正八边形都相似，故D 正确；故选A ．9．（2022·全国）如果23a b =，那么2a bb-的结果是（） A ．12- B ．43-C ．43D ．12【答案】B 【分析】根据比例的性质即可得到结论．【详解】 △a b＝23，△可设a ＝2k ，b ＝3k ， △2a bb -＝2k-6k 3k ＝－43．故选B ．10．（2022·沙坪坝·重庆一中）下列命题正确的是（） A ．位似图形一定是相似图形 B ．任意两个菱形一定相似CD ．23、24、25能作为直角三角形的三边长【答案】A 【分析】根据位似图形，相似图形的定义可判断A 、B ，根据平方根的定义和勾股定理的逆定理，可判断C 、D ．【详解】解：A. 位似图形一定是相似图形，故原命题正确，符合题意； B. 任意两个菱形不一定相似，故原命题错误，不符合题意；C.±D. 23、24、25不能作为直角三角形的三边长，故原命题错误，不符合题意，故选A ．二、填空题11．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）如果2x ＝3y ，那么x yy +=___．【答案】52【分析】直接利用已知得出x =32y ，进而代入得出答案．【详解】解：△2x =3y ， △x =32y ，△3522y yx y y y ++==．故答案为：52．12．（2022·全国九年级专题练习）ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE △BC ，ADE 是ABC 缩小后的图形，若DE 把ABC 的面积分成相等的两部分，则AD ：AB =_____【分析】如图根据BC △DE ，可以得到△ADE △△ABC ，则21=2AED ABC S AD S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ ，由此即可求解．【详解】解：△BC △DE ， △△ADE △△ABC ，△DE 把△ABC 的面积分成相等的两部分，△21()2AED ABCS AD SAB ∆∆==， △22AD AB =，故答案为：22．13．（2022·全国）如图，AC 与BD 相交于点O ，在△AOB 和△DOC 中，已知OA OBOD OC=，又因为________，可证明△AOB △△DOC ．【答案】△AOB＝△DOC【分析】根据相似三角形的判定，两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似解答．【详解】解：△OA OBOD OC=，△AOB＝△DOC，△△AOB△△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．故答案为：△AOB＝△DOC．14．（2022·全国九年级专题练习）如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则AEBE=__．3【分析】根据相似的性质，列出比例式，根据已知条件即可求得．【详解】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以AD EFEF BC=，即EF＝23所以323AE ADBE EF===315．（2022·合肥市第四十五中学九年级）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，分别以AE、AF为对称轴，折叠△ABE、△ADF，使得AB和AD与AG重合，连接BG交AE于点H，连接CG．（1）HE：AH＝______；（2）S△AFE：S正方形ABCD＝______．【答案】1：4 5：12【分析】（1）根据翻折的性质得到△GHE＝△BHE＝90°，再根据△HEB＝△BEA，从而证明△HEB△△BEA，得出HE BEBE AE=，设正方形边长为2x，则BE＝x，AB＝2x，由勾股定理求出AE，从而求出HE和AH，得出结论；（2）由S△AFE＝12（S正方形ABCD﹣S△FCE），正方形ABCD的边长为2x，FG＝DF＝m，则EF ＝x + m，CF＝2 x﹣m，，由勾股定理求出m即可．【详解】解：（1）△AE为对称轴，△△AEG△△AEB，BG△AE，△△GHE＝△BHE＝90°，又△△HEB＝△BEA，△△HEB△△BEA，△HE BEBE AE=，在正方形ABCD 中，设边长为2x ，△点E 是BC 的中点，则BE ＝x ，AB ＝2x ，△AE=，△HE ＝225BE x AE ==，△AH ＝AE ﹣HE=，△HE ：AH x ＝1：4．故答案为：1：4；（2）设正方形ABCD 的边长为2x ，则S 正方形ABCD ＝4x 2，△S △AFE ＝12（S 正方形ABCD ﹣S △FCE ），CE ＝BE ＝GE ＝x ，设FG ＝DF ＝m ，则EF ＝x + m ，CF ＝2 x ﹣m ，在△EFC 中，△EF 2＝CE 2+CF 2，△（m +x ）2＝（2 x ﹣m ）2+ x 2，解得：m ＝23x ，△CE ＝2 x ﹣m ＝43x ，△S △CFE ＝12×CE ×CF ＝12×24233x x x ⨯=， △S △AFE ＝12×（4 x 2﹣223x ）＝253x ， △S △AFE ：S 正方形ABCD ＝225:43x x ＝5：12．故答案为：5：12．三、解答题16．（2022·辽宁鞍山市·九年级期末）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．求证：△ADB△△AEC．【答案】见解析．【分析】由题知，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，可得到AC＝AE，AB＝AD，△CAE＝△BAD，即可证明．【详解】△将△ABC绕点A旋转得到△ADE，△AC＝AE，AB＝AD，△CAE＝△BAD，△AE AC，AD AB△△ADB△△AEC．17．（2022·广西贺州市·九年级期中）如图，已知在△ABC中，DE△BC，EF△AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．求：（1）求BD的长度；（2）求DE的长度．【答案】（1）2；（2）6【分析】（1）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果；（2）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果．【详解】解：（1）△AE =2CE ， △12CE AE =， △DE △BC ， △13BD CE AB AC ==， △AB =6，△BD =2；（2）△EF △AB ， △23AE BF AC BC ==， △BC =9，△BF =6，又△DE △BC ，△四边形BDEF 是平行四边形，△DE =BF =6．18．（2022·全国九年级专题练习）已知：如图，△ABC ＝△CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案】2b BD a =或22b a b BD -=【分析】由AB △BC ，BD △CD 得到△ABC =△BDC =90°，再利用勾股定理计算出22AB a b -根据直角三角形相似的判定方法，当AB BD AC BC =，Rt △ABC △Rt △BDC ；当=BC AC BD BC时然后分别利用比例性质可表示出BD 与a 和b 的关系．【详解】解：△AC ＝a ，BC ＝b ，△ABC ＝△CDB ＝90°，△AB 22a b -△当BD BC AB AC=时，即22b a b BD -=Rt △ABC △Rt △BDC ； △当BD BC CB AC=时，即2b BD a=时，Rt △ABC △Rt △CDB ，． 19．（2020·北京市第六十六中学九年级期中）如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，D 是AB 上一点，E 是BC 上一点，AC ＝6，BC ＝8，BD ＝4，BE ＝5．求证：DE △AB ．【答案】见解析【分析】利用勾股定理可求得AB ＝10，则有12BE AB =，12BD BC =，结合△B ＝△B ，可证得△BDE △△BCA ，从而有△BDE ＝△C ＝90°，即可得证．【详解】证明：△△C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，△AB 2210AC BC +=，△BD ＝4，BE ＝5， △12BE AB =，12BD BC =， △△B ＝△B ，△△BDE △△BCA ，△△BDE ＝△C ＝90°，即DE △AB ．20．（2022·全国九年级专题练习）如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m ，已知小明的身高是1.6 m ，他的影长是2 m ．（1）图中△ABC 与△ADE 是否相似？为什么？（2）求古塔的高度．【答案】（1）相似，见解析；（2）16m【分析】（1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可．【详解】解：（1）△ABC△△ADE．△BC△AE，DE△AE，△△ACB=△AED=90°.△△A=△A，△△ABC△△ADE；（2）由(1)得△ABC△△ADE,△AC BC=AE DE△AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，△2 1.6=，20DE△DE=16m，即古塔的高度为16m．21．（2022·全国九年级专题练习）在锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18和2，DE ＝2，求AC 边上的高．【答案】6【分析】由已知条件得到△CEB ＝△ADB ＝90°，推出△ADB △△CEB ，根据相似三角形的性质得到BD ：AB ＝BE ：BC ，证得△BDE △△BAC ，得到S △BDE ：S △ABC ＝（DE ：AC ）2，于是求得AC ＝6，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．【详解】过点B 做BF △AC ,垂足为点F ，△AD ,CE 分别为BC ,AB 边上的高，△△ADB =△CEB =90°，又△△B =△B ，△Rt △ADB △Rt △CEB , △BD AB BE CB =，即BD BE AB CB=，且△B =△B ，△△EBD △△CBA , △221189BED BCA S DE S AC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, △13DE AC =, 又△DE =2，△AC =6，△1182ABCS AC BF =⋅=， 6BF ∴=．22．（2022·湖南师大附中博才实验中学）如图，在正方形ABCD 中，点G 是对角线上一点，CG 的延长线交AB 于点E ，交DA 的延长线于点F ，连接AG ．（1）求证：AG CG =；（2）若9GE GF ⋅=，求CG 的长．【答案】（1）见解析；（2）CG =3【分析】（1）根据正方形的性质得到△ADB =△CDB =45°，AD =CD ，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG △△CDG （SAS ），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；（2）根据正方形的性质得到AD △CB ，推出△FCB =△F ，由（1）可知△ADG △△CDG ，利用全等三角形的性质得到△DAG =△DCG ，结合图形根据角之间的和差关系△DAB -△DAG =△DCB -△DCG ，推出△BCF =△BAG ，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG △△F AG ，进而根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：（1）证明：△BD 是正方形ABCD 的对角线，△△ADB =△CDB =45°，又AD =CD ，在△ADG 和△CDG 中，AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ADG △△CDG （SAS ），△AG =CG ；（2）解：△四边形ABCD 是正方形，△AD △CB ，△△FCB =△F ，由（1）可知△ADG △△CDG ，△△DAG =△DCG ，△△DAB -△DAG =△DCB -△DCG ，即△BCF =△BAG ，△△EAG =△F ，又△EGA =△AGF ，△△AEG △△F AG ，△GE GA GA GF =，即GA 2=GE •GF ，△GA =3或GA =-3（舍去），根据（1）中的结论AG =CG ，△CG =3．23．（2022·浙江杭州·翠苑中学九年级）如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 上一点，AE AB =，作BF AE ⊥．（1）求证：ADE BFA ≅△△；（2）连结BE ，若BCE 与ADE 相似，求AD AB ．【答案】（1）见解析；（23【分析】（1）根据矩形的性质得出90D DAB ∠=∠=︒，求出90DAE FAB ∠+∠=︒，90FBA FAB ∠+∠=︒，求出D AFB ∠=∠，DAE FBA ∠=∠，再根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据矩形的性质得出90C D ∠=∠=︒，//DC AB ，根据平行线的性质得出CEB ABE ∠=∠，设CEB ABE x ∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质求出AEB EBA x ∠=∠=︒，根据相似三角形的性质得出两种情况：△DEA CEB x ∠=∠=︒，根据180DEA AEB CEB ∠+∠+∠=︒得出180x x x ++=，求出x ，再解直角三角形求出AE 和AD ，再求出答案即可；△DEA EBC ∠=∠，设DEA EBC y ∠=∠=︒，求出(2)180DEA AEB CEB y x ∠+∠+∠=+︒=︒，()90EBC CEB y x ∠+∠=+︒=︒，求出x ，再得出答案即可．【详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是矩形，90D DAB ∴∠=∠=︒，90DAE FAB ∴∠+∠=︒，BF AE ⊥，90AFB ∴∠=︒，D AFB ∴∠=∠，90FBA FAB ∠+∠=︒，DAE FBA ∴∠=∠，在ADE ∆和BFA ∆中DAE FBA D AFB AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE BFA AAS ∴∆≅∆；（2）四边形ABCD 是矩形，90C D ∴∠=∠=︒，//DC AB ，CEB ABE ∴∠=∠，设CEB ABE x ∠=∠=︒，AE AB =，AEB EBA x ∴∠=∠=︒，当BCE ∆与ADE ∆相似时，有两种情况：△DEA CEB x ∠=∠=︒，180DEA AEB CEB ∠+∠+∠=︒，180x x x ∴++=，解得：60x =，即60DEA ∠=︒，906030DAE ∴∠=︒-︒=︒，2AE DE ∴=，由勾股定理得：AD ， AE AB =，∴AD AD AB AE = △DEA EBC ∠=∠，设DEA EBC y ∠=∠=︒，CEB EBA AEB x ∠=∠=∠=︒，则(2)180DEA AEB CEB y x x y x ∠+∠+∠=︒+︒+︒=+︒=︒，在Rt BCE ∆中，()90EBC CEB y x y x ∠+∠=︒+︒=+︒=︒，即218090y x y x +=⎧⎨+=⎩，解得：90x =︒，即90CEB ∠=︒，此时点E 和点C 重合，BEC ∆不存在，舍去；△AD AB =。

初中中考复习之三角形全等（精编含答案）

中考复习之三角形全等一、选择题：1.图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD ABCD）关于）关于BD 所在的直线对称，所在的直线对称，AC AC 与BD 相交于点O ，且AB≠AD，则下列判断不正确．．．的是【的是【】】 A ．△ABD≌△CBD ．△ABD≌△CBD B B B．△ABC≌△ADC ．△ABC≌△ADC ．△ABC≌△ADC C C C．△AOB≌△COB ．△AOB≌△COB ．△AOB≌△COB D D D．△AOD≌△COD ．△AOD≌△COD ．△AOD≌△COD2.如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是【的条件是【】】A. AB=ACB. ∠BAC=90°C. BD=AC A. AB=AC B. ∠BAC=90° C. BD=ACD. ∠B=45°D. ∠B=45°D. ∠B=45°3.如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，在同一条直线上，AB=DE AB=DE AB=DE，，BC=EF BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是【是【】】 A A．∠BCA=∠F ．∠BCA=∠F ．∠BCA=∠F B B B．∠B=∠E ．∠B=∠E ．∠B=∠EC ．BC∥EF ．BC∥EFD ．∠A=∠EDF ．∠A=∠EDF4.如图，AB∥CD，如图，AB∥CD，E E ，F 分别为AC AC，，BD 的中点，若AB=5AB=5，，CD=3CD=3，则，则EF 的长是【的长是【】】A ．4B ．3C ．2D ．15.已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是【等的是【】】 (A) (A)两条边长分别为两条边长分别为4，5，它们的夹角为β (B) (B)两个角是两个角是β，它们的夹边为4(C) (C)三条边长分别是三条边长分别是4，5，5 (D)5 (D)两条边长是两条边长是5，一个角是β6.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M 、N 的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是【的线段是【】】 A A．．PO B ．PQ C PQ C．．MO D ．MQ7.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC AC，，BD 相交于点O ，且AC≠BD，则图中全等三角形有【AC≠BD，则图中全等三角形有【】】A.4对B. 6对.C.8对D.10对二、填空题：1.在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，中，∠ACB=90°，BC=2cm BC=2cm BC=2cm，CD⊥AB，在，CD⊥AB，在AC 上取一点E ，使EC=BC EC=BC，过点，过点E 作EF⊥AC 交CD 的延长线于点F ，若EF=5cm EF=5cm，则，则AE= cm AE= cm．．2.如图所示，如图所示，AB=DB AB=DB AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件，，使使ΔABC≌ΔDBE DBE．． ( (只需添只需添加一个即可加一个即可) )3.如图所示，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，在一条直线上，AC=EF AC=EF AC=EF，，AD=FB AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是这个条件可以是．．（只需填一个即可）（只需填一个即可）4.如图，点D ，E 分别在线段AB AB，，AC 上，上，BE BE BE，，CD 相交于点O ，AE=AD AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是件是（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．5.如图．点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC AB=AC，，AD=AE AD=AE．．请写出图中的全等三角形请写出图中的全等三角形 ( ( (写出一对即可写出一对即可写出一对即可))．6.如图，己知AC=BD AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是 ( ( (填一个即可填一个即可填一个即可) )三、解答题：1.已知：如图，AB AE =，1=2ÐÐ，=B E ÐÐ，求证：BC ED =2.如图，已知AB=DC AB=DC，，DB=AC（1）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．（2）在（）在（11）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？3.如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，上，AB=AC AB=AC AB=AC，∠B=∠C．求证：，∠B=∠C．求证：，∠B=∠C．求证：BE=CD BE=CD BE=CD．．4.如图，AB∥CD，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB AB，，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F为圆心，大于12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP AP，交，交CD 于点M 。

二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破

二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

一解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3.根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。

二、二次函数问题中三角形面积最值问题（一）例题演示1.如图，已知抛物线(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,求△PBD面积的最大值．DBOAyxC解答：(1)抛物线令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．∵直线经过点B(4，0)，∴，解得，∴直线BD解析式为：当x＝－5时，y＝3，∴D(－5，3)∵点D(－5，)在抛物线上，∴，∴．∴抛物线的函数表达式为：．(2)设P(m,)∴∴△BPD面积的最大值为．【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；HF解答：1）A（－1，0）∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4∴，∴.∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a（2）过点E作EH∥y轴，交直线l于点H设E（x，ax2－2ax－3a），则H（x，ax＋a）.∴∴.∴△ADE的面积的最大值为，∴，解得.∴抛物线的函数表达式为.【中考链接】3.如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B （0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解答：（1）依题意得：，解得，∴抛物线解析式为.把B（，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设P（，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（+3）2+t2=4+t2，PC2=（）2+（t－3）2=t26t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：，.综上所述P的坐标为（，）或（，4）或（，）或（，）．【试题精炼】如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C （0，-3）代入函数表达式得，∴.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）．∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN,∴.设点E的坐标为（x,）,∴,∴x=4m.∴为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH 中,∵tan∠CGO＝,tan∠FGH＝,∴=．∴OG=“3m,“由勾股定理得，GF=，AD=∴.由（2）得，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝x2＋x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．(1)求BC所在直线的函数关系式．(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得∴BC所在直线的函数关系式为y=x．（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。

中考数学复习《解直角三角形的应用解答题》专题提升训练

数学中考复习《解直角三角形的应用解答题》专题提升训练1．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD ＝45m．求楼间距MN（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）2．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB ＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动．（1）当∠CDE＝60°时，①求点C到直线DE的距离；（计算结果保留根号）②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，则CD旋转的角度为．（直接写出结果）（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2．sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）3．美丽的徒骇河穿城而过，成为市民休闲娱乐的风景带．某数学兴趣小组在一次课外活动中，测量徒骇河某段河的宽CD．如图所示，小组成员选取的点A，B是桥上的两点，点A，E，C在河岸的同一直线上，且AB⊥AC．若，AE间的距离80米，在B点处测得BD与平行于AC的直线间的夹角为30°，在点E处测得ED与直线AC之间的夹角为60°，求这段河的宽度CD．（结果保留根号）4．我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD 平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）5．如图1，将一个直角三角形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩台底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角∠ABC为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），如图2，留在外面的楔子长度HC为3厘米．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）（1）求BH的长．（2）木桩上升了多少厘米？6．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行．设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2＝BD•CD，连接AB，AC．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）筒车的半径为3m，AC＝BC，∠C＝30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值：≈1.4，≈1.7）．7．如图，一扇窗户垂直打开，即打开到OM⊥OP的状态，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时∠ODB为30°，BO的长为20cm．求滑动支架AC的长．（精确到1cm，≈1.41，≈1.73）．8．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）9．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM ＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）10．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）11．某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）12．小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）13．如图①是大家熟悉的柜式空调，关闭时叶片竖直向下．如图②，当启动时，出风口叶片会同步开始逆时针旋转到最大旋转角90°时返回，旋转速度是每秒10°，同时空调风从叶片口直线吹出．AB由5个叶片组成的出风口，经过测量，A点、B点距地面高度分别是170cm、145cm在空调正前方100cm处站着一个高70cm的小朋友（线段EF表示）．（1）从启动开始，多长时间小朋友头顶E处感受到空调风；（2）若叶片从闭合旋转到最大角度的过程中，小朋友的头顶E处有多长时间感受到空调风；（3）当选择上下扫风模式时，叶片会旋转到最大角度后原速返回．从启动到第一次返回起始位的过程中，该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了多长时间．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．14．第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）15．一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B，C，D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．（1）求BD的长．（2）求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（结果均取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732）16．图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）17．如图①是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示，已知晾衣臂OA＝OB＝120cm，支撑脚OC＝OD＝120cm，展开角∠COD＝60°，晾衣臂支架PQ＝MN＝80cm，且OP＝OM＝40cm．（1）当晾衣臂OA与支撑脚OD垂直时，求点A距离地面的高度；（2）当晾衣臂OB从水平状态绕点O旋转到OB'（D、O、B'在同一条直线上）时，点N 也随之旋转到OB'上的点N'处，求点N在晾衣臂OB上滑动的距离．18．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要有可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O是摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．（1）求显示屏所在部分的宽度；（2）求镜头A到地面的距离．（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果保留一位小数）19．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点，现测得AB＝BE＝ED＝CD＝20cm，经多次调试发现当点B，E都在CD的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．（1）求放置最平稳时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）20．为测量水城河两岸的宽度，某数学研究小组设计了三种不同的方案，他们在河岸边A 处测得河对岸的同学B恰好在正北方向，测量方案及数据如下表：．（1）哪一种方案无法计算出河两岸的宽度；（2）请选择其中一种方案计算出河两岸的宽度（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.73）参考答案1．解：如图，过点C、D分别作CE⊥PN，DF⊥PN，垂足分别为E、F，则，PN＝90m，MB＝DF＝CE，DM＝FN，CD＝EF＝45m，设MN＝xm，在Rt△PDF中，∠PDF＝55.7°，DF＝MN＝xm，∴PF＝tan55.7°•DF≈1.47x（m），在Rt△PCE中，∠PCE＝30°，CE＝xm，∴PE＝tan30°•CE≈0.58x（m），∵EF＝PF﹣PE，即CD＝PF﹣PE，∴1.47x﹣0.58x＝45，解得x≈50.56（m），即MN＝50.56m．2．解：（1）①如图，过点C作CF⊥DE于F，过点C、A分别作DE的平行线和垂线相交于点G，在Rt△CDF中，∠CDF＝60°，CD＝70mm，∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35（mm），即点C到直线DE的距离为35mm；②当∠DCB＝70°时，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDF＝60°，又∵∠DCB＝70°，∴∠ACG＝180°﹣70°﹣60°＝50°，在Rt△ACG中，AC＝AC﹣BC＝115﹣35＝80（mm），∠ACG＝50°∴AG＝AC•sin50°≈80×0.8＝64（mm），∴点A到直线DE的距离为AG+CF＝64+35≈124（mm）；（2）把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，旋转后的图形如图③所示，在Rt△B′C′D中，B′C′＝35mm，C′D＝CD＝70mm，∴tan∠C′DB′＝＝0.5，又∵tan26.6°≈0.5，∴∠C′DB′＝26.6°，∴∠CDC′＝60°﹣26.6°＝33.4°，故答案为：33.4°．3．解：如图，过点B作BF⊥CD于F，则AB＝CF，AC＝BF，∵，AE＝80米，∴AB＝20米＝CF，在Rt△BDF中，∠DBF＝30°，设DF＝x，则BF＝x＝AC，∴EC＝AC﹣AE＝（x﹣80）米，在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，CD＝（20+x）米，EC＝（x﹣80）米，∵tan60°＝，∴＝，解得，x＝40+10，经检验，x＝40+10是原方程的根，∴DF＝（40+10）米，∴CD＝CF+DF＝（40+30）米，答：这段河的宽度CD的长为（40+30）米．4．解：（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于E，垂足为E，则AE⊥BF，由cos∠BAE＝，∴cos22°＝，∴，即AE＝4.5m，∴DE＝AE﹣AD＝4.5﹣0.4＝4.1（m），由sin∠BAE＝，∴，∴，即BE＝1.8m，∴BF＝BE+EF＝1.8+1.2＝3（m），又，∴，即CF＝4m，∴CH＝CF+HF＝CF+DE＝4+4.1＝8.1（m），即点O到岸边DH的距离为8.1m；（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，垂足为M，由cos∠BAM＝，∴，∴，即AM＝2.88m，∴DM＝AM﹣AD＝2.88﹣0.4＝2.48（m），由sin∠BAM＝，∴，∴，即BM＝3.84m，∴BN＝BM+MN＝3.84+1.2＝5.04（m），∴＝（m），∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58（m），即点O到岸边的距离为4.58m．5．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则BC＝≈＝10（厘米），∴BH＝BC﹣HC＝7（厘米）；（2）在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则PH＝BH•tan∠ABC≈7×0.18≈1.26（厘米），答：木桩上升了大约1.26厘米．6．（1）证明：连接AO，并延长交⊙O于G，连接BG，∴∠ACB＝∠AGB，∵AG是直径，∴∠ABG＝90°，∴∠BAG+∠AGB＝90°，∵AD2＝BD•CD，∴，∵∠ADB＝∠CDA，∴△DAB∽△DCA，∴∠DAB＝∠ACB，∴∠DAB＝∠AGB，∴∠DAB+∠BAG＝90°，∴AD⊥AO，∵OA是半径，∴AD为⊙O的切线；（2）解：当水面到GH时，作OM⊥GH于M，∵CA＝CB，∠C＝30°，∴∠ABC＝75°，∵AG是直径，∴∠ABG＝90°，∴∠CBG＝15°，∵BC∥GH，∴∠BGH＝∠CBG＝15°，∴∠AGM＝45°，∴OM＝OG＝，∴筒车在水面下的最大深度为3﹣≈0.9（m）．7．解：由题意可知：∠BOE＝45°，BO＝20cm，BE⊥OD，∴BE＝OE＝BO•sin45°＝10（cm），在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴sin∠BDE＝，∴BD＝20cm，∵BD＝AC，∴AC＝20≈28（cm），答滑动支架AC的长约为28cm．8．解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，经检验：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的宽度为（30+30）米；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古树A、B之间的距离为20米．9．解：（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，∵∠ABM＝113.6°，∴∠BMH＝180°﹣∠ABM＝66.4°，在Rt△BMH中，∠BMH＝66.4°，BM＝44cm，∴MH＝BM•cos66.4°≈44×0.4＝17.6（cm），∵MP＝26.1cm，∴BA＝HP＝MP﹣MH＝26.1﹣＝8.5（cm），∴枪身BA的长度约为8.5cm；（2）此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内，理由：延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMK＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝45°，在Rt△MNK中，MN＝30cm，∴KM＝MN•cos45°＝30×＝15（cm），∵KQ＝50cm，∴PQ＝KQ﹣KM﹣MP＝50﹣15﹣26.1≈2.7（cm），∵测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm，∴此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内．10．解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．11．解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．512．解：连接MC，过点M作HM⊥NM，由题意得：∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．13．解：（1）如图，连接AE，过点E作EM⊥AC于M，由题意可知，CF＝100cm＝ME，AC＝170cm，BC＝145cm，EF＝70cm＝MC，∴AM＝170﹣70＝100（cm），在Rt△AEM中，AM＝100cm，ME＝100cm，∴∠MAE＝∠AEM＝45°，∴从启动开始，到小朋友头顶E处感受到空调风所用的时间为45÷10＝4.5（s），答：从启动开始，4.5s小朋友头顶E处感受到空调风；（2）如图，连接BE，则BM＝145﹣70＝75（cm），在Rt△BEM中，∵tan∠BEM＝＝0.75，∴∠BEM＝37°，∴∠MBE＝90°﹣37°＝53°∴小朋友的头顶E处感受到空调风的时长为﹣＝0.8（s），答：小朋友的头顶E处有0.8s的时间感受到空调风；（3）如图，当BE绕着点B旋转到BE′时，所用时间为＝3.7（s），所以该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了时长为0.8+3.7×2＝8.2（s），答：该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了8.2s．14．解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），∵HG∥BC，∴∠EGM＝∠ECB＝36°，在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．15．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∴BC＝AB＝16cm，∴BD＝BC+CD＝16+84＝100（cm）．（2）作DM⊥BA于点M，DN⊥EF于点N，在Rt△DBM中，sin∠DBM＝，即＝，∴DM＝50，∵∠F＝∠M＝∠DNF＝90°，∴四边形NFMD为矩形，∴NF＝DM＝50，DN∥FM，∴∠NDB＝∠DBM＝60°，∵∠BDE＝75°，∴∠EDN＝∠BDE﹣∠NDB＝15°，∴在Rt△DEN中，sin∠EDN＝，即sin15°＝，∴EN＝70sin15°，∴EF＝EN+NF＝50+70sin15°≈105（cm）．16．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，Rt△APG中，sin A＝，∴＝0.96，∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高为7.5m．17．解：（1）过点O作OE⊥CD，垂足为E，过点A作AG⊥CD，垂足为G，过点O作OF ⊥AG，垂足为F，则OE＝FG，∠FOE＝90°，∵OC＝OD＝120cm，∠COD60°，∴∠DOE＝∠COD＝30°，∴OE＝OD•cos30°＝120×＝60（cm），∴FG＝OE＝60cm，∵OA⊥OD，∴∠AOD＝90°，∴∠AOD﹣∠DOF＝∠EOF﹣∠DOF，∴∠AOF＝∠DOE＝30°，在Rt△AOF中，OA＝120cm，∴AF＝OA＝60（cm），∴AG＝AF+FG＝（60+60）cm，∴点A距离地面的高度为（60+60）cm；（2）过点M作MK⊥OB，垂足为K，过点M作ML⊥OD，垂足为L，∵OC＝OD＝120cm，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD＝60°，∵OB∥CD，∴∠BOC＝∠OCD＝60°，在Rt△MKO中，OM＝40cm，∴KO＝OM•cos60°＝40×＝20（cm），MK＝OM•sin60°＝40×＝20（cm），在Rt△MNK中，MN＝80cm，∴NK＝＝＝20（cm），∵OB＝120cm，∴BN＝OB﹣OK﹣NK＝120﹣20﹣20＝（100﹣20）cm，在Rt△OML中，∠COD＝60°，∴ML＝OM•sin60°＝40×＝20（cm），OL＝OM•cos60°＝40×＝20（cm），在Rt△MN′L中，MN′＝MN＝80cm，∴N′L＝＝＝20（cm），∴ON′＝N′L﹣OL＝（20﹣20）cm，∵OB′＝OB＝120cm，∴B′N′＝OB′﹣ON′＝（140﹣20）cm，∴B′N′﹣BN＝140﹣20﹣（100﹣20）＝40（cm），∴点N在晾衣臂OB上滑动的距离为40cm．18．解：（1）过点C作CM⊥DF，垂足为F，∵CD∥AB，AB与水平地面所成的角的度数为35°，∴CD与水平地面所成的角的度数为35°，∴∠DCM＝35°，在Rt△DCM中，DC＝15cm，∴CM＝DC•cos35°≈15×0.819≈12.3（cm），∴显示屏所在部分的宽度约为12.3cm；（2）连接AC，过点A作AH⊥CM，交MC的延长线于点H，∵CE＝2ED，DC＝15cm，∴CE＝CD＝10（cm），∵O为AB的中点，∴OA＝AB＝10（cm），∴OA＝CE＝10cm，∵OA∥CE，∴四边形ACEO是平行四边形，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴四边形ACEO是矩形，∴∠ACE＝90°，AC＝OE＝10cm，∵∠DCM＝53°，∴∠ACH＝180°﹣∠ACE﹣∠DCM＝55°，∴∠HAC＝90°﹣∠ACH＝35°，在Rt△AHC中，AH＝AC•cos35°≈10×0.819＝8.19（cm），∵点C到地面的距离为60cm，∴镜头A到地面的距离＝8.19+60≈68.2（cm），∴镜头A到地面的距离约为68.2cm．19．解：（1）延长BE交DC于点F，由题意得：EF⊥CD，FD＝CD＝CD＝10cm，在Rt△DEF中，DE＝20cm，∴cos D＝＝＝，∴∠D＝60°，∴灯座DC与灯杆DE的夹角为60°；（2）过点A作AM⊥DC，交DC的延长线于点M，过点B作BG⊥AM，垂足为G，则GM＝BF，∠GBF＝90°，在Rt△DEF中，DE＝20cm，DF＝10cm，∴EF＝＝＝10（cm），则GM＝BF＝BE+EF＝（20+10）cm，∵∠ABE＝105°，∴∠ABG＝∠ABF﹣∠GBF＝15°，在Rt△ABG中，AB＝20cm，∴AG＝AB⋅sin15°≈20×0.26＝5.2（cm），∴AM＝AG+GM＝20+10+5.2≈42.5（cm），∴A点到水平桌面（CD所在直线）的距离约为42.5cm，∴此时光线最佳．20．解：（1）第一个小组的数据无法计算河宽，理由如下：∵第一小组给出的数据为BD的长，△ABC和△CDE无法建立联系，无法得到△ABC的任何一边长度，∴第二小组的数据无法计算河宽；（2）第二个小组的解法：∵∠ACB＝∠ADB+∠CBD，∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，∴∠ADB＝∠CBD＝30°，∴BC＝CD＝11.8m，∴AB＝BC•sin60°＝11.8×≈10.2（m）．第三个小组的解法：设AB＝xm，则AC＝，AD＝，∴+＝23.5，解得x≈10.2．答：河宽约10.2m．。

中考数学复习微专题：《三角形的中位线》突破与提升专题练习(无答案)

中考数学复习微专题：《三角形的中位线》突破与提升专题练习一.选择题.1.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=12，AD⊥BC于点D，点E，F分别在AB，AC边上，把△ABC沿EF折叠，使点A与点D恰好重合，则△DEF的周长是( )A.14B.15C.16D. 172.如图，在△ABC中，AC=8，BC=12，AF交BC于F，E为AB的中点，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D.连接DE，则DE的长为( )A.2B.C.3D.43.任意三角形两边的中点的连线与第三边上的中线( )A.互相平分B.互相垂直C.相等D.互相垂直平分4. 如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是 ( )A.10B.20C.30D.405. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB·AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，小红作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积.用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第2014个正△A2014B2014C2014的面积是( )A.×B.×C.×D.×二.填空题.7.如图，一张三角形纸片ABC，AB=AC=5.折叠该纸片，使点A落在BC的中点上，折痕经过AC 上的点E，则AE的长为_________.8.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O.点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为_________.9. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE=5 cm，则AD的长是_________cm.10. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，若DE=3，则线段BC的长等于_________.11. 如图所示，在四边形ABCD中，P为对角线BD的中点，E，F分别为AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是_________.12.如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A，D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE.若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为_________.13.如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=10，AC=6，则DF的长为_________.三.解答题.14.如图，BM，CN分别平分△ABC的外角∠ABD，∠ACE，过A分别作BM，CN的垂线，垂足分别为M，N，交CB，BC的延长线于D，E，连接MN.求证：MN=(AB+BC+AC).15.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形.16如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点.(1)若四边形AEDF的周长为24，AB=15，求AC的长.(2)求证：EF垂直平分AD.17.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.(1)求证：四边形ADEF是平行四边形.(2)求证：∠DHF=∠DEF.18.我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.(1)这个中点四边形EFGH的形状是________.(2)请证明你的结论.。

中考数学总复习专题三解答题重难点题型突破题型二几何图形探究题类型与三角形、四边形有关的探究题课件

(2)如图②，过点 F 作 FG⊥AB 于 G，连接 FE.∵AF＝BE，AF∥BE，∴ 四边形 ABEF 是平行四边形，∵AF＋BE＝16，∴AB＝AF＝BE＝8，∵32 3＝ 8×FG，∴FG＝4 3，在 Rt△FAG 中，AF＝8，∴∠FAG＝60°，当点 G 在线段 AB 上时，∠FAB＝60°，当点 G 在线段 BA 延长线时，∠FAB＝120°，
解：(1)原命题不成立，新结论为：∠APB＝90°， AF＋BE＝2AB(或 AF＝BE＝AB)，证明：∵AM∥BN， ∴∠MAB＋∠NBA＝180°，∵AE，BF 分别平分∠MAB，∠NBA，
∴∠EAB＝12∠MAB，∠FBA＝12∠NBA，
∴∠EAB＋∠FBA＝12(∠MAB＋∠NBA)＝90°， ∴∠APB＝90°，∵AE 平分∠MAB，∴∠MAE＝∠BAE， ∵AM∥BN，∴∠MAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE，同理：AF＝AB，∴AF＋BE＝2AB(或 AF＝BE＝AB)；
辽宁专用
专题三解答题重难点题型突破
题型二几何图形探究题类型1 与三角形、四边形有关的探究题
【例1】 (2016·抚顺)如图，在△ABC中，BC >AC，点E在BC上，CE＝CA，点D在AB上，连接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，作CH⊥AB，垂足为H.
(1)如图①，当∠ACB＝90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F. ①求证：FA＝DE； ②请猜想三条线段DE、AD、CH之间的数量关系，直接写出结论； (2)如图②，当∠ACB＝120°时，三条线段DE、AD、CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．
(3)成立．∵四边形 ABCD 是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90 °，

中考复习《解直角三角形》专题试卷含答案解析

中考复习解直角三角形专题试卷一、解答题1、如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD 上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）2、如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．3、如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N 处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）4、如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）5、如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B 码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．6、如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）7、某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．8、如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A地到B地有一条笔直的铁路通过，但在附近的C处有一大型油库，现测得油库C在A地的北偏东60°方向上，在B地的西北方向上，AB的距离为250（+1）米．已知在以油库C为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问若在此路段修建铁路，油库C是否会受到影响？请说明理由．9、保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC，已知BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）10、芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）11、如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）12、（2016•黔东南州）黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）13、如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°．两人相距30米且位于旗杆两侧（点B，N，D在同一条直线上）．求旗杆MN的高度．（参考数据：，，结果保留整数）14、（2015•张家界）如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．(1)求点B到AC的距离.(2)求线段CD的长度．15、测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）(1)若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；(2)若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．16、如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．(1)求AB段山坡的高度EF；(2)求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）17、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；（结果保留根号）(2)求旗杆CD的高度．18、如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．(1)求出此时点A到岛礁C的距离；(2)若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）答案解析部分一、解答题1、解：过点M作MN⊥AB于N，设MN=x米．在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，∴MA=2MN=2x，AN=MN=x．在Rt△BMN中，∵∠BNM=90°，∠MBN=45°，∴BN=MN=x，MB=MN=x．∵AN+BN=AB，∴x+x=300（+l），∴x=300，∴MA=2x=600，MB=x=300．故供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300米．2、解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，EF∥AB，CD⊥AB于点D．∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°．在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD=．在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=，∴DB=．∴AB=AD+BD=90+30=120．答：建筑物A、B间的距离为120米．3、解：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，∵坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：，∴EF=10米，DF=米，∵DH=DF+EC+CN=（+30）米，∠ADH=30°，∴AH=×DH=（10+）米，∴AN=AH+EF=（20+）米，∵∠BCN=45°，∴CN=BN=20米，∴AB=AN﹣BN=≈17米，答：条幅的长度是17米．4、解：过点B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中，∵AB=40，∠A=30，∴BD=AB=20，在R t△BDP中，∵∠P=45°，∴PB=BD=≈28.3（海里）．答：此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长约为28.3海里．5、解：如图：过P作PM⊥AB于M，则∠PMB=∠PMA=90°，∵∠PBM=90°﹣45°=45°，∠PAM=90°﹣60°=30°，AP=20海里，∴PM=AP=10海里，AM=cos30°AP=海里，∴∠BPM=∠PBM=45°，∴PM=BM=10海里，∴AB=AM+BM=（10+）海里，∴BP==海里，即小船到B码头的距离是海里，A、B两个码头间的距离是（10+）海里．6、【答案】解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，∴设EF=x，则FC=x，∵CE=20米，∴x2+（x）2=400，解得：x=10，则FC=m，∵BC=25m，∴BF=NE=（25+）m，∴AB=AN+BN=NE+EF=10+25+=（35+）m，答：建筑物AB的高为（35+）m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【分析】首先过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，再利用坡度的定义以及勾股定理得出EF、FC的长，求出AB的长即可．7、【答案】解：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=30，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=30，则tanC=，∴CD==10，∴BC=30+10．答：该船与B港口之间的距离CB的长为：（30+10）海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【解答】作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD=45°，得到AD=BD=30 ，求出∠C=60°，根据正切的概念求出CD的长，得到答案．【分析】作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD=45°，得到AD=BD=30，求出∠C=60°，根据正切的概念求出CD的长，得到答案．8、【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，∴AD=CD•cot45°=CD，BD=CD•cot30°= CD，∵BD+AD=AB=250（+1）（米），即CD+CD=250（+1），∴CD=250，250米＞200米．答：在此路段修建铁路，油库C是不会受到影响【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【分析】根据题意，在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=45°，AB=250（+1）米，是否受到影响取决于C点到AB的距离，因此求C点到AB的距离，作CD⊥AB于D点．此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°、60°）．9、【答案】解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求，理由：如图2所示：过点B作BD⊥AC于点D，∵BC=30cm，∠ACB=53°，∴sin53°= = ≈0.8，解得：BD=24，cos53°= ≈0.6，解得：DC=18，∴AD=22﹣18=4（cm），∴AB= = = ＜，∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】根据锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而结合勾股定理得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出BD，AD的长是解题关键．10、【答案】解：设DH=x米，∵∠CDH=60°，∠H=90°，∴CH=DH•sin60°= x，∴BH=BC+CH=2+ x，∵∠A=30°，∴AH= BH=2 +3x，∵AH=AD+DH，∴2 +3x=20+x，解得：x=10﹣，∴BH=2+ （10﹣）=10 ﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】设DH=x米，由三角函数得出= x，得出BH=BC+CH=2+ x，求出AH= BH=2 +3x，由AH=AD+DH得出方程，解方程求出x，即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．11、【答案】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE= = =10 （m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10 ≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【分析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AFD得到DF 的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE﹣CE．本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．12、【答案】解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示：在Rt△DHC中，∠DCH=60°，CD=4，则CH=CD•cos∠DCH=4×cos60°=2，DH=CD•sin∠DCH=4×sin60°=2 ，∵DH⊥BG，∠G=30°，∴HG= = =6，∴CG=CH+HG=2+6=8，设AB=xm，∵AB⊥BG，∠G=30°，∠BCA=45°，∴BC=x，BG= = = x，∵BG﹣BC=CG，∴x﹣x=8，解得：x≈11（m）；答：电线杆的高为11m．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，由三角函数求出求出CH、DH的长，得出CG，设AB=xm，根据正切的定义求出BG，得出方程，解方程即可．13、【答案】解：过A作AE⊥MN，垂足为E，过C作CF⊥MN，垂足为F设ME=x，Rt△AME中，∠MAE=45°，∴AE=ME=x，Rt△MCF中，MF=x+0.2，CE= = （x+0.2），∵BD=AE+CF，∴x+ （x+0.2）=30∴x≈11.0，即AE=11.0，∴MN=11.0+1.7=12.7≈13．【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．二、综合题14、【答案】（1）解：过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△AEB中，AB=60m，sinA=，BE=ABsinA=60×=30，cosA=，∴AE=60×=30m，在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°，∴BE=CE=30m∴点B到AC的距离为30m.（2）解：过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△AEB中，AB=60m，sinA=，BE=ABsinA=60×=30，cosA=，∴AE=60×=30m，在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°，∴BE=CE=30m，∴AC=AE+CE=（30+30）m，在Rt△ADC中，sinA=，则CD=（30+30）×=（15+15）m．【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】过点B作BE⊥AC于点E，在直角三角形AEB中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，在直角三角形CEB中，利用锐角三角函数定义求出BE与CE的长，由AE+CE求出AC的长，即可求出CD 的长．【分析】此题考查了构造直角三角形利用三角函数求线段长的知识点.15、【答案】（1）解：由题意可得：tan50°= ≈1.2，解得：AC=24，∵∠BDC=45°，∴DC=BC=20m，∴AB=AC﹣BC=24﹣20=4（m），答：建筑物BC的高度为4m；（2）解：设DC=BC=xm，根据题意可得：tan50°= = ≈1.2，解得：x=25，答：建筑物BC的高度为25m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【分析】（1）直接利用tan50°= ，进而得出AC的长，求出AB的长即可；（2）直接利用tan50°=，进而得出BC的长求出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．16、【答案】（1）解：作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH= ，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m（2）解：在Rt△CBE中，∵sin∠CBE= ，∴CE=200•sin45°=100 141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．17、【答案】（1）解：∵教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°，∴∠ADB=30°，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=4m，∴AD= = =4 （m），答：教学楼与旗杆的水平距离是4 m．（2）解：∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，AD=4 m，∴CD=AD•tan60°=4 × =12（m），答：旗杆CD的高度是12m．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【分析】（1）根据题意得出∠ADB=30°，进而利用锐角三角函数关系得出AD的长；（2）利用（1）中所求，结合CD=AD•tan60°求出答案．此题主要考查了解直角三角的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．18、【答案】（1）解：如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，由题意可得：∠CBD=30°，BC=120海里，则DC=60海里，故cos30°= = ，解得：AC=40 ，答：点A到岛礁C的距离为40 海里．（2）解：如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，可得∠1=30°，∠BA′A=45°，A′N=A′E，则∠2=15°，即A′B平分∠CBA，设AA′=x，则A′E= x，故CA′=2A′N=2× x= x，∵x+x=40 ，∴解得：x=20（﹣1），答：此时“中国海监50”的航行距离为20（﹣1）海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【分析】（1）根据题意得出：∠CBD=30°，BC=120海里，再利用cos30°= ，进而求出答案；（2）根据题意结合已知得出当点B在A′的南偏东75°的方向上，则A′B平分∠CBA，进而得出等式求出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．。

专练06 三角形中有关角的计算与证明-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)

专练06三角形中有关角的计算与证明1.已知△ABC ，点P 为其内部一点，连结PA 、PB 、PC ，在△PAB ，△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC 的三个内角分别相等，那么就称点P 为△ABC 的等角点.（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真”；反之，则写“假”. ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；________命题； ②任意的三角形都存在等角点；________命题.（2）如图 ①，点P 是△ABC 的等角点，若∠BAC=∠PBC ，探究图 ①中∠BPC ，∠ABC ，∠ACP 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，在△ABC 中，∠BAC<∠ABC<∠ACB ，若△ABC 的三个内角的角平分线的交点P 是该三角形的等角点，直接写出△ABC 三个内角的度数.【答案】（1） ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点，是真命题； ②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；故答案为：1、真，2、假.（2）解：如图①，∵△ABC 中， ∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP ， ∠BAC=∠PBC ，∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP =∠ABC+∠ACP. （3）∵P 为三角形内角平分线的交点， ∵∠PBC=12∠ABC ，∠PCB=12∠ACB ， ∵P 为△ABC 的等角点，∴∠PBC=∠A，∴∠ABC=2∠PBC=2∠A，∴∠BCP=∠ABC=2∠A，∴∠ACB=2∠BCP=4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠A+4∠A=180°，∴∠A=180°7，∴该三角形的三个内角的度数分别为：180°7，360°7，720°7.故答案为：180°7，360°7，720°7.2.将一块直角三角板XYZ放置在AABC上，使得该三角板的两条直角边XY，XZ恰好分别经过点B，C.（1）如图1，当∠A=45°时，∠ABC+∠ACB=________度，∠ABX+∠ACX=________度.（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使该三角板的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究∠ABX+∠ACX与∠A的关系.【答案】（1）在三角形ABC中，∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135°∵∠YXZ=90°∴∠XBC+∠XCB=90°∴∠ABX+∠ACX=135°-90°=45°（2）解：不变化，∠ABX+∠ACX =90°-∠A，理由如下∵∠x =90°,∴∠XBC+∠XCB =90°∵∠A+∠ABC+∠ACB =180°,∴∠ABX+∠ACX =(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A3.如图（1）如图，请证明∠A+∠B+∠C＝180°（2）如图的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D（3）如图，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明（4）如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明.【答案】（1）证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，∵BA∥CE，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2，又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）证明：如图2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P＝180°+∠D+∠B，∴∠P＝90°+ 1（∠B+∠D）；2（4）解：②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确.理由如下：作PQ∥AB，如图4，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，由PQ∥CD得∠5＝∠2，∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°.4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.（1）当D在线段BC上时，①求证：△BAD≌△CAE.②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由.（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为26°，求∠ADB的度数.【答案】（1）解：①∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；②如图，连接DE，若AC⊥DE，又∵AD＝AE，∴AC平分∠DAE，∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD，∴AD平分∠CAB，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴当点D在BC中点时，AC⊥DE；（2）解：当CE∥AB时，则有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，①如图1：此时∠BAD＝26°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣26°﹣60°＝94°.②如图2，此时∠ADB＝26°，③如图3，此时∠BAD＝26°，∠ADB＝60°﹣26°＝34°.④如图4，此时∠ADB＝26°.综上所述，满足条件的∠ADB的度数为26°或34°或94°5.如图，P是等腰△ABC内一点，AB=BC，连接PA，PB，PC．图1 图2（1）如图1，当∠ABC=90°时，PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB．（2）如图2，当∠ABC=60°时，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB．【答案】（1）解：将△APB沿点B顺时针旋转90°，得到△BCP′，连接PP′，可得∠P′BP=90°，且BP=BP′=4，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴∠BP′P=45°，PP′=4√2，在△PP′C中，PC2=62=36，P′C2+P′P2=22+(4√2)2=4+32=36，∴PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠BP′C=45°+90°=135°，又∵旋转，∴∠APB=∠BP′C=135°（2）解：将△APB沿点B顺时针旋转60°得到△BCP′，连接PP′，可得：BP′=BP=4，∠PBP′=60°∴△PBP′为等边三角形，∴∠BP′P=60°，PP′=4，在△PP′C中，PP′2+P′C2=42+32=25，CP2=52=25，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=60°+90°=150°，∴∠APB=∠BP′C=150°6.如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝40°，AD、BE交于点H，连接CH．（1）求证：ΔACD≌ΔBCE；（2）求证：CH 平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．【答案】（1）证明；∵∠ACB=∠DCE＝40°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）证明；过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM=∠CBN，在△ACM和△BCN中，{∠CAM=∠CBN∠AMC=∠BNC=90°AC=BC，∴△ACM≌△BCN（AAS），∴CM=CN，∴CH平分∠AHE（3）解；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠AMC，∴∠AHB=∠ACB=40°，∴∠AHE=180°-40°＝140°，∠AHE=70º∴∠CHE= 127.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B=∠C+∠D．（1）性质理解：如图2，在“对顶三角形” △AOB与△COD中，∠EAO=∠C，∠D=2∠B，求证：∠EAB=∠B；（2）性质应用：①如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为；②如图4，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠BOD=∠A．若∠ECD比∠DBE大20∘，求∠BDO的度数；（3）拓展提高：如图5，已知BE，CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A=α，求∠P的度数（用α表示∠P）．【答案】（1）证明：据题意，得∠BAO+∠B=∠C+∠D，∴∠BAO−∠C=∠D−∠B，∵∠EAO=∠C，∠D=2∠B，∴∠BAE=∠B（2）解：①∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠B+∠E+∠D=∠FGD+∠GFD+∠D=180°；故答案为：180°；②由题意得∠ECD−∠DBE=20°，由（1）得∠EBD+∠BDO=∠ECO+∠OEC，∴∠BDO−∠OEC=20°，∵∠BOD=∠A，∴∠A+∠DOE=180°，故∠ADO+∠AEO=180°，∵∠AEO+∠CEO=∠BDO+∠ADO=180°，∴∠BDO=∠AEO，∴∠BDO+∠CEO=180°，∵∠BDO−∠OEC=20°，∴∠BDO=100°；（3）解：∠P=180∘−α4，理由如下：∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，∴∠BDP=∠CDP，∠BEP=∠CEP，由（1）得∠BDP+∠DBE=∠BEP+∠P①，∠CDP+∠P=∠CEP+∠DCE②，由①−②得∠DBE−∠P=∠P−∠DCE，∴∠P=12(∠DBE+∠DCE)，即∠P=14(∠ABC+∠ACB)，∴∠P=14(180°−∠A)=180°−α48.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=________；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=________；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=________；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=________（用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明.【答案】（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，所以△ACD是等边三角形.∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，所以△ECB是等边三角形.∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，又∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACE=∠BCD.∵AC=DC，CE=BC，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∠AFB是△ADF的外角.∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°.如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠AEC=∠DBC，又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，∴∠EFD=90°.∴∠AFB=90°.如图3，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，∴∠FAB+∠FBA=120°.∴∠AFB=60°.故答案为：120°，90°，60°；（2）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.∴∠CAE=∠CDB.∴∠DFA=∠ACD.∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α.故答案为：180°﹣α；（3）解：∠AFB=180°﹣α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中{AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，则△ACE≌△DCB（SAS）.则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α.∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α.9.己知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQPC=AQAB(如图1所示)（1）当AD=2，且点Q与点B重合时(如图2所示)，求线段PC的长；（2）在图1中，联结AP，当AD= 32，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，S△APQS△PBC=y，其中S△APQ表示S△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当AD<AB，且点Q在线段AB的延长线上时(如图3所示)，求∠QPC的大小【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，当AD=2时，AD=AB，∴∠D=∠ABD=45°，∴∠PQC=∠D=45°，∵PQPC =AQAB，∴PQ=PC，∴∠C=∠PQC=45°，∴∠BPC=90°，∴PC=BC·sin45°=3√22（2）解：如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠ABC=90°， ∴四边形EBFP 是矩形， ∴PF=BE ，又∵∠BAD=90°， ∴PE ∥AD ，∴Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ， ∴BEEP =BAAD =232=43，设BE=4k ，则PE=3k ， ∴PF=BE=4k ，∵BQ=x ，AQ=AB-BQ=2-x ，∴S △APQ =12AQ·PE=12（2-x ）·3k ，S △PBC =12BC·PF=12×3×4k=6k ， ∵S △APQS △PBC=y ，∴12（2−x ）·3k 6k =y ，∴y=2−x 4（0≤x ≤78）；（3）解：∵Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ，∴BEEP =BAAD ∴PFEP =BAAD ， ∵PCPQ =BAAD ， ∴PFEP =PCPQ ， ∴Rt △PCF ∽Rt △PQE ， ∴∠FPC=∠EPQ ，∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，∴∠FPC+∠QPF=90°，即∠QPC=90°。

中考复习分析——解直角三角形

中考复习分析——解直角三角形黄金洞民族中小学罗建华第一部分地位与作用一．复习定位解直角三角形这一部分知识是数学中的基本工具之一．解直角三角形不仅在实际问题中有着广泛的应用，而且更为重要的是，它在数学本身也有着极为广泛的应用，凡是有关图形中量的计算问题，以及坐标系里点的坐标的计算，大多数的情况都需借助于构造与解直角三角形．因此解直角三角形的知识是近年各地中考命题的热点之一.（一）试题类型与考法分析1.考察内容以基础知识与基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际，综合运用知识，技能的要求越来越明显，不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还要求学生根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.2.本章知识是中考常考的内容，尤其是特殊角的三角函数值的有关的计算时必考内容，试题以填空题、计算题为主.3. 应用解直角三角形的知识解决实际问题是中考的热点，试题以填空题和解答题为主.4.2013-2015年我州中考试题中“解直角三角形”部分的权重：10~12%左右.二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2013-2015年我州中考涉及的知识点如下表:关于锐角三角函数的考纲要求1.基本要求：通过实例认识锐角的正弦、余弦、正切；知道30°、45°、60°角的三角函数值．2.略高要求：由某个角的一个三角函数值,会求其余两个三角函数值；会计算含有特殊角的三角函数式的值．3.较高要求：能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．。

关于解直角三角形的考纲要求1.基本要求：知道解直角三角形的含义．2.略高要求：会解直角三角形；能根据问题的需要合理作出垂线,构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题．3.较高要求：会解有特殊条件的四边形中的计算问题；会设计简单的测量方案；能综合运用直角三角形的性质解决简单的实际问题．(三)中考热点：新课标对解直角三角形的要求略有减弱，从前几年各省、市的中考命题来看，运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关联的应用题是中考的热点．三、中考命题趋势及复习对策解直角三角形在实际生活中的应用题，是中考的重点内容，其次是特殊角的三角函数值，锐角三角函数包含三部分内容，一是解直角三角形及特殊锐角函数值的考查，以填空，选择题的形式出现；二是解决实际问题，以解答题的形式出现；三是渗透在中高档解答证明题中，一般占10分左右．在复习时，要正确了解三角函数概念把握其本质，才能正确理解解直角三角形中边角之间关系，才能利用这些关系解题，另外还要注意数形结合，解题时通过画图来找出函数关系，帮助解题．第二部分考点突破一、考点讲解：考点1．锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ．∠A 的正弦=A asin A=c ∠的对边，即斜边； ∠A 的余弦=A bcos A=c ∠的邻边，即斜边, ∠A 的正切=A atan=A b ∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．二、经典考题剖析：【考题1－1】在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=15，BC=9，则sinA 的值是( )A ．34B ．45C ．35D ． 43点拨：（基本）通过实例认识锐角的正弦、余弦、正切【考题1－2】在Rt △ABC 中，∠C=90°，则sinA=35 ，则cosA=____．点拨：（略高）由某个角的一个三角函数值,会求其余两个三角函数值【考题1－3】（2009温州）△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=43，则AC 的长是；点拨：（略高）由某个角的一个三角函数值,结合已知条件，会求其余的边或角。

中考数学考点系统复习第四章三角形第六节锐角三角函数与解直角三角形的实际应用

模型三：拥抱型
【模型突破】如图①，BF＋FC＋CE＝BE；如图②，BC＋CE＝BE；如图③， AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE.
7．(2015·昆明第 20 题 6 分)如图，两幢建筑物 AB 和 CD，AB⊥BD，CD ⊥BD，AB＝15 m，CD＝20 m，AB 和 CD 之间有一景观池，小南在 A 点测得池中喷泉处 E 点的俯角为 42°，在点 C 测得 E 点的俯角为 45°(点 B，E， D 在同一直线上)，求两幢建筑物之间的距离 BD.(结果精确到 0.1 m，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
主义教育基地后，先从基地门口 A 处向正南方向走 300 米到达革命纪念碑 B 处，再从 B 处向正东方向走到党史纪念馆 C 处，然后从 C 处向北偏西 37°方向走 200 米到达人民英雄雕塑 D 处，最后从 D 处回到 A 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东 65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离(cos 37° ≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65° ≈2.14)
模型二：子母型
【模型突破】BC 为公共边，如图①，AD＋DC＝AC；如图②，DC－BC＝DB.
【模型演变】
【模型突破】如图③，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC， AE＋DF＝AC；如图④，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE.
6．(2016·昆明第 20 题 8 分)如图，大楼 AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30°，测得大楼顶端 A 的仰角为 45°(点 B，C，E 在同一水平直线上)，已知 AB＝80 m，DE＝10 m，求障碍物 B，C 两点间的距离．(结果精确到 0.1 m．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)

2021年中考复习数学专项突破：全等三角形(含答案)

2021中考数学专项突破：全等三角形一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图所示，P是∠BAC内一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PF A的理由是()A．HL B．ASA C．AAS D．SAS2. 已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数为 ()A.105°B.75°C.60°D.45°3. 如图，添加下列条件，不能判定△ABD≌△ACD的是()A．BD＝CD，AB＝ACB．∠ADB＝∠ADC，BD＝CDC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠B＝∠C，BD＝CD4. 如图，点B，E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是()A.BC=FD，AC=EDB.∠A=∠DEF，AC=EDC.AC=ED，AB=EFD.∠A=∠DEF，BC=FD5. 如图所示，P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA≌△PF A的依据是()A．HL B．ASA C．SSS D．SAS6. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是()A.3B.-3C.2D.-27. 根据下列条件，能画出唯一的△ABC的是()A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，AC＝6，∠A＝50°D．∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80°8. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是()9. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()A. 2B. 3C. 2D. 610. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.12. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD.请添加一个适当的条件：______________，使得△ABD≌△CDB.(只需写出一个)13. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC ＝DB，③AB＝DC，其中不能判定△ABC≌△DCB的是________(只填序号)．14. 如图，已知AB＝BD，∠A＝∠D，若要应用“SAS”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是____________．15. 如图，小明和小丽为了测量池塘两端A，B两点之间的距离，先取一个可以直接到达点A和点B的点C，沿AC方向走到点D处，使CD＝AC；再用同样的方法确定点E，使CE＝BC.若量得DE的长为60米，则池塘两端A，B两点之间的距离是______米．16. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，C是线段BD的中点，AB＝EC，∠B＝∠ECD.求证：△ABC≌△ECD.18. 如图所示，AB＝EA，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°.求证：△ABC≌△EAD.19. 如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作☉O，点E在BC边上，连接AE交☉O于点F，连接BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG.(2)若∠AEB=55°，OA=3，求的长.(结果保留π)20. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，点D 是射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为直角边，在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .(1)如图①，当点D 在线段BC 上时(不与点B 重合)，求证:△ACF ≌△ABD ; (2)如图②，当点D 在线段BC 的延长线上时，猜想CF 与BD 的数量关系和位置关系，并说明理由.2021中考数学专项突破：全等三角形-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B3. 【答案】D[解析] A ．在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧AD ＝AD ，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD(SSS)，故本选项不符合题意； B ．在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧AD ＝AD ，∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD(SAS)，故本选项不符合题意； C ．在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧∠BAD ＝∠CAD ，∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(AAS)，故本选项不符合题意；D ．根据∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，BD ＝CD 不能推出△ABD ≌△ACD(SSA)，故本选项符合题意．故选D.4. 【答案】C[解析] A .添加BC=FD ，AC=ED ，可利用“SAS”判定△ABC ≌△EFD ;B .添加∠A=∠DEF ，AC=ED ，可利用“ASA”判定△ABC ≌△EFD ; C .添加AC=ED ，AB=EF ，不能判定△ABC ≌△EFD ;D .添加∠A=∠DEF ，BC=FD ，可利用“AAS”判定△ABC ≌△EFD.5. 【答案】A6. 【答案】A[解析] 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E.∵点D 的坐标是(0，-3)， ∴OD=3.∵AD 是△OAB 的角平分线， ∴ED=OD=3，即点D 到AB 的距离是3.7. 【答案】C[解析] 对于选项A 来说，AB ＋BC<AC ，不能画出△ABC ；对于选项B 来说，可画出△ABC 为锐角三角形或者钝角三角形；对于选项C 来说，已知两边及其夹角，△ABC 是唯一的；对于选项D 来说，△ABC 的形状可确定，但大小不确定．8. 【答案】C[解析] 选项A 中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项B 中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等. 选项C 中，如图①，∵∠DEC=∠B+∠BDE ，∴x °+∠FEC=x °+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.这两个角所对的边是BE和CF，而已知条件给的是BD=CF=3，故不能判定两个小三角形全等.选项D中，如图②，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.又∵BD=CE=2，∠B=∠C，∴△BDE≌△CEF.故能判定两个小三角形全等.9. 【答案】B【解析】如解图，连接OC，由已知条件易得∠A＝∠OCE，CO＝AO，∠DOE＝∠COA，∴∠DOE－∠COD＝∠COA－∠COD，即∠AOD＝∠COE，∴△AOD≌△COE(ASA)，∴AD＝CE，进而得CD＋CE＝CD＋AD＝AC＝22AB＝3，故选B.10. 【答案】B[解析] 如图，过点F分别作FZ⊥AE于点Z，FY⊥CB于点Y，FW⊥AB于点W.∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，∴FZ＝FW.同理FW＝FY.∴FZ＝FY.又∵FZ⊥AE，FY⊥CB，∴∠FCZ＝∠FCY.由∠AFB ＝40°，易得∠ACB ＝80°. ∴∠ZCY ＝100°.∴∠BCF ＝50°.二、填空题（本大题共6道小题） 11. 【答案】120° 【解析】由于△ABC ≌△A′B′C′，∴∠C ＝∠C′＝24°，在△ABC 中，∠B ＝180°－24°－36°＝120°.12. 【答案】答案不唯一，如AB ＝CD [解析] 由已知AB ∥CD 可以得到一对角相等，还有BD ＝DB ，根据全等三角形的判定，可添加夹这个角的另一边相等，或添加另一个角相等均可．13. 【答案】②[解析] ∵已知∠ABC ＝∠DCB ，且BC ＝CB ，∴若添加①∠A ＝∠D ，则可由“AAS”判定△ABC ≌△DCB ；若添加②AC ＝DB ，则属于“SSA”，不能判定△ABC ≌△DCB ；若添加③AB ＝DC ，则可由“SAS”判定△ABC ≌△DCB.14. 【答案】AC ＝DE15. 【答案】60[解析] 在△ACB 和△DCE 中，⎩⎨⎧AC ＝DC ，∠ACB ＝∠DCE ，BC ＝EC ，∴△ACB ≌△DCE(SAS)．∴DE ＝AB. ∵DE ＝60米，∴AB ＝60米．16. 【答案】32°[解析] ∵PD ＝PE ＝PF ，PD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，PE ⊥AC于点E ，PF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ， ∴CP 平分∠ACF ，BP 平分∠ABC. ∴∠PCF ＝12∠ACF ，∠PBF ＝12∠ABC.∴∠BPC ＝∠PCF －∠PBF ＝12(∠ACF －∠ABC)＝12∠BAC ＝32°.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：∵C 是线段BD 的中点，∴BC ＝CD.在△ABC 与△ECD 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，∠B ＝∠ECD ，AB ＝EC ，∴△ABC ≌△ECD.18. 【答案】证明：由∠ECB ＝70°得∠ACB ＝110°. 又∵∠D ＝110°，∴∠ACB ＝∠D. ∵AB ∥DE ，∴∠CAB ＝∠E.在△ABC 和△EAD 中，⎩⎨⎧∠ACB ＝∠D ，∠CAB ＝∠E ，AB ＝EA ，∴△ABC ≌△EAD(AAS)．19. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形，AB 为☉O 的直径， ∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，AB=BC ， ∴∠BAF +∠ABF=90°，∠ABF +∠EBF=90°， ∴∠EBF=∠BAF ，在△ABE 与△BCG 中，∴△ABE ≌△BCG (ASA). (2)连接OF ，∵∠ABE=∠AFB=90°，∠AEB=55°， ∴∠BAE=90°-55°=35°， ∴∠BOF=2∠BAE=70°. ∵OA=3，∴的长==.20. 【答案】解:(1)证明:∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAF+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠BAD.在△ACF和△ABD中，∴△ACF≌△ABD(SAS).(2)CF=BD且CF⊥BD，理由如下:∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD.在△ACF和△ABD中，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD.∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABD=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=∠ABD+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD.。

中考数学解答题压轴题突破重难点突破八几何综合探究题类型二：操作型探究问题

5．(2022·嘉兴)小东在做九上课本 123 页习题：“1∶ 2 也是一个很有趣的比．已知线段 AB(如图①)，用直尺和圆规作 AB 上的一点 P，使 AP∶ AB＝1∶ 2.”小东的作法是：如图②，以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，再以点 A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段 AB 于点 P，点 P 即为所求作的点．小东称点 P 为线段 AB 的“趣点”．
(1)【阅读理解】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
解： a2＋b2＝c2(直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方)．推理如下： ∵如图①，4 个△ADE 的面积和＋正方形 EFGH 的面积＝正方形 ABCD 的面积，即 4×12ab＋(b－a)2＝c2，整理得 a2＋b2＝c2.
解：∵在正方形 PQMN 中，PN＝PQ＝DE，PN∥BC，∴△APN∽△ABC，AE＝
PN AE AD－DE＝AD－PN，∴BC＝AD，
PN h－PN
ah
ah
∴ a ＝ h ，∴PN＝a＋h，∴正方形 PQMN 的边长为a＋h.
(2)【操作推理】如何画出这个正方形 PQMN 呢？如图②，小杰画出了图①的△ABC，然后又进行以下操作：先在 AB 边上任取一点 P′，画正方形 P′Q′M′N′，使点 Q′，M′在 BC 边上，点 N ′在△ABC 内，然后连接 BN′，并延长交 AC 于点 N，作 NM⊥BC 于点 M， NP⊥NM 交 AB 于点 P，PQ⊥BC 于点 Q，得到四边形 PQMN.证明：图②中的四边形 PQMN 是正方形；【分层分析】先推出四边形 PQMN 是矩形，再根据 P′N′∥PN，M′N′∥ MN，可得P′PNN′＝N′NMM′，结合 M′N′＝P′N′，推得 MN＝PN 进而得证；

2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：三角形内角和定理的应用(附答案)

2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：三角形内角和定理的应用（附答案）1．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°2．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝（）A．118°B．119°C．120°D．121°3．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC ＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（）A．75°B．80°C．85°D．90°4．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）5．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°6．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形7．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°8．如图，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC＝120°，则∠A＝（）A．60°B．120°C．110°D．40°9．适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形10．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°11．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°12．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝．13．如图，在△ABC中，∠A＝40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC ＝．14．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝．15．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF＝度．16．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝．17．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3＝32°，那么∠1+∠2＝度．18．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为度．19．如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F；②∠BEF＝（∠BAF+∠C）；③∠FGD＝∠ABE+∠C；④∠F＝（∠BAC﹣∠C）；其中正确的是．20．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A′处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A ＝．21．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α的度数为度．22．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（填序号）23．如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A的度数为．24．在直角△ABC中，∠C＝90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝．25．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，若∠A＝50°，则∠BDC＝度．26．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC ＝．27．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠B＝．28．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝．29．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠B＝度．30．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC ＝α．（1）当α＝40°时，∠BPC＝°，∠BQC＝°；（2）当α＝°时，BM∥CN；（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：．31．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．32．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF＝°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．33．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出∠ABO的度数＝．34．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．35．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC的度数．36．已知：△ABC中，记∠BAC＝α，∠ACB＝β．（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD ⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数；（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．37．（1）如图1所示，△ABC中，∠ACB的角平分线CF与∠EAC的角平分线AD的反向延长线交于点F；①若∠B＝90°则∠F＝；②若∠B＝a，求∠F的度数（用a表示）；（2）如图2所示，若点G是CB延长线上任意一动点，连接AG，∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H，随着点G的运动，∠F+∠H的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．38．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数．39．如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD＝BD，∠A＝23°，∠BCE＝44°，求∠ACB的度数．参考答案1．解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．故选：B．2．解：∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE＝∠ABC，∠BCD＝，∴∠CBE+∠BCD＝（∠ABC+∠BCA）＝60°，∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，故选：C．3．解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°，∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE＝25°，∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°，故选：A．4．解：2∠A＝∠1+∠2，理由：∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′＝360°，则2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1＝360°，∴可得2∠A＝∠1+∠2．故选：B．5．解：根据三角形的外角性质，可得∠ABN＝∠AOB+∠BAO，∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，∴∠ABE＝∠ABN，∠BAC＝∠BAO，∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝（∠AOB+∠BAO）﹣∠BAO＝∠AOB，∵∠MON＝90°，∴∠AOB＝90°，∴∠C＝×90°＝45°．故选：B．6．解：设三个内角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k＝180°，解得k＝20°，所以，最大的角为4×20°＝80°，所以，三角形是锐角三角形．故选：A．7．解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，∴∠2＝∠C+∠3＝100°，故选：C．8．解：因为OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，所以∠ABO+∠ACO＝∠CBO+∠BCO＝180°﹣120°＝60°，所以∠ABC+∠ACB＝60°×2＝120°，于是∠A＝180°﹣120°＝60°．故选：A．9．解：∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，即6∠A＝180°，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形．故选：B．10．解：∵∠A＝54°，∠B＝48°，∴∠ACB＝180°﹣54°﹣48°＝78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB＝78°＝39°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠DCB＝39°，故选：C．11．解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°，∴AB＝BE，∴AF＝EF，∴AD＝ED，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠CDE＝95°﹣50°＝45°，故选：C．12．解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠ACF；又∵∠B＝40°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠2）+（∠B+∠1）＝（∠B+∠B+∠1+∠2）＝110°（外角定理），∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC+∠ACF）＝70°．故答案为：70°．13．解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠DBC+∠DCB＝70°，∴∠BDC＝180°﹣70°＝110°，故答案为：110°．14．解：给图中角标上序号，如图所示．∵∠2+∠3+45°＝180°，∠2＝30°，∴∠3＝180°﹣30°﹣45°＝105°，∴∠1＝∠3＝105°．故答案为：105°．15．解：∵∠A＝40°，∠B＝72°，∴∠ACB＝68°，∵CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，∴∠BCE＝34°，∠BCD＝90﹣72＝18°，∵DF⊥CE，∴∠CDF＝90°﹣（34°﹣18°）＝74°．故答案为：74．16．解：∵∠ABC＝42°，∠A＝60°，∠ABC+∠A+∠ACB＝180°．∴∠ACB＝180°﹣42°﹣60°＝78°．又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD．∴∠FBC＝，∠FCB＝．又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°．∴∠BFC＝180°﹣21°﹣39°＝120°．故答案为：120°．17．解：∵∠3＝32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4＝180°﹣60°﹣32°＝88°，∴∠5+∠6＝180°﹣88°＝92°，∴∠5＝180°﹣∠2﹣108°①，∠6＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1＝92°，即∠1+∠2＝70°．故答案为：70°．18．解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°；故答案为：60或10；19．解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F＝90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE＝90°，∵∠FGD＝∠BGH，∴∠DBE＝∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，即∠BEF＝（∠BAF+∠C），故②正确；③∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，故③正确，④∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；故④正确；故答案为①②③④，20．解：∵将△ABC沿着DE对折，A落到A′，∴∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，∴∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，∴∠BDA′+2∠ADE+∠A′EC+2∠AED＝360°，∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，∴∠ADE+∠AED＝145°，∴∠A＝35°．故答案为：35°．21．解：∵∠1：∠2：∠3＝28：5：3，∴设∠1＝28x，∠2＝5x，∠3＝3x，由∠1+∠2+∠3＝180°得：28x+5x+3x＝180°，解得x＝5，故∠1＝28×5＝140°，∠2＝5×5＝25°，∠3＝3×5＝15°，∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，∴∠DCA＝∠E＝∠3＝15°，∠2＝∠EBA＝∠D＝25°，∠4＝∠EBA+∠E＝25°+15°＝40°，∠5＝∠2+∠3＝25°+15°＝40°，故∠EAC＝∠4+∠5＝40°+40°＝80°，在△EGF与△CAF中，∠E＝∠DCA，∠DFE＝∠CF A，∴△EGF∽△CAF，∴α＝∠EAC＝80°．故填80°．22．解：（1）∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∵∠EAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正确．（2）由（1）可知AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABC＝2∠ADB，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝2∠ADB，故②正确．（3）在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，故③正确；（4）如果BD平分∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴只有在△ABC是正三角形时才有BD平分∠ADC故④错误．（5）∵∠BAC+∠ABC＝∠ACF，∴∠BAC+∠ABC＝∠ACF，∵∠BDC+∠DBC＝∠ACF，∴∠BAC+∠ABC＝∠BDC+∠DBC，∵∠DBC＝∠ABC，∴∠BAC＝∠BDC，即∠BDC＝∠BAC．故⑤正确．故答案为：①②③⑤．23．解：如图，∵△ABC的一角折叠，∴∠3＝∠5，∠4＝∠6，而∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6＝360°，∴2∠3+2∠4+∠1+∠2＝360°，∵∠1+∠2＝130°，∴∠3+∠4＝115°，∴∠A＝180°﹣∠3﹣∠4＝65°．故答案为：65°．24．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．故答案是：270°．25．解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°．∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，∴∠DBC+∠DCB＝65°，∴∠BDC＝115°．26．解：∵∠CEA＝60°，∠BAE＝45°，∴∠ADE＝180°﹣∠CEA﹣∠BAE＝75°，∴∠BDC＝∠ADE＝75°，故答案为75°．27．解：设一份是x°，则∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°．则有2x+3x+4x＝180，x＝20．则∠B＝3x°＝60°；故答案为：60°．28．解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，∴D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠A＝34°，∠BCD＝∠B＝56°，∴∠BCP＝2∠BCD＝112°，∴∠ACP＝112°﹣90°＝22°，故答案为：22°．29．解：设∠A为x．x+2x+3x＝180°⇒x＝30°．∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．故填60．30．解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°，∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，∴∠QBC+∠QCB＝55°，∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB＝180°，∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α，∴（∠DBC+∠BCE）＝180°，即（180°+α）＝180°，解得α＝60°；（3）∵α＝120°，∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°，∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°；（4）∵α＞60°，∠BPC＝90°﹣α、∠BQC＝135°﹣α、∠BOC＝α﹣45°．∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）＝180°．故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．31．解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠P AB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠P AB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠P AB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．32．解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝×90°＝45°，∴∠AEB＝135°；（2）∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAO＝∠BAO，∠F AO＝∠GAO，∴∠EAF＝（∠BAO+∠GAO）＝×180°＝90°．故答案为：90；∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO＝∠BAO，∠EOQ＝∠BOQ，∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝∠ABO，即∠ABO＝2∠E，在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故分四种情况讨论：①∠EAF＝3∠E，∠E＝30°，则∠ABO＝60°；②∠EAF＝3∠F，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；③∠F＝3∠E，∠E＝22.5°，∠ABO＝45°；④∠E＝3∠F，∠E＝67.5°，∠ABO＝135°（舍去）．∴∠ABO为60°或45°．33．解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，∴∠AEB＝135°；（2）∠CED的大小不变．延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠P AB+∠MBA＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠BAD+∠ABC＝（∠P AB+∠ABM）＝135°，∴∠F＝45°，∴∠FDC+∠FCD＝135°，∴∠CDA+∠DCB＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴∠E＝67.5°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO＝∠BAO，∠EOQ＝∠BOQ，∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF＝90°．在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF＝3∠E，∠E＝30°，∠ABO＝60°；②∠EAF＝3∠F，∠E＝60°，∠ABO＝120°；③∠F＝3∠E，∠E＝22.5°，∠ABO＝45°；④∠E＝3∠F，∠E＝67.5°，∠ABO＝135°．∴∠ABO为60°或45°．故答案为：60°或45°．34．解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，，根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE＝45°+40°＝85°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝70°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴（133﹣x）+x＝70，∴13.3﹣x+x＝70，解得x＝63，即∠A的度数为63°．35．解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°，∵AD是BC边上的高，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°．36．解：（1）∵∠BAC+∠CBA+∠ACB＝180°，∠BAC＝α∴∠CBA+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NCB+∠ACB＝180°∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣∠ABC﹣∠ACB＝360°﹣（180°﹣α）＝180°+α∵BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN∴∠PBC＝∠MBC，∠PCB＝∠NCB∴∠PBC+∠PCB＝∠MBC+∠NCB＝（180°+α）＝90°+α∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α∵∠BAC＝α，∠ACB＝β，∵∠MBC是△ABC的外角∴∠MBC＝α+β∵BP平分∠MBC∴∠MBP＝∠MBC＝（α+β）∵∠MBP是△ABP的外角，AP平分∠BAC∴∠BAP＝α，∠MBP＝∠BAP+∠APB∴∠PBD＝90°﹣∠APB＝90°﹣（∠MBP﹣∠BAP）＝90°﹣∠MBP+∠BAP＝90°﹣（α+β）+α＝90°﹣β；（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论已发生变化；∠PBD＝．证明：∠BPD＝∠BAD+∠ABP，∠CPD＝∠CAD+∠ACP，∴∠BPC＝∠BAD+∠ABP+∠CAD+∠ACP＝∠BAC+∠ABC+∠BCA＝∠BAC+（∠ABC+∠BCA）＝∠BAC+（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC＝90°+α．∠PBD＝90°﹣∠BPD＝90°﹣（∠BAD+∠ABP）＝90°﹣（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣（180°﹣∠BCA）＝∠BCA＝．37．解：（1）①∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，∴∠CAD＝∠CAE，∠ACF＝∠ACB，∵∠CAE是△ABC的外角，∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，∵∠CAD是△ACF的外角，∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝∠CAE﹣∠ACB＝（∠CAE﹣∠ACB）＝∠B＝45°，故答案为：45°；②∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，∴∠CAD＝∠CAE，∠ACF＝∠ACB，∵∠CAE是△ABC的外角，∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，∵∠CAD是△ACF的外角，∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝∠CAE﹣∠ACB＝（∠CAE﹣∠ACB）＝∠B＝a；（2）由（1）可得，∠F＝∠ABC，∵∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H，∴∠AGH＝∠AGB，∠GAH＝∠GAB，∴∠H＝180°﹣（∠AGH+∠GAH）＝180°﹣（∠AGB+∠GAB）＝180°﹣（180°﹣∠ABG）＝90°+∠ABG，∴∠F+∠H＝∠ABC+90°+∠ABG＝90°+∠CBG＝180°，∴∠F+∠H的值不变，是定值180°．38．解：设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝∠4＝2x°，∵∠2+∠4+∠BAC＝180°，∴x+2x+69＝180，解得x＝37，即∠1＝37°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝69°﹣37°＝32°．39．解：∵AD＝BD，∠A＝23°，∴∠ABD＝∠A＝23°，∵BG∥EF，∠BCE＝44°，∴∠DBC＝∠BCE＝44°，∴∠ABC＝44°+23°＝67°，∴∠ACB＝180°﹣67°﹣23°＝90°。

中考数学一轮复习专题突破练习—三角形中位线定理的应用

中考数学一轮复习专题突破练习—三角形中位线定理的应用一、单选题1．如图，在△ABC中，E，F分别为AC，BC中点，若AB＝6，BC＝7，AC＝8，则EF＝（）A．3B．3.5C．4D．4.5【答案】A【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：△E，F分别为AC，BC中点，△EF是△ABC的中位线，△EF＝12AB＝12×6＝3，故选：A．2．（2022·辽宁抚顺·九年级开学考试）如图，在ABC中，D、E分别为AB、AC 的中点，CF平分ACB，交DE于点F，若4AC＝，则EF的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据三角形中位线定理得到//DE BC ，进而证明BCF EFC ∠=∠，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理解答即可．【详解】解：△D 、E 分别为AB 、AC 的中点， △//DE BC ，AE EC =， △BCF EFC ∠=∠， △CF 平分ACB ∠， △BCF ECF ∠=∠， △ECF EFC ∠=∠， △122EF EC AC ===，故选：B ．3．（2022·重庆市天星桥中学九年级开学考试）如图，在△ABCD 中，AC 与BD 相交与O 点，E 为AD 的中点，连接OE ．若OE =2，则CD 的长度为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】首先根据平行四边形的性质可得AO =CO ，再根据三角形的中位线定理可得EO=12CD，进而可得答案．【详解】解：△四边形ABCD是平行四边形，△AO=CO，△点E是边CD的中点，△EO=12CD，△OE=2，△CD=2OE=4，故选：D．4．（2022·合肥市五十中学东校九年级）如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F，则AF：FB等于（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：4【答案】A【分析】由FMG FBC△∽△得出FMBM的值，再由M为AB的中点，即可求得:AF FB．【详解】MN是△ABC的中位线AM BM ∴=,//MN BC ,12MN BC =∴FMG FBC △∽△FM MGBF BC∴=G 是MN 的中点1124MG MN BC ∴== 14FM MG BF BC ∴== 13FM BM ∴= 即13FM BM = 又AM BM =∴1233AF AM FM BM BM BM =-=-=1433FB FM BM BM BM BM =+=+=213423BMAF FB BM == 即：AF ：FB =1:2．故选A ．5．（2022·广西梧州·）如图，在Rt △ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 的中点，AC ＝8，BC ＝6，则四边形CEDF 的面积是（）A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】B 【分析】利用三角形的中位线定理，先证明四边形DECF 是矩形，再利用矩形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 的中点，AC ＝8，BC ＝6，11//,3,//,4,22DE BC DE BC DF AC DF AC ∴==== ∴四边形DECF 是平行四边形，90,C ∠=︒∴四边形DECF 是矩形，3412.DECF S ∴=⨯=矩形故选：.B6．（2022·河南）如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12．若D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，则DE 的长为（）A ．5B ．5.5C ．6D ．6.5【答案】D【分析】利用勾股定理求出AB，再利用三角形的中位线定理求出DE即可．【详解】解：△△C＝90°，AC＝5，BC＝12，△AB＝22AC BC+＝22512+＝13，△AD＝DC，CE＝EB，△DE＝12AB＝6.5，故选：D．7．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，在△ABC中，点E 是BC的中点，AD是△BAC的平分线，EF△AD，若AB＝7，AC＝11，则FC的长为（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【分析】设点N是AC的中点，连接EN，构造△ABC的中位线．根据三角形的中位线定理，得EN△AB，EN12=AB；根据平行线的性质和等腰三角形的判定，得FN＝EN，从而求解．【详解】解：如图，设点N 是AC 的中点，连接EN ，则EN △AB ，EN 12=AB ， △△CNE ＝△BAC ． △EF △AD ， △△DAC ＝△EFN ．△AD 是△BAC 的平分线，△CNE ＝△EFN +△FEN ， △△EFN ＝△FEN ． △FN ＝EN 12=AB ，△FC ＝FN +NC 12=AB 12+AC ＝9．故选：C ．8．（2022·山东）如图，在△ABC 中，BC ＝4，将△ABC 平移7个单位长度得到△A 1B 1C 1，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点，PQ 的最小值等于（）A ．9B ．4C ．2D ．5【答案】D 【分析】取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图，根据平移的性质得到PP′＝7，B1C1＝BC＝4，再利用P′Q为△A1B1C1的中位线得到P′Q=2，利用三角形三边的关系得到△PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），从而得到PQ的最小值．【详解】解：取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图，△△ABC平移7个单位长度得到△A1B1C1，△PP′＝7，B1C1＝BC＝4，△Q是A1C1的中点，P′为A1B1的中点，△P′Q为△A1B1C1的中位线，B1C1＝2，△P′Q＝12△PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），即7﹣2≤PQ≤7+2，△PQ的最小值为5．故选：D．9．（2020·渝中·重庆巴蜀中学）已知Rt ACB△中，点D为斜边AB的中点，连接CD，将DCB沿直线DC翻折，使点B落在点E的位置，连接DE、CE、AE，DE交AC 于点F，若12AC=，则AE的值为（）．BC=，16A．2825B．285C．145D．11225【答案】B【分析】过点D作DM△BC，DN△AE，垂足为M、N，连接BE交CD于点G，由折叠得CD是BE的中垂线，借助三角形的面积公式，可以求出BG，进而求出BE，由等腰三角形的性质，可得DN是三角形的中位线，得到DN等于BE的一半，求出DN，在根据勾股定理，求出AN，进而求出AE．【详解】解：过点D作DM△BC，DN△AE，垂足为M、N，连接BE交CD于点G，△Rt△ACB中，2222161220AC BC+=+=，△点D为斜边AB的中点，△CD=AD=BD=12AB=10，在△DBC中，DC=DB，DM△BC，△MB=MC=12BC=6，△DM=22221068DC CM -=-=，由折叠得，CD 垂直平分BE ，△BDC=△EDC ，在△ADE 中，DA=DE ，DN△AE ， △AN=NE=12AE ， △DN 是△ABE 的中位线， △DN△BE ，DN=12BE ，在△DBC 中，由三角形的面积公式得：12BC•DM=12DC•BG ，即：12×8=10×BG ， △BG=485=DN ，在Rt△ADN 中，AN=2222481410()55AD DN -=-=， △AE=2AN=285，故选：B ．10．（2022·江苏扬州市·）如图，已知点D 是ABC 的边AC 的中点，点O 为ABC 内部上的一点，已知90AOB ∠=︒，1OD =，5BC =，则AB 的最小值为（）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4【答案】B【分析】由BC=5，可得点B在以点C为圆心以5为半径的圆上运动，由D是ABC的边AC的中点，1OD=，可得点O在以点D为圆心，以1为半径的圆上运动，由∠=︒，取AB中点为E，以点E为圆心AB为直径的圆与半圆D的交点为AOB90O，连结OE，当点D、O、E三点在一直线上时，AB最短，可证ED为△ABC 的中位线，可求DE=2.5，求出OE=DE-OD=1.5即可．【详解】解：△BC=5，△点B在以点C为圆心以5为半径的圆上运动，△D是ABC的边AC的中点，1OD=，△点O在以点D为圆心，以1为半径的圆上运动，△90∠=︒，AOB取AB中点为E，以点E为圆心AB为直径的圆与半圆D的交点为O，连结OE，当点D、O、E三点在一直线上时，AB最短，△AD=CD，AE=BE，△ED为△ABC的中位线，△DE=1 2.5BC=，2△OD=1，△OE=DE-OD=2.5-1=1.5，△AB=2OE=3．故选择：B．二、填空题11．（2022·常德市第十一中学）D、E、F分别是△ABC三条边的中点，则S△DCF：S△ABC＝___．【答案】1 4【分析】根据中位线定理得到平行线，判定平行四边形，根据平行四边形的性质求解．【详解】解：△D、E、F分别是△ABC三边的中点，△EF△BC，DE△AC，DF△AB，△四边形AEDF，四边形CDEF，四边形BDFE是平行四边形，△△AEF，△BED，△DEF和△CDF的面积相等，△S△DCF：S△ABC＝14，故答案为：14．12．（2022·西城·北京八中）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为30m，则A、B两点间的距离为__________m．【答案】60【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：△点D，E分别为AC，BC的中点，△DE是ABC的中位线，△AB＝2DE，△DE＝30m，△AB＝60m，故答案为：60．13．（2022·东莞市东华初级中学）如图，在ABC中，BD平分ABC∠，CD BD⊥，垂足为D，E为AC的中点．若10BC=，则DE的长为AB=，6_______________________．【答案】2 【分析】如图，延长CD 交AB 于F ，再证明△BDC △△BDF ，根据全等三角形的性质可得BF =BC =6，CD =DF ，然后可求出AF ，最后根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：如图：延长CD 交AB 于F 在△BDC 和△BDF 中90DBC DBF BD BD BDC BDF ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩△△BDC △△BDF （ASA ） △BF =BC =6，CD =DF △A F =AB -BF =4. △CD =DF ，CE =EA △DE =12AF =2．故填2．14．（2022·湖南九年级期末）如图，,AB CD 相交于点O ，6,10,OC OD AC ==△BD ，EF 是∆ODB 的中位线，且4EF =，则AC 的长为_____．【答案】245【分析】由三角形中位线性质得出DB =2EF =8，再证明~ACO BDO ∆∆，根据相似三角形的性质可求得结论．【详解】解：△EF 是∆ODB 的中位线，且4EF =， △DB =2EF =8， △AC //BD △~ACO BDO ∆∆ △AC COBD DO= 又CO =6，DO =10，BD =8 △6810AC = △4824==105AC 故答案为：24515．（2022·福建厦门双十中学思明分校九年级期末）如图，ABC 中，AB ＝AC ，AD △BC 于点D ，E 是AC 中点，若DE ＝3，则AB 的长为_____．【答案】6【分析】根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC=6；最后由等腰三角形ABC的两腰AB=AC，求得AB=6．【详解】解：△在△ABC中，AD△BC，垂足为D，△△ADC是直角三角形；△E是AC的中点．AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半），△DE=12又△DE=3，AB=AC，△AB=6，故答案为：6．三、解答题16．（2022·上海九年级专题练习）如图，在△ABC中，△BAC＝90°，延长BA到AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．点D，使AD＝12（1）求证：DF＝BE；（2）过点A作AG//BC，交DF于点G，求证：AG＝DG．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过点F作FH△BC，交AB于点H，则四边形HBEF是平行四边形，有HF ＝BE，证得AC是HD的中垂线后得到HF＝FD，故问题得证；（2）由于四边形DBEF是等腰梯形，有△B＝△D，而AG△BC有△B＝△DAG，故有△D＝△DAG，然后问题可得解．【详解】证明：（1）如图，过点F作FH△BC，交AB于点H，△FH△BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，AB，EF△AB．△AH＝BH＝12AB，△AD＝12△AD＝AH．△CA△AB，△CA是DH的中垂线．△DF＝FH．△FH△BC，EF△AB，△四边形HFEB是平行四边形．△FH＝BE．△BE＝FD．（2）由（1）知BE＝FD，又△EF△AD，△EF＜BD，△四边形DBEF是等腰梯形．△△B＝△D．△AG△BC，△B＝△DAG，△△D＝△DAG．△AG＝DG．17．（2020·黑龙江大庆市·）如图，等边三角形ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使12CF BC=，连接CD，DE，EF．（1）求证：DE CF=；（2）求EF的长．【答案】（1）见解析；（23【分析】（1）根据三角形中位线的性质解得1=//2DE BC DE BC，，结合已知条件12CF BC=即可解题；（2）由等边三角形三线合一的性质，可得1,12CD AB AD BD AB ⊥===，在Rt ADC中，由勾股定理解得CD =1）中结论，证明四边形DCFE 是平行四边形，由平行四边形的对应边相等解题即可．【详解】（1）在等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，1=//2DE BC DE BC ∴，，12CF BC =,//CF DE CF DE ∴=；（2）在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点，1,12CD AB AD BD AB ∴⊥===在Rt ADC 中，CD ,//CF DE CF DE =∴四边形DCFE 是平行四边形，EF DC ∴==18．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，12cm AB =，8cm AC ，AD 、AE分别是其角平分线和中线，过点C 作CG AD ⊥于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，求线段EF 的长．【答案】2cm 【分析】首先证明△AGF△△ACF ，则AG=AC=4，GF=CF ，证明EF 是△BCG 的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．【详解】解：在AGF 和ACF 中，GAF CAF AF AFAFG AFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AGF ACF ≌， △8AG AC ==， △GF CF =，则1284BG AB AG =-=-=（cm ）．又△BE CE =，△EF 是BCG 的中位线， △12cm 2EF BG ==．答：EF 的长为2cm ．19．（2022·安徽）如图，已知四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点，并且点E 、F 、G 、H 不在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．【答案】见解析【分析】连接EG、GF、FH、HE，根据三角形的中位线的性质，得出EG=HF，EH=GF，然后根据平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，证明即可【详解】证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．在△ABC中，EG=12BC；在△DBC中，HF=12BC，△EG=HF．同理EH=GF．△四边形EGFH为平行四边形．△EF与GH互相平分20．（2022·浙江绍兴市·）如图，在△ABC中，△A＝90°，CD平分△ACB交AB 于点D，过点D作DE△BC交AC于点E．（1）若△B＝40°，求△CDE的度数．（2）若DE＝4，试添加一个条件，并求出BC的长度．【答案】（1）△CDE=25°；（2）添加的条件为DE是△ABC的中位线，8BC ．【分析】（1）由题意易得△BCD=△ACD，△ACB=50°，则有△BCD=△CDE，进而问题可求解；（2）根据题意可添加DE是△ABC的中位线这个条件，然后问题可求解．【详解】解：（1）△CD平分△ACB交AB于点D，△△BCD=△ACD，△△A＝90°，△B＝40°，△△ACB=50°，△△BCD=△ACD=25°，△DE△BC，△△BCD=△CDE=25°；（2）添加的条件DE是△ABC的中位线，△DE＝4，21．（2022·安庆市第四中学九年级期中）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G 是ABC 的重心．（1）求证：3AD GD =；（2）若CDG 的面积是1，求ABC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）6．【分析】（1）连接DE ，则DE 是△ABC 的中位线，从而可得DE △AC 且AC =2DE ，即可得△DEG △△ACG ，即可求得AG =2DG ，从而可得结论；（2）利用底高的两个三角形面积比等于底的边、三角形中线平分三角形面积的性质即可求得结果．【详解】如图，连接DE△AD 、CE 是△ABC 的中线△DE 是△ABC 的中位线△DE △AC 且AC =2DE△△DEG △△ACG △2AG AC DG DE==△AD =AG +DG =3DG（2）△△ACG 、△DCG 的底边AG 、DG 上的高相等△::2:1ACG DCG S S AG DG ==△△△1DCG S =△△2ACG S =△+2+13ACD ACG DCG S S S ===△△△△AD 是△ABC 的边BC 上的中线△3ABD ACD S S ==△△△236ABC S =⨯=即△ABC 的面积为622．（2022·全国九年级课时练习）如图，ABC 中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 于P ，若2AD DE =，求证：3AP AB =．【答案】见详解【分析】过点B作BF△AE交PC于点F，可证DE为△BFC的中位线，进而可得到BF=AD=23AE，再证△PBF△△P AE，利用相似三角形的性质可证明结论成立.【详解】过点B作BF△AE交PC于点F，△BF△DE，点D为BC的中点，△DE为△BFC的中位线，△BF=2DE.△AD=2DE，△AD=23AE，BF=AD=23AE.△BF△AE，△△PBF△△P AE，△PB BF PA AE，即PBPA=23AEAE，△PB=23P A，△AP=3AB.23．（2022·西安市汇文中学九年级开学考试）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：DF△AC；（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE 是正方形，且BC ＝80，求AB 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1610 【分析】（1）连接BD ，交AC 于点O ，证出OE 是BDF ∆的中位线，得//OE DF 即可；（2）先证()DFG CEG AAS ∆≅∆，得FG EG =，则四边形CFDE 是平行四边形，再证CD EF =，即可得出结论；（3）设2AB a =，则4BF a =，2BE EF CD a ===，证DEG ∆是等腰直角三角形，得22DE DG a ==，再证ABE ∆是等腰直角三角形，得222AE AB a ==，然后在Rt ADE △中，由勾股定理得出方程，解得810a =，即可求解．【详解】解：（1）证明：连接BD ，交AC 于点O ，如图所示：四边形ABCD 是平行四边形，BO DO ∴=，BE EF =，OE ∴是BDF ∆的中位线，即//DF AC ；（2）证明：如图所示：由（1）得：//DF AC ， DFG CEG ∴∠=∠，GDF GCE ∠=∠， G 是CD 的中点， DG CG ∴=，在DFG ∆和CEG ∆中， DFG CEG GDF GCE DG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()DFG CEG AAS ∴∆≅∆， FG EG ∴=，∴四边形CFDE 是平行四边形，四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，2AB BF =，2CD BF ∴=，又EF BE =，CD EF ∴=，∴平行四边形CFDE 是矩形；（3）设2AB a =，则4BF a =，2BE EF CD a ===，四边形ABCD 是平行四边形， 80AD BC ∴==，//AB CD ，四边形CFDE 是正方形， 90DEC ∴∠=︒，CD EF ⊥，12DG EG CD a ===， 90AED ∴∠=︒，DEG ∆是等腰直角三角形，DE ∴=， //AB CD ，CD EF ⊥， AB BF ∴⊥，ABE ∴∆是等腰直角三角形，AE ∴=，在Rt ADE △中，由勾股定理得：222AD DE AE =+，即22280))=+，解得：a =2AB a ∴==。

2021年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合型解答题》专题突破训练(附答案)

2021年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合型解答题》专题突破训练（附答案）1．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A在直线DE上，过C点作CF⊥DE 于F，过B点作BG⊥DE于G．（1）发现问题：如图1，当B、C两点均在直线DE上方时，线段AG、BG和CF存在的数量关系是．（2）类比探究：当△ABC绕点A顺时针旋转至图2的位置时，线段AG、BG和CF之间的数量关系是否会发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请写出你的猜想，并给予证明；（3）拓展延伸：当△ABC绕点A顺时针旋转至图3的位置时，若CF＝1，AG＝2，请直接写出△ABC的面积．2．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB＝CB，（提示：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E）（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，则CD＝，CB ＝．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，点E 在AC边上，连接BE．（1）如图①，若点F是BE的中点，连接DF，且AF＝5，AE＝6，求DF的长；（2）如图②，若AF⊥BE于点F，并延长AF交BC于点G，当点E是AC的中点时，连接EG，求证：AG+EG＝BE；（3）在（2）的条件下，连接DF，请直接写出∠DFG的度数．4．如图1，两块直角三角纸板（Rt△ABC和Rt△BDE）按如图所示的方式摆放（重合点为B），其中∠BDE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD＝DE＝AC＝2．将△BDE绕着点B 顺时针旋转．（1）当点D在BC上时，求CD的长；（2）当△BDE旋转到A，D，E三点共线时，画出相应的草图并求△CDE的面积（3）如图2，连接CD，点G是CD的中点，连接AG，求AG的最大值和最小值．5．已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．（1）如图，若AC＝12，BC＝5，AB＝13，求CD的长；（2）如图，E是AC上一点，且CE＝CB；①作EF⊥AB于点F，试探究线段EF、CD、BD三者的数量关系；②连ED，将ED绕E点逆时针旋转90°到EF，连BF交CD于点G，求证：FG＝BG．6．已知：如图，在△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，按图所示的方法将△ACD 沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处．（1）求折痕AD的长；（2）点P是边AB上的动点（点P与点A、B不重合），设AP＝x，△APD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点P是边AB上的动点（点P与点A、B不重合），当△APD为等腰三角形时，求AP的长．7．（1）如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在间一直线上，连接BE 求证：AD＝BE．（2）如图②△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90，点A、D、E 在同一直线上，CM为△DCE边DE上的高，连接BE．①求证：2CM+BE＝AE；②若将图②中的△DCE绕点C旋转至图③所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．8．如图1，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣2），线段AB绕着点A顺时针旋转90°得到线段AC，点C第三象限，连接BC得△ABC．（Ⅰ）求C点的坐标；（Ⅱ）求△ABC的面积；（Ⅲ）如图2，P为y轴负半轴上的一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以点P 为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过点D作DE⊥x轴于E点，请判断OP与DE的差是否是一个定值，并说明理由．9．如图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为a（0＜a≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1＝CE1；（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，则旋转角为a＝（直接写结果）（3）连接P A，△P AB面积的最大值为（直接写结果）10．在△ABC中点P是△ABC内一点，且∠APC＝90°+∠ABC，连接PB，试探究P A，PB，PC满足的等量关系．下面我们按照从特殊到一般的顺序来研究．（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACP'，连接PP'，请补充图形，并由此得到P A，PB，PC满足的等量关系为；（2）如图2，当△ABC为含30°角的直角三角形时，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，将线段AP绕点A逆时针旋转90°，得到AP'．在AP'上截取AQ＝AP，连接PQ，CQ．请补全图形，写出P A，PB，PC满足的等量关系式，并给出证明；（3）如图3，当△ABC三边长分别为AB＝4，AC＝5，BC＝6时，直接写出P A，PB，PC满足的等量关系式（不需证明）．11．点A（﹣4，0）、点B（0，n）为y轴负半轴上一动点，过点B作BC⊥AB，且BC＝AB．（1）直接写出点C的坐标（用含n的式子表示）；（2）如图2，点C关于y轴的对称点为C′，连AC′并延长，交y轴于点D．在点B 移动的过程中，OD的长是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，求点D的坐标；（3）如图3，点F（3，0）在x轴上，过点B作BG⊥BF，且BG＝BF，连接CG交y 轴于H．若点H恰好为CG的中点，求BH的长．12．如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连结OD．（1）求证：△COD是等边三角形．（2）当α＝150°时，判断△AOD的形状，并说明理由．（3）当△AOD是等腰三角形时，直接写出α的度数．13．在△ABC中AC＝BC，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．（1）如图1，当α＝60°时，①求证：△ABD是等边三角形．②求证：BE垂直平分AD；（2）若AB＝12，AC＝BC＝10，将其他条件保持不变，①如图2，当α＝60°时，求BE的长；②在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE的值．（温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．）14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点P为AB边上一点，Q为BC边上一点，且∠BPQ＝∠APC，过点A作AD⊥PC，交BC于点D，直线AD分别交直线PC、PQ于E、F．（1）求证：∠FDQ＝∠FQD；（2）把△DFQ沿DQ边翻折，点F刚好落在AB边上点G，设PC分别交GQ、GD于M、N，试判定MN与EN的数量关系，并给予证明．15．在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，D（0，8），将矩形OBCD 折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（I）如图①，已知折痕与边BC交于点A，若OD＝2CP，求点A的坐标．（Ⅱ）若图①中的点P恰好是CD边的中点，求∠AOB的度数．（Ⅲ）如图②，在（I）的条件下，擦去折痕AO，线段AP，连接BP，动点M在线段OP上（点M与P，O不重合），动点N在线段OB的延长线上，且BN＝PM，连接MN 交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度（直接写出结果即可）16．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8．在边AB，AC分别取点D，E．连接DE．将△ADE沿DE翻折得△A′DE，且点A给好落在△ABC的边上．（1）如图1，点A在边AB上，若BA′＝2，求AD的长；（2）如图2，点A在边AC上，连接BA′，若BA′平分∠ABC，求折痕DE的长；（3）如图3，点A在边BC上，当△ADE为等腰三角形时，求其腰长．17．（1）如图1，等腰三角形纸片ABC，∠BAC＝30°，按图2将纸片沿DE折叠，使得点A与点B重合，此时∠DBC．（2）在（1）的条件下，将△DEB沿直线BD折叠，点E恰好落在线段DC上的点E′处，如图3，此时∠E′BC＝．（3）若另取一张等腰三角形纸片ABC，沿直线DE折叠（点D、E分别为折痕与直线AC、AB的交点），使得点A与点B重合，再将所得图形沿直线BD折叠，使得点E落在点E′的位置，直线BE′与直线AC交于点M．设∠BAC＝m°（m＜90），画出折叠后的图形，并直接写出对应的∠MBC的大小．（用含m的代数式表示）18．将两块全等的含30°角的三角尺按如图1所示的方式摆放在一起，它们较短的直角边BC＝EC＝3．（1）将△ECD沿直线l向左平移到图2的位置，使点E′落在AB上，则CC′＝；（2）将△ECD绕点C逆时针旋转到图3的位置，使点E′落在AB上，则△ECD绕点C 旋转的度数为；（3）将△ECD沿直线AC翻折到图4的位置，ED′与AB相交于点F，求证：AF＝FD′．19．已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB．（1）问题发现如图（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为，BD、AB、CB之间的数量关系为．（2）拓展探究当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．（3）解决问题当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2时，CB＝．20．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，△BPE和△CQE的形状有什么关系，请证明；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，△BPE和△CQE有什么关系，说明理由；（3）当BP＝1，CQ＝时，求P、Q两点间的距离．参考答案1．解：（1）发现问题：如图1，过点B作BH⊥CF于点H，∵BH⊥CF，BG⊥AE，CF⊥AE，∴四边形BGFH是矩形，∴BH＝FG，FH＝BG，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠FCB＝90°，且∠FCB+∠CBH＝90°，∴∠ACF＝∠CBH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，∴△ACF≌△CBH（AAS），∴CH＝AF，BH＝CF＝FG，∵AG＝AF+FG，∴AG＝AF+CF＝CH+CF＝CF+CF﹣HF＝2CF﹣BG；故答案为：AG＝2CF﹣BG，（2）类比探究：数量关系发生改变，AG＝2CF+BG理由如下：如图2，过点B作BH⊥CF于H，∵BH⊥CF，BG⊥AE，CF⊥AE，∴四边形BGFH是矩形，∴BH＝FG，FH＝BG，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠FCB＝90°，且∠FCB+∠CBH＝90°，∴∠ACF＝∠CBH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，∴△ACF≌△CBH（AAS），∴CH＝AF，BH＝CF＝FG，∴AG＝AF+FG＝CH+BH＝CF+FH+CF＝2CF+BG；（3）拓展延伸：如图3，过点C作CH⊥BG于H，∵CH⊥BG，BG⊥AE，CF⊥AE，∴四边形CHGF是矩形，∴CH＝FG，CF＝GH，∠FCH＝90°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°＝∠FCH，∴∠ACF＝∠BCH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，∴△ACF≌△BCH（AAS），∴CH＝CF＝GF＝1，∴AF＝AG+GF＝3，∴AC＝CB＝＝＝，∴S△ABC＝×AC×BC＝5．2．解：（1）如图（2）：AB﹣BD＝CB．理由如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠ECD，∴∠BCD＝∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠BFD，∵∠AFC＝∠BFD，∴∠CAE＝∠D，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．又∵BE＝AB﹣AE，∴BE＝AB﹣BD，∴AB﹣BD＝CB．如图（3）：BD﹣AB＝CB．理由如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠CAE＝∠D，又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．又∵BE＝AE﹣AB，∴BE＝BD﹣AB，∴BD﹣AB＝CB．（2）MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，∴综合了第一个图和第二个图两种情况，若是第1个图：由（1）得：△ACE≌△DCB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴∠AEC＝45°＝∠CBD，过D作DH⊥CB．则△DHB为等腰直角三角形．BD＝BH，∴BH＝DH＝1，直角△CDH中，∠DCH＝30°，∴CD＝2DH＝2，CH＝，∴CB＝+1；若是第二个图：过D作DH⊥CB交CB延长线于H．解法类似上面，CD＝2，得出CB＝﹣1；故答案为：2，+1或﹣1．3．解：（1）∵将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，∴AB＝AC，BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，且∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点F是BE的中点，AF＝5，∠BAC＝90°，∴BE＝10，∴AB＝＝＝8，∴AC＝8，∴EC＝2，∵BD＝CD，BF＝EF，∴DF＝EC＝1，（2）如图②，过点C作CH⊥AC交AG的延长线于点H，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴∠ABC＝∠BAD＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∵∠BEA+∠CAH＝90°，∠CAH+∠H＝90°，∴∠H＝∠BEA，且AB＝AC，∠AFB＝∠ACH＝90°，∴△ABE≌△CAH（AAS）∴BE＝AH，AE＝CH，∠CAH＝∠ABE，∵AE＝CE，∴CE＝CH，∵∠ACH＝90°，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠GCH，且CE＝CH，CG＝CG，∴△CEG≌△CHG（SAS）∴EG＝GH，∵BE＝AH＝AG+GH，∴AG+EG＝BE；（3）如图②，连接NG，∵∠ABC＝∠BAD＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∴AD＝BD＝CD，∵∠BAN＝∠ACG＝45°，AB＝AC，∠ABE＝∠CAH，∴△ABN≌△CAG（ASA）∴AN＝CG，∴AD﹣AN＝CD﹣CG，∴DN＝DG，∴∠DNG＝45°∵∠NDG＝∠NFG＝90°，∴点N，点F，点G，点D四点共圆，∴∠DFG＝∠DNG＝45°．4．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，∴BC＝AC÷tan30°＝2，∵BD＝2，∴CD＝BC﹣BD＝2﹣2．（2）如图2中，当A、D、E共线时，易证四边形ACBD是矩形，∴S△CDE＝×DE×CA＝×2×2＝2．如图3中，当A、E、D共线时，作CH⊥AD于H．在Rt△ADB中，∵AB＝2BD，∴∠BAD＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠CAH＝30°，∴CH＝AC＝1，∴S△CDE＝×DE×CH＝×2×1＝1．（3）如图4中，取BC的中点H，连接GH．∵CG＝GD，CH＝HB，∴HG＝BD＝1，∴点G的运动轨迹是以H为圆心1为半径的圆，在Rt△ACH中，AH＝＝＝，∴AG的最小值＝AH﹣GH＝﹣1，AG的最大值＝AH+GH＝+1．5．（1）解：如图1中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，∴CD＝＝．（2）解：①结论：CD﹣EF＝BD．理由：如图2中，作EH⊥CD于H．∵∠EFD＝∠FDH＝∠EHD＝90°，∴四边形EFDH是矩形，∴EF＝DH，∵∠EHC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ECH+∠CEH＝90°，∠ECH+∠BCD＝90°，∴∠CEH＝∠BCD，∵CE＝BC，∴△EHC≌△CDB（AAS），∴CH＝BD，∴CD﹣EF＝CD﹣DH＝CH＝BD．②证明：如图3中，作EH⊥CD于H．FM⊥DC交DC的延长线于M，ET⊥MF交MF 的延长线于T，连接CT．∵∠EHC＝∠M＝∠ETM＝90°，∴四边形EHMT是矩形，∴∠TEH＝90°，EH＝TM，∵∠DEF＝∠TEH＝90°，∴∠TEF＝∠HED，∵∠ETF＝∠EHD＝90°，EF＝ED，∴△ETF≌△DHD（AAS），∴ET＝EH＝TM，DH＝TF，∵△EHC≌△CDB，∴CH＝BD，EH＝CD＝TM，∴FM＝CH＝BD，∵∠FMG＝∠BDG＝90°，∠FGM＝∠BGD，FM＝BD，∴△FMG≌△BDG（AAS），∴FG＝BG．6．解：（1）如图1中，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝＝8，由翻折可知：CD＝DC′，AC＝AC′＝6，设CD＝DC′＝x，在Rt△BDC中，∵BD2＝C′D2+C′B2，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，∴AD＝＝＝3．（2）如图2中，由题意：y＝•P A•DC′＝×x×3x（0＜x＜10）．（3）如图3中，①当P A＝PD时，设P A＝PD＝m，在Rt△PCD中，∵PD2＝DC′2+C′P2，∴m2＝32+（6﹣m）2，解得m＝，∴P A＝．②当AD＝AP′＝3时，△ADP′是等腰三角形，③当PD＝AD时，点P在AB的延长线上不符合题意．综上所述，满足条件的P A的值为或3．7．解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°﹣∠CDB＝∠BCE．且AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE；（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∵CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM；②结论不成立，AE＝2CM﹣BE，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∵CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝DE﹣AD＝2CM﹣BE；8．解：（Ⅰ）如图1，∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，过点C作CF⊥x轴于F，∴∠AFC＝90°＝∠AOB，∴∠ACF+∠CAF＝90°，由旋转知，AC＝AB，∠BAC＝90°，∴∠CAF+∠BAO＝90°，∴∠ACF＝∠BAO，在△ACF和△BAO中，，∴△ACF≌△BAO（AAS），∴CF＝AO＝1，AF＝BO＝2，∴OF＝OA+AF＝3，∵点C在第三象限，∴C（3，﹣1）；（Ⅱ）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2＝12+22＝5，由旋转知，AC＝AB，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴S△ABC＝AC•AB＝AB2＝；（Ⅲ）OP与DE的差不是一个定值，理由：∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1，∵△APD是等腰直角三角形，∴AP＝DP，∠APD＝90°，∴∠APO+∠DPG＝90°，过点D作DG⊥y轴于G，∴∠DGP＝90°＝∠POA，∴∠PDG+∠DPG＝90°，∴∠APO＝∠PDG，∴△AOP≌△PGD（AAS），∴PG＝OA＝1，∵DE⊥x轴，∴∠OED＝90°＝∠EOG＝∠DGO，∴四边形OGDE是矩形，∴DE＝OG，当点D在第四象限时，如图2，PG＝OP﹣OG＝OP﹣DE，∴OP﹣DE＝1，当点D在第一象限时，如图3，PG＝OP+OG＝OP+DE，∴OP+DE＝1．9．解：（1）在△ABD1和△ACE1中∴△ABD1≌△ACE1∴BD1＝CE1；（2）BD1与AC的交点记作点G，如图（2），由（1）知△ABD1≌△ACE1，∴∠ABD1＝∠ACE1，∵∠AGB＝∠CGP，∴∠CPG＝∠BAG＝90°∴∠CPD1＝90°，∵∠CPD1＝2∠CAD1，∴∠CAD1＝∠CPD1＝45°，∴旋转角α＝90°+∠CAD1＝135°故答案为135°；（3）如图3，∵AC＝AB＝4，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴AD＝AE＝2，由旋转知，AD1＝AE1＝AD＝2作PH⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1＝2，则BD1═＝2，∴∠ABP＝30°，∴PB＝BD1+PD1＝2+2，∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PH＝+．∴△P AB的面积最大值为AB×PH＝4+4，故答案为4+4．10．解：（1）将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACP'，连接PP'，∵将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACP'，∴△ABP≌△ACP′，∴AP＝AP′，由旋转变换的性质可知，∠P AP′＝60°，P′C＝PB，∴△P AP′为等边三角形，∴∠APP′＝60°，∠APC＝90°+∠ABC，∴∠APC＝150°，∴∠P′PC＝90°，∴PP′2+PC2＝P′C2，∴P A2+PC2＝PB2，故答案为：P A2+PC2＝PB2；（2）结论：PB2＝4P A2+3PC2．理由：将线段AP绕点A逆时针旋转90°，得到AP'．在AP'上截取AQ＝AP，连接PQ，CQ．∵∠BAC＝∠P AQ＝90°，＝＝，∴＝，∴△BAC∽△P AQ，∴∠ABC＝∠APQ＝30°，∵∠APC＝90°+∠ABC＝120°，∴∠CPQ＝90°，∴CQ2＝PQ2+PC2，∵∠BAC＝∠P AQ，∴∠P AB＝∠CAQ，∵＝，∴△BAP∽△CAQ，∴＝＝，∴CQ＝PB，∵PQ＝＝AP，∴（PB）2＝（AP）2+PC2，∴PB2＝4P A2+3PC2．（3）如图3中，结论：25PB2＝36P A2+16PC2．理由：将线段AP绕点A逆时针旋转使得∠P AP′＝∠BAC，得到AP'．在AP'上截取AQ ＝AP，连接PQ，CQ．∵∠BAC＝∠P AQ，＝＝，∴＝，∴△BAC∽△P AQ，∴∠ABC＝∠APQ，∵∠APC＝90°+∠ABC，∴∠CPQ＝90°，∴CQ2＝PQ2+PC2，∵∠BAC＝∠P AQ，∴∠P AB＝∠CAQ，∵＝，∴△BAP∽△CAQ，∴＝＝，∴CQ＝PB，∵PQ＝AP，∴（PB）2＝（AP）2+PC2，∴25PB2＝36P A2+16PC2．11．解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴，∵CE⊥BE，BC⊥AB，∴∠BEC＝90°＝∠ABC，∴∠C+∠EBC＝90°，且∠ABO+∠OBC＝90°，∴∠ABO＝∠C，且AB＝BC，∠AOB＝∠BEC＝90°，∴△AOB≌△BEC（AAS）∴BE＝AO＝4，EC＝OB＝﹣n，∴OE＝4﹣（﹣n）＝4+n，∴点C（﹣n，4+n）；（2）OD的长没有发生变化，理由如下：如图2，连接BC'，CC'，∵点C关于y轴的对称点为C′，∴∠DBC＝∠DBC'，BC＝BC'，且BE＝BE，∴△BEC'≌△BEC（SAS）∴BC＝BC'，∵△AOB≌△BEC，∴BC＝AB，∠EBC＝∠BAO，∴AB＝BC'，∠C'BD＝∠BAO，∴∠BAC'＝∠BC'A，∴∠BAO+∠DAO＝∠ADO+∠DBC'，∴∠DAO＝∠ADO，且∠AOD＝90°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°，∴AO＝DO＝4，∴点D（0，4）（3）如图3，在y轴上取点E，使HE＝HB，连接CE，∵点F（3，0），点A（﹣4，0）∴AF＝7，∵点H恰好为CG的中点，∴CH＝GH，且∠GHB＝∠EHC，EH＝BH，∴△BHG≌△EHC（SAS）∴BG＝EC＝BF，∠CEH＝∠GBH，∴GB∥EC，∴∠ECB+∠GBC＝180°，∵∠ABC＝∠GBF，∴∠ABF+∠GBC＝180°，∴∠ABF＝∠ECB，且EC＝BG＝BF，AB＝BC，∴△ABF≌△BCE（SAS）∴AF＝BE＝7，∴BH＝BE＝．12．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，由旋转，得OC＝OD，OC＝∠BCO＝∠ACD，∴∠BCO+∠OCA＝∠ACD+∠OCA，∴∠OCD＝∠ACB＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，△AOD是直角三角形，理由：由旋转，得∠ADC＝∠BOC＝150°，由（1）知，△COD为等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）解：由（1）知，△COD为等边三角形，∴∠CDO＝∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣α﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°，∵△AOD是等腰三角形，①当∠ADO＝∠AOD时，即α﹣60°＝190°﹣α，解得：α＝125°；②当∠ADO＝∠OAD时，则α﹣60°＝50°，解得：α＝110°；③当∠OAD＝∠AOD时，即50°＝190°﹣α，解得：α＝140°；即α的度数为110°或125°或140°．13．（1）①证明：如图1中，∵△AED是由△ABC绕点A顺时针旋转60°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形．②证明：如图1中，∵△ABD是等边三角形，∴BA＝BD，∵EA＝ED，∴点B，点E在线段AD的垂直平分线上，∴BE垂直平分线段AD．（2）①解：如图2中，延长BE交AD于F．由②知BF⊥AD，AF＝DF，∴AF＝DF＝6，∵AE＝AC＝10，∴EF＝＝＝8，在等边三角形ABD中，BF＝AB•sin∠BAF＝12×＝6，∴BE＝BF﹣EF＝6﹣8．②如图所示，连接EC交AB于H．∵∠DAG＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC＝∠DAG+∠DAE+∠ABC＝180°，又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE＝180°，∴∠BAE＝∠ABC，∵AC＝BC＝AE，∴∠BAC＝∠ABC，∴∠BAE＝∠BAC，∴AB⊥CE，且CH＝HE＝CE，∴BE＝BC＝10．14．（1）证明：如图1，，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，由三角形的外角的性质，可得∠FDQ＝∠F AB+∠ABC＝∠F AB+45°，∵AD⊥PC，∴∠AEP＝90°，∴∠F AB+∠APC＝90°，∴∠APC＝90°﹣∠F AB，又∵∠BPQ＝∠APC，∴∠BPQ＝90°﹣∠F AB，∴∠FQD＝∠BQP＝180°﹣∠BPQ﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣∠F AB）﹣45°＝∠F AB+45°∴∠FDQ＝∠FQD．（2）解：MN与EN的数量关系是：MN＝3EN．如图2，延长DC至H，使HC＝CD，连接AH，过点B作BI∥GQ，交CP延长线于点I，，∵HC＝CD，AC⊥HD，∴△ADH是等腰三角形，∴AD＝AH，∴∠H＝∠ADH＝∠FDQ＝∠FQD＝∠BQP，∵把△DFQ沿DQ边翻折，得到△DGQ，∴△GDQ≌△FDQ，∴∠FDQ＝∠GDQ，又∵∠H＝∠FDQ＝∠BQP，∴∠H＝∠BQP＝∠GDQ，∴AH∥DG∥PQ，∴，∠GQP＝∠DGQ，在△APC和△BPQ中，∴△APC∽△BPQ，∴，又∵，∴，∴BC＝QH，∴BQ＝HC，又∵HC＝CD，∴BQ＝HC＝CD．∵把△DFQ沿DQ边翻折，得到△DGQ，∴∠DFQ＝∠DGQ，又∵∠GQP＝∠DGQ，∴∠GQP＝∠DFQ，∴AD∥GQ，四边形DFQG是平行四边形，∴，FD＝GQ，∵AH∥PF，∴＝，又∵DH＝2CD，BQ＝CD，∴，∴，∴（DQ+2CD）（DQ﹣CD）＝0，解得DQ＝CD，或DQ＝﹣2CD（舍去），∵＝1，∴BP＝PG，∵BI∥GQ，∴＝1，∴BI＝GM，∵BI∥GQ，AD∥GQ，∴AD∥BI，∴，∴，∴，∴MN＝3EN．15．解：（1）∵D（0，8），∴OD＝BC＝8，∵OD＝2CP，∴CP＝4，设OB＝OP＝DC＝x，则DP＝x﹣4，在Rt△ODP中，OD2+DP2＝OP2，即：82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∵∠OP A＝∠B＝90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC＝DP：CA，∴8：4＝（x﹣4）：AC，则AC＝＝3，∴AB＝5，∴点A（10，5）；（2）∵点P恰好是CD边的中点，设DP＝PC＝y，则DC＝OB＝OP＝2y，在Rt△ODP中，OD2+DP2＝OP2，即：82+y2＝（2y）2，解得：y＝，∵∠OP A＝∠B＝90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC＝DP：CA，∴8：y＝y：AC，则AC＝＝，∴AB＝8﹣＝，∵OB＝2y＝，∴tan∠AOB＝＝＝，∴∠AOB＝30°；（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵OP＝OB，MQ∥AN∴∠OPB＝∠OBP＝∠MQP，∴MP＝MQ，∵BN＝PM，∴BN＝QM．∵MP＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF，在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．∴QF＝QB，∴EF＝EQ+QF＝PQ+QB＝PB，由（Ⅰ）中的结论可得：PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，∴PB＝＝4，∴EF＝PB＝2，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．16．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵AC＝BC＝8，∴AB＝8，∵BA′＝2，∴AA′＝AB﹣BA′＝6，∵AD＝DA′，∴AD＝3（2）如图2中，∵BA′平分∠ABC，A′C⊥BC，A′D⊥AB，∴A′C＝A′D，∵AD＝DA′，∴A′C＝A′D＝AD，设A′C＝A′D＝AD＝x，则AA′＝x，∴x+x＝8，∴x＝8（﹣1），∴DE＝AA′＝8﹣4．（3）如图3中，①当AD＝AE时，设AD＝AE＝a，则CE＝CA′＝a，∴a+a＝8，∴a＝16﹣8，∴AD＝AE＝16﹣8．②当DE＝DA时，ED⊥AB，此时点A′与B重合，AD＝DE＝AB＝4．③当ED＝EA时，DE⊥AC，此时点A′与C重合，DE＝AE＝AC＝4．17．解：（1）如图2中，∵∠ABC＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝75°，∵△ADE折叠至△BDE，∴DBE＝∠A＝30°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝45°．故答案为45°（2）如图3中，∵△DBE折叠至△DBE′，∴∠DBE′＝∠DBE＝30°，∴∠DBE′＝∠DBC﹣∠CBE′＝45°﹣30°＝15°．故答案为15°．（3）如图4，0°＜m＜36°时，∠MBC＝90°﹣m°；（其中：图5，m＝30°时，点M与点E′重合；图6，30°＜m＜36°时，∠MBC＝90°﹣m°；图7，m＝36°时，点M与点C重合；）如图8，36°＜m＜60°时，∠MBC＝m°﹣90°；如图9，m＝60°时，点D与点C重合，BE′≠AC，不存在点M；如图10，60°＜m＜90°时，∠MBC＝270°﹣m°．18．（1）解：CC′＝3﹣．理由如下：由平移知，C'E'∥AC，C'E'＝CE＝3，∴∠BE'C'＝∠A＝30°，∵BC＝EC＝3，在Rt△BC'E'中，∠BE'C'＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，得BE'＝2BC'∴BE'2﹣BC'2＝C'E'2，即：4BC'2﹣BC'2＝9，∴BC'＝，∴CC′＝BC﹣BC'＝3﹣；故答案为：3﹣；（2）解：△ECD绕点C旋转的度数即∠ECE′的度数；∵∠ABC＝60°，BC＝CE′＝3，AB＝6，∴△E′BC是等边三角形，∴BC＝E′C＝E′B＝3，∴AE′＝E′C＝3，∴∠E′AC＝∠E′CA，∴∠ECE′＝∠BAC＝30°；故答案为：30°；（3）证明：在△AEF和△D′BF中，∵AE＝AC﹣EC，D′B＝D′C﹣BC，又∵AC＝D′C，EC＝BC，∴AE＝D′B，又∵∠AEF＝∠D′BF＝180°﹣60°＝120°，∠A＝∠CD′E＝30°，∴△AEF≌△D′BF，∴AF＝FD'19．解：（1）如图1，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ACB，∠BCD＝90°﹣∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D＝360°，∴∠BAC+∠D＝180°，∵∠CAE+∠BAC＝180°，∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE＝CB，∴BE＝AE+AB＝DB+AB，∴BD+AB＝CB；故答案为：BD＝AE，BD+AB＝CB；（2）如图2，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE＝CB，∴BE＝AE﹣AB＝DB﹣AB，∴BD﹣AB＝CB；（3）如图3，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠DCE，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFC＝∠BFD，∴∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE＝CB，∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣DB，∴AB﹣DB＝CB；∵△BCE为等腰直角三角形，∴∠BEC＝∠CBE＝45°，∵∠ABD＝90°，∴∠DBH＝45°过点D作DH⊥BC，∴△DHB是等腰直角三角形，∴BD＝BH＝2，∴BH＝DH＝，在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，DH＝，∴CH＝DH＝×＝，∴BC＝CH﹣BH＝﹣；故答案为：﹣．20．解：（1）△BPE≌△CQE．理由∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）△BPE∽△CEQ．理由：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，∴∠BEP＝∠EQC，∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CEQ；（3）如图②，连结PQ，∵△BPE∽△CEQ，∴＝，∵BP＝1，CQ＝，BE＝CE，∴＝，∴BE＝CE＝，∴BC＝3，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴AB＝AC＝3，∴AQ＝CQ﹣AC＝，P A＝AB﹣BP＝2，在Rt△APQ中，PQ＝＝．。

中考数学复习压轴题突破几何综合题第四讲线段的旋转

AB BC ∵在△PBA 和△FBC 中， PBA ABC ，∴△PBA≌△FBC（SAS），
BP BF
∴PA = FC，∠PAB =∠FCB． ∵PA = PE，∴PE = FC． ∵∠PAB +∠APB = 90°， ∴∠FCB +∠APB = 90°． ∵∠EPA = 90°，∴∠APB +∠EPA +∠FPC = 180°，即∠EPC +∠PCF = 180°， ∴EP∥FC，∴四边形 EPCF 是平行四边形；
2021年
4
冲刺满分
2021年
5
线段的旋转
旋转三要素
旋转的性质
①旋转中心 ②旋转方向 ③旋转角度
1．几何图形旋转的性质 2．全等三角形的判定与性质 3．相似三角形的判定与性质 4．解直角三角形 5．利用二次函数最值法
1．旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；
2．对应直线的夹角等于旋转角； 3．旋转前、后的图形全等；
2021年
13
命题角度
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，平行四边形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用平行四边形的判定方法是关键．
思路点拨
2021年
14
证明：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB = BC，∠ABC =∠PBA = 90°
旋转之线段的旋转
讲师：周老师
2021年
1
真题展示
2021年
2
1（2013 年辽宁抚顺 12 分）在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，点 D 是 AB 的中点，DE⊥BC，垂足为点 E，连接 CD．

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2 ．如图 13 ，在 △ ABC 中， BC ＞
AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB
的平分线CF交AD于点F，点E是AB的
中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC； (2) 若四边形 BDFE 的面积为 9 ，求
图13
△ABD的面积．
(1)证明：∵DC＝AC，CF是∠ACB的平分线，
4．如图15，AB∥CD，∠ACB＝90°，E是AB的中点，CE＝CD，DE和AC相交于点F.
(1)求证：DE⊥AC； (2)求证：∠ACD＝∠ACE.
图15
第2部分专题突破解答题突破
证明：(1)∵直角三角形ACB中，CE是斜边AB的中线，CE＝CD，
∴CE＝AE＝BE＝CD. 又 AB∥CD ， ∴ 四边形 BCDE 为平行四边形．∴BC∥DE. 又AC⊥BC，∴DE⊥AC. (2)∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠A. 由 (1) 知 EC ＝ EA ， ∴ ∠ A ＝ ∠ ACE.∴∠ACD ＝ ∠ACE.
D．19
5．如图 5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ△ABC 中，已知 AB＝8， ∠C＝90°，∠A＝30°，DE 是中位线，则
DE 的长为( D ) A．4
B．3
图5
C．2 3
D．2
第2部分专题突破解答题突破
6．如图6，在△ABC中，CE平分
∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC
交 AC 于点 M ，若 CM ＝ 5 ，则 CE2 ＋
第2部分专题突破解答题突破
基础练
1．(2018长春)如图1，在△ABC中，
CD 平分 ∠ ACB 交 AB 于点 D ，过点 D 作
DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B
＝48°，则∠CDE的大小为( C )
A．44° C．39°
B．40° D．38°
图1
第2部分专题突破解答题突破
10．已知三角形的三边长之比为 1∶1∶ 2，则此三角形的形状是_等__腰__直__角__三__角___形__.
11．如图 9，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2，点 D 在 BC 上，∠ADC＝2∠B，AD＝ 5，则 BC 的长为 __5_＋__1__.
图9
第2部分专题突破解答题突破
12．如图10，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC 上一点，连接 DE ，若 AB ＝ 12 ， AE ＝ 8 ， ∠ ABC ＝ ∠AED，则AC＝__9__.
OA＝OB，在△AOC 和△BOD 中， ∠AOC＝∠BOD，
OC＝OD， ∴△AOC≌△BOD(SAS)．
第2部分专题突破解答题突破
(2)解：∵△AOC≌△BOD，BD＝1， ∴AC＝BO＝1，∠CAO＝∠B＝45°. 又∠OAB＝45°， ∴∠CAB＝∠CAO＋∠OAB＝90°. 在 Rt△CAD 中，由勾股定理，得 CD＝ AC2＋AD2 ＝ 12＋32＝ 10.
图10
第2部分专题突破解答题突破
典例分析
例 1 如图 11 ， △ AOB， △ COD 是等腰直角三角形，点D在AB上．
(1)求证：△AOC≌△BOD； (2)若AD＝3，BD＝1，求CD的长度．
图11
第2部分专题突破解答题突破
(1)证明：∵△AOB，△COD 是等腰直角三角形， ∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°. ∴∠AOC＝∠BOD＝90°－∠AOD.
第2部分专题突破解答题突破
训练 1.(2018 嘉兴 ) 如图 12 ，在 △ ABC 中， AB ＝ AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
图12
第2部分专题突破解答题突破
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点 E，F，
∴∠AED＝∠CFD＝90°.
∵D 为 AC 的中点，∴AD＝DC.
在
R
t
△ADE
和
R t △CDF
中，
AD＝CD， DE＝DF，
∴R t △A DE ≌R t △CDF (H L )．
∴∠A＝∠C.∴BA＝BC.
∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC 是等边三角形．
第2部分专题突破解答题突破
2．(2018安顺)如图2，点D，E分别在
线段AB，AC上，CD与BE相交于点O，
已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍
不能判定△ABE≌△ACD( D )
A．∠B＝∠C C．BD＝CE
B．AD＝AE
D．BE＝CD
图2
3 ．如图 3 ，在 △ ABC 中， ∠ B ＝
∠C，AD平分∠BAC，AB＝5，BC＝6，
60°，OA＝OB，动点C从点O出发，
沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧
作等边三角形ACD，连接BD，则BD所
在直线与OA所在直线的位置关系是
图8
A．平行
B．相交
( A)
C．垂直
D．平行、相交或垂直
第2部分专题突破解答题突破
9．如果△ABC∽△DEF，且相似比为 2∶3，则它们对应边上的高之比为_2_∶___3_.
第2部分专题突破解答题突破
3 ．如图 14 ，在 △ ABC 中， ∠ B ＝ 45°，点D是BC边的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，连接CE.
(1)求∠AEC的度数； (2)请你判断AE，BE，AC三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．
图14
第2部分专题突破解答题突破
∴AF＝FD.
又点E是AB的中点，∴EF∥BC.
第2部分专题突破解答题突破
(2)解：∵AF＝FD，点 E 是 AB 的中点， ∴EF＝12BD，EF∥BD. ∴△AEF∽△ABD. ∴S △A E F ＝14S △A B D. ∴S△AEF＝13S 四边形 BDFE＝3. ∴S △A B D＝4S △A E F ＝12. 即△ABD 的面积为 12.
解答题突破
专题八基础练＋与三角形有关的计算与证明
CONTENTS
目录
基础练典例分析
第2部分专题突破解答题突破
考情分析与三角形有关的计算与证明是每年必考内容，经常与尺规作图、圆、函数等结合考查．主要考查内容为：(1)求角度、线段长度、图形周长及面积、锐角三角函数值等；(2)证明线段垂直、相等，三角形全等或相似，图形为特殊三角形等；(3)判断图形形状，线段或角之间的数量关系．常用到三角形内角和定理、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等．
第2部分专题突破解答题突破
∴∠BAP＝∠DPC. ∴△ABP∽△PCD.∴CBDP＝ACBP.∴AB·CD＝CP·BP. ∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP. (2)解：∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP. 又∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C. ∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA.∴BA＝BP.
第2部分专题突破解答题突破
5．如图16，在△ABC中，AB＝ AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.
(1)求证：AC·CD＝CP·BP； (2) 若 AB ＝ 10 ， BC ＝ 12 ，当 PD∥AB时，求BP的长．
图16
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 又∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C. ∵∠APC ＝ ∠ BAP ＋ ∠ B ， ∠ APC ＝ ∠ APD ＋ ∠DPC，
则AD的长度为( B )
A．3
B．4
C．5
D．6
图3
第2部分专题突破解答题突破
4．如图4，在△ABC中，AC的垂
直平分线分别交 AC ， BC 于 E ， D 两
点， CE ＝ 4 ， △ ABC 的周长是 25 ，则
△ABD的周长为( C )
A．13
B．15
图4
C．17
CF2等于( B )
A．75 C．120
B．100
图6
D．125
7 ．如图 7 ， △ ABC 的面积为
8 cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点
P，则△PBC的面积为( B )
A．3 cm2 C．5 cm2
B．4 cm2
D．6 cm2
图7
第2部分专题突破解答题突破
8 ． (2018 玉林 ) 如图 8 ， ∠ AOB ＝
BC BA ∵AB＝10，BC＝12，∴1102＝B10P.∴BP＝235.
谢谢观看
Exit
解：(1)∵点D是BC边的中点，DE⊥BC， ∴DE是线段BC的垂直平分线． ∴EB＝EC.∴∠ECB＝∠B＝45°. ∴∠AEC＝∠ECB＋∠B＝90°. (2)AE2＋EB2＝AC2. 证明：∵∠AEC＝90°，∴AE2＋EC2＝AC2. 又EB＝EC，∴AE2＋EB2＝AC2.
第2部分专题突破解答题突破