浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第11章11.8 直线与圆锥曲线的位置关系
浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第10章10.1 空间几何体的结构与三视图
5.如图所示，一个正方体内接于高为40 cm， 底面半径为30 cm的圆锥，则正方体的棱长 是_______cm.
解析：如图所示，作轴截面， 则PO 40 cm，OA 30 cm， 2 设BC x，则O1C x， 2 2 x O1C O1 P 40 x 2 所以 ，即 ， OA OP 30 40 所以x 120(3 2 2).
最好从中间面开始，其余面都向它集中．
拓展训练纸制的正方体的六个面根据其方位分别 标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方 体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到 右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是 A.南 C.西 B.北 D.下
解析：如图所示．
例题2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视 图，甲、乙、丙对应的标号正确的是( )
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A．④③② C．①②③ B．①③② D．④②③
解析：甲图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视 图是一个圆，因此该几何体是一个圆柱；乙图中， 正视图和侧视图都是三角形，俯视图是一个三角 形以及内部的三条线段，因此该几何体是一个三 棱锥；丙图中，正视图和侧视图都是三角形，俯 视图是一个圆以及内部的一个点，因此该几何体 是一个圆锥；故甲、乙、丙对应的标号应为④③ ②，选A.
例题3.已知某个几何体的三视图如下，根据图 中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的 体积是( )
4000 3 A. cm 3 C.2000 cm 3
8000 3 B. cm 3 D.4000 cm 3
解析：由三视图知，该几何体的 直观图是如右图所示的四棱锥． 其中底面是边长为20 cm的正方形， 侧面VBC是底边BC长为20 cm，高 VO为20 cm的等腰三角形．且VO 底面ABCD.故该几何体的体积为 1 8000 3 V 20 20 20 cm ， 3 3 故选B.
浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第11章11.9 轨迹问题
解析： |AB|=5，所以动点的轨迹为线段AB.
3. 已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点，定点 M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|， 则Q点的轨迹方程是( D ) A．2x+y+1=0 B．2x-y-5=0 C．2x-y-1=0 D．2x-y+5=0 解析： 设Q (x，y)，则可得P(-2-x,4-y)， 代入2x-y+3=0，得2x-y+5=0.
解析：设 P 点的坐标为（ x,y) ，用直接法 求得 P 点的轨迹方程，要注意 x 的范围，通过 直线l与椭圆相交获得.
设P点的坐标为（x,y),
则由方程x2+2y2=4,得2y2=4-x2,
4 x2 所以 y , 2
所以A，B两点的坐标分别为
4 x2 4 x （x, ),( x, ), 2 2
2
又PA· PB=1，
4 x 4 x 所以 （x, ) ( x, ) 1, 2 2 2 22 x y 即y 2 4 x 1, 所以 1, 6 3 2
2 2
又直线l与椭圆交于两点， 所以-2＜x＜2, 所以点P的轨迹方程为
x2 y 2 1(2＜x＜2). 6 3
解析：设AB的中点为R（x,y)，
则在Rt△ARO中，
|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（x2+y2).
又| AR || PR | ( x 4)2 y 2，
有（x-4)2+y2=36-(x2+y2).
即x2+y2-4x-10=0.
因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运 动时，Q点即在所求的轨迹上运动.
浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第14章14.2 复数的概念及运算
分析：(1)设z的复数形式为a+bi(a,b∈R), 求出a,b即可；(2)把复数用一般式表示，然后 代入求解. 解析：(1)设z=a+bi(a,b∈R)，则 z a－bi，
2 2 z z a b 8, 由 z z 2a 4, 得a=2,又
则b=±2.
z 2－2i z 2 2i 所以 或 z z 2－2i z 2 2i i， z 故选D.
2 m －m－6 则 m<－3或－2<m<3 0 m3 m<－3或m>-2， m 2 5m 6 0
解得m<－3或－2<m<3.
考点2：复数的相等 例题2：已知集合M={(a+3)+(b2－1)i,8}, 集合N={3i,(a2－1)+(b+2)i}同时满足
M
N
M,M
求整复平面内所对应的点在第 二象限，故选B.
点评： (1) 复数的形式 a+bi 是解决问题常用 的基本形式 ;(2) 要能理解复数的几何意义， 并能灵活应用.
拓展训练：当实数m为何值时， (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复数z
m 2－m－6 2 z (m 5m 6)i 为: m3
1 i 拓展训练:若将复数 表示为a+bi 1i 1 i 解析：由 i a bi， 1i
1
.
得a=0,b=1，所以a+b=1.
考点3：复数的四则运算 例题3： 1 设z的共轭复数是z, 若z z 4，z z 8，
z 则 等于( ) z
A. i B. -i C. ±1 D. ±I (2)已知z∈C，求满足z+∈R，且|z-2|=2的 复数z.
浙江省杭州市塘栖中学2014高考数学模拟练习试题 文(16)
浙江省杭州市塘栖中学2014高考数学模拟练习试题 文（16）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．在复平面内，复数12i i +-（为虚数单位）对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则a b -的值为 （ ）A.0B.1C.－1D.1±3．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为（ ）D. C. B. A.侧视4．若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是（ ）A ．[1,0]-B ． (1,0)-C ．(,0][1,)-∞+∞ D ． (,1)(0,)-∞-+∞ 5．已知直线,l m 与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=⊂，，和m γ⊥，则有 （ ）A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥6. 若函数()sin cos (0)f x a x b x ab =+≠的图象向左平移3π个单位后得到的图象对应的函数是奇函数,则直线0ax by c -+=的倾斜角为 ( )A ．30B ．60C ．120 D ．1506.设 ,x y 两实数，则“ ,x y 中至少有一个数大于1”是“ 222x y +> ”成立的（ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件7.若数列 {}n a 为等差数列，且 35791120a a a a a ++++=，则 8912a a -= （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 8.若 △ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且 3450OA OB OC ++=，则 OC AB ⋅的值为 （ ）(A) 15- (B) 15 (C) 65- (D) 659．定义域为R 的函数()f x 对任意x ∈R 都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有 （ ）(A) 2(2)(2)(log )a f f f a << (B) 2(2)(2)(log )a f f f a <<(C) 2(2)(log )(2)a f f a f << (D) 2(log )(2)(2)a f a f f <<10．设双曲线C ：22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别为 F 1，F 2．若在双曲线的右支上存在一点P ，使得 |PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )(A) (1,2](B)(C) (D) (1,2)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11. 为了分析某同学在班级中的数学学习情况，统计了该同学在6次月考中数学名次，用茎叶图表示如图所示：12358912 ，则该组数据的中位数为 .12．若存在直线l 平行于直线360x ky -+=，且与直线10kx y ++=垂直，则实数k ＝ ．13．圆22:+C x y 420x y --=关于直线:10l x y ++=对称的圆'C 的方程为 .14．若(){},,,2,1,0,1,2AB x y x y =∈--，()1,1a =-，则AB 与a 的夹角为锐角的概率是 . 15. 已知实数x ，y 满足3020350x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2＋y 2的最大值是____．16.设3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 (整数端点)17椭圆C ：221259x y +=，F 是右焦点，是过点F 的一条直线（不与y 轴平行），交椭圆于A 、B 两点， 'l 是AB 的中垂线，交椭圆的长轴于一点D ，则DF AB的值是 ． 三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）设△ABC 的三内角A B C 、、的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且3sin sin 4A C =.（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域.、19．设公比为正数的等比数列{}n a 的前项和为n S ，已知328,48a S ==，数列{}n b 满足24log n n b a =.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求正整数m 的值，使得12m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的项.20.如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC ＝30°，BM ⊥AC 交 AC 于点 M ，EA⊥平面ABC ，FC//EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1．（I ）证明：EM ⊥BF ；（II ）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值．21.设 x 1、x 2（12x x ≠）是函数 322()f x ax bx a x =+-（0a >）的两个极值点．（I ）若 11x =-，22x =，求函数 ()f x 的解析式；（II ）若 12||||x x += b 的最大值；22.设椭圆 C 1：22221x y a b+=（0a b >>）的一个顶点与抛物线C 2：2x = 的焦点重合，F 1，F 2 分别是椭圆的左、右焦点，离心率 12e =，过椭圆右焦点 F 2 的直线与椭圆 C 交于 M ，N 两点 （I ）求椭圆C 的方程；（II ）是否存在直线，使得 2OM ON ⋅=-，若存在求出直线的方程；若不存在，说明理由；。
浙江省杭州市塘栖中学高三数学一轮复习课件理 第章 椭圆
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（2）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M 且交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称， 求直线l的方程.
解析：设A，B坐标分别为（x1,y1）, (x2,y2),已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆 心M的坐标为（-2,1)，从而可设直线l的方程 为y=k(x+2)+1，
(1，3 2
)在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
解析：（1）方法1：依题意，设椭圆E的
方所程 以为a2-bax222=1
y2 b2
.
1
(a＞b＞0).由已知半焦距c=1, ①
因为点 C(1，3)在椭圆E上，则
1 a2
9 4b2
2 1.
②
由①②解得,a2=4,b2=3.
所以椭圆E的方程为 x2 y2 1.
43
方法2：依题意，设椭圆E的方程为 因ax22为 点by22C(11，(3a)在＞椭b＞圆0E)，上，
2
所以2a=|CF1|+|CF2|=4,即a=2.
由已知半焦距c=1,所以b2=a2-c2=3. 所以椭圆E的方程为 x2 y2 1.
43
（2）若点P在椭圆E上，且满足 PF1·PF2 t， 求实数t的取值范围.
x2 a2
y2 b2
1 (a＞b＞0)的两个
焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥ F1F2,
|
PF1
|
4 3
,|
PF2
|
14 3
.
(1)求椭圆C的方程；
解析：方法1：（1）因为点P在椭圆C上,
浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第10章10.4 直线、平面平行的判定与性质
解析：对A， 推不出m // (有可能m )； m
对B，
ห้องสมุดไป่ตู้
n
m //n
推不出m // (有可能m )；
m //n 对C， 推不出m // (有可能m )， n // 故应选D.
4.在ABC中，AB 5，AC 7，A 60，G为重 心，过G的平面 与BC平行，AB M，AC N，则MN ______ .
点评：本题主要考查线线垂直和线面平行问题， 要掌握线线垂直的证明方法，线面平行的判定 定理和性质定理．
拓展训练如图所示，在直三棱柱ABC A1 B1C1中， AB BC BB1，AC1 平面A1BD，D为AC的中点．
1 求证：B1C //平面A1BD； 2 求证：B1C1 平面ABB1 A1； 3 在CC1上是否存在一点E，使得BA1E 45，
2.平面 //平面，a ，b ，则直线a、b 的位置关系是 A．平行 C．异面
B．相交 D．平行或异面
解析：如下图．
3.、 表示两个不同的平面，m、n表示两条 不同的直线，则m //的一个充分条件是 A．a b且m b C．m //n且n //a B．a b n且m //n D．a / /b且m
例题3.一个多面体的直观图和三视图如图所示，其 中M 、N 分别是AB、AC的中点，G是DF 上的一动点．
1 求证：GN AC； 2 当FG GD时，在棱AD上确定一点P，使得
GP //平面FMC，并给出证明．
证明：由三视图可知，直观图为直三棱柱，且在 底面ADF中，AD DF，DF AD DC.
2 2
1 所以x a，即E是C1C的中点． 2 因为D、E分别为AC、C1C的中点，所以DE //AC1. 因为AC1 平面A1 BD，所以DE 平面A1BD. 又DE 平面BDE，所以平面A1BD 平面BDE.
2014年浙江省杭州市塘栖中学高考数学模拟练习试卷(9)(理科)
2014年浙江省杭州市塘栖中学高考数学模拟练习试卷（9）（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若集合A={y|y=lgx}，B={x|y=}，则A∩B为（）A.[0，1]B.（0，1]C.[0，∞）D.（-∞，1]【答案】D【解析】解：∵A={y|y=lgx}={y|y∈R}，B={x|y=}={x|1-x≥0}={x|x≤1}，∴A∩B={x|x≤1}=（-∞，1]．故选D．由A={y|y=lgx}={y|y∈R}，B={x|y=}={x|1-x≥0}={x|x≤1}，能求出A∩B．本题考查交集的定义和运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.复数等于（）A.-1B.-iC.1D.i【答案】B【解析】解：===-i故选B．先在分式的分、分母上同时乘以分母的共扼复数1-i，然后再进行化简即可求出所求．本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，同时考查了计算能力，属于基础题．3.已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A.a＞b-1B.a＞b+1C.|a|＞|b|D.2a＞2b【答案】A【解析】解：“a＞b”能推出“a＞b-1”，故选项A是“a＞b”的必要条件，但“a＞b-1”不能推出“a＞b”，不是充分条件，满足题意；“a＞b”不能推出“a＞b+1”，故选项B不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”能推出“2a＞2b”，且“2a＞2b”能推出“a＞b”，故是充要条件，不满足题意；故选A．欲求a＞b成立的必要而不充分的条件，即选择一个“a＞b”能推出的条件，但反之不能推出的条件，对选项逐一分析即可．本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是理解必要而不充分的条件，属于基础题．4.已知锐角α的终边上一点P （sin 40°，1+cos 40°）则锐角α=（ ） A.80° B.70° C.20° D.10° 【答案】 B【解析】解：由题意可知sin 40°＞0，1+cos 40°＞0， 点P 在第一象限，OP 的斜率 tan α=° °=°° °=cot 20°=tan 70°，由α为锐角，可知α为70°． 故选B ．由题意求出PO 的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可． 本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．5.一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ）A.AB ∥CDB.AB 与CD 相交C.AB ⊥CDD.AB 与CD 所成的角为60° 【答案】 D【解析】解：将正方体的展开图，还原为正方体，AB ，CD 为相邻表面，且无公共顶点的两条面上的对角线∴AB 与CD 所成的角为60° 故选D ．将正方体的展开图，还原为正方体，AB ，CD 为相邻表面，且无公共顶点的两条面上的对角线，故可得结论． 本题考查线线位置关系，解题的关键是将正方体的展开图，还原为正方体，再确定AB ，CD 的位置关系．6.如图，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ） A.10 B.12 C.13 D.15【答案】 C【解析】解：根据题意，在A 、B 间有四个焊接点，每个焊点脱落与否有2种情况， 则A 、B 间的4个焊接点，共有2×2×2×2=16种情况，其中A 、B 之间线路通畅时，有1、2、3、4全部没有脱落，只有2脱落，只有3脱落，共3种情况，则A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有16-3=13种情况； 故选C ．根据题意，用排除法，首先由分步计数原理计算可得A 、B 间的4个焊接点按脱落与否的情况数目，进而由电路知识分析当A、B之间线路通畅时的情况数目；由总数减去通畅的情况数目即可得答案．本题考查计数原理的运用，注意要结合电路知识分析，另外用排除法，可以避免分类讨论，简化计算．7.已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【答案】A【解析】解：∵圆C：x2+y2-6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2∴双曲线（a＞0，b ＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx-ay=0，∴C到渐近线的距离等于半径，即=2②由①②解得：a2=5，b2=4∴该双曲线的方程为故选A先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程本题主要考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系及其应用，双曲线的标准方程及其求法，双曲线的几何性质及其运用，两曲线的综合运用8.设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{A n}为等比数列的充要条件是（）A.{a n}是等比数列B.a1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同【答案】D【解析】解：依题意可知A i=a i•a i+1，∴A i+1=a i+1•a i+2，若{A n}为等比数列则==q（q为常数），则a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比均为q；反之要想{A n}为等比数列则=需为常数，即需要a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等；故{A n}为等比数列的充要条件是a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同．故选D根据题意可表示A i，先看必要性，{A n}为等比数列推断出为常数，可推断出a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要为常数，即a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等，答案可得．本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．9.已知实数x，y满足，且目标函数z=2x+y的最大值为6，最小值为1，其中b≠0，则的值为（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】解：∵x=1，x+y=4得到x=1，y=3，代入2x+y=5，不是最大值也不是最小值∴由2x+y=6，x+y=4，得x=2，y=2，即交点坐标为（2，2）；由2x+y=1，x=1得x=1，y=-1，即交点坐标为（1，-1）；把x=2，y=2；x=1，y=-1分别入ax+by+c=0中，得到，∴c=4b∴故选A．先确定最大值与最小值不是在x=1，x+y=4交点处取得，再利用目标函数z=2x+y的最大值为6，最小值为1，与已知直线联立，求得交点的坐标，即可求得结论．本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，确定最大值与最小值不是在x=1，x+y=4交点处取得是关键．10.若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数k的取值范围为（）A.（0，1）B.（，1）C.（，+∞）D.（1，+∞）【答案】D【解析】解：由于关于x的方程有四个不同的实数解，当x=0时，是此方程的1个根，故关于x的方程有3个不同的非零的实数解．即方程=，＞，＜有3个不同的非零的实数解，即函数y=的图象和函数g（x）=，＞，＜的图象有3个交点，画出函数g（x）的图象，如图所示：故0＜＜1，解得k＞1，故选D．由题意可得，关于x的方程有3个不同的非零的实数解，即方程=，＞，＜有3个不同的非零的实数解，函数y=的图象和函数g（x）=，＞，＜的图象有3个交点，画出函数g（x）的图象，数形结合求得k的取值范围．本题主要考查了方程的根与函数交点的相互转化，体现了分类讨论、转化思想与数形结合思想在解题中的应用，属于中档题．二、填空题(本大题共6小题，共24.0分)11.一空间几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为______ ．【答案】2【解析】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2，故答案为：2几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，在三个图形中，俯视图确定锥体的名称，即是几棱锥，正视图和侧视图确定锥体的高，注意高的大小．12.如图，如果执行它的程序框图，输入正整数n=8、m=4，那么输出的p等于______ ．【答案】1680【解析】解：第一次：k=1，p=1×5=5；第二次：k=2，p=5×6=30；第三次：k=3，p=30×7=210；第四次：k=4，p=210×8=1680．此时不满足k＜4．所以p=1680．故答案为：1680．讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k＜4，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数．本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．13.已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=（n∈N*），则b2012= ______ ．【答案】【解析】解：∵a n+b n=1，b n+1=∴b n+1==∴b n+1-1=∴-=-1∵=-2∴{}是以-2为首项，-1为公差的等差数列∴∴∴b2012=故答案为：根据数列递推式，判断{}是以-2为首项，-1为公差的等差数列，即可求得，故可求结论．本题考查数列递推式，解题的关键是判定{}是以-2为首项，-1为公差的等差数列，属于中档题．14.已知函数f（x）=-x3+3f′（2）x，令n=f′（2），则二项式（x+）n展开式中常数项是第______ 项．【答案】5【解析】解：求导函数可得：f′（x）=-3x2+3f′（2）令x=2可得f′（2）=-12+3f′（2）∴f′（2）=6∴n=6二项式（x+）n展开式的通项为=令，可得r=4，∴二项式（x+）n展开式中常数项是5项故答案为：5求导函数，令x=2可得f′（2）=6，从而n=6，写出二项式（x+）n展开式的通项，即可求得结论．本题考查导数知识的运用，考查二项展开式的通项公式，属于中档题．15.若平面向量，满足||≤1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角θ的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：∵以向量，为邻边的平行四边形的面积为，∴．∵平面向量，满足||≤1，||≤1，∴，∵θ∈（0，π），∴，．∴与的夹角θ的取值范围是，．故答案为：，．利用平行四边形的面积计算公式、正弦函数的单调性即可得出．本题考查了平行四边形的面积计算公式、正弦函数的单调性，属于基础题．16.四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、3，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x、y，记ξ=x+y，则随机变量ξ的数学期望为______ ．【答案】【解析】解：由题意，随机变量ξ的可能取值为2，3，4，5，从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C42=6，当ξ=2时，摸出的小球所标的数字为1，1；∴P（ξ=2）=．当ξ=3时，摸出的小球所标的数字为1，2，∴P（ξ=3）==．当ξ=3时，摸出的小球所标的数字为1，3，∴P（ξ=4）==．当ξ=5时，摸出的小球所标的数字为2，3，∴P（ξ=5）=．∴Eξ==．故答案为：．由题意，随机变量ξ的可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望．本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题．三、解答题(本大题共4小题，共72.0分)17.在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，，，且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数y=2sin2B+cos（-2B）的值域．【答案】解：（Ⅰ）由∥得，（2b-c）cos A-acos C=0，由正弦定理得2sin B cos A-sin C cos A-sin A cos C=0∴2sin B cos A-sin（A+C）=0，即2sin B cos A-sin B=0，可得2sin B cos A=sin B∵B∈（0，π），sin B为正数∴2cos A=1，得cos A=，结合A∈（0，π），得A=…（5分）（Ⅱ）y=2sin2B+cos（-2B）=1-cos2B+cos2B+sin2B=1-cos2B+sin2B=sin（2B-）+1…（7分）①当角B为钝角时，可得B∈（，），2B-∈（，）∴sin（2B-）∈（-，），得y∈（，）…（10分）②当角B为锐角时，角C为钝角，即C=-B∈（，π），所以B∈（0，）∴2B-∈（-，），sin（2B-）∈（-，），得y∈（，）…（13分）综上所以，函数y=2sin2B+cos（-2B）的值域为（，）…（14分）【解析】（I）根据向量平行的坐标表示式列出等式，再由正弦定理和诱导公式化简整理，可得2sin B cos A=sin B，结合三角形内角的正弦为正数，得到cos A=，从而得到A=．（II）对函数进行降次，再用辅助角公式合并整理，可得y=sin（2B-）+1，然后依据B为钝角或C为钝角讨论B的范围，分别得到函数的值域，最后综合可得本题的答案．本题以平面向量平行为载体，求三角形的内角A并求关于角B的三角函数式的值域，着重考查了平面向量数量积的运算、三角函数中的恒等变换应用和解三角形等知识，属于中档题．18.已知点D（0，-2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为的椭圆＞＞恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．【答案】解：（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，又点D（0，-2）在l上，∴，即点A的纵坐标y0=2．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，切线斜率设B（x1，y1），切线方程为y=kx-2，由，得a2=4b2，…（7分）所以椭圆方程为，且过，，∴b2=p+4…（9分）由，∴，…（11分）=将，b2=p+4代入得：p=32，所以b2=36，a2=144，椭圆方程为．…（15分）【解析】（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，再由点D（0，-2）在l上，能求出点A的纵坐标．（Ⅱ）由得，，切线斜率，设B（x1，y1），切线方程为y=kx-2，由，得a2=4b2，所以椭圆方程为，b2=p+4，由，由此能求出椭圆方程．本题考查切点的纵坐标和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．19.已知数列{a n}是递增数列，且满足a3•a5=16，a2+a6=10．（1）若{a n}是等差数列，求数列{a n}的通项公式；（2）对于（1）中{a n}，令，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（1）根据题意：a2+a6=10=a3+a5，又a3•a5=16，所以a3，a5是方程x2-10x+16=0的两根，且a3＜a5，解得a5=8，a3=2，所以d=3，∴a n=3n-7．…（4分）（2），则T n=1×21+2×22+3×23+…+（n-1）•2n-1+n•2n，①2T n=1×22+2×23+…+（n-2）•2n-1+（n-1）•2n+n•2n+1，②①-②得，所以T n=n•2n+1-2n+1+2=（n-1）•2n+1+2．…（12分）【解析】（1）根据题意：a2+a6=10=a1+a7，又a3•a5=16，由此得a3，a5是方程x2-10x+16=0的两根的值，从而求出等差数列的首项和公差，即可得出其通项公式；．（2）根据（1）先求数列{b n}的通项公式．即b n=n•2n，用错位相减法求数列{b n} 的前n项和T n的值．本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，用错位相减法求数列前n项和，属于中档题．20.已知函数f（x）=（ax2+bx+c）e-x（a≠0）的图象过点（0，-2），且在该点的切线方程为4x-y-2=0．（Ⅰ）若f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-m恰好有一个零点，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由f（0）=-2，可得c=-2…（1分）求导函数可得f′（x）=（-ax2+2ax-bx+b-c）e-x，∴f′（0）=（b-c）e0=b-c∵切线方程为4x-y-2=0，∴b-c=4，∴b=2…（3分）∴f（x）=（ax2+2x-2）e-x，f′（x）=（-ax-2）（x-2）e-x，∵f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，∴（-ax-2）（x-2）e-x≥0在[2，+∞）上恒成立即-ax-2≥0，∴a≤-，∴a≤-1…（5分）（Ⅱ）函数F（x）=f（x）-m恰好有一个零点，即y=m和y=f（x）恰好有一个交点∵f′（x）=（-ax-2）（x-2）e-x，①当a＞0时，f（x）在区间（-∞，-），（2，+∞）单调递减，在，上单调递增，极大值为f（2）=（4a+2）e-2，极小值为f（）=-2，（当x趋向于+∞时图象在x 轴上方，并且无限接近于x轴）所以m=或m＞（4a+2）e-2，…（8分）②当a＜0时：（ⅰ）当＞2，即-1＜a＜0时，f（x）在区间（-∞，2），（，+∞）单调递增，在（2，）上单调递减，极大值f（2）=（4a+2）e-2，极小值为f（）高中数学试卷第11页，共12页=-2，（当x趋向于+∞时图象在x轴下方，并且无限接近于x轴）当（4a+2）e-2≥0，即＜时，m=（4a+2）e-2或m＜当（4a+2）e-2＜0，即-1＜a＜时，（4a+2）e-2＜m＜0或m＜…（11分）（ⅱ）当＜2时，即a＜-1时，f（x）在区间（-∞，），（2，+∞）单调递增，在（，2）上单调递减，极小值为f（2）=（4a+2）e-2，极大值为f（）=-2，（当x趋向于+∞时图象在x轴下方，并且无限接近于x轴）∴m=或m＜（4a+2）e-2，…（13分）（ⅲ）=2时，即a=-1时，f（x）在R上单调增（当x趋向于+∞时图象在x轴下方，并且无限接近于x轴），此时m＜0…（14分）【解析】（Ⅰ）由f（0）=-2，可得c的值，求导函数，利用切线方程可得b=的值，根据f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，可得（-ax-2）（x-2）e-x≥0在[2，+∞）上恒成立，由此可求实数a的取值范围；（Ⅱ）函数F（x）=f（x）-m恰好有一个零点，即y=m和y=f（x）恰好有一个交点，求导函数，再进行分类讨论：①当a＞0时，f（x）在区间（-∞，-），（2，+∞）单调递减，在，上单调递增；②当a＜0时：（ⅰ）当＞2，即-1＜a＜0时，f（x）在区间（-∞，2），（，+∞）单调递增，在（2，）上单调递减；（ⅱ）当＜2时，即a＜-1时，f（x）在区间（-∞，），（2，+∞）单调递增，在（，2）上单调递减；（ⅲ）=2时，即a=-1时，f（x）在R上单调增，从而可得结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．高中数学试卷第12页，共12页。
2014年浙江省杭州市塘栖中学高考数学模拟练习试卷(8)(理科)
2014年浙江省杭州市塘栖中学高考数学模拟练习试卷（8）（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合M={x||2x-1|＜1}，N={x|3x＞1}，则M∩N=（）A.∅B.{x|x＜0}C.{x|x＜1}D.{x|0＜x＜1}【答案】D【解析】解：∵M={x||2x-1|＜1}={x|0＜x＜1}，N={x|3x＞1}={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}．故选D．解绝对值不等式和指数不等式，即可求出已知中集合M，N，根据集合交集运算法则，即可得到答案．这是一个以不等式为平台的求集合的交集常见题，本小题主要考查集合的简单运算．属于基础题之列，其中解绝对值不等式和指数不等式，求出两个集合是解答本题的关键．2.已知i是虚数单位，则=（）A. B. C.3-i D.3+i【答案】A【解析】解：．故选A．分子分母同乘分母的共轭复数1-i即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法运算是分子分母同乘分母的共轭复数．3.“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若a=2．则两条直线的方程为2x+4y-1=0与x+2y+3=0满足两直线平行，即充分性成立．当a=0时，两直线等价为4y-1=0与x+3=0不满足两直线平行，故a≠0，若“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”，则，解得a=2或a=-2，即必要性不成立．故“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的充分不必要条件，故选：A根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．4.记cos（-80°）=k，那么tan100°=（）A. B.- C. D.-【答案】B【解析】解：法一°°°，所以tan100°=-tan80°=°．：法二cos（-80°）=k⇒cos（80°）=k，°=法一：先求sin80°，然后化切为弦，求解即可．法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果．本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用．5.函数在点（1，1）处的切线方程为（）A.x-y-2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y+3=0【答案】B【解析】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于-1，相应的切线方程是y-1=-1×（x-1），即x+y-2=0，故选B．欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．6.如果执行右边的程序框图，那么输出的S=（）A.10B.22C.46D.94【答案】C【解析】解：由图循环体被执行四次，其运算规律是对S+1的和乘以2再记到S中，每次执行后的结果依次是4，10，22，46故选C本题是一个直到型循环结构，循环体被执行4次，每次执行时都是对S加一再乘以2，由此即可计算出最后的结果本题考查循环结构，求解本题的关键是正确理解图形，由图中得出运算的次数以及运算的规律．7.已知正数x、y满足，则z=的最小值为（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】解：如图易得当x=1，y=2时2x+y的最大值为4，又∵z=4-x•=的最小值为，故选C．本题考查的知识点是线段规划和指数的运算性质，由指数的运算性质，我们可以将目标函数转化为：z==的形式，由正数x、y满足不难画出满足约束条件的可行域，根据图象不难求出目标函数的最优解．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2-b2=bc，sin C=2sin B，则A=（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A【解析】解：∵sin C=2sin B，∴c=2b，∵a2-b2=bc，∴cos A===∵A是三角形的内角∴A=30°故选A．先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得A．本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．9.已知（1+x+x2+x3）（x+）n的展开式中没有常数项，则n的一个可能值为（）A.11B.12C.13D.14【答案】A【解析】解：若（1+x+x2+x3）（x+）n的展开式中没有常数项，可得（x+x-3）n的展开式中没有常数项，且没有x-1项，且没有x-2项，且没有x-3项．而（x+x-4）n的展开式的通项公式为T r+1=•x n-5r，故n-5r=0无解，且n-5r=-1无解，且n-5r=-2无解，且n-5r=-3无解，结合所给的选项可得，n=11，故选：A．由题意可得可得（x+x-4）n的展开式中没有常数项，且没有x-1项，且没有x-2项，且没有x-3项．根据（x+x-4）n的展开式的通项公式可得x的幂指数为n-5r，故n-5r=0无解，且n-5r=-1无解，且n-5r=-2无解，且n-5r=-3无解结合所给的选项，从而得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，体现了转化的数学思想，属于基础题．10.设双曲线C：（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A.（1，2]B.，C.，D.（1，2）【答案】B【解析】解：∵P在双曲线的右支上，∴|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a，∴|PF2|=a≥c-a∴e=≤2又∵b＞a，∴c2-a2＞a2，∴e=＞∴e∈，故选B先利用双曲线的定义，得焦半径|PF2|=a，再利用焦半径的取值范围，得离心率的取值范围，再由已知b＞a求得双曲线的离心率范围，两个范围求交集即可得双曲线的离心率范围本题主要考查了双曲线的定义和几何性质，焦半径的取值范围及其应用，双曲线离心率的取值范围求法，属基础题二、填空题(本大题共7小题，共28.0分)11.计算：（cos75°+sin75°）（cos75°-sin75°）= ______ ．【答案】-【解析】解：∵（cos75°+sin75°）（cos75°-sin75°）=cos275°-sin275°=cos150°=-．故答案为：-．将（cos75°+sin75°）（cos75°-sin75°）展开，利用三角函数的降幂公式即可求得答案．本题考查二倍角的余弦，考查运算能力，属于基础题．12.已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形则此三棱锥的体积等于______ ．【答案】【解析】解：由三视图可知该三视图的高为，底面直角三角形的斜边是2，底面三角形的高为1，所以三棱锥的体积为．故答案为：．利用三视图将三棱锥进行还原，可得底面三角形的高为1，三角形的斜边为2，由正视图可知三棱锥的高为，所以根据三棱锥的体积公式进行求体积．本题主要考查三视图的识别和应用，根据三视图确定三棱锥的底面三角形的边长和高是解决本题的关键．13.设随机变量X的分布列如下：若数学期望E（X）=10，则方差D（X）= ______ ．【答案】35【解析】解：∵E（X）=0×0.1+5α+10β+20×0.2=10，化为5α+10β=6．又0.1+α+β+0.2=1，联立，解得．∵D（X）=+=35．故答案为35．利用E（X）=0×0.1+5α+10β+20×0.2=10，分布列的性质0.1+α+β+0.2=1，联立即可解得α，β．再利用方差的计算公式即可得出D（X）．本题考查了离散型随机变量的分布列的数学期望及其方差，属于基础题．14.若向量，，，，，，，，，满足条件，则x= ______ ．【答案】2【解析】解：，，，，，，，，解得x=2，故答案为2．先求出，再利用空间向量的数量积公式，，，，，，建立方程，求出x本题考查了空间向量的基本运算，以及空间向量的数量积，属于基本运算．15.已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是______ ．【答案】【解析】解：因为S1=4πR12，所以，同理：，即R1=，R2=，R3=，由R1+2R2=3R3，得故答案为：表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+2R2=3R3，推出结果．本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．16.设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{-53，-23，19，37，82}中，则6q= ______ ．【答案】-9【解析】解：{B n}有连续四项在{-53，-23，19，37，82}中B n=A n+1A n=B n-1则{A n}有连续四项在{-54，-24，18，36，81}中{A n}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，-24，36，-54，81相邻两项相除=-=-=-=-很明显，-24，36，-54，81是{A n}中连续的四项q=-或q=-（|q|＞1，∴此种情况应舍）∴q=-∴6q=-9故答案为：-9根据B n=A n+1可知A n=B n-1，依据{B n}有连续四项在{-53，-23，19，37，82}中，则可推知则{A n}有连续四项在{-54，-24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现-24，36，-54，81是{A n}中连续的四项，求得q，进而求得6q．本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．17.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）= ______ ．【答案】【解析】解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，∵P（X=0）=，∴，∴p=，P（X=1）=+=P（X=2）==，P（X=3）=1-=，∴E（X）==，故答案为：根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望．本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是一个基础题目．三、解答题(本大题共5小题，共72.0分)18.在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sin A+sin C=psin B（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．【答案】（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2-x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=（a+c）2-2ac-2accos B=p2b2-b2cos B-，即p2=+cos B，因为0＜cos B＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或-＜p＜-又由sin A+sin C=psin B知，p是正数故＜p＜即为所求【解析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p2，进而利用cos B 的范围确定p2的范围，进而确定pd范围．本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．19.等差数列{a n}中，首项a1=1，公差d≠0，已知数列a，a，a…a…成等比数列，其中k1=1，k2=2，k3=5．（1）求数列{a n}，{k n}的通项公式；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（1）∵{a n}的公差为d（d≠0），由已知得a1=1，a2=1+d，a5=1+4d成等比数列，∴（1+d）2=1×（1+4d），解得d=0（舍去）或d=2，∴a n=1+2（n-1）=2n-1．，又等比数列a1，a2，a5的公比为q==，∴=3n-1，即k n=．（2）∵b n=，∴b n===，则T n=+++…+①，3T n=+++…+②，①-②得-2T n=1++…+-=1+-=2--，∴T n=+-1．【解析】（1）根据等差数列和等比数列建立方程关系，即可得到结论．（2）求出数列{b n}的通项公式，利用错位相减法即可得到结论．本题考查等差数列、等比数列的通项公式及数列求和，考查学生分析解决问题的能力，熟记两类特殊数列的通项公式及求和公式是解决问题的关键．20.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1-AC1-B1的大小．【答案】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角．B1H=，C1H=，AC1=，HK=tan∠B1KH=，∴二面角A1-AC1-B1的大小为arctan．【解析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．21.设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【答案】解：（I）′＞令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，其充要条件为＞＞，得＜＜（1）当x∈（-1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴＜＜，a=-（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22-（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2-（2x2+2x）ln（1+x），（-＜x＜0）则h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）（1）当，时，h'（x）＞0，∴h（x）在，单调递增；（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴当，时， ＞故＞．【解析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于基础题．22.已知椭圆C1：（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设点P在抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N．当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．【答案】解：（I）由题意得，∴，所求的椭圆方程为，（II）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），P（t，t2+h），则抛物线C2在点P处的切线斜率为y'|x=t=2t，直线MN的方程为y=2tx-t2+h，将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2+（2tx-t2+h）2-4=0，即4（1+t2）x2-4t（t2-h）x+（t2-h）2-4=0，因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有△1=16[-t4+2（h+2）t2-h2+4]＞0，设线段MN的中点的横坐标是x3，则，设线段PA的中点的横坐标是x4，则，由题意得x3=x4，即有t2+（1+h）t+1=0，其中的△2=（1+h）2-4≥0，∴h≥1或h≤-3；当h≤-3时有h+2＜0，4-h2＜0，因此不等式△1=16[-t4+2（h+2）t2-h2+4]＞0不成立；因此h≥1，当h=1时代入方程t2+（1+h）t+1=0得t=-1，将h=1，t=-1代入不等式△1=16[-t4+2（h+2）t2-h2+4]＞0成立，因此h的最小值为1．【解析】（I）根据题意，求出a，b的值，然后得出椭圆的方程．（II）设出M，N，P的坐标，将直线代入椭圆，联立方程组，根据△判断最值即可．本题考查圆锥图象的综合利用，椭圆方程的应用，通过构造一元二次方程，利用根的判别式计算，属于中档题．。
浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第11章11.3 圆的方程
故y x的最大值为 2 6， 最小值为 2 6.
2 2 2 x y 表示圆上的点与原点距离的平方，
由平面几何知识可知，它在原点与圆心连线 与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又 圆心到原点的距离为2. 故x 2 y 2的最大值为(2 3) 2 7 4 3， 最小值为(2 3) 7 4 3.
2
点评：与圆有关的最值问题，常见的有以下 几种类型： yb ①形如μ= 形式的最值问题，可转 xa 化为动直线斜率的最值问题； ②形如 t=ax+by 形式的最值问题，可转化 为动直线截距的最值问题； ③形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转 化为动点到定点的距离平方的最值问题．
拓展训练：如果实数x，y满足方程
系是解题的关键．
拓展训练： 设定点M -3,4 ，动点N 在圆x 2 y 2 4 上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP， 求点P的轨迹方程．
解析：如图所示．设P( x，y )， N ( x0，y0 )，则线段OP的中点 x y 坐标为( ， )，线段MN的中点 2 2 x0 3 y0 4 坐标为( ， )． 2 2
1.圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心和半径分别 是( C ) A．(4，-6)，16 B．(2，-3)，4 C．(-2,3)，4 D．(2，-3)，16
2.方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆，则a 的取值范围是( C ) A.a∈R B.a≠1且a∈R
C.a≠0且a∈R
a≠0
点评：求圆的方程时，应根据条件选用合适 的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方 法：①几何法：通过研究圆的性质进而求出 圆的基本量；②代数法，即设出圆的方程， 用待定系数法求解.
浙江省杭州市塘栖中学高三数学复习作业理科(实验班)含答案(八)
高三理科数学高考复习作业选（8）班级__________姓名_________ 训练日期:___月___日1. 过原点且倾斜角为的直线与圆相交，则圆的半径为________，直线被圆截得的弦长为______________2. 若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线4+=kx y 分为面积相等的两部分，则k 的值是________3． 若对于任意的[]1,2x ∈，2(1)0x a x a -++≤恒成立，则实数a 的取值范围是 。
4. 在矩形A B C D 中，1,,A B A P ==为矩形内一点，且AP =，若(,)A P A B A D R λμλμ=+∈，则λ的最大值为_______。
5. 在中，内角的对应边分别为，已知。
（1）求的值； （2）若，求面积的最大值。
6. 设数列{}n a 的前n 项和记为n S , 且n n a S -=2，n N *∈，设函数x x f 21log )(=，且满足)(n n a f b =，数列{}n b 的前n 项和记为n T （Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式及n T ； (Ⅱ)记n n n n c b a c 求,⋅=的最大值。
60︒2240x y y +-=ABC ∆,,A B C ,,a b c sin cos a c B b C =+A C+b =ABC ∆7. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD ，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点.（Ⅰ）求证：AF ∥平面PCE ；(Ⅱ) AD 与平面PCD 所成的角的大小。
8. 已知函数。
（Ⅰ）求证：函数的图象与轴恒有公共点； （Ⅱ）当时，求函数的定义域；（Ⅲ）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围。
2()(1)1,f x ax a x a R =-++∈()f x x 0a>y =0m >x 1()f x m m=+a参考答案：1、 2、317- 3、2a ≥ 45．sin sin sin sin cos 2sin sin[-()]sin()sin()sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin 4(0,)sin 0cos sin tan 1(0A C B B C A B C B C B C B C B C C B B CB C C B C C B B B B ππ=+=+=+∴+=+=+∴=∈≠∴==∈(Ⅰ)由正弦定理得到：………………………………分……………………………………………………………分，，即且,)37442222cos 222922222121sin 24B AC b a c ac B a c a c ac ac a c S ac B ac ABC ABC πππ∴=+==+-∴=+∴+=+≥≤=+====∴，即……………………………………………………………分(Ⅱ)由余弦定理得：………………………………………………………………分，即当且仅当时等号成立………………………………分15分6．(本题满分15分)（Ⅰ）n n a S -=2 11=∴a ……………………………………………………………2分n n n n n n n a a a a S S a -=---=-=---111)2(2)2(21≥=∴-n a a n n 则数列{}n a 是公比1,211==a q 的等比数列， 所以 1)21(-=n n a …………………6分∴1)(-==n a f b n n ，22)10(2nn n n T n -=-+=∴ …………………8分(Ⅱ) 1)21)(1(--=n n n c …………………10分由.21,.323211最大值为最大即得c c n c c c c n n n n =≤≤⎩⎨⎧≥≥+- …………………15分7.(本题满分15分)（Ⅰ）证明: 取PC 的中点G ，连结FG 、EG∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG 21//CD ……………2分 ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点 ∴AE 21//CD ……………………………………3分 ∴FG //AE ∴四边形AEGF 是平行四边形…………4分 ∴AF ∥EG 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ∴AF ∥平面PCE ……………………………………………6分 （Ⅱ）解：∵ PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，PA AD=A ，∴CD ⊥平面ADP ……………………………………………………………… 7分 又AF ⊂平面ADP ， ∴CD ⊥AF …………………………………………… 8分 在直角三角形PAD 中，∵PA=AD 且F 是PD 的中点∴AF ⊥PD ，…………9分 又CD PD=D ∴AF ⊥平面PCD.………………………………………………10分 ∴ADP ∠就是AD 与平面PCD 所成的角. …………………………………12分 在直角三角形PAD 中，∵PA=AD ，∴∠PDA=45°…………………… 13分 ∴AD 与平面PCD 所成的角是45°. ……………………………………15分8．(本题满分15分)2()(1)(1)()(1,0)2(1)10(1)(1)011(,][1,);4101(,1][,)6()m 0f x ax x f x x ax a x ax x a x aa x a=--∴-++>-->>∈-∞+∞<<∈-∞+∞>(Ⅰ)的图像与轴恒有公共点………………………………分(Ⅱ)要使函数即当时，……………………………………………………分当时，………………………………………………分Ⅲ时，max 11m 2,m (||)81010()(0)()1221212t m my f x a y f x x f x y taa a +≥=+=≥+<=>==≥+令为偶函数，故只要讨论x>0时函数图像与y=t 图像有两个交点………分①a>0时，y=t 2与y=f(x)(x>0)只有一个交点，不符合题意，舍去…………分②a<0且x=时，单调递减，与无交点不合题意，舍去……………………………………………………………………分③a<0且x=2(1)0()(0)1243315a y f x x a a a a +>=>->∴<--<--时，只要的最大值综上分。
浙江省杭州市塘栖中学高三数学一轮复习课件(理) 第11章11.8 直线与圆锥曲线的位置关系
2 设A(x1，y1 )，B(x2，y2 )，由题意知C 1, 0．
由①得y1 uuur
y2
2k 1 3k 2
，② uuur
因为AC uuur
(1 uuur
x1，
y1 )
2CB (x2 1，y2 )．
由AC 2CB，得y1 2 y2 .③
由②③联立，解得y2
2k ， 1 3k2
OAB的面积S OC • y1 y2
k 3,
• 令Δ＜0,即48-32k＜0,此时
k
3
2 .
2
• 所以当 k 或2 k 3 2或k不存在时，l与
C只有一个公共点；
• 当 k＜ 或2 2＜k＜ 2或 2＜k＜ 3 时
，l与C有两个交点；
2
• 当 k 时32 ，l与C没有交点.
考点2：弦长与中点弦的问题 例题2：设过原点的直线l与抛物线y2=4(x-1)交于A、B两点，且以AB为直径 的圆恰好过抛物线的焦点F.求： (1)直线l的方程； (2)|AB|的长．
同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原
点．(1)证明：a2>
；
3k 2
uuur uuur1 3k2
2 若AC 2CB，求OAB的面积的最大值．
分析：1 联立方程、消元、利用 0易证．
2 结合条件分析出SVOAB
1 2
OC
y1 y2 易求．
解析：1 证明：依题意，当k 0时，由a 0知，a2 0，
分析：(1)要注意讨论斜率k是否为0. (2)利用弦长公式．
解析：1设l：y kx，抛物线的焦点F 2,0，
由
y2 4(x y kx
1)
k 2 x2
4x
浙江省杭州市塘栖中学高三数学模拟练习试题 理(1)
浙江省杭州市塘栖中学2014高三数学模拟练习试题 理（1）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1、设n S 为等差数列{}n a 的前项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．52、（2011全国Ⅰ卷文科5）下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）A.1a b >+B.1a b >-C.22a b >D.33a b >3、当θ是第四象限时,两直线0cos 1sin =-++a y x θθ和0cos 1=+-+b y x θ的位置关系是 （ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．重合4、（2011重庆理科6）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足4)(22=-+c b a ，且C=60°，则ab 的值为 （ ）A ．43 B ．843- C ． 1 D ． 235、将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屈至多放一种文件，则文件A ，B 被放在相邻的抽屉内且文件C ，D 被放在不相邻的抽屉内的概率是 （ ）A ．221B ．421C ．821D ．176、设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称B ．()f x 的图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．把()f x 的图像向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图像D ．()f x 的最小正周期为π，且在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数 7、函数()sin ,[,],22f x x x x ππ=∈-12()()f x f x >若,则下列一定成立的是（ ）A ．021>+x x B ．2221x x > C ．21x x > D ．2221x x <8、在△ABC 中，“cos cos A B =”是“sin sin A B =”的 （ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件9、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．3y x =±B ．33y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±10、已知向量a ，b 满足||1,||2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a-b|等于 （ ）A ．3B ． 5C ．3D ．1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11、已知函数1, (0)()(), (0)x x f x g x x +<⎧=⎨>⎩为奇函数，则(2)g =________.12、 甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率分别是32，和43，则面试结束后通过的人数ξ的数学期望ξE 是 13、函数)1(log )(++=x a x f a x在［0，1］上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为14、（2011浙江理科14）若平面向量α，β满足|α|≤1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 ． 15、(2009湖北理科14) 已知函数()'()cos sin ,4f x f x x π=+则()4f π的值为 .16、（2009福建理科14） 若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________.17 、设实数y x ,满足条件2lg 12lg 122≤≤-≤≤⎩⎨⎧yxxy ，则43lg y x 的最大值为 三、解答题：本大题共5小题，共72分）18、(2011湖北理科16). 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知.11,2,cos 4a b C ===(Ⅰ) 求△ABC 的周长；(Ⅱ)求cos(A —C)19、已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和为14，且137,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项。
浙江省杭州市塘栖中学高三数学模拟练习试题 理(4)
浙江省杭州市塘栖中学2014高三数学模拟练习试题 理（4）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1、已知i 为虚数单位，则=+31i i（ ）(A) 0 (B) i -1 (C)i 2 (D) i 2-2、设集合{|1}A x y x ==+，集合2{|,}B y y x x R ==∈，则A B U =（ ）A ．φB ．[)0,+∞C ．[)1,+∞D ．[)1,-+∞ 3、已知∈b a ,R ，则“b a =”是“ab ba =+2”的 （ ） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4、200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为 （ ） （A ）65辆 （B ）76辆 （C ）88 辆 （D ）辆955、下列命题中，错误．．的是 （ ） （A ） 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 （B ）平行于同一平面的两个不同平面平行（C ）如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （D ）若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线6、设集合{}06|),(2=++=y a x y x A ，{++-=ay x a y x B 3)2(|),(}02=a ，若φ=B A I ，则实数a 的值为 （ ）(A) 3或1- (B) 0或3 (C) 0或1- (D) 0或3或1- 7、执行如图所示的程序框图，其输出的结果是 （ ）(A) 1 (B)21-(C) 45- (D) 813- 8、设点G 是ABC ∆的重心，若ο120=∠A ，1-=⋅AC AB ，则AG 的最小值是 （ ）(A)33 (B)32 (C)32 (D)439、已知()f x 是定义在实数集R 上的增函数，且(1)0f =，函数()g x 在(,1]-∞上为增函是否开始结束112y x =-4y =||1y x -<x y =输出y数，在[1,)+∞上为减函数，且(4)(0)0g g ==，则集合{|()()0}x f x g x ≥= （ ） （A ） {|014}x x x ≤≤≤或（B ）{|04}x x ≤≤（C ）{|4}x x ≤（D ）{|014}x x x ≤≤≥或10、设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是 （ ）(A)21 (B) 22 (C) 23 (D)41二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
浙江省杭州市塘栖中学高三数学模拟练习试题 理(3)
浙江省杭州市塘栖中学2014高三数学模拟练习试题 理（3）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1.设{}{},x |y x,y ,B R ,x x y|y A 2)(2+==∈==则=B A （ ）(A) ∅(B) {}4,1(C) {})4,2(),1,1(-(D) {})4,1(2.已知i 为虚数单位，复数i z +=31，i z -=12，则复数21z z z ⋅=在复平面内对应的点位于 （ ） (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 3.若命题甲:“p 且q 是真命题”,命题乙:“p 或q 是真命题”,则命题甲是命题乙的 （ ） (A)充要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件(D)既不充分也不必要条件4. 若3,6),,(~==ξξξD E p n B ，则)1(=ξP 的值为 （ ）(A) 223-⨯ (B) 42- (C) 1023-⨯ (D) 82-5. 若某程序框图如图所示，则输出的p 的值是 （ ）(A) 22 (B) 27 (C) 31 (D) 566. 在正方体1111D C B A ABCD -中，1BD 与D A 1所成的角为1α，1AB 与1BC 所成的角为2α，1AA 与1BD 所成的角为3α，则有 （ ） (A)123α<α<α (B) 132α<α<α (C)312α<α<α(D) 213α<α<α7. 已知点),(y x P ，)0,1(Q ，且实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+1012072x y x y x ，点O） (A)22 (B) 1010 (C)55(D)131338. 设,)1()1()1()32(1010221010-++-+-+=-x a x a x a a x 则1021a a a +++ 的值为 （ ）(A)1031- (B) 1310-- (C)1310- (D)09．用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为 （ ） A ．18 B ．108 C ．216 D ．432 10. 不同三点C B A ,,满足5:4:3)(:)(:)(=⋅⋅⋅，则这三点（ ）(第5题)(A)组成锐角三角形 (B)组成直角三角形 (C)组成钝角三角形 (D)在同一条直线上 二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
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拓展训练： 在已知抛物线y x 2上存在两个不
达定理等解决问题，是直线与圆锥曲线位置关系 中常用的方法．
(2)作差法．
在给定的圆锥曲线f(x，y)=0中，求中点为(m，n)
的弦AB所在直线方程时，一般可设A(x1，y1)，B(x2， y2)，利用A，B在曲线上，得f(x1，y1)=0，f(x2，y2)=0 及x1+x2=2m，
y1 y2 2n， y1 - y2 ，最后由点斜 x1 - x2
2 若AC 2CB，求OAB的面积的最大值．
1 3k
分析： 1 联立方程、消元、利用 0易证．
2 结合条件分析出S OAB
1 OC y1 y2 易求． 2
2 解析： 1 证明：依题意，当 k 0 时，由 a 0 知， a 0，
1 显然成立．当k 0时，y k x 1 可化为x y 1 k 1 将x y 1代入x 2 3 y 2 a 2，消去x， k 1 2 2 得( 2 3) y y 1 a 2 0.① k k 由直线l与椭圆相交于两个不同的点，
1.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个 公共点，这样的直线有( B ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2.若a≠b且ab≠0，则直线ax-y+b=0和二次 曲线bx2+ay2=ab的位置关系可能是( )
解析：由已知,直线方程可化为y= ax+b,其 中 a 为斜率， b 为纵截距，二次曲线方程可化 2 2 x y 为 应用淘汰法可知A、B、D均自相 1， a b 矛盾.故选C.
2k k ( x1 x2 ) 2k . 1 2k 2 1 又直线 y x 过线段AB的中点 2 x1 x2 y1 y2 ( , ), 2 2 k 1 2k 2 则 , 2 2 1 2k 2 1 2k源自解得k =0或k =-1.
若k=0,则直线l的方程为y=0,
设线段AB的中点为(x0,y0)，
则 k AB
1 1 又(x0,y0)在直线 y x上，所以 y0 x0， 2 2 x0 于是 2 y 1, 故kAB=-1, 0
x0 . 2 y0
所以直线l的方程为y=-x+1. 设右焦点(b,0)关于直线l的对称点为(x′,y′),
则
y 1 x b y x b 1, 2 2
消去y整理得,
（1+4k2）x2-16kx-64=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
16k 则x1+x2= 2 2, 2 1 4k 得 k 1, 2 64 32, 从而x1+x2=4, x1 x2 2 1 4k 因此 | PQ | 1 k 2 | x1 x2 |
(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0.(*) 当k2=2，即 时（*）为一次方程， 显然只有一解；k 2 当k2≠2时，
Δ=4（k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=48-32k.
3 令Δ=0，可解得 k ; 2 3 令Δ＞0，即48-32k＞0,此时 k , 32 令Δ＜0,即48-32k＜0,此时 k . 2 所以当k 2 或 k 3 2 或k不存在时，l
焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点 本身， 不可能在椭圆C上，所以k=0舍去，
从而k=-1，故直线l的方程为y=-(x-1),
即y=-x+1,以下同方法一.
联想“点差法”，从而应用点差法及点在直 1 线 y x
2
1 点评： 由题设情境中点在直线 y x上， 2
上而求得直线 l 的方程，进一步应用对 称的几何性质求得“对称点”，利用“对称 点”在椭圆上求得椭圆方程，同时应注意， 涉及弦的中点与弦的斜率问题常常可应用 “点差法”求解.
点评：有关弦中点的轨迹、中点弦所在直线的方
程、中点坐标问题，一般采用如下两种方法：
(1)“设而不求”的方法． 若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般 地，首先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，其 中有四个参数x1，y1，x2，y2，它们只是过渡性
符号，通常是不需要具体求出的，但有利于用韦
与C只有一个公共点； l与C有两个交点；
3 当k＜ 2 或 2＜k＜ 2 或 2＜k＜ 时， 2 3 当 k 时，l与C没有交点. 2
考点2：弦长与中点弦的问题
例题2：设过原点的直线l与抛物线y2=4(x-1)交于
A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线的 焦点F.求： (1)直线l的方程； (2)|AB|的长． 分析：(1)要注意讨论斜率k是否为0. (2)利用弦长公式．
1 k | x1 x2 | =
2
1 1 2 · | y1 y2 |.当直线与圆 k
锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达 定理”设而不求计算弦长.
考点1：直线与圆锥曲线的位置关系
例题1：(2010· 枣庄模拟)设直线l：y=k(x+1) 与椭圆x2+3y2=a2(a>0)相交于A、B两个不同 的 点 ， 与 x 轴 相 交 于 点 C ， 记 O 为坐 标 原 2 3 k 点．(1)证明：a2> ； 2
(2) 当 a=0 时，即得到一个一次方程，则 l 与C相交，且只有一个交点，此时，若曲线C 为双曲线，则l 平行 于双曲线的渐近线； 若C为抛物线，则l 平行 于抛物线的对称轴.
3.弦长公式
连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥
曲线的弦.要能熟练地利用方程与根的系数关
系来计算弦长，常用的弦长公式|AB|=
2 2 1 得 ( ) 4( 2 3) 1 a 2 0， k k 2 3 k 化简整理得a 2 .原命题得证． 2 1 3k 2 设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，由题意知C 1, 0 ． 2k 由①得y1 y2 ，② 2 1 3k 因为AC (1 x1， y1 ) 2CB ( x2 1，y2 )． 由AC 2CB，得y1 2 y2 .③ 2k 由②③联立，解得y2 ， 1 3k 2
从而a2=2b2,c=b.
设椭圆的方程为x2+2y2=2b2, A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则 x 2 y 2b , x 2 y 2b ,两式相减得，
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x1 x2 ) 2( y1 y2 ) 0, y1 y2 x1 x2 . 即 x1 x2 2( y1 y2 )
拓 展 练 习 ： 已 知 双 曲 线 C:2x2-y2=2 与 点 P(1,2), 求过点 P（ 1 ，2 ）的直线 l的斜率的取值 范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没 有交点.
解析： ①当l垂直x轴时，此时直线与双 曲线相切. ②当l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y2=k(x-1)，代入双曲线C的方程中，并整理得：
从而a2=2b2,c=b.
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,
直线l的方程为y=k(x-1).
将直线l的方程代入椭圆C的方程，
得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,
4k 2 则 x1 x2 , 2 1 2k
故 y1 y2 k ( x1 1) k ( x2 1)
y x 3.直线y=kx-k+1与椭圆 1 的位置关系 9 4
2
2
为( A ) A．相交 C．相离
B．相切 D．不确定
4.直线y=kx-2与椭圆x2+4y2=80相交于不同 的两点P、Q,若PQ的中点的横坐标为2,则弦长 |PQ|等于 6 5 .
解析：由于 y=kx-2
x2+4y2=80，
故可求出斜率k AB
式写出直线AB的方程．
考点3：直线与圆锥曲线的综合问题 例题3：过点(1,0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴
上且离心率为 2 的椭圆C相交于A、B两点，直线 2 1 y x 过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一 2 点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方
程.
2 2 c 2 a b 1 , 得 解析：方法1：由e , 2 a 2 a 2
所以 AF BF 0(或用k AF k BF 1)， 又 AF (2 x1， y1 )， BF (2 x2， y2 )， 得k 2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 4 0， 2 2 代入得k ，所以l：y x. 2 2 2 由1 得x1 x2 8，x1 x2 8， AB (1 k 2 )[( x1 x2 )2 4 x1 x2 ] 4 3， 所以弦AB的长为4.
点评：求直线被二次曲线截得的弦长，通常是将 直线与二次曲线方程联立，得到关于x(或y)的一元
二次方程，然后利用韦达定理及弦长公式求解．
拓展训练：本例中将“以AB为直径的圆恰好
过抛物线的焦点F”改为“AB的中点为(2,3)”，
求l的方程． 解析：设A( x1，y1 )，B ( x2，y2 )，
y12 4( x1 1) 则 2 ， y2 4( x2 1) ① ②，得 y1 y2 y1 y2 4 x1 x2 ， y1 y2 y1 y2 2 因为 3，所以kl 2 x1 x2 3 2 故直线l的方程为y x. 3
解析： 1 设l：y kx，抛物线的焦点F 2,0 ， y 2 4( x 1) 由 k 2 x 2 4 x 4 0. y kx 当k 0时，l与x轴重合，不合题意， 所以k 0. 设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )， 4 4 则x1 x2 2 ，x1 x2 2 . k k 因为AF BF，