红对勾理科数学7-6
《红对勾》2016高考新课标数学(理)大一轮复习第二章函数、导数及其应用课时作业7Word版含答案
课时作业7 二次函数与幂函数一、选择题1．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A. 3 B ．±3 C ．±9D ．9解析：由已知条件可得4α＝22α＝2，所以α＝12，则f (x )＝x 12＝x ，故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9，选D.答案：D2．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过的象限是( )A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二、四象限解析：画出函数图象即可． 答案：D3．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( )A ．lg x >x12>2xB ．2x>lg x >x12C ．x 12>2x >lg xD ．2x >x 12>lg x 解析：当x ∈(0,1)时，2x ∈(1,2)，x12∈(0,1)，lg x ∈(－∞，0)，所以2x >x12>lg x .答案：D4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0. 答案：D5．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：设x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0,1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)，又f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )，∴f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)，∴当x ＝－32时，取到最小值为－116.答案：A6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－2B ．a >－2C ．a >－6D ．a <－6解析：不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以g (x )≤g (4)＝－2，所以a <－2. 答案：A 二、填空题7．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：由f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，4]，可知b ≠0，∴f (x )为二次函数，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2.∵f (x )为偶函数，∴其对称轴为x ＝0，∴－(2a ＋ab )＝0，解得a ＝0或b ＝－2.若a ＝0，则f (x )＝bx 2，与值域是(－∞，4]矛盾，∴a ≠0，b ＝－2，又f (x )的最大值为4，∴2a 2＝4，∴f (x )＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋48．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a24－c <0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎨⎧2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：99．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x 0∈[－1,2]时，由f (x )＝x 2－2x 得f (x 0)∈[－1，3]，又对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，∴当x 1∈[－1,2]时，g (x 1)∈[－1,3]．当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，12.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3， ∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.11．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)， ∴f (x )在[1，a ]上是减函数． 又定义域和值域均为[1，a ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3.又a ≥2，∴2≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[2,3]．1．幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如上图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<mC ．－1<m <0<nD ．－1<n <0<m <1 解析：在第一象限作出幂函数y ＝x ，y ＝x 0的图象，在(0,1)内作直线x ＝x 0与各图象的交点，由“点低指数大”，如上图，知－1<n <0<m <1，故选D.答案：D2．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)解析：当x 2－1－(4＋x )≥1时，x ≥3或x ≤－2；当x 2－1－(4＋x )<1时－2<x <3，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x ，x ≥3或x ≤－2x 2－1，－2<x <3，f (x )的图象如下图所示，y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴有三个不同交点转化为y ＝f (x )与y ＝－k 有三个不同交点，由图可知－1<－k ≤2，故－2≤k <1.答案：D3．若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1、x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )min ]min ≥8，又在二次函数的图象上，区间[t －1，t ＋1]离对称轴越远，f (x )max －f (x )min 越大，所以当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，为f (t ＋1)－f (t )＝a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：84．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a .其中a ∈R 且a ≠0. (1)若函数f (x )与g (x )的图象的一个公共点恰好在x 轴上，求a 的值；(2)若p 和q 是方程f (x )－g (x )＝0的两根，且满足0<p <q <1a ，证明：当x ∈(0，p )时，g (x )<f (x )<p －a .解：(1)设函数g (x )图象与x 轴的交点坐标为(a,0)， 又∵点(a,0)也在函数f (x )的图象上，∴a 3＋a 2＝0. 而a ≠0，∴a ＝－1.(2)由题意可知f (x )－g (x )＝a (x －p )(x －q )． ∵0<x <p <q <1a ，∴a (x －p )(x －q )>0，∴当x ∈(0，p )时，f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )．又f (x )－(p －a )＝a (x －p )(x －q )＋x －a －(p －a )＝(x －p )(ax －aq ＋1)，x －p <0，且ax －aq ＋1>1－aq >0，∴f (x )－(p －a )<0，∴f (x )<p －a ，综上可知，g (x )<f (x )<p －a .。
2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件7-1
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第七章·第1节
第10页
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(1)(2019·青岛模拟)以下命题：
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为 ( B )
A．0
B．1
C．2
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解析：①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线； ②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的 面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组 成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的 多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
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第七章
立体几何
第七章 立体几何
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第1页
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第1节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图
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第七章·第1节
第2页
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考纲考情
考向预测
1.认识柱、锥、台、球及其简单组
合体的结构特征，并能运用这些 从近三年高考情况来看，
特征描述现实生活中简单物体的 结构．
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第七章·第1节
第14页
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考点二 空间几何体的三视图 角度 1 已知几何体，识别三视图
(2019·珠海质检)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥，得
到如图 2 所示的几何体，则该几何体的侧视图为( B )
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第七章·第1节
《红对勾理科数学》课件
欢迎来到《红对勾理科数学》PPT课件。这个课件将带你从基础的数学符号和 术语出发，深入浅出地一步一步带你掌握代数学、几何学、微积分学、线性 代数和其他数学领域的知识。
数学符号和术语
符号集合介绍
让我们通过深入了解数学中的符号来打好基础。
正负数和绝对值
认识正、负数和绝对值在数学中的应用。
变量和常数
学习变量和常数之间的区别，以及如何在数学运算 中使用它们。
平均数、中位数和众数
这些统计术语不仅重要，也容易被混淆。我们将讨 论它们的含义和应用。源自代数学立方和平方公式
这些公式在代数学和其他数学领域中都起到至 关重要的作用。了解它们的推导和应用。
多项式和因式分解
多项式和因式分解相关的概念和方法在代数学 中非常常见且重要。
极限和连续性
学会如何计算极限和判断一个函数是否连续。
积分和微分
了解积分和微分的基础概念和计算方法。
微积分中的应用
在实际应用中，微积分有着广泛的应用，包括财务、 经济学、物理和机器学习等领域。
其他数学
线性代数和矩阵理论
线性代数和矩阵理论在计算机科学、物理学等领域中有着广泛的应用和研究。
数学逻辑和证明方法
在现代科学中，使用形式化的数学语言来阐述问题和证明是非常必要的。
数论和离散数学
数论是纯数学中的研究领域之一，而离散数学是应用数学中的一个子领域。
组合数学和图论
从数学的角度分析那些看似随意的组合问题是 组合数学的核心内容之一。
拓扑学和几何拓扑学
拓扑学和几何拓扑学是从点、线、面等几何概 念中抽象出来的一类数学领域。
3
圆、椭圆和抛物线
圆、椭圆和抛物线在几何学中起着重要的
《红对勾》2016高考新课标数学(理)大一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业19Word版含答案
课时作业19 同角三角函数基本关系式与诱导公式一、选择题1．sin 29π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－29π3－tan 25π4＝( )A ．0 B.12 C ．1D ．－12解析：原式＝sin(4π＋5π6)＋cos(－10π＋π3)－tan(6π＋π4)＝sin 5π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0.答案：A2．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A.35B.53C.45D.54解析：由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.答案：B3．已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( )A ．0 B.95 C.43D.53解析：sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.答案：B4．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( ) A ．7 B.17 C ．－17D ．－7解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴tan α＝34.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝tan π4－tan α1＋tan π4·tan α＝1－341＋34＝17. 答案：B5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25 C ．－2D ．2解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5即tan α＝2，所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25.答案：A6．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13D ．－13解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝169，∴sin2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－sin2θ＝－23. 答案：B 二、填空题7．(tan x ＋1tan x )cos 2x 化简的结果是________． 解析：(tan x ＋1tan x )cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos x sin x )cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x . 答案：1tan x8．已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值为________．解析：∵tan α＝y x ＝－34，∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34. 答案：－349．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________.解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，又－π<α<－π2，∴7π12<π12－α<13π12，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.答案：－223 三、解答题10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin (θ－3π2)cos (θ－π)－sin (3π2＋θ)的值． 解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13， ∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos (2π－θ)－sin (3π2－θ)cos (π－θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2(－13)2＝18. 11．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)∵sin A ＋cos A ＝15，① ∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225，(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0， ∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35， ∴tan A ＝sin Acos A ＝45－35＝－43.1．已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32π－θ)的值是( )A.229 B ．－229 C ．－19D.19解析：∵sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝223.∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ ＝－13×223＝－229. 答案：B2．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是( )A.14B.12 C ．2D ．4解析：当0<x <π4时，0<tan x <1， f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x ，设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥1[t ＋(1－t )2]2＝4.当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立． 答案：D3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 答案：04．在平面直角坐标系xOy 中，钝角α＋π4的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合．若角α＋π4的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，t .(1)求sin α的值；(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α，求f (1)＋f (2)＋…＋f (9)． 解：(1)由三角函数的定义，得 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45. sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＝7210.(2)f (1)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，f (2)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2＋α＝－cos α，f (3)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α，f (4)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π2＋α＝cos α，f (5)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×5＋α＝－sin α. ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α的最小正周期T ＝4. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (9)＝2×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)． 从而f (1)＋f (2)＋…＋f (9)＝2×0－sin α＝－7210.。
2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件全书word - 副本2
(2019·安徽合肥一中模拟)如图,四棱锥P ABCD 中,E 为AD 的中点,PE ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形,AB ∥CD ,AB ＝2DC ＝23,AC ∩BD ＝F ,且△P AD 与△ABD 均为正三角形,G 为△P AD 重心.(1)求证：GF ∥平面PDC ；(2)求三棱锥G PCD 的体积.解：(1)证明：连接AG 并延长交PD 于H ,连接CH .由四边形ABCD 是梯形,AB ∥CD ,且AB ＝2DC ,知AF FC ＝21,又G 为△P AD 的重心,∴AG GH ＝21,在△ACH 中,AG GH ＝AF FC ＝21,故GF ∥HC .又HC ⊂平面PDC ,GF ⊄平面PDC ,∴GF ∥平面PDC .(2)由AB ＝23,△P AD ,△ABD 为正三角形,E 为AD 中点得PE ＝3, 由(1)知GF ∥平面PDC ,又PE ⊥平面ABCD ,∴V G PCD ＝V F PCD ＝V P CDF ＝13·PE ·S △CDF , 由四边形ABCD 是梯形,AB ∥CD ,且AB ＝2DC ＝23,△ABD 为正三角形,知DF ＝13BD ＝233,∠CDF ＝∠ABD ＝60°,∴S △CDF ＝12CD ·DF ·sin ∠CDF ＝32,∴V P CDF ＝13PE ·S △CDF ＝32,∴三棱锥GPCD 的体积为32. 考点三 面面平行的判定与性质如图所示,在三棱柱ABCA 1B 1C 1中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A 1B 1,A 1C 1的中点,求证：(1)B ,C ,H ,G 四点共面；(2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明：(1)∵G ,H 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线,则GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ,∴GH ∥BC ,∴B ,C ,H ,G 四点共面.(2)∵E ,F 分别为AB ,AC 的中点,∴EF ∥BC ,∵EF ⊄平面BCHG ,BC ⊂平面BCHG ,∴EF ∥平面BCHG .又G ,E 分别是A 1B 1,AB 的中点,A 1B 1綊AB ,∴A 1G 綊EB ,∴四边形A 1EBG 是平行四边形,∴A 1E ∥GB .∵A 1E ⊄平面BCHG ,GB ⊂平面BCHG ,∴A 1E ∥平面BCHG .又∵A 1E ∩EF ＝E ,∴平面EF A 1∥平面BCHG .【条件探究1】 在本典例中,若将条件“E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A 1B 1,A 1C 1的中点”变为“点D ,D 1分别是AC ,A 1C 1上的点,且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”,试求AD DC 的值.解：连接A 1B 交AB 1于O ,连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1,且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1,平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ,所以BC 1∥D 1O ,则A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ＝1. 又由题设A 1D 1D 1C 1＝DC AD , ∴DC AD ＝1,即AD DC ＝1.【条件探究2】 在本典例中,若将条件“E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A 1B 1,A 1C 1的中点”变为“D 1,D 分别为B 1C 1,BC 的中点”,求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D .证明：如图所示,连接A1C交AC1于点M,∵四边形A1ACC1是平行四边形,∴M是A1C的中点,连接MD,∵D为BC的中点,∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1,DM⊄平面A1BD1,∴DM∥平面A1BD1,又由三棱柱的性质知,D1C1綊BD,∴四边形BDC1D1为平行四边形,∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,又DC1∩DM＝D,DC1,DM⊂平面AC1D,因此平面A1BD1∥平面AC1D.1.判定面面平行的四种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用).(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(客观题可用).2.面面平行的应用(1)两平面平行,构造与之相交的第三个平面,可得交线平行.(2)两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行,可用于证明线面平行.(2019·唐山质检)如图所示,四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图所示,设DF与GN交于点O,连接AE,则AE必过点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO.因为BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE ∥GN.因为DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D,BD,DE⊂平面BDE,所以平面BDE∥平面MNG.1.(2018·浙江卷)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:∵m⊄α,n⊂α,m∥n,∴m∥α,故充分性成立,而由m∥α,n⊂α,得m∥n或m与n异面,故必要性不成立,故选A.2.(2017·全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(A)【解析】:解法一：B选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ；C选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ；D选项中,AB∥NQ,且AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ.故选A.解法二：A选项中(如图),连接CB交MN于D,连接DQ,则平面MNQ 与平面ABC的交线为DQ,在△ABC中,Q为AC的中点,而点D为CB 的四等分点,所以AB与DQ不平行,从而可知AB与平面MNQ不平行,故选A.3.(2016·全国卷Ⅱ)α,β是两个平面,m ,n 是两条直线,有下列四个命题：①如果m ⊥n ,m ⊥α,n ∥β,那么α⊥β.②如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n .③如果α∥β,m ⊂α,那么m ∥β.④如果m ∥n ,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有②③④__.(填写所有正确命题的编号)【解析】:对于①,由m ⊥n ,m ⊥α可得n ∥α或n 在α内,当n ∥β时,α与β可能相交,也可能平行,故①错误；对于②,过直线n 作平面与平面α交于直线c ,由n ∥α可知n ∥c ,∵m ⊥α,∴m ⊥c ,∴m ⊥n ,故②正确；对于③,由两个平面平行的性质可知正确；对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的有②③④.4.(2018·全国卷Ⅲ)如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直,M 是CD ︵上异于C ,D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ,使得MC ∥平面PBD ？说明理由.解：(1)证明：∵平面ABCD 与半圆弧CD ︵所在平面垂直,平面ABCD ∩平面DMC ＝DC ,且AD ⊥DC ,∴AD ⊥平面MCD .∵CM ⊂平面MCD ,∴AD ⊥CM .∵M 是半圆弧CD ︵上异于C ,D 的点,∴CM ⊥MD .又DM ∩AD ＝D ,且DM ,AD ⊂平面ADM ,∴CM ⊥平面ADM .∵CM ⊂平面BMC ,∴平面AMD ⊥平面BMC .(2)线段AM 上存在点P 且P 为AM 的中点,理由如下：如图,连接BD ,AC 交于点O,则O 为AC 的中点,连接PD ,PB ,PO .∵在矩形ABCD 中,O 是AC 的中点,P 是AM 的中点,∴OP ∥MC .∵OP ⊂平面PBD ,MC ⊄平面PBD ,∴MC ∥平面PBD .第5节 直线、平面垂直的判定及其性质考点一直线与平面垂直的判定与性质(1)(2019·湖南益阳模拟)如图所示,在四棱锥P ABCD中,平面P AB⊥平面ABCD,AD∥BC,AD＝2BC,∠DAB＝∠ABP＝90°.①求证：AD⊥平面P AB；②求证：AB⊥PC.证明：①因为∠DAB＝90°,所以AD⊥AB.因为平面P AB⊥平面ABCD,且平面P AB∩平面ABCD＝AB,所以AD⊥平面P AB.②由①知AD⊥AB,因为AD∥BC,所以BC⊥AB.又因为∠ABP＝90°,所以PB⊥AB.因为PB∩BC＝B,所以AB⊥平面PBC,因为PC⊂平面PBC,所以AB⊥PC.(2)如图所示,在四棱锥P ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC ⊥CD,∠ABC＝60°,P A＝AB＝BC,E是PC的中点.证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE.证明：①在四棱锥P ABCD中,∵P A⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴P A⊥CD.又∵AC⊥CD,P A∩AC＝A,P A,AC⊂平面P AC,∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC,∴CD⊥AE.②由P A＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝P A.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由①知AE⊥CD,且PC∩CD＝C,PC,CD⊂平面PCD,∴AE⊥平面PCD,而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD,且P A∩AD＝A,∴AB⊥平面P AD,而PD⊂平面P AD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A,AB,AE⊂平面ABE,∴PD⊥平面ABE.【结论探究】在本典例(1)中,若点E在棱PD上,且CE∥平面P AB,求PEPD的值.解：过E作EF∥AD交P A于F,连接BF.因为AD∥BC,所以EF∥BC.所以E,F,B,C四点共面.又因为CE∥平面P AB,且CE⊂平面BCEF,平面BCEF∩平面P AB＝BF,所以CE∥BF, 所以四边形BCEF为平行四边形,所以EF＝BC＝12AD.在△P AD中,因为EF∥AD,所以PEPD＝EFAD＝12,即PEPD＝12.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(2019·广东茂名模拟)如图,在三棱锥P ABC中,P A⊥AC,PC⊥BC,M为PB的中点,D为AB的中点,且△AMB为正三角形.(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝2BC ,三棱锥PABC 的体积为1,求点B 到平面DCM的距离.解：(1)证明：在正三角形AMB 中,D 是AB 的中点,所以MD ⊥AB .因为M 是PB 的中点,D 是AB 的中点,所以MD ∥P A ,故P A ⊥AB .又P A ⊥AC ,AB ∩AC ＝A ,AB ,AC ⊂平面ABC ,所以P A ⊥平面ABC .因为BC ⊂平面ABC ,所以P A ⊥BC .又PC ⊥BC ,P A ∩PC ＝P ,P A ,PC ⊂平面P AC ,所以BC ⊥平面P AC .(2)设AB ＝x ,则MD ＝32x ,P A ＝3x ,由P A ＝2BC ,得BC ＝32x ,由(1)可知BC ⊥平面P AC ,又AC ⊂平面P AC ,所以BC ⊥AC ,所以AC ＝12x ,由三棱锥P ABC 的体积为 V ＝13·S △ABC ·P A ＝18x 3＝1,得x ＝2.设点B 到平面DCM 的距离为h .因为△AMB 为正三角形,所以AB ＝MB ＝2.因为BC ＝3,BC ⊥AC ,AC ＝1.所以S △BCD ＝12S △ABC ＝12×12·BC ·AC ＝12×12×3×1＝34.因为MD ＝3,由(1)知MD ∥P A ,P A ⊥平面ABC ,所以MD ⊥平面ABC ,因为DC ⊂平面ABC ,所以MD ⊥DC .在△ABC 中,CD ＝12AB ＝1,所以S △MCD ＝12·MD ·CD ＝12×3×1＝32. 因为V M BCD ＝V B MCD , 所以13S △BCD ·MD ＝13S △MCD ·h , 即13×34×3＝13×32×h ,所以h ＝32.故点B 到平面DCM 的距离为32.考点二 面面垂直的判定与性质(2018·江苏卷)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝AB ,AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ；(2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .证明：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1＝AB,所以四边形ABB1A1为菱形,所以AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.又因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.1.判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).2.证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑.(2)条件中告诉我们某种位置关系,就要联系到相应的性质定理,如已知两平面互相垂直,我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理.(3)在垂直关系的证明中,线线垂直是问题的核心,可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直,也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直.(2019·安徽淮北一中模拟)如图,四棱锥P ABCD的底面是矩形,P A⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且P A＝AD.(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求证：平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ,连接FG 、EG ,∵F 为PD 的中点,G 为PC 的中点,∴FG 为△CDP 的中位线,∴FG ∥CD ,FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形,E 为AB 的中点,∴AE ∥CD ,AE ＝12CD .∴FG ＝AE ,FG ∥AE ,∴四边形AEGF 是平行四边形,∴AF ∥EG ,又EG ⊂平面PEC ,AF ⊄平面PEC ,∴AF ∥平面PEC .(2)∵P A ＝AD ,F 为PD 的中点,∴AF ⊥PD ,∵P A ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,∴P A ⊥CD ,又∵CD ⊥AD ,AD ∩P A ＝A ,∴CD⊥平面P AD,∵AF⊂平面P AD,∴CD⊥AF,又PD∩CD＝D,∴AF⊥平面PCD,由(1)知EG∥AF,∴EG⊥平面PCD,又EG⊂平面PEC,∴平面PEC⊥平面PCD.考点三平行与垂直的综合问题角度1 平行、垂直中的探索性问题如图所示,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC＝CE,点F为CE的中点.(1)证明：AE∥平面BDF.(2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE？若存在,确定点P的位置,并加以证明；若不存在,请说明理由.解：(1)证明：连接AC交BD于O,连接OF,如图①.图①∵四边形ABCD是矩形,∴O为AC的中点, 又F为EC的中点,∴OF为△ACE的中位线,∴OF∥AE,又OF⊂平面BDF,AE⊄平面BDF,∴AE∥平面BDF.(2)当P为AE中点时,有PM⊥BE,证明如下：取BE中点H,连接DP,PH,CH.图②∵P为AE的中点,H为BE的中点,∴PH∥AB.又AB∥CD,∴PH∥CD,∴P,H,C,D四点共面.∵平面ABCD⊥平面BCE,平面ABCD∩平面BCE＝BC,CD⊂平面ABCD,CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE,又BE⊂平面BCE,∴CD⊥BE,∵BC＝CE,H为BE的中点,∴CH⊥BE,又CD∩CH＝C,∴BE⊥平面DPHC,又PM⊂平面DPHC,∴BE⊥PM,即PM⊥BE.角度2 折叠问题中的平行与垂直关系如图(1)所示,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,D为AC的中点,AE⊥BD于点E(不同于点D),延长AE交BC于点F,将△ABD沿BD 折起,得到三棱锥A1BCD,如图(2)所示.(1)若M是FC的中点,求证：直线DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由.解：(1)证明：∵D,M分别为AC,FC的中点,∴DM∥EF,又∵EF⊂平面A1EF,DM⊄平面A1EF,∴DM∥平面A1EF.(2)证明：∵EF⊥BD,A1E⊥BD,A1E∩EF＝E,A1E,EF⊂平面A1EF,∴BD⊥平面A1EF,又A1F⊂平面A1EF,∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直.理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD,平面BCD∩平面A1BD＝BD,EF⊥BD,EF ⊂平面CBD,∴EF⊥平面A1BD,又∵A1B⊂平面A1BD,∴A1B⊥EF,又∵DM∥EF,∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD,∵DM∩CD＝D,∴A1B⊥平面MCD,∴A1B⊥BD,与∠A1BD为锐角矛盾,∴直线A1B与直线CD不能垂直.角度3 空间位置关系与几何体的度量计算(2018·天津卷)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB＝2,AD＝23,∠BAD＝90°.(1)求证：AD⊥BC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.解：(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD＝AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.(2)如图,取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M 为棱AB 的中点,所以MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角.在Rt △DAM 中,AM ＝1,故DM ＝AD 2＋AM 2＝13.因为AD ⊥平面ABC ,所以AD ⊥AC .在Rt △DAN 中,AN ＝1,故DN ＝AD 2＋AN 2＝13.在等腰三角形DMN 中,MN ＝1,可得cos ∠DMN ＝12MN DM ＝1326.所以,异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326.(3)如图,连接CM .因为△ABC 为等边三角形,M 为边AB 的中点, 所以CM ⊥AB ,CM ＝ 3.又因为平面ABC ⊥平面ABD ,而CM ⊂平面ABC ,故CM ⊥平面ABD ,所以,∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角.在Rt △CAD 中,CD ＝AC 2＋AD 2＝4.在Rt △CMD 中,sin ∠CDM ＝CM CD ＝34.所以,直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34.1.与探索性问题有关的解题策略(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性.(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等分点中某一个,也可以根据相似知识建点.2.证明折叠问题中的平行与垂直,关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地,折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变,而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对于不变的关系可在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决.3. 利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程,缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.如图,在四棱锥P ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面P AC.(2)求证：平面P AB⊥平面P AC.(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得P A∥平面CEF？说明理由.解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC,且PC∩AC＝C,所以DC⊥平面P AC.(2)证明：因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C,所以AB⊥平面P AC.又AB⊂平面P AB,所以平面P AB⊥平面P AC.(3)棱PB上存在点F,使得P A∥平面CEF.理由如下：取PB的中点F,连接EF,CE,CF.因为E为AB的中点,所以EF∥P A.又因为P A⊄平面CEF,且EF⊂平面CEF,所以P A∥平面CEF.1.(2018·全国卷Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM中,AB＝AC＝3,∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB ⊥DA.(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且BP ＝DQ ＝23DA ,求三棱锥Q ABP 的体积.解：(1)证明：由已知可得,∠BAC ＝90°,即BA ⊥AC .又BA ⊥AD ,所以AB ⊥平面ACD .又AB ⊂平面ABC ,所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)解：由已知可得,DC ＝CM ＝AB ＝3,DA ＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ,所以BP ＝2 2.如图,过点Q 作QE ⊥AC ,垂足为E ,则QE 綊13DC .由已知及(1)可得,DC ⊥平面ABC ,所以QE ⊥平面ABC ,QE ＝1.因此,三棱锥Q -ABP 的体积为V Q -ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1. 2.(2016·江苏卷)如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,点F 在侧棱B 1B 上,且B 1D ⊥A 1F ,A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1＝A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F ＝A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.3.(2018·浙江卷)如图,已知多面体ABC A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC＝120°,A1A＝4,C1C＝1,AB＝BC＝B1B＝2.(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.解：(1)证明：由题意得BB1⊥AB,CC1⊥BC,AA1⊥AB,所以△ABB1为直角三角形,四边形BCC1B1为直角梯形.所以AB1＝2 2.在△ABC中,AB＝2,BC＝2,∠ABC＝120°,由余弦定理得AC＝2 3.在△ACC1中,由勾股定理得AC1＝13.同理,A1B1＝2 2.在直角梯形BCC1B1中可得B1C1＝5,则A1B21＋AB21＝AA21,所以∠AB1A1＝90°,所以AB1⊥A1B1.同理,AB1⊥B1C1.又A1B1∩B1C1＝B1,所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)如图,作CH⊥AB,垂足为H,结合CH⊥BB1知CH⊥平面A1ABB1.又CC1∥平面AA1B1B,所以CH为C1到平面A1ABB1的距离.在△BCH 中得∠CBH＝60°,BC＝2,所以CH＝3,所以直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为CH AC1＝313＝3913.第6节空间向量的运算及应用考点一 空间向量的线性运算如图所示,在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中,设AA 1→＝a ,AB →＝b ,AD →＝c ,M ,N ,P 分别是AA 1,BC ,C 1D 1的中点,试用a ,b ,c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.解：(1)∵P 是C 1D 1的中点,∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点,∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点,∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ,又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ,∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c. 用已知向量表示某一向量的方法(1)用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.(1)如图,在三棱锥OABC 中,M ,N 分别是AB ,OC 的中点,设OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,用a ,b ,c 表示NM →,则NM →等于( B)A.12(－a ＋b ＋c )B.12(a ＋b －c )C.12(a －b ＋c )D.12(－a －b ＋c )【解析】:NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB →＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC →＝12(a ＋b －c ).(2)如图所示,在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 的中点.用AB →,AD →,AA 1→表示OC 1→,则OC 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.【解析】:∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →),∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.考点二 共线、共面向量定理的应用如图所示,已知斜三棱柱ABC A 1B 1C 1,点M ,N 分别在AC 1和BC 上,且满足AM →＝kAC 1→,BN →＝kBC →(0≤k ≤1).(1)向量MN →是否与向量AB →,AA 1→共面？(2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？解：(1)∵AM →＝kAC 1→,BN →＝kBC →,∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →)＝(1－k )AB →－kAA 1→.∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →,AA 1→共面.(2)当k ＝0时,点M ,A 重合,点N ,B 重合,MN 在平面ABB 1A 1内, 当0＜k ≤1时,MN 不在平面ABB 1A 1内, 又由(1)知MN →与AB →,AA 1→共面, ∴MN ∥平面ABB 1A 1.1.证明空间三点P ,A ,B 共线的方法(1)P A →＝λPB →(λ∈R )；(2)对空间任一点O ,OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； (3)对空间任一点O ,OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1). 2.证明空间四点P ,M ,A ,B 共面的方法 (1)MP →＝xMA →＋yMB →；(2)对空间任一点O ,OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；(3)对空间任一点O ,OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； (4)PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →).已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.①求证：E ,F ,G ,H 四点共面； ②求证：BD ∥平面EFGH ；③设M 是EG 和FH 的交点,求证：对空间任一点O ,有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →).证明：①如图,连接BG ,则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →) ＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →,由共面向量定理的推论知：E ,F ,G ,H 四点共面. ②因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →)＝12BD →, 所以EH ∥BD .又因为EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH ,所以BD ∥平面EFGH .③找一点O ,并连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG ,如图所示. 由②知EH →＝12BD →,同理FG →＝12BD →, 所以EH →＝FG →,即EH 綊FG , 所以四边形EFGH 是平行四边形. 所以EG ,FH 交于一点M 且被M 平分. 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG → ＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫OC →＋OD →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →).考点三 空间向量数量积及应用如图所示,已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,CD 的中点,计算：(1)EF →·BA →. (2)EG →·BD →.解：设AB →＝a ,AC →＝b ,AD →＝c ,则|a |＝|b |＝|c |＝1,〈a ,b 〉＝〈b ,c 〉＝〈c ,a 〉＝60°. (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ,BA →＝－a ,所以EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝－12a ·c ＋12a 2＝－14＋12＝14.(2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12AB →＋(AC →－AB →)＋12(AD →－AC →) ＝－12AB →＋12AC →＋12AD → ＝－12a ＋12b ＋12c , BD →＝AD →－AB →＝c －a .所以EG →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a )＝12a 2－12a ·b ＋12b ·c ＋12c 2－a ·c ＝12－14＋14＋12－12＝12.【结论探究1】 本典例条件不变,求证：EG ⊥AB . 证明：由例3知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a ), 所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0.故EG →⊥AB →,即EG ⊥AB .【结论探究2】 本典例的条件不变,求EG 的长.解：由例3知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ,|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12, 则|EG →|＝22,即EG 的长为22.【结论探究3】 本典例的条件不变,求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值.解：由例3知AG →＝12b ＋12c ,CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a , cos 〈AG →,CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23,由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2, 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.1.空间向量数量积计算的两种方法(1)基向量法：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉.(2)坐标法：设a ＝(x 1,y 1,z 1),b ＝(x 2,y 2,z 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 2.空间向量数量积的三个应用如图,已知平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为1的正方形,AA 1＝2,∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .解：(1)设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,则|a |＝|b |＝1,|c |＝2,a ·b ＝0,c ·a ＝c ·b ＝2×1×cos120°＝－1. ∵AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c , ∴|AC 1→|＝|a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2 ＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋12＋22＋2(0－1－1)＝ 2. ∴线段AC 1的长为 2.(2)设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ, 则cos θ＝|cos 〈AC 1→,A 1D →〉|＝|AC 1→·A 1D →||AC 1→||A 1D →|.∵AC 1→＝a ＋b ＋c ,A 1D →＝b －c , ∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2, |A 1D →|＝(b －c )2＝|b |2－2b ·c ＋|c |2 ＝12－2×(－1)＋22＝7. ∴cos θ＝|AC 1→·A 1D →||AC 1→||A 1D →|＝|－2|2×7＝147.故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明：∵AA 1→＝c ,BD →＝b －a ,∴AA 1→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝(－1)－(－1)＝0, ∴AA 1→⊥BD →,即AA 1⊥BD .1.(2015·浙江卷)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2,b ·e 2＝52,且对于任意x ,y ∈R ,|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0,y 0∈R ),则x 0＝1__,y 0＝2__,|b |＝22 .【解析】:方法一：由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3,其中e 3⊥e i ,i ＝1,2, 由b·e 1＝2得x 0＋y 02＝2, 由b·e 2＝52得x 02＋y 0＝52,解得x 0＝1,y 0＝2,∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.方法二：∵e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1,e 2〉＝cos 〈e 1,e 2〉＝12, ∴〈e 1,e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0,e 2＝(1,0,0),b ＝(m ,n ,t ),则由题意知b ·e 1＝12m ＋32n ＝2,b·e 2＝m ＝52,解得n ＝32,m ＝52,∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ,∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2, 由题意,当x ＝x 0＝1,y ＝y 0＝2时,⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值1,此时t 2＝1,故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝8＝2 2. 2.(2018·北京卷)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CC 1⊥平面ABC ,D ,E ,F ,G 分别为AA 1,AC ,A 1C 1,BB 1的中点,AB ＝BC ＝5,AC ＝AA 1＝2.(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角B-CD-C1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交.解：(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为CC1⊥平面ABC,所以四边形A1ACC1为矩形.又E,F分别为AC,A1C1的中点,所以AC⊥EF.因为AB＝BC,所以AC⊥BE,所以AC⊥平面BEF.(2)解：由(1)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.又CC1⊥平面ABC,所以EF⊥平面ABC.因为BE⊂平面ABC,所以EF⊥BE.如图,建立空间直角坐标系E-xyz.由题意得B(0,2,0),C(－1,0,0),D(1,0,1),E(0,0,0),F(0,0,2),G(0,2,1).所以BC →＝(－1,－2,0),BD →＝(1,－2,1). 设平面BCD 的法向量为n ＝(x 0,y 0,z 0),则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2y 0＝0，x 0－2y 0＋z 0＝0. 令y 0＝－1,则x 0＝2,z 0＝－4. 于是n ＝(2,－1,－4).又因为平面CC 1D 的法向量为EB →＝(0,2,0), 所以cos 〈n ,EB →〉＝n ·EB →|n ||EB →|＝－2121.由题知二面角B -CD -C 1为钝角, 所以其余弦值为－2121.(3)证明：由(2)知平面BCD 的法向量为n ＝(2,－1,－4),FG →＝(0,2,－1).因为n ·FG →＝2×0＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝2≠0, 所以直线FG 与平面BCD 相交.第7节 立体几何中的向量方法考点一 利用空间向量证明平行问题 如图,在四面体ABCD 中,AD ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AD ＝2,BD ＝22,M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .证明：方法一 如图,取BD 的中点O ,以O 为原点,OD ,OP 所在直线分别为y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知,A (0,2,2),B (0,－2,0),D (0,2,0). 设点C 的坐标为(x 0,y 0,0).因为AQ →＝3QC →,所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点,故M (0,2,1). 又P 为BM 的中点,故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12,所以PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1), 故PQ →·a ＝0.又PQ ⊄平面BCD ,所以PQ ∥平面BCD . 方法二 在线段CD 上取点F ,使得DF ＝3FC , 连接OF ,同方法一建立空间直角坐标系, 写出点A ,B ,C 的坐标,设点C 坐标为(x 0,y 0,0). 因为CF →＝14CD →,设点F 的坐标为(x ,y,0), 则(x －x 0,y －y 0,0)＝14(－x 0,2－y 0,0),所以⎩⎨⎧x ＝34x 0，y ＝24＋34y 0，所以OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0.又由方法一知PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0,所以OF →＝PQ →,所以PQ ∥OF . 又PQ ⊄平面BCD ,OF ⊂平面BCD , 所以PQ ∥平面BCD .利用空间向量证明平行的方法如图所示,平面P AD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△P AD 是直角三角形,且P A ＝AD ＝2,E ,F ,G 分别是线段P A ,PD ,CD 的中点.求证：PB ∥平面EFG .证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△P AD 是直角三角形,且P A ＝AD ,∴AB ,AP ,AD 两两垂直,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),E (0,0,1),F (0,1,1),G (1,2,0).∴PB →＝(2,0,－2),FE →＝(0,－1,0),FG →＝(1,1,－1), 设PB →＝sFE →＋tFG →,即(2,0,－2)＝s (0,－1,0)＋t (1,1,－1), ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2,∴PB →＝2FE →＋2FG →,又∵FE →与FG →不共线,∴PB →,FE →与FG →共面. ∵PB ⊄平面EFG ,∴PB ∥平面EFG .考点二 利用空间向量证明垂直问题如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,AD ＝DE ＝2AB .求证：平面BCE ⊥平面CDE .证明：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ,则A (0,0,0),C (2a,0,0),B (0,0,a ),D (a ,3a ,0),E (a ,3a,2a ). 所以BE →＝(a ,3a ,a ),BC →＝(2a,0,－a ), CD →＝(－a ,3a,0),ED →＝(0,0,－2a ). 设平面BCE 的法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1), 由n 1·BE →＝0,n 1·BC →＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋3ay 1＋az 1＝0，2ax 1－az 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3y 1＋z 1＝0，2x 1－z 1＝0. 令z 1＝2,可得n 1＝(1,－3,2). 设平面CDE 的法向量为n 2＝(x 2,y 2,z 2), 由n 2·CD →＝0,n 2·ED →＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧ －ax 2＋3ay 2＝0，－2az 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3y 2＝0，z 2＝0.令y 2＝1,可得n 2＝(3,1,0). 因为n 1·n 2＝1×3＋1×(－3)＝0. 所以n 1⊥n 2,所以平面BCE ⊥平面CDE .【结论探究】 本典例中条件不变,点F 是CE 的中点,证明DF ⊥平面BCE .证明：易得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，a ,则DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－32a ，a ,又平面BCE的一个法向量为n 1＝(1,－3,2),则DF →＝a 2n 1,即DF →∥n 1,从而DF ⊥平面BCE .用空间向量证明垂直问题的方法如图所示,已知四棱锥PABCD 的底面是直角梯形,∠ABC ＝∠BCD ＝90°,AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ,侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .证明：(1)取BC 的中点O ,连接PO ,∵平面PBC ⊥底面ABCD ,△PBC 为等边三角形, 平面PBC ∩底面ABCD ＝BC ,PO ⊂平面PBC , ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点,以BC 所在直线为x 轴,过点O 与AB 平行的直线为y 轴,OP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD ＝1,则AB ＝BC ＝2,PO ＝3, ∴A (1,－2,0),B (1,0,0),D (－1,－1,0),P (0,0,3), ∴BD →＝(－2,－1,0),P A →＝(1,－2,－3).∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0, ∴P A →⊥BD →,∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ,连接DM ,则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32,PB →＝(1,0,－3),∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0, ∴DM →⊥PB →,即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0, ∴DM →⊥P A →,即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ,P A ,PB ⊂平面P AB , ∴DM ⊥平面P AB .∵DM ⊂平面P AD ,∴平面P AD ⊥平面P AB .考点三 用空间向量解决探索性问题角度1 与平行有关的探索性问题如图,在四棱锥P ABCD 中,平面P AD ⊥平面ABCD ,P A ⊥PD ,P A ＝PD ,AB ⊥AD ,AB ＝1,AD ＝2,AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ；(2)在棱P A 上是否存在点M ,使得BM ∥平面PCD ？若存在,求AMAP 的值；若不存在,说明理由.解：(1)证明：因为平面P AD ⊥平面ABCD ,平面P AD ∩平面ABCD＝AD ,AB ⊥AD ,AB ⊂平面ABCD ,所以AB ⊥平面P AD .所以AB ⊥PD . 又因为P A ⊥PD ,P A ∩AB ＝A , 所以PD ⊥平面P AB .(2)取AD 的中点O ,连接PO ,CO . 因为P A ＝PD ,所以PO ⊥AD .又因为PO ⊂平面P AD ,平面P AD ⊥平面ABCD , 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ,所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ,所以CO ⊥AD . 故PO ,CO ,OA 两两垂直. 建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.由题意得,A (0,1,0),B (1,1,0),C (2,0,0),D (0,－1,0),P (0,0,1). AP →＝(0,－1,1),DC →＝(2,1,0),DP →＝(0,1,1). 设平面PCD 的一个法向量n ＝(x ,y ,z ),则⎩⎨⎧DC →·n ＝0，DP →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1,得y ＝－2,z ＝2.所以平面PCD 的一个法向量n ＝(1,－2,2). 设M 是棱P A 上一点,则存在λ∈[0,1],使得AM →＝λAP →, 因此点M (0,1－λ,λ),BM →＝(－1,－λ,λ). 因为BM ⊄平面PCD ,所以要使BM ∥平面PCD ,当且仅当BM →·n ＝0, 即(－1,－λ,λ)·(1,－2,2)＝0,所以－1＋4λ＝0, 解得λ＝14.所以在棱P A 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ,此时AM AP ＝14. 角度2 与垂直有关的探索性问题如图,正方形ADEF 所在平面和等腰梯形ABCD 所在的平面互相垂直,已知BC ＝4,AB ＝AD ＝2.(1)求证：AC ⊥BF ；(2)在线段BE 上是否存在一点P ,使得平面P AC ⊥平面BCEF ？若存在,求出BPPE 的值；若不存在,请说明理由.解：(1)证明：∵平面ADEF ⊥平面ABCD ,平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ,AF ⊥AD ,AF ⊂平面ADEF ,∴AF ⊥平面ABCD .∵AC ⊂平面ABCD ,∴AF ⊥AC .过A 作AH ⊥BC 于H ,则BH ＝1,AH ＝3,CH ＝3,。
2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件7-7-1
2020
3.能用向量方法证明立体几何中 年高考将以空间向量为工具，
有关线面位置关系的一些简单定 证明空间线面关系的平行与
理．
垂直及空间角的计算求解问
4直.能线用与向平量面方、法平解面决与直平线面与所直成线角、题．试题以解答题的形式呈
的计算问题．
现，要求具有较强的运算能
5.了解向量方法在研究立体几何 力，试题难度中等.
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所以O→F＝34x0， 42＋34y0，0. 又由方法一知P→Q＝34x0， 42＋34y0，0， 所以O→F＝P→Q，所以 PQ∥OF.
又 PQ⊄平面 BCD，OF⊂平面 BCD， 所以 PQ∥平面 BCD.
证明：PQ∥平面 BCD.
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· 第七章·第7节 第一课时 第7页
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证明：方法一 如图，取 BD 的中点 O，以 O 为原点，OD， OP 所在直线分别为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz.
由题意知，A(0， 2，2)，B(0，－ 2，0)，D(0， 2，0)． 设点 C 的坐标为(x0，y0,0)．
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· 第七章·第7节 第一课时 第14页
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则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)， F(0,1,1)，G(1,2,0)．
∴P→B＝(2,0，－2)，F→E＝(0，－1,0)，F→G＝(1,1，－1)， 设P→B＝sF→E＋tF→G， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
红对勾理科数学7 6【精选】
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第七章·第六节
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4．空间向量坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
数量积 共线 垂直
a·b a＝λb(b≠0)
a·b＝0
a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
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必考部分
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第七章 立体几何
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第六节 空间向量及其运算
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第七章·第六节
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考纲解读 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌 握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判断向量 的共线与垂直.
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第七章·第六节
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如图，O→E＝12O→A＋12O→D＝12O→A＋14O→B＋14O→C＝12a＋14b＋ 1 4c.
温馨提示：1.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置 选取无关，这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹 角、“点点”距离是固定的，坐标系的位置不同，只会影 响其计算的繁简．
2．进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系， 将向量运算转化为坐标运算．
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第七章·第六节
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.
答案：A
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第七章·第六节
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红对勾高三数学讲义手册知识点答案
红对勾高三数学讲义手册知识点答案高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)中考数学必修知识点概括必修课程二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
这部分科学知识就是高一学生的难点，比如说：一个角实际上就是一个锐角，但是在图中表明的钝角等等一些问题，须要学生的立体意识较强。
这部分科学知识中考占到22---27分后2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。
中考数学必修知识点概括必修课程四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。
2、平面向量：中考不单独命题，极易和三角函数、圆锥曲线融合命题。
09年理科占5分后，文科占13分后。
高考数学必考知识点归纳必修五：1、求解三角形：(正、余弦定理、三角并集转换)中考中理科占22分后左右，文科数学占13分后左右2、数列：中考必修，17---22分后3、不等式：(线性规划，听讲时易认知，但做题较繁杂，应当掌控技巧。
中考必修5分后)不等式不单独命题，通常和函数融合谋最值、边值问题。
高考数学必考知识点归纳文科选修：报读1--1：重点：中考占到30分后1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考2、圆锥曲线：3、导数、导数的应用(高考必考)报读1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)。
中考数学必修知识点概括理科报读：选修2--1：1、逻辑用语2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数报读2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌控这部分知识点须要大量做题打听规律，并无技巧。
《红对勾》2016人教版高中数学必修一模块综合评估Word版含答案
模块综合评估时限：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合M ＝{x |x <3}，N ＝{x |log 2x >1}，则M ∩N 等于( ) A ．∅ B ．{x |0<x <3} C ．{x |1<x <3}D ．{x |2<x <3}2．设U 是全集，集合A ，B 满足A B ，则下列式子中不成立的是( )A ．A ∪(∁UB )＝U B ．A ∪B ＝BC ．(∁U A )∪B ＝UD ．A ∩B ＝A3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f [f (2)]等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．34．下列函数中，随x 增大而增大速度最快的是( ) A ．y ＝2 006ln x B ．y ＝x 2 006 C ．y ＝e x2 006 D ．y ＝2 006·2x5．设a ＝0.7 12 ，b ＝0.8 12，c ＝log 30.7，则()A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <b <cD ．b <a <c6．函数y ＝a x －2＋log a (x －1)＋1(a >0，a ≠1)的图象必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,1)D ．(2,2)7．已知函数f (x )＝m ＋log 2x 2的定义域是[1,2]，且f (x )≤4，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)8．已知x 2＋y 2＝1，x >0，y >0，且log a (1＋x )＝m ，log a 11－x ＝n ，则log a y 等于( )A ．m ＋nB ．m －n C.12(m ＋n )D.12(m －n )9．函数y ＝x 2－3在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是( )A ．1.55B ．1.65C ．1.75D ．1.8510．已知f (x )＝a x ，g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (3)g (3)<0，那么f (x )与g (x )在同一坐标系内的图象可能是( )11．设函数F (x )＝f (x )－1f (x )，其中x －log 2f (x )＝0，则函数F (x )是( )A ．奇函数且在(－∞，＋∞)上是增函数B ．奇函数且在(－∞，＋∞)上是减函数C ．偶函数且在(－∞，＋∞)上是增函数D ．偶函数且在(－∞，＋∞)上是减函数12．已知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x ＋a ，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点恰有两个，则实数a 的取值范围是( )A ．a <0B ．a ≤0C ．a ≤1D ．a ≤0或a ＝1二、填空题(每小题5分，共20分)13．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.14．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3只有一个零点，则实数m 的取值是________．15．对于函数f (x )＝ln x 的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.上述结论中正确结论的序号是________． 16．已知函数f (x )＝log 0.5(x ＋1x )，下列说法①f (x )的定义域为(0，＋∞)；②f (x )的值域为[－1，＋∞)；③f (x )是奇函数；④f (x )在(0,1)上单调递增．其中正确的是________．答案1．D N ＝{x |x >2}，∴用数轴表示集合可得M ∩N ＝{x |2<x <3}，选D.2．A 依题意作出Venn 图，易知A 不成立．3．C ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1， ∴f [f (2)]＝f (1)＝2e 1－1＝2.4．C 根据幂函数、指数函数、对数函数的变化趋势即得答案．5．B ∵幂函数y ＝x12在[0，＋∞)上是增函数， 又∵0.7<0.8，∴0<0.712 <0.812 .又log 30.7<0，∴log 30.7<0.712 <0.812，即c <a <b ，选B.6．D 由指数与对数函数的图象性质即得答案．7．A 本题考查函数的定义域、函数的单调性及参数取值范围的探求．因为f (x )＝m ＋2log 2x 在[1,2]是增函数，且由f (x )≤4，得f (2)＝m ＋2≤4，得m ≤2，故选A.8．D 由m －n ＝log a (1＋x )－log a 11－x ＝log a (1－x 2)＝log a y 2＝2log a y ，所以log a y ＝12(m －n )．故选D.9．C 经计算知函数零点的近似值可取为1.75.10．C f (x )＝a x 与g (x )＝log a x 有相同的单调性，排除A ，D ；又当a >1时，f (3)g (3)>0，排除B ，当0<a <1时，f (3)g (3)<0，选C.11．A 由x －log 2f (x )＝0，得f (x )＝2x ， ∴F (x )＝2x－12x ＝2x －2－x .∴F (－x )＝2－x －2x ＝－F (x )，∴F (x )为奇函数，易知F (x )＝2x －2－x在(－∞，＋∞)上是增函数．12．D 由于f (x )为奇函数，且y ＝x 是奇函数，所以g (x )＝f (x )－x也应为奇函数，所以由函数g (x )＝f (x )－x 的零点恰有两个，可得两零点必定分别在(－∞，0)和(0，＋∞)上，由此得到函数g (x )＝x 2－2x ＋a 在(0，＋∞)上仅有一个零点，即函数y ＝－(x －1)2＋1与直线y ＝a 在(0，＋∞)上仅有一个公共点，数形结合易知应为a ≤0或a ＝1，选D.13．－3解析：∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}． ∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两根，∴m ＝－3. 14．0或13解析：由题意得m ＝0或Δ＝4－12m ＝0，即m ＝0或m ＝13. 15．②③解析：本题考查对数函数的性质．函数f (x )＝ln x 满足ln(x 1·x 2)＝ln(x 1)＋ln(x 2)；由函数f (x )＝ln x 是增函数，知ln x 1－ln x 2x 1－x 2，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立．故②③正确．16．①④解析：f (x )＝log 0.5(x 2＋1x )； ∴x >0，即定义域为(0，＋∞)；又∵f (x )＝log 0.5(x ＋1x )，定义域不关于原点对称，则f (x )为非奇非偶函数；又∵x ＋1x ≥2，∴log 0.5(x ＋1x )≤log 0.52＝－1. ∴值域为(－∞，－1]，②错； 又∵x ＋1x 在(0,1)上为递减函数，∴log 0.5(x ＋1x )在(0,1)上为递增函数．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)设A ＝{－3,4}，B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，B ≠∅且B ⊆A ，求a ，b .(12分)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2.(1)求f (x )的表达式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间．答案17.解：由B ≠∅，B ⊆A 知B ＝{－3}或{4}或B ＝{－3,4}． 当B ＝{－3}时，a ＝－3，b ＝9； 当B ＝{4}时，a ＝4，b ＝16； 当B ＝{－3,4}时，a ＝12，b ＝－12. 18．解：(1)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2. 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝x 2＋2x －2.又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2， x <0，0， x ＝0，－x 2＋2x ＋2， x >0.(2)先画出y ＝f (x )(x >0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x <0)的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．———————————————————————————— 19．(12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ≠0)的图象与y 轴交于点(0,1)，且满足f (－2＋x )＝f (－2－x )(x ∈R )．(1)求该二次函数的解析式及函数的零点；(2)已知函数在(t －1，＋∞)上为增函数，求实数t 的取值范围．20.(12分)已知函数f (x )＝2x 2＋2x ＋a(－2≤x ≤2)．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值为64，求f (x )的最小值．答案19.解：(1)因为二次函数为f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ≠0)的图象与y 轴交于点(0,1)，故c ＝1.①又因为函数f (x )满足f (－2＋x )＝f (－2－x )(x ∈R )，故x ＝－22a ＝－2.②由①②得：a ＝12，c ＝1.故二次函数的解析式为：f (x )＝12x 2＋2x ＋1.由f (x )＝0，可得函数的零点为：－2＋2，－2－ 2.(2)因为函数在(t －1，＋∞)上为增函数，且函数图象的对称轴为x ＝－2，由二次函数的图象可知：t －1≥－2，故t ≥－1.20．解：(1)f (x )＝2(x ＋1)2＋a －1(－2≤x ≤2)，∴在[－2，－1]上，f (x )为减函数； 在[－1,2]上，f (x )为增函数． 即f (x )的减区间是[－2，－1]， f (x )的增区间是[－1,2]．(2)设U (x )＝(x ＋1)2＋a －1(－2≤x ≤2)，则U (x )的最大值为U (2)＝8＋a ，最小值为U (－1)＝a －1.故f (x )的最大值为f (2)＝28＋a ，最小值为f (－1)＝2a －1.∵28＋a ＝64，∴a ＝－2.∴f (x )的最小值为f (－1)＝2－2－1＝18.————————————————————————————21．(12分)已知函数f (x )＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a －2x ＋1在区间[1,2]上恒为正，求实数a 的取值范围．22.(12分)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )，对于任意的m ，n ∈(0，＋∞)，都有f (mn )＝f (m )＋f (n )成立，当x >1时，f (x )<0.(1)求证：1是函数f (x )的零点； (2)求证：f (x )是(0，＋∞)上的减函数； (3)当f (2)＝12时，解不等式f (ax ＋4)>1.答案21.解：当a >1时，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －2x ＋1是减函数，故⎝⎛⎭⎪⎫1a －2·2＋1>1，则a <12，矛盾．当0<a <1时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2x ＋1<1，设y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2x ＋1，分类讨论1a －2的取值，得12<a <23.22．解：(1)证明：对于任意的正实数m ，n 都有f (mn )＝f (m )＋f (n )成立，所以令m ＝n ＝1，则f (1)＝2f (1)．∴f (1)＝0，即1是函数f (x )的零点．(2)证明：设0<x 1<x 2，∵f (mn )＝f (m )＋f (n )， ∴f (mn )－f (m )＝f (n )．∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．因0<x 1<x 2，则x 2x 1>1.而当x >1时，f (x )<0，从而f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(3)因为f (4)＝f (2)＋f (2)＝1，所以不等式f (ax ＋4)>1可以转化为f (ax ＋4)>f (4)．因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0<ax ＋4<4.当a ＝0时，解集为∅；当a >0时，－4<ax <0，即－4a <x <0， 解集为{x |－4a <x <0}；当a <0时，－4<ax <0，即0<x <－4a ， 解集为{x |0<x <－4a }．。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业72
课时作业75 不等式的证明1．(2019·河北五个一名校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1. 解：(1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎨⎧x ≥12，2x －1<x ＋1，或⎩⎨⎧0<x <12，1－2x <x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解．故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}． (2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1. 2．已知x ，y 都是正实数，且x ＋y ≥2. (1)求x 2＋y 2的最小值；(2)求证：1＋x y ≤2和1＋yx ≤2至少有一个成立．解：(1)(x 2＋y 2)－(x ＋y )22＝2x 2＋2y 2－(x ＋y )22＝(x －y )22≥0， 当且仅当x ＝y 时等号成立，所以x 2＋y 2≥(x ＋y )22≥2，当x ＝y ＝1时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为2.(2)证明：假设1＋x y ≤2和1＋y x ≤2都不成立，则有1＋x y >2且1＋yx >2，即1＋x >2y 且1＋y >2x ，两式相加，得2＋x ＋y >2x ＋2y ， 即x ＋y <2，这与已知矛盾，因此1＋x y ≤2和1＋yx ≤2至少有一个成立． 3．(2019·太原模拟)已知实数a ，b 满足a 2＋4b 2＝4. (1)求证：a 1＋b 2≤2；(2)若对任意的a ，b ∈R ，|x ＋1|－|x －3|≤ab 恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)证明：因为a 2＋4b 2＝4，所以a 1＋b 2≤|a |·1＋b 2＝2|a |·4＋4b 24≤a 2＋4＋4b 24＝2. (2)由a 2＋4b 2＝4及a 2＋4b 2≥24a 2b 2＝4|ab |，可得|ab |≤1，所以ab ≥－1，当且仅当a ＝2，b ＝－22或a ＝－2，b ＝22时取等号．因为对任意的a ，b ∈R ，|x ＋1|－|x －3|≤ab 恒成立，所以|x ＋1|－|x －3|≤－1.当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －3|＝－4，不等式|x ＋1|－|x －3|≤－1恒成立；当－1<x <3时，|x ＋1|－|x －3|＝2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，2x －2≤－1得－1<x ≤12；当x ≥3时，|x ＋1|－|x －3|＝4， 不等式|x ＋1|－|x －3|≤－1不成立． 综上可得，实数x 的取值范围是{x |x ≤12}．4．(2019·广东中山模拟)已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求证：2a ＋b ≥98.解：(1)根据题意，若f (x )≤6，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＋3－x ≤6，－1≤x <3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＋(x －3)≤6，x ≥3， 解得－1≤x ≤4，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}．(2)证明：函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧4，－1≤x <3，2x －2，x ≥3，分析可得f (x )的最小值为4，即n ＝4， 则正数a ，b 满足8ab ＝a ＋2b ，即1b ＋2a ＝8， ∴2a ＋b ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋2b a ＋5≥ 18⎝⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝98，原不等式得证． 5．(2019·山西晋中模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)若∃x 0∈R ，使不等式f (x 0－2)－f (x 0－3)≥u 成立，求满足条件的实数u 的集合M ；(2)已知t 为集合M 中的最大正整数，若a >1，b >1，c >1，且(a －1)(b －1)(c －1)＝t ，求证：abc ≥8.解：(1)由已知得f (x －2)－f (x －3)＝|x －1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤1，2x －3，1<x <2，1，x ≥2，则－1≤f (x －2)－f (x －3)≤1，由于∃x 0∈R ，使不等式|x 0－1|－|x 0－2|≥u 成立，所以u ≤1，即M ＝{u |u ≤1}．(2)证明：由(1)知t ＝1， 则(a －1)(b －1)(c －1)＝1， 因为a >1，b >1，c >1，所以a －1>0，b －1>0，c －1>0，则a ＝(a －1)＋1≥2a －1>0(当且仅当a ＝2时等号成立)， b ＝(b －1)＋1≥2b －1>0(当且仅当b ＝2时等号成立)，c ＝(c －1)＋1≥2c －1>0(当且仅当c ＝2时等号成立)， 则abc ≥8(a －1)(b －1)(c －1)＝8(当且仅当a ＝b ＝c ＝2时等号成立)．6．(2019·广州综合测试)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|，不等式f (x )≤2的解集为M .(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＋|a －b |≤1. 解：(1)f (x )≤2，即|2x ＋1|＋|2x －1|≤2，当x ≤－12时，得－(2x ＋1)＋(1－2x )≤2，解得x ≥－12，故x ＝－12； 当－12<x <12时，得(2x ＋1)－(2x －1)≤2，即2≤2，故－12<x <12； 当x ≥12时，得(2x ＋1)＋(2x －1)≤2，解得x ≤12，故x ＝12. 所以不等式f (x )≤2的解集M ＝{x |－12≤x ≤12}．(2)证明：证法一 当a ，b ∈M 时，－12≤a ≤12，－12≤b ≤12，得|a |≤12，|b |≤12.当(a ＋b )(a －b )≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |≤1， 当(a ＋b )(a －b )<0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |≤1， 所以|a ＋b |＋|a －b |≤1.证法二 当a ，b ∈M 时，－12≤a ≤12，－12≤b ≤12， 得|a |≤12，|b |≤12.(|a ＋b |＋|a －b |)2＝2(a 2＋b 2)＋2|a 2－b 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧4a 2，a 2≥b 2，4b 2，a 2<b 2.因为a 2≤14，b 2≤14，所以4a 2≤1,4b 2≤1.故(|a ＋b |＋|a －b |)2≤1， 所以|a ＋b |＋|a －b |≤1.7．已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋1)≥0的解集为[0,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ，x ，y ，z ∈R ，且x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ，求证：ax ＋by ＋cz ≤1.解：(1)由f (x ＋1)≥0，得|x |＋|x －1|≤m . ∵|x |＋|x －1|≥1恒成立，∴若m <1，不等式|x |＋|x －1|≤m 的解集为∅，不合题意； 若m ＝1，不等式|x |＋|x －1|≤1的解集为[0,1]． 若m >1，①当x <0时，1－m2≤x <0； ②当0≤x ≤1时，得x ＋1－x ≤m,0≤x ≤1； ③当x >1时，得2x －1≤m,1<x ≤m ＋12.综上可知，不等式|x |＋|x －1|≤m 的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－m 2，m ＋12. 由题意知，原不等式的解集为[0,1]． ∴1－m 2＝0，m ＋12＝1，解得m ＝1. ∴m ＝1.(2)证明：∵x 2＋a 2≥2ax ，y 2＋b 2≥2by ，z 2＋c 2≥2cz ，当且仅当x ＝a ，y ＝b ，z ＝c 时等号成立．三式相加，得x 2＋y 2＋z 2＋a 2＋b 2＋c 2≥2ax ＋2by ＋2cz .由题设及(1)，知x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ＝1， ∴2≥2(ax ＋by ＋cz )，∴ax ＋by ＋cz ≤1，不等式得证．8．设函数f (x )＝x －|x ＋2|－|x －3|－m ，若∀x ∈R ，1m －4≥f (x )恒成立．(1)求实数m 的取值范围；(2)求证：log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)． 解：(1)∵∀x ∈R ，1m －4≥f (x )恒成立， ∴m ＋1m ≥x －|x ＋2|－|x －3|＋4恒成立．令g (x )＝x －|x ＋2|－|x －3|＋4＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3，x <－2，x －1，－2≤x ≤3，－x ＋5，x >3.∴函数g (x )在(－∞，3]上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数，∴g (x )max ＝g (3)＝2， ∴m ＋1m ≥g (x )max ＝2，即m ＋1m －2≥0⇒m 2－2m ＋1m ＝(m －1)2m ≥0，∴m >0， 综上，实数m 的取值范围是(0，＋∞)． (2)证明：由m >0，知 m ＋3>m ＋2>m ＋1>1，即lg(m ＋3)>lg(m ＋2)>lg(m ＋1)>lg 1＝0. ∴要证log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)． 只需证lg (m ＋2)lg (m ＋1)>lg (m ＋3)lg (m ＋2)，即证lg(m ＋1)·lg(m ＋3)<lg 2(m ＋2)，又lg(m ＋1)·lg(m ＋3)<⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg (m ＋1)＋lg (m ＋3)22＝ [lg (m ＋1)(m ＋3)]24<[lg (m 2＋4m ＋4)]24＝lg 2(m ＋2)， ∴log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)成立．。
2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件7-6
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课堂探究 考点突破
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第七章·第6节
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考点一 空间向量的线性运算 如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，设A→A1 ＝a，A→B＝b，A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点， 试用 a，b，c 表示以下各向量： (1)A→P； (2)A→1N； (3)M→P＋N→C1.
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解：(1)∵A→M＝kA→C1，B→N＝kB→C， ∴M→N＝M→A＋A→B＋B→N ＝kC→1A＋A→B＋kB→C ＝k(C→1A＋B→C)＋A→B ＝k(C→1A＋B→1C1)＋A→B ＝kB→1A＋A→B＝A→B－kA→B1 ＝A→B－k(A→A1＋A→B) ＝(1－k)A→B－kA→A1.
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解析：N→M＝N→A＋A→M＝(O→A－O→N)＋12A→B＝O→A－12O→C＋12(O→B －O→A)＝12O→A＋12O→B－12O→C＝12(a＋b－c)．
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∴由共面向量定理知向量M→N与向量A→B，A→A1共面． (2)当 k＝0 时，点 M，A 重合，点 N，B 重合，MN 在平面 ABB1A1 内， 当 0＜k≤1 时，MN 不在平面 ABB1A1 内， 又由(1)知M→N与A→B，A→A1共面， ∴MN∥平面 ABB1A1.
红对勾七年级上册答案
红对勾七年级上册答案红对勾七年级上册答案【篇一：【红对勾45分钟】2015-2016七年级数学上册4.3 角课时作业 (新版)北师大版】说法中正确的是( )a．两条射线组成的图形叫做角b．两边成一直线的角是平角c．一条射线是一个周角 d．平角是一条直线2．如图所示，下列说法中正确的是( )a．∠ade就是∠d b．∠abc可以用∠b表示 c．∠abc和∠acb是同一个角 d．∠bac和∠dae是不同的两个角3．在下图中，能用∠1，∠aob，∠o三种方法表示同一个角的图形是( )14．八点三十分这一时刻，分针和时针的夹角是( )5．将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：27．如图，画图并解答下列问题：(1)在ob边上取一点c，过点c作直线mn交oa边于d； (2)写出图中所有的角； (3)指出与∠bcn构成平角的角．8．如图，回答下列问题．(1)∠ecg和∠c是不是同一个角？(2)∠ogf和∠dgb是不是同一个角？(3)∠dof和∠eog是不是同一个角？(4)∠abc和∠bca是不是同一个角？3(5)图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来． 1．b 考查平角的定义． 2．b 考查角的表示方法． 3．b 考查角的表示方法．7．(1)略(2)∠o，∠mdo，∠mda，∠odc，∠adc，∠ocd，∠bcd，∠ocn，∠bcn4(3)∠bcm，cn中考链接5【篇二：【红对勾45分钟】2015-2016七年级数学上册1.1 生活中的立体图形课时作业 (新版)北师大版】t>1.如图甲所示，将三角形绕虚线旋转一周，可以得到图乙所示的立体图形的是()2．下列几何体中，由4个面围成的几何体是()3．在下列立体图形中，面数相同的是( )a．(1)(2) b．(1)(3) c．(2)(3)d．(3)(4)4．以下四种说法：(1)正方形绕着它的一边旋转一周，能够形成圆柱； (2)梯形绕着它的下底边旋转一周，能够形成圆柱；(3)直角梯形绕着垂直于底边的腰旋转一周，能够形成圆锥；(4)直角三角形绕着一条直角边旋转一周能够形成圆锥．其中正确的说法为( )a．(1)(2)b．(1)(3) c．(1)(4)d．(2)(3)5．如图所示：(1)这个棱柱的底面是________形．(2)这个棱柱有________个侧面，侧面的形状是________边形．(3)侧面的个数与底面的边数____．(4)这个棱柱有________条侧棱，一共有________条棱．(5)如果cc′＝3 cm，那么bb′＝________cm. 6．如图，请将几何体进行分类，并说明理由．7．在横线上写出图中的几何体的名称．8．如图中的图形绕虚线旋转一周，可以形成怎样的几何体？连一连，并说明名称．(义乌模拟)下列几何体中，不是柱体的是()课后作业1．b 考查立体图形定义． 2．c 三棱锥有四个面．3．d 正方体与长方体的面数相同． 4．c 考查基础知识．5．(1)三角 (2)3 四 (3)相等 (4)3 9 (5)3 6．答案不唯一(只要能说出合情的理由即可)． 7．圆锥长方体圆柱球五棱柱8．①—b圆台②—c圆锥③—d球中考链接b 圆锥不是柱体．④—a圆柱【篇三：【红对勾45分钟】2015-2016七年级数学上册2.1 有理数课时作业 (新版)北师大版】下列说法不正确的是( )a．有理数可分为正有理数、零和负有理数 b．分数都是有理数c．整数一定不是正数d．有理数可分为正整数、负整数、正分数、负分数和零2．某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10 时为0,10时之前记为负，10时之后记为正，则上午7?45应记为( )a．－7.45 c．－3b．－2.5 d．33．气象部门测定高度每增加1 km，气温约下降5 ℃，现地面气温是15 ℃，那么4 km高空的气温是( )a．5 ℃c．－5 ℃b．0 ℃ d．－15 ℃4．如果60 m表示“向北走60 m”，那么“向南走40 m”可以表示为( )a．－20 mc．20 mb．－40 m d．40 m15．在－1,0,0.23中，正数一共有________个．76．既不是正数也不是负数的数是________．7．零下15℃表示为________；比0℃低4℃的温度是________．8．如果上升3 m记作＋3 m，那么下降2 m记作____．9．海面上的高度记为正，海面下的高度记为负，那么＋50 m 的意思是__________________，－80 m的意思是________________．11．在一次数学测验中，某班的平均分为82分，把高于平均分部分的分数记为正，则： (1)小英得92分，应记为多少？(2)小东被记作－12分，他实际得分是多少？12．某奶粉的标准质量是454 g，在质量检测中，若超过标准质量2 g，记作＋2 g，若低于标准质量3 g以上，则视为不合格产品．现抽出10袋产品进行质量检测，记录如下：(1)(2)质量最多的是哪几袋？它们的实际质量是多少？(3)质量最少的是哪几袋？它们的实际质量是多少？13．已知某水库的正常水位是25 m，下表是该水库9月第一周的水位记录情况(高于正常水位记为正，低于正常水位记为负).(2)本周的最高水位、最低水位分别出现在哪一天，分别是多少米？a．0c．1b．－2 d.12课后作业1．c 整数分正整数，0，负整数．5．3 6.0 7.－15 ℃－4 ℃ 8.－2 m 9．高于海平面50 m 低于海平面80 m 10．10.05 mm,9.95 mm11．解：(1)90－82＝10(分)，应记作＋10分；(2)82－12＝70(分)，所以小东的实际得分是70分．点拨：以平均分82分为“基准”，高于82分的记为正，低于82分的就记为负．12．解：(1)第4,6,9袋不合格； (2)质量最多的是第7,8袋，均为458 g； (3)质量最少的是第6,9袋，均为449 g.13．(1)25 m；(2)最高水位是周四，28.5 m；最低水位是周日，21.5 m. 中考链接b －2为负数．。
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业67 Word版含解析
课时作业67 数学归纳法一、选择题(每小题5分，共40分)1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.答案：B2．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上( )A.12k ＋2B ．－12k ＋2C.12k ＋1－12k ＋2D.12k ＋1＋12k ＋2解析：∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ，当n ＝k ＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2.答案：C3．(2022·银川模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的其次步是( )A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N ＋)B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N ＋)C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N ＋)D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋)解析：∵n 为正奇数，依据数学归纳法证题的步骤，其次步应先假设第k 个正奇数也成立，即假设n ＝2k －1时正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1时正确．答案：B4．某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立，那么可推知当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可以推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立解析：本题为递推关系，由n ＝5时，命题不成立，故知上一步n ＝4时命题不成立，否则会推出n ＝5时命题成立．答案：C5．(2022·上海闸北一模，16)平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直。
红对勾理科数学7-5
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解析：③中l∥α也满足，④中α与β可能相交．
答案：①②
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合作学习·速通关
抓重点·破疑难
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垂直关系的基本问题
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∵∠B1A1C1＝∠BAC＝90° ，∴A1C1⊥A1B1， 又 AA1⊥A1C1 ， 从 而 A1C1⊥ 平 面 A1ABB1 ， 于 是 A1C1⊥A1E. A1C1 2 故 C1E＝cos60° ＝2 2，又 B1C1＝ A1C2 1＋A1B1＝2， ∴B1E＝ C1E2－B1C2 1＝2. 1 从而 V 三棱锥 C1—A1B1E＝ S△A1B1E×A1C1 3 1 1 2 ＝3×2×2× 2× 2＝3.
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第七章·第五节
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破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与 性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用， 这是证明空间垂直关系的基础.由于“线线垂直”、“线面 垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明 过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直 关系难点的技巧所在.
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第七章·第五节
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考情剖析 1.多以选择题、填空题的形式考查线面垂直、面面垂直的判定及 线面角的概念及求法. 2.围绕线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理设计解答题， 且多作为解答题中的某一问，是高考对本节的主要考查形式.
2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件7-4
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第七章·第4节
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直线、平面间平行的判定方法 (1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视 的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断． (4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行 等．
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(2)(2019·安庆模拟)在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M，N，Q 分别 是棱 D1C1，A1D1，BC 的中点，点 P 在 BD1 上且 BP＝23BD1，则下面说
法正确的是___②__③______(填序号)．
①MN∥平面 APC；②C1Q∥平面 APC；③A，P，M 三点共线；④ 平面 MNQ∥平面 APC.
解析：如图，对于①，连接 MN，AC，
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第七章·第4节
第12页
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则 MN∥AC，连接 AM，CN， 易得 AM，CN 交于点 P，即 MN⊂平面 APC， 所以 MN∥平面 APC 是错误的． 对于②，由①知 M，N 在平面 APC 内， 由题易知 AN∥C1Q，且 AN⊂平面 APC，C1Q⊄平面 APC. 所以 C1Q∥平面 APC 是正确的． 对于③，由①知，A，P，M 三点共线是正确的． 对于④，由①知 MN⊂平面 APC， 又 MN⊂平面 MNQ，所以平面 MNQ∥平面 APC 是错误的．
获得的结论证明一些空 平行、线面平行及面面平行的判
间图形的平行关系的简 定及应用，题型为解答题中的一
【2022红对勾讲与练 高三理科数学一轮复习PPT】课时作业76(002)
︵ 线 M3 是弧CD.
(1)分别写出 M1，M2，M3 的极坐标方程； (2)曲线 M 由 M1，M2，M3 构成，若点 P 在 M 上，且|OP|＝ 3，求 P 的极坐标．
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解：(1)由题设可得，弧A︵B，B︵C，C︵D所在圆的极坐标方程分别为 ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ， ρ＝－2cosθ.所以 M1 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ(0≤θ≤π4)，M2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ(π4 ≤θ≤34π)，M3 的极坐标方程为 ρ＝－2cosθ(34π≤θ≤π)．
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4．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是yx＝＝43＋＋55scionsαα， (α 为参数)．以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线 C 的极坐标方程； (2)设 l1：θ＝π6，l2：θ＝π3，若 l1，l2 与曲线 C 分别交于异于原点的 A，B 两点，求 △AOB 的面积． 解：(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，即 x2＋y2－6x－8y ＝0. ∴曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝6cosθ＋8sinθ.
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3 ． (2021·福 州 市 模 拟 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为
【红对勾】(新课标)高考数学大一轮复习 6.7数学归纳法课件 理
则当 n＝k＋1 时，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2 kk＋12k＋1 ＝ ＋(k＋1)2 6
k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1] ＝ 6 所以当 n＝k＋1 时，等式仍然成立 由(1)、(2)可知，对于∀n∈N*等式恒成立．
用数学归纳法证明恒等式应注意： 明确初始值 n0 的取值并验证 n＝n0 时命题的真假(必不可少)．“假设 n ＝k(k∈N*，且 k≥n0)时命题正确”并写出命题形式分析“n ＝k＋1 时”命题是什么， 并找出与“n＝k”时命题形式的差 别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒 等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方 等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳 假设要用到，结论写明莫忘掉．
*
1 k ＋…＋ ＝ ， 2k－12k＋1 2k＋1
1 1 1 则当 n＝k＋1 时， ＋ ＋ …＋ ＋ 1×3 3×5 2k－12k＋1 1 2k＋12k＋3 k2k＋3＋1 k 1 ＝ ＋ ＝ 2k＋1 2k＋12k＋3 2k＋12k＋3 2k2＋3k＋1 k＋1 k＋1 ＝ ＝ ＝ ， 2k＋12k＋3 2k＋3 2k＋1＋1 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
用数学归纳法证明： 1 1 1 对任意的 n∈ N ， ＋ ＋…＋ ＝ 1 ×3 3 ×5 2n－12n＋1
*
n . 2n＋1
1 1 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝ ＝ ， 1×3 3 1 1 右边＝ ＝ ，左边＝右边， 2×1＋1 3 所以等式成立． 1 1 (2) 假设当 n ＝ k(k∈ N ) 时等式成立，即有 ＋ 1×3 3×5
用数学归纳法证明不等式
3 2 1 【例 2】 已知函数 f(x)＝ax－2x 的最大值不大于6， 1 1 1 又当 x∈[ ， ]时，f(x)≥ . 4 2 8 (1)求 a 的值； 1 1 * (2)设 0<a1< ，an＋1＝f(an)，n∈N ，证明：an< . 2 n＋1
红对勾理科数学课时作业67
红对勾理科数学课时作业67课时作业67离散型随机变量及其分布列时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A．ξ＝4 B．ξ＝5C．ξ＝6 D．ξ≤5解析：由条件知“放回5个红球”事件对应的ξ为6.答案：C2．某射手射击所得环数X的分布列为A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51解析：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案：C3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则()A．n＝3 B．n＝4C．n＝9 D．n＝10解析：P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n ＝0.3，故n ＝10.答案：D4．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45D.56解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a ＝1， 知45a ＝1，解得a ＝54. 故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (1)＋P (2)＝12×54＋16×54＝56. 答案：D5．带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X 表示放出的蜂中工蜂的只数，则X ＝2时的概率是( )A.C 120C 410C 530B.C 220C 310C 530C.C 320C 210C 530D.C 420C 110C 530解析：X 服从超几何分布，P (X ＝2)＝C 220C 310C 530.答案：B6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.2125解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220. 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)7．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．解析：设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，则P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.答案：458．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，139.如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝________.解析：法1：由已知，ξ的取值为7,8,9,10，∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310，P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴ξ的概率分布列为ξ 7 8 9 10 P1531025110∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝9)＋P (ξ＝10) ＝310＋25＋110＝45.法2：P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝45.答案：4 5三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)某学院为了调查本校学生2011年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列．解：(1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.(2)随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2.P (Y ＝0)＝C 230C 240＝2952；P (Y ＝1)＝C 110C 130C 240＝513；P (Y ＝2)＝C 210C 240＝352.所以Y 的分布列为：11.(20分)依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X .若P (X ＝2)＝730，求：(1)n 的值； (2)X 的分布列．解：(1)由P (X ＝2)＝730知C 13C 1n ＋3×C 1nC 1n ＋2＝730，即90n ＝7(n ＋2)(n ＋3)，解得n ＝7.(2)X ＝1,2,3,4且P (X ＝1)＝710，P (X ＝2)＝730，P (X ＝3)＝7120，P (X ＝4)＝1120.故X 的分布列为：——创新应用——12．(20分)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数X 的分布列与期望E (X )． 解：(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式，得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)X 的所有可能值为0,1,2,3,4，且P (X ＝0)＝5C 26＝13；P (X ＝1)＝4C 26＝415；P (X ＝2)＝3C 26＝15；P (X ＝3)＝2C 26＝215；P (X ＝4)＝1C 26＝115.从而知X 的分布列为：所以X 的期望E (X )＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.。
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第七章·第六节
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1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是( A．y轴上 C．xOz平面上 B．xOy平面上 D．x轴上
)
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解析：由于点的纵坐标为0，故这样的点在xOz平面 上．
答案：C
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解析：
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1 → 1→ 1 → 1→ 1→ 1→ 1 如图，OE＝2OA＋2OD＝2OA＋4OB＋4OC＝2a＋4b＋ 1 4c.
1 1 1 答案：2a＋4b＋4c
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温馨提示：1.对空间任意两个向量a，b(b≠0)，共线向 量定理可以分解为两个命题：①a∥b⇒存在唯一实数λ，使 a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，则a∥b.其中命题② 是空间向量共线的判定定理． 2．(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个 基底． (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，故0不能作为基底向量． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表 示．
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向量表示 模 |a| 〈a，b〉 (a≠0，b≠0)
坐标表示
2 2 a2 1＋a2＋a3
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 2 2 2 a2 ＋ a ＋ a · b ＋ b ＋ b 1 2 3 1 2 3
夹角
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1→ 1 → 1→ 1 → → → 【解析】 (1) A1O－ AB－ AD＝( A1A＋ AO)－ AB － 2 2 2 2 → → 1 → → 1→ 1 → → AD＝－AA1＋ (AB＋AD)－ AB－ AD＝－AA1. 2 2 2 → → → 1→ → (2)解法1：OC1＝OC＋CC1＝2AC＋CC1 1 → → → 1→ 1 → → ＝ (AB＋AD)＋AA1＝ AB＋ AD＋AA1. 2 2 2 → → → → 1→ 解法2：OC1＝CC1－CO＝CC1－ CA 2 → 1→ → 1 → → ＝CC1＋2AC＝AA1＋2(AB＋AD)
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考情剖析 从近年高考试题看，空间向量的概念及其运算很少单独命题，多 与空间几何体结合求解有关角、距离及证明平行或垂直等问题，体现 向量的工具性.用向量法求解这类问题时，要树立基底意识，合理选取 基底优化运算.
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→ → → (1)证明 EG ＝ EF ＋ EH ，根据共面向量定理即可 得到结论；或证明FG∥EH，即可得到FG，EH确定一平 面，故得四点共面． → → (2)证明 BD 与 EH 共线，然后根据线面平行的判定定理 解题即可．
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∥b 的充要条件是 存在实数 λ，使 a＝λb
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(2)共面向量定理：如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x、y，使
p＝xa＋yb _____________.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面， 那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p ＝ xa＋yb＋zc
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1.利用向量证明点共线或点共面时常用的方法是直接利用 定理.向量方法为几何问题的解决提供了一种新的思路. 2.向量的平行与直线的平行是不同的：直线平行是不允许 重合的，而向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重 合.
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→ 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设 AA1 → → ＝a， AB ＝b， AD ＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的 中点，试用a，b，c表示下列各向量：
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答案：－5
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→ → → 5．在四面体O—ABC中， OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，D → 为BC的中点，E为AD的中点，则 OE ＝________(用a，b，c 表示)．
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(2)由题意知 → → → → → → → → BD＝AD－AB＝2AH－2AE＝2(AH－AE)＝2EH. → → ∴BD∥EH. ∴BD∥EH，又BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH. ∴BD∥平面EFGH.
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1→ 1 → → ＝2AB＋2AD＋AA1.
1→ 1 → → → → 【答案】 (1)－AA1或A1A (2)2AB＋2AD＋AA1
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用不共面的向量表示某一向量时，关键是结合图形将已知 向量和未知向量转化到三角形或平行四边形中，然后根据 三角形法则或平行四边形法则，把未知向量用已知向量表 示出来.
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2．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ 与μ的值可以是( 1 A．2， 2 C．－3,2 ) 1 1 B．－ ， 3 2 D．2,2
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解析：∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋ 6＝kλ＋1 1,0,2)，∴2μ－1＝0 2λ＝2k λ＝2 λ＝－3 ，解得 1 或 1 . μ＝ μ＝ 2 2
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解析：其中①③为正确命题．
答案：B
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4．已知平面α和β的法向量分别是(－1,3,4)和(x,1，－ 2)，若α⊥β，则x＝________.
解析：因为α⊥β，所以两个平面的法向量也垂直，因 此(－1，3,4)· (x,1，－2)＝0，即x＝－5.
【解析】
(1)解法1：∵E，F，G，H分别是空间四边
→ → 1→ 形ABCD的边的中点，∴FG＝EH＝2BD. → → → → → ∴ EG ＝ EF ＋ FG ＝ EF ＋ EH ，∴E，F，G，H四点共 面． 解法2：∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边 的中点， → → 1→ ∴FG＝EH＝2BD. ∴FG∥EH.故E，F，G，H四点共面．
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必考部分
必考部分·第七章
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第七章 立体几何
必考部分·第七章
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第六节 空间向量入导航
第七章·第六节
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考纲解读 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌 握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判断向量 的共线与垂直.
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4．空间向量坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 数量积 共线 垂直 a· b a＝λb(b≠0) a· b＝0 坐标表示 a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
合作学习·速通关
抓重点·破疑难
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第七章·第六节
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空间向量的线性运算
【例1】 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O 为AC的中点．
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第七章·第六节
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→ 1→ 1 → (1)化简A1O－2AB－2AD＝__________. → → → → → (2)用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝__________. (1)用已知向量表示求知向量时，在转化时要结 合向量的线性运算． (2) 根据向量坐标运算的法则解题即可．
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→ (1)AP； → (2)A1N； → → (3)MP＋NC1.
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→ → → → → → 1→ 解：(1)AP＝AD＋DD1＋D1P＝AA1＋AD＋2AB 1 ＝a＋2b＋c； → → → → → → 1→ (2)A1N＝A1A＋AB＋BN＝－AA1＋AB＋2AD 1 ＝－a＋b＋2c； 1 → → 1→ 1→ → → → (3)MP＋NC1＝(2AA1＋AD＋2AB)＋(2AD＋AA1) 3 1 3 ＝2a＋2b＋2c.