《提公因式法》(优质视频实录+配套课件+配套教案+配套练习等素材)-4.doc
《提公因式法》课件
05
提公因式法在科学计算器中的应用
在科学计算器中的实现方法
键盘输入
学生需要在科学计算器上 正确输入表达式。
符号运算
科学计算器可自动判断运 算符号，并自动进行符号 运算。
显示结果
科学计算器可以清晰地显 示出运算结果。
在科学计算器中的实例演示
实例一：$(2a+3b)^{2}=4a^{2}+9b^{2}+12ab$ 实例二：$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$
THANK YOU.
根的个数判定
一个根
当多项式中只有一个根时，可 以提取公因式。
多个根
当多项式中有多个根时，可以提 取公因式。
无实数根
当多项式中无实数根时，不可以提 取公因式。
多项式分解的判定
一次因式的判定
当多项式中各项有一次因式时 ，可以提取公因式。
高次因式的判定
当多项式中各项有高次因式时 ，可以提取公因式。
无因式的判定
在几何中的应用
面积与体积
提公因式法可以用于计算几何图形的面积和体积。
坐标系
提公因式法可以用于建立几何图形的坐标系，以便进行更精确的计算。
在数两个整数的最大公约数，进而解决 与约数有关的问题。
因数分解
提公因式法可以将一个整数分解为多个因数的乘积，有助于 进行数值计算和数学分析。
展示如何将一个多项式分解成若干个单项式的乘积的 形式。
展示如何将两个多项式的乘积化成一个多项式的形式 。
06
提公因式法练习题及解析
练习题
• 类型一：基础练习题 • 题目一：x^2+4x+4=0 • 题目二：(x+2)(x-2)=x^2-4 • 题目三：(x+3)(x-3)=x^2-9 • 类型二：进阶练习题 • 题目四：(x+4)(x-1)+(x+1)(x-4)=3x^2-8x-3 • 题目五：(x+2)(x-5)-(x-1)(x-6)=4x^2-19x+10
全国优质课一等奖人教版初中八年级上册数学《提公因式法》公开课课件
正确找出多项式的公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
一看系数
二看字母
三看指数
最大公约数
相同字母
最低指数
例2.(1)多项式153 3 + 52 − 202 3 中各项的公因式是（ C ）
A．4xm-1yn-1
B．2xm-1yn-1
C．2xmyn
D．4xmyn
ma+mb+mc= m(a+b+c)
公因式
提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公
因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例3.把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
故选：A．
1．42 3 与2 4 的公因式为（ C ）
A．
B．2
C．2 3
D．2
2．多项式2( + )3 −62 ( + )的公因式是（ C ）
A．22 ( + )2
B．6( + )
C．2( + )
D．−2
3．多项式2xmyn-1﹣4xm-1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（ B ）
法的右边是多项式的形式．
下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ D ）
A． 2 − 2 + 1 = ( − 2) + 1
B．12 4 4 = 3 3 ⋅ 4 2
C．( + 2)( − 2) = 2 − 4
D． 2 − 6 &式有何共同特点？
提公因式法公开课课件
例题精讲
例1： 把 8a3b2 12ab3c分解因式
提公因式法步骤： 一 找； 二 提.
如何检验因式分解是否正确？
举一反三： (1)ax ay
(2)3mx 6my
（3）8m2n 2mn
（4）12 xyz 9x2 y2
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接 提出.
整式的乘法
计算下列各式:
x(x+1)= x2 + x ； (x+1)(x－1)= x2－1 .
根据上面的运算，你能把下列
多项式写成整式的乘积的形式:
(1)x2+x=___x_(_x_+_1_)___; (2)x2 – 1=__(x_+_1_)_(_x-_1_)_ .
知识要 点1
把一个多项式化成了几个整式 的积的形式，像这样的式子变形 叫做这个多项式的因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式．
多项式 ①ax+ay+a
公因式 a
②3mx-6nx2
3x
③4a2b+10ab2 2ab
④x4y3+x3y3
x3y3
⑤ (m n)2 2(m n) （(m+n)）
注：多项式的公因式可以是一个单 项式，也可以是一个多项式。
3ab+9b2 =3b(a+3b)
如果多项式的各项有公因式，可以 把这个公因式提取出来，将多项式写 成公因式与另一个因式的乘积的形式， 这种分解因式的方法叫做提公因式法.
解:2a(b+c) – 3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
《提公因式法》课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨《提公因式法》。了解提公因式法的定义、 应用场景、使用方法、原理、细节、优缺点以及其他数学知识的联系。
什么是提公因式法？
提公因式法是一种代数化简的方法，用于将多项式表达式简化为可分解为公因式和提公公式的形式。
提公因式法的应用场景
提公因式法广泛应用于数学问题的解决中，特别是在因式分解、方程求解和代数表达式化简等领域。
如何使用提公因式法简化多项式？
1
步骤一
识别多项式中的公因式，将其提取出来
步骤二
2
作为公因式。
利用分配律将多项式分解为公因式和提
公公式的乘积。
3
步骤三
继续使用提公因式法对提公公式进行化 简，直到无法继续为止。
提公因式法的原理
提公因式法基于数学的分配律和因式分解的概念。通过识别多项式中的公因式并将其提取出来，可以简化多项 式的表达形式。
提公因式法的历史渊源和发展过程
提公因式法是古希腊数学家欧几里得等人发展出来的一种代数化简方法。在历史上经过数学家们的研究和应用， 逐渐成为常用的数学工具。
提公因式法的数学证明和理论 基础
提公因式法的数学证明和理论基础基于多项式的因式分解和分配律的相关概 念和理论，以及数学逻辑推导的基本原理。
提公因式法在初中和高中数学中的教 学要点
1 导入实例
通过实际问题的例子引出提公因式法的需求和应用。
2 解释原理
详细讲解提公因式法的原理和步骤，并进行示范演示。
3运用。
提公因式法的应用案例和练习题
通过实际的应用案例和练习题，加深学生对提公因式法的理解和掌握。
提公因式法在数学竞赛中的应 用和技巧
在数学竞赛中，掌握提公因式法可以帮助解决复杂的代数题目，提高解题的 效率和准确性。
因式分解提公因式法ppt
提公因式法在数学中不断发展完善，现在已经成为中学数学 中的一个重要内容，也是数学竞赛中的常考点之一
02
提公因式法的原理
提公因式法的数学原理
公式解释
提公因式法是因式分解的一种常用方法，其基本思想是将一个多项式中的公 共因子提取出来，形成新的因子，从而将原多项式分解为多个因式的乘积。
数学原理
通过将多项式中所有项的公因式提取出来，并将其放在一个新的因子中，再 用这个公因式将原多项式进行因式分解。
3
提公因式法可以应用于各种不同的多项式中， 例如：二次三项式、高次多项式、分式等。
提公因式法的反思
01
提公因式法的应用有一定的局限性，因为有时候多项式没有公 因式可以提取。
02
在提公因式的过程中，需要注意不要漏掉任何一个公因式，同
时要避免将不是公因式的项也提取出来。
提取出来的公因式有时候可能并不是最简单的形式，需要进一
在分数的加减法中，提公因式法可以用来简化分数，从而更 容易进行加减运算。
数据的分析
在进行数据的分析时，提公因式法可以用来对数据进行分类 和整理，从而更好地理解数据的分布和特征。
对未来数学学习的建议
深入理解提公因式法的本质
提公因式法是一种重要的数学方法，需要深入理解其本质和原理，以便更好 地掌握和使用。
对余下的多项式继续进行因式分 解
提公因式法步骤的应用示例
例子1
将$2x^3+3x^2y-5x-3y$分解因式
例子2
将$3x^3-6x^2y+4xy^2-2y^3$分解因式
提公因式法步骤的注意事项
注意项中公因式的系数，有时候不是所有项系数的最大公约数 注意各项符号，有时候会出现负号，需要特别注意
《提公因式法》PPT优质课件
D．4个
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二
者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积
的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
巩固练习
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的
有 ③ ⑥ .不是因式分解的，请说明原因.
① am+bm+c=m(a+b)+c
最后不是积的运算
；
比一比，这些式子
都是多项式化为几
有什么共同点？
个整式的积的形式
探究新知
把一个多项式化为几个整式
的乘积的形式，像这样的式子变
形叫做把这个多项式因式分解，
也叫做把这个多项式分解因式.
探究新知
想一想 整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
因式分解
x2–1
(x+1)(x–1)
整式乘法
x2–1 = (x+1)(x–1)
m(m–3)
(1)分解因式：m2–3m=
．
3xy(4z–3xy)
(2)12xyz–9x2y2=_____________；
(x+2)(x–1) ．
(3)因式分解：(x+2)x–x–2=___________
–xy(x2y2+xy+1)
(4) –x3y3–x2y2–xy=_______________；
A．x+1
B．2x
C．x+2
D．x+3
3.下列多项式的分解因式，正确的是( B )
A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz) B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2)
《提公因式法》(优质视频实录+配套课件+配套教案+配套练习等素材)
概括：把一个多项式化为几个整式的积的形式，
叫做多项式的因式分解.
什么关系？
m(a b c)
整式乘法 因式分解
ma mb mc
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理解与应用
回顾与 思考 探究与 发现 理解与 应用 巩固与 提高 收获与 感悟 作 业
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•多项式各项系数的最大公约数
•相同字母最低次幂
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理解与应用
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人教版八年级《数学》上册
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因式 4 最大公约数 步骤 一看系数 a b2 相同字母最低次幂 二看字母 三看指数
12a2b3－8a3b2－16ab4
公因式 4ab2
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因式分解:提公因式法
人教版八年级《数学》上册
下列从左到右的变形是分解因式的有(⑶ )
⑴ 6x2y=3xy· 2x ⑵ a2－b2+1=(a+b)(a－b)+1 ⑶ a2－ab=a(a－b)
⑷ (x+3)(x－3)= x2－9
探索与发现
因式分解：
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(1)ax+xy=( x )(a+y) (2)3mx-6my =( 3m )(x-2y) (3)x2y+xy2=( xy )(x+y) (4)15a2+10a=( 5a )( 3a+2 ) (5)12xyz－9x2y2=( 3xy )( 4z—3xy)
提公因式法(公开课经典)ppt课件
先分解因式,再求解： 已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
解： a2b ab2 ab(a b)
35 15
21
你今天这节 课结
多项式各项都含有的相同的因式叫做多项式的公因式。 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个 公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形，
课前准备：课本、导学案、练习本 ，双色笔
还有你的激情与目标！相信自己！
课前赠言： 1.我的课堂，你做主。 2.你是独一无二的，相信自己！ 3.提出问题比解决问题更重要。
1
什么是因式分解？
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变 形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.
想一想：因式分解与整式乘法有何关系?
也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法
12
知识储备
例4： – 24x3 +12x2– 28x
解：原式= (24x312x2 28x ) ( 4x 6x24x 3x 4x 7) = 4x ( 6x23x7)
当多项式第一项的系 数是负数时，通常先
7
合作探究
用心观察，找出下列多项式的公因式
多项式 8x+12y 8ax+12ay 8a3bx+12a2b2y
2x2+6x3
公因式
4 4a 4a2b
2x2
8
你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？与同伴交流
2x2+6x3
解：2x2+6x3 = 2x2 + 2x2·3x
= 2x2 (1+3x) 如果一个多项式的各项含
提公因式法课件
例2 把4x2 -6x因式分解.
分析 先确定公因式的系数，再确定字母. 这 两项的系数为4，6，它们的最大公约数是2； 两项的字母部分x2与x都含有字母x，且x的最 低次数是1，因此公因式为2x.
解 4x2 - 6x = 2x(2x-3)
例3 把8x2y4-12xy2z因式分解.
分析 公因式的系数是8 与12的最大公约数 4；公因式含的字母是各项中相同的字母x 和y，它们的指数取各项中次数最低的，因 此公因式为4xy2 .
2am(x+1)，4bm(x+1) 与8cm(x+1)的公因式 是2m(x+1).
b-3a可以看做 -(3a-b)，所以 2x(3a-b)与 y(b-3a)的公因式 是3a-b .
例4 把下列多项式因式分解. (1) x( x -2) – 3(x-2) ； (2)x(x -2)-3( 2-x) ．
解 ( a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2 = (a+c)(a-b)2 -(a-c)(a-b)2 = (a-b)2[(a+c)-(a-c)] = (a-b)2(a+c-a+c) = 2c(a-b)2
例6 把12xy2(x+y)-18x2y(x+y) 因式分解. 解 12xy2(x+y)- 18x2y(x+y) = 6xy(x+y)(2y-3x).
解 8x2y4-12xy2z = (4xy2)·2xy2-(4xy2)·3z = 4xy2(2xy2-3z).
说一说 下列多项式中各项的公因式是什么？
(1)2am(x+1)+4bm(x+1)+8cm(x+1)；
答：公因式是2m(x+1).
《提公因式法》数学课件菁选
《提公因式法》数学课件菁选（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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因式分解提公因式课件
THANKS
感谢观看
化简多项式时，需要注意合并同类项 ，使多项式更简洁。
04
提公因式的练习题
基础练习题
01
02
03
04
总结词：巩固基础
1. 提取多项式中的公因式： a^2 + 2ab + b^2
2. 提取多项式中的公因式： 3x^2y - 6x^3y^2 + 9xy^3
3. 提取多项式中的公因式： 4m^2 - 8mn + 4n^2
化简多项式
将提取公因式后的多项式进行化简，得到最简结果。
化简过程中，应注意合并同类项，简化多项式的形式。
03
提公因式的注意事项
确定公因式的正确性
确定公因式时，需要仔细检查 多项式的每一项，确保公因式 是正确的。
可以通过观察多项式的系数、 字母和指数，来确定公因式。
如果多项式的项数较多，可以 先提取出较明显的公因式，再 逐步提取其他公因式。
总结词
挑战高难度
1. 在多项式中找出公因式并提取
a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3
2. 在多项式中找出公因式并提取
16x^4y - 24x^3y^2 + 12x^2y^3 - 4xy^4
3. 在多项式中找出公因式并提取
12m^4n - 18m^3n^2 + 9m^2n^3 - 2mn^4
提公因式的反思
在提公因式的过程中，需要注意 公因式的选择和提取方式，确保 提取的公因式是正确的，并且剩
余项也是正确的。
在实际应用中，有时会出现无法 提取公因式的情况，这时需要寻
找其他方法来化简多项式。
提公因式法虽然是一种有效的化 简多项式的方法，但并不是唯一 的化简方法，还有其他方法如分
提公因式法1精品PPT优质课件
金
不要漏掉。
钥
★首项负，提负号，要变号。
返回
继续
结束
1、请说出下列多项式中各项的公因式。
你的结果是 (1) (2) 正确答案： (1)x (2)3m
(3) (3)2a
(4) (4)5a
(5) (6) (5)xy (6)3xy
2020/12/6
返回
继续
结 束8
2020/12/6
返回
继续
结 束9
★首项负，提负号，要变号。
2020/12/6
1
一、提公因式法(一)
我们先看一个问题： 如图，一块场地由三个矩形组成，这些
矩形的长分别是a、b、c，宽都是m，如何 计算这块场地的面积呢？
根据矩形面积公式，我们很容易得出所求面积为： ma+mb+mc
计算这个式子要做三次乘法和两次加法， 能不能简化一下呢？ 在整式乘法中，我们知道： m(a+b+c)=ma+mb+mc
返回
继续
结束
注意：如果多项式的第一项的系数是负的，
一般要提出“-”号，使括号内的第 一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项 式的各项都要变号。
2020/12,公因式的
系数应取各项系数的最大公约
数;字母取各项的相同的字母,
宝
而且各字母的指数取次数最低
库
的。 ★1作为项的系数，在因式分解时
2020/12/6
返回
继续
结 束3
例1、
分析:应先找出
与
的公因式,
再提公因式进行分解★各项系数都是整
数时,公因式的系数应取各项系数的最大
公约数;字母取各项的相同的字母,而且
《提公因式法》(优质视频实录+配套课件+配套教案+配套练习等素材)-2.doc
第11课时 15.4.1 提公因式法教学设计教学目标知识技能①了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形．②会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式．③会利用提公因式法进行简便计算．过程方法通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式的因式分解的学习，培养换元的意识．情感态度进一步了解从特殊到一般与从一般到特殊的重要数学思想，培养学生良好的思维习惯.通过利用提公因式法进行简便计算的学习．，以此为载体进行爱国主义情感教育..教学重点因式分解的概念．教学难点多项式中公因式的确定和当公因式是多项式时的因式分解．教学用具多媒体教学过程教学流程教学内容设计意图备注回顾与思考复习提问：7×3×2=42因式分解等于多少呢？复习整数乘法，目的是唤起学生对因数分解回忆.探究与发现1.=++mcmbma)1(=-22)2(ba=++222)3(baba2.总结得到：=++mcmbma)1()(cbam++=-22)2(ba))((baba-+=++222)3(baba2)(ba+以整式乘法引入，激发学生的学习兴趣，通过观察—猜想—证明的学习过程培养学生的探索性思维能力，激发学生的求知欲.理解与应用试一试下列从左到右的变形是分解因式的有( )⑴ 6x2y=3xy·2x⑵ a2－b2+1=(a+b)(a－b)+1⑶ a2－ab=a(a－b)⑷ (x+3)(x－3)= x2－9找出下列各多项式中的公因式：（1）8x+64（2）2ab2+ 4abc（3）m2n3-3n2m3例1：8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？练习1(1)ax+xy=( )(a+y)(2)3mx-6my =( )(x-2y)(3)x2y+xy2=( )(x+y)(4)15a2+10a=( )( )(5)12xyz－9x2y2=( )( )练习试一试加深学生对因式分解概念的理解例1：帮助学生理解公因式的概念练习1：为因式分解做准备例2：利用提供因式法因式分解练2帮助学生理解利用提供因式法进行因式分解巩固与提高1.-24x3–12x2 +28x 分解因式.2、若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是：- 6ab，那么另一个因式是（）（A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y（C）-1-3x-4y （D）1-3x-4y例3：把2a(b+c)-3b(b+c)分解因式学生知识的掌握程度，需要用同类型的练习来检验，巩固.练习1主要检查学生对公式的掌握情况；练习2检查学生实际问题的应用能力；练习3提高学生的灵活应用能力，拓展学生思维.例3：采用整体提公因式法收获与感悟1、什么叫因式分解？2、确定公因式的方法：一看系数二看字母三看指数3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：第一步，找出公因式；第二步，提公因式4、用提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽（2）小心漏掉（3）多项式的首项取正号让学生回忆本节新知，帮助学生将新知识顺利地纳入已有的知识体系，对学生课堂积极表现的评价，让学生体验到成功．布置作业1、必做题：2、选做题 2101+299能被5整除吗,为什么照顾不同层次的学生，让不同的人获得不同的收获.板书设计15.4.1提公因式法1、公因式……2、提公因式法例1：例2：例3良好的板书有利于帮助学生养成好的书写和总结归纳的习惯.=+--=-+-=-+-=-=+=-abyabxabm nnmnmxxxxyyxm am ayxy49147)6(264)5(563216)4(4)3(147)2(18x241223234222223）（把下列各式分解因式。
提公因式法.ppt实用课资
21
（1） 22525959911＋1252295599111＋252925599777
解解：：原原式式3＝3＝ 235295×（913（513155＋ 5 1517＋ 5）17155）1155 ；
= 259
（2） 992＋99．
解：原式＝9999（ ×9999+1）99
= 99 ×(99+1)
= 9900
整式的乘法
1、计算下列各式:
x(x+1)= x2 + x；
(x+1)(x-1)= x2－1.
2、请把下列多项式写成整式乘积的形式.
x2 + x= x(x 1)
x2－1= (x 1)(x 1)
把一个多项式化成几个整式积的形式 ，这种变形叫做把这个多项式因式分 解（或分解因式）.
上课教育
1
思考：
因式分解与整式乘法有何关系?
1)定系数 2)定字母 3)定指数
3、用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的乘积）
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）小心漏项（如：1）;（2）公因式可以是多项式形式。
上课教育
33
祝同学们： 天天快乐， 学业有成。
上课教育
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定字母
所以，公因式是3x2 。
上课教育
8
快速出击
1、分别写出下列多项式的公因式：
(1) ax ay
( a)
(2) 3x3 y4 12x2 y
( 3x2y )
(3) 25a3b2 15a2b 5a3b3 ( 5a2b )
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例题讲解
例1 把下列各式因式分解： (1) 3x+x3 (2) 7x3-21x2 (3) 8a3b2-12ab3c+ab
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第11课时§15.4.1 提公因式法
教学建议
本教学设计需2课时完成.在整个教学过程中要重视：
（1）.对因式分解意义的理解教学，认识因式分解与整式的乘法是互逆的恒等变形，防止学生对整式运算与因式分解的概念发生混淆.在概念引入时应引导学生观察、对比因式分解与整式乘法两者的区别、联系，归纳因式分解与整式乘法的变形特点，真正理解因式分解变形的目的和意义，在这基础上给出一些因式分解后结果的特征，例如结果是几个小括号的乘积，括号外面没有加减号等明显特征，让学生辨别一些似是而非的恒等变形，判断这些较明显恒等变形是不是因式分解变形，从而牢固掌握因式分解的含义.
（2）.重视提公因式法分解因式，它是因式分解的最基本的方法，也是最常用的方法.它的理论依据是乘法分配律.在讲解时可以先复习单项式除以单项式，然后练习寻找公因式，提出公因式后再用单项式除以单项式的方法就是提公因式法.用这个方法，首先对要分解的多项式认真观察，确定公因式是至关重要的.
（3）.保证基本的运算技能的落实，避免繁杂的题型训练.符号运算对于数学来说是必不可少的，运用提公因式法分解因式是学习本章内容的一个重要目标，由于因式分解在后面几章的学习中还可以继续巩固，因此教学中要依据教材的要求，适当的分阶段进行必要的训练，使学生在具备基本的运算技能的同时，能够明白每一步的算理.教学中要避免过多繁琐的运算，不追求试题数量和试题的难度.在讲解时要注意：①设置好问题背景；②由易到难，符合学生的认知；③观察学生的思考层次.
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