立体几何两种解法的论文

立体几何中向量法和普通方法的比较立体几何在培养学生空间想象能力、逻辑推理能力等方面有着独到的作用，因而它成为历届高考重点考查的内容之一，在历年的高考中约占12%.高考数学试卷中立体几何的难度不会很大，所以应在基础知识，基本技能落实的基础上注意类比、转化思想，数行结合思想的应用，借助向量知识、点-线-面之间的性质等工具，选取合理、快捷的解题方法.立体几何中常出现的问题无外乎线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质以及空间距离和空间角等这几方面，下面分别从传统法和向量法两种方法阐述这两种方法在解这些问题时的方法。

传统法传统方法是在向量法以前的唯一一种解立体几何的方法，它存在一定的技巧性，只要从多个方面考虑问题解决并不难。

以下从几个方面给出运用传统法的方法。

（一)解决线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质(见表一)（二）传统法解决空间距离的方法①异面直线距离：通常找公垂线段，在根据已知条件求出公垂线段长。

②点到平面的距离：先作出表示距离的线段，再证明它就是所要求的距离，然后再计算；或用等体积法。

③面与面间距离：找出两个面的公垂线，根据已知条件求出公垂线的距离即为面与面间的距离。

（三）传统法解决空间角的方法①异面直线所成的角：将异面直线平移，转化为同一平面内的两条直线，在借助三角形的正、余弦定理求解。

②线面角：先求点到面的距离，通过射影斜线间在同一个三角形内，然后解直角三角形的方法进行求解。

③二面角：方法一：设二面角α-l-β的大小为θ (0≤θ≤π) , a，b分别是平面α，β内且垂直于l的向量,则θ=<a,b> 或θ=π- <a，b> 。

方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，通过射影斜线间的关系，然后通过解直角三角形求角。

（四）解题思路传统法的解题思路：证明平行和垂直主要是依据判定定理和性质定理，计算问题主要是作辅助线、证明、求解的过程，先要做出或寻找到所求的距离或角，然后证明，最后计算.计算一般使用勾股定理，余弦定理等解三角形的知识，解决问题的技巧性较大。

平行垂直直线a 和直线b(1)同平行于直线c 的两直线平行行(2)βα = b ,a //α, a β⊂b a //⇒(3)b a a a b ////,//,⇒=βαβα(4) a ⊥α,b ⊥αb a //⇒(5)两平行平面都和第三个平面相交分别交于a 与b ，则交线平行(1) a ⊥b ,b //c ⇒a ⊥c (2) a ⊥α,b ⊂α⇒a ⊥b (3)三垂线定理及其逆定理 (4) a //α,b ⊥α⇒a ⊥b直线a(b )与平面),(γβα(1) ααα////,,a b a b a ⇒⊂⊄(2) αββα//,//a a ⇒⊂(3)a ⊄α,a ⊥β,α⊥β ⇒a //α(1) ,,,B n m n m =⊂ αa ⊥m, a ⊥n ⇒a ⊥α(2) a //b ,b ⊥α⇒a ⊥α (3) a //β, α⊥β⇒a ⊥α (4) α⊥β,b =βα ,a ⊂β,a ⊥b ⇒a ⊥α(5) α⊥β,β⊥γ,a =γβ ⇒a ⊥α平面α与平面β(1)若α内的两条相交直线a ,b 都平行于β，则α//β(2)α⊥a ,β⊥a ⇒α//β(3)平行于同一平面的两平面平行(1) m ⊥β,m ⊂α⇒α⊥β (2) α//β,α⊥γ⇒β⊥γ表一（见[1][2]）例1：如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。

（I ）证明：直线MN OCD 平面‖；（II ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

(1)证明：取OB 中点E ，连接ME ，NE . AB ME // ,CD AB //, CD ME //∴. 又OC NE // ,∴平面MNE //平面OCD , //MN ∴平面OCD .(2）解：AB CD // ,NM A BDCOMDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）. 作,AP CD P ⊥于连接MP . ⊥OA 平面ABCD , MP CD ⊥∴ .4π=∠ADP ,22=∴DP ,222=+=AD MA MD ,21cos ==∠∴MD DP MDP , 3π=∠=∠MDP MDC , ∴AB 与MD 所成角的大小为3π. (3)解://AB 平面OCD ,∴点A 和点B 到平面OCD 的距离相等. 连接OP ,过点A 作OP AQ ⊥.CD AP ⊥ ,CD OA ⊥, ∴⊥CD 平面OPA , CD AQ ⊥∴,⊥∴AQ 平面OCD ,∴线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离.2232222=++=-=DP AD OA DP OD OP ,22==DP AD ,∴32=⋅=OP AP OA AQ , ∴点B 到平面OCD 的距离为32.（见[3]）例2：如图，直三棱柱111C B A ABC -中，CD AB ⊥,D 、E 分别为1AA 、C B 1的中点，⊥DE 平面1BCC .（1）证明：AC AB =；（2）设二面角C BD A --为60°,求C B 1与平面BCD 所成的角的大小.（1）证明：取BC 中点F ，连接EF ，连接AF . F E , 分别为C B BC 1,的中点， ∴1//BB EF 并且121BB EF =,∴四边形ADEF 为平行四边形， ∴DE AF //.又 ⊥DE 平面1BCC ,∴⊥AF 平面1BCC ,∴BC AF ⊥,AF ∴是BC 的垂直平分线, AC AB =∴.(2)解：作BD AG ⊥，垂足为G ，连接CG . 由三垂线定理知CG ⊥BD ，∴∠AGC 为二面角C BD A --的平面角. 设AC =2.∴AG =232=AB 22,=BC 2=∴AFAB AD AG BD ⋅=⋅,∴2AD =222.23AD +，解得AD =2. ∴AF AD =. AF AD ⊥，∴四边形ADEF 为正方形.AF BC ⊥，BC ⊥AD ，AF ∩AD =A ， ∴BC ⊥平面DEF ，∴平面BCD ⊥平面DEF .连接AE 、DF 、CH ，设AE ∩H DF =， ∴DF EH ⊥，EH ⊥平面BCD ,∴∠ECH 为1B C与平面BCD 所成的角. ABCD 为正方形，AD =2， ∴EH =1.221==BC EC ,∴∠ECH =300，∴1B C与平面BCD 所成的角为300.(见[4])二、向量法向量的应用是在熟练三视图的解题方法后，通过建立空间直角坐标系，找向量与向量之间的关系从而得到想要的结论。

（一）证明线线、线面、面面的平行的方法①线线平行：设a ，b分别是两条不重合的直线a ,b 的方向向量,则a ∥b ⇔a=b λ (λ∈R ，且λ≠0）。

②线面平行：方法一：设直线l 在平面α外，a 是l 的一个方向向量,n是α的一个法向量, 则l //α⇔a ⊥n ⇔0=⋅n a。

方法二：对于向量q ，存在实数y x ,，有b y a x q +=（a 与b 不共线），则q 与a ，b 共面，即q 与a、b 所确定的平面平行或在其内。

③面面平行：设1n ,2n 分别是两个不重合的平面α,β的法向量α//β⇔1n //2n ⇔1n =λ2n (λ∈R ，且λ≠0)。

（二）证明线线、线面、面面的垂直的方法 ①线线垂直：设a ,b 分别为直线1l ,2l 的一个方向向量,则21l l ⊥⇔⊥a b ⇔a ·b = 0。

②线面平行： 设a 为直线l 的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,那么要使l 垂直于α的条件： l ⊥α⇔a //n ⇔a =λn(λ∈R ，且λ≠0)。

③面面垂直：设m ,n 分别为平面α,β的一个方向向量,则α⊥β⇔ m ⊥n ⇔m ·n =0。

（三）向量法求解空间距离的方法①两点间的距离：设空间两点),,(111z y x A ,),,(222z y x B 的距离：d =221221221)()()(z z y y x x AB -+-+-= .②点线间的距离：点P ∉直线l ,设a 是直线l 的一个法向量,在l 上取点A ，PA 在a上的投影为|OA |=aaPA ⋅,则点P 到直线l 的距离d =|OA | =aaPA ⋅。

③点到面的距离:方法一：设点),,(0000z y x M ∉β，平面β的方程为：0=+++D Cz By Ax 。

空间中点M 0到平面β的距离公式: d =222000C B A z C y B x A ++++ .方法二：设平面α的斜线MN ∩α=N ,n是α的一个法向量,则点A 到平面α的距离d =nnMN ⋅ 。

④线线间的距离：设a ,b 分别是异面直线a ,b 的方向向量,n 是a ，b 的法向量，在a ，b 上各取一点B A ,,AB 在n 上的投影nn AB B A ⋅=''。

（四）向量法求解空间角问题的方法①线线角：设异面直线a 、b 的夹角为θ( 0＜θ≤2π) ，a、b 分别为a ,b 的一个方向向量,则cos θ =|cos <a ,b >| =ba ba ⋅⋅。

②线面角：若直线a 与平面α斜交于B 点，P 在直线a 上，PA ⊥α于A ，n 为平面α的法向量，a 与α所成角为θ (0≤θ≤2π)，则sin θ=sin(2π-〈n PA ,〉)=cos 〈n PA ,〉= n PB nPB ⋅。

③二面角：二面角α－l －β为θ (0≤θ≤π)，n 为平面α的法向量，m 为平面β的法向量，则cos θ =cos 〈m n ,〉＝nm nm ⋅，那么向量n ，m 的夹角 〈m n ,〉 就是二面角α－l －β（或其补角）的大小。

以上是应用向量法求解和证明立体几何是需要用到的基础知识，要想很好的应用向量法必须熟记以上内容。

但是在实际解题时，具体问题需具体分析，从多方面考虑入手，寻找解题的捷径。

向量法解题思路利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系，并且给出用空间向量解决立体几何问题的三步骤：①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系以及距离和夹角问题； ③把向量的运算结果翻译成相应的几何意义. 下面用向量法分别解例1、例2。

例1：（1）证明：作AP CD ⊥于点P ,以AO AP AB ,,所在直线为,,x y z 轴建立坐标系.则22222(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),(,,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,,0)22244A B P D O M N --,于是22222(1,,1),(0,,2),(,,2)44222MN OP OD =--=-=-- .xyz NMABD C OP设平面OCD 的法向量为 ),,(z y x n = ，则 ∴),,(z y x n =,0=⋅OP n ,0=⋅OD n .即 2202222022y z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩ 取2z =,解得)2,4,0(=n ,=⋅n MN (1,42,421--)0)2,4,0(=⋅, MN OCD ∴平面‖.（2）解：设AB 与MD 所成的角为θ,)1,22,22(),0,0,1(--==MD AB ,21cos =⋅⋅=∴MDAB MD AB θ ,3πθ=∴, ∴ AB 与MD 所成角的大小为3π.(3) 解：设点B 到平面COD 的距离为d ,∴d 为OB在向量(0,4,2)n =上的投影的绝对值,(1,0,2)OB =-,∴23OB n d n ⋅==,∴点B 到平面COD 的距离为23.(见[4][5])点析：线面平行的证明、异面直线所成的角，点到直线的距离，既可以用综合方法求解，也可以用向量方法求解，前者较简便，因为应用向量法计算上会花费很大功夫，个人喜欢再求二面角时使用向量法。