2019-2020学年人教版必修第二册 第六章 第3节 向心加速度 学案

第3节 向心加速度学习目标核心素养形成脉络1.理解向心加速度的产生及向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，知道其方向总是指向圆心且时刻改变．2．知道决定向心加速度的有关因素，并能利用向心加速度公式进行有关计算.一、匀速圆周运动的加速度方向1．向心加速度：做匀速圆周运动的物体指向圆心的加速度． 2．方向：沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直． 二、匀速圆周运动的加速度大小 向心加速度的大小：a n ＝v 2r或a n ＝ω2r ．思维辨析(1)匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动．( )(2)匀速圆周运动的向心加速度的方向始终与速度方向垂直．( ) (3)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零．( )(4)匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心，大小不变．( ) (5)变速圆周运动的向心加速度的方向不指向圆心，大小变化．( ) (6)根据a ＝v 2r 知加速度a 与半径r 成反比．( )提示：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)× 基础理解地球在不停地公转和自转，关于地球的自转，思考以下问题： 地球上各地的角速度大小、线速度大小、向心加速度大小是否相同？提示：地球上各地自转的周期都是24 h ，所以地球上各地的角速度大小相同，但由于各地自转的半径不同，根据v ＝ωr 可知各地的线速度大小不同．地球上各地自转的角速度相同，半径不同，根据a n ＝ω2r 可知，各地的向心加速度大小因自转半径的不同而不同．对向心加速度的理解问题导引甲乙1．如图甲所示游客乘坐摩天轮做匀速圆周运动时，有加速度吗？方向向哪？2．如图乙所示，小球在拉力作用下做匀速圆周运动，小球受几个力、合力方向如何？产生的加速度指向哪个方向？[要点提示] 1.有加速度指向圆心2．两个力合力指向圆心加速度指向圆心【核心深化】1．物理意义描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢．2．方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．3．圆周运动的性质不论向心加速度a n的大小是否变化，a n的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．4．变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．(2019·四川泸州期中)下列关于向心加速度的说法正确的是() A．向心加速度越大，物体速率变化得越快B．向心加速度的大小与轨道半径成反比C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量[解析]向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，故A错误；向心加速度由外力所提供的向心力及物体质量决定，与速率及半径无关，故B错误；向心加速度为沿半径方向的加速度，方向始终时刻改变，指向圆心，且方向垂直速度方向，故C 正确，D 错误．[答案] C关于向心加速度，下列说法正确的是( )A ．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量B ．向心加速度是描述线速度的方向变化快慢的物理量C ．向心加速度时刻指向圆心，方向不变D ．向心加速度是平均加速度，大小可用a ＝v －v 0t来计算解析：选B.加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，A 错误，B 正确；虽然向心加速度时刻指向圆心，但是沿不同的半径指向圆心，所以方向不断变化，C 错误；加速度公式a ＝v －v 0t 适用于平均加速度的计算，向心加速度一般是指瞬时加速度，D 错误．对向心加速度公式的理解与应用 问题导引如图所示，两个啮合的齿轮，其中A 点为小齿轮边缘上的点，B 点为大齿轮边缘上的点，C 点为大齿轮中间的点．(1)哪两个点的向心加速度与半径成正比？ (2)哪两个点的向心加速度与半径成反比？[要点提示] (1)B 、C 两个点的角速度相同，由a n ＝ω2r 知向心加速度与半径成正比． (2)A 、B 两个点的线速度相同，由a n ＝v 2r 知向心加速度与半径成反比．【核心深化】 1．向心加速度的公式a n ＝v 2r ＝ω2r ＝4π2T 2r ＝4π2n 2r ＝4π2f 2r ＝ωv .2．对向心加速度大小与半径关系的理解 (1)当r 一定时，a n ∝v 2，a n ∝ω2. (2)当v 一定时，a n ∝1r.(3)当ω一定时，a n ∝r .(4)a n 与r 的关系图像：如图所示．由a n －r 图像可以看出：a n 与r 成正比还是反比，要看是ω恒定还是v 恒定．关键能力1 向心加速度公式的应用(2019·河北张家口期中)如图所示，在光滑水平面上，轻弹簧的一端固定在竖直转轴O 上，另一端连接质量为m 的小球，轻弹簧的劲度系数为k ，原长为L ，小球以角速度ω绕竖直转轴做匀速圆周运动(k >mω2)．则小球运动的向心加速度为( )A ．ω2LB.k ω2Lk －mω2 C.k ωL k －mω2D.ω2Lk －mω2[解析] 设弹簧的形变量为x ，则有：kx ＝mω2(x ＋L )，解得：x ＝m ω2Lk －mω2，则小球运动的向心加速度为a ＝ω2(x ＋L )＝k ω2Lk －mω2，B 正确．[答案] B关键能力2 传动装置中向心加速度的分析(2019·安徽示范中学期中)如图所示的皮带传动装置中，轮B 和C 同轴，A 、B 、C 分别是三个轮边缘的质点，且其半径R A ＝R C ＝2R B ，则三质点的向心加速度之比a A ∶a B ∶a C 等于( )A ．4∶2∶1B ．2∶1∶2C ．1∶2∶4D ．4∶1∶4[解析] 由于B 轮和A 轮是皮带传动，皮带传动的特点是两轮与皮带接触点的线速度的大小与皮带的线速度大小相同，故v A ＝v B ，v B ∶v A ＝1∶1；由于C 轮和B 轮共轴，故两轮角速度相同，即ωC ＝ωB ，故ωC ∶ωB ＝1∶1，由角速度和线速度的关系式v ＝ωR 可得v C ∶v B ＝R C ∶R B ＝2∶1，则v A ∶v B ∶v C ＝1∶1∶2，又因为R A ＝R C ＝2R B ，根据a ＝v 2r 得：a A ∶a B ∶a C ＝1∶2∶4，故选C.[答案] C分析此类问题的关键有三点：一是同一轮上各点的角速度相等；二是皮带不打滑时，同一皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等；三是灵活选择向心加速度的表达式．抓住了这三点，结合圆周运动中各物理量之间的关系可以很快得出正确答案．【达标练习】1．(2019·山西吕梁期中)两架飞机在空中沿水平面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路径之比为2∶3，运动方向改变的角度之比为4∶3.它们的向心加速度之比为( )A ．2∶3B ．8∶9C ．2∶1D ．1∶2解析：选B.两架飞机做匀速圆周运动，由于在相同的时间内它们通过的路程之比是2∶3，所以它们的线速度之比为v 1∶v 2＝2∶3；由于在相同的时间内运动方向改变的角度之比是4∶3，所以它们的角速度之比为ω1∶ω2＝4∶3；由于向心加速度a ＝v ω，故向心加速度之比为a 1∶a 2＝8∶9，故选B.2．(2019·江苏高邮期中)如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑．图中有A 、B 、C 三点，这三点所在处半径r A >r B ＝r C ，则这三点的向心加速度a A 、a B 、a C 间的关系是( )A ．a A ＝aB ＝aC B ．a C >a A >a B C ．a C <a A <a BD ．a C ＝a B >a A解析：选C.A 、B 两点通过同一根皮带传动，线速度大小相等，即v A ＝v B ，由于r A >r B ，根据a ＝v 2r 可知a A <a B ；A 、C 两点绕同一转轴转动，有ωA ＝ωC ，由于r A >r C ，根据a ＝ω2r可知a C <a A ，所以a C <a A <a B ，故选项C 正确，A 、B 、D 错误．1．(2019·吉林白城期中)下列关于向心加速度的说法中，正确的是( ) A ．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化 B ．向心加速度的方向始终保持不变 C ．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D ．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直解析：选D.向心加速度的方向始终沿半径方向指向圆心，与速度垂直，它的方向始终在改变，故B 错误，D 正确；匀速圆周运动的向心加速度的大小始终不变，但是方向时刻改变，所以匀速圆周运动的向心加速度时刻改变，故A 、C 错误．2．(2019·浙江温州期末)如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中()A．笔尖的角速度不变B．笔尖的线速度不变C．笔尖的加速度不变D．笔尖在相等的时间内转过的位移不变解析：选A.匀速圆周运动的物体角速度是不变的，故选项A正确；线速度是矢量，在匀速转动圆规画圆的过程中，线速度大小不变，方向时刻改变，所以笔尖的线速度是变化的，故选项B错误；笔尖的加速度大小不变，方向时刻改变，所以笔尖的加速度是变化的，故选项C错误；笔尖在相等时间内转过的路程相等，但转过的位移不一定相等，故选项D错误．3．(2019·新疆兵团期末)由于地球自转，比较位于赤道上的物体A与位于北纬60°的物体B，则()A．它们的角速度之比ωA∶ωB＝2∶1B．它们的线速度之比v A∶v B＝2∶1C．它们的向心加速度之比a A∶a B＝1∶2D．它们的向心力之比F A∶F B＝2∶1解析：选B.因为两个物体同轴转动，所以角速度相等，则ωA∶ωB＝1∶1，故A错误；设赤道的半径为R，物体A处于赤道，运动半径为r A＝R，物体B处于北纬60°，运动半径为r B＝R cos 60°＝0.5R；由v＝ωr，ω相等，得v A∶v B＝r A∶r B＝2∶1，故B正确；由a ＝ω2r，ω相等，得a A∶a B＝r A∶r B＝2∶1，故C错误；由F＝ma，由于两物体的质量关系不确定，不能确定向心力的关系，故D错误．4．(2019·福建泉州期中)如图所示，转动自行车的脚踏板时，关于大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的A、B、C三点的向心加速度的说法正确的是()A．A点的向心加速度比B点的大B．B点的向心加速度比C点的大C ．C 点的向心加速度最大D ．以上三种说法都不正确解析：选C.因A 、B 线速度相等，则应用向心加速度公式a n ＝v 2r ，又因A 的半径大于B的半径，可知，A 的向心加速度小于B 的向心加速度，故A 错误；B 与C 绕同一转轴转动，角速度相等，根据a n ＝ω2r 可知半径大的向心加速度大，则C 的加速度大，故B 错误；由以上分析可知，C 点的向心加速度最大，故C 正确，D 错误．(建议用时：30分钟)A 组 学业达标练1．关于做匀速圆周运动的物体的向心加速度，下列说法正确的是( ) A ．向心加速度大小与轨道半径成正比 B ．向心加速度大小与轨道半径成反比 C ．向心加速度方向与向心力方向不一致 D ．向心加速度指向圆心解析：选D.由公式a ＝v 2r 可知，当线速度一定时，加速度的大小与轨道半径成反比；由公式a ＝rω2可知，当角速度一定时，加速度的大小与轨道半径成正比，A 、B 没有控制变量，故A 、B 均错误；由牛顿第二定律可知，向心加速度与向心力的方向一致，故C 错误；向心力始终指向圆心，故D 正确．2．(2019·甘肃金昌期中)关于向心加速度的物理意义，下列说法中正确的是( ) A ．它描述的是线速度方向变化的快慢 B ．它描述的是线速度大小变化的快慢 C ．它描述的是角速度变化的快慢D ．匀速圆周运动的向心加速度是恒定不变的解析：选A.向心加速度只改变物体的速度的方向而不改变速度的大小，所以向心加速度表示物体线速度方向变化快慢，故A 正确，B 、C 错误；匀速圆周运动的向心加速度大小不变，方向始终指向圆心，则向心加速度是变化的，并非恒定不变的，故D 错误．3．关于甲、乙两球做匀速圆周运动，向心加速度a 随半径r 变化的关系图像如图所示，由图像可以知道( )A ．甲球运动时，线速度大小保持不变B ．甲球运动时，角速度大小保持不变C ．乙球运动时，周期保持不变D ．乙球运动时，角速度大小保持不变解析：选B.由于甲的图像为过原点的直线，说明a 与r 成正比，由向心加速度的公式a ＝rω2可知，甲球运动的角速度不变，或者说周期不变，所以A 错误，B 正确；由于乙为双曲线的一个分支，说明a 与r 成反比，由向心加速度的公式a ＝v 2r 可知，乙球运动的线速度大小不变，则C 、D 错误．4．(2019·广西柳州期中)一个匀速圆周运动的物体，它的周期不变，轨道半径变为原来的4倍，则向心加速度变为( )A ．与原来的相同B ．原来的2倍C ．原来的4倍D ．原来的8倍解析：选C.根据a ＝ω2r ＝4π2rT 2可知，一个匀速圆周运动的物体，它的周期不变，轨道半径变为原来的4倍，则向心加速度变为原来的4倍，选项C 正确，A 、B 、D 错误．5．(2019·河南洛阳期中)2019年春节期间电影《流浪地球》的热播使人们关注到影视中“领航员号”空间站通过让圆形空间站旋转的方法获得人工重力的情形，即刘培强中校到达空间站时电脑“慕斯”所讲的台词“离心重力启动”，空间模型如图，已知空间站半径为1 000 m ，为了使宇航员感觉跟在地球表面上的时候一样“重”，g 取10 m/s 2，空间站转动的角速度为( )A ．10 rad/sB ．1 rad/sC ．0.1 rad/sD ．0.01 rad/s解析：选C.空间站中宇航员做匀速圆周运动，使宇航员感受到与地球一样的“重力”是向心力所致，则根据g ＝ω2r ，则ω＝gr＝0.1 rad/s ，故选项C 正确，A 、B 、D 错误． 6．(2019·贵州湄潭期中)如图所示，细杆上固定两个小球 a 和 b ，杆绕 O 点做匀速转动．下列说法正确的是()A．v a＝v bB．ωa＝ωbC．a 球的向心加速度比b 球的大D．a 球所需的向心力比b 球的大解析：选B.由同轴转动的物体上各点的角速度相同，即ωa＝ωb，由于a、b两球做圆周运动的半径r a<r b，由公式v＝ωr，所以v a<v b，故A错误，B正确；由公式a n＝ω2r可得，a 球的向心加速度比b球的小，故C错误；由公式F＝ma n可知，由于两球的质量关系不清楚，所以无法确定a、b两球所需的向心力大小，故D错误．7．(2019·四川攀枝花期末)中国保护大熊猫研究中心之一的雅安碧峰峡基地位于东经103°，北纬30°.地球可以看作半径为R的球体，则在该中心处的物体与赤道上的物体随地球自转的向心加速度之比为()A.3∶3B.3∶2C．2∶ 3 D．1∶2解析：选B.向心加速度a＝rω2，在该中心处的物体与赤道上的物体随地球自转的角速度相同，所以加速度之比为轨道半径之比，即R cos 30°∶R＝3∶2，B正确．8．(多选)如图所示，轻绳一端系一小球，另一端固定于O点，在O点正下方的P点钉一颗钉子，使线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当小球第一次通过最低点，悬线碰到钉子瞬间()A．小球的瞬时速度突然变大B．小球的角速度突然变大C．小球的向心加速度突然变小D．线所受的拉力突然变大答案：BD9．如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行进时，大轮边缘上A点的向心加速度是0.12 m/s2，那么小轮边缘上的B点向心加速度是多少？大轮上距轴心的距离为0.5R的C点的向心加速度是多大？解析：大轮边缘上A 点的线速度大小与小轮边缘上B 点的线速度大小相等．由a A ＝v 2R 和a B ＝v 2r 得：a B ＝Rra A ＝2×0.12 m/s 2＝0.24 m/s 2C 点和A 点同在大轮上，角速度相同，由a A ＝ω2R 和a C ＝ω2·R2得：a C ＝12a A ＝12×0.12 m/s 2＝0.06 m/s 2.答案：0.24 m/s 2 0.06 m/s 2 B 组 素养提升练10．(多选)(2019·黑龙江大庆期中)如图，在光滑的水平面上两个质量相等的小球A 、B ，用两根等长的轻绳连接．现让两小球A 、B 以O 为圆心、以相同的角速度做匀速圆周运动，A 球的向心加速度为a 1，B 球的向心加速度为a 2，A 球与圆心间的绳所受拉力记为F 1，A 球与B 球间的绳所受拉力记为F 2，则下列说法中正确的是( )A ．a 1∶a 2＝1∶1B ．a 1∶a 2＝1∶2C ．F 1∶F 2＝2∶1D ．F 1∶F 2＝3∶2解析：选BD.设A 球与圆心间的绳和A 球与B 球之间绳的长度均为l ，角速度相等，根据a ＝rω2，有a 1∶a 2＝l ∶2l ＝1∶2，故A 错误，B 正确；对B 球有：F 2＝m ·2lω2，对A 球有：F 1－F 2＝mlω2，联立两式解得F 1∶F 2＝3∶2，故C 错误，D 正确．11．(多选)(2019·黑龙江鹤岗期中)如图所示，在光滑水平面上钉有两个钉子A 和B ，一根长细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A 上，开始时小球与钉子A 、B 均在一条直线上(图示位置)，且细绳的一大部分沿俯视顺时针方向缠绕在两钉子上，现使小球以初速度v 0在水平面上沿俯视逆时针方向做匀速圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是( )A ．小球的线速度变大B ．小球的角速度变小C ．小球的向心加速度不变D ．细绳对小球的拉力变小解析：选BD.在绳子完全被释放后与释放前相比，小球所受的拉力与速度垂直，不改变速度大小，故A 错误．由v ＝ωr ，v 不变，r 变大，则角速度ω变小，故B 正确．小球的加速度a ＝v 2r ，r 变大，向心加速度变小，故C 错误．细绳对小球的拉力F ＝ma ＝m v 2r ，r 变大，细绳对小球的拉力变小，故D 正确．12．(2019·江西上饶期中)如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑．在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点，分别为A、B、C，已知三个轮的半径比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1.求：(1)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；(2)A、B、C三点的向心加速度大小之比a A∶a B∶a C.解析：(1)A、C共轴转动，角速度相等，A、B两点靠传送带传动，线速度大小相等，根据v＝rω，ωA∶ωB＝r2∶r1＝1∶2所以A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1.(2)A、B两点靠传送带传动，线速度大小相等，A、C共轴转动，角速度相等，根据v ＝rω，则v A∶v C＝r1∶r3＝2∶1所以A、B、C三点的线速度大小之比v A∶v B∶v C＝2∶2∶1根据a n＝vω，可知，A、B、C三点的加速度之比为2∶4∶1.答案：(1)1∶2∶1(2)2∶4∶111。