【ks5u首发】河北省衡水中学2012届高三下学期二调考试(数学理)

2011—2012学年度下学期二调考试高三理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。

1．已知U =R ，{}|0A x x =>, {}|1B x x =≤-,则()()u u A C B B C A = （ ）A ．∅B ．{}|0x x ≤C ．{}|1x x >-D ．{}|01x x >≤-或x 2．已知x 为实数，条件p ：x 2<x ，条件q ：x1≥1，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知等差数列1，,a b ，等比数列3，2,5a b ++，则该等差数列的公差为 （ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-4．定义在R 上的偶函数)(x f 满足),()1(x f x f -=+且在]4,5[--上是减函数， βα、是锐角三角形的两个内角，则（ ） A.)(cos )(sin βαf f > B.)(sin )(sin βαf f > C.)(cos )(sin βαf f < D.)(cos )(cos βαf f >5.如右框图，当x 1=6,x 2=9,p=8.5时，x 3等于（ ） A ．11 B ．10 C ．8 D ．76. 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z 的值依次是 ( ) A.13,39,123 B. 42,41,123 C.24,23,123 D.28,27,1237.从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为 （ ） A.87 B. 85 C. 65 D. 43 8. 已知函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象与直线y = b (0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则)(x f 的单调递增区间是（ ）A. []Z k k k ∈+,36,6ππB. []Z k k k ∈-,6,36C. []Z k k k ∈+,36,6D. 无法确定9.投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1，2，3，4，5，6)，向上的面上的数字记为α，又n (A)表示集合的元素个数，A={x |x 2+αx +3=1，x ∈R}，则n (A)=4的概率为（ ）A.61 B ．21 c ．32 D ． 3110. 设∠POQ=60°在OP 、OQ 上分别有动点A ，B ，若·=6， △OAB 的重心是G ，则|| 的最小值是( )A.1 B ．2 C ．3 D ．411.设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是 （ ）(A)21 (B)22 (C) 23(D)41 12. 已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝( ) A ．1210- B ．129- C ．45 D ．55第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设函数1(()2)0(2)x f x x x ⎧≤=<≥⎪⎩，则20101()f x dx -⎰的值为________.14.正四面体ABCD 的外接球的球心为0,E 是BC 的中点，则直线OE 与平面BCD 所成角的正切 值为 .15．已知曲线1ln )(++=bx x a x f 在点（)1(,1f ）处的切线斜率为-2，且32=x 是)(x f y =的极值点，则a-b= . 16.关于)42sin(3)(π+=x x f 有以下命题：①若,0)()(21==x f x f 则)(21Z k k x x ∈=-π； ②)(x f 图象与)42cos(3)(π-=x x g 图象相同；③)(x f 在区间]83,87[ππ--上是减函数； ④)(x f 图象关于点)0,8(π-对称。

其中正确的命题是 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17. （本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和n S 满足:n S ＝n n a －2n （n －1）．等比数列{n b }的前n 项和为n T ，公比为1a ，且5T ＝3T ＋25b ． （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设数列{11n n a a ＋}的前n 项和为n M ，求证：15≤n M <14．18. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD 为蓌形，PA ⊥平面ABCD,∠ABC=60°，E,F 分别是BC,PC 的中点。

（Ⅰ）求证：AE ⊥PD ；（Ⅱ）若直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为46，求二面角E-AF-C 的余弦值．19.（本小题满分12分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同。

每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在一次游戏中①摸出3个白球的概率；②获奖的概率。

(2)求在两次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E(x)。

20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：2222by a x +=1（a>b>0）的离心率为21，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+6=0相切。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P （4，0），A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交随圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；21. （本小题满分12分） 设()ln af x x x x=+， 32()3g x x x =--． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ； （3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且,,CB CA OB OA ==⊙O接CD EC ,．（I ）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （II ）若,21tan =∠CED ⊙O 的半径为3，求OA 的长．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 1：x 2+y 2=1，以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(2cos θ-sin θ)=6.（Ⅰ）将曲线C 1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的3、2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程.（Ⅱ）在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值．24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|21|2,()|2| 3.f x x g x x =-+=-++ （Ⅰ）解不等式：()2g x ≥-；（Ⅱ）当x R ∈时，()()2f x g x m -≥+恒成立，求实数m 的取值范围。

2011—2012学年度下学期二调考试答案 理科数学一、选择题1.D2.A3.C4.A5.C6.B7.C8.C9.D 10.B 11.A 12. C6.解析：观察各项我们可以发现：x 为前一项的3倍即14×3，y 为前一项减1，z 为前一项的3倍，故应选42，41，123，选B 二、填空题 13.3π+15. 10 16. ②③④ 三、解答题18.（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC.又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD. 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE. 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA ∩AD=A ，所以 AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD.所以 AE ⊥PD.……6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设AB=2，AP=a ，则A （0，0，0），B （3，-1，0），C （3，1，0），D （0，2，0），P （0，0，a ），E （3，0，0），F （22123a，，）， 所以 =（3，-1，-a ），且 =(3，0，0）为平面PAD 的法向量，设直线PB与平17.面PAD 所成的角为θ，由sin θ=|cos ＜ ， ＞|AE ||PB |∙=3432a +=46……8分 解得a=2 所以 ＝（3,0,0）， ＝（23，21，1） 设平面AEF 的一法向量为m=(x 1,y 1,z 1)，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AF m AE m ，因此⎪⎩⎪⎨⎧=++=02123,031111Z y x x 取z 1=-1，则m=(0,2,-1),……10分 因为BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，PA ∩AC=A ，所以BD ⊥平面AFC ，故为平面AFC 的一法向量.又=（-3,3,0），所以cos ＜m,＞51512532||=⨯⨯=⋅BDm .因为二面角E-AF-C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为515.……12分 19.（1） ① 设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件i A （i = 0 , 1, 2, 3）, 则P(3A ) = 5123122523=⋅C C C C ……………………3分② 设“在1次游戏中获奖为事件B ” 则B = 32A A ⋃又P(2A ) = 21231225121323222523=⋅⋅+⋅C C C C C C C C C 且2A , 3A 互斥， 所以1075121)()()(32=+=+=A P A P B P ………………6分 （2）由题意可知X 的所有可能取值为0， 1，21009)1071()0(2=-==x P 5021107)1071()1(12=-==C x P10049)107()2(2===x P所以x 的分布列是 x 012P10095021 10049X 的数学期望是E(X) = 571004925021110090=⋅+⋅+⋅…………………………12分 20.解：（Ⅰ）由题意知e=a c =21，所以e 2=22c a =222cb -a =41．即a 2=43b 2． 又因为b=116+=3，所以a 2=4，b 2=3．故椭圆的方程为3422y x +=1.…4分 （Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y=k(x-4)．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)4(22y x x k y ,得（4k 2+3）x 2-32k 2x+64k 2-12=0． ①…6分设点B(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，则A(x 1,-y 1)．直线AE 的方程为y-y 2=1221x x y y -+(x-x 2)．令y=0，得x=x 2-12122)(y y x x y +-．将y 1=k(x 1-4)，y 2=k(x 2-4)代入，整理，得x=8)(42212121-++-x x x x x x ． ②…8分由①得x 1+x 2=34k 3222+k ，x 1x 2=3412k 6422+-k …10分 代入②整理，得x=1． 所以直线AE 与x 轴相交于定点Q(1,0)．……12分 21. 解：（1）当2a =时，2()ln f x x x x =+，22'()ln 1f x x x=-++，(1)2f =，'(1)1f =-，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+； 4分 （2）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立等价于：12max [()()]g x g x M -≥，考察32()3g x x x =--，22'()323()3g x x x x x =-=-，由上表可知：min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==， 12maxmax min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=，所以满足条件的最大整数4M =； 8分 3）当1[,2]2x ∈时，()ln 1af x x x x=+≥恒成立，等价于2ln a x x x ≥-恒成立， 记2()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--， '(1)0h =。