全等三角形的性质及判定(讲义及答案)
《全等三角形》讲义
《全等三角形》讲义一、全等三角形的定义两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形。
“完全重合”意味着它们的形状和大小完全相同，对应边相等，对应角也相等。
例如，我们将一个三角形沿着某条直线对折，如果对折后的两部分能够完全重合，那么这就是一个全等三角形。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这是全等三角形最基本的性质之一。
如果两个三角形全等，那么它们对应的三条边的长度是相等的。
比如，三角形 ABC 全等于三角形DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等同样，如果两个三角形全等，它们对应的三个角的度数也是相等的。
还是以上面的例子来说，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的周长相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长也必然相等。
4、全等三角形的面积相等由于全等三角形的形状和大小完全相同，所以它们所覆盖的面积也是相等的。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么可以得出这两个三角形全等。
3、 ASA（角边角）当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，这两个三角形全等。
例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，∠C ＝∠F，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么这两个三角形全等。
全等三角形的性质及判定(经典讲义)
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（ ）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________（ ） 或 ∵AC=EF∴____________________∴__________（ ）AB=AB （ ）在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．BFECAFE DCB ACMBA B A例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
全等三角形 培优讲义
第6讲 全等三角形一、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
对应角：∠A=∠A ′∠B=∠B ′∠C=∠C ′△ AB C ≌'''A B C ∆ AB=''A B对应边： BC =''B C AC =''A C 二、全等三角形的判定：1、两边及夹角对应相等的两个三角形全等。
AB=''A B∠B=∠B ′ △AB C ≌'''A B C ∆ （SAS ）BC =''B C（1）、已知：如图，AD ∥BC ，AD ＝CB ，你能说明△ADC ≌△CBA 吗？ 证明： ∵AD ∥BC （已知）∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）在 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠=∠（公共边）＝（已证）（已知）＝ ∴ ≌ （ ）A B C A ′B ′C ′ACBDA BCA ′B ′C ′（2）、如图，AB＝AC ，AD平分∠BAC，你能证明△ABD≌△ACD？证明：∵AD平分∠BAC（）∴∠＝∠（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中∴△ABD △ACD（）（3）、如图（五--1），点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，AB∥ED ，AC=FD ，求证：AB=DE（4）、如图，已知AB＝AC，AE＝AD，∠1＝∠2，你能说明△ABD≌△ACE吗？（5）、求证：等腰三角形的两底角相等。
2、三边对应相等的两个三角形全等。
AB CA′B′C′AB CD图五—1BEADCFAB CDE12AB=''A BBC =''B C △AB C ≌'''A B C ∆ （SSS ）AC =''A C（1）、如图，已知AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，你能说明AD 是角平分线吗？ 证明：∵AD 是BC 边上的中线（已知）∴ ＝ （中线的定义） 在 中∴ ≌ （ ）∴ ＝ （全等三角形的对应角相等） ∴AD 是角平分线（ ）（2）．如图，已知：AC=AD ，BC=BD 求证：∠1=∠2 (泉州)证明：（3）、已知AB=DE ，AC=DF ，BF=EC ， 求证：∠B=∠F证明：3、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
全等三角形的讲义整理讲义
全等三角形专题一 全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。
）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。
【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与 是对应边，BC 与 是对应边， CA 与 是对应边；(2)∠A 与 是对应角，∠ABC 与 是对应角， ∠BAC 与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。
【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ .【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相DABCOE ABCD等，对应角的角平分线相等）【例题2】 （海南省中考卷第5题） 已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．【练习2】 如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ）A 20° B．30° C ．35° D ．40°【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ， 且∠ABD=90°。
全等三角形的性质及判定(培优)
全等三角形的性质及判定一： 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 全等三角形除了具有上述性质外，还具有以下性质：全等三角形的面积相等；全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应边上的角平分线相等．灵活运用这些性质，可以简捷地证明一些命题，下面以例说明．例1 已知：如图1，ABC A B C '''△≌△，AD A D ''，分别是ABC △和A B C '''△的高. 求证：AD A D ''=．例2 已知：如图3，AB AC AD AE ==，，AB DC ，相交于点M ，AC BE ，相交于点N ，AP DC ⊥于P ，AQ BE ⊥于Q ，且DAB EAC =∠∠．求证：AP AQ =．图1 ADC BA 'D 'C 'B ' A E QPDMN练一练第1题. 如图，ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=o，25B D ∠=∠=o，120EAB ∠=o，求DFB ∠和DGB ∠的度数．第2题. 如图，已知点C 是线段AB 上的任一点（C 点与A ，B 点不重合）分别以AC ，BC 为边在线段AB 的同侧作等边ACD △和等边BCE △,AE 与CD 相交于M ，BD与CE 相交于N ．求证：①ACE DCB △≌△，②//MN AB ．第3题. 已知：ABC A B C ''△≌△，ABC △的三边为3m n ，，，A B C ''△的三边为5p q ，，，若ABC △的各边都是整数，则m n p q +++的最大值为多少？第4题. 长为l 的两根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x 的取值范围为（ ） Ａ．64l l x <≤ Ｂ．84ll x <≤ Ｃ．64l l x << Ｄ．84l lx <<二： 在说明线段相等以及角相等的一类问题时，所要说明的两条线段或两个角若不在同一个三角形中一般是考虑添加辅助线来构造全等三角形，如何添加辅助BEDANM线？方法很多，下面介绍三种主要方法：(一)、平移法例1 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，以AB、AC为边在△ABC 外作等边△ABD、△ACE，连接DE交AB于F，试说明：DF＝FE．(二)、旋转法例2 如图2，在△ABC中，AB＝BC＝CA，∠BPC＝120°，试说明：AP＝BP＋PC．(三)、翻折法例3 如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 点作CE ⊥AB ，垂足为E ，并且1()2AE AB AD =+．试说明：∠ABC ＋∠ADC ＝180°练一练第1题.如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE CF =．①求证：BCE DCF △≌△．②若60BEC ∠=o ，求EFD ∠的度数．第2题 如图1，已知在ABC △中，AD BC ⊥于D ，AD BD =，DC DE =， 求证：1C ∠=∠．BF ECDABCE图1 D A 1第3题 如图2，ABC △中，45ABC ∠=o，H 是高AD 和BE 的交点，求证：BH AC =．三、拓广探索飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案．BCH 图2DAE由以上题可知，虽题目纷杂繁多，形式千差万别，但稍加留意，就会发现证明题是定有规律可循的，所以做题时不要陷进题海难以自拔，要多研究一下其中的奥妙．THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
全等三角形的性质及判定(习题及答案)
全等三角形的性质及判定(习题及答案)全等三角形的性质及判定全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。
在几何学中，全等三角形有着重要的性质和判定方法。
本文将介绍全等三角形的性质，并提供一些习题及答案，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、全等三角形的性质1. 对应边长相等性质：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, BC = EF, AC = DF。
2. 对应角度相等性质：如果两个三角形的三个角度分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
3. 边角相等性质：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, ∠A = ∠D, ∠C = ∠F。
4. 斜边和一角相等性质：若两个三角形的一边与一角分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AC = DF, ∠A = ∠D。
二、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AB = DE, BC = EF, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一边和夹角，以及另一边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AB = DE, ∠A = ∠D, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两个夹角和一边分别相等，则它们是全等三角形。
即若∠A = ∠D, ∠B = ∠E, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AC = DF, ∠A = ∠D，则∆ABC≌∆DEF。
三、习题及答案1. 已知∆ABC和∆DEF，且AB = DE, ∠A = ∠D, BC = EF。
证明∠B = ∠E, AC = DF。
全等三角形经典讲义
全等三角形状元笔记【知识要点】1．全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．3．三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．4．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)．【温馨提示】1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．3．“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等．【方法技巧】1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF，说明A与D，B与E， C与F是对应点，则∠ABC与∠DEF是对应角，边AC与边DF是对应边．2．判定两个三角形全等的解题思路：专题一 三角形全等的判定1．如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ．求证：△ABE≌△CDF ．2．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE . 请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是：__________； （2）证明：SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——3．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．（1）给出下列四个条件：①AD=CE；②AE=CD；③∠BAC=∠BCA；④∠ADB=∠CEB；请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明；（2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．专题二 全等三角形的判定与性质4．如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）AB ．4C ．D ．55．【2013·襄阳】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，将△ADC 绕点A 顺时针旋转，使AC 与AB 重合，点D 落在点E 处，AE 的延长线交CB 的延长线于点M ，EB 的延长线交AD 的延长线于点N .求证：AM ＝AN .6．【2012·泸州】如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．NME D B CA专题三全等三角形的应用7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A．60° B．90° C．120° D．150°8．有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B两端的距离，你能说说其中的道理吗？9．已知如图，要测量水池的宽AB ，可过点A 作直线AC ⊥AB ，再由点C 观测，在BA 延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB ，这时只要量出AB′的长，就知道AB 的长，对吗？为什么？10．如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF于F ．求证：CE = CF11.已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ．求证：BC = AB + ADFA BECD12．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB13．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B14．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．DBACPEDCBA D CBA15．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：16．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．OEDCBAFEA17.已知:在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.18、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E，，在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；图1图2DCAB（2）证明：DC BE⊥．19．如图-1，ABC△的边BC在直线l上，AC BC⊥，且AC BC=；EFP△的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF FP=．（1）在图-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP关系；（2）将EFP△沿直线l向左平移到图-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP的关系，请证明你的猜想；（3）将EFP△沿直线l向左平移到图-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．A （E）B C （F）Pl l l图-1 图-2图-3全等三角形——角的平分线的性质状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，AC =3 cm ，求BE 的长．专题二 角平分线的性质的应用 4．如图，三条公路把A 、B 、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A ．在AC 、BC 两边高线的交点处B ．在AC 、BC 两边中线的交点处C ．在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处D ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M 区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．21BAC B ∶∶∠∠6. 如图， ∠ B= ∠ C=90 °， M 是 BC 中点， DM 平分 ∠ ADC ，求证： AM 平分 ∠ DAB ．7. 如图，已知 △ ABC 的周长是 22 ， OB 、 OC 分别平分 ∠ ABC 和 ∠ ACB ， OD ⊥ BC 于 D ，且 OD=3 ， △ ABC 的面积是多少？8.如图，已知 ∠ 1= ∠ 2 ， P 为 BN 上的一点， PF ⊥ BC 于 F ， PA=PC ，求证： ∠ PCB+ ∠ BAP=180 º9.如图，△ ABC 中， P 是角平分线 AD ， BE 的交点． 求证：点 P 在∠ C 的平分线上．10. 如图，在 △ ABC 中， BD 为 ∠ ABC 的平分线， DE ⊥ AB 于点 E ，且 DE=2cm ， AB=9cm ， BC=6cm ，求 △ ABC 的面积．21NP F C BA11.如图， D 、 E 、 F 分别是△ ABC 的三条边上的点， CE=BF ，△ DCE 和△ DBF 的面积相等．求证： AD 平分∠ BAC ．。
全等三角形讲义
全等三角形讲义(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--全等三角形一、知识点：1.全等形的定义2.全等三角形的定义3.对应顶点、对应边、对应角的定义4.全等三角形的性质二、重难点：1.全等三角形的概念2.对应顶点、对应边、对应角的定义3.全等三角形的性质三、考点全等三角形的性质一、全等形1. 叫做全等形。
全等用符号表示，读作2.两个图形是否为全等形，关键是看两个图形的是否相同，是否相等，而与图形所在的无关；判断两个图形是否是全等形，只要把它们在一起，看是否完全；一个图形经过、、等变换后，所得到的图形与原图形全等。
例题：1.下列说法不正确的是（）A．形状相同的两个图形是全等形 B.大小不同的两个图形不是全等形C. 形状、大小都相同的两个图形是全等形D.能够完全重合的两个图形是全等形2.下列说法正确的是（）A．面积相等的两个图形是全等图形 B.周长相等的两个图形是全等图形C. 形状相同的两个图形是全等图形D.能够重合的两个图形是全等图形二、全等三角形1. 叫做全等三角形2. 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做，重合的边叫做，重合的角叫做3.寻找对应因素的方法：①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角；③全等三角形的公共角是对应角；④全等三角形的公共边是对应边；⑤全等三角形中的对顶角是对应角；⑥全等三角形中一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小）的角是对应角例题：1．下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角oO BCDCDABCDCBD2．将ABC ∆沿直线BC 平移，得到DEF ∆，说出你得到的结论，说明理由B AD3．如图，,ACD ABE ∆≅∆AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小。
(完整版)全等三角形的性质及判定
全等三角形第 1 节全等三角形的性质和判断【知识梳理】1、全等图形：能够完整重合的两个图形就是全等图形．2、全等三角形的观点与表示：能够完整重合的两个三角形叫作全等三角形．能够互相重合的极点、边、角分别叫作对应极点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．3、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角均分线相等，面积相等．4、全等三角形的判断方法：(1)边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理 ( AAS ) ：两个角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理 ( HL ) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．【诊疗自测】1、假如ABC≌Δ DBC，则 AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠DBC的对应角是_____，∠ DCB的对应角是_____．2、如图，已知△ABE≌△ DCE， AE＝2 cm， BE＝1.5 cm，∠ A＝25°，∠ B＝48°；那么 DE＝_____cm，EC＝ _____cm，∠C＝ _____°；∠D＝ _____°．C 和点E，点 B 和点D 分别是对应点，则另一3、假如△ABC和△ DEF这两个三角形全等，点组对应点是，对应边是，对应角是，表示这两个三角形全等的式子是．【考点打破】种类一：全等形例 1、由同一张底片冲刷出来的两张五寸照片的图案 _____全等图案，而由同一张底片冲刷出来的五寸照片和七寸照片 ____全等图形。
（填“是”或许“不是”）种类二：全三角形的定义和性质例 2、如图，点 E，F 在线段 BC 上，△ ABF 与△ DCE 全等，点 A 与点 D ，点 B 与点 C 是对应极点， AF 与 DE 交于点 M ，则∠ DCE= （）A ．∠B B．∠ A C．∠ EMF D ．∠ AFB例 3、如图，△ ABE 和△ ADC 是△ ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折 180°形成的，若∠ BAC ：∠ABC ：∠ BCA=28 ： 5： 3，则∠α的度数为（）A ． 90° B． 85° C． 80° D． 75°种类三：全等三角形的判断（SSS）例 4、用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图印迹如下图，则作图的依照是（）A ． SSS B． SAS C． ASA D． AAS例 5、已知：如图 2－ 1，△ RPQ 中， RP＝ RQ， M 为 PQ 的中点．求证： RM 均分∠ PRQ．剖析：要证 RM 均分∠ PRQ，即∠ PRM＝ ______，只需证 ______≌ ______证明：∵M 为 PQ 的中点（已知），∴______＝ ______在△ ______和△ ______中，RP RQ(已知 ),PM ______,______ ______(),∴______≌ ______（）．∴∠ PRM ＝ ______（ ______）．即 RM．例 6．已知：如图， AD ＝BC． AC＝ BD ．试证明：∠ CAD ＝∠ DBC .种类四：全等三角形的判断（SAS）例 7. 已知：如图3－1，AB、CD订交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠ D＝∠ B．剖析：要证∠ D＝∠ B，只需证 ______≌ ______证明：在△ AOD 与△ COB 中，AO CO ( ),______ ______( ),OD ______( ),∴△ AOD ≌△ ______ （）．∴∠D＝∠ B （ ______）．例8、小红家有一个小口瓶（如下图），她很想知道它的内径是多少？可是尺子不可以伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有方法了．她拿来了两根长度同样的细木条，而且把两根长木条的中点固定在一同，木条能够绕中点转动，这样只需量出AB 的长，就能够知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为何吗？请说明原因．（木条的厚度不计）例 9、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接∠ABC= ∠ EBD=90 °），连结 AE 、 CD，试确立 AE 结论．（A 、B、D 三点共线，AB=CB ，EB=DB ，与 CD 的地点与数目关系，并证明你的种类五：全等三角形的判断（AAS和 ASA）例 10、某同学把一块三角形的玻璃打坏成了 3 块，现要到玻璃店去配一块完整同样的玻璃，同学小明知道只需带③ 去就行了，你知道此中的道理是（）A ． SAS B． SSA C． ASA D． HL例 11.如图，已知△ ABC的六个元素，则以下甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是例 12、已知：如图，PM ＝ PN，∠ M＝∠ N．求证： AM＝ BN．剖析：∵ PM＝ PN，∴要证AM＝BN，只需证PA＝ ______，只需证 ______≌ ______．证明：在△ ______与△ ______中，______ ______( ),______ ______( ),______ ______( ),∴△ ______≌△ ______ （）．∴ PA＝ ______ （）．∵PM＝PN （），∴PM － ______＝ PN－ ______，即 AM ＝ ______．例 13、已知： AB ⊥ AE ，AD ⊥ AC ，∠ E=∠ B， DE=CB ．求证： AD=AC ．．例 14、如图，在△ ABC中，∠ ACB＝90°， AC＝BC，BE⊥CE于点 E． AD⊥CE于点D．求证：△ DEC≌△ CDA．种类六：全等三角形的判断（HL）例 15. 已知在△ ABC和△ DEF中 , ∠ A=∠D=90°, 则以下条件中不可以判断△ABC和△DEF全等的是 ( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠ F,BC=EF例 16、如下图，在△ ABC中，∠ C=90°， DE⊥AB 于点 D， BD=BC,若 AC=6，则AE+DE=_____BDAE C【易错优选】1、如下图，△ABC ≌△ DEC，则不可以获得的结论是（）A ． AB=DEB ．∠ A= ∠ D C． BC=CD D ．∠ ACD= ∠ BCE2、如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，点 M是 AD的中点，且 MB=MC，若 AD=4，AB=6，BC=8，则梯形 ABCD的周长为（）A．22 B．24 C．26 D． 283、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则∠ ABC+∠ DFE=__________度【精髓提炼】判断三角形全等的基本思路：找夹角SAS已知两边 SS找直角HL找另一边SSS边为角的对边→找随意一角→AAS找这条边上的另一角→ASA已知一边一角 SA边就是角的一条边找这条边上的对角→AAS找该角的另一边→ SAS找两角的夹边ASA已知两角 AA找随意一边AAS备注：找寻对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边 ( 或最大角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ，一对最短边 ( 或最小角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是重点．全等三角形的图形概括起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型【本节训练】训练【 1】如图， E 为线段 BC 上一点， AB ⊥BC，△ ABE ≌△ ECD ，判断 AE 与 DE 的关系，并证明你的结论．训练【 2】如图，点A、F、C、D在同向来线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD的双侧，且 AB＝DE，∠ A＝∠ D，AF＝ DC．求证： BC∥EF．训练【 3】已知图中的两个三角形全等，则∠ 1 等于度．【训练 4】．如图，∠ BAC= ∠DAE ，∠ ABD= ∠ ACE ，AB=AC ．求证： BD=CE ．基础稳固一、选择题1、以下说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．此中正确的有（）．A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个DE=BC，以D、 E 为两个极点作地点不一样的三2、如图，△ABC是不等边三角形，角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多能够画出[ ] ．A．2 个B．4 个C．6 个D．8 个3、以下说法正确的选项是（）A、全等三角形是指周长和面积都同样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都同样;C、全等三角形是指形状同样的两个三角形;D、全等三角形的边都相等4、以下两个三角形中，必定全等的是（）A.两个等边三角形B.有一个角是 40°，腰相等的两个等腰三角形C.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D.有一个角是 100°，底相等的两个等腰三角形5、如图，△ ABC与△ BDE都是等边三角形， AB<BD，若△ ABC不动，将△ BDE绕点CD的大小关系为( )B 旋转，则在旋转过程中，AE与A．AE=CD B ． AE>CD C．AE<CD D．没法确立ECA B D6、如图，已知 AB=AD，那么增添以下一个条件后，仍没法判断△ABC≌△ ADC的是（）A．CB=CD B ．∠ BAC=∠DAC C．∠ BCA=∠ DCA D．∠ B=∠D=90°二、填空题6、如图，在△ ABC 中，AD⊥ BC 于 D，BE⊥ AC 于 E，AD 与 BE 订交于点F，若 BF=AC，则∠ ABC=_______7、如图，等腰直角三角形ABC的直角极点 B 在直线 PQ上，AD⊥ PQ于 D，CE⊥PQ 于 E，且 AD=2cm，DB=4cm，则梯形 ADEC的面积是 _____ ．8、（着手操作实验题）如下图是小明自制对顶角的“小仪器”表示图：（1）将直角三角板 ABC的 AC边延伸且使 AC固定；（2）另一个三角板 CDE?的直角极点与前一个三角板直角极点重合；（3）延伸 DC，∠PCD与∠ ACF就是一组对顶角，已知∠ 1=30°，∠ ACF为多少？三、简答题9、如图，已知AB=AC ，∠ 1=∠ 2，AD=AE ，求证：∠ C=∠ B．10、如图，在△ ABC中， AD是∠ BAC的均分线， DE、DF分别是△ ABD和△ ACD的高线，求证： AD⊥EF。
八年级下数学第一章(三角形的证明)-讲义
知识点一全等三角形的性质及判定1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2、判定两三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL。
例：如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？知识点二等腰三角形的性质和判定1、等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。
3、等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两底角的平分线长度均相等。
4、有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形。
例：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50º，则这个等腰三角形的底角是。
例:在等腰三角形ABC中,AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长。
例:如图，在ABA 1中，∠B=20º，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C 上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数为。
知识点三等边三角形的性质和判定1、三条边都相等的三角形是等边三角形。
2、三个角都相等，且都等于60º.3、有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形；三个角或三条边都相等的三角形是等边三角形。
例：如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.M C B A 例：如图1，已知：∠MON=30º，点A 1、A 2、A 3……在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为 ．图1 图2例：如图2，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60º，得到△BAE ，连接ED ，若BC=10，BD=9，则△AED 的周长是 。
全等三角形的性质和判定
全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点二、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如以下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.要点三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定〔SSS、SAS、ASA、AAS、HL〕全等三角形判定一〔SSS ，SAS 〕全等三角形判定1——“边边边〞三边对应相等的两个三角形全等.〔可以简写成“边边边〞或“SSS 〞〕.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，那么△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边〞1. 全等三角形判定2——“边角边〞 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“边角边〞或“SAS 〞〕.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，那么△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边〞1、：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．证明：∵M 为PQ 的中点〔〕，∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边∴△RPM ≌△RQM 〔SSS 〕．∴ ∠PRM ＝∠QRM 〔全等三角形对应角相等〕．即RM 平分∠PRQ.举一反三：【变式】：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.类型二、全等三角形的判定2——“边角边〞2、：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE 〔SAS 〕∴BC ＝DE 〔全等三角形对应边相等〕3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 〔A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°〕，连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD 〔SAS 〕∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4〔对顶角相等〕∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD举一反三：【变式】：如图，PC ⊥AC ，PB ⊥AB ，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，求证：QC ＝QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝〞．以下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，DE DF EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝∴△DEH ≌△DFH(SSS)∴∠DEH ＝∠DFH ．一、选择题1. △ABC 和△'''A B C 中，假设AB ＝''A B ，BC ＝''B C ，AC ＝''A C .那么〔 〕A.△ABC ≌△'''A C BB. △ABC ≌△'''A B CC. △ABC ≌△'''C A BD. △ABC ≌△'''C B A2. 如图，AB ＝CD ，AD ＝BC ，那么以下结论中错误的选项是〔 〕A.AB ∥DCB.∠B ＝∠DC.∠A ＝∠CD.AB ＝BC3. 以下判断正确的选项是〔 〕A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等6. 如图，AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，AB ＝CD ，BC ＝ED ，以下结论不正确的选项是〔 〕A.EC ⊥ACB.EC ＝ACC.ED ＋AB ＝DBD.DC ＝CB二、填空题9. 如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD〔SSS〕10. 如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，那么∠CBE＝_______.12. ，如图，AB＝CD，AC＝BD，那么△ABC≌，△ADC≌.三、解答题13. ：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，求证：CO＝DO．14. ：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB ∥CD 〔 〕，∴ ∠______＝∠______ 〔 〕，在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______∴ Δ______≌Δ______ 〔 〕．∴ ∠______＝∠______ 〔 〕．∴ ______∥______〔 〕．15. 如图，AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE 求证：AE ＝DE.全等三角形判定3——“角边角〞两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“角边角〞或“ASA 〞〕.要点诠释：如图，如果∠A＝∠'A，AB＝''A B，∠B＝∠'B，那么△ABC ≌△'''A B C.要点二、全等三角形判定4——“角角边〞1.全等三角形判定4——“角角边〞两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“角角边〞或“AAS〞〕2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED ＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的条件而定，见下表：条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等 SAS SSS类型一、全等三角形的判定3——“角边角〞1、：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A CAD CB D B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE 〔ASA 〕∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF.求证：AB ＝CD.类型二、全等三角形的判定4——“角角边〞2、：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD 〔AAS 〕∴AC ＝AD举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFDBDE CDF BD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）∴△BED ≌△CFD 〔AAS 〕∴BE ＝CF3、：如图，AC 与BD 交于O 点，AB ∥DC ，AB ＝DC ．〔1〕求证：AC 与BD 互相平分；〔2〕假设过O 点作直线l ，分别交AB 、DC 于E 、F 两点，求证：OE ＝OF.证明：∵AB ∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO 与△CDO 中A C(AOB COD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等） AB=CD∴△ABO ≌△CDO 〔AAS 〕∴AO ＝CO ，BO=DO在△AEO 和△CFO 中A C(AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO ＝对顶角相等）∴△AEO ≌△CFO 〔ASA 〕∴OE ＝OF.一、选择题1. 能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 〔〕 A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠EB ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠EC ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠DD ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E2．如图，△ABC的六个元素，那么下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是〔〕图4－3A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，以下结论错误的选项是〔〕A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF 4．如图，MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，以下条件不能判定△ABM≌△CDN的是〔〕A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的选项是〔〕A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC二、填空题7. 如图,∠1＝∠2，要使△AB E≌△ACE，还需添加一个条件是.(填上你认为适当的一个条件即可).8. 在△ABC和△'''A B C中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠'C＝69°，∠'B＝44°，且AC＝''B C，那么这两个三角形_________全等.〔填“一定〞或“不一定〞〕9. ，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，那么EF＝________.11. 如图, ：∠1 ＝∠2 , ∠3 ＝∠4 , 要证BD ＝CD , 需先证△AEB ≌△AEC ,根据是，再证△BDE ≌△，根据是．12. :如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，〔1〕假设以“ASA〞为依据，还缺条件〔2〕假设以“AAS〞为依据，还缺条件〔3〕假设以“SAS〞为依据，还缺条件三、解答题13．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？假设全等，试写出证明过程；假设不全等，请说明理由．答：△AOD ≌△COB ．证明：在△AOD 和△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A∴ △AOD ≌△COB 〔ASA 〕．问：这位同学的答复及证明过程正确吗？为什么？14. 如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分.15. ：如图, AB∥CD, OA ＝OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且AE ＝DF.求证：EB∥CF.要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS〞，“ASA〞或“SAS〞判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〔可以简写成“斜边、直角边〞或“HL〞〕.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL〞 1、 ：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：〔1〕AB ＝CD ：〔2〕AD ∥BC ．证明：〔1〕∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BCBD DB ⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB 〔HL 〕∴AB ＝CD 〔全等三角形对应边相等〕〔2〕由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC ..举一反三：【变式】：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．2、判断满足以下条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×〞，全等的注明理由：〔1〕一个锐角和这个角的对边对应相等；〔〕〔2〕一个锐角和斜边对应相等；〔〕〔3〕两直角边对应相等；〔〕〔4〕一条直角边和斜边对应相等．〔〕举一反三：【变式】以下说法中，正确的画“√〞；错误的画“×〞，并举出反例画出图形.〔1〕一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．〔〕〔2〕有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．〔〕〔3〕有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．〔〕3、：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC；证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD =⎧⎨⎩＝ ∴Rt △ADC ≌Rt △BCD 〔HL 〕∴AD ＝BC .〔全等三角形对应边相等〕举一反三：【变式】，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.一、选择题1．以下说法正确的选项是〔〕A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等3. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是〔〕A．形状一样B．周长相等C．面积相等D．全等6. 在两个直角三角形中，假设有一对角对应相等，一对边对应相等，那么两个直角三角形〔〕A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“______〞．8. ，如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DE，那么△ABC≌_______.9. 如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，那么AC＝_________.10. 如图，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，假设DE＝2，AB ＝4，那么DB＝______.12. 如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.那么∠BAD＝_______.三、解答题14. 如图，AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC＝DF. 求证：AC＝EF.15. 如图，AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1＝∠2.。
全等三角形及基本判定定理
全等三角形全等三角形【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆ （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．全等三角形的判定1：SSS三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEABABC ∆∴≌DEF ∆【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求A C D D C A D ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．A BC DEFABDC例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求ED F ∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EFA B E C FD A BE CD ABCDFE例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）全等三角形判定定理2：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”。
三角形全等的判定定理和性质是什么
经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。
全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。
三角形全等的判定定理(1)三边对应相等的三角形是全等三角形。
SSS(边边边)(2)两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
SAS(边角边)(3)两角及其夹边对应相等的三角形全等。
ASA(角边角)(4)两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
AAS(角角边)(5)在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。
RHS(直角、斜边、边)三角形全等顺口溜：全等三角形，性质要搞清。
对应边相等，对应角也同。
角边角，边角边，边边边，角角边，四个定理要记全。
全等三角形的性质(1)全等三角形的对应角相等。
(2)全等三角形的对应边相等。
(3)能够完全重合的顶点叫对应顶点。
(4)全等三角形的对应边上的高对应相等。
(5)全等三角形的对应角的角平分线相等。
(6)全等三角形的对应边上的中线相等。
(7)全等三角形面积和周长相等。
(8)全等三角形的对应角的三角函数值相等。
相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例。
(2)相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
(3)相似三角形周长的比等于相似比。
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
由(4)可得：相似比等于面积比的算术平方根。
(5)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(6)若a/b=b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项(7)a/b=c/d等同于ad=bc.(8)不必是在同一平面内的三角形里。
专题16 全等三角形判定和性质问题(解析版)2021年中考数学必考34个考点高分三部曲
专题16 全等三角形判定和性质问题1．全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2．全等三角形的表示全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
4．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
5．直角三角形全等的判定：HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例题1】（2020•贵州省安顺市）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC【解答】选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；专题知识回顾专题典型题考法及解析选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选：A．【例题2】（2020•黑龙江省齐齐哈尔市）如图，已知在△ABC和△DEF中，△B＝△E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC△△DEF，则还需添加的一个条件是_________（只填一个即可）．【答案】AB＝DE．【解析】添加AB＝DE；△BF＝CE，△BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，△△ABC△△DEF（SAS）【例题3】（2020•铜仁）如图，AB＝AC，AB△AC，AD△AE，且△ABD＝△ACE．求证：BD＝CE．【答案】见解析。
著名机构七年级数学春季班讲义10全等三角形的判定及性质(教师)
全等三角形的判定及性质课时目标1. 理解全等三角形的概念及性质，并灵活运用；2. 掌握全等三角形的判定方法，并熟练应用于证明题.知识精要1. 全等形能够重合的两个图形叫做全等形.2. 全等三角形（1）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形.（2）两个全等三角形，经过运动后一定能够重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角.注：（1）全等三角形不一定是两个图形之间的关系，还可能是多个图形之间的关系. （2）全等图形也可以看作是把图形翻折，旋转、平移等变换而得到的图形；反过来说，两个全等图形经过这样的变换一定能够重合.3. 全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等；4. 确定三角形形状和大小的三个元素有四种情况（1）两角及夹边（2）两边及其夹角（3）三边（4）两角及其中一角的对边注：知道两边及其中一边的对角时，一般不能确定三角形的形状，大小.5. 全等三角形的判定判定1：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等地，那么这两个三角形全等.（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS）判定2：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等地，那么这两个三角形全等.（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等ASA）判定3：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等AAS）DBEDB判定4：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形全等SSS ）热身练习1. AC 与BD 交于点O ，且AB ∥CD ，AO=CO ，OB=OD ，AB=CD. 求证：△ABD ≌△ACE. 证明：在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(已知已知已知CD AB OD OB CO AO∴△ABD ≌△ACE （SSS ）2. 已知△ABD ≌△ACE ，AD=3cm ，BD=1cm ，BC=6cm ，求△ADE 的周长. 解：∵△ABD ≌△ACE∴AE=AD=3cm ，CE=BD=1cm 又∵BC=6cm ∴DE=4cm ∴ADE C ∆=10cm3. 已知△ABC ≌△DBC ，如果∠ABC=72°，∠ACB=45° （1）求∠D 的度数. （2）求∠ABD 的度数. 解：∠A=180°－72°－45°=63°∵△ABC ≌△DBC∴∠D=∠A=63°（全等三角形的对应角相等） 同理：∠DBC=∠ACB=45° ∴∠ABD=72°－45°=27°4. 在水平桌面上放置了一块三角形木块，∠A=30°，∠B=90°，AC=2cm ，经过AECBDBEDBDCA运动后△ABC 到A B C '''∆的位置. （1）求ACB '∆的度数.（2）点A 的运动路线是什么图形？求出它的长度. 解：（1）60°（2）运动路线是圆弧：ππ342231=⋅⋅=l5. 已知AD=AE ，∠ADB=∠AEC ，BE=DC （1）试说明：△ABE ≌△ACD. （2）AB 与AC 相等吗？为什么？ 证明： 在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BE AEC ADB AEAD∴△ABE ≌△ACD (SAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)6. 已知AC ∥BE 且AC=BE ，点B 是AD 的中点，试说明△ABC ≌△BDF. 证明：∵AC ∥BE ∴∠A=∠EBD ∵AC=BE ，AB=BD ∴△ABC ≌△BDF （SAS ）7. 已知AD=AE ，∠ADC=∠AEBCBDA （1）△ADC 和△AEB 全等吗？为什么？ （2）BD 与CE 相等吗？为什么? 解：（1）△ADC ≌△AEB 全等， 证明略（ASA ） （2）∵△ADC ≌△AEB ∴AB=AC∴AB －AD=AC －AE即 BD=CE精解名题例1 △ABC ≌△DEF ，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC 的长.解：∵△ABC ≌△DEF∴∠DEF=∠ACB=180°－30°－50°=100° EC=BF=2例2 P 为∠AOB 的平分线OC 上任意一点，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，求证：OP 是EF 的垂直平分线. 证明：易证 △OEP ≌△OFP （AAS ） ∴OE=OF∴△OME ≌△OMF ∴EM=FM ，∠OME=90° ∴OP 是EF 的垂直平分线例3 在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，求证：BC=AC+AD. 证明：在BC 上截取EC=ACFBO∵CD 是∠ACB 的平分线 ∴∠DCB=∠DCA易证△DEC ≌△ACD （SAS ） ∴∠A=∠DEC=2∠B ，AD=DE ∴∠BDE=∠B ∴BE=DE=AD ∴BC=AC+AD例4 △ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角为∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形面一个△AMN ，求△AMN 的周长. 解：延长NC 到L ，使CL=BM ，连接DL先证BDM DCL ≅V V （SAS ） DMN DLN ≅V V （SAS ） ∴MN NL NC CL NC BM ==+=+ ∴AMN C AM AN MN =++V AM BM AN NC =+++= 2巩固练习1. 如图，△ABC ≌△ DEF ，这两个三角形的对应边是 AB 与 AC ， BC 与 DE ， CA 与 FE .ACDBA(1题图)2. △ABC≌△DEF，那么∠A=∠D3. △ABC以点B为旋转中心，A旋转到E，CDA B D CB(3题图) (4题图)4. AD，BE，CF是△ABC的高，沿AD翻折，点F与点E，点B与点C重合，那么图中全等的三角形有（ D ）A. 3对B. 5对C. 6对D. 7对5. 给定一个三角形的六个元素中的下列条件画三角形，所画的三角形的大小形状可能不唯一确定的是（ D ）A. 两角及夹边B. 两角及其中一个角的对边C. 两边及夹角D. 两边及其中一条边的对角6. 下列判断错误的是（ A ）A. 全等三角形的所有边都相等B. 全等形的周长、面积一定对应相等C. 已知三角形的两条边及其中一条边的对角，所画的三角形不一定是唯一的D．确定一个三角形至少要有一个元素是边7. 下列判断中错误的是（ C ）A. 成轴对称的两个图形全等B. 成中心对称的两个图形全等C．两个正方形一定是全等形 D. 运动后能重合的两个三角形全等8. 已知△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，EEBAED CB求∠DFB 和∠DGB 的度数. 解：∠DFB =90°，∠DGB =65°9. 已知：△ABD ≌△ACE.求证：∠EBO ≌∠DCO. 证明：∵△ABD ≌△ACE ∴∠D=∠E ，DC=BE ∵∠DOC=∠BOE ∴∠EBO ≌∠DCO （AAS ）10. 已知BE=CD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C 解：∵BE=CD∴BD=EC ∵∠ADE=∠AED ∴∠ADB=∠AEC 又∵∠B=∠C∴△ABD ≌△ACE （ASA ）自我测试1. 如图1，已知△ABC ≌ △CDA ，则对应边是 AB 和CD ，BC 和DA ， AC 和CA ， 对应角是 ∠ABC 和∠CDA ，∠BCA 和∠DAC ， ∠BAC 和∠DCA .DC图2 图32. 已知ABC∆≌'''CBA∆，A与'A，B与'B是对应顶点，ABC∆的周长为10cm，AB =3cm，BC =4cm.则''BA= 3 cm，''CB= 4cm，''CA= 3 cm.3. 已知ABC∆≌DEF∆，A与D，B与E分别是对应顶点，︒=∠52A，︒=∠67B，BC =15cm，则F∠= 61°，FE = 15 cm.4. 填空题：（1）如图2，已知AC =DB，要使ABC∆≌DCB∆，需增加一个条件是AB=CD等. （2）如图3，已知ABC∆中，090=∠C，AM平分CAB∠，CM =20cm那么M到AB的距离是20cm.（3）如图4，AB =EB，∠1=∠2，∠ADE =120°，AE、BD相交于F，则∠3的度数为30°．（4）如图5，已知：∠1 =∠2，∠3 =∠4，要证BD =CD，需先证△AEB ≌△AEC，根据是ASA ，再证△BDE ≌△BCE ，根据是SAS ．（5）如图6，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC =AE．若AB = 5，则AD = 5 ．5. 如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，B=C∠∠，求证:AD=AE.证明：先证△AEB ≌△ADC（ASA）∴AD=AE(全等三角形的对应边相等)图1E图5 图6图4AACDFEAB6. 如图，DF=AE ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，CE=BF.求证：∠A=∠D. 证明：先证△CDF ≌△BAE (SAS)∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等)7. 如图，已知：在梯形ABCD 中，AB//CD ，E 是BC 的中点，直线AE 与DC 的延长线交于点F. 求证：△ABE ≌△FCE. 证明：∵AB//CD∴∠FCE=∠B ，∠F=∠EAB 又E 是BC 的中点 ∴CE=BE∴△ABE ≌△FCE (AAS)8. 求证：△ABE ≌△FCE 如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，求证：BE=CD. 证明：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ∴∠E=∠CDA=90°EFDCBA∴∠BCE+∠EBC=90°∵∠ACB=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠EBC=∠ACD∴△CBE≌△ACD(AAS)∴BE=CD(全等三角形的对应边相等)9. 已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上.求证：（1）△ACD≌△BCE （2）CF=CG （3）△FCG是等边三角形证明：（1）△ACD≌△BCE （SAS）（2）∵△ACD≌△BCE∴∠ADC=∠BEC∴△CDG≌△CEF(ASA)∴CF=CG（3）∵CF=CG，∠ACE=60°∴△FCG是等边三角形G F。
本题考点全等三角形的性质及判定
（本题满分10分）
全等三角形又叫做合同三角形．平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如△ABC 和△A /B /C /是全等三角形，且点A 与点A / 对应，点B 与点B /对应，点C 与点C /对应．当沿周界A —B —C —A 及A /—B /—C /—A / 环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②）．两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个翻转180°．下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的是（ ）
思路分析：
认真阅读题目，理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义，然后根据它们的定义和特点解答.
解答过程：
由题意知真正合同三角形和镜面合同三角形的特点，可判断要使选项C 所示的两个三角形重合，必须将其中的一个翻转180°，而其他组的全等三角形可以在平面内通过平移或旋转使它们重合.
答案：C
拓展提升：
本题考查了同学们的阅读理解能力及空间想像能力，较灵活，理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义是解答的关键
.
本题考点：全等三角形的性质及判定 难度：中。
全等三角形的性质及判定(讲义及答案)
15. 已知：如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：△ADC≌△AEB． A
第 6 题图 第 7 题图
7. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成 3 块，现要到玻璃店去配一块完
全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
C
第 11 题图 第 12 题图
12. 如图，点 B，E，C，F 在同一直线上，在△ABC 与△DEF 中，AB=DE，
2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号
“_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等．
3. 全等三角形的判定定理：______________________________．
精讲精练
C
B
D
3. 如图，△ABC≌△DEC，对应边___________，__________，___________，
对应角_______________，_______________，
______________． A
D
知识点睛
1. 不在同一直线上，首尾顺次相接，△
2. 能够完全重合，≌，对应边，对应角
16. 已知：如图，AB=CD，AB∥CD．求证：△ABD≌△CDB．
A D
B C
A 2
B C
第 8 题图 第 9 题图
9. 如图，∠1=∠2，若加上一个条件_______________________，
O
B D
11. 如图，AB=AD，∠1=∠2，如果要使△ABC≌△ADE，还需要添加一个条
全等三角形的性质及判定
全等三角形的性质及判定在我们的数学世界中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解开许多几何问题的谜团。
接下来，让我们一起深入地了解一下全等三角形的性质及判定。
全等三角形，简单来说，就是两个三角形的形状和大小完全相同。
这意味着它们的对应边长度相等，对应角的度数也相等。
先来说说全等三角形的性质。
如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等。
比如，△ABC 全等于△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
这就好像是两个完全一样的拼图块，对应的边必然长度一致。
对应角相等也是全等三角形的重要性质。
还是以△ABC 全等于△DEF 为例，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
这些角就像是双胞胎的表情，一模一样。
全等三角形的性质在解决实际问题中非常有用。
比如说，我们知道两个三角形全等，要求其中一个三角形的某个边长或者角度，只需要根据对应关系，去查找另一个三角形中对应的边或角的信息就可以了。
接下来，咱们再聊聊全等三角形的判定。
这就像是给两个三角形做“身份鉴定”，看看它们是不是真的全等。
第一种判定方法是“边边边”（SSS）。
如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
比如说有△ABC 和△DEF，AB ＝DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定这两个三角形全等。
第二种是“边角边”（SAS）。
如果两个三角形的两条边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么就能够得出这两个三角形全等的结论。
“角边角”（ASA）也是常见的判定方法。
当两个三角形的两个角及其夹边对应相等时，这两个三角形全等。
比如在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，∠C ＝∠F，那么△ABC 和△DEF 就是全等的。
还有一种判定方法是“角角边”（AAS）。
如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。
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全等三角形的性质及判定（讲义）
课前预习
1.“完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合吗，为
什么？
①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得
到的两个三角形；
②三棱柱上下底面的两个三角形；
③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形；
④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图．
知识点睛
1.由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角
形．三角形可用符号“________”表示．
2._____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“_________”
表示．全等三角形的__________相等，____________相等．
3.全等三角形的判定定理：______________________________．
精讲精练
1.如图，△ABC≌△DEF，对应边AB=DE，______________，_________，对应角
∠B=∠DEF，_________，__________．
第1题图第2题图
2.如图，△ACO≌△BCO，对应边AC=BC，______________，__________，对应
角∠1=∠2，____________，____________．
3.如图，△ABC≌△DEC，对应边___________，__________，___________，对应角
_______________，_______________，
______________．
4.如图，△ABC≌△CDA，对应边___________，__________，___________，对应角
_______________，_______________，
______________．
第4题图第5题图
5.如图，AD，BC相交于点O，若AO=DO，BO=CO，则
_______≌_______，理由是_________．
6.如图，若AD=CB，AB=CD，则___________≌___________，理由是
_______________；若∠B=∠D，∠BCA=∠DAC，则
_________≌________，理由是__________．
第6题图第7题图
7.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样
的玻璃，那么最省事的方法是（）
A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去
8.如图，AO=BO，若加上一个条件________________________，
则△AOC≌△BOC，理由是__________．
第8题图第9题图
9.如图，∠1=∠2，若加上一个条件_______________________，
则△ABE≌△ACE，理由是____________．
10.如图，AD，BC相交于点O，∠A=∠C，
若加上一个条件_______________，则
△AOB≌△COD，理由是_________．
11.如图，AB=AD，∠1=∠2，如果要使△ABC≌△ADE，还需要添加一个条件，
这个条件可以是_________________，理由是____________；
这个条件也可以是_______________，理由是____________；
这个条件也可以是_______________，理由是____________．
第11题图第12题图
12.如图，点B，E，C，F在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，若
∠_____=∠_____，则△ABC≌△DEF，所以BC=________，因此BE=________．13.如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则△ADF≌_________，理由是_________，因此
DF=__________．
14.已知：如图，BC=DE，∠B=∠D，∠BAC=∠DAE．
求证：△ABC≌△ADE．。