吉林省东北师范大学附属中学2020届高考数学一轮复习同角三角函数的基本关系及诱导公式教案理

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届高三数学一轮复习：同角三角函数的基本关系与诱导公式

届高三数学一轮复习：同角三角函数的基本关系与诱导公式一、同角三角函数的基本关系式sin 1.平方关系：2α+cos2α=1(α∈R) . π sin α α≠kπ+ ,k∈Z tan α= 2 cos α . 2.商数关系：二.六组诱导公式角函数2π-απ+α-απ-απ -α 2π +α 2正弦-sin α-sin α-sin α cos α -tan αsin αcos αcos α余弦-cos α -cos α 正切-tan α-cosα sin α-sinα-cot αtan α-tanαcot αkπ 对于角“ ± α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变2 偶不变，符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”.[小题能否全取]1.sin 585°的值为2 A.- 2 3 C.- 2 2 B. 2 3 D. 2()解析：sin 585° =sin(360° +225° ) =sin 225° =sin(180° +45° )=-sin 45° 2 =- . 2答案：A2.(教材习题改编)已知sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ), π |θ| ,则θ 等于2 πA.- 6π C. 6(π B.- 3 π D. 3)解析：∵sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ), ∴-sin θ=- 3cos θ,∴tan θ= 3. π π ∵|θ| ,∴θ= . 2 3 答案：D3.已知tanπ sin 2+θ -cos π-θ θ=2,则=( π sin 2-θ -sin π-θ)A.2 C.0B.-2 2 D. 3cos θ+cos θ 2 2 解析：原式= = = =-2. cos θ-sin θ 1-tan θ 1-2答案：B4.记cos(-80° )=k,那么tan 100° =1-k2 A. k 1-k2 B.- k()k k C. D.- 2 1-k 1-k2 解析：∵cos (-80° )=cos 80° =k,∴sin 80° 1-k2, = 1-k2 ∴tan 80° = k . 1-k2 而tan 100° =-tan 80° =- k .答案：B3π 3 5. (2022年重庆高考)若cos α=- , α∈ π, 2 , tan α 且则5=________.4 解析：依题意得sin α=- 1-cos α=- , 52sin α 4 tan α= = . cos α 34 答案：3应用诱导公式时应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号―脱周期―化锐角.特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.[例1] =1 (1)(2022年江西高考)若tan θ+ =4, sin 2θ 则tan θ ( )1 A. 5 1 C. 31 B. 4 1 D. 2(2)已知sin(3π+α)=2sin =________.3π +α 2sin α-4cos α ,则5sin α+2cos α[自主解答]1 (1)∵tanθ+ =4, tan θsin θ cos θ ∴ + =4, cos θ sin θ sin2θ+cos2θ 2 ∴ =4,即=4, cos θsin θ sin 2θ 1 ∴sin 2θ= . 2(2)法一：由3π sin(3π+α)=2sin 2 +α 得tan α=2.tan α-4 2-4 1 原式= = =- . 6 5tan α+2 5×2+2法二：由已知得sin α=2cos α. 2cos α-4cos α 1 原式= =- . 6 5×2cos α+2cos α[答案] (1)D 1 (2)- 6在(2)的条件下，sin2α+sin 2α=________.sin2α+2sin αcos α 解析：原式=sin2α+2sin αcos α= sin2α+cos2α tan2α+2tan α 8 = = . 5 tan2α+18答案： 51.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦sin α 的互化，利用=tan α可以实现角α的弦切互化. cos α2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子，利用(sinα±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二(参阅本节题型技法点拨). 3.注意公式逆用及变形应用：1=sin2α+cos2α, sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.1.(1)(2022年长沙模拟)若角α 的终边落在第三象限，则cos α 2sin α 2 + 2 的值为1-sin α 1-cos α ( )A.3 C.1B.-3 D.-1(2)(2022年厦门模拟)已知sin αcos α 等于2 A.- 5 2 2 C. 或- 5 5π sin(3π-α)=-2sin 2+α ,则(2 B. 5 1 D.- 5)解析：(1)由角α 的终边落在第三象限得sin α0,cos α0, cos α 2sin α cos α 2sin α 故原式= + = + =-1-2=-3. |cos α| |sin α| -cos α -sin α π (2)∵sin(3π-α)=sin(π-α)=-2sin 2+α ,∴sinα=-2cossin αcos α tan α α,∴tan α=-2,∴sin αcosα= 2 = = sin α+cos2αtan2α+1 2 - . 5答案：(1)B(2)A[例2](1)3π tan π+α cos 2π+α sin α- 2cos -α-3π sin -3π-α=________.sin kπ+α cos kπ+α (2)已知A= + (k∈Z),则A sin α cos α 的值构成的集合是( )A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2}B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2}[自主解答] tan αcos =(1)原式π αsin -2π+ α+2cos 3π+α [-sin 3π+α ] π αsin 2+αtan αcos =-cos α sin αtan αcos αcos α = -cos α sin αtan αcos α sin α cos α =- =- =-1. sin α cos α sin α。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系(1)学案理新人教A版必修4

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 4-1.2.2同角三角函数的基本关系（1）学案理新人教A 版必修4一、复习：倒数关系：sin αcsc α=cos αsec α=tan αcot α=二、自主学习：利用学过的知识推导：1。

平方关系：sin 2x+cos 2x= 2。

商数关系；=xxcos sin 三、典型例题：1。

求值问题：（1）自学22P 例1、例2、例3完成25P 练习A 。

1（2）思考：若把例1中“α是第二象限的角”去掉，该题如何求解？练习：25P 练习B 。

1 （3）“1”的妙用：例：已知3tan =α，求下列各式的值。

（1）ααααcos 3sin 2cos sin 3++；（2）sin 2α-2sin αcos α+1.练习：25P 练习B 。

22。

化简：自学23P 例4、例5注意：化简时尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化为同角、同名，尽量化成最简形式等。

练习：25P 练习A 。

2、4 B 。

33.证明：自学23P 例6。

完成25P 练习A 。

3，练习B 4、5 四、小结：五、作业； 1.已知cos α=-53,α∈（0，π），则tan α等于（） A.34B.-34 C.±34 D.±43 2.若β∈（0，2π），且ββββcos sin sin 1cos 122-=-+-，则β的取值范围是（） A.[0，2π） B.[2π，π] C.[π，23π） D.[23π，2π） 3。

函数y=xx xx xx 222tan tan cos 1sin sin 1cos +-+-的值域是（）A.｛3，－1｝B.｛1，3｝C.｛－3，－1，1｝D.｛－1，1，3｝4。

5.已知sin θ=53+-m m ，cos θ=524+-m m，则m （）A.可取[31，9]中的一切值 B.等于0 C.等于8D.等于0或85. tan θ=2，那么，1+sin θcos θ=（） A.35 B.45C.57D.37 6. sin θ+cos θ=－1 则(sin θ)2020+(cos θ)2020＝.7.已知sin α=54且tan α＜0，则cos α=. 8.化简sin 2α+sin 2β－sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β=.9。

高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式

高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？提示根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二教材改编 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝ . 答案－12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为．答案 3解析原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案－sin 2α解析原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三易错自纠5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为．答案－23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23. 6．若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝；cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝ . 答案 12 12解析由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝12.同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于( )A ．－513 B.513 C ．－125 D.125答案 C解析因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125. 2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为．答案－105解析由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为．答案－3。

同角三角函数间的基本关系-高中数学知识点讲解

同角三角函数间的基本关系1．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．푠푖푛훼（2）商数关系：푐표푠훼= tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．휋휋公式五：sin（2―α）＝cosα，cos（2―α）＝sinα．휋휋公式六：sin（2+α）＝cosα，cos（2+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=푡푎푛훼+푡푎푛훽1―푡푎푛훼푡푎푛훽．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=푡푎푛훼―푡푎푛훽1+푡푎푛훼푡푎푛훽．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；1/ 2（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan 2α=2푡푎푛훼1―푡푎푛2훼．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：푘휋对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇2数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．2/ 2。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解27---同角三角函数基本关系式及诱导公式

高考数学一轮复习考点知识专题讲解同角三角函数基本关系式及诱导公式考点要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α 正弦sin α－sin α－sin αsin α cos α cos α余弦cos α－cos α cos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.(×) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．(×) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(×) (4)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝13，则cos α＝－13.(√)教材改编题1．已知α是第二象限角，sin α＝55，则cos α的值为．答案－255解析∵sin α＝55，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－255.2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为．答案－2316解析由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，可得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.3．化简cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案－sin 2α解析原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题型一同角三角函数基本关系例1(1)已知cos α＝－513，则13sin α＋5tan α＝. 答案0解析∵cos α＝－513<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125.此时13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝0. ②若α是第三象限角，则sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，此时，13sin α＋5tan α＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋5×125＝0.综上，13sin α＋5tan α＝0.(2)已知tan α＝12，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝；sin 2α＋sin αcos α＋2＝.答案－53135解析已知tan α＝12，所以sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.(3)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝. 答案－125解析由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60169，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝1713，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin θ－cos θ＝1713，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513，所以tan θ＝－125. 教师备选1．(2022·平顶山联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin2α等于()A.35 B ．－35C ．－3D ．3答案A解析由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35. 2．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝23，则sin α－cos α的值为() A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 答案C解析由诱导公式得sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝23，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝29，则2sin αcos α＝－79<0，因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以cos α<0，所以sin α－cos α>0，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝169，所以sin α－cos α＝43.思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.跟踪训练1(1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则sin θ(1＋sin2θ)sin θ＋cos θ等于()A ．－65B ．－25 C.25 D.65答案C解析方法一因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝25，cos θ＝－15或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－25，cos θ＝15，所以sin θ(1＋sin2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θ ＝45－25＝25. 方法二(弦化切法)因为tan θ＝－2，所以sin θ(1＋sin2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25.(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为．答案－105解析由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 题型二诱导公式例2(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为()A.223 B ．－223 C.13 D ．－13答案D解析cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 延伸探究本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝. 答案34解析∵θ是第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45， ∴θ＋π4为第二象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－35，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝34.(2)tan(π－α)cos(2π－α)sin⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos(－α－π)sin(－π－α)的值为()A．－2B．－1C．1D．2 答案B解析原式＝－tanα·cosα·(－cosα)cos(π＋α)·[－sin(π＋α)]＝tanα·cos2α－cosα·sinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.教师备选1．已知函数f(x)＝a x－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则cos⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin⎝⎛⎭⎪⎫9π2＋α＋sin2αcos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(－π－α)等于()A.23B．－23C.32D．－32答案B解析易知函数f(x)＝a x－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，故tanα＝3 2，则cos⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin⎝⎛⎭⎪⎫9π2＋α＋sin2αcos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(－π－α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin α ＝－sin αcos α＋2sin αcos α－sin αsin α＝－cos αsin α＝－1tan α＝－23. 2．若sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2等于() A.310 B ．－310 C.34 D ．－34答案A解析易知sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－3cos x ，所以tan x ＝－3，所以cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝－sin x cos x ＝－sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝－tan x tan 2x ＋1＝310. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数―――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数――――――→利用诱导公式一0～2π内的角的三角函数――――――→利用诱导公式二或四或五或六锐角三角函数．跟踪训练2(1)已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝. 答案0解析因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13， sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝13. 所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13＋13＝0. (2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－112π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝. 答案3解析由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－112π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝sin (π＋α)＋cos (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3. 题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值； (3)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2＝15，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，求f (α)的值．解(1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝－sin α×cos α×(－cos α)－cos α×sin α＝－cos α.(2)若α＝－31π3，则f (α)＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos π3＝－12. (3)由cos ⎝⎛⎭⎪⎫－α－π2＝15，可得sin α＝－15，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以cos α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265. 教师备选设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)． (1)化简f (α)；(2)若α＝－23π6，求f (α)的值．解(1)f (α)＝(－2sin α)·(－cos α)－(－cos α)1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝cos αsin α＝1tan α. (2)当α＝－23π6时，f (α)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝133＝ 3. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练3(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是()A.355B.377C.31010D.13答案C解析由已知得⎩⎨⎧ 3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角)． (2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin2x ＋2sin 2x 1－tan x＝. 答案－24175解析由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425. ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75. ∴sin2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175. 课时精练1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π3等于()A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案C解析cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π3＝cos 19π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π3＝cos π3＝12.2．若cos165°＝a ，则tan195°等于()A.1－a 2B.1－a 2a C ．－1－a 2a D ．－a 1－a 2答案C解析若cos165°＝a ，则cos15°＝cos(180°－165°)＝－cos165°＝－a ，sin15°＝1－a 2，所以tan195°＝tan(180°＋15°)＝tan15°＝sin15°cos15°＝－1－a 2a .3．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10－α等于()A ．－513 B ．－1213 C.1213 D.513 答案D解析因为7π10－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝π2，所以7π10－α＝π2－⎝⎛⎭⎪⎫α－π5，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝513. 4．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α等于()A ．2 B.12 C ．－2 D．－12答案A解析由已知得1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.5．在△ABC 中，下列结论不正确的是()A ．sin(A ＋B )＝sin CB ．sin B ＋C 2＝cos A 2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C答案D解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确．sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，B 正确． tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝⎛⎭⎪⎫C ≠π2，C 正确． cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．6．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝15，给出下列结论： ①π2<α<π； ②sin αcos α＝－1225； ③cos α＝35； ④cos α－sin α＝－75. 其中所有正确结论的序号是()A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①③④答案A解析∵sin α＋cos α＝15，等式两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝125，解得sin αcos α＝－1225，故②正确； ∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－1225<0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α<0，故①正确，③错误；cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝4925，解得cos α－sin α＝－75，故④正确． 7．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.答案44.5解析∵sin1°＝cos89°，sin2°＝cos88°，…，sin89°＝cos1°， ∴sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝44.5.8．设f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2(2π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－32＋2cos 2(π＋θ)＋cos (－θ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π3＝. 答案－512解析∵f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ＝cos 2θ＋cos θ－22cos 2θ＋cos θ＋2，又cos 17π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π3 ＝cos π3＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π3＝14＋12－212＋12＋2＝－512.9．(1)(2022·郑州模拟)已知sin θ＝45，求sin (π－θ)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ的值．解∵sin θ＝45， ∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925，则sin (π－θ)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ(－sin θ)(－cos θ)cos θ ＝sin 2θcos 2θ＝169. (2)已知sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值．解∵sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)， ∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0，把sin x ＋cos x ＝－713，两边平方得1＋2sin x cos x ＝49169，即2sin x cos x ＝－120169，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝289169，即sin x －cos x ＝1713，联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＋cos x ＝－713，sin x －cos x ＝1713，解得sin x ＝513，cos x ＝－1213， ∴cos x －2sin x ＝－2213. 10．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)．(1)求sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值； (2)若α是第二象限角，求sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋sin(π－α)·cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解(1)∵m ≠0，∴cos α≠0，即sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝－sin α－cos αcos α＋2sin α＝－tan α－11＋2tan α. 又∵角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)，∴tan α＝－6m 3m＝－2，故sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝－tan α－11＋2tan α＝2－11＋2×(－2)＝－13. (2)∵α是第二象限角，∴m <0，则sin α＝－6m (3m )2＋(－6m )2 ＝－6m 35|m |＝255， cos α＝3m (3m )2＋(－6m )2＝3m 35|m |＝－55， ∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋sin(π－α)cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝cos 2α＋sin αcos α＋sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＋255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255 ＝－1＋255.11．已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式sin (α＋k π)sin α＋cos (α＋k π)cos α(k ∈Z )的取值可能为()A ．－2或0B ．－1或1C ．2或－2D ．－2或2或0答案C解析当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2；当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2. ∴原表达式的取值可能为－2或2.12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)等于() A.35 B.53 C.45 D.54答案B解析方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35. 原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53. 13．曲线y ＝e x ＋x 2－23x 在x ＝0处的切线的倾斜角为α，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝. 答案45解析由题意得y ′＝f ′(x )＝e x ＋2x －23，所以f ′(0)＝e 0－23＝13，所以tan α＝13，所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝310，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝cos2α＝2cos 2α－1＝2×910－1＝45. 14．函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点Q ，且角α的终边也过点Q ，则3sin 2α＋2sin αcos α＝.答案75解析由题意可知点Q (4,2)，所以tan α＝12，所以3sin 2α＋2sin αcos α＝3sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝3×14＋2×121＋14＝75.15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫sin 12π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫tan 2π7，则() A ．a >b >c B ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a答案B解析根据题意，sin12π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－2π7 ＝－sin2π7， cos 5π7＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π7＝－cos 2π7，又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12π7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin 2π7＝f ⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π7， b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 2π7＝f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π7，又由π4<2π7<π2，则有0<cos 2π7<sin 2π7<1<tan 2π7，又由函数在[0，＋∞)上单调递增，则有c >a >b .16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ.由已知得sin θ＋cos θ＝3＋12，所以sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由已知得sin θcos θ＝m2，因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.因为θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.。

高考数学一轮复习第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：02sinαcosα＝tan α.2．六组诱导公式公式一二三四五六角 2k π＋ α(k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－απ2＋α正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α－－口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α； sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α≠π2＋kπ，k∈Z ；sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1；cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.1．若cosα＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，则tanα等于()A．－24B．24C．－22D．22答案 C解析由已知得sinα＝－1－cos2α＝－1－19＝－223，所以tanα＝sinαcosα＝－22，选C.2．(2021·大同模拟)若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是() A．－43B．±43C.3D．43答案 A解析∵tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝3，∴a＝－43.故选A.3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C ．π6D ．π3答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos31°＝a ，则sin239°·tan149°的值为( ) A.1－a2aB ．1－a2C.a2－1aD ．－1－a2答案 B解析 sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a2.5．化简cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋αsin(α－π)cos(2π－α)的结果为________.答案－sin 2α 解析原式＝sinαcosα(－sin α)cos α＝－sin 2α.6．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案－255解析因为α是第二象限的角，所以sin α>0，cos α<0，由tan α＝－12，得sin α＝－12cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，得54cos 2α＝1，所以cos α＝－255.考向一诱导公式的应用例1 (1)化简：错误!＝________. 答案－1 解析原式＝错误!＝tanαcosαsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.(2)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________.答案－1713解析因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－错误!＝－错误!.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.(3)(2020·潍坊一模)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP→绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ→，则点Q 的坐标是________.答案 (－1，3)解析 ∵OP→＝(3，1)＝(2cos θ，2sin θ)，cos θ＝32，sin θ＝12，∴将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2＝(－2sin θ，2cos θ)＝(－1，3)，∴点Q 的坐标是(－1，3)．1.诱导公式的两个应用方向与原则(1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.1.(2020·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3的值为( )A.223B ．23 C ．26D ．526答案 A解析 ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝1－cos2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223.故选A.2．计算：sin(－1200°)cos1290°＝________. 答案34解析原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin120°cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin60°cos30°＝32×32＝34.3．化简：错误!. 解原式＝错误!＝错误! ＝错误!＝错误!. 多角度探究突破考向二同角三角函数的基本关系角度1 切弦互化例2 (1)(2020·唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B ．－12C ．32D ．－32答案 A解析由三角函数定义，得tan α＝32sinα，所以sinαcosα＝32sinα，则2(1－cos 2α)＝3cos α，所以(2cos α－1)(cos α＋2)＝0，则cos α＝12.(2)(2020·济宁三模)已知tan(π－α)＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＝________.答案13解析因为tan(π－α)＝2，所以tan α＝－2，所以sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝－2＋1－2－1＝13. 同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系tan α＝sinαcosα和平方关系1＝sin 2α＋cos 2α.4.已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α等于( )A.13B ．31010C ．377 D ．355答案 B解析因为tan(π－α)＋3＝0，所以tan α＝3，sin α＝3cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝910. 又因为α为锐角，故sin α＝31010.故选B.5．已知α是第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，则tan α＝________.答案－43解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，∴sin α＝45，又α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin2α＝－35，∴tan α＝sinαcosα＝－43.角度2 “1”的变换例3 (2021·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点P (1,2)，则sin2α1－3sinαcosα＝________.答案－4解析因为角α的终边上有一点P (1,2)，所以tan α＝2. 所以sin2α1－3sinαcosα＝sin2αsin2α＋cos2α－3sinαcosα＝tan2αtan2α＋1－3tanα＝2222＋1－3×2＝－4. 对于含有sin 2α，cos 2α，sin αcos α的三角函数求值题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin 2α＋cos 2α”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子，从而求解．6.已知tan α＝2，则(1)3sinα－2cosαsinα＋cosα＝________；(2)23sin 2α＋14cos 2α＝________. 答案 (1)43 (2)712解析因为tan α＝2，所以， (1)原式＝3tanα－2tanα＋1＝3×2－22＋1＝43.(2)原式＝23·sin2αsin2α＋cos2α＋14·cos2αsin2α＋cos2α ＝23·tan2αtan2α＋1＋14·1tan2α＋1 ＝23×2222＋1＋14×122＋1＝712. 角度3 sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系例4 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34答案 B解析 ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.(2)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则错误!等于( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ答案 A 解析因为错误! ＝1－2sinθcosθ＝错误!＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.(1)已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x .(2)sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为 (sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ， (sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ， (sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．7.若1sin α＋1cosα＝3，则sin αcos α＝( )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1答案 A 解析由1sinα＋1cosα＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcos α＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1.故选A.8．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tanα1＋tanα＝( )A ．－7B ．7 C.3D ．－3答案 A解析因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tanα1＋tanα＝cosα－sinαcosα＋sinα＝－7212＝－7.故选A.一、单项选择题1．sin210°cos120°的值为( ) A.14B ．－34C ．－32D ．34答案 A解析 sin210°cos120°＝sin(180°＋30°)cos(180°－60°)＝－sin30°·(－cos60°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝14.故选A. 2．(2020·潍坊模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33 C ．3 D ．－3答案 D解析由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，得到－π2<φ<π2，∴cos φ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－322＝12，则tan φ＝－3212＝－3.故选D.3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )A.35 B ．－35C.45 D ．－45答案 B解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧sinαcosα＝－34，sin2α＋cos2α＝1，由此解得sin 2α＝925，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，因此有sin α＝35，sin(α＋π)＝－sin α＝－35.故选B. 4．已知A ＝错误!＋错误!(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}答案 C解析当k 为偶数时，A ＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k 为奇数时，A ＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.故A 的值构成的集合是{2，－2}．5．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tanα＝( )A ．2B ．12C ．－2D ．－12答案 A解析 ∵sin α＋cos α＝－2，∴(sin α＋cos α)2＝2，∴1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12.tan α＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝sin2α＋cos2αsinαcosα＝112＝2.故选A.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12的值为( ) A.13B ．223 C ．－13D ．－223答案 A解析由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13. 7．(2020·济宁模拟)直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，则sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α的值为( )A ．－25B ．－15C ．15D ．25答案 D解析 ∵直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，∴tan α＝2，∴sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝sin αcos α＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanα1＋tan2α＝21＋22＝25.故选D.8．化简1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα1＋sinα＋cosα的结果是( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．sin α－cos α答案 C解析原式＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝错误! ＝错误!＝sin α＋cos α.故选C.9．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．5－12答案 B解析由sin θ＋sin 2θ＝1，得sin θ＝1－sin 2θ＝cos 2θ，∴cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ＝sin θ＋sin 3θ＋sin 4θ＝sin θ＋sin 2θ(sin θ＋sin 2θ)＝sin θ＋sin 2θ＝1.10．(2020·海口模拟)若对任意x ∈R ，都有cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝sin(ωx ＋φ)(ω∈R ，|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω，φ)的对数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，由条件知ω＝±2.若ω＝2，由φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )且|φ|<π，得φ＝－π3；若ω＝－2，sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋π－φ)，则π－φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－2k π＋4π3(k ∈Z )，又|φ|<π，则φ＝－2π3，故满足条件的有序数对(ω，φ)的对数为2.二、多项选择题11．在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＝sin C B ．sin B ＋C2＝cos A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案 ABC解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ；sin B ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－A 2＝cos A 2；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C .12．(2020·湖北宜昌高三模拟)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案 AC解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－14，∴sin α＝14，若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝cos α＝±154，故A 符合条件；cos(π＋β)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝－sin α＝－14，故B 不符合条件；tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±154，故C 符合条件；tan β＝155，即sin β＝155cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±64，故D 不符合条件．故选AC.三、填空题13．sin 4π3cos 5π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4π3的值是________.答案－334解析原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－sin π3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－cos π6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×(－3)＝－334.14．已知sin θ＝13，则错误!＝________.答案98解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.15．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝________.答案－43解析因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4sin π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－43.16．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan2α＋sin α·1＋1tan2α＝________.答案 0解析原式＝cos αsin2α＋cos2αcos2α＋sin αsin2α＋cos2αsin2α＝cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|＝－1＋1＝0，即原式等于0.四、解答题17．已知α为第三象限角，f (α)＝错误!.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝错误! ＝错误!＝－cos α.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.18．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 解由已知得tan α＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋1＋2＝135.19．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sinαcosα－cosα＋11－tanα的值．解 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15.∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355.与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝255.∴tan α＝2.∴2sinαcosα－cosα＋11－tanα＝45－55＋11－2＝55－95. 20．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解存在．由sin ()3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β得sin α＝2sin β，①由3cos(－α)＝－2cos(π＋β)得3cos α＝2cos β，②∴sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2，∴1＋2cos 2α＝2，∴cos 2α＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，∴cosα＝22，从而α＝π4或－π4，当α＝π4时，由①知sinβ＝12，由②知cosβ＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，当α＝－π4时，由①知sinβ＝－12，与β∈(0，π)矛盾，舍去．∴存在α＝π4，β＝π6，符合题意．21 / 21。

2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件文

(2)∵f(α)=(1-+2ssiinn��2��)��(+-csoisn��)-+cocos2s��
=
57.
-21-
考点1
考点2
考点3
(方法二)联立
sin��
+
cos��
=
-
1 5
,①
sin2�� + cos2�� = 1,②
由①得,sin α=-15-cos α,将其代入②,
整理得 25cos2α+5cos α-12=0.
因为-π2<α<0,所以
sin��
(1)求 sin2�� + cos�� 的值;
sin��-cos�� 1-tan��
(2)求m的值; (3)求方程的两根及此时θ的值. 思考sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子之间有怎样的关系?
-16-
考点1
考点2
2 5
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知识梳理双基自测
12345
-10-
自测点评 1.平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中α≠ +kππ2,k∈Z. 2.利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根据角α的范围确定. 3.公式化简求值时,要利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定.
050°)=
.
(2)设 f(α)=1+2ssiinn2(π��++��c��o)csos32(ππ+-��)--csoisn(2π+π2+��)�� (1+2sin α≠0),则

2020届高三文科数学一轮复习《同角三角函数的基本关系与诱导公式》专题汇编(教师版)

《同角三角函数的基本关系与诱导公式》专题一、同角三角函数的基本关系相关知识点1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)弦化切：把正、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切”代换法求解；②sin α，cos α的齐次分式⎝ ⎛⎭⎪⎫如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tan α＝sin αcos α，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧．二、三角函数诱导公式相关知识点口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化三、同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)． (3)cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． (4)sin α＝tan αcos α.题型一同角三角函数的基本关系类型一知弦求弦、切或知切求弦1．已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝解析：∵cos α＝－35且α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.2．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为解析：因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34.3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝解析：因为tan α＝－512，所以sin αcos α＝－512，所以cos α＝－125s in α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝±513，又α是第四象限角，所以sin α＝－513.4．已知tan x ＝43，且角x 的终边落在第三象限，则cos x ＝解析：因为角x 的终边落在第三象限，所以cos x <0，因为tan x ＝43， cos x ＝－35.5．设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2 D ．－k1－k 2解析：∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.故选B. 6．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1D ．－1解析：由角α是第三象限角知1－sin 2α＝|cos α|＝－cos α，1－cos 2α＝|sin α|＝－sin α，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3，故选B. 7.1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝( )A ．sin 2－cos 2B ．sin 2＋cos 2C ．±(sin 2－cos 2)D ．cos 2－sin 2 解析：A ，1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos2)2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－co s 2.8．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________．解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.9．已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2m m ＋5，且x ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则tan x ＝________. 解析：由sin 2x ＋cos 2x ＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，得m ＝0或m ＝8.又x ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴sin x <0，cos x >0，∴当m ＝0时，sin x ＝－35，cos x ＝45，此时tan x ＝－34；当m ＝8时，sin x ＝513，cos x ＝－1213(舍去)，综上知：tan x ＝－34.10．若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝解析：∵1＋cos αsin α＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋(2sin α－1)2＝1,5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95.11．已知sin 2α＝23，则tan α＋1tan α＝解析： tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2sin 2α＝223＝3.12．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝解析：因为sin α＋2cos α＝102，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎨⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝3或－13.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34或tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－131－⎝⎛⎭⎫－132＝－34..13．已知cos 2α＝sin α，则1sin α＋cos 4α＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧cos 2α＝sin α，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＋sin α－1＝0.解得sin α＝5－12或sin α＝－1－52(舍)．所以1sin α＋cos 4α＝1sin α＋sin 2α＝25－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122＝2. 类型二知切求f (sin α、cos α)的值（齐次式） 1．已知tan α＝－43，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值；(2)1cos 2α－sin 2α的值；(3)sin 2α＋2sin αcos α的值．解析：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝⎛⎭⎫－43＋2＝87.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋11－⎝⎛⎭⎫－432＝－257. (3)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825.2．已知tan(3π＋α)＝3，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝解析：∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3，∴3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.3．若sin α－cos αsin α＋cos α＝16tan α，则tan α＝( )A ．12或13B ．－12或－13C ．2或3D ．－2或－3解析：选C.因为sin α－cos αsin α＋cos α＝16tan α，所以tan α－1tan α＋1＝16tan α，整理可得tan 2α－5tan α＋6＝0，解得tan α＝2或tan α＝3.故选C.4．若tan θ＝－13，则cos 2θ＝解析：∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ，又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.5．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝解析：因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2 α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425. 6．已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝解析： sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入，得原式＝⎝⎛⎭⎫－342－⎝⎛⎭⎫－34⎝⎛⎭⎫－342＋1＝21257．若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为解析：∵tan α＝12，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(sin 2α－cos 2α)＝tan 2α－1tan 2α＋1＝－35.8．已知2sin α－cos α＝0，则sin 2α－2sin αcos α的值为解析：由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝12，所以sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＝－35.9．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，∴cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋222＋1＝35.类型三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用1．已知sin α＋cos α＝13，则sin αcos α的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝19，解得sin αcos α＝－49.2．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝________．解析：∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.3．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23． 4．已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为解析：因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－12.5．已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α＝解析：∵sin α＋cos α＝15，∴1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，(cos α－sin α)2＝1＋2425＝4925.又∵－π2<α<0，∴cos α>0>sin α，∴cos α－sin α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝115×75＝257. 6．若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值是( ) A ．－43 B ．－34 C ．－43或－34D ．不存在解析：A ，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.7．已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan θ＝________. 解析：∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ＝125，∴sin θcos θ＝－1225，又π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，∴(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝4925，∴sin θ－cos θ＝75，由⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝15，sin θ－cos θ＝75，解得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.8．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫－π2－αcos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝－cos α(－sin α)＝sin αcos α＝1225.又∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.解⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝1225，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35，cos α＝45.9．已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝( )A.1－32B.1＋32C. 3 D ．－3解析：选B ，∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，∴sin θ＋cos θ＝1－32，sin θ·cos θ＝m 2，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m ＝2－32，解得m ＝－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m ＝1＋32，∴sin θ－cos θ＝ 1＋32＝1＋32. 10．已知sin α＝13，0<α<π，则sin α2＋cos α2＝________.解析：⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43，又0<α<π，∴sin α2＋cos α2>0，∴sin α2＋cos α2＝233. 11．已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值；(2)求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x的值．解析：(1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.由x ∈(－π，0)，知sin x ＜0，又sin x ＋cos x ＞0，所以cos x ＞0，sin x －cos x ＜0，故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x ＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x ＝－2425×1575＝－24175.题型二三角函数的诱导公式类型一利用诱导公式简单化简与求值 1． sin 570°的值是解析：sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－12.2． sin(－1 200°)cos 1 290°＝________.解析：原式＝－sin 1 200°cos 1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34.3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos α＝－513，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (α＋π)＝解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos ()α＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (α＋π)＝cos αsin αcos α＝1sin α，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－513，则sin α＝1213，从而tan ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (α＋π)＝1sin α＝1312． 4．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin (－α－2π)＝________.解析：原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.5．化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α)＝________.解析原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.6．已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. 解析：∵sin(π＋α)＝－13，∴sin α＝13，∴tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2. 7．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈( π2，π )，则sin(π－2α)＝________. 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425. 8．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝________.解析：∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1， ∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1. 类型二利用诱导公式变角求值1．若sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝解析：因为⎝⎛⎭⎫π4－α＋⎝⎛⎭⎫π4＋α＝π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝13.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝________. 解析：因为⎝⎛⎭⎫α＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2.所以cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1213. 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值是________. 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12等于________. 解析： cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝cos ⎣⎡⎦⎤3π2＋⎝⎛⎭⎫α－π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13. 5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝－a ＋a ＝0. 6．已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13且－π＜α＜－π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝________. 解析：由－π＜α＜－π2得－7π12＜5π12＋α＜－π12∴sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223∴cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223.] 题型三同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用1．已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝45， cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝35.∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝－43. 2．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，则sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值为________．解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，11 / 11代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15. sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫52π－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－17＝335. 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝35，那么tan α的值为解析：sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝35，则sin α＝±45，所以tan α＝sin αcos α＝±43． 4．设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________. 解析：因为f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，所以f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.。

高三数学高考一轮复习资料：同角三角函数的基本关系式与诱导公式

同角三角函数的基本关系式与诱导公式[最新考纲]1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．三角函数的诱导公式辨析感悟1．对三角函数关系式的理解(1)若α，β为锐角，sin 2 α＋cos 2β＝1. (×) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立． (×) (3)(教材练习改编)已知sin α＝45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则cos α＝35.(×)2．对诱导公式的认识(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(√)(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)(6)角π＋α和α终边关于y 轴对称．(×) 3．诱导公式的应用(7)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.(×)(8)(·广东卷改编)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝－15.(×) [感悟·提升]1．一点提醒平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠π2＋k π，k ∈Z ，如(1)、(2)．2．两个防范一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】 (1)已知tan α＝2，则2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝___________，4sin 2 α－3sin αcos α－5cos 2α＝________.(2)(·山东省实验中学诊断)已知sin θ·cos θ＝18，且π4＜θ＜π2，则cos θ－sin θ的值为________．解析 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1，4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2 α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.(2)当π4＜θ＜π2时，sin θ＞cos θ， ∴cos θ－sin θ＜0，又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－14＝34， ∴cos θ－sin θ＝－32. 答案 (1)－1 1 (2)－32规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二． (2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．【训练1】 (1)已知sin α＋cos α＝15，0＜α＜π，则tan α＝______. (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α＝________. 解析 (1)法一联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0.又0＜α＜π，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64. 答案 (1)－43 (2)±64考点二利用诱导公式化简三角函数式【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. (2)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.解析 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. (2)∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝ 3. 答案 (1)1 (2) 3规律方法 (1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了． (2)诱导公式应用的步骤：锐角三角函数注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．【训练2】 (1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)＝________.(2)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝________.解析 (1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°· sin 261°＋tan 1 089°·tan 540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)· sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°) ＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°·tan 180° ＝0＋0＝0.(2)原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.答案 (1)0 (2)－1考点三利用诱导公式求值【例3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝______； (2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案 (1)12 (2)－33规律方法巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【训练3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________； (2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________. 解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23.(2)因为tan(π＋α)＝tan α＝－12，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝12. 答案 (1)－23 (2)121．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2 θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2 θ)＝tan π4＝….方法优化2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值【典例】 (·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )．A.43B.34 C ．－34 D ．－43[一般解法] 由sin α＋2cos α＝102，得sin α＝102－2cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝sin αcos α＝3或－13.当tan α＝3时，tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×31－32＝－34；当tan α＝－13时，tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－131－⎝⎛⎭⎪⎫－132＝－34.综上，tan 2α＝－34.故选C.[优美解法] 法一(直接法)两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan2α，得到tan 2α＝－3 4.法二(猜想法)，由给出的数据及选项的唯一性，记sin α＝310，cos α＝110，这时sin α＋2cos α＝102符合要求，此时tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C.[答案] C[反思感悟] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；(2)注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．【自主体验】(·东北三校模拟)已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为()．A.23B．－23 C.13D．－13解析法一∵0＜θ＜π4，∴cos θ＞sin θ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝16 9，∴2sin θcos θ＝7 9，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，∴sin θ－cos θ＝－23.法二 ∵sin θ＋cos θ＝43，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝43，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝223，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13， ∴sin θ－cos θ＝－(cos θ－sin θ)＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－23.答案 B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )． A ．－32 B.32 C ．－12 D.12解析因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12. 答案 D2．(·临川一中一调)sin 29π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－29π3－tan 25π4＝( )．A ．0 B.12 C ．1 D ．－12 解析原式＝sin(4π＋5π6)＋cos(－10π＋π3)－tan(6π＋π4) ＝sin 5π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0. 答案 A3．(·郑州模拟)1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝( )． A ．sin 2－cos 2 B ．sin 2＋cos 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．cos 2－sin 2 解析1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 答案 A4．(·石家庄模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )．A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2 解析由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5即tan α＝2，所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2 α－sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝tan 2 α－tan αtan 2 α＋1＝25.答案 A5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )．A.35B.53C.45D.54解析由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或 2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.答案 B 二、填空题6．(·杭州模拟)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A 的值是________．解析 ∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A ＝－sin A ＝12. 答案 127．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13. 答案－138．(·江南十校第一次考试)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________.解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，又－π＜α＜－π2， ∴7π12＜π12－α＜13π12，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223. 答案－223三、解答题9．化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)(k ∈Z )．解当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1.综上，原式＝－1.10．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，(2)由sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π，可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0，∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·辽宁卷)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝()．A ．－1B ．－22 C.22 D ．1解析法一因为sin α－cos α＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. 因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法二因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin 2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝3π2，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.答案 A2．(·衡水质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1, 则sin α的值是( )． A.355 B.377 C.31010 D.13解析由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角．故sin α＝31010.答案 C二、填空题3．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝45＋12＝912.答案 912三、解答题4．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β， ①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)， ∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)， ∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.。

高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式

【思维点拨】,
4 sin sin 4 2 1 sin 8 . （ 2 ）灵活运用平方关系是化简的重 1 1 sin 8 ； n z
要手段之一。

例2、已知 tan 2 。
4 sin 2 cos （1）求的值； 5 sin 3 cos
符号看象限。
函数名改变，
以上九组公式称为诱导公式，其规律可总结为：
奇变偶不变，
符号看象限。
例1、化简下列各式： sin k cos[(k 1) ] 1 . k Z sin[(k 1) ] cos(k ) 练习练习 6 6 （1）分清 k 的奇偶，决定函数值符号 1 4sin cos n 1 4 n 1 化简下列各式： 2 sin . 2 是关键；化简 4 cos
+ cotα + cosα
- sinα - cotα
tan(90°+α) =
sin(2700-α)
=
- cosα
cos(2700- α) = - sinα
tan(2700- α) = + cotα sin(270° +α) = - cosα cos(270° + α) = + sinα tan(270° + α) = - cotα
桂林装修桂林装饰好啊，请各位稍等片刻！”说着一转身迈开大步直冲正面中间的一间房子去了。随着伙计的身影，耿正看到在这间房子的门口挂着写有 “柜房”的大木牌。只听伙计一边进门一边大声说：“耿掌柜，快去看，有一挂用红布蒙了的大骡车进咱们店了，一共三个人呢，说是要见你！”话音刚落，那个让耿正兄妹三人经常回忆起来的，并且由于回忆而越来越熟悉的大哥快步走出来了。七年半过去了，昔日的那个年轻大哥如今已经变成了一个结实的壮年汉子，但依然还是一脸的善良和慈祥模样。看着眼前这面带欣喜且激动不已的三个年青人，耿大业一时间愣在了那里。略停顿一下，他试探着问：“请问，你们是？”耿正顺手将大白骡的缰绳递给那位报信的伙计。兄妹三人一起上前眼含热泪给大哥深深施礼，耿正声音哽咽地说：“大哥，您可记得七年半之前的夏天，山那边发生溃坝的当晚，您和大嫂曾经挽留落难的仨兄妹在您的小饭店里住了一夜，还„„”耿大业傻傻地张大嘴巴：“啊！你们是„„”“是我们！我们要回老家去了，特地来看望您和大嫂的„„”“快请进屋说话！这骡车怎么„„”“咱们慢慢细说！”耿大业吩咐伙计将骡车赶进靠里边的大车棚内，将骡子卸了喂上草料。伙计牵起大白骡进车棚去了。耿大业伸出有力的大手抓住耿正的双肩晃一晃，激动地大声说：“好兄弟，好兄弟啊！” 再转过来抓住耿直的双肩晃一晃，高兴地说：“小兄弟，你长大了，个头比你哥哥当年还高呢，长得也真像啊！”再仔细地端详耿英，拍一拍她的肩膀，说：“好妹子，了不起啊！”他激动得不知道说什么好了：“七年多了，我和你们大嫂经常想起你们来，老惦念呢！咱们到家里说话，你们大嫂又快生娃了，在家里歇着呢。”说着朝大院的西北方向扬扬头，说：“喏，就在大院儿里„„”当他领着耿正兄妹仨往家里走去时，一个胖墩墩的小男娃儿忽然从靠北边的屋子里跑了出来，口里还欢叫着：“爹，我在屋里就能听见是你回来了！”一边说着，一边就高兴地向耿大业扑来。耿正和耿英同时蹲下身来准备抱他，小家伙却像泥鳅一样“哧溜”一下就窜到了耿大业的身后。耿大业把小家伙拉到身前来，挨个儿指着耿正、耿直和耿英对他说：“小铁蛋儿，这是大叔叔、这是二叔叔、这是姑姑，快叫啊！”小家伙眨巴着小眼睛看看三人，再抬头看看爹爹。耿大业再说一遍：“叫大叔叔、二叔叔、姑姑！”这一回，小家伙亮着小嗓子叫了。耿英高兴地答应着将小家伙抱起来，欣喜地说：“你叫小铁蛋儿，好一个可爱的小铁蛋儿啊！”这边正高兴着呢，耿大嫂听着外面热闹的说话声也出来了。她已经怀孕八个多月了，笨拙地挺着大肚子一边往前走一边问：“他爹，这是„„”耿英一看见大嫂如此模样，赶快将小铁蛋儿递到耿

高三第一轮复习：同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系
基础知识
1.同角三角函数的基本关系式 2 2 (1)平方关系: sin α+cos α=1 ; sin �� (2)商数关系: tanα= �� ≠ ��π + ,k∈Z
cos �� 2
2 2
.
想一想:三角变换中,“1”的代换技巧经常使用,如 1=sin α+cos α,你还能举出其他代换“1”的式子吗? 答案: π 2 2 2 2 1=sin α+cos α=tan =cos α(1+tan α)=
一、考点探究
则 m 的值为 1- 5
考点3. sin x±cos x与方程思想
2
练习： 1、若 sinθ ,cosθ 是方程 4x +2mx+m=0 的两根, .
��
2、已知-π <x<0,sin(π +x)-cos x=- ,则 sin x-cos x �� 7 − 的值是 . 5
5 5
4
一、考点探究
考点3. sin x±cos x与方程思想
方法提炼: 2 2 1.已知 asin x+bcos x=c 可与 sin x+cos x=1 联立,求得 sin x,cos x,一般此法不常用,原因是计算麻烦. 2.sin x+cos x,sin x-cos x,sin xcos x 之间的关系为 2 (sin x+cos x) =1+2sin xcos x, 2 (sin x-cos x) =1-2sin xcos x, (sin x+cos x)2+(sin x-cos x)2=2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值可求其余两个代数式的值. 3.关于 sin x,cos x 的齐次式,往往转化为关于 tan x 的式子.

高考数学一轮复习4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件理北师大版

A.2
B. 2
1
2π
2π
,cos
),即
3
3
1
1
√3
∴x= 2 ,y=-2,r=|OP|=1,∴sin(π-α)=sin α= =-2.
解析:∵角 α 的终边经过点 P(sin
1
π
√3
C.-2
D.- 2
√3 1
P( 2 ,-2),
π
4.函数 f(x)=5sin + 3 +cos - 6 的最大值为( A )
是
1
3
x-4
∈
π
0, 2
的最大值
.
3
4
解析:由题意可知 f(x)=1-cos2x+√3cos x=-cos2x+√3cos
π
2
1
x+ =4
cos-
√3
2
2
+1.
因为 x∈ 0, ,所以 cos x∈[0,1].
√3
所以当 cos x= 2 时,函数 f(x)取得最大值 1.
-7考点1
考点2
考点3
例 3(1)(2018 湖南长沙一模)化简:
=
π
1+sin 2+ tan
(2)设 f(α)=
2sin(π+)cos(π-)-cos(π+)
3π
1+sin2 +cos
+
√3
2
π
-sin2 +
(1+2sin α≠0),则 f -
2
.
sin(π-)+sincos
解析:(1)
π
1+sin 2+ tan

吉林省东北师范大学附属中学2020学年高中数学 1.3第14课时同角三角函数关系及诱导公式小结(1)教案理新

同角三角函数关系及诱导公式小结(1)课时：14课型：复习课导学目标：1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x . 【自主梳理】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：______________________________.2．诱导公式(1)sin(α＋2k π)＝________，cos(α＋2k π)＝__________，tan(α＋2k π)＝________k ∈Z .(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.(3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.(5)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________. (6)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝__________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________. 【例题精讲】例1：已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin 2x －cos 2x 的值；(2)求tan x 2sin x ＋cos x的值．提示：可利用方程的思想，分别求双弦例2：(2020·安阳模拟)已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15， (1)求sin A ·cos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．提示：可利用平方关系求解例3：已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值． (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α. 提示：化简已知条件：tan (1).- (2).【自我检测】1．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为 ( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 22．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于 ( )A ．－33 B.33 C ．－ 3 D. 33．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A.13 B.23 C ．－13 D ．－234．(2020·荆州模拟)已知△ABC 中，cos Asin A ＝－125，则cos A 等于 ( ) A.1213 B.513 C ．－513 D ．－12135．已知tan α＝－512，且α为第二象限角，则sin α的值等于 ( ) A.15 B ．－115 C.513 D ．－5136．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.7．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.8．若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＝________.答案解析：1.C2.C3.D4.D5.C6.7.44.58. 3。

高考数学一轮复习同角三角函数的基本关系及诱导公式

________
－sin α
tan α
tan α
________
________
－tan α
________
tan α
________
－tan α
[常用结论]
1．同角三角函数关系式的常用变形
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(sinα±cos α)2＝1±2sin αcos α；
π
sin α＝tan αcos α α ≠ + kπ，k
2
2
cos α
1
2
cos α＝ 2
＝ 2
.
2
sin α+cos α tan α+1
∈
2α
2α
sin
tan
；sin2α＝ 2
＝ 2
；
2
sin α+cos α tan α+1
2．诱导公式的记忆口诀
π
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数
3
2
α，cos α.
题后师说
本例属于同角三角函数关系中的基础题，关键是掌握“先开方，后
作商”的原则，先求与sin α(或cos α)的平方关系相联系的cos α(或sin
α)，再由公式求tan α.
巩固训练2
3π
(1)[2023·广东惠州模拟]已知tan α＝2，π<α< ，则cos α－sin α＝
3
.
2
8
4
α－sin α的值为
关键能力·题型突破
题型一诱导公式
π
3
π
例 1(1)[2023·广东深圳高三检测]已知sin (α＋ )＝－，则cos (α－ )

2020版高考数学(理)一轮复习：第18讲~同角三角函数的基本关系式与诱导公式ppt课件

A.15
B.25
C.35
D.
5 5
(2)[2018·武汉调研] 已知 sin αcos α=130,则 tan
α=
.
[思路点拨] (1)根据诱导公式及已
知等式得出 tan θ,将待求式添加分
母 1(利用 1=sin2α+cos2α),转化为
含 tan θ 的式子,代入求值;(2)sin
αcos
α
可变形为sin
由3ssiinn
��-2cos �� +5cos ��
=-5,知
cos
α≠0,等式左边分子分母同时除以
cos α 可得,3ttaann ��-+25=-5,得 tan α=-2136.
课前双基巩固
3.[教材改编]
已知 sin α= 33,则 cos
=ta
tna2n��+1=130,解得
tan
α=3
或
tan α=13.
课堂考点探究
[总结反思] 对于含有 sin2x,cos2x,sin xcos x 的三角函数求值问题,一般可以考虑添加分母 1,再将 1 用“sin2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于 ta��
2
=-35,则
cos(2π-α)= ( )
A.-35
B.35
C.-45
D.45
(2)[2018·桂林模拟]
已知
f(α)=sin
(π-��)cos (2π-�� cos (-π-��)
),则
f

2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第3章三角函数、解三角形 3.2 同角三角函数的基本关系

3．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式[知识梳理]1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式[诊断自测] 1．概念思辨(1)存在角α，β，使sin 2α＋sin 2β＝1.( ) (2)若sin(α－37°)＝13，则cos(α＋53°)＝－13.( )(3)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化；其中的“符号”与α的大小无关．( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A4P 29B 组T 2)已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34 答案 B解析因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35.显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.故选B.(2)(必修A4P 71T 3)设函数f (x )＝1＋sin x1－sin x－1－sin x1＋sin x，且f (α)＝1，α为第二象限角，则tan α的值( )A.12 B ．－12 C.13 D ．－13 答案 B解析 ∵函数f (x )＝ 1＋sin x1－sin x－1－sin x1＋sin x，且f (α)＝1，α为第二象限角．∴1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋sin αcos α－⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－sin αcos α＝－1＋sin αcos α－1－sin α－cos α＝－2tan α＝1，∴tan α＝－12. 故选B.3．小题热身(1)(2018·石家庄一模)已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12.故选A. (2)(2017·桂林模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 答案－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛ π4 )－α＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.题型1 同角三角函数关系式的应用典例 (2017·杭州模拟)已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin x －cos x 的值； (2)求tan x ；(3)求1cos 2x －sin 2x的值．本题可采用方程组法、平方法、“1”的巧用，切弦互化．解 (1)∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425. ∵(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝4925.① 又∵－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0， ∴sin x －cos x <0.②由①②可知sin x －cos x ＝－75. (2)由已知条件及(1)可知 ⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，∴tan x ＝－34. (3)由(1)可得1cos 2x －sin 2x ＝1(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＝115×75＝257. ∴1cos 2x －sin 2x ＝257. [结论探究1] 在本典例条件下，求sin x －2cos x4sin x ＋cos x 的值．解 sin x －2cos x 4sin x ＋cos x ＝tan x －24tan x ＋1＝－34－2－3＋1＝118.[结论探究2] 在本典例条件下，求sin 2x ＋sin x cos x 的值．解 sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝tan 2x ＋tan xtan 2x ＋1＝916－34916＋1＝－325.方法技巧同角三角函数关系式的应用方法1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．见典例(1)．2．由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．3．sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin 2α，cos 2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin 2α＋cos 2α＝1”代换后转化为“切”后求解．见结论探究2.冲关针对训练1.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如右图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.答案－7解析依题意得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，即有sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，因此sin θ＝45，cos θ＝35，tan θ＝43，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝－7. 2．(2018·阿勒泰调研)已知α为第二象限角，则 cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.答案 0解析原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α·sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.题型2 诱导公式、同角三角函数关系的综合应用角度1 化简与求值典例(2017·东平月考)(1)化简： cos (θ＋π)sin 2(θ＋3π)tan (θ＋4π)tan (π＋θ)cos 3(－π－θ)；(2)求值：1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos 2170°. (1)切化弦、转化法．(2)配方法，根式化简．解 (1)cos (θ＋π)sin 2(θ＋3π)tan (θ＋4π)tan (π＋θ)cos 3(－π－θ)＝(－cos θ)sin 2θtan θtan θ(－cos 3θ)＝1. (2)1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos 2170°＝(cos10°－sin10°)2cos10°－sin10°＝cos10°－sin10°cos10°－sin10°＝1.角度2 sin α＋cos α、sin αcos α、sin α－cos α三者之间的关系问题典例 (2018·葫芦岛模拟)(1)已知sin x －cos x ＝13，求sin 4x ＋cos 4x 的值；(2)已知sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值．转化法、平方法．解 (1)将sin x －cos x ＝13，两边平方得：(sin x －cos x )2＝ 1－2sin x cos x ＝19， ∴sin x cos x ＝49，则sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－2sin 2x cos 2x ＝4981.(2)∵sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)， ∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0，把sin x ＋cos x ＝－713，①两边平方得1＋2sin x cos x ＝49169，即2sin x cos x ＝－120169， ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝289169，即sin x －cos x ＝1713，②联立①②，解得sin x ＝513，cos x ＝－1213， ∴cos x －2sin x ＝－2213. 方法技巧化简与求值问题的常见类型及求解策略1．知弦求弦问题，利用诱导公式及同角的平方关系sin 2α＋cos 2α＝1求解．2．知切求弦问题，利用同角的商数关系sin αcos α＝tan α化为sin α＝cos α·tan α的形式，再结合平方关系求解．3．知弦求切问题，结合平方关系，三个关系式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α·cos α可进行相互转化，此时要注意sin αcos α＝tan α的灵活运用．见角度2典例．提醒：巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．冲关针对训练1．(2017·衡水模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α等于( ) A.223 B.13 C ．－13 D ．－223 答案 D解析因为⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α. 因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.故选D. 2．(2017·启东市校级期中)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝cos α·1－sin α1＋sin α＋sin α·1－cos α1＋cos α.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝35，求sin α1＋cos α＋cos α1＋sin α的值．解 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin α∈(0,1)，cos α∈(0,1)， ∴f (α)＝cos α·1－sin α1＋sin α＋sin α·1－cos α1＋cos α＝cos α·(1－sin α)21－sin 2α＋sin α·(1－cos α)21－cos 2α＝1－sin α＋1－cos α＝2－sin α－cos α.(2)∵f (α)＝35＝2－sin α－cos α， ∴sin α＋cos α＝75，∴两边平方可得1＋2sin αcos α＝4925，解得sin αcos α＝1225， ∴sin α1＋cos α＋cos α1＋sin α＝sin α(1＋sin α)＋cos α(1＋cos α)(1＋cos α)(1＋sin α)＝1＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝1＋751＋75＋1225＝56.1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 答案 A解析当tan α＝34时，原式＝cos 2α＋4sin α·cos α ＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34916＋1＝6425.故选A.2．(2017·湖南衡阳二模)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则tan θ的可能取值是( )A ．－3B ．3或13 C ．－13 D ．－3或－13答案 C解析 sin θ＋cos θ＝a ，两边平方可得2sin θ·cos θ＝a 2－1，由a ∈(0,1)得sin θ·cos θ<0，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos θ>0，∴sin θ<0，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0，又由sin θ＋cos θ＝a >0知|sin θ|<|cos θ|，∴θ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，0，从而tan θ∈(－1,0)．故选C.3．(2017·兴庆区校级期中)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，化简 1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ答案 B解析 θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，cos θ>sin θ， 1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|＝cos θ－sin θ.故选B.4．(2018·湖南模拟)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝________. 答案 22解析已知等式两边平方得(sin α＋2cos α)2＝sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3， ∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3，整理得(2tan α－1)2＝0，解得tan α＝22.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·郑州期末)若tan(5π＋α)＝m ，则 sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1 答案 A解析由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m .原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.故选A.2.1＋2sin (π－3)cos (π＋3)化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对答案 A解析 ∵sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3， ∴原式＝1－2sin3·cos3＝(sin3－cos3)2＝|sin3－cos3|. ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0. ∴原式＝sin3－cos3.选A.3．(2017·梅州模拟)已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是( )A.13B.31010C.377D.355 答案 B解析由tan(π－α)＋3＝0得tan α＝3，即sin αcos α＝3，sin α＝3cos α，所以sin 2α＝9(1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2α＝910.又因为α为锐角，所以sin α＝31010.故选B.4．(2017·化德县校级期末)设cos(－80°)＝m ，那么tan100°等于( )A.1－m 2mB ．－1－m 2mC.m 1－m 2 D ．－m1－m2 答案 B解析 ∵cos(－80°)＝m ，∴cos80°＝m ，sin80°＝1－cos 280°＝1－m 2. ∴tan100°＝－tan80°＝－1－m 2m .故选B. 5.sin40°1＋cos80°1－2sin10°cos10°＋sin10°的值为( )A.12B.22 C. 2 D.3 答案 B 解析sin40°1＋cos80°1－2sin10°cos10°＋sin10°＝sin40°·2cos40°cos10°－sin10°＋sin10°＝22sin80°cos10°＝22.故选B.6．(2017·雅安模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B.13 C ．－23 D ．－13 答案 C解析 (sin θ＋cos θ)2＝169，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－23.故选C.7．(2018·安徽江南十校联考)已知tan α＝－34，则sin α·(sin α－cos α)＝( )A.2125B.2521C.45D.54 答案 A解析 sin α·(sin α－cos α)＝sin 2α－sin α·cos α＝sin 2α－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入，得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125.故选A.8．cos 21°＋cos 22°＋cos 23°＋…＋cos 290°＝( ) A ．90 B ．45 C ．44.5 D ．44 答案 C解析原式＝(cos 21°＋cos 289°)＋(cos 22°＋cos 288°)＋…＋(cos 244°＋cos 246°)＋cos 245°＋cos 290°＝(cos 21°＋sin 21°)＋(cos 22°＋sin 22°)＋…＋(cos 244°＋sin 244°)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋0＝1×44＋12＋0＝44.5.故选C.9．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则tan θ的值为( )A ．－512 B.512C ．－512或－34D ．与m 的值有关答案 A解析已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1所以m ＝8，满足题意，tan θ＝sin θcos θ＝m －34－2m＝－512.故选A.10．已知3cos 2α＋4sin αcos α＋1＝0，则sin 4α－cos 4αsin 2α－sin αcos α＝( )A ．－2B ．2C ．－12 D.12 答案 D解析 ∵3cos 2α＋4sin αcos α＋1＝0， ∴4cos 2α＋4sin αcos α＋sin 2α＝0， ∴(sin α＋2cos α)2＝0，∴tan α＝－2.sin 4α－cos 4αsin α(sin α－cos α)＝sin 2α－cos 2αsin α(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α＝1＋1tan α＝12.故选D.二、填空题11．(2018·福建泉州质检)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.答案－43解析由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43.12．(2017·福建漳州二模)已知θ是三角形的一个内角，且sin θ，cos θ是关于x 的方程4x 2＋px －2＝0的两根，则θ等于________．答案 3π4解析由题意知sin θ·cos θ＝－12，联立⎩⎨⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θ·cos θ＝－12，得⎩⎨⎧sin θ＝22，cos θ＝－22或⎩⎨⎧sin θ＝－22，cos θ＝22，又θ为三角形的一个内角，∴sin θ>0，则cos θ＝－22， ∴θ＝3π4.13．已知1－cos x sin x ＝－13，则1＋cos x sin x 的值是________．答案－3解析 ∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴sin 2x ＝1－cos 2x ，即1－cos x sin x ＝sin x1＋cos x，∵1－cos x sin x ＝－13，∴1＋cos x sin x ＝sin x 1－cos x＝－3.14．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝________.答案 7π12解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝2sin B ，①3cos A ＝2cos B ，②①2＋②2，得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22，当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝π4，B ＝π6，所以C ＝π－(A ＋B )＝7π12. 当cos A ＝－22时，cos B ＝－32.又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝3π4，B ＝5π6，不符合题意．综上，C ＝7π12.三、解答题15．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α·cos α和sin α－cos α的值．解 (1)f (α)＝sin α－sin α·(1＋cos α)21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425. ∴sin α·cos α＝－1225.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.16．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1009的值．解 (1)f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ]＝cos 2x sin 2x cos 2x ＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎪⎫π2018＋f ⎝⎛⎭⎪⎫504π1009＝sin 2π2018＋sin 21008π2018＝sin 2π2018＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2－π2018＝sin 2π2018＋cos 2π2018＝1.。

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吉林省东北师范大学附属中学2020届高考数学一轮复习同角
三角函数的基本关系及诱导公式教案理
知识梳理： (阅读教材必修4第18页—第28页) 1．同角三角函数的基本关系式：（1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；
（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα
αααα==；（3）平方关系：22
sin cos 1αα+= ．
2、诱导公式公式1： sin(k )=sin , k ; cos(k )=cos , k ; tan(k )=tan, k
;
公式2：sin(
)=-sin cos(
) =- cos tan(
) =tan
公式3：sin(-) =-sin cos(-) =cos tan(-) =-tan 公式4：sin(
)= sin cos(
) =- cos tan(
) =-tan
公式5：sin )= cos cos )= sin
公式6：sin )= cos cos )= -sin
规律：奇变偶不变，符号看象限一、 [题型探究]：
[探究一]：同角三角函数关系例1：已知是第四象限，tan = ，则sin =
例2：已知：tan=2，求的值
[探究二]、诱导公式：
例3：求下列三角函数值
（1）、（2）sin（3）、sin（- ）例4：化简：
例5：已知：cos= ,求cos—si的值；
例6：已知sin()-cso()=
弦切互化：sin cos tan ,cot cos sin αα
αααα=
=
和积转化：(sin =1
=1sin2
巧用“1”的变换:2
2sin
cos 1αα+=
四、反思感悟：
五、课时作业： 1、【高考题】sin21
=( )
A B 、— C 、 D 、—
2、下列四个等式中，正确的等式共有（）个 (1) sin(36+30)= sin30 (2)cos(18+30
)= cos30
(3) sin(18
+30
)= -sin30
(4)cos(30
)= cos30
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 3、若是第三象限角，且
=cos +sin ，则是（）
A 、第二、四角限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
4、设是第二象限角，则下列三角函数值为正数的是（）
A、cos(3)
B、sin(4)
C、cos(-2)
D、-sin(6)
5、若cos+2 sin=，则tan=（）
A、 B、2 C、— D、-2
6、如果cos(+A)= — ,那么sin (+A)=
A、—
B、
C、—
D、
7、si()=-cos()+1= ( )
A、1
B、2si
C、0
D、2
8、已知A是三角形内角，若sinA+ cosA=则tanA= ；
9、【师大校本教材】若A、B、C是ABC的内角，则下列五个结论中正确序号是：（1）、si()+ cosC=1 （2）、sin(A+B)
（3）、cos(A+B)（4）、sin=cos（5）、tan=1
(6)、tanAtanBtanC=1
10、若sin(,其中是第二象限角，则)= ;
tan()= ;
)= .
11、化简根式
12、已知tan α＝2，则
(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝_____；(2)2sin 2α－3cos 2
α4sin 2α－9cos 2
α＝_____；(3)4sin 2
α－3sin αcos α－5cos 2
α＝_____.
解析：(1)注意到分式的分子与分母均是关于sin α、cos α的一次齐次式，将分子、分母同除以cos α(∵cos α≠0)，然后整体代入tan α＝2的值．
2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－3
4×2－9
＝－1.
(2)注意到分子、分母都是关于sin α、cos α的二次齐次式，
∵cos 2
α≠0，分子、分母同除以cos 2
α，有2sin 2
α－3cos 2
α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2
α－34tan 2
α－9＝2×4－3
4×4－9
＝57.∴应填57
. (3)要注意到sin 2
α＋cos 2
α＝1，
4sin 2
α－3sin αcos α－5cos 2
α＝4sin 2
α－3sin αcos α－5cos 2
αsin 2α＋cos 2
α
＝4tan 2
α－3tan α－5tan 2
α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1.应填1. 答案：(1)－1 (2)5
7
(3)1
13、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.
14．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝1
5
，
(1)求sin A ·cos A ；
(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．
分析：可先把sin A ＋cos A ＝1
5两边平方得出sin A ·cos A ，然后借助于A ∈(0，π)
及三角函数符号法则可得sin A 与cos A 的符号，从而进一步构造sin A －cos A 的方程，最后联立求解．
解：(1)∵sin A ＋cos A ＝15①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A ·cos A ＝－1225.
(2)由(1)sin A cos A ＝－12
25<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角
三角形．。