重点高中提前招生数学试卷

数学试卷（满分 分）
一、选择题（每小题均给出了代号为✌、 、 、 的四个结论，其中只有一 个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内，每题 分，共 分， 选择题的答案写在答卷上） ．若m
x 1
1-
=是方程022=+-m mx 的根，则m x -的值为 （ ） ✌． ． ．－ ．
．内角的度数为整数的正n 边形的个数是 （ ）
✌．  ．  ．  ． 
．某商场五一期间举行优惠销售活动，采取“满一百元送二十元，并且连环赠送”的 酬宾方式，即顾客每消费满 元（ 元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送 元购物券，满 元就送 元购物券，依次类推，现有一位顾客第一次就用了 元购物，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当于它们原价的（ ）
✌．  ．  ．  ． 
．设x 为正整数，若1+x 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是 （ ）
✌．x ．12+-x x ．112++-x x ．
212++-x x
．横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数1
23
6-+=x x y 的图象上整点的个数是 （ ）
✌． 个 ． 个 ． 个 ． 个
、如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ︒=∠=∠=30,5
3
cos ,10BCE BCD BC ，则线段DE 的长
是 （ ）
✌、89 、 3 、 3 、 3 、某学校共有 名学生，一次活动中全体学生被排成 一个n 排的等腰梯形阵，且这n 排学生数按每排都比前一排
多一人的规律排列，则当n 取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是 （ ）
✌   
数学答题卷
一、选择题（每题 分，共 分，每题 分，共 分）
二、填空题（本题共 小题，每小题 分，共 分）
．计算： ＋ － ＋ ＋ － ＋ ＋ － ＋…＋ ＋ － ＋ ＝ ．
若抛物线1422
++-=p px x y 中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为
．已知实数x 满足012)(4)(222=----x x x x ，则代数式12
+-x x 的值为
．若方程组⎩⎨⎧+=--=+433235k y x k y x 的解为⎩
⎨⎧==,,
b y a x 且||k ＜ ，则b a -的取值范围是
、若对任意实数x 不等式b ax >都成立，那么a 、b 的取值范围为
、设21≤≤-x ，则22
1
2++--x x x 的最大值与最小值之差为
．有八个球编号是♊至♑，其中有六个球一样重，另外两个球都轻 克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次① ♋比♌＋♍重，第二次♎♏比♐＋♑轻，第三次♊♌＋♎和♋♍♑一样重．那么，两个轻球的编号是♉♉
在 × 的矩形方格纸上，各个小正方形的顶点为格点。

则以格点为顶点的等腰直角三角形有♉♉♉♉♉♉♉个
三、（本题共 小题，分值分布 ，合计 分）
 ☎本题满分 分）已知抛物线⍓♋⌧ ☎♋✆⌧♋与直线⍓－ ⌧的交点均是整点☎直角坐标系中 横、纵坐标均为整数的点✆ 试确定整数♋的值 并求出相应的交点☎整点✆的坐标
．☎本题满分 分）如图，已知∆ABC 中，✌a ，点 在✌边上移动（点 不与✌、 重合）， ☜，交✌于☜，连结 ．设S S S S ABC DEC ∆∆==，1．
（ ）当 为✌中点时，求S S 1：的值；
（ ）若y S
S
x AD ==1,，求⍓关于⌧的函数关系式及自变量⌧的
取值范围；
（ ）是否存在点 ，使得S S 11
4
>成立？ 若存在，求出 点位置；若不存在，请说明理由．
．☎本题满分 分）如图，设ABC ∆是直角三角形，点D 在斜边BC 上，
4BD DC =，已知圆过点C 且与AC 相交于F ，与AB 相切于AB 的中点G ，求证：
AD BF ⊥。

．☎本题满分 分）在有 名歌手参加的比赛中， 名裁判员分别给他们判定
从 ❞的名次。

已知每一名歌手得到的名次中，各名次之差不超过 。

若每名歌手所得到的名次的和排成递增序列： 1220C c
c ≤≤≤…… 则1c 的最大值是多少
数学试卷参考答案
一、选择题（每小题均给出了代号为✌、 、 、 的四个结论，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内，每题 分，共 分
．代入方程可解出，❍故⌧ 选项为
．内角和为 ☎⏹✆，
为整数n
n n ︒
-︒=-360180)2(180ο，且⏹分析 的正因数，选项为
．可以理解为☎✆ 选项为  ．为简单起见，不妨假定⌧，则它前面一个完全平方数为 ，只有 符合 ．1
26
3-+
=x y ，故 ⌧ 共有 种情况 选项为 提示：过 作 ♈☜，垂足为 分别算出 和 ☜即可 选项为 
二、填空题（本题共 小题，每小题 分，共 分）
．（ ＋ － ）＋（ ＋ － ）＋（ ＋ － ）＋…＋（ ＋ － ）＋  ．2
21)4(x p x y ++-=， 取⌧即可，恒过（ ， ）
．因式分解：（⌧ ⌧）☎⌧ ⌧✆故⌧ ⌧于是⌧ ⌧
♋♌ ♋♌☎✆ ♋♌ 原式可化为 2
1
⌧☎⌧✆❍♋⌧❍♓⏹ 最大 最小 
 ♍♎
 以斜边为标准计数
， 个
 个
个
， 合计 个
三、（本题共 小题，满分 分） ： 本题满分 分
解：联立⎩⎨⎧-=++++=x
y a x )a (ax y 321222得♋⌧ ☎♋✆⌧♋－ ☎✉✆
设☎✉✆的两根为⌧ ⌧ 则⌧ ·⌧
a a 12- －a
1
为整数 ∴♋± 当♋时 ☎✉✆为⌧ ⌧无整数解
当♋－ 时 ☎✉✆为⌧ － ⌧ ⌧  ⌧  对应地⍓ －  ⍓ －
∴♋－  交点坐标为☎ － ✆和☎ － ✆
 本题满分 分
解：（ ） DE BC D AB //，为的中点，
2
1
==∆∆∴AC AE AB AD ABC ADE ，∽．
∴
==S S AD AB ADE ∆()214
S S AE EC ADE ∆11=
=， ∴41
1=S S ．
（ ） ∵ ✌＝⌧，
y S
S ＝1，∴ x x
a AD DB AE EC S S ADE -＝＝＝△1． 又∵ 22
2
a
x AB AD S S ADE ＝＝△⎪⎭⎫ ⎝⎛，
∴ △✌☜ 22a x · ∴ ＝⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x a 22
a x
∴ 2
21a ax x S S +-=， 即⍓＝－
x a
2
1 ＋x a 1
自变量⌧的取值范围是： ＜⌧＜a ． （ ）不存在点 ，使得S S 114>
成立． 理由：假设存在点 ，使得S S 11
4
>成立，那么
S S y 1141
4
>>，即． ∴－
2
1a ⌧ ＋a 1⌧＞41
，∴（a 1⌧－21） ＜ ∵（a 1⌧－21） ≥ ∴⌧
不存在，
即不存在点 ，使得S S 11
4
>
成立．  本题满分 分 证：过 作 ☜ ⊥ ✌于☜ ∠ ✌  
∴
☜∥
✌
∴5
1==CB
CD AB
DE 5
4==CB
BD AC
AE
✌
切
圆
于
☝
∴
✌☝  ✌☞✌又
✌☝  21✌ ∴4
1✌  ✌☞✌
∴ DE
AE DE AE AB AC AF AB ===554 ∴ ♦△✌☜ ∽ ♦△✌☞
∴ ∠☜✌  ∠✌☞ ∠☜✌  ∠ ✌  0
∴ ∠✌☞  ∠ ✌  
即 ✌ ⊥ ☞

若 名裁判都给某歌手判第一名，则1c 
若有两名歌手都得第一名，则其中 人得到不少于 个第一，而其余 个名次不高于第
四名，故1c ≤ × × 
若有三名歌手都得第一名，则他们所得的其余名次不高于第四名，他们的名次之和不大
于19394972⨯+⨯+⨯=，故1c ≤ 
若有四名歌手都得第一名，则他们的名次之和不大于1929394990⨯+⨯+⨯+⨯= 所以
1c ≤ 
而 名或更多名选手得第一名的情况是不可能的。

构造
裁判员给名次和为
1,23
,c c c 的三名歌手判的名次都是 ，
；
给4,56,c c c 都是  给其余选手为 ❞之间。