证明线段相等的方法
求证线段相等的方法
求证线段相等的方法引言：在几何学中，线段相等是指两条线段的长度相等。
求证线段相等是数学中常见的问题之一，也是几何学中的基础内容。
本文将介绍一些常用的方法和技巧，帮助读者更好地理解和解决线段相等的问题。
一、使用尺规作图法求证线段相等尺规作图法是一种常用的求证方法，它利用尺子和圆规这两个工具来完成。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，用尺规作图工具在纸上作出所给的线段和其他几何图形。
2. 根据几何图形的特征和性质，利用尺规作图的方法进行推理和推导，得出结论。
3. 通过尺规作图的结果，可以判断线段是否相等。
二、使用割线法求证线段相等割线法是另一种常用的求证方法，它利用割线的性质来求证线段相等。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，利用割线的性质，将几何图形分割成若干个部分。
2. 根据分割后的几何图形的特征和性质，进行推理和推导，得出结论。
3. 通过割线法的结果，可以判断线段是否相等。
三、使用数学推导法求证线段相等数学推导法是一种较为抽象和严密的求证方法，它利用数学定理和公式进行推导。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，用数学符号和公式表示线段的长度和其他几何图形的性质。
2. 利用数学定理和公式进行推导和计算，得出结论。
3. 通过数学推导的结果，可以判断线段是否相等。
四、使用直观判断法求证线段相等直观判断法是一种简单直观的求证方法，它基于我们对线段长度的直观感受和判断。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，观察线段的长度和其他几何图形的特征。
2. 根据直观感受和判断，判断线段是否相等。
3. 通过直观判断的结果，可以初步判断线段是否相等。
五、使用数值计算法求证线段相等数值计算法是一种较为实用的求证方法，它基于数值计算和测量的结果。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，通过测量和数值计算得到线段的长度。
2. 对比不同线段的长度，判断线段是否相等。
3. 通过数值计算的结果，可以准确判断线段是否相等。
证明两线段相等的方法
证明两线段相等的方法
1. 根据定义：如果两条线段的长度相等，则可以直接使用定义来证明它们相等。
如
果给定线段AB和线段CD的两个端点分别为A、B和C、D，且|AB| = |CD|，则可以利用定义来证明|AB| ≡ |CD|。
2. 使用等效三角形法则：如果两个三角形的对应边长度分别相等，则这两个三角形
是等效的，也就是说它们的其他对应边和角也相等。
可以利用等效三角形法则证明两线段
相等。
如果线段AB与线段CD的一端相连，并且形成两个等腰三角形，可以证明其它两边
也相等。
5. 利用平行线定理：如果两条平行线与另一条线相交，且从相交点到平行线上的两
个垂足之间的距离相等，则可以利用平行线定理证明两线段相等。
如果线段AB与线段CD
都是平行线段，并且线段EF与这两条线段相交于点P和Q，并且|PE| = |QF|和|PF| = |QE|，则可以证明|AB| = |CD|。
9. 使用平行四边形定理：如果两个对边相等的四边形是平行四边形，则可以使用平
行四边形定理来证明两线段相等。
如果线段AB与线段CD是一个平行四边形的对边，则可
以证明|AB| = |CD|。
10. 利用圆的性质：当两条弧的圆心角相等时，可以利用圆的性质证明这两个弧相等，从而证明两线段相等。
如果线段AB与线段CD分别是一个圆的两个弧，并且这两个弧的圆
心角相等，则可以证明|AB| = |CD|。
证明线段相等的方法
证明线段相等的方法线段相等是平面几何中一个非常基础的概念，也是很多证明题中常见的一个步骤。
在数学学习中，我们经常会遇到需要证明两条线段相等的问题，那么我们应该如何进行证明呢？下面我将介绍几种常见的证明线段相等的方法。
一、利用线段的定义证明。
首先，我们需要了解线段的定义，线段是由两点之间的所有点构成的集合。
因此，要证明两条线段相等，只需要证明它们的长度相等即可。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以利用尺规作图工具，将线段AB与线段CD分别画在同一张纸上，然后利用尺子测量它们的长度，若它们的长度相等，则可以得出线段AB与线段CD相等的结论。
二、利用线段的性质证明。
除了利用线段的定义进行证明外，我们还可以利用线段的性质来证明线段相等。
常见的线段性质有垂直平分线段、等分线段等。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以先作出线段AB的垂直平分线，并延长至与线段CD相交于点E，然后利用垂直平分线的性质证明AE=EB，CE=ED，从而得出线段AB与线段CD相等的结论。
三、利用其他几何图形证明。
在实际问题中，我们有时也可以利用其他几何图形来证明线段相等。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以构造一个与线段AB和线段CD相关的几何图形，通过对这个几何图形进行分析，得出线段AB与线段CD相等的结论。
总结。
通过以上介绍，我们可以看出，证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体的题目情况选择合适的方法进行证明。
在实际操作中，我们需要灵活运用线段的定义和性质，结合几何图形进行分析，从而得出线段相等的结论。
在数学学习中，证明线段相等是一个基础而重要的问题，希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
同时，也希望大家在学习数学的过程中能够多加练习，提高自己的证明能力，为今后的学习打下坚实的基础。
证明两条线段相等的方法
探究如何证明两条线段相等
在几何学中，证明两条线段相等常常是一个基本的问题。
那么，我们如何证明它们是相等的呢？下面列举几种方法。
1. 用尺规作图法。
在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点坐标，通过尺规画出它们的长度，并作差判断它们是否相等。
2. 用等效的变换法。
通过平移、旋转以及镜像等等等效的变换，将两条线段完全重合，进而证明它们是相等的。
3. 用勾股定理证明。
如果两条线段分别是两条直角边，而它们所在的直角三角形的第三边相等，那么这两条线段就是相等的。
4. 用向量和坐标法。
对于含有两个向量的题目，可以将它们寻找一个向量的共同点，进而证明它们相等。
而利用坐标的方法，同样可以转化为向量的形式，然后进行比较。
以上四种方法，都是我们可以利用的常见方法。
其中，尺规作图法和向量坐标法比较容易理解，而等价变换法和勾股定理稍微复杂一些。
我们可以根据具体情况，选择不同的方法，来证明线段的相等。
证明线段相等的方法常用的9种方法
证明线段相等的方法常用的9种方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它是指两条线段的长度相等。
在几何学中，我们常常需要证明两条线段相等，这时我们可以使用以下9种方法来证明。
1. 利用勾股定理：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么它们的斜边也相等。
因此，如果我们能够证明两条线段是直角三角形的两条直角边，那么它们的长度就相等了。
2. 利用等腰三角形的性质：如果两条线段分别是等腰三角形的两条等边，那么它们的长度也相等。
3. 利用相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成比例。
因此，如果我们能够证明两条线段是相似三角形的对应边，那么它们的长度也相等。
4. 利用平移的性质：如果我们能够将一条线段平移至另一条线段上，使得它们的起点和终点重合，那么这两条线段的长度就相等了。
5. 利用旋转的性质：如果我们能够将一条线段绕着一个点旋转，使得它与另一条线段重合，那么这两条线段的长度也相等了。
6. 利用反证法：假设两条线段长度不相等，那么它们之间必然存在一个距离。
我们可以通过构造一个三角形来证明这个距离是不存在的，从而推出两条线段的长度相等。
7. 利用重心的性质：如果两条线段分别是一个三角形的两条边，且这个三角形的重心恰好在这两条线段的中点，那么这两条线段的长度也相等了。
8. 利用垂线的性质：如果两条线段分别是一个直角三角形的两条直角边，且它们的中点连成一条线段与直角边垂直相交，那么这两条线段的长度也相等了。
9. 利用向量的性质：如果我们能够将两条线段表示成向量的形式，那么它们的长度相等当且仅当它们的向量相等。
证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法来证明。
在实际应用中，我们需要根据题目的要求和条件来选择最合适的方法，以便更快更准确地得出结论。
专题14证明线段相等的常用方法
证明线段相等的常用方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
【基本模型】（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等.②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等.③角平分线上任一点到角两边的距离相等.④平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等. （二）三角形中：①同一三角形中,等角对等边.（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等.③任意三角形的内心到三边的距离相等.④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边.⑤直角三角形中,斜边的中线等于斜边一半.⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形.⑦中位线：过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边.⑧同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等.同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等.（三）特殊四边形中：①平行四边形对边相等,对角线相互平分.②矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等.③菱形中四边相等.④等腰梯形两腰相等、两对角线相等.⑤梯形中位线：过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰.（四）圆中：①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等.②同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等.③任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分.④自圆外一点所作圆的两切线长相等.⑤两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分.（五）全等形中：全等形中,一切对应线段（对应的边、高、中线、角平分线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等.（六）等量代换或线段运算：①等于同一线段的两条线段相等.②对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等.③对应相等线段乘以相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以相等倍数所得的商相等.【典例分析】［例1］（2019苏州）如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．求证：EF BC =.【点拨】利用全等三角形的性质证明线段相等，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
证线段相等的方法
证线段相等的方法线段相等是指在长度上完全相等的两条线段。
接下来我们将介绍线段相等的方法。
1. 利用尺规作图：这是最常见的方法之一。
我们可以利用尺规作图来画出两条长度相等的线段。
首先我们需要一根公共边，然后利用尺规作图的原理，分别以这根公共边为起点，画出相等的两条线段。
2. 利用直尺测量：在实际生活中，我们可以使用直尺来测量两条线段的长度，如果测得的长度完全相等，那么这两条线段就是相等的。
3. 利用复合图形：有时候我们需要通过构造复合图形来判断线段是否相等。
我们可以在两条线段的末端分别作出垂线，然后连接垂足构成一个复合图形，通过计算这个复合图形的各边长来判断两条线段是否相等。
4. 利用坐标表示：在平面直角坐标系中，我们可以利用坐标表示来判断两条线段的长度是否相等。
通过计算两条线段的坐标差，可以得到它们的长度差，如果长度差为0，则说明两条线段相等。
5. 利用相似三角形：在几何学中，我们知道相似三角形的对应边成比例。
因此，如果我们可以构造出两个相似三角形，并且它们的对应边都相等，那么我们就可以得出这两条线段也是相等的。
除了上述方法，还有许多其他方法可以用来判断线段是否相等。
需要注意的是，在实际应用中，我们通常不会用一种方法来回答这个问题，而是会结合多种方法来进行判断，以确保结果的准确性。
对于初学者来说，多多练习，不断积累经验和技巧，才能够熟练地判断线段是否相等。
在日常生活中，我们经常需要判断线段是否相等，比如在木工、建筑、绘画等领域。
掌握线段相等的方法对于这些领域的工作是至关重要的。
同时，在数学的教学和学习中，线段相等也是一个基础概念，多了解这方面的知识对于学术研究也大有裨益。
总之，线段相等是一个基本的几何概念，判断线段是否相等是我们经常需要做的事情。
通过本文介绍的方法以及实际应用的练习，相信大家可以更加熟练地判断线段的相等性。
怎样证明两线段相等
怎样证明两线段相等求证两线段相等是平面几何中的重要题型，其证明方法较多。
为帮助初三学生掌握一些常见的证法，本文在《几何》第二、三册知识范围内，归类总结若干方法如下，供初三学生复习时参考。
证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：1.三角形①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；2.证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；3.圆①同圆或等圆的半径相等；②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；4. 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b ，则a －c=b －c ；若c b c a，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等。
一、利用全等三角形的对应边相等证明例1、如图1，已知C 在BD 上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，BE 、AD 分别与AC 、CE 交于P 、Q 。
求证：CP=CQ 。
证明：因为△ABC 和△CDE 都是等边三角形，所以在△ACD 与△BCE 中， AC=BC ，CD=CE 。
因为∠1=∠2=60°，所以∠ACD=∠BCE=60°+∠3=120°， 所以△ACD ≌△BCE （SAS ）， 所以∠4=∠5。
证明线段相等的10种方法
※．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，连DE 交BC 于F ，求证：DF ＝EF 。
［证法1］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。
∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝CE 。
∵DG ∥AC ，∴FDG ∠＝FEC ∠、FGD ∠＝FCE ∠，而BD ＝CE ，∴DFG ∆≌EFC ∆，∴DF ＝EF 。
［证法2］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。
∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ，又BD ＝CE ，∴DG ＝CE ，而DG ∥CE ，∴四边形DGEC 是平行四边形，∴DF ＝EF 。
［证法3］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。
∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝EH 。
∵EH ∥BD ，∴DBF ∠＝EHF ∠、BDF ∠＝HEF ∠，而BD ＝EH ，∴BDF ∆≌HEF ∆，∴DF ＝EF 。
［证法4］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。
∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ，又BD ＝CE ，∴BD ＝EH ，而BD ∥EH ，∴四边形BDHE 是平行四边形，∴DF ＝EF 。
［证法5］过D 作DJ ∥BC 交AC 于J 。
∵DJ ∥BC ，∴AB BD ＝AC CJ，而AB ＝AC ，∴BD ＝CJ ，又BD ＝CE ， ∴CJ ＝CE 。
初中阶段求证线段相等的几种证法
线段相等的几种证法在数学教学过程中，证明线段相等是经常遇到的问题，选用恰当的方法，可取得事半功倍的效果．现依据教学经验，总结出几种证明线段相等的基本方法，以供参考．一、利用全等三角形的性质证明线段相等当所要证明的线段分属两个三角形时，应首先分析这两个三角形是否有等量关系，要证其全等尚缺少什么条件．然后通过证明其他三角形全等或运用其他方法，补足所缺条件．若无现成的三角形，需添加辅助线构成全等三角形．例1、已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，过O作直线交AB于E，交CD于F．求证：AE＝CF．分析：要证AE＝CF，需证在这两个三角形中有一对对顶角，又根据平行四边形的性质知道，对边平行，对角线互相平分．此题得证．例2、正方形ABCD，G为AB上任一点，EF⊥DG，交DA、CB分别于E、F．求证：EF＝DG．分析：（如图1）此题EF不在三角形中，可过E作EH⊥BC于H，构成Rt△EHF再利用全等三角形的性质证明线段相等．二、用中介线段证明线段相等当所要证明的两条线段中有一条或两条都不属于三角形的边，且不在一条直线上时，一般要寻求与两线段相等的第三条线段作媒介．例3、已知：△ABC中，∠B的平分线交AC于D，过D作DE∥BC，交AB于E，过E 作EF∥AC，交BC于F．求证：BE＝CF．分析：所要证的BE与CF两条线段不是同一三角形的边．由题设可知四边形EFCD为平行四边形，得CF＝DE，所以需证BE＝DE，由角平分线及等腰三角形的判定可证．本题中是以DE作为媒介．三、利用等腰三角形的判定或平行四边形的性质证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法．例4、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F．求证：AF＝EF．分析：延长AD到G，使DG＝AD，连结BG．得到△ADC≌△GDB，可知AC＝GB，∠FAE ＝∠BGE．再由BE＝AC推出BE＝BG．利用对顶角相等和等角对等边可得出结论．四、利用三角形（或梯形）的中位线证明线段相等若两条线段在同一直线上，且图中有关线段中点，常证明两线段是过三角形一边的中点且平行于另一边的直线所分第三边的两部分；或利用平行四边形的性质来证对角线相互平分．应用这种方法证题，若图形不完整，可适当添加辅助线将图形补充完整．例5、四边形ABCD中，对角线BD与AC相等且相交于E，M、N分别为AD、BC的中点，线段MN与AC、BD分别相交于F、G．求证：EF＝EG分析：要证EF＝EG，需证∠EFG＝∠EGF．此题中出现了两个中点，但这两点的连线不是中位线，所以应增加AB的中点P，连结MP、NP，利用三角形中位线性质，可证MP＝NP、NP∥AC和MP∥BD．再利用平行线性质和等腰三角形的判定可证结论．五、利用线段中垂线和角平分线的性质证明线段相等当题目中出现线段垂直平分线或角平分线时，常利用线段中垂线的性质和角平分线的性质证明线段相等．例6、已知：ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O，∠B的平分线交AD于I．求证：（1）OA＝OB＝OC；（2）I到BC、CA、AB的距离相等．分析：由于ABC是等腰三角形，AD为底边上的中线，同时也是底边上的高，所以O点既在BC边的垂直平分线上，又在AB的垂直平分线上．利用线段垂直平分线的性质易证得⑴，利用角平分线的性质易证得⑵．六、利用相似三角形或比例线段证明线段相等若题目中出现比例线段，四条比例线段所在的两个三角形不相似或不能构成两个三角形．此时需要添加辅助线，作平行线转移比例，构造出相似三角形，然后利用相似三角形的性质来证．例7、直线EFD与△ABC的边AB、AC分别交于F、D，交CB边的延长线于E，且＝求证：BE＝AD分析：（如图2）由四条线段成比例，但这四条线段又不能构成两个三角形，可利用作平行线构造相似三角形．过D作DG∥BC，交AB于G，可得出△GDF∽△BEF、△ADG∽△ACB，由相似三角形的性质得出＝＝通过转移比例得出：＝，证得两线段相等．上述几种证明线段相等的方法，有一定的规律可循．但在遇到此类问题是仍要具体问题具体分析，灵活运用解题方法．在教学中，通过归类总结，使学生掌握解答问题的技巧，可以提高解题效率，锻炼学生的思维能力，从而提高学生素质．如果在教学中能够引导学生灵活地使用这些方法，则可使学生在解题中拓展思路，培养其分析问题解决问题的能力，提高其数学思维品质。
(完整)《证明线段相等,角相等,线段垂直》的方法总结,推荐文档
《线段相等，角相等，线段垂直》方法总结一.证明线段相等的方法：1.中点2.等式的性质性质1：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等。
若a=b那么有a+c=b+c性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c （a,b≠0 或a=b ，c≠0）3.全等三角形4借助中介线段（要证a=b，只需要证明a=c，c=b即可）二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等《线段相等，角相等，线段垂直》经典例题1.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。
4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。
5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。
证明线段相等的方法
证明线段相等的方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它在解决各种几何问题中起着重要的作用。
在几何证明中，我们经常需要证明两条线段相等，因此了解如何证明线段相等的方法是至关重要的。
下面将介绍几种证明线段相等的方法。
一、通过构造等边三角形来证明线段相等。
构造等边三角形是证明线段相等的常用方法之一。
当我们需要证明两条线段相等时，可以通过构造一个等边三角形来实现。
具体步骤如下：1. 连接两条线段的端点，构成一个三角形；2. 通过辅助线的方式，构造一个与原三角形边长相等的等边三角形；3. 由于等边三角形的三条边相等，因此可以得出原线段相等的结论。
这种方法简单直观，易于理解和应用，是证明线段相等的常用方法之一。
二、通过等分线段来证明线段相等。
等分线段是指将一条线段分成相等的几部分。
在证明线段相等时，我们可以通过等分线段的方法来实现。
具体步骤如下：1. 将一条线段等分成相等的若干部分；2. 利用等分线段的性质，可以得出线段相等的结论。
这种方法简单易行，适用范围广，常用于解决线段相等的证明问题。
三、通过勾股定理来证明线段相等。
勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形中各边之间的关系。
在证明线段相等时，我们可以利用勾股定理来实现。
具体步骤如下：1. 构造一个直角三角形，使得需要证明相等的线段为直角三角形的两条边；2. 利用勾股定理，证明直角三角形的两条边相等；3. 由于直角三角形的两条直角边相等，因此可以得出原线段相等的结论。
这种方法适用范围广泛，尤其适用于解决与直角三角形相关的线段相等问题。
四、通过平行线的性质来证明线段相等。
平行线的性质在几何学中有着重要的作用，它可以帮助我们证明线段相等。
具体步骤如下：1. 利用平行线的性质，构造出若干个平行线；2. 利用平行线的对应角相等、同位角相等等性质，证明需要相等的线段相等。
通过利用平行线的性质，我们可以简单快捷地证明线段相等。
总结，证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法。
证明线段相等的常用方法
~A CB DP QB证明线段相等的常用方法1.证明两线段是全等三角形的对应边如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
例1.如图， B 、C 、D 在一直线上，△ABC 与△ECD 都是等边三角形，BE 、AD 分别交AC 、EC 于点G 、F 。
（1）求证：AE=BD （2）求证 CG=CF。
例2．如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）PA =PQ ．￥例3.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧CB ＝弧CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ． .（1）试说明：DE ＝BF ；$&二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法例1.如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
]例2. 如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.（1）求证：AG=C′G；、例3.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，D 是弧AC 的中点，连接BD交AC 于G , 过D 作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG(！二、证明两线段都等于第三线段或者第三个量等量代换：若a=b ，b=c ，则a=c ； 等式性质：若a=b ，则a －c=b －c例1.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰CD AB 、为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，联结EF ，设线段EF 的中点为M ．求证：MD MA =．`&例2.例3.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC AB BC ,=交⊙O 于点F ，直线AF 交BC 于E ．求证：CF BE =．《，F O A 第4题图第9题图GME FHDCBA【巩固练习】1、已知，如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 上和AD 的延长线上，且BE=DF ，连接EF ，G 为EF 的中点．求证：（1）CE=CF ；（2）DG 垂直平分AC ．)2、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值.$《3.直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C=90°，AB=BC ，M 为BC 边上一点．A-BDECF（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM．（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．·4、已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF 相交于DF的中点O．（1）若点G为线段AB上一点，且FG=4，CD=3，GC=7，过O点作OH⊥GC于H，试证：OH=OF；（2）求证：AB+CD=2BE．￥->5.已知，矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE=BD ，F 为DE 的中点，连结AF 、CF.求证： (1)∠ADF=∠BCF ；(2) AF ⊥CF.>6、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB=BC ，AD 与BC 延长线交于点F ，G 是DC 延长线上一点，AG ⊥BC 于E ． （1）求证：CF=CG ；（2）连接DE ，若BE=4CE ，CD=2，求DE 的长．…7．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AC=AB ，∠DAC=30度．点E 、F 是梯形ABCD 外的两点，且∠EAB=∠FCB ，∠ABC=∠FBE ，∠CEB=30°． （1）求证：BE=BF ；（2）若CE=5，BF=4，求线段AE 的长．'F E D C B A 12 3 。
初中阶段证明角相等、线段相等的方法归纳
初中阶段证明角相等、线段相等、平行和垂直常用方法归纳证明两条线段相等的方法（1）线段中点（边上的中线）、三等分点（2）在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等（3）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）（4）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等（5）夹在两条平行线间的平行线段相等（6）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半（7）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半（8）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边（9）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半（10）全等三角形的对应边相等（11）平行四边形的对边相等，对角线相互平分（12）菱形和正方形4条边都相等（13）矩形和正方形的对角线相等（14）同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弦相等、弦心距相等（圆心角定理）（15）垂直于弦的直径平分这条弦（16）切线长定理*（17）等于同一条线段的两条线段相等（等量代换）（18）平移、旋转、对称、翻折证明两个角相等的方法（1）对顶角相等（2）同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等（3）角平分线的定义（4）两直线平行，同位角相等，内错角相等（5）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）（6）等边三角形的各角都相等，且每一个角都等于60°（7）两全等三角形的对应角相等（8）两相似三角形的对应角相等（9）平行四边形的对角相等（10）矩形、正方形的4个内角都是90°（11）同圆（或等圆）中，等弧（或等弦）所对的圆心角相等，圆周角相等（12）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角（13）圆内接四边形的外角等于它的内对角（14）切线长定理*（15）平移、旋转、对称、翻折（16）等于同一个角的两个角相等（等量代换）证明两条直线平行的方法（1）平行线的传递性（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行（3）同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行（4）三角形的中位线平行于第三边（5）平行四边形的对边平行（6）如果一条直线截三角形两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边（平行线分线段成比例定理的逆命题）证明两条直线垂直的方法（1）垂直的定义（夹角为90°）（2）三角形中，两个内角之和为90°，那么另一个内角是直角（3）互为邻补角的两个角的平分线垂直（4）平行线的同旁内角的平分线垂直（5）利用全等或相似，进行等量代换（6）等腰三角形的性质——“三线合一”（线段的垂直平分线）（7）勾股定理的逆定理（8）三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形（9）矩形和正方形的邻边垂直（10）菱形和正方形的对角线垂直（11）直径所对的圆周角是90°（12）圆的切线垂直于过切点的半径（13）垂径定理的推论（14）切线长定理的推论*。
线段相等的证明
线段相等的证明
一、定理与方法：
1．等角对等边；
2．全等三角形对应边相等；
3．等量代换；
4．平行四边形对边相等；
5．特殊四边形的线段相等(矩形对角线、菱形邻边、等腰梯形两腰及对角线等)；
6．平行线间的距离处处相等；
……
二、练习
1．如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE=CD 。
求证：DB=DE
2．在△ABC 两边AB 和AC 向外作等边三角形△ABD 和△ACE ， 求证：CD=BE
3．在△ABC 两边AB 和AC 向外作正方形ABEF 和ACGH ，AD 为△ABC 的高，延长DA 交FH 于点M 。
求证：FM=HM
C
A
E
G E
4．正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥DC 于点F ，PE ⊥PB 且PE 交CD 于点E 。
求证：DF=EF
5．如图是某区部分街道示意图，其中CE 垂直平分AF ，AB ∥DC ， BC ∥DF ．从B 站乘车到E 站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B---D---A---E ，路线2是B---C---F---E ，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．
6．两个全等的含30°、60°角的三角板ADC 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME 、MC ，试判△EMC 的开关，并说明理由。
E F
B
E
A。
几种常见证相等的方法
ABCDOABCDBC D几种常见证相等的方法1、连结已知点，构造全等三角形。
如图，AC 、BD 相交于O 点，且AB=DC 、AC=DB 。
求证：∠A =∠D练：如图，在四边形ABCD 中，AB=BC 、AD=DC ，求证：∠A =∠C如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于D 点，DA=DB,AD=4cm 。
求DC 的长。
CM2、取线段中点，构造全等三角形。
如图，AB=DC, ∠A=∠D,求证：∠ABC=∠DCB练：如图，∠B=∠C=90°,M 为BC 的中点，DM 平分∠ADC. 求证：①AM 平分∠DAB ②A M ⊥DM ③DC+AB=AD3、有角平分线时，常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形。
如图，AD 为△ABC 的中线，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+C F ＞EF.PABCDABCDABCDEAB CD练：如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的对角平分线，点P 是AD 上任意一点，试猜想：AB+AC 与PB+PC 有怎样的大小关系，并证明你的结论。
4、在三角形中有中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
如图，AD 为△ABC 的中线。
求证：AB+AC ＞2AD 。
在RT △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=16cm,CD ：DB=3：5,求点D 到AB 的距离。
如图，BD 是∠ABC 的平分线，D E ⊥AB 于E 点，S △ABC =36平方厘米，AB=18cm,BC=12cm, 求DE.如图：在RT△ABC中，∠C=90°，CA=CB,AD平分∠BAC,AE=BC,DE⊥AB求证：△DBE的周长=AB。
如图，∠B=∠C=90°,E是BC的中点，DE平分∠ADC,求证：AE平分∠DAB。
D CEA B 如图，∠B=∠C=90°,M是BC的中点，DM平分∠ADC、∠CMD=35°,求∠MAB.D CMA BpMNECAFDBCDCBFEA如图，直线A B ∥CD,直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，∠BEF 的平分线和∠DFE 的平分线相交于P 点，过P 点作M N ⊥AB 于M 点，交CD 于N 点。
利用三角形相关知识证明线段相等的常用方法
利⽤三⾓形相关知识证明线段相等的常⽤⽅法2019-09-22可以说证明两条线段相等是初中⼏何证明中⽐较基本的题⽬。
证明两条线段相等看似简单，但所适⽤的定理也⽐较多，要想熟练掌握，其实也不是⼀件容易的事情，为此，现就从三⾓形相关知识出发进⾏探究，仅供同学们参考。
⼀、利⽤两三⾓形⾯积相等地，等底必等⾼，等⾼必等底证明在三⾓形中需要证明等底或等⾼时，可以利⽤⾯积相等证明。
[例1] 求证：等腰三⾓形两腰上的⾼相等。
证明：如图1，在等腰中，作BDAC于D，CEAB于E，⽽AB=AC，BD=CE⼆、利⽤“直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半”证明线段相等如果所证两线段所在的图形能构成直⾓三⾓形，并且可能构成斜边及斜边上的中线，⽤上⾯⽅法⼀时证不出来，可以考虑此法。
[例2]如图2，正⽅形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。
证明：作DA、CE的延长线交于HABCD是正⽅形，E是AB的中点AE=BE，∠AEH=∠BEC，∠EBC=∠EAH=90°AEH≌BEC（ASA）AH=BC，AD=AH⼜F是BC的中点 RtDFC≌RtCEB∠DFC=∠CEB ∠GCF+∠GFC=∠ECB+∠CEB=90°∠CGF=90 DGH=∠CGF=90°DGH是Rt AD=AHAG==AD三、利⽤等腰三⾓形三线合⼀证明线段相等若要证明两条线段在同⼀直线上并且有共同端点，可以考虑此法。
[例3] 如图3，已知ABC为Rt，D为，DEAC于E，DFBC于F。
求证：AE=CE，BF=CF证明：连结CDD为RtABC的斜边AB的中点AD=CD=BD ADC与CDB均为等腰三⾓形⼜DEAC，DFBCAE=CE，BF=CF.（等腰三⾓形底边上的⾼线平分底边）四、利⽤等腰三⾓形的判定（等⾓对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同⼀三⾓形中，证全等⼀时难以证明，可以考虑⽤此法。
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证明线段相等的常用方法
JUSTIN SHENZHEN CHINA 一、证明两线段是全等三角形的对应边
例1、如图（1），△ABC是边长为a的等边三角形，沿长BC到D，使CD=b，沿长BA到E，使AE=a+b，连结EC、ED。
求证CE=DE
如图（1）如图（2）如图（3）
证明：沿长BD到F 使DF=a 则BF=2a+b而BE=2a+b∴BF=BE
又∠B=60°∴△BEF为等边三角形∴BE=EF 而∠B=∠F BC=DF ∴△BEC ≌△FED ∴ CE=DE
例2、如图（2）、B、C、D在一直线上，△ABC与△ECD都是等边三角形，BE、AD分别交AC、EC于点G、F。
求证CG=CF
证明：在△ACD与△BCE中，AC=BC ∠ACD=∠BCE=120°CD=CE ∴△ACD≌△BCE ∴∠1 = ∠2
∴在△ACF与△BCG中，有∠1 = ∠2 AC=BC
∠ACF =∠BCG ∴△ACF≌△BC`G ∴ CG=CF
二、证明两线段都等于第三线段或者第三个量
例3、 图（3）， 梯形ABCD 中， AD ∥BC ， AB=CD ， AC 、BD 相交于O ， ∠BOC=60°，E 、F 、G 分别为AO 、BO 、CD 的中点。
求证：△EFG 为等边
三角形。
证明： ∵ABCD 为等腰梯形 ∴AB=CD 可知 △ABC ≌△DCB ∴∠ACB=∠DBC ∵∠BOC=60°, ∴∠BCO=∠CBO=60° 连结DE ，可知DE ⊥AO 而DG=GC EG 21CD=21
AB=EF 同理 EF=FG ∴ △EFG 是等边三角形。
例4、如图（4），正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，且AE=CD+CE ，AF
为∠EAD 的平分线。
求证 DF=CF 。
如图（4） 如图（5） 如图（6）
证明：在AE 上截取AH=AD ， 连FH 、FE 则△ADF ≌△AHF ∴∠FHE=90° DF=FHAH=A 又因为 CE=AE-CD=AE-AH=HE ∴△FCE ≌△FHE ∴FH=FC ∴DF=FC
三、 证明两线段是一个三角形的等角的对边
例5、如图（5），在△ABC 中，∠ABC=90°，∠1=∠2，BD ⊥AC 于D ，
FH ⊥AC 于H 。
求证BEHF 是菱形。
证明：∵∠1=∠2 BD ⊥AC FH ⊥AC
可知∠4=∠BEF=∠BFE BE ∥FH ∴BE=BF
又BF=HF ∴BE=HF ∴BGHF 为菱形
四、 证明两线段是平行四边形的对边或者是对角线交点所分的两部分
例6、如图（6），E 、F 是平行四边形ABCD 对角线B 、D 上两点，且
BE=DF ，
求证：AE=CF
证明：连结AC 设AC 与BD 的交点为O ， ∵ABCD 是平行四边形 ∴OB=OD OA=OC 又∵BE=DF ∴OE=OF ∴四边形AECF 是平行四边形 ∴AE=CF
五、 利用平行线等分线段定理来证
例7、如图（7），CP 为⊙O 的切线，PAB 为割线，COD 为直径，自A 作PO 的平行线分别交CD 、BD 于E 、F 。
求证：AE=EF
证明：作OM ⊥AB 则AM=BM 连CM 、EM 、CA
∵∠PCO=∠AMO=90° ∴P 、C 、M 、O 四点共圆
∴∠MCO=∠OPB=∠BAE ∴ A 、C 、M 、E 四点共圆
∴∠AME=∠ACE=∠ABF ∴ME ∥BF ∴AE=EF
六、 利用平行线分线段成比例定理来证
例8、如图（8），梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD 。
O 是对角线AC 、BD 的交点，EF 过点0并且平行于AD 。
求证：OE=OF
如图（7） 如图（8） 如图（9）
证明：∵AD ∥BC ∥EF ∴OE/BC=AE/AB OF/BC=DF/DC 又由于AE/AB=DF/DC ∴OE/BC=OF/BC ∴OE=OF
七、 用代数方法通过计算来证明
例9、如图（9）△ABC 中，D 、E 为BC 上的任意两点，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，ES ⊥AB ，ER ⊥AC ，且DM+DN=ES+ER 求证：AB=AC
证明： △ABD 面积+△ACD 面积=△ABE 面积+△ACE 面积
∵DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，ES ⊥AB ，ER ⊥AC
∴21AB 〃DM+21AC 〃DN=21AB 〃ES+21
AC 〃ER ∴AB(ES-DM)=AC(DN-ER) ∵ DM+DN=ES+ER
∴ES-DM=DN-ER ∴ AB=AC
八、利用线段垂直平分线的性质定理来证明
例10、如图（10），AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一点，求证 EC=ED
（如图）（10）
证明：∵AC=AD，BC=BD ∴AB是线段CD的垂直平分线又E在线段AB上∴EC=ED。