21.圆中证明线段相等和相似

O

E

D

C

B

A

圆中证明线段相等和相似

1.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上两点，AB ＝25，AC ＝7. (1) 如图(1)，若点P 是弧AB 的中点，求PA 的长 (2) 如图(2)，若点P 是弧BC 的中点，求PA 得长

2.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=600，D 、E 分别为AB 和AC 的中点，连结DE ． （1）求证：BC ＝DE ； ^

（2）若tan ∠ADE ＝1

2

，求sin ∠AED 的值．

3.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，D 在AC 上，∠ABD=45°． （1）如图1，BD 交AC 于E ，连CD ，若AB=BD ，求证2CD DE ；

、

（2）如图2，连AD 、CD ，已知tan ∠CAD=1

5

，求sin ∠BDC 的值．

{

4.如图，已知⊙O 的半径为5，⊙P 与⊙O 外切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，tan ∠OAB=

．

【

~ A

B C D

O

图2 A

B C D

E

O 图1

（1）求AB的长；

（2）当∠OCA=∠OPC时，求⊙P的半径．

5.如图1，锐角△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，若⊙O的半径为2．

（1）求BC的长度；

（2）如图2，过点A作AH⊥BC于点H，若AB+AC=12，求AH的长度．

~

6.如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O 上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若PC=2，OA=5，求⊙O的半径和线段PB的长．

7.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E．（1）如图1，若∠ABC=90°，求证：OE∥AC；

（2）如图2，已知AB=AC，若sin∠ADE=，求tanA的值．

~

A H

C

图 2

O

B

D D E

B

O 图 1

C H

A 8.如图，在△ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交A

B 于点G ，且D 是B

C 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，交AC 的延长线于点F ．

（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）若CF =5，2

cos 5

A ∠=

，求tan ∠B ． 9.如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，交BC 于点D ，连结OD ，过点D 作圆O 的切线，交AC 于点F ,连结AD （1）求证：OD AC ∥； （2）当10AB =，5

cos 5

ABC ∠=时，求AD 及AF 的长．

&

10.如图1，△ABC 中，CA=CB ，点O 在高CH 上，OD ⊥CA 于点D ，

以O 为圆心，OD 为半径作⊙O ，若AC=5，AB=6．

（1）若O 为CH 的中点，⊙O 与OH 相交于点E ，连接AE 、BE ，求△ABE 的面积； （2）如图2，若⊙O 过点H ，且连接DH ，求tan ∠AHD 的值．

~

11.已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD ＝

2

3 (1) 如图1，若AB 为⊙O 的直径，BE ＝8，求AC 的长；

、

(2) 如图2，若AB 不为⊙O 的直径，BE ＝4，F 为弧BC 上一点，弧BF ＝弧BD ，且CF ＝7，求AC 的长

F

O

A

B

C

E

D

12.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，

"

过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点E ． (1) 求证：DE ⊥AC ；

(2) 连结OC 交DE 于点F ，若3

sin 4

∠=ABC ，求OF FC 的值．

￥

13.如图,AB 是⊙O 的直径，CB 平分∠ABD ，点E 是弧AB 的中点，弦ED 与BC 交于F. （1）求证：∠CDF =∠CFD ;

（2）若BF=2，EF=25 ,求FC 的长.

)

14.如图：AB 、AC 分别是☉0的直径和弦，D 为弧AC 上一点，DE ⊥AB

于点H ，交☉0于点E ，交AC 于点F 。P 为ED 延长线上一点，连PC 。

（1）若PC 与☉0相切，判断△PCF 的形状，并证明。

（2）若D 为弧AC 的中点，且53

=AB BC ，DH ＝8，求☉0的半径。

E D

O

B

A C

15.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙于点E 、F ， 过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长 AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ．

（1）试探究线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系，并加以证明； （2）若BC=6，tan ∠F=

1

2

，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长． …

16.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ， 交AB 于点F ，连接BE ．

（1）求证：△PCF 是等腰三角形；

（2）若tan ∠ABC =43，BE =722

，求线段PC 的长．

-

17.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点E ．

(1) 求证：DE ⊥AC ；

。

(2) 连结OC 交DE 于点F ，若3

sin 4

∠=ABC ，求OF FC 的值．

18.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线CM ．

（1）求证：∠ACM=∠ABC ；

（2）延长BC 到D ，使BC=CD ，连接AD 与CM 交于点E ，若⊙O 的半径为3，ED=2，求△ACE 的外接圆的半径．

F D

P

A B E

O C