21.圆中证明线段相等和相似

O
E
D
C
B
A
圆中证明线段相等和相似
1.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上两点，AB ＝25，AC ＝7. (1) 如图(1)，若点P 是弧AB 的中点，求PA 的长 (2) 如图(2)，若点P 是弧BC 的中点，求PA 得长
2.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=600，D 、E 分别为AB 和AC 的中点，连结DE ． （1）求证：BC ＝DE ； ^
（2）若tan ∠ADE ＝1
2
，求sin ∠AED 的值．
3.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，D 在AC 上，∠ABD=45°． （1）如图1，BD 交AC 于E ，连CD ，若AB=BD ，求证2CD DE ；
、
（2）如图2，连AD 、CD ，已知tan ∠CAD=1
5
，求sin ∠BDC 的值．
{
4.如图，已知⊙O 的半径为5，⊙P 与⊙O 外切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，tan ∠OAB=
．
【
~ A
B C D
O
图2 A
B C D
E
O 图1
（1）求AB的长；
（2）当∠OCA=∠OPC时，求⊙P的半径．
5.如图1，锐角△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，若⊙O的半径为2．
（1）求BC的长度；
（2）如图2，过点A作AH⊥BC于点H，若AB+AC=12，求AH的长度．
~
6.如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O 上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若PC=2，OA=5，求⊙O的半径和线段PB的长．
7.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E．（1）如图1，若∠ABC=90°，求证：OE∥AC；
（2）如图2，已知AB=AC，若sin∠ADE=，求tanA的值．
~
A H
C
图 2
O
B
D D E
B
O 图 1
C H
A 8.如图，在△ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交A
B 于点G ，且D 是B
C 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，交AC 的延长线于点F ．
（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）若CF =5，2
cos 5
A ∠=
，求tan ∠B ． 9.如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，交BC 于点D ，连结OD ，过点D 作圆O 的切线，交AC 于点F ,连结AD （1）求证：OD AC ∥； （2）当10AB =，5
cos 5
ABC ∠=时，求AD 及AF 的长．
&
10.如图1，△ABC 中，CA=CB ，点O 在高CH 上，OD ⊥CA 于点D ，
以O 为圆心，OD 为半径作⊙O ，若AC=5，AB=6．
（1）若O 为CH 的中点，⊙O 与OH 相交于点E ，连接AE 、BE ，求△ABE 的面积； （2）如图2，若⊙O 过点H ，且连接DH ，求tan ∠AHD 的值．
~
11.已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD ＝
2
3 (1) 如图1，若AB 为⊙O 的直径，BE ＝8，求AC 的长；
、
(2) 如图2，若AB 不为⊙O 的直径，BE ＝4，F 为弧BC 上一点，弧BF ＝弧BD ，且CF ＝7，求AC 的长
F
O
A
B
C
E
D
12.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，
"
过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点E ． (1) 求证：DE ⊥AC ；
(2) 连结OC 交DE 于点F ，若3
sin 4
∠=ABC ，求OF FC 的值．
￥
13.如图,AB 是⊙O 的直径，CB 平分∠ABD ，点E 是弧AB 的中点，弦ED 与BC 交于F. （1）求证：∠CDF =∠CFD ;
（2）若BF=2，EF=25 ,求FC 的长.
)
14.如图：AB 、AC 分别是☉0的直径和弦，D 为弧AC 上一点，DE ⊥AB
于点H ，交☉0于点E ，交AC 于点F 。

P 为ED 延长线上一点，连PC 。

（1）若PC 与☉0相切，判断△PCF 的形状，并证明。

（2）若D 为弧AC 的中点，且53
=AB BC ，DH ＝8，求☉0的半径。

E D
O
B
A C
15.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙于点E 、F ， 过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长 AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ．
（1）试探究线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系，并加以证明； （2）若BC=6，tan ∠F=
1
2
，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长． …
16.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ， 交AB 于点F ，连接BE ．
（1）求证：△PCF 是等腰三角形；
（2）若tan ∠ABC =43，BE =722
，求线段PC 的长．
-
17.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点E ．
(1) 求证：DE ⊥AC ；。

(2) 连结OC 交DE 于点F ，若3
sin 4
∠=ABC ，求OF FC 的值．
18.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线CM ．
（1）求证：∠ACM=∠ABC ；
（2）延长BC 到D ，使BC=CD ，连接AD 与CM 交于点E ，若⊙O 的半径为3，ED=2，求△ACE 的外接圆的半径．
F D
P
A B E
O C
19.如图1，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与边BC 和AC 相交于点E 和F ，过点E 作⊙O 的切线交边AC 于点H ． （1）求证：CH=FH ； ：
如图2，连接OH ，若OH=
，HC=1，求⊙O 的半径．
20.如图，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交△ABC 的外接圆⊙O 于点D. （1） 求证：DB=DC=DI.
（2） 若AB 是⊙O 的直径，OI ⊥AD ，求tan ∠CAD
2 的值.
@
~
21.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点E ． (1) 求证：DE ⊥AC ；
(2) 连结OC 交DE 于点F ，若3
sin 4
∠=ABC ，求OF FC 的值．
I
O
A
B
C
D
I
B
O
A
、
22.如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， 过A 点的切线交CD 的延长线于点P ．
⑴.求证：AP=2AB ；
⑵.若PE 切⊙O 于E ，求sin ∠ABE 的值．
，
23.如图⊙O 为△ABM 的外接圆，4sin 5
ABM ∠=. （1）若AB=8，求⊙O 的半径. （2）若M 为AB 上一动点，求tan 2
AMB
∠的值.
，
24.如图，⊙O 的半径r=25，四边形ABCD 内接圆⊙O ，AC ⊥BD 于点H ，P 为CA 延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD ．
（1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若tan ∠ADB=4
3
，PA=3334-AH ，求BD 的长；
*
切⊙O 于点P ,AB 交⊙O 于C 、B 两点. (1)如图1,求证:∠APC=∠ABP
(2)如图2,M 是⊙O 内一点,AM 交⊙O 于点N,若PA=6,MN=NA=3,OM=2,求⊙O 半径的长.
！
E
P
C
A
B
D
O
26．已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD= （1）如图1，若AB 为⊙O 的直径，BE=8，求AC 的长
《
（2）如图2，若AB 不为⊙O 的直径，BE=4，F 为弧BC 上一点，弧BF=弧BD ，且CF=7，求AC 的长．
27. 已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点． （1） 如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ； （2） 如图2，若sin ∠P ＝12
13 ，求tan ∠C 的值．
B
A
O
P
C
B
A
O
C
图1 图2
28. 如图所示．P 是⊙O 外一点．PA 是⊙O 的切线．A 是切点．B 是⊙O 上一点．且PA =PB ，连接AO 、BO 、AB ，并延长BO 与切线PA 相交于点Q ． （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）设∠AOQ =α，若5
4
cos =
α，OQ = 15，求AB 的长。

O A
P
29.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线垂直，垂足为D，连AC.
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）延长AB，交直线DC于E，若
4
5
AD
AB
，求tan∠E.。