比例线段证明线段相等
比例的性质在证明线段相等中的应用
比例的性质在证明线段相等中的应用作者：张俊忠来源：《中学课程辅导·教师通讯》2019年第22期【内容摘要】证明线段相等是初中几何常见的问题，利用比例的性质是解决此类问题的一种方法。
通过比例的性质证明线段相等常常要利用平行线分线段成比例定理、三角形相似找过渡比，然后证明线段相等。
【关键词】比例的性质平行线的性质相似三角形在初中几何的学习中，涉及到证明线段相等的问题是很多的。
当然证明线段相等有许多方法，本文重点论述怎样利用比例的性质去证明线段相等。
实际上利用比例的性质证明两条线段相等，主要分两种情况。
现在设a、b、c、d表示四条线段：（1）要证明线段a=b，如果ac=bc ，那么就有a=b;（2）要证明线段a=b，如果ac=bd，且c=d，那么就有a=b。
对于第一种情况，关键是要找线段c;对于第二种情况，关键是找相等的线段c和d。
下面举例说明。
例1：如图1，在梯形ABCD中， AB∥CD，对角线AC、BD交于O，过点O作EF∥AB，分别交AD、BC于E、F，求证：OE=OF.分析：要证明OE=OF，怎样找线段c，使得OEc=OFc呢？显然在此题中，c既可以取AB，也可以取CD。
利用平行线分线段成比例定理及三角形中一边平行线的性质，就可以解决此问题。
证明：在ΔDAB与ΔCAB中∵EF∥AB∴OEAB=DEDA，OFAB=CFCB∵CD∥AB∥EF;∴DEDA=CFCB∴OEAB=OFAB∴OE=OF此题结论可以推广：如图2，在梯形ABCD中，; AB∥CD，E为AD上一点，过E作EF∥AB; 分别交AC、BD、BC于G、H、F，求证：EG=FH.例2：如图3，在RtΔABC 中，∠C=90°，在BC上任取一点D，连接AD，以BA为边向外作∠BAE=∠CAD，过点B作AB的垂线交AE于点E。
再过点E作EF⊥CB，交CB的延长线于点F，求证：CD=BF.分析：例1是根据平行线分线段成比例定理及三角形中一边平行线的性质，找出了成比例的线段。
比例线段及有关定理
射影定理
总结词
射影定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。
详细描述
射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中斜边与两直角边之间的关系。具体来说 ，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。这个定理在解决实际问 题中具有广泛的应用，如测量、建筑等领域。
03
比例线段的计算方法
利用平行线分线段成比例定理计算平行线分线段成比例定理如果一组平行线被一组横截线所截，那么这些截线段之比是相等的。
应用
通过已知的比例线段，利用平行线分线段成比例定理，可以计算出其他相关的 比例线段长度。
利用相似三角形的性质和判定定理计算
相似三角形的性质
两个三角形对应角相等， 则这两个三角形相似。相 似三角形对应边之比为相 似比。
成比例的线段具有传递性，即如果a:b:c:d且b:c:d:e，则必有 a:b:c:e。
比例线段的性质
01
02
03
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的长度之比 是常数，即|a/b|=|c/d|。
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的面积之比 是常数的平方，即 |a×d/b×c|=1。
判定定理
如果两个三角形两组对应 角相等，则这两个三角形 相似。
应用
通过已知的比例线段，利 用相似三角形的性质和判 定定理，可以计算出其他 相关的比例线段长度。
利用射影定理计算
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高将直角三角形分为两个小三角形，这两个小三角形 是相似的，且它们的边长之比等于原三角形的边长之比。
利用面积关系计算线段长度
通过已知的线段和面积比例关系，可以计算出未知线段的长度。
证明线段积相等的方法
证明线段积相等的方法
证明线段的积相等的常用方法是把等积式化成比例式，然后根据“三点定形”确定它们所在三角形是否相似，若相似，则结论成立；若不相似，再用中间量（线段或比）来“搭桥”.通常可以用这样的顺口溜记忆：遇到等积化比例，横找竖找找相似.图形相似不成立，等线等比寻代替.
一、化等积式为比例式，直接证相似
例1、如图，中，，为的中点，交于点，交的延长线于点，求证：
分析：首先根据比例的基本性质，把等积式变成比例式
,然后把等式左边的两条线段放在一起，组成△MCD,
等式右边两条线段组成, 然后证明∽即可.
证明略.
二、等线段做代替
例2、如图，直角梯形中，∥,,对角线于,,过点作∥交于,求证：
F
分析：把等积式变成比例式：,然后把等式左边的两条
线段放到同一个三角形中去得到，而等式右边的两条
线段组不成三角形.在这种情况下，需要把比例式中的四条线段
中的某一条换成和它相等的另一条线段，以便组成相似的三角形.
据本题中的已知条件，应把换成,于是得到新的比例式：,这时就可以组成相似的和.
证明略
三、中间比做过渡
例3、如图，已知，为延长线一点，分别交于点，试说明:
A
D
C
M
N
分析：首先把等积式化成比例式得：,然后把等式左边的两条线段放在一起，发现它们共线组不成三角形，等式右边的情况亦是如此.这时需要观察图形，可以看出∽,易证得；∽，易证得,这样通过这个中间比就起到了过渡的作用.
证明略.。
图形的相似和比例线段--知识讲解(基础)
【总结升华】本题考查了比例的性质．解题的关键是先假设 = = =k，得出 a=2k，b=3k， c=5k，降低计算难度． 举一反三： 【变式】（2020•兰州一模）若 3a=2b，则 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】解：∵3a=2b，
∴=，
设 a=2k，则 b=3k，
则=
=﹣ ．
故选 A． 类型二、相似图形
要点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相
是
a:b=m:n
a
，或写成Biblioteka m．bn2．成比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相 等，如 a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若 a:b=c:d ，则 ad=bc；
（2）若 a:b=b:c ，则 b2 =ac（b 称为 a、c 的比例中项）．
最全中学生学习资料整理 图形的相似和比例线段--知识讲解（基础）
【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特 征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否 相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段 a、b 长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比
初中线段相等比例关系的证明方法
初中线段相等比例关系的证明方法线段相等和线段比例关系是几何学中常见的性质，其证明方法也是多种多样的。
下面将介绍几种常用的证明方法。
1.利用等长矩形的性质：如果四边形ABCD是等长矩形，那么AB与CD、BC与DA是相等的线段。
证明方法是利用相等角的性质得出等长矩形的条件，然后判断给定的四边形是否满足这个条件。
2.利用勾股定理：如果三角形ABC是一个直角三角形，且AB的平方等于AC的平方加上BC的平方，那么AB与BC是相等的线段。
证明方法是利用勾股定理以及角度的对应关系，将已知条件转化为直角三角形的条件，然后判断给定的三角形是否满足这个条件。
3.利用线段的长度性质：当两条线段的长度相等时，它们的线段加法等于它们的线段减法，即AB+CD=BC+AD，其中AB和CD是相等的线段，BC和AD是相等的线段。
证明方法是将给定的线段按照等式两边长度相等的条件分别相加，然后通过观察得出结果是否相等。
1.利用相似三角形的性质：如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AB与DE、BC与EF、AC与DF的比值相等。
证明方法是利用相似三角形的定义以及角度的对应关系，将已知条件转化为相似三角形的条件，然后判断给定的三角形是否满足这个条件。
2.利用线段分割定理：如果一条直线上的三个点A、B、C满足AB/BC=DE/EF，那么这个点C把线段AB和线段DE、EF按照相等的比例分割。
证明方法是将已知的线段比例转化为直线上点的坐标比例，根据线段分割定理得出结论。
3.利用线段的相似性质：当两个三角形或四边形中的对应边按照相等的比例分割时，它们的对应边的比例也相等。
证明方法是利用对应边的比例分割得出相似性质，然后利用线段的性质判断给定的图形是否满足这个条件。
以上是几种常用的线段相等、比例关系的证明方法，当然还有其他的方法，但这些方法是初中阶段常用且比较简单的方法。
在实际的证明过程中，除了运用这些方法，还需要根据具体问题进行合理的推理和构造，以便得到正确的结论。
如何证明线段相等或成倍数关系
如何证明线段相等或成倍数关系线段相等或成倍数关系是几何学中非常基础的概念。
在证明线段相等或成倍数关系时，我们可以利用几何性质、相关定理以及一些优秀的证明思路。
下面将详细介绍一些常用的证明方法。
一、证明线段相等的方法：1.使用等边三角形：等边三角形的三个边是相等的。
如果我们能够构造出两个等边三角形，那么其中的对应边就是相等的。
2.使用等腰三角形：等腰三角形的两个底边是相等的。
如果我们能够构造出两个等腰三角形，那么其中的底边就是相等的。
3.使用平行线：如果两个线段在一个平行线上，并且与这个平行线交叉的其他线段也相等，那么这两个线段就是相等的。
4.使用垂直线：如果两个垂直线段所在的直线对应部分相等，那么这两个线段就是相等的。
5.使用等角：如果两个线段所在直线的两个角相等，那么这两个线段就是相等的。
二、证明线段成倍数关系的方法：1.使用相似三角形：相似三角形的对应边成等比例。
如果我们能够构造出两个相似三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
2.使用角度的平分线：如果一个角的两条边上都有一个点和另外两个点相连，且两条边上的线段成等比例关系，那么这两个线段就是成倍数关系。
3.使用三角比例关系：根据正弦定理和余弦定理等三角形的性质，可以找到线段成倍数关系的证据。
4.使用全等三角形：如果我们能够构造出两个全等三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
在实际的证明过程中，我们可以灵活运用上述方法，结合题目中已知的条件进行推导和证明。
此外，我们还可以使用数学归纳法，通过已知情况和递推关系进行证明。
总之，证明线段相等或成倍数关系，需要我们熟悉几何图形的性质和相关定理，并且需要有一定的几何思维能力。
只有通过多动脑、多练习，才能真正理解并掌握这些证明方法，从而熟练运用于解决实际问题。
第三讲 相似比例线段的证明方法.尖子班
一三点定型法：三点定型法即通过所证的比例式确定三角形的相似，例如DF AC DE AB =，则A 、B 、C 三点确定△ABC ，D 、E 、F 三点确定△DEF ，则证明△ABC ∽△DEF二等线段代换法：等线段代换法即通过将已证比例中的线段换成与之相等的线段，再利用其他相似证明方法确定三角形的相似，例如DF AC DE AB =且CD=AB ，则=DF AC DE CD ，再证△ACD 与△DEF 的相似三等比代换法：当没有等量线段的转换时，可以选择用等比例代换找准相似。
例如，，PQMN DF AC PQ MN DE AB ==则DF AC DE AB =。
则证明△ABC ∽△DEF 四等积代换法：用射影定理找中间积，再进行等量代换。
【例1】（1）如图所示，AD 是直角三角形ABC 斜边上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 交AB 、AC 于E 、F.求证：.AF BE AD BD知识点睛典型例题模块一比例式的证明方法相似——比例线段的证明方法（2）如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AED=∠B=∠C=60°，过点E 作EM ⊥AD 于M 。
①求证：AB·DE=BE·AE ；②求BCEM 的值（3）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 为AC 中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：.AFDF AC AB =（4）如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 且交AC 于F ，过F 作FG ∥AB ，交AE 于G.求证：AG 2=AF FC.【巩固】（1）梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 与BD 相交于O 点，作BE//CD,交CA 的延长线于点E.求证：OC 2=OA.OE（2）已知:如图,CE 是RtΔABC 的斜边AB 上的高,BG ⊥AP.求证:CE 2=ED·EP.证明两线段相等的一种方法是构造比例关系：x y a b=，①若x y =，则a b =；②若a b =，则x y =；③若y b =，则x a=【例2】（1）已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G 。
张角定理及应用
张角定理及应用张角定理是指：在三角形ABC中，如果点D是边AB上的一点，且AE是边AC 的平分线（E为BC的中点），则有AD^2 = AE·AB。
这个定理是根据相似三角形来推导的。
我们知道，如果一条直线与另外一条平行直线交截其中一条直线的部分，则交截部分上的两个线段的比例等于这两条直线在另一条直线上对应线段的比例。
在三角形ABC中，如果点D在边AB上，且点E是边AC的中点，则根据张角定理可知，AD^2与AE·AB之间存在某种比例关系。
具体来说，AD^2和AE·AB 之间的比例关系是乘法关系，即AD^2 = AE·AB。
这个定理的应用非常广泛。
以下是几个与张角定理相关的应用：1. 求解三角形内部的线段比例：根据张角定理，我们可以通过已知线段的长度，来推导出未知线段的长度。
例如，如果已知一条边长和此边上的一个点到顶点的距离，我们可以通过张角定理来求解此点到另一顶点的距离。
2. 证明三角形内部的线段相等：如果我们已知两个线段在三角形的一条边上等长，并且这两个线段与此边上的一个顶点分别相交于两个不同的点，那么根据张角定理我们就可以推导出这两个点到另一顶点的距离相等。
3. 探讨几何图形的对称性：通过应用张角定理，我们可以证明某些几何图形具有对称性。
例如，在一个等腰三角形中，如果我们在等腰边上选择两个互为中点的点，然后根据张角定理可以推导出这两个点到另一顶点的距离相等，从而证明此等腰三角形具有轴对称性。
4. 解决面积相关问题：通过张角定理，我们可以推导出两个三角形面积之间的比例关系。
例如，如果我们已知一个三角形和一条平行于其中一边的直线，根据张角定理可以推导出两个三角形的底边相等，进而可以得出两个三角形的面积之间的比例。
综上所述，张角定理是一个基于相似三角形的几何定理，它可以应用于求解三角形内部的线段比例、证明线段相等、探讨几何图形的对称性以及解决面积相关问题。
这个定理对于理解和分析各种几何问题都非常有用。
比例线段的技巧
比例线段的技巧
1. 保持比例：在画比例线段时，需要按照相应的比例来划分线段长度，保持比例的准确性。
2. 等分法：将线段分成若干等分，可以较为精确地画出比例线段，特别是当比例为分数时，这一方法尤为有用。
3. 平行法：对于长度已知的线段，可以通过平移或镜像的方式来画出比例线段，这一方法尤其适用于比例为整数的情况，且易于精确计算。
4. 相似三角形法：在相似三角形中，相对边长的比例相等，可以通过构造相似三角形来画出比例线段。
5. 利用垂线：将线段延长，再画一条垂线将其分成两个线段，可得到两个相似三角形，从而得出比例线段。
6. 利用等角：在两条相交的直线上，如果两个角度相等，则两个相交线段的比例相等，可以利用这一特性来画出比例线段。
线段比例定理与相似三角形
线段比例定理与相似三角形线段比例定理和相似三角形是数学中重要的概念和定理。
它们在几何学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将详细介绍线段比例定理和相似三角形的定义、性质和应用。
一、线段比例定理线段比例定理，也称为“点分线段定理”，是指在一个线段上，如果有两个点将这个线段分成两个部分，那么这两个点所在线段的比例等于被他们分割的两部分的比例。
具体来说，如果在线段AB上有一点C，将线段AB分成两部分，形成长度为AC和CB的两个线段，则有下列等式成立：AC/CB = AB为了更好地理解线段比例定理，我们可以通过一个几何图形来解释。
考虑一个三角形ABC，从A点引一条平行于BC的直线，交BC于点D。
根据线段比例定理，可以得出下列等式：AD/DB = AB/BC这个定理在几何学中具有重要意义，可以用来解决求长度比例的问题。
二、相似三角形相似三角形是指两个三角形具有相同的形状，但是对应边的长度不一定相等。
具体来说，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。
符号表示为∆ABC ∼ ∆DEF。
相似三角形可以通过比较对应边的长度比例来判断。
在相似三角形中，比较两个对应边的长度，可以使用下列比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF这里AB, BC和AC是三角形ABC的边长，DE, EF和DF是三角形DEF的边长。
这个比例关系又称为“对应边比例定理”。
相似三角形有一些重要的性质：1. 相似三角形的对应角度相等，对应边比例相等；2. 相似三角形的对应边比例相等，对应角度相等；3. 如果两个三角形相似，则它们的相似比例为正的常数；4. 如果两个三角形的任意两边长的比例相等，则它们是相似三角形。
三、线段比例定理与相似三角形的应用线段比例定理和相似三角形在几何学和实际问题中有广泛应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以通过测量某一物体的阴影和影子长度来计算物体的高度。
2. 树木的投影：根据相似三角形的对应边比例，可以通过树木在地面上的投影长度和树木的实际高度，计算出树木的实际宽度。
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿4
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿4一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册4.1的内容，本节课的主要目标是让学生理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质和应用。
在教材中，通过引入实际问题，引导学生探究比例线段的关系，从而让学生体会数学与实际生活的联系。
教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握比例线段的知识，为后续学习相似三角形打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例和引导，让学生逐步理解和掌握。
此外，学生可能对实际问题中的比例关系有一定的了解，但如何将实际问题转化为数学问题，运用比例线段解决问题，还需要在本节课中进行引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质，能运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，培养学生的动手能力、观察能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学与实际生活的联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的定义及其性质。
2.教学难点：比例线段在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生主动参与，积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际问题，引导学生关注比例线段的概念，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：引导学生通过观察、操作、猜想、验证等过程，发现并总结比例线段的性质。
3.应用拓展：让学生运用比例线段解决实际问题，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
4.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调比例线段的概念和性质。
5.布置作业：设计具有针对性的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
初中数学重点梳理：比例线段
比例线段知识定位比例线段这部分内容较多，例如平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质定理、判定定理，圆中的比例关系等，极为精彩。
在数学竞赛中，它容易与相似三角形、三角形重心的性质、切割线定理等相结合，内容杂，难度也比较大，经常会涉及证明及计算，需要引起足够重视。
知识梳理知识梳理1：比例线段相关定理平行线分线段成比例定理：如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=． l 3l 2l 1FE D CB A平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==平行的判定定理：如上图，如果有AD AEAB AC=，那么DE BC ∥． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点，ED CBAB DAE C则BD EGDC FG=．知识梳理2：圆中的比例线段角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。
相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。
1、相交弦定理如图①，若圆内两条弦AB 、CD 交于点P ，则PD PC PB PA •=•。
2、切割线定理如图②，若从圆外一点P 引圆的切线TP ，和割线PAB ，则PB PA PT •=2。
3、割线定理如图③，若从圆外一点P 引圆的两条割线PAB 、PCD ，则PD PC PB PA •=•。
例题精讲【试题来源】【题目】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 交于O ，MON ∥AB ，且MON 交AD 、BC 分别于M 、N 。
若MN=1，求11AB CD+的值。
G FE DCBAADAEGFCPOC ABAOPBTAOPBCD【答案】2【解析】【知识点】比例线段【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】如图，△ABC中，AC=BC，F为底边AB上的一点，BFAFmn=(m，n>0)，取CF的中点D，连结AD并延长交BC于E，⑴求BEEC的值；⑵如果BE=2EC，那么CF所在直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；⑶E点能否为BC中点？如果能，求出相应的BFAFmn=的值；如果不能，证明你的结论。
证明线段相等的常用方法
洛明钱盈枸等的常用方怯1・证明两线段是全等三角形的对应边如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简m处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法.例1.如图，B、C、D在一直线上，AABC与AECD都是等边三角形，BE、AD分别交AC、EC 于点G、Fo (1)求证：AE=BD (2)求证CG=CF例2.如图，四边形ABCD是矩形，厶PBC和都是等边三角形，且点P在矩形上方.点Q在矩形内. 求证：(1) ZPB/4=ZPCQ=30°； (2) PA=PQ.例3•已知：如图，是00的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB=^RCD, CF丄于点F, CE丄AD的延长线于点E.(1)试说明:DE=BF：D二、利用等腰三角形的判定(等角对等边)证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全竽一时难以证明，可以考虑用此法例1 •如图，已知AABC中，AB二AC, DF丄BC于F, DF与AC交于E,与BA的延长线交于D,求ilE: AD=AE a例2•如图口，一张矩形纸片ABCD,其中AD二8cm, AB二6cm,先沿对角线BD折叠，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G.(1)求证：AG=C r G；例3•如图，△ ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN,若Z MAC = Z ABC, D是弧AC的中点，连接BD交AC于G,过D作DE丄AB于E,交AC于F.求证：FD = FG二、证明两线段都等于第三线段或者第三个量等：£代换：若a二b. b=c,则a=c；等式性质：若a=b,则a—c=b—c例1 •如图，梯形ABCD^. AD// BC,分别以两腰43、8为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF,联结EF,设线段EF的中点为M.求证：MA = MD・例2己灿P绘正方形ABCDXJMBD k 点.PEXDC. PF丄BC・E、F分别为垂址.求证：AP=EF.例3 •如图，43是OO的直径，3C是OO的切线，BC=AB、OC交OO于点F,直线4F交BC于E・求证：BE=CF・第9题图【巩固练习】1、已知，如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB上和AD的延长线上，且BE=DF,连接EF, G为EF的中点•求证：(1) CE=CF； (2) DG垂直平分AC.2、在等腰梯形ABCD 中，AD〃BC, AB=AD=CD/4ZABC=60°'延长AD 到E/使DE=AD,延长DC 到F,使DC=CE连接BE、BF 和EF.⑴求证：AABE^ACFB;⑵如果AD=6z tanZEBC的值.3•直角梯形ABCD中，AB〃CD, Zc=90° > AB=BC> M为BC边上一点・(1)若ZDMC=45° ,求证：AD=AM.(2)若ZDAM=45° , AB=7, CD=4,求BM 的值.4、已知梯形ABCD 中，AB〃CD・ BD丄AC 于E, AD=BC, AC=AB, DF丄AB 于F, AC. DF 相交于DF的中点O.(1)若点G为线段AB上一点，且FG=4, CD=3, GC=7,过0点作OH丄GC于H,试证: OH=OF；(2)求证:AB+CD=2BE.5•已知，矩形ABCD中，延长BC至「使BE=BD, F为DE的中点，连结AF、CF.求证:(1)ZADF=ZBCF； (2) AF丄CF.6、如图，在直角梯形ABCD中，AD丄DC, AB〃DC, AB=BC, AD与BC延长线交于点F, G是DC 延长线上一点，AG丄BC于E.(1)求证：CF=CG；(2)连接DE,若BE=4CE, CD=2,求DE 的长.7. 如图，梯形 ABCD 中，AB 〃CD, AD 丄CD. AC=AB, ZDAC=30 度.点 E. F 是梯形 ABCD 外的两点，且ZEAB=ZFCB, ZABC=ZFBE, ZCEB=30° •(1)求证:BE=BF ；8•如图，P 为正方形ABCD 边BC 上任一点，BG 丄AP 于点G,在AP 的延长线上取点E,使 AG=GE,连接 BE, CE.(1) 求证：BE=BC ；(2) ZCBE 的平分线交AE 于N 点，连接DN,求证：BN^DN ;(3) 若正方形的边长为2,当P 点为BC 的中点时，请直接写出CE 的长为 _____________9. (2010重庆)已知：如图，在直角梯形&BCD 中，AD//BC, ZABC=90。
初中阶段求证线段相等的几种证法
线段相等的几种证法在数学教学过程中，证明线段相等是经常遇到的问题，选用恰当的方法，可取得事半功倍的效果．现依据教学经验，总结出几种证明线段相等的基本方法，以供参考．一、利用全等三角形的性质证明线段相等当所要证明的线段分属两个三角形时，应首先分析这两个三角形是否有等量关系，要证其全等尚缺少什么条件．然后通过证明其他三角形全等或运用其他方法，补足所缺条件．若无现成的三角形，需添加辅助线构成全等三角形．例1、已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，过O作直线交AB于E，交CD于F．求证：AE＝CF．分析：要证AE＝CF，需证在这两个三角形中有一对对顶角，又根据平行四边形的性质知道，对边平行，对角线互相平分．此题得证．例2、正方形ABCD，G为AB上任一点，EF⊥DG，交DA、CB分别于E、F．求证：EF＝DG．分析：（如图1）此题EF不在三角形中，可过E作EH⊥BC于H，构成Rt△EHF再利用全等三角形的性质证明线段相等．二、用中介线段证明线段相等当所要证明的两条线段中有一条或两条都不属于三角形的边，且不在一条直线上时，一般要寻求与两线段相等的第三条线段作媒介．例3、已知：△ABC中，∠B的平分线交AC于D，过D作DE∥BC，交AB于E，过E 作EF∥AC，交BC于F．求证：BE＝CF．分析：所要证的BE与CF两条线段不是同一三角形的边．由题设可知四边形EFCD为平行四边形，得CF＝DE，所以需证BE＝DE，由角平分线及等腰三角形的判定可证．本题中是以DE作为媒介．三、利用等腰三角形的判定或平行四边形的性质证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法．例4、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F．求证：AF＝EF．分析：延长AD到G，使DG＝AD，连结BG．得到△ADC≌△GDB，可知AC＝GB，∠FAE ＝∠BGE．再由BE＝AC推出BE＝BG．利用对顶角相等和等角对等边可得出结论．四、利用三角形（或梯形）的中位线证明线段相等若两条线段在同一直线上，且图中有关线段中点，常证明两线段是过三角形一边的中点且平行于另一边的直线所分第三边的两部分；或利用平行四边形的性质来证对角线相互平分．应用这种方法证题，若图形不完整，可适当添加辅助线将图形补充完整．例5、四边形ABCD中，对角线BD与AC相等且相交于E，M、N分别为AD、BC的中点，线段MN与AC、BD分别相交于F、G．求证：EF＝EG分析：要证EF＝EG，需证∠EFG＝∠EGF．此题中出现了两个中点，但这两点的连线不是中位线，所以应增加AB的中点P，连结MP、NP，利用三角形中位线性质，可证MP＝NP、NP∥AC和MP∥BD．再利用平行线性质和等腰三角形的判定可证结论．五、利用线段中垂线和角平分线的性质证明线段相等当题目中出现线段垂直平分线或角平分线时，常利用线段中垂线的性质和角平分线的性质证明线段相等．例6、已知：ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O，∠B的平分线交AD于I．求证：（1）OA＝OB＝OC；（2）I到BC、CA、AB的距离相等．分析：由于ABC是等腰三角形，AD为底边上的中线，同时也是底边上的高，所以O点既在BC边的垂直平分线上，又在AB的垂直平分线上．利用线段垂直平分线的性质易证得⑴，利用角平分线的性质易证得⑵．六、利用相似三角形或比例线段证明线段相等若题目中出现比例线段，四条比例线段所在的两个三角形不相似或不能构成两个三角形．此时需要添加辅助线，作平行线转移比例，构造出相似三角形，然后利用相似三角形的性质来证．例7、直线EFD与△ABC的边AB、AC分别交于F、D，交CB边的延长线于E，且＝求证：BE＝AD分析：（如图2）由四条线段成比例，但这四条线段又不能构成两个三角形，可利用作平行线构造相似三角形．过D作DG∥BC，交AB于G，可得出△GDF∽△BEF、△ADG∽△ACB，由相似三角形的性质得出＝＝通过转移比例得出：＝，证得两线段相等．上述几种证明线段相等的方法，有一定的规律可循．但在遇到此类问题是仍要具体问题具体分析，灵活运用解题方法．在教学中，通过归类总结，使学生掌握解答问题的技巧，可以提高解题效率，锻炼学生的思维能力，从而提高学生素质．如果在教学中能够引导学生灵活地使用这些方法，则可使学生在解题中拓展思路，培养其分析问题解决问题的能力，提高其数学思维品质。
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿1
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿1一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第四章第一节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了线段、射线、直线的概念以及平行线、相交线的基础知识上进行学习的。
比例线段是数学中一种重要的比较方法，它不仅可以解决实际问题，而且也是解决比例、比例分配等问题的重要工具。
本节内容主要包括比例线段的定义、性质和应用。
教材通过生活中的实例引入比例线段的概念，然后引导学生探究比例线段的性质，最后通过练习让学生掌握比例线段的运用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，对于线段、射线、直线等基础知识也有了一定的了解。
但是，学生对于比例线段的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
此外，学生可能对于比例线段的实际应用场景还不够了解，需要通过实例和练习来加深理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握比例线段的定义、性质和运用。
2.过程与方法目标：通过实例引入比例线段的概念，引导学生探究比例线段的性质，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学与生活的紧密联系，培养学生的学习兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的定义、性质和运用。
2.教学难点：比例线段的性质的证明和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、案例教学法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、练习题等。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例引入比例线段的概念，让学生感受数学与生活的联系。
2.新课导入：介绍比例线段的定义和性质，引导学生进行探究和证明。
3.实例分析：通过具体的例子让学生理解比例线段的运用和解决实际问题的能力。
4.练习巩固：让学生通过练习题来巩固比例线段的定义、性质和运用。
5.总结提升：对本节内容进行总结，强调比例线段的重要性和应用场景。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出比例线段的定义、性质和运用。
证明线段积相等的方法
证明线段积相等的方法证明线段的积相等的常用方法是把等积式化成比例式，然后根据“三点定形”确定它们所在三角形是否相似，若相似，则结论成立；若不相似，再用中间量（线段或比）来“搭桥”.通常可以用这样的顺口溜记忆：遇到等积化比例，横找竖找找相似.图形相似不成立，等线等比寻代替. 一、化等积式为比例式，直接证相似例1、如图，A B C 中，090ACB ∠=，M 为A B 的中点，E M A B ⊥交B C 于点D ，交A C 的延长线于点E ，求证：2MC MD ME =∙ 分析：首先根据比例的基本性质，把等积式变成比例式M C M E M DM C=,然后把等式左边的两条线段放在一起，组成△MCD,等式右边两条线段组成M E C , 然后证明M C D ∽M E C 即可. 证明略.二、等线段做代替例2、如图，直角梯形A B C D 中，A B ∥C D ,A B B C ⊥,对角线A C B D ⊥于E,AD BD =,过点E 作E F ∥A B 交A D 于F ,求证：2AF AE EC =∙分析：把等积式变成比例式：A F E C A EA F=,然后把等式左边的两条线段放到同一个三角形中去得到AFE ，而等式右边的两条 线段组不成三角形.在这种情况下，需要把比例式中的四条线段 中的某一条换成和它相等的另一条线段，以便组成相似的三角形. 据本题中的已知条件，应把A F 换成B E ,于是得到新的比例式：B E E C A EB E=,这时就可以组成相似的ABE 和B C E . 证明略三、中间比做过渡例3、如图，已知A B C D ，P 为D C 延长线一点，A P 分别交,BD BC 于点,.M N ，试说明:2AM MN MP =ADBCPMN D CBFA EEACDMB分析：首先把等积式化成比例式得：A M M P M NA M=,然后把等式左边的两条线段放在一起，发现它们共线组不成三角形，等式右边的情况亦是如此.这时需要观察图形，可以看出AM D ∽N M B ,易证得A M D M M NB M=；PM D ∽A M B ，易证得M P D M A MB M=,这样通过D M B M这个中间比就起到了过渡的作用.证明略.。
平行线截得比例线段定理
平行线截得比例线段定理介绍在几何学中，平行线截得比例线段定理是一种简单而又常用的几何定理。
这个定理描述了两条平行线之间的线段的比例关系，是解决平行线与线段问题的有效工具。
定理表述设有两条平行线l和m，在这两条平行线上任意选取三个点A、B、C，其中B是线段AC上的一点。
则有以下定理成立：定理：直线l和m所截线段AC、AB分别与直线m所截线段BC的比值相等。
即AB / BC = AC / CB证明下面给出该定理的简单证明：我们可以假设直线l和m的交点为O，并画出AO和CO两条直线。
由于AC是两条平行线l和m所切割的交线段，所以根据相似三角形的性质，我们可以得到如下比例关系：AO / CO = AB / CB进一步，我们可以对上面的比例式进行变形，得到：AB / CB = AC / CO再观察三角形ACO，我们可以发现，BC是CO的外部一部分，所以我们可以用AC减去CO得到CB的长度。
将这一点代入上式，我们可以得到：AB / CB = AC / (AC - CB)接下来，我们将等式两边的比例的分子和分母都乘以CB，得到：AB * CB / CB = AC * CB / (AC - CB)化简后可得：AB = AC * CB / (AC - CB)我们可以将分子视为AC和AB之间可乘的比例系数。
当分子为负时，我们可以观察到AC和AB位于点O的同一侧。
所以，这个比例关系对于任意选择的点B都是成立的。
因此，根据我们的证明，我们可以得出结论：直线l和m所截线段AC、AB分别与直线m所截线段BC的比值相等。
应用平行线截得比例线段定理有很多实际应用，特别是在几何证明和计算问题中。
在几何证明中，平行线截得比例线段定理是解决平行线问题的重要工具。
它可以帮助我们推导出其他与平行线相关的性质和定理。
在计算问题中，平行线截得比例线段定理可以用来计算未知比例线段的长度。
只要已知其他三个线段的长度和相对位置，我们就可以通过这个定理得出未知线段的长度。
1 怎样用比例法证线段相等
怎样用比例法证线段相等【知识要点】证明两条线段相等的题目，若比例条件充足，常用比例法证明。
如：要证b a =，先列出含有b a ,的比例式222111,n m x b n m x ax ==，而后证明2211n m n m =，得到21x bx a =，再证21x x =，即可得b a = 【典型例题】例1 如图，在ABC ∆中，︒=∠90CAB ，分别以AB 、AC 为边向形外作正方形ABCD 、ACFG ，设CD 交AB 于N ，BF 交AC 于M ，求证：AM=AN 。
例2 已知：如图，AD 、CG 是ABC ∆的高，在AB 上取一点E ，使AE=AD ，作EF ∥BC 交AC 于F ，求证：EF=CG 。
例3 如图所示，在ABC ∆中，︒=∠90C ，D 为BC 边上一点，连结DA ，在AB C ∆外作DAC BAE ∠=∠，且AB BE ⊥，作BC EF ⊥交CB 的延长线于F ，求证：DC=BF 。
BDB DDB【经典练习】1．如图，在ABC ∆的各边上作等腰相似三角形，ABD ∆∽BCE ∆∽ACF ∆。
求证：DF=EC 。
2．如图，等腰ABC Rt ∆斜边BC 上一点P ，AB PD ⊥于D ，AC PE ⊥于E ，连结DC 、BE 分别交PE 于M ，交PD 于N ，求证：PM=PN 。
3．已知，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BE 是B ∠的平分线，AB CD ⊥，过BE 、CD 的交点O 作FG ∥AB ，交CA 于F ，交BC 于G ，求证：AF=CE 。
4．如图，ABC ∆中，AB=3AC ，AD 是BAC ∠的平分线，AD BE ⊥，交AD 延长线于E 点。
求证：AD=DE 。
CEBCPACE5．已知：如图，ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ，正方形DNEG 、DHFM 分别内接于ADC ∆、DBC ∆。
求证：CE=FC 。
6．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，对角线AC 、BD 相交于Ｏ （1）过点O 作AB 的平行线分别交AD 、BC 于E 、F ，求证：OE=OF（2）如果AB=2CD ，线段MN 分别交AD 、AO 、BO 于Ｍ、P 、N ，且MN ∥AB ，MP=PN ，求证：MN=CD 。
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证明线段相等的方法很多， 那什么时候选择用比例线段 的方法比较合适呢？
1、题目条件中有平行线； 2、题目条件中有线段； 3、题目条件中能证明三角形相似。
具体情况具体分析，多做题多总结多对比。
学生练习： 1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB⊥BC，点E在边AB上，CE⊥DE，点F在 AE上，且∠ADF=∠EDC。 求证：AF=BE。
分析：要证ED=DF， 只要构建
ED DF ( a b) a b
例2：已知：在△ABC中，AM是BC边上的中线，D是AM上任意一点，过点D作EF∥BC，分别交 AB、AC于点E、F。 求证：ED=DF。
证明：∵ED∥BM，∴ BM AM
ED
AD
DF
∵DF∥MC，∴ MC
AD AM
ED DF BM MC
思考：证明两条线段相等有哪些常用方法？
1、证明这两条线段所在三角形全等； 2、证明这两条线段所在三角形为等腰三角形； 3、找中间项等量代换； 4、证明特殊四边形； 5、求长度直接证明； 6、用比例线段证明。
比例线段证明两条线段相等
主讲：范平
用比例线段证明线段a和线段b相等的常见方法有三种：
方法一：构建
求证：E为AD的中点
分析：要证明AE=ED， 只需构建
AE ED a a 或 a a AE ED
图形分解
例2：如图，正方形ABCD中，EF⊥BE交CD于F,∠ABE=∠FBE 求证：E为AD的中点
证明：∵EF⊥BE，∴∠BEF=90° ∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=90°，∴∠BEF=∠A ∵∠ABE=∠FBE，∴△ABE∽△EBF ∴
AB BE AE EF AB BE 再由△BAE∽EDF，得出 ED EF AB AB ∴ ∴AE=ED,E即为AD中点 AE ED
AB AE 即 BE EF
例2：已知：在△ABC中，AM是BC边上的中线，D是AM上任 意一点，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F。 求证：ED=DF。
2、如图，已知：M为正方形ABCD 的边AB上一点，BP⊥CM于点P，N 是BC上一点，PD⊥PN. 求证：BM=BN。
3、如图，四边形ABCD，
∠ABD=∠ACD=90°，联结AD、BC， AD⊥BC，垂足为E， 求证：AB=AC谢谢如右图，由DE∥BC，可得
又因为AD=AH，将上面比例式替换得
再由右图中△BAH∽△BCF，可得 等量代换得
DE CF BC BC
所以DE=CF
GB 2 GE GF 例4:如图，已知ED∥BC， （1）求证：四边形为 ABCD 平行四边形； （2）联结GD，若∠GBC=∠FDG，求证：BG=DG
又∵BM=MC,
∴ED=DF
例3： 如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，CF⊥AB于F，
D是AB上一点，AD=AH,DE∥BC，
求证：DE=CF。
图形分解
要证明DE=CF，只要证明
DE CF ED DF 或 ( a b) a a a b
DE AD BC AB
DE AH BC AB AH CF AB BC
第2问分析：要证BG=DG，因为 ，所以只需证 DG2 GE GF GB 2 GE GF
GB 2 GE GF 例3:如图，已知，ED∥BC， （1）求证：四边形为 ABCD 平行四边形； （2）联结GD，若∠GBC=∠FDG，求证：BG=DG
（2）证明：∵BC∥ED， ∴∠GBC=∠GED ∵∠GBC=∠FDG ∴∠GED=∠FDG 又∵∠EGD=∠EGD ∴△GED∽△GDF ∴FG:DG=DG:EG 2 ∴ DG 2 GE GF 又∵ GB GE GF ∴BG=DG
课堂小结
用比例线段证明线段a和线段b相等的常见方法有三种：
方法一：构建
方法二：构建 方法三：构建
c c a b 或 推得a b a b c c
a c , 且b d（或 a c） 推得b d b d
a c a d , 由c 2 ab, d 2 ab, 推得c d c b d b
方法二：构建 方法三：构建
c c a b 或 推得a b a b c c
a c , 且b d（或 a c） 推得b d b d
a c a d , 由c 2 ab, d 2 ab, 推得c d c b d b
例1：如图，在正方形ABCD中，EF⊥BE交CD于F,∠ABE=∠FBE