2018年朝阳一模文科

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类） 2018．3（考试时间120分钟 满分150分）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集为实数集R ，集合{}230A x x x =-<，{}2log 0B x x =>，则()A B =R ðA ．(]()01,-∞+∞ ，B ．(]01，C ．[)3+∞，D ．∅ 2.在复平面内，复数i1+iz =所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知平面向量(,1)x =a ，(2,1)x =-b ，且//a b ，则实数x 的值是A ．1-B ．1C ．2D ．1-或2 4.已知直线m ⊥平面α，则“直线n m ⊥”是“//n α”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若8AB =，则线段AB 的中点M 到直线10x +=的距离为A ．2 B. 4 C ．8 D ．166.A ．13B ．23C ．12D ．347.函数2πsin12()12xf x x x=-+的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．4俯视图 正视图侧视图18.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加 “智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.执行如图所示的程序框图．若输入5m =，则输出k 的值为________．10.双曲线2214x y -=的焦距为__________；渐近线方程为_________．11.已知圆C :222410x y x y +--+=内有一点(2,1)P ，经过点P 的直线l 与 圆C 交于A ，B 两点，当弦AB 恰被点P 平分时，直线l 的方程为 ．12.已知实数,x y 满足10101x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，，，若(0)z mx y m =+>取得最小值的最优解有无数多个，则m 的值为_________．13.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,2A ωϕπ>><）的部分图象如图所示， 则=ϕ ； ω= ．14.许多建筑物的地板是用正多边形的砖板铺成的（可以是多种正多边形）.如果要求用这些正多边形的砖板铺满地面，在地面某一点（不在边界上）有k 块砖板拼在一起，则k 的所有可能取值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21()n n S a n *=-∈N ． （Ⅰ）求1a ，2a ，3a 的值；（Ⅱ）已知数列{}n b 满足12b =，1n n n b a b +=+ ，求数列{}n b 的通项公式．16.（本小题满分13分）在ABC ∆中，已知sin A =，2cos b a A =． （Ⅰ）若5ac =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若B 为锐角，求sin C 的值．17.（本小题满分13分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出了三个科目作为选考科目．若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数．（直接写出结果） （Ⅲ）从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率．18.（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//BC AD ，1BC =，3AD =，BE AD ⊥于E ，1BE AE ==．将ABE ∆沿BE 折起至A BE '∆，使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2），M 为线段A D'上一点．（Ⅰ）求证：A E CD '⊥；（Ⅱ）若M 为线段A D '中点，求多面体A BCME '与多面体MCDE 的体积之比；（Ⅲ）是否存在一点M ，使得A B '//平面MCE ？若存在，求A M '的长．若不存在，请说明理由．图1E A BC D 图2BM D A 'E19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且直线1l 与2l 的斜率互为相反数，直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 的斜率为1k ，直线BF 的斜率为2k .证明：12k k +为定值．20.（本小题满分13分）已知函数ln 1()()x f x ax a x-=-∈R . （Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若1a <-，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅲ）若12a <<，求证：)(x f 1<-.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2018．3三、解答题（本题满分80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）11a =，22a =，34a =. ……………… 4分 （Ⅱ）因为21()n n S a n *=-∈N ，所以，当2n ≥时，有1121n n S a --=-，则1222()n n n a a a n -≥=-，即12n n a a -=(2).n ≥ 所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以12n n a -=.因为1n n n b a b +=+ ，所以112n n n b b -+-=.则0212b b -=，1322b b -=，212n n n b b ---=，以上1n -个式子相加得：111(12)12n n b b -⨯--=-，又因为12b =，所以121()n n b n -*=+∈N . ……………… 13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2cos b a A =，得cos 0A >，因为sin A =，所以cos A =.因为2cos b a A =，所以4sin 2sin cos 25B A A ===． 故ABC ∆的面积1sin 22S ac B ==． ……………… 7分（Ⅱ）因为sin 5A =，4sin 5B =，因为B 为锐角，所以3cos 5B =.所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=．……………13分 17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由数据可知，男生确定选考生物的学生有3人，女生确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级有9420=12630⨯人． ……………… 3分 （Ⅱ）选考方案确定的男生中，选择“物理、化学和地理”的人数是2人． ………… 6分（Ⅲ）由数据可知，已确定选考科目的男生共6人.其中有3人选择“物理、化学和生物”，记为1a ，2a ，3a ；有1人选择“物理、化学和历史”，记为b ；有2人选择“物理、化学和地理”，记为1c ，2c ．从已确定选考科目的男生中任选2人，有12a a ，13a a ，1a b ，11a c ，12a c ，23a a ，2a b ，21a c ，22a c ，3a b ，31a c ，32a c ，1bc ，2bc ，12c c ，共15种选法．两位学生选考科目完全相同的选法种数有12a a ，13a a ，23a a ，12c c ，共4种选法．设事件A ：从已确定选考科目的男生中任选出2人，这两位学生选考科目完全相同． 则4()15P A =． ………………13分 18. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图1，在梯形ABCD 中，因为BE AD ⊥，所以BE A E '⊥（如图2）．因为平面A BE '⊥平面BCDE ，且平面A BE ' 平面BCDE BE =， 所以A E '⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A E CD '⊥． ……………… 4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知A E '⊥平面BCDE ，所以A E BE '⊥，A E DE '⊥．过点M 作MH DE ⊥于H ，则//MH A E '， 所以MH ⊥平面BCDE ．因为M 为A D '中点，1A E '=，所以12MH =． 设四棱锥A BCDE '-的体积为1V ，则 111111()(12)1133262B C D EV S A E B CD E B E A E ''=⋅⋅=⨯+⋅⋅=+⨯⨯=四边形．设三棱锥M CDE -的体积为2V ，则211111121332626CDE V S MH DE BE MH ∆=⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=． 所以12111263A BCME V V V '=-=-=多面体所以11::2:136A BCME MCDE V V '==多面体多面体． ……………… 9分（Ⅲ）解：存在一点M ，使得//A B '平面MCE ．理由如下：连结BD 交CE 于N ，连结MN ，则 平面A BD ' 平面MCE MN =． 由//A B '平面MCE ，得//A B MN '． 所以::A M MD BN ND '=． 在梯形BCDE 中，因为//BC DE ，所以BNC ∆∽DNE ∆．又因为1BC =，2DE =，所以::1:2BN ND BC DE ==． 于是12A M MD '=，所以13A M AD '=． 又因为1A E '=，2DE =，所以A D 'A M '…………14分 19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得22222,111.2c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得a =1b =，1c =．CBMDA ′EHCBMDA ′EN故椭圆C 的方程为2212x y +=． ……………… 5分（Ⅱ）证明：由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =+，直线2l 的方程为y kx =-，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)E x y ，33(,)F x y --， 则1323121323y y y y k k x x x x -++=+-+ 13231323(1)(1)k x kx k x kx x x x x +++-=+-+ 21212313232()2[]()()x x x x x k x x x x +++=-+．由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k -+=+，21222212k x x k-=+． 由22,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)2k x +=，所以232212x k =+． 所以2221212322244442()20121212k k x x x x x k k k--+++=++=+++． 所以2121231213232()2[]0()()x x x x x k k k x x x x ++++==-+． 故12k k +为定值，定值为0. ………………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0a =，则(1)1f =-，22ln ()xf x x-'=，(1)2f '=， 所以)(x f 在点()11-，处的切线方程为230x y --=． ……………… 3分（Ⅱ）(0,)x ∈+∞，222ln ()ax xf x x --'=.令2()2ln g x ax x =--，则221()ax g x x--'=．令()0g x '=，得x =（依题意102a ->）由()0g x '>，得x >()0g x '<，得0x <<所以，()g x 在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增所以，min5()2g x g ==-因为1a <-，所以11022a <-<，0<． 所以()0g x >，即()0f x '>． 所以函数)(x f 的单调递增区间为(0,)+∞． ……………… 8分（Ⅲ）由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x ax x--<-，等价于21ln 0ax x x -+->. 设2()1ln h x ax x x =-+-，只须证()0h x >成立.因为2121()21ax x h x ax x x--'=--=，12a <<，由()0h x '=，得2210ax x --=有异号两根. 令其正根为0x ，则200210ax x --=. 在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>.则()h x 的最小值为20000()1ln h x ax x x =-+-0011ln 2x x x +=-+- 003ln 2x x -=-.又(1)220h a '=->，13()2()30222a h a '=-=-<，所以0112x <<.则0030,ln 02x x ->->.因此003ln 02x x -->，即0()0h x >.所以()0h x >所以()1f x <-. ……………13分。