2019届苏教版(文科数学) 不等式 单元测试
2019届苏教版(文科数学) 数学文化 单元测试(1)
1．欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数 家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数 中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案）B解析）2cos2sin2ie i =+，∵22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴cos210∈-（，），sin201∈（，），∴2ie 表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B ．2．2018河南省南阳、信阳等六市高三第一次联考）中国传统文化中很多内容体现了数 的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“等周面函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“等周面函数”有无数个；②函数()()22ln 1f x x x =++可以是某个圆的“等周面函数”；③正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“等周面函数”；④函数()y f x =是“等周面函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形．其中正确的命题是 （写出所有正确命题的序号）．答案）①③考向2 渗透数 文化的数列题2）2018安徽模拟）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数 著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为 （ ）A．829尺 B ．1629尺 C ．3229尺 D ．12尺 答案）B ．解析）设增量为d ，由等差数列前n 项和公式得：3030293053902S d ⨯=⨯+=，解得1629d =，故选B ． 3）2018甘肃兰州西北师大附中调研）在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ） A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺答案）C4）江西省赣州市2018届期中）《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数 著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两分之和，则最小的1份为（ ） A ．56 B ．103 C ．53 D ．116答案）C解析）设等差数列{}n a 的公差是0d >，首项是1a ，由题意得，()1345125451002{ 17a d a a a a a ⨯+⨯=++⨯=+，则()111510100{ 13927a d a d a d +=+⨯=+，解得153{ 556a d ==，所以最小的一份为53，故选C ． ！跟踪练习）1．2018百校联盟联考）我国古代数 著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()1,2,,10i a i =，且1210a a a <<<，若485i a M =，则i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 答案）C2．2018湖南永州高三二模）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，．．．，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．505 答案）D解析）n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522nn n NN+⨯+=∴==，故选D ．3．2018福建南平高三一模）中国古代数 著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地．”则此人第4天走了（ ）A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里 答案）D解析）试题分析：由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等比数列的首项为，则有，，，所以此人第天和第天共走了里，故选C ．4．2018河北廊坊八中高三模拟）《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间．．二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列．在这个问题中的中间．．两节容量分别是（ ） A ．6766升、4133升 B ．2升、3升 C ．322升、3733升 D ．6766升、3733升 答案）D点睛：对于数 文化题，我们要善于把枯涩的文字数字化，再运用数 知识去解决．5．2018四省名校高三联考）中国人在很早就开始研究数列，中国古代数 著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载．现有数列题目如下：数列{}n a 的前n 项和214n S n =，*N n ∈，等比数列 {}n b 满足112b a a =+，234b a a =+，则3b =（ ）A ．4B ．5C ．9D ．16解析）由题意可得：211221214b a aS =+==⨯=，22234421142344b a a S S =+=-=⨯-⨯=， 则：等比数列的公比21331b q b ===，故32339b b q ==⨯=． 本题选择C 选项．6．2018湖北模拟）《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是 ： ． 答案）26:59解析）因为前两天大小老鼠共穿5.45.0121=+++尺，所以第三天需要穿5.05.4-5=尺就可以碰面，第三天大老鼠要穿4尺，小老鼠要穿41尺，设大老鼠打了x 尺，小老鼠则打了)5.0(x -尺，所以415.04xx -=，解得178=x ，小老鼠打了3411785.0=-，三天总的来说大老鼠打了175917821=++（尺），小老鼠打了17263415.01=++，进度比：26:59． 7．2018河北衡水中 高三二调）在我国古代著名的数 专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A ．12日B ．16日C ．8日D ． 9日 答案）D考点：实际应用问题，相遇问题，数列求和．8．2018湖北稳派教育高三上 期联考二）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数 家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列{}n a 满足：()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N --===+≥∈，记其前n 项和为2018=n S a t ，设 (t 为常数)，则2016201520142013=S S S S +--___________ (用t 表示)．考向3 渗透数 文化的几何题5）辽宁省沈阳市2018年质监）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数 名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面ABCD 为矩形，棱EFAB ．若此几何体中，4,2AB EF ==，ADE ∆和BCF∆都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（）A ．83B ．883+C ．6223+D ．86223++ 答案）B6）甘肃省会宁2018届月考（12月））如图所示是古希腊数 家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A．32，1 B．23，1 C．32，32D．23，32答案）C7）2018辽宁瓦房店高三一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．平方尺B．平方尺C．平方尺D．平方尺答案）B8）2018贵州黔东南州高三一模）我国古代数名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（）A．3步B．6步C．4步D．8步答案）B9）（1）2017湖南模拟）“牟合方盖”是我国古代数 家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．b a ,B ．c a ,C ．b c ,D ．d b ,（2）2018湖南模拟）我国古代数 名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式()13V S S S S h =++下下上上） A ．2寸 B ．3寸 C ．4寸 D ．5寸 答案）（1）A ；（2）B ．名师点睛）“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数 思想方法解决数 问题的代表之一．试题从识“图”到想“图”再到构“图”，考查 生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力等．我国古代数 中含有丰富的立体几何模型和数 原理，是数 文化题的主要源头，如阳马、鳖臑、堑堵、鲁班锁、祖暅原理等．10）广西贵港市2018届12月联考）《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A． 2129B ．2329C ．1112D ．1213答案）A11）辽宁省凌源市2018届12月联考）我国古代数 名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数 用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（ ）A 42B 82C ．163πD ．43π答案）B12）2018河南商丘高三山 期一模）我国南宋著名数 家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若2sin 3sin c A C =，()224a c b -=-，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为__________． 答案）2解析）由2sin 3sin c A C =可得：ac 3=， 由()224a c b -=-可得：2222a c b +-=∴()22222211912424a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故答案为：2 跟踪练习）1．2018河南中原名校联考）《九章算术》中，将底面是直角三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，如图，边长为1的小正方形 格中粗线画出的是某“堑堵”的俯视图与侧视图，则该“堑堵”的正视图面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8答案）C解析）由题意知，该“堑堵”的正视图为三棱柱的底面，为等腰直角三角形，且斜边长为4，故其面积为4．选C ．2．2018安徽皖南八校12月联考）榫卯（sun mao ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．图中 格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为()A ．24523452ππ++，B ．24523654ππ++，C ．24543654ππ++，D ．24543452ππ++， 答案）C方法点睛）本题利用空间几何体的三视图重点考查 生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查 生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响．3．2018吉林长春高三二模）堑堵，我国古代数 名词，其三视图如图所示．《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何?”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少?”(注：一丈=十尺)，答案是 ( )A ．25500立方尺B ．34300立方尺C ．46500立方尺D ．48100立方尺答案）C解析）由已知，堑堵的体积为12018625465002⨯⨯⨯=．故选C ． 4．2018河北模拟）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ）A ．4B ．642+C ．442+D ．2答案）B5．2018山西高三一模）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是 （ ）A ．B ．C ．D ．答案）B解析）以为边，将图形补形为长方体，长方体外接球即阳马的外接球，长方体的对角线为球的直径，即，故球的表面积为．选B ．6．2018百校联盟高三3月联考）我国古代数 名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？”意思是：有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为54尺，则圆锥形的高约为多少尺？（注：1斛 1.62≈立方尺，3π≈）若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为（ ）A ．5尺B ．9尺C ．10.6尺D ．21.2尺答案）D7．2018甘肃兰州高三一诊）刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．答案）B点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．8．2018湖南衡阳高三一模）刍薨( chu hong)，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“当薨者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．薨，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”．如图为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，若用茅草搭建它，则覆盖的面积至少为．A．B．C．D．答案）C点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．9．2018贵州遵义高三联考二）《数书九章》是中国南宋时期杰出数 家秦九韶的著作．其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a b c 、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写出公式，即若a b c >>，则222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，现有周长为1027+的ABC ∆满足sin :sin :sin 2:3:7A B C =，则用以上给出的公式求得ABC ∆的面积为 __________．答案）6310．2018湖北八校高三12月联考）我国南北朝时期的数 家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，一个焦点为()5,0．直线0y =与3y =在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN ，则它绕y 轴旋转一圈所得几何体的体积为_____．答案）3π考向4 渗透数 文化的统计与概率题13）2018湖南株洲高三质检一）如图所示，三国时代数 家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)．设直角三角形有一内角为30︒，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为A ．134B ．866C ．300D ．500 （ ） 答案）A14）2018河北衡水金卷高三一模）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．316B．38C．14D．18答案）A15）2018山西孝义高三一模）我国古代数名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A．134石B．169石C．338石D．1365石答案）B考点：用样本的数据特征估计总体．16）2018江西高三二模）欧阳修的《卖油翁》中写道“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）A ．49πB ．14πC ．19πD ．116π答案）B17）2011年，国际数 协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数 节， 是中国古代数 家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办的数 嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个 豆、10个 豆、20个 豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的 豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部 豆归零，游戏结束．设选手甲第一关、第二关、第三关闯关成功的概率分别为321,,432，选手选择继续闯关的概率均为12，且各关之间闯关成功互不影响． （1）求选手获得5个 豆的概率；（2）求选手甲第一关闯关成功且所得 豆为零的概率． 答案）（1）38；（2）316． 解析）（1）()3135428P X ==⨯=． （2）设甲“第一关闯关成功且所得 豆为零”为事件A ，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件1A ，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件2A ，则12,A A 互斥，()()()()()121231213121111131,1,4238423221681616P A P A P A P A P A ⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯-==⨯⨯⨯⨯-=∴=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 名师点睛）1．弘扬中华传统文化在数 中体现为两点：一是挖掘古代典籍与数 知识的结合点；二是将数 落实在中华传统美德，贯彻“弘扬正能量”的精神风貌．2．从古代文化经典选取素材，如2017年新课标Ⅰ卷第4题以《易经》八卦中的太极图为载体，丰富了数 文化的取材途径、试题插图的创新是本题的亮点．其一，增强了数 问题的生活化，使数 的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数 试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数 问题直观化的范．跟踪练习）1．2017新疆奎屯市一中高三上 期第二次月考）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16答案）A2．2017福建省数 基地校高三模拟）《九章算术》是人类 史上应用数 的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1 534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约( )A ．134石B ．169石C ．268石D ．338石答案）B解析）设这批米内夹谷约为x 石，根据随机抽样事件的概率得281534254x =，得x ≈169．故选B ． 3．2018安徽芜湖高三一模）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数 家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6απ=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 （ ）A．312-B．32C．434-D．34答案）A考向5 渗透数文化的推理题18）2018北京朝阳区高三一模）庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同中只有一位同中奖，且只有一位同的预测结果是正确的，则中奖的同是( )A．甲B．乙C．丙D．丁答案）A解析）由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲✔✖✖✖乙✔✖✔✔丙 ✖ ✖ ✔ ✔丁 ✖ ✔ ✖ ✔1．若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意；2．若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意；3．若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意；4．若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意；故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确，选．19）（原创题）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数 家、数 教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：（1）求第20行中从左到右的第3个数；（2）若第n 行中从左到右第13与第14个数的比为1322，求n 的值； （3）写出第12行所有数的和，写出n 阶（包括0阶）杨辉三角中的所有数的和；（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现136101535++++=，事实上，一般地有这样的结论：第m 斜列中（从右上到左下）前k 个数之和，一定等于第1m +斜列中第k 个数．试用含有(),,m k m k *∈N的数 式子表示上述结论，并证明．证明：左边11112112mm m m m m m mm k m m m k C C C C C C ----+-+++-=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+1221m m mm k m k m k C C C -+-+-+-=⋅⋅⋅=+==右边．名师点睛）杨辉三角与二项式定理是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了．求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题．用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”． 跟踪练习）1．在我国南宋数 家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数 家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1，17世纪德国数 家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2．在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N ．请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．图1图2探究提高：《九章算术》大约成书于公元1世纪，是中国古代最著名的传世数 著作，它的出现标志着中国古代数 形成了完成的体系，本题取材《九章算术》与著名的17世纪德国数 家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”相结合考查了组合数的运算，很好的把中国古代数 名著和欧洲数 有解的结合在一起，进行和合理命题．2．2018湖南模拟）如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字。
2019届苏教版(文科数学) 不等式
2019届苏教版（文科数学） 不等式不等式1、（2018全国I 卷高考题）若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为 ．2、（2017全国I 卷高考题）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为3、（菏泽市2018届高三下学期第一次模拟）若实数满足，则的最小值是 .4、（济南市2018届高三考前高考针对性练习（二模））记不等式组1,50,210,x x y x x ⎧≥⎪=-≥⎨⎪-+≤⎩,的解集为D ,若(),x y D ∀∈,不等式2a x y ≤+恒成立,则a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．[)3,+∞ C. (],6-∞ D ．(],8-∞5、（济宁市2018届高三第一次模拟）设变量x ，y 满足约束条件02390210x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的取值范围是A ．[6,)+∞B ．[5,)+∞C ．[0,6]D ．[0,5]6、（济宁市2018届高三上学期期末考试）已知实数,x y 满足条件001x y x y x ì-?ïï+?íï£ïî，则12xz y 骣琪=-琪桫的最大值为( ) A.32-B.1-C.1D.127、（济宁市2018届高三上学期期末考试）已知0a >，0b >，并且1a ，12，1b成等差数列，则9a b +的最小值为( )A.16B.9C.5D.48、（聊城市2018届高三一模考试）设x ，y 满足约束条件102020x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则12()16x y z =的最大值9、（青岛市2018届高三5月模拟）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-a y y x y x 41，目标函数y x z 23-=的最小值为4-，则a 的值是A ．1B ．0C ．1-D ．1210、（日照市2018届高三4月校际联合期中考试）在1,27,0x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),m n ，则满足230m n -≥的概率是 ．11、（泰安市2018届高三第二次模拟考试）若变量,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则 =x +2y 的取值范围是 A ．[6，+∞)B ．[4，+∞)C ．[0，4)D ．[0，6]12、（潍坊市2018届高三下学期第一次模拟）已知,x y 满足约束条件10330,210x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则目标函数22z x y =+的最小值为A.12B ．22C. 1D ．213、（烟台市2018届高三上学期期中考试）已知0＜c ＜1，a ＞b ＞1，下列不等式成立的是（ ）A ．c a ＞c bB ．C ．ba c ＞ab cD ．log a c ＞log b c14、（烟台市2018届高三上学期期中考试）已知正数x ，y满足，则 =（）x•（）y的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．15、（烟台市2018届高三上学期期中考试）已知x ＞0，y ＞0，且x +2y=2，若+＞m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ．16、（枣庄市2018届高三第二次模拟）已知实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则22(1)x y ++的最大值17、（淄博市2018届高三下学期第一次模拟）已知点()2,0Q ，点(),P x y 的坐标满足条件101010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨+≥⎪⎪⎩，则PQ 的最小值是（ ） A ．12 B ．22C. 1 D ．2 18、（烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试（3月））设变量x 、y 满足约束条件200240x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩,则12z x y =-的最最大值为 A.-6 B. 32 C. 73D.319、（青岛市2018届高三统一质量检测）已知实数,x y 满足110x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22x y x ++的最小值为 ．20、（青岛市2017年高三统一质量检测）若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为A ．8B ．4C ．1D ．221、（日照市2017届高三下学期第一次模拟）已知变量,x y 满足：()220,230,20,x yx y x y z x +-≤⎧⎪-+≥=⎨⎪≥⎩则的最大值为(A)2 (B) 22 (C) 2 (D) 422、（烟台市2017届高三3月高考诊断性测试（一模））若变量,x y 满足2202010x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则211x y ++的最小值为（ ）A ．13 B ．16 C. 23 D ．3223、（烟台市2017届高三3月高考诊断性测试（一模））已知,x y 均为正实数，若(,1)a x y =-，(2,1)b =，且a b ⊥，则12x y+的最小值是 ．参考答案：一、选择、填空题 1、6 2、－5 3、不等式可表示为如图所示的平面区域.为该区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然，当x=3，y=1时，取得最小值.4、C5、B6、D7、A8、49、C 10、11、D 12、B 13、D 14、D 15、4m < 16、4 17、B 18、C 19、4 20、B21、答案D ．解析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设2m x y =+得2y x m =-+，平移直线2y x m =-+，由图象可知当直线2y x m =-+经过点A 时，直线2y x m =-+的截距最大，此时m 最大．由20230x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)A ，代入目标函数2m x y =+得2124z =⨯+=. 即目标函数2(2)x y z +=的最大值为4(2)4z ==.故选D ．22、A 23、8。
2019届苏教版(文科数学) 数学文化 单元测试
1．欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数 家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数 中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案）B解析）2cos2sin2ie i =+，∵22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴cos210∈-（，），sin201∈（，），∴2ie 表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B ．2．2018河南省南阳、信阳等六市高三第一次联考）中国传统文化中很多内容体现了数 的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“等周面函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“等周面函数”有无数个；②函数()()22ln 1f x x x =++可以是某个圆的“等周面函数”；③正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“等周面函数”；④函数()y f x =是“等周面函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形．其中正确的命题是 （写出所有正确命题的序号）．答案）①③考向2 渗透数 文化的数列题2）2018安徽模拟）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数 著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为 （ ）A ．829尺 B ．1629尺 C ．3229尺 D ．12尺 答案）B ．解析）设增量为d ，由等差数列前n 项和公式得：3030293053902S d ⨯=⨯+=，解得1629d =，故选B ． 3）2018甘肃兰州西北师大附中调研）在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ） A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺答案）C4）江西省赣州市2018届期中）《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数 著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两分之和，则最小的1份为（ ） A ．56 B ．103 C ．53 D ．116答案）C解析）设等差数列{}n a 的公差是0d >，首项是1a ，由题意得，()1345125451002{ 17a d a a a a a ⨯+⨯=++⨯=+，则()111510100{ 13927a d a d a d +=+⨯=+，解得153{ 556a d ==，所以最小的一份为53，故选C ． ！跟踪练习）1．2018百校联盟联考）我国古代数 著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()1,2,,10i a i =，且1210a a a <<<，若485i a M =，则i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 答案）C2．2018湖南永州高三二模）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，．．．，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．505 答案）D解析）n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522nn n NN+⨯+=∴==，故选D ．3．2018福建南平高三一模）中国古代数 著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地．”则此人第4天走了（ ）A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里 答案）D解析）试题分析：由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等比数列的首项为，则有，，，所以此人第天和第天共走了里，故选C ．4．2018河北廊坊八中高三模拟）《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间．．二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列．在这个问题中的中间．．两节容量分别是（ ） A ．6766升、4133升 B ．2升、3升 C ．322升、3733升 D ．6766升、3733升答案）D点睛：对于数 文化题，我们要善于把枯涩的文字数字化，再运用数 知识去解决．5．2018四省名校高三联考）中国人在很早就开始研究数列，中国古代数 著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载．现有数列题目如下：数列{}n a 的前n 项和214n S n =，*N n ∈，等比数列 {}n b 满足112b a a =+，234b a a =+，则3b =（ ）A ．4B ．5C ．9D ．16解析）由题意可得：211221214b a a S =+==⨯=，22234421142344b a a S S =+=-=⨯-⨯=， 则：等比数列的公比21331b q b ===，故32339b b q ==⨯=． 本题选择C 选项．6．2018湖北模拟）《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是 ： ． 答案）26:59解析）因为前两天大小老鼠共穿5.45.0121=+++尺，所以第三天需要穿5.05.4-5=尺就可以碰面，第三天大老鼠要穿4尺，小老鼠要穿41尺，设大老鼠打了x 尺，小老鼠则打了)5.0(x -尺，所以415.04xx -=，解得178=x ，小老鼠打了3411785.0=-，三天总的来说大老鼠打了175917821=++（尺），小老鼠打了17263415.01=++，进度比：26:59． 7．2018河北衡水中 高三二调）在我国古代著名的数 专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A ．12日B ．16日C ．8日D ． 9日 答案）D考点：实际应用问题，相遇问题，数列求和．8．2018湖北稳派教育高三上 期联考二）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数 家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列{}n a 满足：()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N --===+≥∈，记其前n 项和为2018=n S a t ，设 (t 为常数)，则2016201520142013=S S S S +--___________ (用t 表示)．考向3 渗透数 文化的几何题5）辽宁省沈阳市2018年质监）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数 名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面ABCD 为矩形，棱EFAB ．若此几何体中，4,2AB EF ==，ADE ∆和BCF∆都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（）A ．83B ．883+C ．6223+D ．86223++ 答案）B6）甘肃省会宁2018届月考（12月））如图所示是古希腊数 家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A．32，1 B．23，1 C．32，32D．23，32答案）C7）2018辽宁瓦房店高三一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．平方尺B．平方尺C．平方尺D．平方尺答案）B8）2018贵州黔东南州高三一模）我国古代数名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（）A．3步B．6步C．4步D．8步答案）B9）（1）2017湖南模拟）“牟合方盖”是我国古代数 家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．b a ,B ．c a ,C ．b c ,D ．d b ,（2）2018湖南模拟）我国古代数 名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式()13V S S S S h =++下下上上） A ．2寸 B ．3寸 C ．4寸 D ．5寸 答案）（1）A ；（2）B ．名师点睛）“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数 思想方法解决数 问题的代表之一．试题从识“图”到想“图”再到构“图”，考查 生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力等．我国古代数 中含有丰富的立体几何模型和数 原理，是数 文化题的主要源头，如阳马、鳖臑、堑堵、鲁班锁、祖暅原理等．10）广西贵港市2018届12月联考）《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ． 2129B ．2329C ．1112D ．1213答案）A11）辽宁省凌源市2018届12月联考）我国古代数 名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数 用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（ ）A ．423π B ．823π C ．163π D ．43π答案）B12）2018河南商丘高三山 期一模）我国南宋著名数 家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若2sin 3sin c A C =，()224a c b -=-，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为__________． 答案）2解析）由2sin 3sin c A C =可得：ac 3=， 由()224a c b -=-可得：2222a c b +-=∴()22222211912424a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故答案为：2 跟踪练习）1．2018河南中原名校联考）《九章算术》中，将底面是直角三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，如图，边长为1的小正方形 格中粗线画出的是某“堑堵”的俯视图与侧视图，则该“堑堵”的正视图面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8 答案）C解析）由题意知，该“堑堵”的正视图为三棱柱的底面，为等腰直角三角形，且斜边长为4，故其面积为4．选C ．2．2018安徽皖南八校12月联考）榫卯（sun mao ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．图中 格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为()A ．24523452ππ++，B ．24523654ππ++，C ．24543654ππ++，D ．24543452ππ++， 答案）C方法点睛）本题利用空间几何体的三视图重点考查 生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查 生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响．3．2018吉林长春高三二模）堑堵，我国古代数 名词，其三视图如图所示．《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何?”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少?”(注：一丈=十尺)，答案是 ( )A ．25500立方尺B ．34300立方尺C ．46500立方尺D ．48100立方尺 答案）C解析）由已知，堑堵的体积为12018625465002⨯⨯⨯=．故选C ． 4．2018河北模拟）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）A ．4B ．642+C ．442+D ．2 答案）B5．2018山西高三一模）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是 （ ）A ．B ．C ．D ．答案）B解析）以为边，将图形补形为长方体，长方体外接球即阳马的外接球，长方体的对角线为球的直径，即，故球的表面积为．选B ．6．2018百校联盟高三3月联考）我国古代数 名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？”意思是：有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为54尺，则圆锥形的高约为多少尺？（注：1斛 1.62≈立方尺，3π≈）若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为（ ） A ．5尺 B ．9尺 C ．10.6尺 D ．21.2尺 答案）D7．2018甘肃兰州高三一诊）刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．答案）B点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．8．2018湖南衡阳高三一模）刍薨( chu hong)，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“当薨者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．薨，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”．如图为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，若用茅草搭建它，则覆盖的面积至少为．A．B．C．D．答案）C点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．9．2018贵州遵义高三联考二）《数书九章》是中国南宋时期杰出数 家秦九韶的著作．其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a b c 、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写出公式，即若a b c >>，则222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，现有周长为1027+的ABC ∆满足sin :sin :sin 2:3:7A B C =，则用以上给出的公式求得ABC ∆的面积为__________． 答案）6310．2018湖北八校高三12月联考）我国南北朝时期的数 家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，一个焦点为()5,0．直线0y =与3y =在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN ，则它绕y 轴旋转一圈所得几何体的体积为_____．答案）3π考向4 渗透数 文化的统计与概率题13）2018湖南株洲高三质检一）如图所示，三国时代数 家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)．设直角三角形有一内角为30︒，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为A ．134B ．866C ．300D ．500 （ ） 答案）A14）2018河北衡水金卷高三一模）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．316B．38C．14D．18答案）A15）2018山西孝义高三一模）我国古代数名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A．134石B．169石C．338石D．1365石答案）B考点：用样本的数据特征估计总体．16）2018江西高三二模）欧阳修的《卖油翁》中写道“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）A ．49π B ．14π C ．19π D ．116π答案）B17）2011年，国际数 协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数 节， 是中国古代数 家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办的数 嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个 豆、10个 豆、20个 豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的 豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部 豆归零，游戏结束．设选手甲第一关、第二关、第三关闯关成功的概率分别为321,,432，选手选择继续闯关的概率均为12，且各关之间闯关成功互不影响． （1）求选手获得5个 豆的概率；（2）求选手甲第一关闯关成功且所得 豆为零的概率． 答案）（1）38；（2）316． 解析）（1）()3135428P X ==⨯=． （2）设甲“第一关闯关成功且所得 豆为零”为事件A ，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件1A ，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件2A ，则12,A A 互斥，()()()()()121231213121111131,1,4238423221681616P A P A P A P A P A ⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯-==⨯⨯⨯⨯-=∴=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．名师点睛）1．弘扬中华传统文化在数 中体现为两点：一是挖掘古代典籍与数 知识的结合点；二是将数 落实在中华传统美德，贯彻“弘扬正能量”的精神风貌．2．从古代文化经典选取素材，如2017年新课标Ⅰ卷第4题以《易经》八卦中的太极图为载体，丰富了数 文化的取材途径、试题插图的创新是本题的亮点．其一，增强了数 问题的生活化，使数 的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数 试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数 问题直观化的范． 跟踪练习）1．2017新疆奎屯市一中高三上 期第二次月考）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16答案）A2．2017福建省数 基地校高三模拟）《九章算术》是人类 史上应用数 的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1 534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约( ) A ．134石 B ．169石 C ．268石 D ．338石 答案）B解析）设这批米内夹谷约为x 石，根据随机抽样事件的概率得281534254x =，得x ≈169．故选B ． 3．2018安徽芜湖高三一模）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数 家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6απ=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 （ ）A．312-B．32C．434-D．34答案）A考向5 渗透数文化的推理题18）2018北京朝阳区高三一模）庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同中只有一位同中奖，且只有一位同的预测结果是正确的，则中奖的同是( )A．甲B．乙C．丙D．丁答案）A解析）由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲✔✖✖✖乙✔✖✔✔丙 ✖ ✖ ✔ ✔丁 ✖ ✔ ✖ ✔1．若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意；2．若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意；3．若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意；4．若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意；故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确，选．19）（原创题）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数 家、数 教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：（1）求第20行中从左到右的第3个数；（2）若第n 行中从左到右第13与第14个数的比为1322，求n 的值； （3）写出第12行所有数的和，写出n 阶（包括0阶）杨辉三角中的所有数的和；（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现136101535++++=，事实上，一般地有这样的结论：第m 斜列中（从右上到左下）前k 个数之和，一定等于第1m +斜列中第k 个数．试用含有(),,m k m k *∈N的数 式子表示上述结论，并证明．证明：左边11112112mm m m m m m mm k m m m k C C C C C C ----+-+++-=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+1221m m mm k m k m k C C C -+-+-+-=⋅⋅⋅=+==右边．名师点睛）杨辉三角与二项式定理是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数 ．求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题．用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”． 跟踪练习）1．在我国南宋数 家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数 家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1，17世纪德国数 家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2．在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N ．请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．图1图2探究提高：《九章算术》大约成书于公元1世纪，是中国古代最著名的传世数 著作，它的出现标志着中国古代数 形成了完成的体系，本题取材《九章算术》与著名的17世纪德国数 家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”相结合考查了组合数的运算，很好的把中国古代数 名著和欧洲数 有解的结合在一起，进行和合理命题．2．2018湖南模拟）如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字。
2022-2023学年苏教版2019必修一第三章 不等式 单元测试卷(word版含答案)
第三章 不等式 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(共40分) 1、(4分)不等式2162a bx x b a+<+对任意a ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A.()2,0-B.()(),20,-∞-+∞C.()4,2-D.()(),42,-∞-+∞2、(4分)在ABC △中，点D 是线段BC 上任意一点(不包含端点)，若=+AD mAB nAC ，则14+m n的最小值是（ ） A.4B.9C.8D.133、(4分)若0a b <<，且2a b +=，则下列四个数中最大的是( ) A.a bB.bC.abD.22a b +4、(4分)已知不等式250ax x b -+>的解集为{32}x x -<<∣，则不等式250bx x a -+>的解集为( ) A.11{}32x x -<<∣B.1{3x x <-∣或1}2x > C.{32}xx -<<∣ D.{3x x <-∣或2}x >5、(4分)已知x ∈R ，(1)(3)M x x =--，2(2)N x =-，则M 与N 的大小关系为( ) A.M N >B.M N ≥C.M N <D.M N ≤6、(4分)某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分: ①生产1单位试剂需要原料费50元;②支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成:③后续保养的费用是每单位60030x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元(试剂的总产量为x 单位,50200x ≤≤).则要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为( ) A.60单位B.70单位C.80单位D.90单位7、(4分)若某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位:10万元)与营运年数()*x x ∈N 为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运( )年时,其营运的年平均利润yx最大.A.3B.4C.5D.68、(4分)已知函数2()21f x x tx =-+在(,1]-∞上单调递减,且对任意的12,[0,1]x x t ∈+,总有()()122f x f x ≤-,则实数t 的取值范围是( )A. B. C. D.9、(4分)已知b 克糖水中含有a 克糖（0b a >>），再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是( )A. B C. D.10、(4分)某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为2120800002y x x =-+，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为( ) A.200吨B.300吨C.400吨D.600吨二、填空题(共25分)11、(5分)给出下列命题： ①若a b <，0c >，则c c a b<；②若110a b <<，则33a b >；③若a b >，则22a b >；④若33ac bc >，则a b >.其中正确命题的序号是___________.（填上所有正确的序号）12、(5分)对于实数x ，当1()n x n n ≤<+∈Z 时，规定[]x n =，若20a =，则[]a =________，不等式29[]0x x a -+<的解集为_______.13、(5分)若某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位:万元)与机器运转时间x (单位:年)的关系为()21825y x x x *=-+-∈N ,则当每台机器运转_________年时,年平均利润最大.14、(5分)已知二次函数2y ax bx c =++(a ,b ,c 均为正数)的图象过点(1,1),最小值为0,若实数λ满足1b -=则实数λ的取值范围为_______.15、(5分)若正数x y ，满足3xy x y =++，则x y +的取值范围是______． 三、解答题(共35分)16、(8分)已知,,a b c ∈R ，满足a b c >>. （1）求证：1110a b b c c a++>---； （2）现推广：把1c a -的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110pa b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出一个p ，并证明之.17、(9分)某工厂某种产品的月固定成本为10万元，每生产x 件，需另投入成本为C ，当月产量不足30件时，2112C x x =+（万元）.当月产量不小于30件时，10069020C x x =+--（万元）.每件商品售价为5万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.因设备问题，该厂月生产量不超过50件.（1）写出月利润L （万元）关于月产量x （件）的表达式；（2）当月产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获月利润最大？ 18、(9分)已知正数a ，b 满足23a b ab +=. （1）若1m a =，1n b=，求2m n +的值； （2）求2111a b +++的最大值. 19、(9分)已知函数()2|2||2|f x x x =-++的最小值为m . (1)求m ；(2)若正实数a ，b ，c 满足2a b c m ++=，求211a b c++的最小值.参考答案1、答案：C解析：168a b b a +≥=，当且仅当16a b b a =，即4a b =时取等号min 168a b ba ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，不等式2162a bx x b a+<+对任意a ，(0,)b ∈+∞恒成立，228x x ∴+<，42x ∴-<<，∴实数x 的取值范围是(4,2)-.故选：C. 2、答案：B 解析： 3、答案：D解析：本题考查基本不等式.因为0a b <<，2a b +=，所以22a b b +=<，可得1b >，2a b +=≥a b =时取等号）；因为0a b <<，所以等号不成立，则2<，可得01ab <<，222()22a b a b ++≥=（当且仅当a b =时取等号）；因为0a b <<，所以等号不成立，则222a b +>，而222(1)0a b b a b b +-=+->，所以22a b b +>.综上可得，四个数中最大的是22a b +.4、答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解集.由已知可得-3，2是方程250ax x b -+=的两根.由根与系数的关系可知5(3)2a -+=，(3)2ba-⨯=，所以5a =-，30b =，代入不等式250bx x a -+>，得2610x x -->，解得13x <-或12x >.5、答案：C解析：本题考查作差法比较大小.由题意，(1)(3)M x x =--，2(2)N x =-，则()222(1)(3)(2)434410M N x x x x x x x -=----=-+--+=-<，所以0M N -<，即M N <，故选C 项. 6、答案：D解析：设每生产1单位试剂的成本为y ,因为试剂总产量为x 单位,则由题意可知,原料总费用为50x 元,职工的工资总额为750020x +元,后续保养总费用为60030x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元,则25075002030600810040x x x x yx x x +++-+==++≥40220=，当且仅当8100x x=,即90x =时取等号,满足50200x ≤≤,所以要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为90单位.故选D.7、答案：C解析：根据题意得到,抛物线的顶点为(6,11),过点(4,7),图象开口向下,设二次函数的解析式为2(6)11(0)y a x a =-+<,所以27(46)11a =-+,解得1a =-,即2(6)11y x =--+,因为x *∈N ,所以2(6)112512122y x x x x x --+==--+≤-=,当且仅当25x x=,即5x =时取等号.故选C. 8、答案：B解析：因为函数2()21f x x tx =-+的图象的对称轴为直线x t =,所以函数2()21f x x tx =-+的单调递减区间为(],t -∞,又函数2()21f x x tx =-+在区间(,1]-∞上单调递减,所以1t ≥,所以01t -≥,|(1)1t t +=∣,由二次函数的对称性可知,在区间[0,1]t +上,max min ()(0),()()f x f f x f t ==,故要使对任意的12,[0,1]x x t ∈+,都有()()122f x f x ≤-|,只要max min ()()2f x f x ≤-,即(0)()2f f t ≤-,可得()221212t t -+≤-,解得t ≤≤又1t ≥,所以1t ≤≤故选B.9、答案：D解析：因为b 克糖水中含a 克糖,所以糖水的“甜度”为,再加入克糖,糖水的“甜度”为,因为糖水更甜了,所以.10、答案：C解析：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥=，当且仅当1800002x x=，即400x =时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每吨的平均处理成本最低. 11、答案：②解析：本题考查利用不等式的性质判断大小.①当0ab >时，c ca b<不成立，故①不正确； ②由110a b<<知0a b <-<-，所以33()()a b -<-，即33a b -<-， 所以33a b >，故②正确；③当1a =，2b =-，命题不成立，故③不正确； ④当0c <时，a b <，故④不正确. 12、答案：20，{45}x x <<∣解析：本题考查新定义及一元二次不等式的解集.由20[20]21≤<，得[][20]20a ==，则不等式化为29200x x -+<，解得45x <<，即不等式的解集为{45}x x <<∣. 13、答案：5解析：每台机器运转x 年的年平均利润为2518y x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,且0x >,由基本不等式得2510x x +≥=,当且仅当25x x=,即5x =时等号成立,故18108yx ≤-=,当且仅当5x =时等号成立,此时年平均利润最大.14、答案：2,)+∞解析：1a b c ++=，且2Δ4=0b ac =-，b ∴=1,1a c +=，21(121a b a c a a λ=-=+=+-=-，22λ∴==-，2111a c a b +=-=-<，即20a -<，0,1)0,01a a ∴∴<∴<<，01a ∴<<，22λ∴≥=，当且仅当=，即12a =时,等号成立.又∵当0a →时,2,)λ→+∞∴∈+∞. 15、答案：[6,)+∞ 解析：因为0,0x y >>，由均值不等式得：232x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 令x y t +=，则232t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭． 化简得24120t t --≥ 解得6t ≥或2t ≤-（舍去）， 所以x y +的取值范围为[6,)+∞. 故答案为：[6,)+∞.16、答案： (1)见解析(2) 见解析解析：(1) 证明 : 由 a b c >>，得 00a b b c ->->，，0a c ->, 要证1110a b b c c a++>--- ， 只要证 ()1110a c a b b c c a ⎛⎫-++> ⎪---⎝⎭ ，左边 ()()111a b b c a b b c c a ⎛⎫=-+-++⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭1130b c a b a b b c --=++≥+=>-- 当且仅当 a b b c -=-，即 2a c b +=时等号成立；(2)要使110pa b b c c a++>---, 只至至()110p a c a b b c c a ⎛⎫-++> ⎪---⎝⎭,左边 ()()11p a b b c a b b c c a ⎛⎫=-+-++⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭240b c a b p p a b b c --=-++->-- 则 4p < ，*p N ∈∴， 可取 2p =或 3取 2p =，问题转化为1120a b b c a c++>---. 证明如下 : 要证1120a b b c a c++>--- ， 只需证明 ()1120a c a b b c a c ⎛⎫-++> ⎪---⎝⎭，左边 ()()112a b b c a b b c a c ⎛⎫=-+-++⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭220b c a b b c a b b c a b ---=+⋅=>---当且仅当 a b b c -=-，即 2a c b +=时等号成立. 17、答案：（1）见解析（2）当月产量为30件时，月获利润最大.解析：（1）因为每件商品售价为5万元，所以x 件商品销售额为5x 万元， 依题意得，当030x <<时，22115104101212L x x x x x =---=-+-； 当3050x ≤≤时，100100569010802020L x x x x x =--+-=--+--. （2）当030x <<时，2141012L x x =-+-， 对称轴为24x =.即当24x =时，max 38L =（万元）；当3050x ≤≤时，10010080(20)6060402020L x x x x =--+=---+≤-=--， 当且仅当30x =时，max 40L =（万元）. 综上所述，当月产量为30件时，月获利润最大. 18、答案：（1）3 （2）见解析解析：（1）由23a b ab +=，可得123b a+=，则23n m +=.（2）由（1）得1a m =，1b n=， 则212213111111m n a b m n m n ⎛⎫+=+=-+ ⎪++++++⎝⎭2113[2(1)1]116m n m n ⎛⎫=-+⋅+++ ⎪++⎝⎭12(1)2(1)13353(561162m n n m ++⎡⎤=-⋅++≤-⋅+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当2(1)2(1)11m n n m ++=++中，即1a b ==时，等号成立. 19、答案：(1)4m =. (2)最小值为94+. 解析：(1)因为32,2,6,22,32, 2.()2|2||2|f x x x x x x x x x -+<-⎧⎪-=-++=+-≤≤⎨⎪->⎩可知()f x 在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增， 所以当2x =时，()f x 有最小值，最小值为4， 即4m =.(2)由(1)知4m =，可得24a b c ++=. 又a ，b ，c 为正实数， 所以2111211(2)4a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭14221221544b c a c a b a a b b c c ⎛⎛⎫=++++++++≥⨯+ ⎪ ⎝⎭⎝=当且仅当1627a b -==时，等号成立， 所以211a b c++.。
2019届苏教版(文科数学) 简易逻辑 单元测试
2019届苏教版（文科数学） 简易逻辑 单元测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分， 共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的)1．下列命题为真命题的是( ) A ．“若a ＝b ，则|a|＝|b|”的逆命题 B ．命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0<2”的否定C ．“面积相等的三角形全等”的否命题D ．“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题2．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧B ．∧qC ．∧ D ．p ∧q3．设动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 4．已知曲线y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处切线的斜率 ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则函数f (x )的单调递减区间为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1，2)D ．[2，＋∞)5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为3x ＋4y ＝0，则双曲线的离心率e ＝( )A.54B.53C.43D.456．双曲线y 2－3x 2＝9的渐近线方程为( ) A ．x ±3y ＝0 B ．x ±3y ＝0 C.3x ±y ＝0 D ．3x ±y ＝07．函数f (x )＝e x cos x 的图像在点(0，f (0))处切线的倾斜角的余弦值为( ) A ．－55 B.55C.22D ．1 8．若函数f (x )＝x 3－ax 2＋1在区间(0，2)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．0<a <3 B ．a ≥2 C ．a ≥3 D ．a ≤39．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (x )>0，xf ′(x )－f (x )<0，则对任意正数a ，b ，当a >b 时，下列不等式一定成立的是( )A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．af (a )<bf (b )D ．af (b )<af (a )10．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2x 在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围为( )A ．(－6，0)B ．(－6，－6) C.⎝⎛⎭⎫－72，0 D.⎝⎛⎭⎫－72，－6 11．若函数f (x )＝ x －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若||AB ＝10，||BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.45C.57D.67 请将选择题答案填入下表：二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．命题“若方程ax 2－bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根均大于0，则ac>0”的逆否命题是 ．14．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为 ．15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为 ．16．曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a ＝ ． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知命题p ：方程x 2m －3a ＋y 2m －4a ＝1(a>0)表示双曲线，命题q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆． (1)若命题q 为真命题，求m 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．(12分)已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎫2，22. (1)求椭圆方程；(2)设不过原点O 的直线l ：y ＝ x ＋m( ≠0)与该椭圆交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 的斜率依次为 1， 2，且满足4 ＝ 1＋ 2，求m 2的值．19.(12分)已知函数f(x)＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)求函数y ＝f(x)的单调性．20．(12分)已知函数f(x)＝12ax 2－ln x ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)讨论f (x )的单调性．(3)是否存在a ，使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21.(12分)从边长为2a 的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x 的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x 与底面正方形边长的比不超过正数t .(1)把铁盒的容积V 表示为关于x 的函数，并指出其定义域． (2)当x 为何值时，容积V 有最大值？图M1122．(12分)如图M12所示，已知抛物线C 1：x 2＝2py 的焦点在抛物线C 2：y ＝12x 2＋1上，点P 是抛物线C 1上的动点．(1)求抛物线C 1的方程及其准线方程；(2)过点P 作抛物线C 2的两条切线，M ，N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值．图M121．C [解析] 对于A ，向量的模相等，向量不一定相等，故A 为假命题；对于B ，命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0<2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x ≥2”，为假命题；对于C ，因为三角形全等，面积相等是真命题，结合逆命题与否命题是等价命题，所以“面积相等的三角形全等”的否命题是真命题；对于D ，A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，故D 为假命题．2．A [解析] 由题意知p 为真命题，q 为假命题，则为真命题，所以p ∧为真命题．3．D [解析] 由题意知c ＝5，a ＝3，∴b ＝4，∴点P 的轨迹方程是x 29－y 216＝1(x ≥3)．4．B [解析] 由导数的几何意义知，在(－∞，2]上f ′(x )≤0恒成立，故f (x )单调递减． 5．A [解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为3x ＋4y ＝0，∴b ＝34a ，∴c ＝a 2＋b 2＝54a ，∴e ＝c a ＝54.6．C [解析] 双曲线y 2－3x 2＝9化成标准方程为y 29－x 23＝1，所以渐近线方程为y 29－x 23＝0，化简得3x ±y ＝0.7．C [解析] ∵f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，∴f ′(0)＝1.设曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为α，则tan α＝1，∵α∈[0，π)，∴α＝π4，∴cos α＝22. 8．C [解析] ∵函数f (x )＝x 3－ax 2＋1在(0，2)内单调递减，∴f ′(x )＝3x 2－2ax ≤0在(0，2)内恒成立，即a ≥32x 在(0，2)内恒成立．∵32x <3，∴a ≥3.9．B [解析] 令g (x )＝f （x ）x ，∴g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2<0，∴函数g (x )在定义域内单调递减，∵a >b >0，∴g ()a <g ()b ，即f （a ）a <f （b ）b，进而可得bf (a )<af (b )．10．D [解析] 由函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2x ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋2.∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2x 在[0，2]上既有极大值也有极小值，∴f ′(x )＝0在(0，2)上有两个不同的实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）＝2>0，f ′（2）＝14＋4a >0，0<－a 3<2，f ′⎝⎛⎭⎫－a 3<0，解得－72＜a ＜－ 6.∴实数a 的取值范围是－72＜a ＜－ 6.11．D [解析] f ′(x )＝ －1x ＝kx －1x ，且x >0，由题可知f ′(x )≥0，即得 x －1≥0，得x ≥1k( <0时不满足)，因为函数f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以1k≤1，解得 ≥1.12．C [解析] 在△ABF 中，由余弦定理得|AF |2＝82＋102－2×8×10×45，解得|AF |＝6，由椭圆的对称性得B 到右焦点的距离也是6，由椭圆的定义知2a ＝6＋8＝14，又|AF |2＋|BF |2＝|AB |2，所以∠AFB ＝90°，所以c ＝|FO |＝12|AB |＝5(O 为坐标原点)，所以e ＝57.13．若ac ≤0，则方程ax 2－bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根不全大于014．44 [解析] 由题意可知，a ＝3，b ＝4，A 为双曲线的右焦点，|PQ |＝4b ＝16，则△PQF 的周长为|PQ |＋|PF |＋|QF |＝|PF |－|P A |＋|QF |－|QA |＋2|PQ |＝4a ＋8b ＝44.15.3x ±y ＝0 [解析] 依题意，抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，设P 点坐标为(x 0，y 0)，∵两曲线的一个交点为P ，且|PF |＝5，∴x 0＝3，y 0＝±26，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，解得a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0. 16．3 [解析] ∵y ＝e ax ，∴y ′＝a e ax ，∴y ′|x ＝0＝a ，则切线的斜率等于a ，∵直线x ＋3y ＋1＝0的斜率 ＝－13，由－13a ＝－1，得a ＝3.17．解：(1)∵命题q 为真命题，∴2－m ＞m －1＞0，∴1＜m ＜32.(2)方程x 2m －3a ＋y 2m －4a ＝1(a >0)表示双曲线，则(m －3a )(m －4a )＜0(a ＞0)，解得3a ＜m＜4a ，∵p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38.18．解： (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则由题意得⎩⎨⎧c a ＝32，2a 2＋12b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4 2＋1)x 2＋8 mx ＋4m 2－4＝0，令Δ＝64 2m 2－4(4 2＋1)(4m 2－4)>0，得m 2<4 2＋1( )，∴x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∴ 1＝y 1x 1， 2＝y 2x 2，则4 ＝1＋ 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝y 1x 2＋y 2x 1x 1x 2＝2kx 1x 2＋m （x 1＋x 2）x 1x 2＝2 －2km 2m 2－1，∴m 2＝12，满足( )式，故m 2＝12. 19．解：(1)∵f (x )＝ax 2＋b ln x ，∴f ′(x )＝2ax ＋b x ，∵f (x )在x ＝1处有极值12，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＝12，f ′（1）＝2a ＋b ＝0，解得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝（x ＋1）（x －1）x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴函数f (x )20．解：(1)当a ＝1时，f ′(x )＝x －1x ()x >0，∴f ′(1)＝0，f (1)＝12，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝12.(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －1x ＝ax 2－1x (x >0)．①当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝a a ⎝⎛⎭⎫－a a 舍去， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎫aa ，＋∞时，f ′(x )>0. 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫aa ，＋∞内单调递增． (3)存在a ∈(0，e 3)，使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根． 理由如下：由(2)可知，当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减， 方程f (x )＝2不可能有两个不等的实数根； 当a >0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫aa ，＋∞内单调递增， 使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根， 等价于函数f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫a a <2，即f ⎝⎛⎭⎫a a ＝12＋12ln a <2，解得0＜a ＜e 3，∴a 的取值范围是(0，e 3)．21．解：(1)V ＝x ()2a －2x 2＝4()a －x 2x .∵x 2a －2x ≤t ，∴0＜x ≤2at1＋2t，∴函数V ＝4x ()a －x 2的定义域为⎝⎛⎦⎤0，2at 1＋2t .(2)由(1)得V ′＝4(x －a )(3x －a )，由V ′＞0，得0＜x ＜a3或x ＞a ，此时V (x )为增函数；由V ′＜0，得a 3＜x ＜a ，此时V (x )为减函数．显然2at1＋2t＜a .①当a 3≤2at 1＋2t ，即t ≥14时，当x ＝a 3时，V 有最大值；②当2at 1＋2t ＜a 3，即0＜t ＜14时，当x ＝2at 1＋2t时，V 有最大值．22．解：(1)C 1的焦点为⎝⎛⎭⎫0，p 2，所以p2＝0＋1，得p ＝2.故C 1的方程为x 2＝4y ，其准线方程为y ＝－1.(2)设P (2t ，t 2)，M ⎝⎛⎭⎫x 1，12x 21＋1，N ⎝⎛⎭⎫x 2，12x 22＋1，则PM 的方程为y －⎝⎛⎭⎫12x 21＋1＝x 1(x －x 1)，将P 点坐标代入得t 2＝2tx 1－12x 21＋1，即x 21－4tx 1＋2t 2－2＝0，同理得x 22－4tx 2＋2t 2－2＝0.MN 的方程为y －⎝⎛⎭⎫12x 21＋1＝12x 21＋1－⎝⎛⎭⎫12x 22＋1x 1－x 2(x －x 1)，即y －⎝⎛⎭⎫12x 21＋1＝12(x 1＋x 2)(x －x 1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－4tx 1＋2t 2－2＝0，x 22－4tx 2＋2t 2－2＝0，得x 1＋x 2＝4t ，12x 21－2tx 1＝1－t 2，所以直线MN 的方程为y ＝2tx ＋2－t 2.于是d ＝|4t 2－t 2＋2－t 2|1＋4t 2＝2（1＋t 2）21＋4t 2.令s ＝1＋4t 2(s ≥1)，则d ＝12s ＋9s ＋6≥126＋6＝3(当且仅当s ＝3时取等号)，所以d 的最小值为 3.。
第3章-不等式(含解析)高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试
第3章 不等式——高中数学苏教版(2019)必修第一册课时优化训练一、选择题1．已知2246a b +=，则ab 的最大值为( )D.32．如果0a b <<,那么下列不等式中成立的是( )1< B.2a >21a <1b<3．已知正实数a,b 满足3a b ab +=,则4a b +的最小值为( )4．下列结论中正确的是( )A.若ac bc >,则a b > B.若22a b >,则a b >>>1b>,则a b >5．如果0a <，10b -<<，那么下列不等式成立的是( )A.2a ab ab >> B.2ab ab a>> C.2ab a ab >> D.2ab ab a >>6．一元二次不等式2144x x -≥的解集为( )A.724x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ B.{|2x x ≤-或7}4x ≥C.724x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D.{|x x ≤2}≥22y+=,则xy 的最小值为( )8．数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设一个三角形的三边长分别为a ,b ,c ,三角形的面积S 可由公式S =式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为12,4a =,则此三角形面积的最大值为( )A.4B.二、多项选择题9．已知不等式220ax x c ++>的解集为1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则下列选项正确的是( )A.12a =-B.12c =-C.2c =D.2a =10．若正实数x ,y 满足21x y +=,则下列说法正确的是( )A.+C.24x y +(1y +11．设正实数a ，b 满足1a b +=，则( )B.abD.3a b +三、填空题12．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金,售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5g 的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.则顾客实际得到的黄金_______10g （填>、<或=）杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂13．已知正实数a ,b 满足1ab b -+=4b 的最小值是______________.14．已知0x y >>,则2x +四、解答题15．利用基本不等式求下列式子的最值：(1)若0x >,求x(2)已知x ,0y >,且41x y +=,求xy 的最大值;(3)若0x <<(32)x x -的最大值.16．比较下列各题中两个代数式值的大小.(1)()221x +与421x x ++;)0a b >>.17．解下列问题：(1)若不等式230ax bx ++>的解集为3{|}1x x <<-,求a ,b 的值;(2)若1a b +=,0a >,b >18．已知0a >,0b >.（1）求a b ++（2）若a b +=1b+的最小值.19．已知()460a b ab +=>228lg 99a b m b a+->恒成立,求m 的取值范围.参考答案1．答案：B解析：由题意得，()222262422a b a b a b =+≥⋅+⋅=，即32ab ≤，当且仅当2a b =，即a ====时等号成立，所以故选：B.2．答案：B解析：对于A ：由a b <<1bb>=,错误;对于B ：由0a b <<,则有a a a b ⋅>⋅,即2a ab >,正确;对于C ：由0a b <<得0a b ->->,则根据不等式的性质有22()()0a b ->->,即22a b >,由22a b >21b<,错误;对于D ：由0a b <<得ab ><>故选：B.3．答案：C13b=,1111414(4)553333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝,当且仅当21a b ==时取等号.故选：C.4．答案：C解析：当1a =,2b =,1c =-时满足ac bc >,可得a b <,A 选项错误;当2a =-,1b =-,22a b >可得a b <,B 选项错误;0>≥,由不等式乘法性质可得a b >,C 选项正确;当1a =,2b =>b <,D 选项错误.故选：C.5．答案：D解析：由选项可知，仅需要比较a ，ab ，2ab 三个数的大小，显然，0a <，0ab >，20ab <，所以ab 最大，由10b -<<可得，201b <<，所以22(1)0ab a a b -=->，即2ab a >，可得2ab ab a >>.故选：D.6．答案：A解析：不等式2144x x -≥化为24140x x +-≤,即(2)(47)0x x +-≤,解得2x -≤≤所以原不等式的解集为7{|2}4x x -≤≤.故选：A.7．答案：B22y+=,则122x y =+=≥,则2xy ≥,=1x =,2y =时等号成立,所以xy 的最小值为2.故选：B.8．答案：C解析：由题意得8b c +=,6p =,则)66S b c ==≤-+-=当且仅当4b c ==时,等号成立,此时三角形的面积有最大值,且最大值为故选：C.9．答案：AC解析：由于不等式220ax x c ++>的解集为1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,所以x ==220x c ++=的两个实数根,故1132-+=1132⨯=12=-,2c =,故选：AC.10．答案：ABC解析：对于A ：因为21x y +=≥xy ≤x y =,即x =12y =时取等号,故A 正确,()42428666x y x y x y y x y y x +++=+=++≥=+=即x =2y =≤,则22142x y +≥,当且仅当2x y =,即14x =,y =号,故C 正确,对于D ：因为()()()22111121222x y x y x y ++⎡⎤+=⨯+≤⨯=⎢⎥⎣⎦当且仅当21x y =+,即x =0y =时取等号,这与x ,y 均为正实数矛盾,故D 错误,故选：ABC.11．答案：BD解析：正实数a ，b 满足1a b +=，即有a b +≥可得0ab <≤≤===≤=由()()3322222()313a b a b a b ab a b ab a b ab ab +=++-=+-=+-=-≥综上可得BD 均正确.12．答案：>解析：由于天平两臂不等长,可设天平左臂长为a ,右臂长为b ,则a b ≠,再设先称得黄金为xg ,后称得黄金为yg ,则5bx a =,5ay b =,x ∴=y =5555a b a b xy b a b a ⎛⎫∴+=+=+≥⨯= ⎪⎝⎭=b =时等号成立,但a b ≠,等号不成立,即10x y +>.因此,顾客购得的黄金大于10g .故答案为：>.13．答案：9解析：0a > ,0b >,10ab b -+=,11b a ∴=>-14b a+=设0x a =>,10y a =->,可得1x y +=,144b x y =+()14x y x y ⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭4559y xx y =++≥+=,当2y =4b +的最小值是9,故答案为：9.14．答案：12解析：()()2222992x x x y x yy x y +≥+=+-+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2y =的时候取“=”,212x ≥=,当且仅当x =”.综上,当2x y ==”条件成立,此时最小值为12.故答案为:12.15．答案：(1)4,2x =;解析：(1)44x x +≥=,当且仅当2x =时取等,故最小值为4,此时2x =;(2)()()214414421444y y y y xy y y -+⎛⎫ ⎪-⋅⎝⎭=-=≤=y =x =故(3)()()2232432223222x x xx x x +-⎛⎫-=⋅-≤= ⎪⎝⎭=.16．答案：(1)()224211x x x +≥++a b a b->+解析：(1)()()()224242422112110x x x x x x x x +-++=++-++=≥,()224211x x x ∴+≥++.()()()()()()()()22222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b ab -+-+-=-=+++++0a b >> ,20ab∴>,0a b ->,0a b +>,220a b +>,0>,2222a b a b -∴>+17．答案：(1)12a b =-⎧⎨=⎩(2)9解析：(1) 不等式230ax bx ++>的解集为3{|}1x x <<-,∴-1和3是方程230ax bx ++=的两个实根,∴309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩;(2) 1a b += 又0a >,0b >,∴()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立,4b的最小值为9.18．答案：（1）4（2）8解析：（1）因为0a >,0b >,所以4a b ++≥≥=,当且仅当,a b=⎧⎪⎨=⎪⎩即1a b ==时等号成立,所以a b ++（2）因为0,0,1a b a b >>+=,()1191121ab b a b ⎛⎫+=+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭191110108212b a a b ⎛+⎛⎫=++≥+= ⎪ +⎝⎭⎝.当且仅当1,91,1a bb a a b +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩即a b ==+19．答案：(1)证明见解析;(2)(0,10).解析：(1)由46a b +=,0ab >,得0a >,0b >,则6≥=≤4b ==;11111141(4)(5(5666a b b a a b ab a b a b a b +=+=++=++≥+==2b ==(2)由(1)知,46a b +=,0a >,0b >,222222222228(4)8181689999999999a b a b a b ab b a b b a a b a a a b a++-=+-=+++-222211619999b a a b =++≥+==22b ==时取等号,229a b +1m <,解得010m <<,所以m 的取值范围为(0,10).。
第3章 不等式 达标检测高一数学苏教版(2019)必修第一册
新高一2021本章达标检测一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,b,c,d∈R,则下列不等式恒成立的是( )A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若a>b,则ac2>bc2C.若a>b>0,则(a-b)c>0D.若a>b,则a-c>b-c2.关于x的不等式x2-2x+3≤a2-2a-1的解集是⌀,则实数a的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(0,3)D.(-∞,0)∪(3,+∞)3.设0<a<b,则下列不等式正确的是( )A.a<b<√ab<a+b2B.a<√ab<a+b2<bC.a<√ab<b<a+b2D.√ab<a<a+b2<b4.“a>0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.已知x>0,y>0,且1x+3+1y=12,则x+y 的最小值为( )A.5B.6C.7D.86.不等式组{x 2-1<0,x 2-3x <0的解集为( )A.{x|-1<x<1}B.{x|0<x<3}C.{x|0<x<1}D.{x|-1<x<3}7.若正数a,b 满足ab=2(a+b)+5,设y=(a+b-4)(12-a-b),则y 的最大值是( ) A.12 B.-12 C .16 D.-168.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当xyz 取得最大值时,2x +1y −2z的最大值是( )A.0B.1C.94D.3二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知不等式ax 2+bx+c>0的解集为{x|−12<x <2},则下列结论正确的是( ) A.a>0 B .b>0 C.c>0 D .a+b+c>010.若a,b,c 为实数,且a<b<0,则下列不等式错误的有( )A.ac2<bc2B.1a <1bC.ba >abD.ab>b211.给出下列四个条件:①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<1x <1y.其中能成为x>y的充分条件的是( )A.①B.②C.③D.④12.若关于x的方程x2-(m-1)x+2-m=0的两根为正数,则m的取值可以是( )A.-1-2√2B.-1+2√2C.1.9D.1.99三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知a>b,a-1a >b−1b同时成立,则ab应满足的条件是.14.若不等式ax2+5x+c>0的解集为{x|13<x<12},则a= ,c= .(本小题第一个空2分,第二个空3分)15.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m 的取值范围是.16.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使a x02+2x0+b=0成立,则a 2+b2a-b的最小值为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知命题p:A={x|x2-4x+3≤0},q:B={x|(x-a)(x-a2-1)≤0}.(1)若a=-1,求集合B;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18.(本小题满分12分)(1)已知x>2,求3x+1x-2的最小值;(2)已知a>0,b>0,且1a +2b=2,求a+b的最小值.19.(本小题满分12分)已知命题p:∀x∈R,x2+2m-3>0.命题q:∃x∈R,x2-2mx+m+2<0.(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;(3)若命题p,q至少有一个为真命题,求实数m的取值范围.20.(本小题满分12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB的长为3米,AD 的长为2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.21.(本小题满分12分)设y=ax2+(1-a)x+a-2.(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1(a∈R).22.(本小题满分12分)某厂家拟在2020年对某产品举行促销活动,经调查,该产(k 品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-km+1为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2020年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?答案全解全析本章达标检测一、单项选择题1.D当c<0,b>0时,A不一定成立;当c=0时,B不成立;当c≤0时,C不成立;由不等式的性质知D成立.故选D.2.A原不等式变形得x2-2x-a2+2a+4≤0,∵原不等式的解集为⌀,∴Δ=4-4(-a2+2a+4)<0,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.3.B 因为0<a<b,所以√ab <a+b 2,因为a 2-(√ab )2=a(a-b)<0, 所以a<√ab .由b 2-(√ab )2=b(b-a)>0得√ab <b. 又b-a+b 2=b -a 2>0,所以a+b 2<b.综上可得a<√ab <a+b 2<b.4.B 由一元二次不等式ax 2+bx+c>0恒成立,知a>0且Δ=b 2-4ac<0. 反之,当a>0时,ax 2+bx+c>0不一定恒成立.故选B.5.A ∵x>0,∴x+1>0, 由1x+3+1y=12,得y=2x+6x+1,∴x+y=x+2x+6x+1=x +2(x+1)+4x+1=x +2+4x+1=(x +1)+4x+1+1≥2√(x +1)·4x+1+1=5,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立,∴x+y 的最小值为5.6.C 由{x 2-1<0,x 2-3x <0得{-1<x <1,0<x <3,所以0<x<1,即原不等式组的解集为{x|0<x<1}.7.A ∵ab=2(a+b)+5,∴a+b=ab -52,∵a>0,b>0,∴a+b=ab-52≥2√ab,当且仅当a=b=5时,等号成立,解得ab≥25, ∵y=(a+b-4)(12-a-b)=(ab-52-4)(12−ab-52)=-14(ab-21)2+16, ∴y max=12.故选A.8.B由题意得xyz =xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤14−3=1,当且仅当x=2y时,等号成立,此时z=2y2.故2x +1y−2z=−1y2+2y=−(1y-1)2+1≤1,当且仅当y=1时,等号成立,故所求的最大值为1.二、多项选择题9.BCD因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2),所以相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;易知2和-12是方程ax2+bx+c=0的两个根,则有ca =2×(-12)=−1<0,−ba=2+(-12)=32>0,又a<0,所以b>0,c>0,故B,C正确;因为ca=-1,所以a+c=0,又b>0,所以a+b+c>0,故D正确.故选BCD.10.ABC当c2=0时,ac2<bc2不成立,故A中不等式错误;因为a<b<0,所以1a >1b,ba<1,ab>1,所以ba <ab,故B,C中不等式错误;因为a<b<0,所以|a|>|b|,所以ab=|a||b|>|b|2=b2,即ab>b2,故D中不等式正确. 故选ABC.11.AD ①由xt 2>yt 2可知,t 2>0,所以x>y, 因此xt 2>yt 2是x>y 的充分条件.②由xt>yt 不能确定t 的符号,因此不能确定x 与y 的大小,故xt>yt 不是x>y 的充分条件.③令x=-2,y=1,满足x 2>y 2,但x<y,因此x 2>y 2不是x>y 的充分条件. ④由0<1x<1y可得,x>0,y>0,1x−1y<0,即y -x xy<0,所以y-x<0,所以x>y.因此0<1x<1y是x>y 的充分条件.故选AD.12.BCD 若方程的两根为正数,则{Δ≥0,m -1>0,2−m >0,∴{m 2+2m -7≥0,m >1,m <2,解得-1+2√2≤m<2.故选BCD. 三、填空题13.答案 ab<-1或ab>0解析 因为a-1a >b −1b ,所以(a -1a )−(b -1b )=(a -b)(ab+1)ab>0.又a>b,即a-b>0,所以ab+1ab>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab<-1或ab>0.14.答案 -6;-1解析 由题意知a<0,且不等式对应方程的两个根分别为13,12,根据根与系数的关系得{-5a =13+12,c a=13×12,解得{a =−6,c =−1.15.答案 {m|1≤m<19}解析 ①当m 2+4m-5=0时,m=-5或m=1.若m=-5,则函数化为y=24x+3,其对任意实数x 不可能恒大于0; 若m=1,则y=3>0恒成立.②当m 2+4m-5≠0时,根据题意得,{m 2+4m -5>0,16(1−m)2-12(m 2+4m -5)<0,∴{m <−5或m >1,1<m <19,解得1<m<19. 综上可知,1≤m<19. 16.答案 2√2解析 已知不等式ax 2+2x+b ≥0对一切实数x 恒成立, 当a=0时,2x+b ≥0不一定成立,不符合题意; 当a ≠0时,依题意知{a >0,4−4ab ≤0⇒{a >0,ab ≥1.又存在x 0∈R ,使a x 02+2x 0+b=0成立,∴4-4ab ≥0⇒ab ≤1, 因此ab=1,又a>0,∴b>0. 又∵a-b>0,∴a 2+b 2a -b=(a -b)2+2aba -b=a −b +2a -b≥2√2,当且仅当a-b=√2,即a=√6+√22,b =√6-√22时,等号成立. 四、解答题17.解析 (1)当a=-1时,B={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x ≤2}.(3分)(2)A={x|(x-1)(x-3)≤0}={x|1≤x ≤3}.(4分) ∵a 2+1-a=(a -12)2+34>0,∴a 2+1>a,∴B={x|a ≤x ≤a 2+1}.(5分) ∵p 是q 的充分不必要条件, ∴A 是B 的真子集,(6分) ∴{a ≤1,a 2+1>3或{a <1,a 2+1≥3,(8分) 解得a ≤-√2.(10分)18.解析 (1)∵x>2,∴x-2>0,∴3x+1x -2=3(x −2)+1x -2+6≥2√3+6,(4分)当且仅当x=√33+2时,等号成立,(5分) 所以3x+1x -2的最小值为2√3+6.(6分)(2)因为1a+2b=2,所以12a +1b =1,(7分)所以a+b=(a+b)(12a+1b )=12+b2a +ab +1≥3+2√22,(10分)当且仅当a=√2+12,b =2+√22时,等号成立,所以a+b的最小值为3+2√22.(12分)19.解析 (1)若命题p 为真命题,则x 2>3-2m 恒成立,因此3-2m<0,解得m>32. 因此,实数m 的取值范围是{m|m >32}.(4分)(2)若命题q 为真命题,则Δ=(-2m)2-4(m+2)>0,即m 2-m-2>0,解得m<-1或m>2.因此,实数m 的取值范围是{m|m<-1或m>2}.(8分)(3)若命题p,q 至少有一个为真命题,则结合(1)(2)得m ∈{m|m >32}∪{m|m<-1或m>2}={m|m <−1或m >32}.(12分)20.解析 (1)设DN 的长为x(x>0)米,则AN 的长为(x+2)米. ∵DN AN=DC AM,∴AM=3(x+2)x,∴S 矩形AMPN=AN ·AM=3(x+2)2x.由S 矩形AMPN >32,得3(+2)2x>32,(3分)又x>0,∴3x 2-20x+12>0, 解得0<x<23或x>6,(5分)即DN 的长的取值范围是0,23∪(6,+∞)米.(6分)(2)设矩形花坛AMPN 的面积为y 平方米,则y=3(x+2)2x=3x 2+12x+12x=3x +12x+12≥2√3x ·12x +12=24,(8分)当且仅当3x=12x,即x=2(负值舍去)时,等号成立,此时y 取得最小值24.(10分) 故DN 的长为2米时,矩形花坛AMPN 的面积最小,最小为24平方米.(12分) 21.解析 (1)ax 2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x 恒成立等价于ax 2+(1-a)x+a ≥0对一切实数x 恒成立.当a=0时,不等式可化为x ≥0,不满足题意;(3分) 当a ≠0时,由题意得{a >0,(1-a)2-4a 2≤0,解得a ≥13.(5分)所以实数a 的取值范围是{a|a ≥13}.(6分)(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1等价于ax2+(1-a)x-1<0.当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1};(7分)当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-1a<1,所以不等式的解集为{x|-1a<x<1};(8分)当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,①当a=-1时,-1a=1,不等式的解集为{x|x≠1};(9分)②当-1<a<0时,-1a >1,不等式的解集为{x|x<1或x>−1a};(10分)③当a<-1时,-1a <1,不等式的解集为{x|x<−1a或x>1}.(11分)综上所述,当a<-1时,不等式的解集为{x|x<−1a或x>1};当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-1<a<0时,不等式的解集为{x|x<1或x>−1a};当a=0时,不等式的解集为{x|x<1};当a>0时,不等式的解集为{x|-1a<x<1}.(12分)22.解析(1)由题意知,当m=0时,x=1,∴1=3-k⇒k=2,∴x=3-2m+1,(2分)每件产品的销售价格为1.5×8+16xx(万元),∴y=1.5x·8+16xx-8-16x-m=-[16m+1+(m+1)]+29(m≥0).(6分)(2)∵m≥0,∴16m+1+(m+1)≥2√16=8,当且仅当16m+1=m+1,即m=3时,等号成立,(8分)∴y≤-8+29=21,∴y max=21.(10分)故该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大为21万元.(12分)。
2019届苏教版(文科数学) 数学文化 单元测试
【2018高三数学各地优质一模试题分项精品】一、选择题1. 【2018江西南昌高三一模】欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。
根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A2. 【2018辽宁朝阳高三一模】《九章算术》是我国古代内容即为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有刍凳，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问积几何？”其意思为“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽丈，长丈，上棱长丈，高丈，问它的体积是多少？”已知丈为尺，该锲体的三视图如图所示，在该锲体的体积为（）A. 立方尺B. 立方尺C. 立方尺D. 立方尺【答案】A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的四棱锥的体积由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺．故选A．【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．3. 【2018辽宁瓦房店高三一模】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺,问积几何?”其意思为“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A. 平方尺B. 平方尺C. 平方尺D. 平方尺【答案】B4. 【2018贵州黔东南高三一模】我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（）A. 3步 B. 6步 C. 4步 D. 8步【答案】B【解析】由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为，设其内切圆半径为，则有 (等积法)，解得，故其直径为(步)，故选B．5. 【2018福建南平高三质检一】公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面枳，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据，)A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B6. 【2018四川德阳高三二诊】《九章算术》是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中表示除以的余数，例如.若输入的值为8时，则输出的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B7.【2018北京朝阳区高三一模】庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”）.今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下甲说“我或乙能中奖”；乙说“丁能中奖”；丙说“我或乙能中奖”；丁说“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】由四人的预测可得下表预测结果中奖人甲乙丙丁甲✔✖✖✖乙✔✖✔✔丙✖✖✔✔丁✖✔✖✔1.若甲中奖,仅有甲预测正确,符合题意;2.若乙中奖,甲、丙、丁预测正确,不符合题意;3.若丙中奖,丙、丁预测正确,不符合题意;4.若丁中奖,乙、丁预测正确,不符合题意;故只有当甲中奖时,仅有甲一人预测正确,选.8.【2018广东高三一模】大衍数列，于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A.是偶数，B.是奇数，C.是偶数，D.是奇数，【答案】D9. 【2018山西省高三一模】《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为边,将图形补形为长方体,长方体外接球即阳马的外接球,长方体的对角线为球的直径,即,故球的表面积为.选B.10.【2018安徽芜湖高三一模】“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】D11. 【2018甘肃兰州高三一模】刘徽《九章算术注》记载“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12. 【2018山东聊城高三一模】我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设两条直角边为,故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边长为,故概率为.13. 【2018内蒙古包头高三一模】《九章算术》中的“竹九节”问题现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则该竹子最上面一节的容积为（）A.升B. 升C. 升D. 升【答案】C【解析】设竹子自上而下各节的容积分别为，且为等差数列，根据题意得，即 ，解得，即最上面一节的容积为升，故选C ．14．【2018云南保山高三第二次统测】我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题 “有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是 有一个空心金球，它的直径12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是多少斤？（注3π≈）（ ）A. 125.77B. 864C. 123.23D. 369.69 【答案】C15．【2018百校联盟高三3月联考】我国古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题 “今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？”意思是 有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为54尺，则圆锥形的高约为多少尺？（注 1斛 1.62≈立方尺， 3π≈）若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为（ ）A. 5尺B. 9尺C. 10.6尺D. 21.2尺 【答案】D【解析】因为250斛250 1.62=⨯立方尺，设圆锥形的高为h 尺，底面半径为r 尺，则254,9r r π=∴=，因此21250 1.6239,53h h ⨯=⨯⨯⨯⇒=，设球的半径为R ，则()22295R R =+-，可得10.6R =（尺），221.2R ∴=（尺），故选D. 16．【2018江西高三二模】欧阳修的《卖油翁》中写道“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）A.49πB.14πC.19πD.116π【答案】B17．【2018湖南永州高三二模】我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n填入n n⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如在3阶幻方中，315N=)，则10N=（）A. 1020B. 1010C. 510D. 505 【答案】D【解析】n阶幻方共有2n个数，其和为()222112...,2n nn n++++=阶幻方共有n行，∴每行的和为()()2221122n nn nn++=，即()()2210110101,50522nn nN N+⨯+=∴==，故选D.18．【2018吉林普通高中二调】《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。
2019年高中数学 第3章 不等式单元测试(A)苏教版必修5
2019年高中数学 第3章 不等式单元测试（A ）苏教版必修5一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝(x ＋4)(x ＋6)，则A 、B 的大小关系为________．2．原点和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 两侧，则a 的取值范围是________．3．不等式1x <12的解集是____________． 4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－14，则a ＋b 等于________． 5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为________．6．若不等式x 2＋px ＋q <0的解集是{x |1<x <2}，则不等式x 2＋px ＋q x 2－x ＋6≥0的解集是________． 7．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________． 8．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为_______________________________．9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>02x 2＋5＋2k x ＋5k <0的整数解只有－2，则k 的取值范围是________． 10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．11．如果a >b ，给出下列不等式：①1a <1b ；②a 3>b 3；③a 2>b 2；④2ac 2>2bc 2；⑤a b>1；⑥a 2＋b 2＋1>ab ＋a ＋b . 其中一定成立的不等式的序号是________．12．若x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．13．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则y x －1的取值范围是________． 14．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}．(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .16．(14分)解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.17．(14分)证明不等式：a，b，c∈R，a4＋b4＋c4≥abc(a＋b＋c)．18．(16分)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？19．(16分)设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两实根x1，x2，且0<x1<1<x2<2，求a的取值范围．20．(16分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．第3章 不等式(A)答案1．A <B2．0<a <23．(－∞，0)∪(2，＋∞)解析 1x <12⇔1x －12<0⇔2－x 2x <0⇔x －22x>0⇔x <0或x >2. 4．－13解析 ∵－2和－14是ax 2＋bx －2＝0的两根． ∴⎩⎨⎧ －2＋⎝⎛⎭⎫－14＝－b a －2×⎝⎛⎭⎫－14＝－2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝－9. ∴a ＋b ＝－13.5．10解析 画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝4x ＋2y 可转化为y ＝－2x ＋z 2， 作出直线y ＝－2x 并平移，显然当其过点A 时纵截距z 2最大． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＝1得A (2,1)， ∴z max ＝10.6．{x |x ≥2或x ≤1}解析 x 2＋px ＋q x 2－x ＋6≥0⇔x －1x －2x 2－x ＋6≥0⇔x －1x －2x 2－x ＋6≥0. ∴不等式的解集为{x |x ≥2或x ≤1}．7．8解析 因为函数y ＝log a (x ＋3)－1，当x ＋3＝1时，函数值y 恒等于－1，所以A (－2，－1)．又因为点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，所以2m ＋n ＝1.所以1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n， 又因为mn >0，即n m >0，4m n>0. 所以1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n ≥8(当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号)．8.14 解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14. 9．－3≤k <2解析 x 2－x －2>0⇔x <－1或x >2.2x 2＋(5＋2k )x ＋5k <0⇔(2x ＋5)(x ＋k )<0.在数轴上考察它们的交集可得－3≤k <2.10. (－4,2)解析 作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a 2<2， 即－4<a <2.11．②⑥解析 ①若a >0，b <0，则1a >1b，故①不成立； ②∵y ＝x 3在x ∈R 上单调递增，且a >b .∴a 3>b 3，故②成立；③取a ＝0，b ＝－1，知③不成立；④当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0,2ac 2＝2bc 2，故④不成立；⑤取a ＝1，b ＝－1，知⑤不成立；⑥∵a 2＋b 2＋1－(ab ＋a ＋b )＝12[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]>0， ∴a 2＋b 2＋1>ab ＋a ＋b ，故⑥成立．12．18解析 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x ，∵x >0，y >0，∴x －8>0，得到y ＝2x x －8， 则μ＝x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋2x －16＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2x －8·16x －8＋10＝18，当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12，y ＝6时取“＝”． 13．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 可行域如图阴影，y x －1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得y x －1>1或y x －1<－1. 14．8解析 这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v 202v ＝400v ＋16v 400≥2 400v ×16v 400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时等号成立，此时t ＝8小时． 15．解 (1)由题意知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎨⎧ 1－a <041－a＝－261－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32. ∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.16．解 原不等式可化为(7x ＋a )(8x －a )<0，即⎝⎛⎭⎫x ＋a 7⎝⎛⎭⎫x －a 8<0. ①当－a 7<a 8，即a >0时，－a 7<x <a 8； ②当－a 7＝a 8，即a ＝0时，原不等式解集为∅； ③当－a 7>a 8，即a <0时，a 8<x <－a 7. 综上知，当a >0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－a 7<x <a 8； 当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |a 8<x <－a 7. 17．证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2c 2a 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.又a 2b 2＋b 2c 2≥2ab 2c ，b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2，c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc .∴2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2(ab 2c ＋abc 2＋a 2bc )，即a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )．∴a 4＋b 4＋c 4≥abc (a ＋b ＋c )．18．解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8， 得x ＝4，y ＝6，此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．∵7>0，∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值．答 投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．19．解 设f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2.因为x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根，且0<x 1<1,1<x 2<2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0，f 1<0，f 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －2>0，7－a ＋13＋a 2－a －2<0，28－2a ＋13＋a 2－a －2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －2>0，a 2－2a －8<0，a 2－3a >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a <－1或a >2，－2<a <4，a <0或a >3⇒－2<a <－1或3<a <4.所以a 的取值范围是{a |－2<a <－1或3<a <4}．20．解 (1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 台，则共需分36x批，每批价值20x .由题意f (x )＝36x·4＋k ·20x ， 由x ＝4时，y ＝52，得k ＝1680＝15. ∴f (x )＝144x＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)． (2)由(1)知f (x )＝144x＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)． ∴f (x )≥2144x ·4x ＝48(元)．当且仅当144x＝4x ， 即x ＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．.。
苏教版2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：一集合、逻辑用语、不等式等专题能力训练1(含答案)
专题能力训练1集合与常用逻辑用语一、能力突破训练1.若命题p:∀x∈R,cos x≤1,则p为()A.∃x0∈R,cos x0>1B.∀x∈R,cos x>1C.∃x0∈R,cos x0≥1D.∀x∈R,cos x≥12.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数3.(2018全国Ⅰ,文1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=()A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}4.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=()A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}5.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设m∈R,命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()A.若关于x的方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若关于x的方程x2+x-m=0有实根,则m≤0C.若关于x的方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若关于x的方程x2+x-m=0没有实根,则m≤07.(2018北京,文4)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.下列命题正确的是()A.∃x0∈R,+2x0+3=0B.∀x∈N,x3>x2C.“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件D.若a>b,则a2>b29.已知命题p:∃x0∈R,x0-2>lg x0,命题q:∀x∈R,e x>1,则()A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∧(q)是真命题D.命题p∨(q)是假命题10.命题“若x>0,则x2>0”的否命题是()A.若x>0,则x2≤0B.若x2>0,则x>0C.若x≤0,则x2≤0D.若x2≤0,则x≤011.设p:<0,q:0<x<m,若p是q成立的充分不必要条件,则m的取值范围是.12.已知集合A={y|y=log2x,x>1},B=,x>1,则A∩B=.13.能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.二、思维提升训练14.已知p:函数f(x)=|x+a|在区间(-∞,-1)内是单调函数,q:函数g(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)内是增函数,则p成立是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.(2018天津,文1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}16.“对任意x∈,k sin x cos x<x”是“k<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题D.命题“∃x0∈R,使得+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1<0”18.下列命题中的真命题是()A.∃x0∈R,使得≤0B.sin2x+≥3(x≠kπ,k∈Z)C.函数f(x)=2x-x2有两个零点D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件19.下列命题正确的是.(填序号)①若f(3x)=4x log23+2,则f(2)+f(4)+…+f(28)=180;②函数f(x)=tan 2x图象的对称中心是(k∈Z);③“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R,+1>0”;④设常数a使方程sin x+cos x=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=.20.设p:关于x的不等式a x>1的解集为{x|x<0},q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则a的取值范围是.专题能力训练1集合与常用逻辑用语一、能力突破训练1.A解析由全称命题的否定得,p:∃x0∈R,cos x0>1,故选A.2.B3.A4.A解析由已知可得A∪B={1,3,4,5},故∁U(A∪B)={2,6}.5.A解析菱形的对角线互相垂直,对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.故选A.6.D解析原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件,所以其逆否命题为“若关于x的方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.7.B解析ad=bc⇒/a,b,c,d成等比数列,例如1×9=3×3;a,b,c,d成等比数列⇒⇒ad=bc.故选B.8.C解析+2x0+3=(x0+1)2+2>0,选项A错;x3-x2=x2(x-1)不一定大于0,选项B错;若x>1,则x2>1成立,反之不成立,选项C正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但a2>b2不成立,选项D错,故选C.9.C解析因为命题p:∃x0∈R,x0-2>lg x0是真命题,而命题q:∀x∈R,e x>1是假命题,所以由命题的真值表可知命题p∧(q)是真命题,故选C.10.C解析命题的条件的否定为x≤0,结论的否定为x2≤0,则该命题的否命题是“若x≤0,则x2≤0”,故选C.11.(2,+∞)解析由<0,得0<x<2.∵p是q成立的充分不必要条件,∴(0,2)⫋(0,m),∴m>2.12.解析由已知,得A={y|y>0},B=,则A∩B=.13.-1,-2,-3(答案不唯一)解析答案不唯一,如令a=-1,b=-2,c=-3,则a>b>c,而a+b=-3=c,能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题.二、思维提升训练14.C解析由p成立,得a≤1,由q成立,得a>1,所以p成立时a>1,p成立是q成立的充要条件.故选C.15.C解析∵A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},∴A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.B解析当x∈时,sin x<x,且0<cos x<1,∴sin x cos x<x.∴当k<1时有k sin x cos x<x.反之不成立.如当k=1时,对任意的x∈,sin x<x,0<cos x<1,所以k sin x cos x=sin x cos x<x成立,这时不满足k<1,故应为必要不充分条件.17.C解析否命题应同时否定条件与结论,选项A错;若x=-1,则x2-5x-6=0成立,反之不成立,选项B错;因为原命题为真命题,所以其逆否命题为真命题,选项C正确;特称命题的否定为全称命题,同时否定结论,选项D错,故选C.18.D解析对任意的x∈R,e x>0恒成立,A错误;当sin x=-1时,sin2x+=-1,B错误;f(x)=2x-x2有三个零点(x=2,4,还有一个小于0),C错误;当a>1, b>1时,一定有ab>1,但当a=-2,b=-3时,ab=6>1也成立,故D正确. 19.③④解析因为f(3x)=4x log23+2,令3x=t⇒x=log3t,则f(t)=4log3t·log23+2=4log2t+2,所以f(2)+f(4)+…+f(28)=4(log22+log222+…+log228)+16=4×(1+2+…+8)+16=4×36+16=160,故①错;函数f(x)=tan 2x 图象的对称中心是(k∈Z),故②错;由全称命题的否定是特称命题知③正确;f(x)=sin x+cosx=2sin,要使sin x+cos x=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解,则a=,x1=0,x2=,x3=2π,故④正确.20.∪[1,+∞)解析p真时,0<a<1;q真时,ax2-x+a>0对x∈R恒成立,则即a>.若p∨q为真,p∧q为假,则p,q应一真一假.①当p真q假时,⇒0<a≤;②当p假,q真时,⇒a≥1.综上,a∈∪[1,+∞).。
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（三） 不等式1．不等式2x 2－x <4的解集为________．解析：不等式2x 2－x <4⇔x 2－x <2⇔－1<x <2，故原不等式的解集为(－1,2)． 答案：(－1,2)2．已知全集U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，则∁U A ＝________.解析：∵U ＝{x |x 2>1}＝{x |x >1或x <－1}，A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，∴∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}．答案：(－∞，－1)∪[3，＋∞) 3．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为________．解析：满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为直线y ＝kx －3过定点(0，－3)，所以当y ＝kx －3过点C (1,0)时，k ＝3；当y ＝kx －3过点B (－1,0)时，k ＝－3，所以k ≤－3或k ≥3时，直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点．答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)4．若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2,2]恒成立，则x 的取值范围是________． 解析：因为a ∈[－2,2]，可把原式看作关于a 的函数，即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝x 2＋2x ＋1≥0，g (2)＝x 2－2x ＋1≥0，解得x ∈R. 答案：R5．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为________．解析：设f (x )＝x 2＋ax －2，若x 2＋ax －2>0在[1,5]上无解，则只需⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (5)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －2≤0，25＋5a －2≤0，解得a ≤－235，所以x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解时，a >－235.答案：⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 6．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1＝xy ，则x ＋2y 的最小值是________． 解析：由x ＋y ＋1＝xy ，得y ＝x ＋1x －1，又y >0，x >0，∴x >1.∴x ＋2y ＝x ＋2×x ＋1x －1＝x ＋2×⎝⎛⎭⎫1＋2x －1＝x ＋2＋4x －1＝3＋(x －1)＋4x －1≥3＋4＝7，当且仅当x ＝3时取“＝”．答案：77．关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是________．解析：方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，则由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1，且a ≠0.所以a 的最大值与最小值的和是0.答案：08．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.解析：则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．答案：189．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________． 解析：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2.当且仅当b ＝2a ＝254时等号成立．答案：2 210．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．解析：(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立．所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.答案：3 211．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0. ∴－4＜m ≤0，即m 的取值范围为(－4,0]． (2)要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立． 就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0， ∴0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立； 当m ＜0时，g (x )是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0，得m ＜6，∴m ＜0. 综上所述：m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，67. 12．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0≤x ≤5，10.2， x >5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？解：依题意，G (x )＝x ＋2. 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0， 当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0 即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7，∴1<x ≤5. 当x >5时，解不等式8.2－x >0，得x <8.2， ∴5<x <8.2.综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6， 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2，所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．13．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养又使费用最省？解：设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图：由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z 2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A ⎝⎛⎭⎫145，3， ∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料用145×10＝28(g)，乙种原料用3×10＝30(g)，费用最省．答：应用甲、乙原料分别为28 g,30 g 时，费用最省． 14．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率． 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝5－(－3)＝8.∴16≤z ≤64.故z 的取值范围为[16,64]．。