2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：基础巩固练(三) Word版含解析

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2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练(课件+优选练)：专题十七计数原理

专题十七计数原理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分70分，考试时间45分钟．第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·岳阳二模)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位．例如：2019＋100＝2119，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是() A．100 B．96 C．60 D．30答案 C解析值为2019的“简单的”有序对的个数是3×1×2×10＝60.故选C.2．(2019·广州市天河区毕业班综合测试)安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有()A．360种B．300种C．150种D．125种答案 C解析5名学生分成3组，每组至少1人，有3,1,1和2,2,1两种情况：①3,1,1：分组共有C 35C12A22＝10种分法；再分配到3个社区：10A33＝60种．②2,2,1：分组共有C 25C23A22＝15种分法；再分配到3个社区：15A33＝90种．综上所述，共有60＋90＝150种安排方式．故选C.3．(2019·韶关市调研考试)某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．720种B．360种C．300种D．600种答案 C解析先安排好除丙之外的5个节目，有A55A22＝60种可能，再安排丙，有5种可能，共300种方案，故选C.4．(2019·合肥二检)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E；任务B、任务C不能相邻．则不同的执行方案共有()A．36种B．44种C．48种D．54种答案 B解析六项不同的任务分别为A，B，C，D，E，F，如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好B，C，再在B，C之间的3个空位中插入D，F，此时共有排列方法：A22A23＝12种；如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A，E的两侧，排列方法有C13A22A22＝12种，可能都在A，E的右侧，排列方法有A22A22＝4种；如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A，E的两侧C12 C12A22A22＝16种；所以不同的执行方案共有12＋12＋4＋16＝44种．5．(2019·新余市高三期末考试)把1,2,3，…，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？() A．31 B．30 C．28 D．32答案 B解析该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当6前有1个数字时，有C 15＝5种，当6前有2个数字时，有C 25＝10种，当6前有3个数字时，有C 35＝10种，当6前有4个数字时，有C 45＝5种，根据分类计数原理，共有5＋10＋10＋5＝30种，故选B.6．(2019·临汾模拟)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为( )A ．12B ．24C ．36D ．48答案 D解析根据题意，如图的三棱锥中，设6条棱为1,2,3,4,5,6，分析可得1、4,2、6,3、5不能分到同一组，分2步进行分析：①将6种化工产品分成3组，其中1、4,2、6,3、5不能分到同一组，有C 26C 24C 22A 33－3×2－1＝8种分组方法； ②将分好的三组全排列，对应3个仓库，有A 33＝6种情况，则安全存放的不同方法种数有8×6＝48种；故选D.7．(2019·洛阳高三统考)4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有()A．24种B．36种C．48种D．60种答案 D解析分两类，第一类有3名被录用，有A34＝24种；第二类，4名都被录用，则有一家录取2名，有C24·A33＝36，根据分类计数原理共有24＋36＝60种．故选D.8．(2019·芜湖一模)某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有()A．96种B．84种C．78种D．16种答案 B解析恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门共有C24＝6种，4名学生选2门课共有24＝16种，排除4名同学全选其中一门课程为16－2＝14种，故有14×6＝84种．故选B.9．(2019·衡水二中检测)用红、黄、蓝3种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是()A．12 B．24 C．30 D．36答案 C解析按顺序涂色，第一个圆有3种选择，第二个圆有2种选择，若前三个圆用了3种颜色，则第三个圆有1种选择，后三个圆也用了3种颜色，共有3×2×1×C12×C12＝24(种)，若前三个圆用了2种颜色，则后三个圆也用了2种颜色，所以共有3×2＝6(种)．综上可得不同的涂色方案的种数是30.10．(2019·西安市长安一中二模)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为()A．72 B．120 C．192 D．240答案 D解析由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为C12A35＝120；末尾是4，不同的偶数个数为A55＝120，故共有120＋120＝240个．故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共20分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2019·湖北联考)某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为________．答案10解析设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成(n－2)个间隔中，故有A3n－2种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一个插入到将(n－3)个停车位排放好所成的(n－2)个间隔中，故有A23A2n－2种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴A3n－2＝A23A2n－2，解得n＝10.12．(2019·汕头市高三上学期期末)把分别写有1,2,3,4,5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．答案36解析先将卡片分为符合条件的3份，由题意，3人分5张卡片，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这5个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有C24＝6种情况，再对应到3个人，有A33＝6种情况，则共有6×6＝36种情况．13．(2019·衡水中学高三上学期四调)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有________种．答案120解析①当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有A44×A22＝48种；②当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有3×A33×A22＝36种；③当甲在第三位，前两位分别是丙丁和不是丙丁两种情况，共A22×A33＋A23×A22×A22＝36种，因此共48＋36＋36＝120种．14．(2019·广州市天河区高三一模)如果一个三位数abc同时满足a>b且b<c，则称该三位数为“凹数”，那么所有不同的三位“凹数”的个数是________．答案285解析根据题意，按十位数字分类讨论：①十位数字是9时不存在，此时三位“凹数”的个数为0；②十位数字是8，只有989，此时三位“凹数”的个数为1；③十位数字是7，则百位与个位都有2种可能，所以此时三位“凹数”的个数为2×2＝4；④十位数字是6，则百位与个位都有3种可能，所以此时三位“凹数”的个数为3×3＝9；⑤十位数字是5，则百位与个位都有4种可能，所以此时三位“凹数”的个数为4×4＝16；⑥十位数字是4时，则百位与个位都有5种可能，所以此时三位“凹数”的个数为5×5＝25；⑦十位数字是3时，则百位与个位都有6种可能，所以此时三位“凹数”的个数为6×6＝36；⑧十位数字是2时，则百位与个位都有7种可能，所以此时三位“凹数”的个数为7×7＝49；⑨十位数字是1时，则百位与个位都有8种可能，所以此时三位“凹数”的个数为8×8＝64；⑩十位数字是0时，则百位与个位都有9种可能，所以此时三位“凹数”的个数为9×9＝81，所以所有不同的三位“凹数”的个数是1＋4＋…＋81＝285个．。

2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：素养提升练(六) Word版含解析

素养提升练(六)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷　(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·宣城二调)若复数z 满足z (1＋2i)＝3＋i ，i 为虚数单位，则z 的共轭复数＝( )z A ．1 B ．1－i C ．2 D ．1＋i 答案　D解析　由z (1＋2i)＝3＋i ，z ＝＝＝＝1－i ，∴z 的共3＋i 1＋2i (3＋i )(1－2i )1－4i 25－5i5轭复数为1＋i ，故选D.z －2．(2019·清远联考)已知集合A ＝{x ∈R |log 2(x ＋1)≤2}，B ＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1,2,3}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}答案　B解析　由题可知A ＝(－1,3]，则A ∩B ＝{0,1,2,3}．故选B.3. (2019·泸州一中模拟)军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：①甲的平均成绩比乙的平均成绩高；②甲的成绩的极差是29；③乙的成绩的众数是21；④乙的成绩的中位数是18.则这4个结论中，正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案　C解析　根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此①正确；甲的成绩的极差是37－8＝29，②正确；乙的成绩的众数是21，③正确；乙的成绩的中位数是＝18.5，④错误，故选C.18＋1924．(2019·中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里答案　C解析　记每天走的路程里数为{a n }，则{a n }为公比q ＝的等比数列，由S 6＝12378，得S 6＝＝378，解得a 1＝192，所以a 6＝192×＝6，故选C.a 1(1－126)1－121255．(2019·东北三校模拟)已知α是第三象限角，且cos ＝，则sin2α＝(π2＋α)35( )A. B ．－ C. D ．－24252425725725答案　A解析　cos ＝⇒sin α＝－，∵sin 2α＋cos 2α＝1，α是第三象限角，∴cos α(π2＋α)3535＝－，1－sin 2α45∴sin2α＝2sin αcos α＝，故选A.24256．(2019·黄山质检)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝，且a ⊥(a ＋2b )，则b 2在a 方向上的投影为( )A ．1B ．－1 C. D ．－22答案　B解析　由于a ⊥(a ＋2b )，故a ·(a ＋2b )＝0，即a 2＋2a ·b ＝4＋2a ·b ＝0，a ·b ＝－2.故b 在a 方向上的投影为＝＝－1.故选B.a ·b |a |－227．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝在[－π，π]的图象大致为( )sin x ＋xcos x ＋x2答案　D解析　∵f (－x )＝＝－f (x )，sin (－x )－xcos (－x )＋(－x )2∴f (x )为奇函数，排除A.又f ＝＝>1，f (π)＝>0，排除B ，C.故选D.(π2)1＋π2(π2)24＋2ππ2π－1＋π28．(2019·汉中质检)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝，2BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A. B. C. D.π2π3π4π6答案　B解析　取B 1C 1的中点D 1，连接A 1D 1，CD 1，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点D 为BC 的中点，∴AA 1＝DD 1且AA 1∥DD 1，∴AD ∥A 1D 1且AD ＝A 1D 1，∴∠CA 1D 1就是异面直线AD 与A 1C 所成的角，AB ＝AC ＝，BC ＝2可以求出AD ＝A 1D 1＝1，2在Rt △CC 1D 1中，由勾股定理可求出CD 1＝，在Rt △AA 1C 中，由勾股定理可3求出A 1C ＝2，显然△A 1D 1C 是直角三角形，sin ∠CA 1D 1＝＝，∴∠CA 1D 1＝，故选B.CD 1A 1C 32π39．(2019·四川二诊)在数列{a n }中，已知a 1＝1，且对于任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝D ．a n ＝n (n －1)2n (n ＋1)2答案　D解析　令m ＝1，得a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，∴a n －1＝2＋3＋4＋…＋n ，∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝.故选D.n (n ＋1)210．(2019·山师附中模拟)过双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点且与对称轴x 2a 2y 2b 2垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，△OAB 的面积为，则双曲线的离心13bc 3率为( )A.B.C.D.132133222223答案　D解析　右焦点设为F ，其坐标为(c,0)，令x ＝c ，代入双曲线方程可得y ＝±b ＝±，△OAB 的面积为·c ·＝bc ⇒＝，可得e ＝＝＝c 2a 2－1b 2a 122b 2a 133b a 133c a 1＋b 2a 2＝，故选D.1＋13922311．(2019·清华附中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．8＋4B ．2＋2＋4223C ．2＋6D ．2＋4＋2323答案　D解析　由题意可知，该几何体的直观图如图：该几何体为棱长为2的正方体的一部分，三棱锥A －BCD ，三棱锥的表面积为×2×2＋2××2×＋×(2)2＝2＋4＋2.故选D.121223422312．(2019·云师附中模拟)已知在菱形ABCD 中，∠BCD ＝60°，曲线C 1是以A ，C 为焦点，通过B ，D 两点且与直线x ＋2y －4＝0相切的椭圆，则曲线C 1的方3程为( )A.＋＝1B.＋y 2＝1x 24y 23x 24C.＋＝1 D.＋＝1x 25y 24x 28y 22答案　B解析　如图，由题意可得a ＝2b (b >0)，则设椭圆方程为＋＝1.x 24b 2y 2b2联立Error!得4y 2－4y ＋4－b 2＝0.3由Δ＝48－16(4－b 2)＝0，解得b ＝1.所以曲线C 1的方程为＋y 2＝1.故选B.x24第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·东北三校模拟)已知x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x ＋y 的最大值为________．答案　3解析　根据约束条件可以画出可行域，如图中阴影部分所示：由z ＝3x ＋y ，可知直线y ＝－3x ＋z 过A (1,0)时，z 有最大值为3×1＋0＝3.14．(2019·朝阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值为________．答案　1712解析　运行程序，x ＝2，n ＝1，判断是，x ＝，n ＝2，判断是，x ＝，n ＝3，321712判断否，输出x ＝.171215．(2019·鞍山一中模拟)如下分组的正整数对：第1组为{(1,2)，(2,1)}，第2组为{(1,3)，(3,1)}，第3组为{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，第4组为{(1,5)，(2,4)，(4,2)，(5,1)}，…，则第40组第21个数对为________．答案　(22,20)解析　由题意可得第一组的各个数对和为3，第二组各个数对和为4，第三组各个数对和为5，第四组各个数对和为6，……，第n 组各个数对和为n ＋2，且各个数对无重复数字，可得第40组各个数对和为42，则第40组第21个数对为(22,20)．16．(2019·哈三中模拟)函数f (x )＝x 2－6x ＋4ln x 的图象与直线y ＝m 有三个交点，则实数m 的取值范围为________．答案　(4ln 2－8，－5)解析　由题意得f ′(x )＝2x －6＋＝，令f ′(x )＝0，解得x ＝14x 2x 2－6x ＋4x 或x ＝2，易得当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1,2)，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (1)＝－5为极大值，f (2)＝4ln 2－8为极小值，∴4ln 2－8<m <－5.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·吕梁一模)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，其中b ＝2，sin(A －B )＝sin C －sin B .(1)求A ；(2)若D 是AC 边的中点，BD ＝，求a .7解　(1)∵sin(A －B )＝sin C －sin B ，∴sin B ＝sin C －sin(A －B )，即sin B ＝sin(A ＋B )－sin(A －B )，整理得sin B ＝2cos A sin B .又sin B ≠0，则cos A ＝，则A ＝.12π3(2)根据题意，设AB ＝t ，又由b ＝AC ＝2，则AD ＝1，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ×AD ×cos A ＝t 2＋1－2×t ×1×＝7，12即t 2－t －6＝0，解得t ＝3或t ＝－2(舍去)．在△ABC 中，a 2＝BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos A ＝9＋4－2×3×2×＝127，∴a .718．(本小题满分12分)(2019·凯里一中模拟)某工厂生产A ，B 两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于80 cm 的为正品，小于80 cm 的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95]A 零件812403010B 零件91640287(1)试分别估计A ，B 两种零件为正品的概率；(2)生产1个零件A ，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件B ，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在(1)的条件下：①设X 为生产1个零件A 和一个零件B 所得的总利润，求X 的分布列和数学期望；②求生产5个零件B 所得利润不少于160元的概率．解　(1)∵指标大于或等于80 cm 的为正品，且A ，B 两种零件为正品的频数分别为80和75，∴A ，B 两种零件为正品的概率估计值分别为P (A )＝＝，P (B )＝＝.80100457510034(2)①由题意知，X 的可能取值为－25,35,50,110，P (X ＝－25)＝×＝，1514120P (X ＝35)＝×＝，451415P (X ＝50)＝×＝，1534320P (X ＝110)＝×＝.453435∴X 的分布列为X－253550110P1201532035∴X 的数学期望为E (X )＝(－25)×＋35×＋50×＋110×＝79.25.1201532035②∵生产1个零件B 是正品的概率为P (B )＝，34生产5个零件B 所产生的正品数Y 服从二项分布，即Y ～B ，(5，34)生产5个零件B 所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件，∴生产5个零件B 所得利润不少于160元的概率为P ＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＝C 41＋C 5＝.45(34)(14)5(34)8112819．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；(2)求图2中的二面角B －CG －A 的大小．解　(1)证明：由已知得AD ∥BE ，CG ∥BE ，所以AD ∥CG ，所以AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，且BE ∩BC ＝B ，所以AB ⊥平面BCGE .又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE .(2)作EH ⊥BC ，垂足为H .因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°，可求得BH ＝1，EH ＝.3以H 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐HC →标系Hxyz ，则A (－1,1,0)，C (1,0,0)，G (2,0，)，3＝(1,0，)，＝(2，－1,0)．CG → 3AC → 设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则Error!即Error!所以可取n ＝(3,6，－)．3又平面BCGE 的法向量可取m ＝(0,1,0)，所以cos 〈n ，m 〉＝＝.n ·m |n ||m |32因此二面角B －CG －A 的大小为30°.20．(本小题满分12分)(2019·漳州质检)已知动圆P 过点F 且与直线y ＝(0，18)－相切，圆心P 的轨迹为曲线C .18(1)求曲线C 的方程；(2)若A ，B 是曲线C 上的两个点且直线AB 过△AOB 的外心，其中O 为坐标原点，求证：直线AB 过定点．解　(1)解法一：由题意可知|PF |等于点P 到直线y ＝－的距离，18∴曲线C 是以点F 为焦点，以直线y ＝－为准线的抛物线，∴曲线C(0，18)18的方程为x 2＝y .12解法二：设P (x ，y )，由题意可知|PF |等于点P 到直线y ＝－的距离，18∴＝，整理得曲线C 的方程为x 2＝y .x 2＋(y －18)2|y ＋18|12(2)设直线AB ：y ＝kx ＋m 代入x 2＝y ，12得2x 2－kx －m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝2x ，y 2＝2x ，Δ＝k 2＋8m >0，212x 1x 2＝－，y 1y 2＝(2x )(2x )＝4(x 1x 2)2＝m 2，m 2212∵直线AB 过△AOB 的外心，∴OA ⊥OB ，·＝0，OA → OB →∴－＋m 2＝0，∴m ＝0或m ＝，m 212∵直线AB 不过点O ，∴m ≠0，∴m ＝，12∴直线AB ：y ＝kx ＋，∴直线AB 过定点.12(0，12)21．(本小题满分12分)(2019·抚顺一模)已知函数f (x )＝ln x －ax －3(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －5，求实数a 的取值范围．解　(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由已知得f ′(x )＝－a ，1x当a <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)内单调递增，无减区间；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝，1a∴当x ∈时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；(0，1a )当x ∈时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(1a ，＋∞)(2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增，无最大值，当a >0时，函数f (x )在x ＝取得最大值，1a即f (x )max ＝f ＝ln －4＝－ln a －4，(1a )1a 因此有－ln a －4>a －5，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝＋1>0，1a∴g (a )在(0，＋∞)内单调递增，又g (1)＝0，∴g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·太原二模)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(其中φ为参数)，点M 在曲线C 1上运动，动点P 满足＝2，其轨迹为曲线C 2.OP → OM →以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 2的普通方程；(2)若点A ，B 分别是射线l ：θ＝与曲线C 1，C 2的公共点，求|AB |的最大值．π4解　(1)设P (x ，y )，M (x ′，y ′)，∵＝2，OP → OM →∴Error!∵点M 在曲线C 1上，∴Error!∴曲线C 1的普通方程为(x ′－2)2＋(y ′－1)2＝1，∴曲线C 2的普通方程为(x －4)2＋(y －2)2＝4.(2)由Error!得曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－2ρsin θ＋4＝0，曲线C 2的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－4ρsin θ＋16＝0，由Error!得Error!或Error!∴A 或A ，(π4，2)(π4，22)由Error!得Error!或Error!∴B 或B ，(π4，22)(π4，42)∴|AB |的最大值为3.223．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·太原二模)已知函数f (x )＝|2x －a |－|x ＋2a |(a >0)．(1)当a ＝时，求不等式f (x )≥1的解集；12(2)若∀k ∈R ，∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤|k ＋3|－|k －2|成立，求实数a 的取值范围．解　(1)当a ＝时，原不等式为－|x ＋1|≥1，12|2x －12|∴Error!或Error!或Error!∴x <－1或－1≤x ≤－或x ≥，1252∴原不等式的解集为∪.(－∞，－12][52，＋∞)(2)由题意得f (x )min ≤(|k ＋3|－|k －2|)min ，∵f (x )＝－Error!∴f (x )min ＝f ＝－a ，(a 2)52∵－5＝－|(k ＋3)－(k －2)|≤|k ＋3|－|k －2|，∴(|k ＋3|－|k －2|)min ＝－5，∴－a ≤－5，∴a ≥2，52∴a 的取值范围是[2，＋∞)．。

2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练(课件+优选练)：专题九不等式

专题九不等式本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分，考试时间60分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·北京市怀柔区适应性练习)某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2只玫瑰所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ＞B B ．A ＜BC ．A ＝BD ．A ，B 的大小关系不确定答案 A解析设购买1只玫瑰需x 元，购买1只康乃馨需y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＞8，4x ＋5y ＜22，2x ＝A,3y ＝B ，整理，得x ＝A 2，y ＝B 3，⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B3＞8，2A ＋5B 3＜22，将A ＋B 3＞8乘以－2与2A ＋53B＜22相加，解得B ＜6，将B ＜6代入A ＞8－B3中，解得A ＞6，故A ＞B ，故选A.2．(2019·武汉二模)若a 0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．d <a <c <bB ．a <d <c <bC ．a <d 0，所以d<a<b或a<b<d，又d<c，所以d<a<b.综上，d<a<c<b.3．(2019·阜阳模拟)下列说法正确的是()A．若a，b∈R，则ba＋ab≥2B．若x<0，则x＋4x≥－2x·4x＝－4C．若ab≠0，则b2a＋a2b≥a＋bD．若x<0，则2x＋2－x>2 答案 D解析对于A，当ab<0时不成立；对于B，若x<0，则x＋4x＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x＋4－x≤－2－x·4－x＝－4，当且仅当x＝－2时，等号成立，因此B项不成立；对于C，取a＝－1，b＝－2，b 2a ＋a2b＝－92<a＋b＝－3，所以C项不成立；对于D，若x<0，则2x＋2－x>2成立．故选D.4．(2019·张家口模拟)已知向量a＝(1，x－1)，b＝(y,2)，其中x>0，y>0.若a ⊥b，则xy的最大值为()A.14 B.12C．1 D．2答案 B解析因为a＝(1，x－1)，b＝(y,2)，a⊥b，所以a·b＝y＋2(x－1)＝0，即2x＋y＝2.又因为x>0，y>0，所以2x＋y≥22xy，当且仅当x＝12，y＝1时等号成立，即22xy≤2，所以xy≤12，所以当且仅当x＝12，y＝1时，xy取到最大值，最大值为12.故选B.5．(2019·日照模拟)设a＝x2－xy＋y2，b＝p xy，c＝x＋y，若对任意的正实数x ，y ，都存在以a ，b ，c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 答案 A解析对任意的正实数x ，y ，由于a ＝x 2－xy ＋y 2≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，∴xy ＋2xy >p xy ，且p xy ＋xy >2xy ，且p xy ＋2xy >xy ，解得10，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为( )A ．3－2 2B ．5C ．3＋2 2D ．3＋ 2 答案 C解析令x ＋3＝1，得x ＝－2，故A (－2，－1)．又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋n m ＋2mn ≥3＋2n m ·2m n ＝3＋2 2.当且仅当m ＝12＋2，n ＝12＋1时等号成立，所以1m ＋1n 的最小值为3＋22，故选C.7．(2019·山东省烟台市高三上学期期末)若a 1bC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12bD ．a 3>b 3答案 C解析若a 1b ，A 错误；a －b <0，则a －b 与b 大小关系不确定，B 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b成立，C 正确；a 3<b 3，D 错误．故选C.8．(2019·衡阳市高三第一次联考)设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2019＝6057，则1a 2＋4a 2018的最小值为( )A ．1 B.23 C.136 D.32 答案 D解析依题意，20192(a 1＋a 2019)＝6057⇒a 1＋a 2019＝a 2＋a 2018＝6， 1a 2＋4a 2018＝16(a 2＋a 2018)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4a 2018 ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a 2a 2018＋a 2018a 2≥32.当且仅当a 2＝2，a 2018＝4时取等号．9．(2019·浙江省名校联考)已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d 的最小值是( )A ．10B ．9C ．4 2D ．3 3 答案 B解析 ∵a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，∴1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．则1abc ＋1d ≥4·1c ＋1d ＝(c ＋d )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋c d ≥5＋24d c ·cd ＝9，当且仅当a ＝b ＝12时，且c ＝23，d ＝13时，1abc ＋1d 的最小值为9.故选B. 10．(2019·山东省济宁市期末)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝(n ＋1)cos n π2(n ≥2，n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2021＋m ＝1012，且a 1·m >0，则1a 1＋1m 的最小值为( )A ．2 B. 2 C ．2 2 D ．2＋ 2答案 A解析由a n ＋1＋a n ＝(n ＋1)cos n π2(n ≥2，n ∈N *)得，a 3＋a 2＝－3，a 4＋a 3＝0，a 5＋a 4＝5，a 6＋a 5＝0，a 7＋a 6＝－7，a 8＋a 7＝0，a 9＋a 8＝9，a 10＋a 9＝0，…，∴a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝…＝a 2018＋a 2019＋a 2020＋a 2021＝2， ∴S 2021＝505(a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＋a 1＝1010＋a 1，又S 2021＋m ＝1012， ∴a 1＋m ＝2，∴1a 1＋1m ＝12(a 1＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1m ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a 1m ＋m a 1≥2，即1a 1＋1m 的最小值为2.11．(2019·新疆高三一模)已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最大值是( )A.63B.233C.433 D ．－433 答案 D解析 ∵不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，∴在方程x 2－4ax ＋3a 2＝0中，由根与系数的关系知x 1x 2＝3a 2，x 1＋x 2＝4a ，则x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a .∵a <0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，即4a ＋13a ≤－433，故x 1＋x 2＋ax 1x 2的最大值为－433.故选D.12．(2019·惠州市高三第三次调研)在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且AC →＝4AD →，P 为BD 上一点，向量AP →＝λAB →＋μAC →(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 A解析由题意可知AP →＝λAB →＋4μAD →，其中B ，P ，D 三点共线，由三点共线的充分必要条件可得，λ＋4μ＝1，则4λ＋1μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋1μ×(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ×λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，即4λ＋1μ的最小值为16.故选A.第Ⅱ卷 (非选择题，共40分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·天津高考)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为________．答案 4 3解析 ∵x >0，y >0，∴xy >0. ∵x ＋2y ＝5，∴(x ＋1)(2y ＋1)xy＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy＝2xy ＋6xy＝2xy ＋6xy≥212＝4 3.当且仅当2xy ＝6xy 时取等号． ∴(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为4 3.14．(2019·江苏省镇江市高三期末)已知x >0，y >0，x ＋y ＝1x ＋4y ，则x ＋y 的最小值为________．答案 3解析由于x >0，y >0，x ＋y ＝1x ＋4y >0，则(x ＋y )2＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥5＋4＝9，故x ＋y ≥3.15．(2019·江苏省南通市期末)已知实数a >b >0，且a ＋b ＝2，则3a －ba 2＋2ab －3b 2的最小值为________．答案3＋54解析由于a ＋b ＝2，且a ＞b ＞0，则0＜b ＜1＜a ＜2，所以3a －ba 2＋2ab －3b 2＝3a －b(a －b )(a ＋3b )＝3a －(2－a )[a －(2－a )]·[a ＋3(2－a )]＝4a －2(2a －2)(6－2a )＝2(2a －1)(2a －2)(6－2a )，令t ＝2a －1∈(1,3)，则2a ＝t ＋1，所以3a －b a 2＋2ab －3b2＝2(2a －1)(2a －2)(6－2a )＝2t (t －1)[6－(t ＋1)]＝2t (t －1)(5－t )＝2t6t －(t 2＋5) ＝26－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋5t ≥26－2t ·5t ＝26－25＝13－5＝3＋5(3－5)(3＋5)＝3＋54. 当且仅当t ＝5t (1<t <3)，即t ＝5时，等号成立．16．(2019·咸阳市高考模拟检测)正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝2a 1，且a 6＝a 5＋2a 4，则1m ＋9n 的最小值是________．答案 4解析由于数列{a n }是正项等比数列，由a 6＝a 5＋2a 4得q 2＝q ＋2，解得q ＝2(负根舍去)．由a m ·a n ＝2a 1，得2m ＋n －2＝22，m ＋n ＝4.故1m ＋9n ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋9n ·(m ＋n )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9＋n m ＋9m n ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2n m ·9m n ＝14(10＋6)＝4.当m ＝1，n ＝3时，取最小值为4.三、解答题(本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) (2019·攀枝花模拟)如图，将宽和长都分别为x ，y (x ＜y )的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为 5.(注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形)(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)当x ，y 取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．解 (1)由题意可得，2xy －x 2＝5，则y ＝x 2＋52x ，∵y ＞x ，∴x 2＋52x ＞x ，解得0＜x ＜45.∴y 关于x 的函数解析式为y ＝x 2＋52x (0＜x ＜45)． (2)设正十字形的外接圆的直径为d ，由图可知，d 2＝x 2＋y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋52x 2＝5x 24＋54x 2＋52≥52＋52，当且仅当x ＝1，y ＝5＋12时，正十字形的外接圆的直径d 最小，最小值为5＋52＝10＋252，则半径的最小值为10＋254，∴正十字形的外接圆面积最小值为π×⎝⎛⎭⎪⎫10＋2542＝5＋58π.18．(本小题满分10分)(2019·沈阳八校联考)已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＞0.(1)若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜－12，求实数a 的值；(2)若a ∈R ，解这个关于x 的不等式．解 (1)∵不等式(ax －1)(x ＋1)＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜－12， ∴方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根是－1，－12； ∴－12a －1＝0，∴a ＝－2. (2)∵(ax －1)(x ＋1)＞0，∴当a ＜0时，不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＜0.若a ＜－1，则1a ＞－1，解得－1＜x ＜1a ；若a ＝－1，则1a ＝－1，不等式的解集为∅；若－1＜a ＜0，则1a ＜－1，解得1a ＜x ＜－1；当a ＝0时，不等式为－(x ＋1)＞0，解得x ＜－1. 当a ＞0时，不等式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＞0，∵1a ＞－1，∴解不等式得x ＜－1或x ＞1a . 综上，当a ＜－1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜1a ； a ＝－1时，不等式的解集为∅；－1＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜－1；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞1a.。

2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：素养提升练(一) Word版含解析

素养提升练(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷　(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·湖南长郡中学一模)已知集合A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a ≤1D ．a <1答案　D解析　因为B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝B ，所以a <1.故选D.2．(2019·广东汕头二模)若复数(a ∈R )为纯虚数，则|3－a i|＝( )a －2i1＋iA. B ．13 C ．10 D.1310答案　A 解析　＝＝，a －2i 1＋i (a －2i )(1－i )(1＋i )(1－i )(a －2)＋(－a －2)i2因为复数(a ∈R )为纯虚数，所以Error!a －2i1＋i 即Error!解得a ＝2，所以|3－a i|＝|3－2i|＝＝.故选A.32＋(－2)2133．(2019·江淮十校模拟)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数答案　C解析　由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.8×120＝96人，女性人数为0.6×80＝48人，男性人数与女性人数不相同，故C 错误，故选C.4．(2019·咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝4，S 9＝72，则a 10＝( )A ．20B ．23C ．24D ．28答案　D解析　由于数列是等差数列，故Error!解得a 1＝－8，d ＝4，故a 10＝a 1＋9d ＝－8＋36＝28.故选D.5．(2019·淮南一模)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－e)，且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的斜率为( )A ．－2B ．2C ．－eD ．e 答案　B解析　函数f (x )＝x ln x 的导数为f ′(x )＝ln x ＋1，设切点为(m ，n )，则n ＝m ln m ，可得切线的斜率为k ＝1＋ln m ，∴1＋ln m ＝＝，解得m ＝e ，k ＝1n ＋e m m ln m ＋e m ＋ln e ＝2，故选B.6．(2019·郑州质检)如图，在△ABC 中，＝，P 是BN 上一点，若＝tAN → 23NC → AP →＋，则实数t 的值为( )AB → 13AC →A. B. C. D.23251634答案　C解析　由题意及图，＝＋＝＋m ＝＋m (－)＝m ＋AP → AB → BP → AB → BN → AB → AN → AB → AN → (1－m )，又＝，∴＝，∴＝m ＋(1－m )，又＝t ＋AB → AN → 23NC → AN → 25AC → AP → 25AC → AB → AP → AB →，∴Error!解得m ＝，t ＝，故选C.13AC → 56167．(2019·山西太原一模)如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )A ．12B ．15 C. D.403503答案　D解析　其直观图为四棱锥E －ABCD ，由题意得V ＝××5＝.故选D.13(12×4×4＋12×2×2)5038．(2019·华师附中模拟)设F 1，F 2分别是椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，x 2a 2y 2b 2若在直线x ＝(其中c 2＋b 2＝a 2)上存在点P ，使线段PF 1的垂直平分线经过点F 2，a 2c 则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C.D.(0，22](0，33][33，1)[22，1)答案　C解析　由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设点P ，则由中点公式可得线段(a 2c，m )PF 1的中点K ，∵线段PF 1的斜率与KF 2的斜率之积等于－1，即·(a 2－c 22c ，12m )m －0a2c＋c ＝－1，∴m 2＝－·≥0，∴a 4－2a 2c 2－3c 4≤0，∴3e 4＋2e 2－12m －0a 2－c 22c－c (a 2c ＋c )(a2c －3c )1≥0，∴e 2≥或e 2≤－1(舍去)，∴e ≥.1333又椭圆的离心率0<e <1，故≤e <1，故选C.339．(2019·重庆模拟)已知函数f (x )＝Error!若函数g (x )＝f (x )－m 有两个零点x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．2 B ．2或2＋1e C ．2或3 D ．2或3或2＋1e答案　D解析　当x ≤0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x <－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(－∞，－1)上为减函数，当－1<x <0时，f ′(x )>0，故f (x )在(－1,0)上为增函数，所以当x ≤0时，f (x )的最小值为f (－1)＝－.又在R 上，f (x )的图象如图所示，1e因为g (x )有两个不同的零点，所以方程f (x )＝m 有两个不同的解，即直线y ＝m 与y ＝f (x )有两个不同交点且交点的横坐标分别为x 1，x 2，故1<m <2或m ＝0或m ＝－.若1<m <2，则x 1＋x 2＝2；若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e 1e ＝2＋.综上，x 1＋x 2的值为2或3或2＋，故选D.1e 1e 1e10．(2019·黑龙江模拟)如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为( )A ．1－B ．2π2πC ．D ．1－2π22π2答案　A解析　S 矩形＝π×1＝π，又 sin x d x ＝－cos x Error!＝－(cosπ－cos0)＝2，π∫∴S 阴影＝π－2，∴豆子落在图中阴影部分的概率为＝1－.故选A .π－2π2π11．(2019·昌平期末)设点F 1，F 2分别为椭圆C ：＋＝1的左、右焦点，x 29y 25点P 是椭圆C 上任意一点，若使得·＝m 成立的点恰好是4个，则实数mPF 1→ PF 2→的值可以是( )A. B ．3 C ．5 D ．812答案　B解析　∵点F 1，F 2分别为椭圆C ：＋＝1的左、右焦点，即F 1(－2,0)，x 29y 25F 2(2,0)，a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，c ＝2，设P (x 0，y 0)，＝(－2－x 0，－y 0)，＝(2－PF 1→ PF 2→x 0，－y 0)，由·＝m 可得x ＋y ＝m ＋4，又∵P 在椭圆上，即＋＝1，∴xPF 1→ PF 2→ 2020x 209y 205＝，要使得·＝m 成立的点恰好是4个，则0<<9，解得1<m <5，209m －94PF 1→ PF 2→ 9m －94∴m 的值可以是3.故选B.12．(2019·安徽淮北、宿州二模)已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为2，球的半径为，则正四面体表面与球面的交线的总长度为65( )A ．4πB ．8πC ．12πD ．12π22答案　A解析　∵正四面体A －BCD 的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为2，6取CD 的中点E ，连接BE ，AE ，过A 作AF ⊥底面BCD ，交BE 于F ，则BE ＝AE ＝＝3，BF ＝BE ＝2，(26)2－(6)22232AF ＝＝4，设正四面体内切球半径为r ，则(4－r )2＝(2)2＋r 2，(26)2－(22)22解得正四面体内切球半径为r ＝1，∵球的半径为，∴由球的半径知球被平面5截得小圆半径为r 1＝＝2，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且5－1每段弧所对中心角为30°，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为4×＝4π.故选A .(3×30°360°×2π×2)第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·临沂质检)设x ，y 满足约束条件Error!则z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案　8解析　画出不等式组Error!表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图形知，当目标函数z ＝2x ＋3y 过点A 时，z 取得最小值．由Error!求得A (1,2)，所以z ＝2x ＋3y 的最小值是2×1＋3×2＝8.14．(2019·金山中学模拟)数列{a n }且a n ＝Error!若S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018＝________.答案　30282019解析　数列{a n }且a n ＝Error!①当n 为奇数时，a n ＝＝；1n 2＋2n 12(1n －1n ＋2)②当n 为偶数时，a n ＝sin ，n π4所以S 2018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2018)＝12＋(1＋0－1＋…＋0)＝＋1＝.(1－13＋13－15＋…＋12017－12019)100920193028201915．(2019·岳阳二模)将多项式a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0分解因式得(x －2)(x ＋2)5，则a 5＝________.答案　8解析　(x －2)(x ＋2)5＝(x 2－4)(x ＋2)4，(x ＋2)4展开式中的x 3系数为C ·21＝8.14所以a 5＝8.16．(2019·东莞期末)已知函数f (x )＝sin x ·cos2x (x ∈R )，则f (x )的最小值为________．答案　－1解析　函数f (x )＝sin x ·cos2x ＝sin x (1－2sin 2x )＝sin x －2sin 3x ，令t ＝sin x ∈[－1,1]，则h (t )＝t －2t 3，h ′(t )＝1－6t 2，当－1≤t <－时，h ′(t )<0，h (t )在上单调递减；66[－1，－66)当－≤t <时，h ′(t )≥0，h (t )在上单调递增；6666[－66，66)当≤t ≤1时，h ′(t )≤0，h (t )在上单调递减．66[66，1]所以函数的最小值是h 或h (1)，(－66)h (1)＝－1<h ＝－－23＝－，(－66)66(－66)69故函数f (x )的最小值为－1.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若a ＋b ＝2c ，求sin C .2解　(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝＝.b 2＋c 2－a 22bc 12因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，2即＋cos C ＋sin C ＝2sin C ，623212可得cos(C ＋60°)＝－.22因为0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝，22故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos60°－cos(C ＋60°)sin60°＝.6＋2418．(本小题满分12分)(2019·石家庄一模)小明在石家庄市某物流公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了甲、乙两种日薪薪酬方案，其中甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y (单位：元)与派送单数n 的函数关系式；(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，得到了如图所示的派送量指标的频率分布直方图，并发现每名派送员的日平均派送单数满足以下条件：当某天的派送量指标在(n ＝1,2,3,4,5)时，日平均派送量为(50＋2n )单．(2(n －1)10，n5]若将频率视为概率，回答下列问题：①根据以上数据，设一名派送员的日薪为Y (单位：元)，试分别求出甲、乙两种方案中日薪Y 的分布列、数学期望及方差；②结合①中的数据，利用统计的知识，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．(参考数据：0.62＝0.36,1.42＝1.96,2.62＝6.76,3.42＝11.56,3.62＝12.96,4.62＝21.16,15.62＝243.36,20.42＝416.16,44.42＝1971.36)解　(1)甲方案中派送员日薪y (单位：元)与派送单数n 的函数关系式为y ＝100＋n ，n ∈N .乙方案中派送员日薪y (单位：元)与派送单数n 的函数关系式为y ＝Error!(2)①由已知，在这100天中，该公司的一名派送员的日平均派送单数满足下表：派送单数5254565860频率0.20.30.20.20.1所以Y甲的分布列为Y甲152154156158160P0.20.30.20.20.1所以E(Y甲)＝152×0.2＋154×0.3＋156×0.2＋158×0.2＋160×0.1＝155.4，s＝0.2×(152－155.4)2＋0.3×(154－155.4)2＋0.2×(156－155.4)2＋2甲0.2×(158－155.4)2＋0.1×(160－155.4)2＝6.44；Y乙的分布列为Y乙140152176200P0.50.20.20.1所以E(Y乙)＝140×0.5＋152×0.2＋176×0.2＋200×0.1＝155.6，s＝0.5×(140－155.6)2＋0.2×(152－155.6)2＋0.2×(176－155.6)2＋2乙0.1×(200－155.6)2＝404.64.2甲2乙②答案一：由①可知，E(Y甲)<E(Y乙)，但两者相关不大，且s远小于s，即甲方案中日薪的波动相对较小，所以小明选择甲方案比较合适．答案二：由①可知，E(Y甲)<E(Y乙)，即甲方案中日薪的期望小于乙方案中日薪的期望，所以小明选择乙方案比较合适．19．(本小题满分12分)(2019·荆门调研)如图1，梯形ABCD中，AB∥CD，过A，B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F.AB＝AE＝2，CD＝5，已知DE＝1，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，得空间几何体ADE－BCF，如图2.(1)若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；(2)若DE∥CF，CD＝，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所3成角的正弦值为，求AP 的长．520解　(1)证明：由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在题图2中，AF ⊥BE ，由已知得AF ⊥BD ，BE ∩BD ＝B ，∴AF ⊥平面BDE ，又DE ⊂平面BDE ，∴AF ⊥DE ，又AE ⊥DE ，AE ∩AF ＝A ，∴DE ⊥平面ABFE .(2)在题图2中，AE ⊥DE ，AE ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，即AE ⊥平面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作DM ∥EF 交CF 于点M ，连接CE ，由题意得DM ＝2，CM ＝1，由勾股定理可得DC ⊥CF ，则∠CDM ＝，CE ＝2，π6过E 作EG ⊥EF 交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以，，分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间EA → EF → EG →直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,1，)，D ，3(0，－12，32)＝(－2,1，)，＝.AC → 3AD →(－2，－12，32)设平面ACD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由Error!得Error!取x ＝1得n ＝(1，－1，)，3设AP ＝m ，则P (2，m,0)(0≤m ≤2)，得＝(2，m －1，－)，CP →3设CP 与平面ACD 所成的角为θ，sin θ＝|cos 〈，n 〉|＝＝⇒m ＝.CP →|m |5·7＋(m －1)252023∴AP ＝.2320．(本小题满分12分)(2019·浙江高考)如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G 的坐标．S 1S 2解　(1)由题意得＝1，即p ＝2.p2所以抛物线的准线方程为x ＝－1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，重心G (x G ，y G )．令y A ＝2t ，t ≠0，则x A ＝t 2.由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为x ＝y ＋1，t 2－12t 代入y 2＝4x ，得y 2－y －4＝0，2(t 2－1)t故2ty B ＝－4，即y B ＝－，所以B .2t (1t 2，－2t)又x G ＝(x A ＋x B ＋x C )，y G ＝(y A ＋y B ＋y C )及重心G 在x 轴上，得2t －＋y C ＝0，13132t 得C ，G .((1t －t )2，2(1t －t ))(2t 4－2t 2＋23t2，0)所以直线AC 的方程为y －2t ＝2t (x －t 2)，得Q (t 2－1,0)．由于Q 在焦点F 的右侧，故t 2>2.从而＝S 1S 212|FG |·|y A |12|QG |·|y C |＝|2t 4－2t 2＋23t 2－1|·|2t ||t 2－1－2t 4－2t 2＋23t 2|·|2t－2t|＝＝2－.2t 4－t 2t 4－1t 2－2t 4－1令m ＝t 2－2，则m >0，＝2－＝2－≥2－S 1S 2m m 2＋4m ＋31m ＋3m ＋412　m ·3m ＋4＝1＋.32当m ＝时，取得最小值1＋，此时G (2,0)．3S 1S 23221．(本小题满分12分)(2019·山西太原一模)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x ，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a <－时，若对于任意x 1，x 2∈(1，＋∞)(x 1<x 2)，都存在x 0∈(x 1，x 2)，12使得f ′(x 0)＝，证明：<x 0.f (x 2)－f (x 1)x 2－x1x 1＋x 22解　(1)由题意得f ′(x )＝－2ax ＋(2－a )＝－，x >0，1x (2x ＋1)(ax －1)x 当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )>0，则0<x <；令f ′(x )<0，则x >.1a 1a ∴f (x )在上单调递增，在上单调递减．(0，1a )(1a，＋∞)(2)证明：∵当a <－时，12＝ln －a (x 2＋x 1)＋(2－a )，f (x 2)－f (x 1)x 2－x11x 2－x 1x 2x 1f ′(x 0)＝－2ax 0＋(2－a )，1x 0∴ln －a (x 2＋x 1)＝－2ax 0，1x 2－x 1x 2x 11x0∴f ′－f ′(x 0)＝－a (x 2＋x 1)－＝－ln (x 1＋x 22)2x 2＋x 1(1x 0－2ax 0)2x 2＋x 11x 2－x 1x 2x1＝－ln 1x 2－x 12(x 2－x 1)x 2＋x 1x 2x 1＝，1x 2－x 1[2(x 2x1－1)x 2x 1＋1－ln x 2x1]令t ＝，g (t )＝－ln t ，t >1，x 2x 12(t －1)t ＋1则g ′(t )＝－<0，∴g (t )<g (1)＝0，(t －1)2t (t ＋1)2∴f ′－f ′(x 0)<0，(x 1＋x 22)∴f ′<f ′(x 0)，(x 1＋x 22)设h (x )＝f ′(x )＝－2ax ＋(2－a )，x >1，1x 则h ′(x )＝－－2a >－1＋1＝0，1x 2∴h (x )＝f ′(x )在(1，＋∞)上单调递增，∴<x 0.x 1＋x 22(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·甘肃天水一中三模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为Error!(其中t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ(1－cos2θ)＝8cos θ.(1)求l 和C 的直角坐标方程；(2)若l 与C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求α.解　(1)当α＝时，l ：x ＝1.当α≠时，l ：y ＝tan α·(x －1)．由ρ(1－cos2θ)＝π2π28cos θ得2ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得(sin 2α)t 2－(4cos α)t －4＝0，则t 1＋t 2＝，t 1t 2＝，4cos αsin 2α－4sin 2α因为|AB |＝|t 1－t 2|＝＝＝8，(t 1＋t 2)2－4t 1t 24sin 2α所以sin α＝或－，因为0<α<π，所以sin α＝，故α＝或.222222π43π423．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·甘肃天水一中三模)设函数f (x )＝|2x ＋a |－|x －2|(a ∈R ，x ∈R )．(1)当a ＝－1时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若在x ∈R 上f (x )≥－1恒成立，求实数a 的取值范围．解　(1)a ＝－1时，f (x )>0可得|2x －1|>|x －2|，即(2x －1)2>(x －2)2，化简得(3x －3)(x ＋1)>0，所以不等式f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)①当a <－4时，f (x )＝Error!由函数单调性可得f (x )min ＝f ＝＋2≥－1，解得－6≤a <－4；(－a 2)a2②当a ＝－4时，f (x )＝|x －2|，f (x )min ＝0≥－1，所以a ＝－4符合题意；③当a >－4时，f (x )＝Error!由函数单调性可得，f (x )min ＝f ＝－－2≥－(－a 2)a21，解得－4<a ≤－2.综上，实数a 的取值范围为[－6，－2]．。

2020届全国高考数学(理)刷题11(2019模拟题)模拟重组卷(五)(解析版)(2021年整理)

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2020届全国高考数学（理)刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（五）（解析版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·吉林实验中学模拟）在复平面内与复数z＝错误!所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为（)A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i答案B解析∵复数z＝错误!＝错误!＝1＋i，∴复数的共轭复数是1－i，就是复数z ＝错误!所对应的点关于实轴对称的点A所对应的复数,故选B。

2．(2019·四川省内江、眉山等六市二诊)已知集合A＝｛0,1｝，B＝{0,1,2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1答案A解析由A∪C＝B可知集合C中一定有元素2,所以符合要求的集合C有｛2｝，｛2，0｝，{2,1},{2，0,1｝，共4种情况,故选A.3．(2019·河北一模)已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示,则剩余部分的表面积为( )A.错误! B．3＋错误! C。

2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：素养提升练(四) 含解析

素养提升练(四)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·福州一中二模)已知i 为虚数单位，则i1＋i的实部与虚部之积等于( ) A ．－14 B.14 C.14i D ．－14i 答案 B 解析因为i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋12i ，所以i 1＋i的实部与虚部之积为12×12＝14.故选B. 2．(2019·汉中二模)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0，x ∈Z }，B ＝{m,2}，若A ⊆B ，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 A ＝{x |1<x <4，x ∈Z }＝{2,3}，又A ⊆B ， ∴m ＝3.故选C.3．(2019·皖江名校联考)2018年9～12月某市邮政快递业务量完成件数较2017年9～12月同比增长25%，该市2017年9～12月邮政快递业务量柱形图及2018年9～12月邮政快递业务量结构扇形图如图所示，根据统计图，给出下列结论：①2018年9～12月，该市邮政快递业务量完成件数约1500万件；②2018年9～12月，该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年9～12月相比有所减少； ③2018年9～12月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%，其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 2017年的快递业务总数为242.4＋948＋9.6＝1200万件，故2018年的快递业务总数为1200×1.25＝1500万件，故①正确．由此2018年9～12月同城业务量完成件数为1500×20%＝300万件＞242.4万件，所以比2017年有所提升，故②错误.2018年9～12月国际及港澳台业务量为1500×1.4%＝21万件，21÷9.6＝2.1875，故该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%，故③正确．综上所述，正确的结论有2个，故选B.4．(2019·株洲一模)在区间[－2,2]上任意取一个数x ，使不等式x 2－x <0成立的概率为( ) A.16 B.12 C.13 D.14 答案 D解析由x 2－x <0，得0<x <1.∴在区间[－2,2]上任意取一个数x ，使不等式x 2－x <0成立的概率为1－02－(－2)＝14.故选D.5．(2019·安阳一模)设F 1，F 2分别为离心率e ＝5的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 1，A 2分别为双曲线C 的左、右顶点，以F 1，F 2为直径的圆交双曲线的渐近线l 于M ，N 两点，若四边形MA 2NA 1的面积为4，则b ＝( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案 A解析由题意知e ＝5＝c a ，∴ba ＝2，故渐近线方程为y ＝2x ，以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝2x ，得y ＝±2c 5，由双曲线与圆的对称性知四边形MA 2NA 1为平行四边形，不妨设y M ＝2c 5，则四边形MA 2NA 1的面积S ＝2a ×2c 5＝4，得ac ＝5，又5＝ca ，得a ＝1，c ＝5，b ＝2，故选A.6．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎨⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n .故选A. 7．(2019·马鞍山一模)函数f (x )＝sin xx ＋x 2－2|x |的大致图象为( )答案 D解析 f (1)＝sin1＋1－2＝sin1－1<0，排除B ，C ，当x ＝0时，sin x ＝x ＝0，则x →0时，sin x x →1，f (x )→1＋0＝1，排除A ，故选D.8．(2019·南宁二模)已知△ABC 的一内角A ＝π3，O 为△ABC 所在平面上一点，满足|OA |＝|OB |＝|OC |，设AO →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n 的最大值为( )A.23 B ．1 C.43 D ．2 答案 A解析由题意可知，O 为△ABC 外接圆的圆心，如图所示，在圆O 中，∠CAB 所对应的圆心角为2π3，点B ，C 为定点，点A 为优弧上的动点，则点A ，B ，C ，O 满足题中的已知条件，延长AO 交BC 于点D ，设AO →＝λAD →，由题意可知，AD →＝1λAO →＝m λAB →＋n λAC →，由于B ，C ，D 三点共线，据此可得，m λ＋n λ＝1，则m ＋n ＝λ，则m ＋n 的最大值即λ＝|AO →||AD →|的最大值，由于|AO →|为定值，故|AD →|最小时，m ＋n 取得最大值，由几何关系易知当AB ＝AC 时，|AD →|取得最小值，此时λ＝|AO →||AD →|＝23.故选A.9．(2019·合肥二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段F 1A 为直径的圆交线段F 1B 的延长线于点P ，若F 2B ∥AP ，则该椭圆的离心率是( )A.33 B.23 C.32 D.22答案 D解析解法一：如图所示，以线段F 1A 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －c 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，化为x 2－(a －c )x ＋y 2－ac ＝0.直线F 1B 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，联立⎩⎨⎧bx －cy ＋bc ＝0，x 2－(a －c )x ＋y 2－ac ＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac 2－b 2c a 2，abc －b 3＋a 2b a 2， k AP ＝abc ＋bc 2ac 2－b 2c －a 3，kF 2B ＝－bc . ∵F 2B ∥AP ，∴ac ＋c 2ac 2－b 2c －a 3＝－1c ，化为e 2＝12，e ∈(0,1)，解得e ＝22.故选D. 解法二：F 1A 为圆的直径，∴∠F 1P A ＝90°. ∵F 2B ∥AP ，∴∠F 1BF 2＝90°，∴2a 2＝(2c )2，解得e ＝22.故选D.10．(2019·郑州一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin (x ＋a )，x ≤0，cos (x ＋b )，x >0的图象关于y 轴对称，则y ＝sin x 的图象向左平移________个单位，可以得到y ＝cos(x ＋a ＋b )的图象．( )A.π4B.π3C.π2 D ．π 答案 D解析函数f (x )＝⎩⎨⎧sin (x ＋a )，x ≤0，cos (x ＋b )，x >0的图象关于y 轴对称，故f (x )＝f (－x )，所以sin(x ＋a )＝cos(－x ＋b )＝cos(x －b )，整理得2k π＋a ＝π2－b (k ∈Z )，所以a ＋b ＝2k π＋π2(k ∈Z )，则y ＝cos(x ＋a ＋b )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π＋π2＝－sin x ，即y ＝sin x 的图象向左平移π个单位，得到y ＝sin(x ＋π)＝－sin x .故选D.11．(2019·大同一模)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在半径为3的球面上，AB ⊥AC ，则该三棱锥体积的最大值是( )A.323B.163C.643 D ．64 答案 A解析设AB ＝m ，AC ＝n ，则S △ABC ＝12mn ，△ABC 外接圆的直径为m 2＋n 2，如图，三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×12mn ×PO 1＝13×12mn ×⎝⎛⎭⎪⎫9－m 2＋n 24＋3≤13×m 2＋n 24⎝⎛⎭⎪⎫9－m 2＋n 24＋3，设t ＝m 2＋n 24，则f (t )＝13t (9－t ＋3)，f ′(t )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫9－t －t 29－t ＋3，令f ′(t )＝0，得t ＝8，f (t )在(0,8)上递增，在[8,9]上递减，∴f (t )max ＝f (8)＝323，即该三棱锥体积的最大值是323.故选A.12．(2019·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x，x >1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94∪{1} D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1} 答案 D解析如图，分别画出两函数y ＝f (x )和y ＝－14x ＋a 的图象．(1)先研究当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2x 的图象只有一个交点的情况．当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1,2)时， 2＝－14＋a ，解得a ＝94. 所以0≤a ≤94.(2)再研究当x >1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝1x 的图象只有一个交点的情况： ①相切时，由y ′＝－1x 2＝－14，得x ＝2，此时切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则a ＝1.②相交时，由图象可知直线y ＝－14x ＋a 从过点A 向右上方移动时与y ＝1x 的图象只有一个交点．过点A (1，1)时，1＝－14＋a ，解得a ＝54.所以a ≥54.结合图象可得，所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1}．故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·宝鸡二模)已知曲线f(x)＝23x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则sin2α－cos2α2sinαcosα＋cos2α的值为________．答案3 5解析因为曲线f(x)＝23x3，所以函数f(x)的导函数f′(x)＝2x2，可得f′(1)＝2，因为曲线f(x)＝23x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，所以tanα＝f′(1)＝2，所以sin2α－cos2α2sinαcosα＋cos2α＝tan2α－12tanα＋1＝4－14＋1＝35.14．(2019·江苏高考)如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．答案 5解析第一次循环，S＝12，x＝2；第二次循环，S＝12＋22＝32，x＝3；第三次循环，S＝32＋32＝3，x＝4；第四次循环，S＝3＋42＝5，满足x≥4，结束循环．故输出的S的值是5.15．(2019·郴州二模)某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种．答案156解析安排6名老师到4个班，其中按1,1,2,2分法，共有C16C15C24C22＝180种，刘老师和王老师分配到一个班，共有C14C13A22＝24种，所以刘老师和王老师不在一起的安排方案有180－24＝156种．16．(2019·海南二模)已知菱形ABCD ，E 为AD 的中点，且BE ＝3，则菱形ABCD 面积的最大值为________．答案 12解析设AE ＝x ，则AB ＝AD ＝2x ，∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴⎩⎨⎧ AB ＋AE >BE ，AB －AE <BE ，即⎩⎨⎧ 2x ＋x >3，2x －x <3⇒⎩⎨⎧x >1，x <3，∴x ∈(1,3)，设∠BAE ＝θ，在△ABE 中，由余弦定理可知9＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x cos θ，即cos θ＝5x 2－94x 2，S菱形ABCD ＝2x ·2x ·sin θ＝4x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2－94x 22＝－9(x 4－10x 2＋9)，令t ＝x 2，则t ∈(1,9)，则S 菱形ABCD ＝－9[(t －5)2－16]，当t ＝5时，即x ＝5时，S 菱形ABCD 有最大值12.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·潍坊市三模)设数列{a n }满足a 1·2a 2·3a 3·…·na n ＝2n (n ∈N *)． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2＋2n ＋1a n 的前n 项和S n .解 (1)由n ＝1得a 1＝2，因为a 1·2a 2·3a 3·…·na n ＝2n ，当n ≥2时，a 1·2a 2·3a 3·…·(n －1)a n －1＝2n －1，由两式作商得，a n ＝2n (n >1且n ∈N *)，又因为a 1＝2符合上式，所以a n ＝2n (n ∈N *)． (2)设b n ＝2＋2n ＋1a n ，则b n ＝n ＋n ·2n ，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1＋2＋…＋n )＋(2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n )，设T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ， ①所以2T n ＝22＋2·23＋…＋(n －2)·2n －1＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， ② ①－②得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，所以T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.所以S n ＝T n ＋n (n ＋1)2，即S n ＝(n －1)·2n ＋1＋n (n ＋1)2＋2.18．(本小题满分12分)(2019·湖南、湖北八市十二校联合调研)近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示：表1：(1)根据散点图判断，在推广期内y ＝a ＋bx 与y ＝c ·d x (c ，d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2：表2：8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为12.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用．参考数据：⎝ ⎛⎭⎪其中v i ＝lg y i ，v －＝17∑i ＝1v i 参考公式：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝a ^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β^＝∑ni ＝1u i v i －n u －v－∑n i ＝1u 2i －n u－2，a ^＝v －－β^u －.解 (1)根据散点图判断，y ＝c ·d x 适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型．(2)∵y ＝c ·d x ，两边同时取常用对数得，lg y ＝lg (c ·d x )＝lg c ＋x lg d ；设lg y ＝v ，∴v ＝lg c ＋x lg d ，∵x －＝4，v －＝1.54，∑7i ＝1x 2i ＝140，∴lg d ^＝∑7i ＝1x i v i －7x v∑7i ＝1x 2i －7x －2＝50.12－7×4×1.54140－7×42＝728＝0.25.把样本中心点(4,1.54)代入v ＝lg c ＋x lg d ，得 lg c^＝0.54 ， ∴v^＝0.54＋0.25x ，∴lg y ^＝0.54＋0.25x ， ∴y 关于x 的回归方程式为y ^＝100.54＋0.25x ＝100.54×(100.25)x ＝3.47×100.25x ，把x ＝8代入上式，y ^＝3.47×102＝347. 活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470. (3)记一名乘客乘车支付的费用为Z ，则Z 的取值可能为2,1.8,1.6,1.4， P (Z ＝2)＝0.1；P (Z ＝1.8)＝0.3×12＝0.15；P (Z ＝1.6)＝0.6＋0.3×13＝0.7；P (Z ＝1.4)＝0.3×16＝0.05，分布列为：2×0.1＋1.8×0.15＋1.6×0.7＋1.4×0.05＝1.66(元)．19．(本小题满分12分)(2019·广州市二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∠APD＝90°，且AD＝PB.(1)求证：平面P AD⊥平面ABCD；(2)若AD⊥PB，求二面角D－PB－C的余弦值．解(1)证明：如图，取AD的中点O，连接OP，OB，BD，因为底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，所以AD＝AB＝BD.因为O为AD的中点，所以OB⊥AD.在△APD中，∠APD＝90°，O为AD的中点，所以PO＝12AD＝AO.设AD＝PB＝2a，则OB＝3a，PO＝OA＝a，因为PO2＋OB2＝a2＋3a2＝4a2＝PB2，所以OP⊥OB.因为OP∩AD＝O，OP⊂平面P AD，AD⊂平面P AD，所以OB⊥平面P AD.因为OB⊂平面ABCD，所以平面P AD⊥平面ABCD.(2)解法一：因为AD⊥PB，AD ⊥OB ，OB ∩PB ＝B ， PB ⊂平面POB ， OB ⊂平面POB ，所以AD ⊥平面POB . 所以PO ⊥AD .由(1)得PO ⊥OB ，AD ⊥OB ，所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直．以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (1,0,0)，D (－1,0,0)，B (0，3，0)，P (0,0,1)，所以PD →＝(－1,0，－1)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝AD →＝(－2,0,0)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝－x 1－z 1＝0，n ·PB →＝3y 1－z 1＝0，令y 1＝1，则x 1＝－3，z 1＝3，所以n ＝(－3，1，3)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝－2x 2＝0，m ·PB →＝3y 2－z 2＝0，令y 2＝1，则x 2＝0，z 2＝3，所以m ＝(0,1，3)．设二面角D －PB －C 为θ，由于θ为锐角，所以|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝42×7＝277.所以二面角D －PB －C 的余弦值为277. 解法二：因为AD ⊥PB ， AD ⊥OB ，OB ∩PB ＝B ， PB ⊂平面POB ， OB ⊂平面POB ，所以AD ⊥平面POB . 所以PO ⊥AD .所以PO ＝a ，PD ＝2a . 过点D 作DH ⊥PB ，H 为垂足，过点H 作HG ∥BC 交PC 于点G ，连接DG ，因为AD ⊥PB ，BC ∥AD ，所以BC ⊥PB ，即HG ⊥PB .所以∠DHG 为二面角D －PB －C 的平面角．在等腰△BDP 中，BD ＝BP ＝2a ，PD ＝2a ，根据等面积法可以求得DH ＝72a . 进而可以求得PH ＝12a ，所以HG ＝12a ，PG ＝22a .在△PDC 中，PD ＝2a ，DC ＝2a ，PC ＝22a ，所以cos ∠DPC ＝PD 2＋PC 2－DC 22PD ·PC＝34.在△PDG 中，PD ＝2a ，PG ＝22a ，cos ∠DPC ＝34，所以DG 2＝PD 2＋PG 2－2PD ·PG ·cos ∠DPG ＝a 2，即DG ＝a . 在△DHG 中，DH ＝72a ，HG ＝12a ，DG ＝a ，所以cos ∠DHG ＝DH 2＋HG 2－DG 22DH ·HG ＝277.所以二面角D －PB －C 的余弦值为277.20．(本小题满分12分)(2019·扬州一模)已知直线x ＝－2上有一动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP →·OQ →＝0(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．解 (1)设点P (x ，y )，则Q (－2，y )， ∴OP →＝(x ，y )，OQ →＝(－2，y )．∵OP →·OQ →＝0，∴OP →·OQ →＝－2x ＋y 2＝0，即y 2＝2x . 所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)，直线BD 与x 轴交点为E ，直线AB 与内切圆的切点为T .设直线AM 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，则联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(k 2－2)x ＋k 24＝0，∴x 1x 2＝14且0<x 1<x 2，∴x 1<12<x 2， ∴直线AN 的方程为y ＝y 1x 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，与方程y 2＝2x 联立得y 21x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋2x 21－2x 1＋12x ＋14y 21＝0，化简得2x 1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 21＋12x ＋12x 1＝0，解得x 3＝14x 1或x 3＝x 1.∵x 3＝14x 1＝x 2，∴BD ⊥x 轴，设△MBD 的内切圆圆心为H ，则点H 在x 轴上且HT ⊥AB . ∴S △MBD ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|2y 2|，且△MBD 的周长为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＋2|y 2|， ∴S △MBD ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＋2|y 2|·r ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12·|2y 2|， ∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|y 2||y 2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＝11x 2＋12＋1y 22＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＝112x 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋1x 2＋12，令t ＝x 2＋12，则t >1， ∴r ＝112t －1＋1t 2＋1t在区间(1，＋∞)上单调递增，则r >12＋1＝2－1，即r 的取值范围为(2－1，＋∞)．21．(本小题满分12分)(2019·湖南永州三模)已知函数f (x )＝ln x 2－ax ＋bx (a ，b >0)，对任意x >0，都有f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＝0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围．解 (1)由f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＝ln x 2－ax ＋b x ＋ln 2x －4a x ＋xb 4＝0，得b ＝4a ，f (x )＝ln x 2－ax ＋4a x ，f ′(x )＝1x －a －4a x 2＝－ax 2＋x －4ax 2(x >0)．令h (x )＝－ax 2＋x －4a ，若Δ＝1－16a 2≤0时，求得a ≥14，此时h (x )≤0，f ′(x )≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．若Δ＝1－16a 2＞0，即0<a <14时，h (x )有两个零点， x 1＝1－1－16a 22a >0，x 2＝1＋1－16a 22a >0，h (x )开口向下，当0<x <x 1时，h (x )＜0，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x 1<x <x 2时，h (x )＞0，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >x 2时，h (x )＜0，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≥14时，f (x )单调递减；当0<a <14时，f (x )在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，f (x )在(x 1，x 2)上单调递增．(2)由(1)知当a ≥14时，f (x )单调递减，不可能有三个不同的零点；当0<a <14时，f (x )在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，f (x )在(x 1，x 2)上单调递增， f (2)＝ln 22－2a ＋2a ＝0，又x 1x 2＝4，有x 1<2<x 2，f (x )在(x 1，x 2)上单调递增， f (x 1)<f (2)＝0，f (x 2)>f (2)＝0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝－ln 2a 2－1a ＋4a 3，令g (a )＝－ln 2a 2－1a ＋4a 3，g ′(a )＝－4a 2a 2＋1a 2＋12a 2＝12a 4－2a ＋1a 2，令h (a )＝12a 4－2a ＋1，h ′(a )＝48a 3－2，由h ′(a )＝48a 3－2＝0，求得a 0＝1324>14，当0<a <14时，h (a )单调递减，h (a )＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝364－12＋1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝g (a )＝－ln 2a 2－1a ＋4a 3在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递增，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝g (a )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝3ln 2－4＋116<0，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2<0，f (x 2)>0，1a 2>x 2，由零点存在性定理知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1a 2有一个根，设为x 0，又f (x 0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0＝0,0<4x 0<x 1，4x 0是f (x )的另一个零点，故当0<a <14时，f (x )存在三个不同的零点，分别为4x 0，2，x 0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·郴州三模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)，点M (0，－2)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其形状；(2)曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，若1|MA |＋1|MB |＝174，求sin α的值．解 (1)由ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得ρ＝4cos θ－4sin θ，所以ρ2＝4ρcos θ－4ρsin θ.即x 2＋y 2＝4x －4y ，(x －2)2＋(y ＋2)2＝8.所以曲线C 2是以(2，－2)为圆心，22为半径的圆． (2)将⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α代入(x －2)2＋(y ＋2)2＝8.整理得t 2－4t cos α－4＝0.设点A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4cos α，t 1t 2＝－4.1|MA |＋1|MB |＝|MA |＋|MB ||MA ||MB |＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1－t 2|4＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 24＝16cos 2α＋164＝174. 解得cos 2α＝116，则sin α＝154.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·郴州三摸)已知f (x )＝|ax ＋2|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>3x 的解集； (2)若f (1)≤M ，f (2)≤M ，证明：M ≥23.解 (1)当a ＝2时，不等式f (x )>3x 可化为|2x ＋2|>3x . 当x ≤－1时，－2x －2>3x ，x <－25，所以x ≤－1；当x>－1时，2x＋2>3x，x<2，所以－1<x<2.所以不等式f(x)>3x的解集是(－∞，2)．(2)证明：由f(1)≤M，f(2)≤M，得M≥|a＋2|，M≥|2a＋2|，3M＝2M＋M≥2|a＋2|＋|2a＋2|，又2|a＋2|＋|2a＋2|≥|4－2|＝2，所以3M≥2，即M≥2 3.。

2020高考理数刷题1+1(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)素养提升练(2)(教师版)

素养提升练(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·合肥一中模拟)设z＝1＋i1－i，z是z的共轭复数，则z·z＝()A．－1 B．i C．1 D．4 答案C解析z＝1＋i1－i＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝i，则z＝－i，故z·z＝i·(－i)＝1，故选C.2．(2019·德州二模)已知全集U＝Z，A＝{1,2,3,4}，B＝{x|(x＋1)(x－3)>0，x ∈Z}，则集合A∩(∁U B)的子集的个数为()A．2 B．4 C．8 D．16答案C解析由题意可得，∁U B＝{x|(x＋1)(x－3)≤0，x∈Z}＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3}，则集合A∩(∁U B)＝{1,2,3}，故其子集的个数为23＝8，故选C.3．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.22B．1 C. 2 D．2答案C解析由题意可得ba＝1，∴e＝1＋b2a2＝1＋12＝ 2.故选C.4．(2019·陕西宝鸡质检)函数f(x)＝ln x－12x2的图象大致是()答案 B解析 ∵f (x )＝ln x －12x 2(x >0)，∴f ′(x )＝1x －x (x >0)，则当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数；当x ＝1时，f (x )取最大值，f (1)＝－12.故选B.5．(2019·邢台一中一模)已知向量a ＝(m,3)，b ＝(3，－n )，若a ＋2b ＝(7,1)，则mn ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 ∵a ＋2b ＝(7,1)，∴⎩⎨⎧m ＋6＝7，3－2n ＝1，得m ＝n ＝1，∴mn ＝1.故选C.6．(2019·江南十校模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝27，c ＝3，B ＝2C ，则cos2C 的值为( )A.73B.59C.49D.74 答案 B解析由正弦定理可得，b sin B ＝c sin C ，即b c ＝sin B sin C ＝sin2C sin C ＝2sin C cos Csin C ＝2cos C＝273⇒cos C ＝73，∴cos2C ＝2cos 2C －1＝2×79－1＝59，故选B.7．(2019·南昌模拟)根据某校10位高一同学的身高，设计一个程序框图，用A i (i ＝1,2，…，10)表示第i 个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是( )A ．B ＝B ＋A i B ．B ＝B ＋A 2iC ．B ＝(B ＋A i －A )2D ．B ＝B 2＋A 2i答案 B解析由s 2＝(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2n＝x 21＋x 22＋…＋x 2n －2(x 1＋x 2＋…＋x n )x ＋n x2n＝x 21＋x 22＋…＋x 2n －2n x 2＋n x2n＝x 21＋x 22＋…＋x 2n n－x 2，循环退出时i ＝11，知x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A i －12.∴B ＝A 21＋A 22＋…＋A 210，故程序框图①中要补充的语句是B ＝B ＋A 2i .故选B.8．(2019·西安交大附中二模)中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数．“礼”，礼节，即今德育；“乐”，音乐；“射”和“御”，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动；“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今数学．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”必须排在第一，“数”不能排在最后，“射”和“御”要相邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有( )A ．18种B ．36种C ．72种D ．144种答案B解析因为“礼”必须排在第一，故只需考虑其余5种基本才能的排法即可．如果“射”或“御”排在最后，那么“射”和“御”有2种排法，即A22种，余下3种才能共有A33种排法，故此时共有A22A33＝12种排法；如果“射”和“御”均不在最后，那么“射”和“御”有3×2＝6种排法，中间还余两个位置，两个位置可选一个给“数”，有2种排法，余下两个位置放置最后的两个基本才能，有A22种排法，故共有24种排法，综上，共有36种排法，故选B.9．(2019·上饶一模)在空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，且E，F分别是AB，CD的中点，则异面直线AC与EF所成的角为() A．30°B．45°C．60°D．90°答案B解析在图1中连接DE，EC，∵AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，得△DEC为等腰三角形，设空间四边形ABCD的边长为2，即AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝2，在△DEC中，DE＝EC＝3，CF＝1，得EF＝ 2.在图2中取AD的中点M，连接MF，EM，∵E，F分别是AB，CD的中点，∴MF＝1，EM＝1，∠EFM是异面直线AC与EF所成的角．在△EMF中可由余弦定理得cos∠EFM＝FE2＋MF2－ME22FE·MF＝(2)2＋1－122＝22，∴∠EFM＝45°，即异面直线AC与EF所成的角为45°.故选B. 10．(2019·广大附中模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋a cos(2x＋φ)(0<φ<π)的最大值为2，且满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，则φ＝( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 答案 D解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋a cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的最大值为2，∴1＋a 2＝2，∴a ＝±3，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)±3cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ±π3，又∵f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，∴直线x ＝π4是函数f (x )的一条对称轴， ∴2×π4＋φ±π3＝π2＋k π(k ∈Z )， ∴φ＝±π3＋k π(k ∈Z )，又∵0<φ<π，∴φ＝π3或2π3.故选D.11．(2019·临沂检测)已知函数g (x )＝f (x )＋x 2是奇函数，当x >0时，函数f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称，则g (－1)＋g (－2)＝( )A ．－7B ．－9C ．－11D ．－13 答案 C解析 ∵x >0时，f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称， ∴x >0时，f (x )＝2x ，则g (x )＝2x ＋x 2，又g (x )是奇函数，∴g (－1)＋g (－2)＝－[g (1)＋g (2)]＝－(2＋1＋4＋4)＝－11.故选C.12．(2019·济南模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1→·AF 2→＝0，AF 2→＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( )A.23B.34C.53D.74 答案 C解析 ∵AF 2→＝2F 2B →，设BF 2＝x ，则AF 2＝2x ，由椭圆的定义，可以得到AF 1＝2a －2x ，BF 1＝2a －x ， ∵AF 1→·AF 2→＝0，∴AF 1⊥AF 2，在Rt △AF 1B 中，有(2a －2x )2＋(3x )2＝(2a －x )2，解得x ＝a 3，∴AF 2＝2a3，AF 1＝4a 3，在Rt △AF 1F 2中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＝(2c )2，整理得c 2a 2＝59，∴e ＝c a ＝53.故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·江西八校联考)若函数f (x )＝ln (e x ＋1)＋ax 为偶函数，则⎠⎛1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x a d x＝________.答案 e 2解析因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )恒成立，即ln (e x ＋1)＋ax ＝ln (e－x＋1)－ax 恒成立，2ax ＝ln e －x ＋1e x ＋1＝ln 1e x ＝－x 恒成立，所以a ＝－12.⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋2x d x ＝(ln x ＋x 2) ⎪⎪⎪e1＝ln e ＋e 2－ln 1－12＝e 2.14．(2019·浙江高考)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．答案 162 5解析由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9，当为常数项时，r ＝0，T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2. 当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.15．(2019·江南十校模拟)已知sin αcos α1＋3cos 2α＝14，且tan(α＋β)＝13，则tan β的值为________．答案－1 解析 ∵sin αcos α1＋3cos 2α＝sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝tan αtan 2α＋4＝14，∴tan α＝2，又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2＋tan β1－2tan β＝13，解得tan β＝－1. 16．(2019·湘潭一模)在三棱锥D －ABC 中，CD ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝BD ＝5，BC ＝4，则此三棱锥的外接球的表面积为________．答案 34π解析由题意可得AC ＝CD ＝52－42＝3，故三棱锥D －ABC 的外接球的半径R ＝32＋42＋322＝342，则其表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫3422＝34π. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·唐山一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋S n ＝n ＋1.(1)求S n ，a n ；(2)若b n ＝(－1)n －1·a n ＋1S n ＋n，{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解 (1)令n ＝1，得a 1＋a 1＝2，(a 1＋2)(a 1－1)＝0，得a 1＝1，所以S n ＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝1适合上式，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －1·a n ＋1S n ＋n ＝(－1)n －1·2n ＋1n 2＋n ＝(－1)n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，当n 为奇数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝1＋1n ＋1＝n ＋2n ＋1，综上所述，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧nn ＋1(n 为偶数)，n ＋2n ＋1(n 为奇数).⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫另解：T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋15＋…＋(－1)n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝1＋(－1)n －1·1n ＋1＝n ＋1＋(－1)n －1n ＋1.18．(本小题满分12分)(2019·长沙一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥AD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，AD ＝λBC ，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，M 为线段PB 上一点．(1)若λ＝13，则在线段PB 上是否存在点M ，使得AM ∥平面PCD ？若存在，请确定M 点的位置；若不存在，请说明理由；(2)已知P A ＝2，AD ＝1，若异面直线P A 与CD 成90°角，二面角B －PC －D 的余弦值为－1010，求CD 的长．解 (1)延长BA ，CD 交于点E ，连接PE ，则PE ⊂平面PCD .若AM ∥平面PCD .由平面PBE ∩平面PCD ＝PE ，AM ⊂平面PBE ，则AM ∥PE .由AD ＝13BC ，AD ∥BC ，则PM PB ＝EA EB ＝13.故点M 是线段PB 上靠近点P 的一个三等分点．(2)∵P A ⊥AD ，P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则P A ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，以AD ，AP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，过点A 与平面P AD 垂直的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则P (0,0,2)，D (0,1,0)，C (t,1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1－1λ，0，则BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1λ，0，PC →＝(t,1，－2)，CD →＝(－t,0,0)．设平面PBC 和平面PCD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1⊥BC →，n 1⊥PC →得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1·1λ＝0，tx 1＋y 1－2z 1＝0，令x 1＝1，则z 1＝t 2，故n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，t 2.同理可求得n 2＝(0,2,1)．设二面角B －PC －D 的大小为θ，于是|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22·5＝1010，解得t ＝±2(负值舍去)，故t ＝2. ∴CD ＝2.19．(本小题满分12分)(2019·郑州二模)目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其他省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：(1)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ (2)将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99.9%的把握认为选历史与性别有关？(3)ξ＝⎩⎨⎧0，2名男生选考方案不同，1，2名男生选考方案相同，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)8人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有20人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有2836×3660×840＝392人．(2)列联表如下，由列联表中数据得K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝12×16)220×16×20×16＝36×162×11220×16×20×16＝1089100＝10.89＞10.828，所以有99.9%的把握认为选历史与性别有关．(3)由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物；有4人选择物理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治，由已知ξ的取值为0,1.P (ξ＝1)＝C 28＋C 24＋C 22＋C 22C 216＝310，P (ξ＝0)＝1－P (ξ＝1)＝710⎝⎛⎭⎪⎫或P (ξ＝0)＝C 18C 18＋C 14C 14＋C 12C 12C 216＝710，所以分布列为E (ξ)＝0×710＋1×310＝310.20．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知点A (－2,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12.记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .①证明：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值．解 (1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12，化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k2. 设u ＝21＋2k2，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u,0)．于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k2(x －u )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2(x －u )，x 24＋y 22＝1，得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0.① 设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解，故x G ＝u (3k 2＋2)2＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2.从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uk u (3k 2＋2)2＋k 2－u＝－1k . 所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形． ②由①得|PQ |＝2u 1＋k 2，|PG |＝2uk k 2＋12＋k 2，所以△PQG 的面积S ＝12|PQ ||PG |＝8k (1＋k 2)(1＋2k 2)(2＋k 2)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 2.设t ＝k ＋1k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号．因为S ＝8t1＋2t 2在[2，＋∞)单调递减，所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169. 因此，△PQG 面积的最大值为169.21．(本小题满分12分)(2019·南京市三模)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1，a ∈R . (1)若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；(2)记g (x )＝f (x )＋ax ，若函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上有最小值，求实数a 的取值范围；(3)当a ＝0时，关于x 的方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1x －ax 2，则f ′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f (x )＝ln x －1x ＋1，此时f (1)＝ln 1－1＋1＝0，则切点坐标为(1,0)，代入切线方程，得b ＝－2，所以a ＝－1，b ＝－2.(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋ax ＋ax ＋1， g ′(x )＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2.①当a ＝0时，g ′(x )＝1x ＞0，则g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，则g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无最小值． ②当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0，则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2. 设函数m (x )＝ax 2＋x －a (x ＞0)． (ⅰ)若a ＞0，若x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则m (0)＝－a ＜0，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 4＋12－a ＞0，解得0＜a ＜23.此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＜0，则g (x )单调递减； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，12时，m (x )＞0，则g (x )单调递增，当x ＝x 2时，g (x )取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，m (x )＜0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，无最小值．(ⅱ)若a ＜0，x ∈(0，x 2)时，m (x )＞0，则g (x )单调递增； x ∈(x 2，＋∞)时，m (x )＜0，则g (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上，g (x )不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上有最小值．(3)当a ＝0时，由方程f (x )＝bx 2，得ln x ＋1－bx 2＝0，记h (x )＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0，则h ′(x )＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x.①当b ≤0时，h ′(x )＞0恒成立，即h (x )在(0，＋∞)上为增函数，则函数h (x )至多只有一个零点，即方程f (x )＝bx 2至多只有一个实数根，所以b ≤0不符合题意．②当b ＞0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12b 时，h ′(x )＞0，则函数h (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫12b ，＋∞时，h ′(x )＜0，则函数h (x )单调递减，则h (x )max ＝h ⎝⎛⎭⎪⎫12b ＝ln 12b ＋12.要使方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，则h ⎝⎛⎭⎪⎫12b ＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e 2.(ⅰ)当0＜b ＜e 2时，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－b e 2＜0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2＝2b －e22b e 2＜0，则1e ＜ 12b ，所以存在唯一的x 1′∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，12b ，使得h (x 1′)＝0. (ⅱ)h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k (b )＝－ln b ＋1－1b ，00，即1b ＞12b ，所以存在唯一的x 2′∈⎝⎛⎦⎥⎤12b ，1b ，使得h (x 2′)＝0. 综上，当0＜b ＜e2时，方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·玉溪一中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .(1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2的极坐标方程为ρ＋8cos θ＝0(ρ∈R )，与直线l 在第三象限交于A 点，直线l 与C 1在第一象限的交点为B ，求|AB |.解 (1)由题意知C 1的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ4＝1，化简整理得1ρ2＝cos 2θ＋sin 2θ4.(2)由题意得直线l 的极坐标方程为θ＝π3或ρ＝4π3，不妨取ρ＝π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，ρ＋8cos θ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π3.同理⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，cos 2θ＋sin 2θ4＝1ρ2，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫477，π3，|AB |＝|ρA －ρB |＝4＋477. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·合肥冲刺)已知函数f (x )＝|x ＋2|－|x －2|＋m (m ∈R )． (1)若m ＝1，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－x 有三个零点，求实数m 的取值范围．解(1)当m ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧－3(x <－2)，2x ＋1(－2≤x ≤2)，5(x >2)，∵f (x )≥0，∴当x <－2时，x ∈∅；当－2≤x ≤2时，2x ＋1≥0得x ≥－12， ∴－12≤x ≤2，当x >2时，f (x )≥0恒成立，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－12. (2)若函数g (x )＝f (x )－x 有三个零点，只需f (x )＝⎩⎨⎧m －4(x <－2)，2x ＋m (－2≤x ≤2)，m ＋4(x >2)与y ＝x 有三个交点即可．即f (x )每一段与y ＝x 各有一个交点．当x <－2时，m －4＝x ，即m ＝x ＋4，∴m <2；当－2≤x ≤2时，2x ＋m ＝x ，即m ＝－x ，∴－2≤m≤2；当x>2时，m＋4＝x，即m＝x－4，∴m>－2. ∴综上所述，m的取值范围是－2<m<2.。

2020高考理数刷题1+1(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)基础巩固练(2)(学生版)

基础巩固练(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·北京高考)已知复数z＝2＋i，则z·z＝()A. 3B. 5 C．3 D．52．(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0，1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B＝()A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}3．(2019·湛江二模)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()4．(2019·内蒙古呼和浩特市高三3月第一次质量普查)在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为()A．9 B．27 C．54 D．815．(2019·绍兴市适应性试卷)函数f(x)＝(x3－x)ln |x|的图象是()6．(2019·四川省内江二模)如果执行下面的程序框图，输出的S ＝110，则判断框处为( )A ．k <10?B ．k ≥11?C ．k ≤10?D ．k >11?7．(2019·九江二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )A.2π－332(π－3)B.32(π－3)C.32(π＋3)D.2π－332(π＋3)8．(2019·淄博一模)已知M (－4,0)，N (0,4)，点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎨⎧ x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，则MP →·NP →的最小值为( )A.25B.425 C ．－19625 D ．－ 59．(2019·临沂一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，则b ＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D. 510．(2019·山东济南高三3月模拟)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( ) A.23 B.34 C.43 D.3211．(2019·石家庄模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线右支上一点，线段AF 1交左支于点B ，若AF 2⊥BF 2，且|BF 1|＝13|AF 2|，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B.655 C.355 D ．312．(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·烟台一模)已知(a －x )(2＋x )5的展开式中x 3的系数为40，则实数a 的值为________．14．(2019·揭阳一模)在曲线f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的所有切线中，斜率为1的切线方程为________．15．(2019·唐山一模)在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AC ＝2，且AD ⊥CD ，该四面体外接球的表面积为________．16．(2019·河南省十所名校高三尖子生第二次联考)若函数y ＝f (x )的图象存在经过原点的对称轴，则称y ＝f (x )为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有________．(填写所有正确结论的序号)①y ＝⎩⎨⎧ e x (x ≤0)，ln x (0<x ≤1)；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ；③y ＝ln (e 3x ＋1)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·四川攀枝花高三第二次统考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝14a n －1，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 18．(本小题满分12分)(2019·石家庄质量检测)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面ABB 1A 1为菱形，A 1C ＝BC .(1)求证：A1B⊥平面AB1C；(2)若∠ABB1＝60°，∠CBA＝∠CBB1，AC⊥B1C，求二面角B－AC－A1的余弦值．19．(本小题满分12分)(2019·拉萨一模)已知F为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点，点P(2，2)在C上，且PF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过F的直线l交C于A，B两点，交直线x＝4于点M.证明：直线P A，PM，PB的斜率成等差数列．20．(本小题满分12分)(2019·武汉一模)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x ，σ2近似为样本方差s 2，经计算得s 2＝6.92，利用该正态分布，求：(ⅰ)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？(ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X ～N (μ，σ2)，则①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6827；②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.9545；③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.9973.21．(本小题满分12分)(2019·长春三模)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x ＋a ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若x ＝2是f (x )的极值点，且曲线y ＝f (x )在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))(x 1<x 2<6)处切线平行，在y 轴上的截距分别为b 1，b 2，求b 1－b 2的取值范围．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·陕西模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)． (1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状；(2)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·陕西模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R .(1)求实数m的取值范围；(2)若m的最大值为n，当正数a，b满足23a＋b＋1a＋2b＝n时，求7a＋4b的最小值．。

2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练(课件+优选练)：专题六平面向量

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2019·漳州质量监测)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝ 3，且 a，b 夹
若A→P＝A→B＋λA→C，且A→P⊥B→C，则实数 λ 的值为( )
4 A.5
B．－45
C．0
D．－25
答案 C
答案
解析 ∵A→P⊥B→C，∴A→P·B→C＝0，即(A→B＋λA→C)·(A→C－A→B)＝0，∴λA→C2 ＋(1－λ)A→B·A→C－A→B2＝0，∵A→B·A→C＝2×4×cos60°＝4，A→B2＝4，A→C2＝16， ∴16λ＋4(1－λ)－4＝0，∴λ＝0.故选 C.
BC 于 D，A→D＝λA→B＋μA→C，则μλ＝(
)
A．3 B．6 C．2 3 D．3 2
答案 B 解析 ∵B→C＝A→C－A→B，A→D⊥B→C，∴(λA→B＋μA→C)·(－A→B＋A→C)＝0，∴－ λA→B2＋μA→C2＋(λ－μ)A→B·A→C＝0，∴λ＝6μ，∴μλ＝6.故选 B.
答案
∴cos2θ＝cos2θ－π6＋π6
＝cos2θ－π6cosπ6－sin2θ－π6sinπ6
＝－54× 23－53×12＝－4
3＋3 10 .
答案
18．(本小题满分 12 分)(2019·佳木斯一中调研)已知向量 a，b 满足：|a| ＝ 2，|b|＝4，a·(b－a)＝2.
解析
11．(2019·大兴区第一学期期末)已知 i，j，k 为共面的三个单位向量，

2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练(课件+优选练)：专题四导数及其应用、定积分

专题四导数及其应用、定积分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D解析 y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D. 2．(2019·陕西九校质量考评)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ex ，x ≥0，－x ，x ＜0，又函数g (x )＝f 2(x )＋tf (x )＋1(t ∈R )有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－e 2＋1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋1e ，－2D.⎝⎛⎭⎪⎫2，e 2＋1e 答案 A解析由已知有f (x )＝xe x (x ≥0)，f ′(x )＝1－x e x ，易得0≤x ＜1时，f ′(x )＞0，x ＞1时，f ′(x )＜0，即f (x )在[0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，设m ＝f (x )，则h (m )＝m 2＋tm ＋1，设h (m )＝m 2＋tm ＋1的零点为m 1，m 2，则g (x )＝f 2(x )＋tf (x )＋1(t ∈R )有4个不同的零点，等价于t ＝f (x )的图象与直线m ＝m 1，m ＝m 2的交点有4个，函数t ＝f (x )的图象与直线m ＝m 1，m ＝m 2的位置关系如图所示，由图知，0＜m 2＜1e ＜m 1，即h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＜0，解得t ＜－e 2＋1e ，故选A.3．(2019·福建漳州高三下学期第二次教学质量监测)已知f (x )＝e 2x ＋e x ＋2－2e 4，g (x )＝x 2－3a e x ，A ＝{x |f (x )＝0}，B ＝{x |g (x )＝0}，若存在x 1∈A ，x 2∈B ，使得|x 1－x 2|＜1，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13e ，43e 2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13e ，83e 2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13e ，8e 2 答案 B解析因为f (x )＝e 2x ＋e x ＋2－2e 4＝(e x －e 2)(e x ＋2e 2)，令f (x )＝0，解得x 1＝2，又|x 1－x 2|＜1，则|2－x 2|＜1，即1＜x 2＜3，即g (x )＝x 2－3a e x 在(1,3)上存在零点，即x 2－3a e x ＝0在(1,3)上有解，得3a ＝x 2e x 在(1,3)上有解，设h (x )＝x 2e x ，x ∈(1,3)，由h ′(x )＝x (2－x )e x ，所以h (x )在(1,2)上为增函数，在(2,3)上为减函数，又h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3＞h (1)，所以1e ＜h (x )≤4e 2，所以只需1e ＜3a ≤4e 2，即13e ＜a ≤43e 2，故选B.4．(2019·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0 D ．x ＋y －π＋1＝0答案 C解析设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ，∴f ′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0.故选C.5. (2019·娄底二模)如图，在矩形OABC 中的曲线分别是y ＝sin x ，y ＝cos x 的一部分，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，C (0,1)，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P 1，取自非阴影部分的概率为P 2，则( )A ．P 1P 2C ．P 1＝P 2D ．大小关系不能确定答案 B解析根据题意，阴影部分的面积的一半为⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝2－1，于是此点取自阴影部分的概率为P 1＝2×2－1π2＝4(2－1)π＞4(1.4－1)3.2＝12.又P 2＝1－P 1<12，故P 1>P 2.故选B.6．(2019·内江一模)若函数f (x )＝33x 3＋ln x －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的倾斜角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析根据题意，设切线的斜率为k ，其倾斜角是θ， f (x )＝33x 3＋ln x －x ，则f ′(x )＝3x 2＋1x －1，则有k ＝f ′(1)＝3，则tan θ＝3，又由0≤θ<π，则θ＝π3.故选B.7．(2019·河南省八市重点高中第二次联合测评)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，1<x ≤4，x |x |，－1≤x ≤1，则⎠⎛-14 f (x )d x ＝( )A.14B.143 C ．7 D.212 答案 B解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，1<x ≤4，x |x |，－1≤x ≤1，则⎠⎛-14f (x )d x ＝⎠⎛-11x |x |d x ＋⎠⎛14x d x ＝0＋23x 32 ⎪⎪⎪41＝143.故选B.8．(2019·益阳市高三期末)已知变量x 1，x 2∈(0，m )(m >0)，且x 1<x 2，若恒成立，则m 的最大值为( ) A ．e B. e C.1e D ．1 答案 A解析对不等式两边同时取对数得ln<ln，即x 2ln x 1<x 1ln x 2，即ln x 1x1<ln x 2x 2恒成立，设f (x )＝ln xx ，x ∈(0，m )，∵x 1<x 2，f (x 1)<f (x 2)，则函数f (x )在(0，m )上为增函数，函数的导数f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2，由f ′(x )>0得1－ln x >0得ln x <1，得0<x <e ，即函数f (x )的增区间为(0，e)，则m 的最大值为e.故选A.9．(2019·大庆铁人中学高三一模)函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，导函数记为f ′(x )，当x >0且x ≠1时，2f (x )＋xf ′(x )x －1>0，若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为－45，则f (1)＝( )A.25B.35C.45 D ．1 答案 A解析当x >0且x ≠1时，2f (x )＋xf ′(x )x －1>0，可得x >1时,2f (x )＋xf ′(x )>0；1>x >0时，2f (x )＋xf ′(x )<0，令g(x )＝x 2f (x )，x ∈(0，＋∞)．∴g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]，可得x >1时，g ′(x )>0；1>x >0时，g ′(x )<0，可得函数g(x )在x ＝1处取得极小值，∴g ′(1)＝2f (1)＋f ′(1)＝0，f ′(1)＝－45，∴f (1)＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝25.故选A.10．(2019·江西新余四中、上高二中联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对任意的不相等的实数x 1，x 2∈[0，＋∞)有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，若关于x 的不等式f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)在x ∈[1,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12e ，1＋ln 66B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12e ，1＋ln 36 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，2＋ln 33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，2＋ln 63 答案 B解析结合题意可知f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，故f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)可以转换为f (2mx －ln x －3)≥f (3)对应于x ∈[1,3]恒成立，即|2mx －ln x －3|≤3，即0≤2mx －ln x ≤6对x ∈[1,3]恒成立，即2m ≥ln xx 且2m ≤6＋ln x x 对x ∈[1,3]恒成立．令g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 在[1，e)上递增，在(e,3]上递减．所以g (x )max ＝1e .令h (x )＝6＋ln x x ，则当x ∈[1,3]时，h ′(x )＝－5－ln xx 2<0，故h (x )在[1,3]上递减．所以h (x )min ＝6＋ln 33.故m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12e ，1＋ln 36.故选B.11．(2019·天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x >1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e]答案 C解析当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立，当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1. 综上，a ≥0.当x >1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，即a ≤xln x 恒成立．设g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2.令g ′(x )＝0，得x ＝e ，且当1<x <e 时，g ′(x )<0，当x >e 时，g ′(x )>0， ∴g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e.综上，a 的取值范围是0≤a ≤e ，即[0，e ]．故选C.12．(2019·安徽淮北、宿迁一模)已知函数f (x )＝2x ＋e 2x －k ，g (x )＝ln (2x ＋4)－4e k －2x (e 为自然对数的底数)，若关于x 的不等式f (x )≤g (x )＋1有解，则k 的值为( )A ．－2－ln 2B ．2－ln 2C ．－3－ln 2D ．3－ln 2 答案 C解析由f (x )≤g (x )＋1即e 2x －k ＋4e k －2x ≤ln (2x ＋4)－2x ＋1(x >－2)， (*) 而e2x －k＋4e k －2x ≥2e2x －k·4ek －2x＝4，当且仅当e2x －k＝2，即x ＝ln 2＋k2.记h (x )＝ln (2x ＋4)－2x ＋1，则h ′(x )＝1x ＋2－2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，得h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝4，若(*)成立，则x ＝ln 2＋k 2＝－32，得k ＝－3－ln 2.故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·武邑中学二调)设函数f (x )＝x 3－3x 2－ax ＋5－a ，若存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤13，54解析设g (x )＝x 3－3x 2＋5，h (x )＝a (x ＋1)，则g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， ∴当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0，当x ＜0或x ＞2时，g ′(x )＞0，∴g (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝2时，g (x )取得极小值g (2)＝1，作出g (x )与h (x )的函数图象如图：显然当a ≤0时，g (x )＞h (x )在(0，＋∞)上恒成立，即f (x )＝g (x )－h (x )＜0无正整数解；要使存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)＜0，显然x 0＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≥h (1)，g (2)＜h (2)，g (3)≥h (3)，即⎩⎪⎨⎪⎧3≥2a ，1＜3a ，5≥4a ，解得13＜a ≤54.14．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．答案 y ＝3x解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .15．(2019·武汉市二月调研)函数y ＝x ln (x ＋a )的图象在点(0,0)处的切线方程为y ＝x ，则实数a 的值为________．答案 e解析 y ′＝ln (x ＋a )＋xx ＋a，当x ＝0时，y ＝ln a ＝1，解得a ＝e. 16．(2019·江苏南通重点中学模拟)若函数f (x )在定义域D 内某区间H 上是增函数，且f (x )x 在H 上是减函数，则称y ＝f (x )在H 上是“弱增函数”．已知函数g (x )＝x 2＋(4－m )x ＋m 在(0,2]上是“弱增函数”，则实数m 的值为________．答案 4解析根据题意，由于函数f (x )在定义域D 内某区间H 上是增函数，且f (x )x 在H 上是减函数，则称y ＝f (x )在H 上是“弱增函数”，则可知函数g (x )＝x 2＋(4－m )x ＋m 在(0,2]上是“弱增函数”，则在给定区间是递增函数，开口向上，则对称轴－4－m2≤0，∴m ≤4，g (x )x ＝x 2＋(4－m )x ＋m x ＝x ＋m x ＋4－m 在(0,2]上单调递减，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫g (x )x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m x ＋4－m ′＝1－m x 2≤0，x ∈(0,2]，∴1－m 4≤0，m ≥4.综上所得m ＝4.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·漳州质量监测)已知函数f (x )＝x ln x . (1)若函数g (x )＝f (x )x 2－1x ，求g (x )的极值； (2)证明：f (x )＋1＜e x －x 2.(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，e32 ≈4.48，e 2≈7.39)解 (1)∵g (x )＝ln x －1x (x ＞0)，故g ′(x )＝2－ln xx 2，令g ′(x )＞0，解得0＜x ＜e 2，令g ′(x )＜0，解得x ＞e 2，故g (x )在(0，e 2)单调递增，在(e 2，＋∞)单调递减，故g (x )的极大值＝g (e 2)＝1e 2. (2)证明：要证f (x )＋1＜e x －x 2. 即证e x －x 2－x ln x －1＞0，先证明ln x ≤x －1，取h (x )＝ln x －x ＋1，则h ′(x )＝1－xx ，易知h (x )在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，故h (x )≤h (1)＝0，即ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取“＝”，故x ln x ≤x (x －1)，e x －x 2－x ln x －1≥e x －2x 2＋x －1，故只需证明当x＞0时，e x－2x2＋x－1＞0恒成立，令k(x)＝e x－2x2＋x－1(x≥0)，则k′(x)＝e x－4x＋1，令F(x)＝k′(x)，则F′(x)＝e x－4，令F′(x)＝0，解得x＝2ln 2，故x∈(0,2ln 2]时，F′(x)≤0，F(x)单调递减，即k′(x)单调递减，x∈(2ln 2，＋∞)时，F′(x)＞0，F(x)单调递增，即k′(x)单调递增，且k′(2ln 2)＝5－8ln 2＜0，k′(0)＝2＞0，k′(2)＝e2－8＋1＞0，由零点存在定理，可知∃x1∈(0,2ln 2)，∃x2∈(2ln 2,2)，使得k′(x1)＝k′(x2)＝0，故0＜x＜x1或x＞x2时，k′(x)＞0，k(x)单调递增，当x1＜x＜x2时，k′(x)＜0，k(x)单调递减，故k(x)的最小值是k(0)＝0或k(x2)，由k′(x2)＝0，得e x2＝4x2－1，k(x2)＝e x2－2x22＋x2－1＝－(x2－2)(2x2－1)，∵x2∈(2ln 2,2)，∴k(x2)＞0，故x＞0时，k(x)＞0，原不等式成立．18．(本小题满分12分)(2019·张掖一诊)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx(其中a，b为常数且a≠0)在x＝1处取得极值．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，e]上的最大值为1，求a的值．解(1)因为f(x)＝ln x＋ax2＋bx，所以f′(x)＝1x＋2ax＋b，因为函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝1＋2a＋b＝0.当a ＝1时，b ＝－3，f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)因为f ′(x )＝(2ax －1)(x －1)x .令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝12a因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x 2＝12a ≠x 1＝1，当12a ＜0时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2. 当a ＞0，x 2＝12a ＞0；当12a ＜1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，e)上单调递增．所以最大值1可能在x ＝12a 或x ＝e 处取得，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－(2a ＋1)12a ＝ln 12a －14a －1＜0，所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2.当1≤12a ＜e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，e上单调递增，所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0，所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2，与1＜x 2＝12a ＜e 矛盾，当x 2＝12a ≥e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以最大值1可能在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0，不符合题意．综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2. 19．(本小题满分12分)(2019·四川成都一诊)已知函数f (x )＝－a ln x －e xx ＋ax ，a ∈R .(1)当a <0时，讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，若关于x 的不等式f (x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x e x －bx ≥1恒成立，求实数b的取值范围．解 (1)由题意，知f ′(x )＝－a x －x e x－exx 2＋a ＝(ax －e x)(x －1)x 2.∵当a <0，x >0时，有ax －e x <0.∴当x >1时，f ′(x )<0；当0<x <1时，f ′(x )>0.∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)由题意，当a ＝1时，不等式f (x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x e x －bx ≥1恒成立．即x e x －ln x ＋(1－b )x ≥1恒成立，即b －1≤e x －ln x x －1x 恒成立，令g (x )＝e x －ln x x －1x .则g ′(x )＝e x－1－ln x x 2＋1x 2＝x 2e x＋ln x x 2.令h (x )＝x 2e x＋ln x ．则h ′(x )＝(x 2＋2x )e x＋1x .∵当x >0时，有h ′(x )>0. ∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，且 h (1)＝e>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 4－ln 2<0.∴函数h (x )有唯一的零点x 0，且12<x 0<1.∴当x ∈(0，x 0)时，h (x )<0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )>0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．即g (x 0)为g (x )在定义域内的最小值． ∴b －1≤e x 0 －ln x 0x 0－1x 0.∵h (x 0)＝0，得x 0e x 0 ＝－ln x 0x 0，12<x 0<1.(*)令k (x )＝x e x ，12<x <1.∴方程(*)等价于k (x )＝k (－ln x )，12<x <1. 而k ′(x )＝(x ＋1)e x 在(0，＋∞)上恒大于零， ∴k (x )在(0，＋∞)上单调递增．故k (x )＝k (－ln x )等价于x ＝－ln x ，12<x <1. 设函数m (x )＝x ＋ln x ，12<x <1.易知m (x )单调递增．又m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－ln 2<0，m (1)＝1>0，∴x 0是函数m (x )的唯一零点．即ln x 0＝－x 0，e x 0 ＝1x 0.故g(x)的最小值g(x0)＝e x0－ln x0x0－1x0＝1x0－(－x0)x0－1x0＝1.∴实数b的取值范围为(－∞，2]．20．(本小题满分12分)(2019·开封模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1e x.(1)当a＝b＝1时，求函数f(x)的极值；(2)若f(1)＝1，且方程f(x)＝1在区间(0,1)内有解，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－1e x，当a＝b＝1时，f′(x)＝－x2＋xe x，f′(x)>0，得0<x<1，∴f(x)在(0,1)上单调递增；f′(x)<0，得x<0或x>1，∴f(x)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递减．∴f(x)的极小值为f(0)＝1，极大值为f(1)＝3e.(2)由f(1)＝1得b＝e－1－a，由f(x)＝1得e x＝ax2＋bx＋1，设g(x)＝e x－ax2－bx－1，则g(x)在(0,1)内有零点，设x0为g(x)在(0,1)内的一个零点，由g(0)＝g(1)＝0知g(x)在(0，x0)和(x0,1)不单调．设h(x)＝g′(x)，则h(x)在(0，x0)和(x0,1)上均存在零点，即h(x)在(0,1)上至少有两个零点．g′(x)＝e x－2ax－b，h′(x)＝e x－2a，当a≤12时，h′(x)>0，h(x)在(0,1)上单调递增，h(x)不可能有两个及两个以上零点，当a≥e2时，h′(x)<0，h(x)在(0,1)上单调递减，h(x)不可能有两个及两个以上零点，当12<a<e2时，令h′(x)＝0得x＝ln (2a)∈(0,1)，∴h (x )在(0，ln (2a ))上单调递减，在(ln (2a )，1)上单调递增，h (x )在(0,1)上存在最小值h (ln (2a ))，若h (x )有两个零点，则有h (ln (2a ))<0，h (0)>0，h (1)>0， h (ln (2a ))＝3a －2a ln (2a )＋1－e ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<a <e 2，设φ(x )＝32x －x ln x ＋1－e(1<x <e)，则φ′(x )＝12－ln x ，令φ′(x )＝0，得x ＝e ，当1<x <e 时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增；当e<x <e 时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减． ∴φ(x )max ＝φ(e)＝e ＋1－e<0， ∴h (ln (2a ))<0恒成立．由h (0)＝1－b ＝a －e ＋2>0，h (1)＝e －2a －b >0，得e －2<a <1.21．(本小题满分12分)(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )＝e －x －ax (x ∈R )，g (x )＝ln (x ＋m )＋ax ＋1.(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈(－m ，＋∞)，恒有f (－x )≥g (x )成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝e －x ＋x ，则 f ′(x )＝－1e x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝0. 当x <0时，f ′(x )<0；当x >0时，f ′(x )>0.∴函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增． ∴当x ＝0时，函数f (x )取得最小值，其值为f (0)＝1. (2)由(1)得，e x ≥x ＋1恒成立．f (－x )≥g (x )⇒e x ＋ax ≥ln (x ＋m )＋ax ＋1⇒e x ≥ln (x ＋m )＋1.①当x ＋1≥ln (x ＋m )＋1恒成立时，即m ≤e x －x 恒成立时，条件必然满足．设G (x )＝e x －x ，则G ′(x )＝e x －1，在区间(－∞，0)上，G ′(x )<0，G (x )是减函数，在区间(0，＋∞)上，G ′(x )>0，G (x )是增函数，即G (x )的最小值为G (0)＝1.于是当m ≤1时，条件满足．②当m >1时，f (0)＝1，g (0)＝ln m ＋1>1，即f (0)<g (0)，条件不满足．综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．22．(本小题满分12分)(2019·天津高考)设函数f (x )＝e x cos x ，g (x )为f (x )的导函数．(1)求f (x )的单调区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，证明f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ≥0；(3)设x n 为函数u (x )＝f (x )－1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π4，2n π＋π2内的零点，其中n ∈N ，证明2n π＋π2－x n <e －2n πsin x 0－cos x 0.解 (1)由已知，有f ′(x )＝e x (cos x －sin x )．因此，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )时，有sin x >cos x ，得f ′(x )<0，则f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )时，有sin x <cos x ，得f ′(x )>0，则f (x )单调递增．所以，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )，f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)证明：记h (x )＝f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .依题意及(1)，有g (x )＝e x (cos x －sin x )，从而g ′(x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，g ′(x )<0，故h ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋g (x )(－1)＝g ′(x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x <0.因此，h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，进而h (x )≥h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ≥0.(3)证明：依题意，u (x n )＝f (x n )－1＝0，即e x n cos x n ＝1. 记y n ＝x n －2n π，则y n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且f (y n )＝e y n cos y n ＝e x n －2nπcos(x n －2n π)＝e －2n π(n ∈N )．由f (y n )＝e －2n π≤1＝f (y 0)及(1)，得y n ≥y 0. 由(2)知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，g ′(x )<0，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，因此g (y n )≤g (y 0)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.又由(2)知，f (y n )＋g (y n )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y n ≥0，故π2－y n ≤－f (y n )g (y n )＝－e －2n πg (y n )≤－e －2n πg (y 0)＝e －2n πe y 0 (sin y 0－cos y 0)<e －2n πsin x 0－cos x 0.所以2n π＋π2－x n <e －2n πsin x 0－cos x 0.。

2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练考试试卷：基础巩固练(一)+W

第二部分优化重组综合练基础巩固练(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·江西九校高三联考)已知集合A ＝{|x 1－x x ≥0}，B ＝{x |y ＝lg (2x －1)}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1]B ．[0,1]C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 C解析 ∵集合A ＝{|x 1－x x ≥0}＝{x |0<x ≤1}，B ＝{x |y ＝lg (2x －1)}＝{|x x >12}，∴A ∩B ＝{|x 12<x ≤1}＝⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.故选C. 2．(2019·南昌一模)已知复数z ＝a ＋i 2i (a ∈R )的实部等于虚部，则a ＝( )A ．－12 B.12 C ．－1 D ．1答案 C解析 ∵z ＝a ＋i 2i ＝－i (a ＋i )－2i 2＝12－a 2i 的实部等于虚部，∴12＝－a 2，∴a ＝－1.故选C.3．(2019·陕西宝鸡中学期中)设a ＝20.1，b ＝ln 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A．b>c>a B．a>c>b C．b>a>c D．a>b>c 答案 D解析因为a＝20.1>20＝1,0＝ln 1<b＝ln 52<ln e＝1，c＝log3910<log31＝0，所以a>b>c.故选D.4．(2019·安庆高三上学期期末)函数f(x)＝x＋sin x|x|＋1的部分图象大致是()答案 B解析∵函数f(x)的定义域是R，关于原点对称，且f(－x)＝－x－sin x|－x|＋1＝－x＋sin x|x|＋1＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，当x≥0时，f(x)＝x＋sin xx＋1＝x＋1＋sin x－1x＋1＝1＋sin x－1x＋1≤1，排除A，故选B.5．(2019·厦门科技中学高三开学考试)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x＝2交抛物线y2＝4x于A，B两点，点A，B在y轴上的射影分别为D，C，从长方形ABCD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为()A.12B.13C.23D.25答案 B解析在抛物线y 2＝4x 中，取x ＝2，可得y ＝±22，∴S 矩形ABCD ＝82，由阿基米德理论可得弓形面积为43×12×42×2＝1623，则阴影部分的面积为S ＝82－1623＝823.由几何概型的概率计算公式可得，点位于阴影部分的概率为82382＝13.故选B. 6．(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析因为点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC →＝AC →－AB →，所以|AB →＋AC →|>|BC →|等价于|AB →＋AC →|>|AC →－AB →|，因模为正，故不等号两边平方得AB →2＋AC →2＋2|AB →||AC →|cos θ>AC →2＋AB →2－2|AC →|·|AB →|cos θ(θ为AB →与AC →的夹角)，整理得4|AB →||AC →|·cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C.7．(2019·北京北大附中一模)已知平面区域Ω：⎩⎨⎧ 3x ＋4y －18≤0，x ≥2，y ≥0夹在两条斜率为－34的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m .若点P (x ，y )∈Ω，则z ＝mx －y 的最小值为( )A.95 B ．3 C.245 D ．6答案 A解析由约束条件作出可行域如图阴影部分，∵平面区域Ω夹在两条斜率为－34的平行直线之间，且两条平行直线间的最短距离为m ，则m ＝|3×2－18|5＝125.令z ＝mx －y ＝125x －y ，则y ＝125x －z ，由图可知，当直线y ＝125x －z 过B (2,3)时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为245－3＝95.故选A.8．(2019·济南市一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．80B ．48C ．32D ．16答案 B解析根据三视图可知原几何体为四棱锥P－ABCD，AB＝BC＝4，PC＝3，其表面积为4×4＋12×3×4＋12×3×4＋12×4×5＋12×4×5＝48.故选B.9．(2019·绍兴市适应性试卷)袋中有m个红球，n个白球，p个黑球(5≥n>m≥1，p≥4)，从中任取1个球(每个球取到的机会均等)，设ξ1表示取出红球个数，ξ2表示取出白球个数，则()A．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)B．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)C．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)D．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)答案 D解析设袋中有1个红球，5个白球，4个黑球，从中任取1个球(每个球取到的机会均等)，设ξ1表示取出红球个数，ξ2表示取出白球个数，则ξ1的可能取值为0或1，P(ξ1＝0)＝0.9，P(ξ1＝1)＝0.1，∴E(ξ1)＝0×0.9＋1×0.1＝0.1，D(ξ1)＝(0－0.1)2×0.9＋(1－0.1)2×0.1＝0.09，ξ2的可能取值为0或1，P(ξ2＝0)＝0.5，P(ξ2＝1)＝0.5，∴E(ξ2)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D(ξ1)＝(0－0.5)2×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25，∴E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)．故选D.10．(2019·兰州市一诊)若点P是函数y＝2sin xsin x＋cos x图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l的倾斜角的范围是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 答案 C解析 ∵y ＝2sin x sin x ＋cos x， ∴y ′＝2cos x (sin x ＋cos x )－2sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝2cos 2x ＋2sin 2x 1＋2sin x cos x ＝21＋sin2x. ∵－1<sin2x ≤1，∴0<1＋sin2x ≤2，∴11＋sin2x ≥12，则y ′＝21＋sin2x≥1.∴直线l 斜率的范围是[1，＋∞)．则直线l 的倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.故选C. 11．(2019·贵阳一模)双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2＋1 D ．2答案 C解析抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由题意可得c ＝p 2，即p ＝2c ，由直线AB 过点F ，结合对称性可得AB 垂直于x 轴，令x ＝c ，代入双曲线的方程，可得y ＝±b 2a ，即有2b 2a ＝2p ＝4c ，由b 2＝c 2－a 2，可得c 2－2ac －a 2＝0，由e ＝c a ，可得e 2－2e －1＝0，解得e ＝1＋2(负值舍去)，故选C.12．(2019·四川省泸州市二诊)已知函数f (x )＝(e x －a )·(x ＋a 2)(a ∈R )，则满足f (x )≥0恒成立的a 的取值个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 f (x )＝(e x －a )(x ＋a 2)≥0，当a ＝0时，f (x )＝(e x －a )(x ＋a 2)≥0化为e x ·x ≥0，则x ≥0，与x ∈R 矛盾；当a ＜0时，e x －a ＞0，则x ＋a 2≥0，得x ≥－a 2，与x ∈R 矛盾；当a ＞0时，令f (x )＝0，得x ＝ln a 或x ＝－a 2，要使f (x )≥0恒成立，则－a 2＝ln a ，作出函数g (a )＝－a 2与h (a )＝ln a 的图象如图，由图可知，a 的取值个数为1个．故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·济南市3月模拟)已知平面向量a ，b 满足a ＝(1，3)，|b |＝3，a ⊥(a －b )，则a 与b 夹角的余弦值为________．答案 23解析 ∵a ＝(1，3)，∴|a |＝12＋(3)2＝2.∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0，即a 2－a ·b ＝0.设a ，b 之间的夹角为θ，则|a |2－|a ||b |cos θ＝0，4－2×3×cos θ＝0，∴cos θ＝23. 14．(2019·广东省百校联盟联考)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －16的二项展开式中含x 4项的系数为________．答案 21解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －16＝C 06·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 6－C 16·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5＋C 26·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4－…，故该二项展开式中含x4项的系数为C06·C16＋C26·C04＝21.15．(2019·辽宁省辽南协作体一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为b23sin B，若6cos A cos C＝1，b＝3，则∠ABC＝________.答案π3解析∵△ABC的面积为b23sin B＝12ac sin B，∴b2＝32ac sin2B，∴由正弦定理可得，sin2B＝32sin A sin C sin2B，∴sin A sin C＝23，∵6cos A cos C＝1，可得cos A cos C＝16，∴cos∠ABC＝cos[π－(A＋C)]＝－cos(A＋C)＝sin A sin C－cos A cos C＝23－1 6＝12.∵∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝π3.16．(2019·昆明高三质量检测)经过抛物线E：y2＝4x的焦点F的直线l与E 相交于A，B两点，与E的准线交于点C.若点A位于第一象限，且B是AC的中点，则直线l的斜率等于________．答案2 2解析解法一：如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为P，D，过B 作AP的垂线，垂足为M，根据抛物线的定义及题中条件知|AM|＝|PM|＝|BD|.设|BD|＝m，则|AP|＝|AF|＝2m，|BF|＝m，|AM|＝m，所以在Rt△ABM中，|AB|＝|AF|＋|BF|＝3m，所以cos∠BAM＝13，所以k l＝tan∠BAM＝2 2.解法二：如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为P，D，过B作AP 的垂线，垂足为M，根据抛物线的定义及题中条件知|AM|＝|PM|＝|BD|.根据抛物线中焦点弦的性质知，1|AF|＋1|BF|＝2p＝1⇒1|AF|＋1|BF|＝1|AP|＋1|BD|＝12|BD|＋1|BD|＝32|BD|＝1⇒|BD|＝32，所以|AF|＝|AP|＝2|BD|＝3，|AB|＝32＋3＝92，|BM|＝⎝⎛⎭⎪⎫922－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝32，所以k l＝tan∠BAM＝3232＝2 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2的值．解 (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，即23＝(3c )2＋c 2－(2)22×3c ×c，解得c 2＝13.所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B 2b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin B b ，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ＝255. 18．(本小题满分12分)(2019·朝阳二模)某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7,8)，[8,9)，[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下：专家 A B C D E评分9.69.59.68.99.7(1)求a9的概率；(2)从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数，试求E(X)与E(Y)的值；(3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x作为该选手的最终得分．方案二：分别计算专家评分的平均数x1和观众评分的平均数x2，用x1＋x22作为该选手最终得分．请直接写出x与x1＋x22的大小关系．解(1)由题图知a＝0.3，某场外观众评分不小于9的概率是1 2.(2)X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝C24C11C35＝35，P(X＝3)＝C34C35＝25.所以X的分布列为X 23P 3525所以E(X)＝2×35＋3×25＝125.由题意可知，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，所以E (Y )＝np ＝32. (3)x <x 1＋x 22.19．(本小题满分12分)(2019·唐山市第一中学一模)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若二面角A －PB －C 的大小为45°，求三棱锥P －ABC 的体积．解 (1)证明：在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝4＋16－2×2×4×cos120°＝28，则BC ＝27.因为D 为BC 的中点，则BD ＝CD ＝7.因为AD →＝12(AB →＋AC →)，则|AD →|2＝14(AC →＋AB →)2，所以AD ＝ 3.因为AB 2＋AD 2＝4＋3＝7＝BD 2，则AB ⊥AD .因为P A ⊥底面ABC ，则P A ⊥AD ，所以AD ⊥平面P AB ，从而AD ⊥PB .(2)解法一：因为AD ⊥平面P AB ，过点A 作AE ⊥PB ，垂足为E ，连接DE .则DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A －PB －C 的平面角．在Rt △DAE 中，由已知，得∠AED ＝45°，则AE ＝AD ＝ 3.在Rt △P AB 中，设P A ＝a ，则PB ＝AB 2＋P A 2＝4＋a 2. 因为AB ×AP ＝PB ×AE ，则2a ＝4＋a 2×3，即4a 2＝3(4＋a 2)，解得a 2＝12，所以P A ＝a ＝2 3.所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×2×4×sin120°×23＝4.解法二：如图，分别以直线AB ，AD ，AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝a ，则点B (2,0,0)，D (0，3，0)，P (0,0，a )．所以BD →＝(－2，3，0)，BP →＝(－2,0，a )．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3y ＝0，－2x ＋az ＝0. 取x ＝3，则y ＝2，z ＝23a ，所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，23a . 因为n ＝(0,1,0)为平面P AB 的法向量，则|cos 〈m ，n 〉|＝cos45°＝22，即|m·n ||m ||n |＝22.所以27＋12a 2＝22，解得a 2＝12，所以P A ＝a ＝2 3. 所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×2×4×sin120°×23＝4.20．(本小题满分12分)(2019·甘肃省甘谷第一中学高三第七次检测)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是53，过点P (0，1)作斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y 轴时|AB |＝3 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)当k 变化时，在x 轴上是否存在点M (m,0)，使得△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫332，1，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 274a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，c a ＝53，解得a 2＝9，b 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 29＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点C (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋1，x 29＋y 24＝1，消去y 得(4＋9k 2)x 2＋18kx －27＝0，显然Δ>0，且x 1＋x 2＝－18k 4＋9k 2，所以x 0＝x 1＋x 22＝－9k 4＋9k 2，y 0＝kx 0＋1＝44＋9k2. 当k ≠0时，设过点C 且与l 垂直的直线方程为y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9k 4＋9k 2＋44＋9k 2，将M (m,0)代入，得m ＝－54k ＋9k.若k >0，则4k ＋9k ≥24k ×9k ＝12，若k <0，则4k ＋9k ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4k ＋(－9k )≤－2－4k×(－9k)＝－12，所以－512≤m<0或0<m≤5 12.当k＝0时，m＝0，综上所述，存在点M满足条件，m的取值范围是－512≤m≤5 12.21．(本小题满分12分)(2019·西藏拉萨二模)已知函数f(x)＝ax－b e x，且函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线斜率为a－1.(1)求b的值；(2)求函数f(x)的最值；(3)当a∈[1,1＋e]时，求证：f(x)≤x.解(1)由题意，得f′(x)＝a－b e x，又∵f′(0)＝a－b＝a－1，∴b＝1.(2)f′(x)＝a－e x.当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减，f(x)没有最值；当a>0时，令f′(x)<0，得x>ln a，令f′(x)>0，得x<ln a，∴f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递增，在区间(ln a，＋∞)上单调递减，∴f(x)在x＝ln a处取得唯一的极大值，即为最大值，且f(x)max＝f(ln a)＝a ln a －a.综上所述，当a≤0时，f(x)没有最值；当a>0时，f(x)的最大值为a ln a－a，无最小值．(3)证明：要证f(x)≤x，即证(a－1)x≤e x，令F(x)＝e x－(a－1)x，当a ＝1时，F (x )＝e x >0，∴(a －1)x ≤e x 成立；当1<a ≤1＋e 时，F ′(x )＝e x －(a －1)＝e x －e ln (a －1)，当x <ln (a －1)时，F ′(x )<0；当x >ln (a －1)时，F ′(x )>0，∴F (x )在区间(－∞，ln (a －1))上单调递减，在区间(ln (a －1)，＋∞)上单调递增，∴F (x )≥F (ln (a －1))＝e ln (a －1)－(a －1)ln (a －1)＝(a －1)[1－ln (a －1)]． ∵1<a ≤1＋e ，∴a －1>0,1－ln (a －1)≥1－ln [(1＋e)－1]＝0，∴F (x )≥0，即(a －1)x ≤e x 成立，故原不等式成立．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·福建漳州第二次质量监测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋2cos α，y ＝4＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝4＋2sin α(α为参数)，转换为直角坐标方程为(x －2)2＋(y －4)2＝4，转换为极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－8ρsin θ＋16＝0.(2)曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.转换为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2＋(y －4)2＝4，x 2＋y 2－4y ＝0，整理出公共弦的直线方程为x ＋y －4＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4，所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·福建漳州第二次质量监测)已知f (x )＝|x ＋a |(a ∈R )．(1)若f (x )≥|2x －1|的解集为[0,2]，求a 的值；(2)若对任意x ∈R ，不等式f (x )＋|x －a |≥3a －2恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)不等式f (x )≥|2x －1|，即|x ＋a |≥|2x －1|，两边平方整理，得3x 2－(2a ＋4)x ＋1－a 2≤0，由题意知0和2是方程3x 2－(2a ＋4)x ＋1－a 2＝0的两个实数根，即⎩⎨⎧ 0＋2＝2a ＋43，0×2＝1－a 23，解得a ＝1.(2)因为f (x )＋|x －a |＝|x ＋a |＋|x －a |≥|(x ＋a )－(x －a )|＝2|a |，所以要使不等式f (x )＋|x －a |≥3a －2恒成立，只需2|a |≥3a －2，当a ≥0时，不等式化为2a ≥3a －2，得0≤a ≤2；当a <0时，不等式化为－2a ≥3a －2，得a <0.综上所述，a的取值范围是(－∞，2]．。

2020届全国高考数学（理）刷题1 1（2019模拟题）模拟重组卷（八）

2020届全国高考数学（理）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（八）（解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·银川质检)已知集合A＝{1,2,3}，集合B＝{z|z＝x－y，x∈A，y∈A}，则集合B 中元素的个数为()A．4 B．5 C．6 D．7答案 B解析∵A＝{1,2,3}，B＝{z|z＝x－y，x∈A，y∈A}，∴x＝1,2,3，y＝1,2,3，当x＝1时，x－y＝0，－1，－2；当x＝2时，x－y＝1,0，－1；当x＝3时，x－y＝2,1,0.即x－y＝－2，－1,0,1,2，即B＝{－2，－1,0,1,2}，共有5个元素，故选B.2．(2019·西安适应性测试)设复数z＝1－i1＋i，f(x)＝x2－x＋1，则f(z)＝()A．i B．－i C．－1＋i D．1＋i 答案 A解析∵z＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－i，∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2－(－i)＋1＝i.故选A.3．(2019·榆林二模)某工厂利用随机数表对产生的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行；32 21 18 34 29 78 64 56 07 35 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 42 53 31 34 34 86 07 36 25 30 07 32 85 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 56 08 43 67 67 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是() A．522 B．324 C．535 D．578答案 D解析从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，开始的数为608不合适，436合适，767不合适，535,577,348合适，994,837不合适，522合适，535与前面的数字重复，不合适，578合适．则满足条件的6个编号为436,535,577,348,522,578，则第6个编号为578.故选D.4．(2019·南阳一中模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋2a 10＝4，则S 13＝( ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 答案 A解析 ∵数列{a n }是等差数列，设首项为a 1，公差为d ， ∴a 3＋a 5＋2a 10＝4可转化为4a 1＋24d ＝4，即a 1＋6d ＝1， ∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )＝13，故选A.5．(2019·淮北一中模拟)已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 D ．(－2,2) 答案 B解析 a ·b ＝－2λ－1，∵a ，b 的夹角为钝角， ∴a ·b <0，且a ，b 不平行．∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ－1<0，－2＋λ≠0，解得λ>－12，且λ≠2. ∴λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．故选B.6．(2019·南开一模)函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f (－3)＝0，则不等式xf (x )<0的解集为( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,0)∪(0,3)答案 D解析 ∵f (x )在R 上是奇函数，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，0)上也是增函数，由f (－3)＝0，得f (－3)＝－f (3)＝0，即f (3)＝0，作出f (x )的草图，如图所示：由图象，得xf (x )<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f (x )>0，解得0<x <3或－3<x <0，∴xf (x )<0的解集为(－3,0)∪(0,3)，故选D.7．(2019·南昌外国语学校模拟)正四棱锥V －ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为26，则此球的体积为( )A ．722πB ．36πC ．92π D.9π2 答案 B解析正四棱锥的高为(26)2－(22)2＝4，设外接球的半径为R ，则R 2＝(4－R )2＋(22)2， ∴R ＝3，∴球的体积为43πR 3＝43π·33＝36π，故选B.8．(2019·合肥质检)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是100－200⎝ ⎛⎭⎪⎫910n 万元，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 D解析由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为2×910万元，第三层货物总价为3×⎝ ⎛⎭⎪⎫9102万元，…，第n 层货物总价为n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1万元，设这堆货物总价为W 万元，则W ＝1＋2×910＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1， 910W ＝1×910＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，两式相减得110W ＝－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1＋910＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9103＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1＝－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫910n1－910＝－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋10－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，则W ＝－10n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋100－100×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＝100－200⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，解得n ＝10，故选D. 9．(2019·大兴一模)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为( )A.13 B ．2 3 C ．3 D ．2 2 答案 B解析由三视图得几何体原图是图中的三棱锥A －BCD ，∴CD ＝3，BD ＝22＋12＝5，AB ＝22＋12＝5， AC ＝(22)2＋12＝3， BC ＝22＋22＝22，AD ＝(22)2＋22＝2 3.∴AD 是最长的棱．故选B.10．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324B.322 C ．2 2 D ．3 2 答案 A解析双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A.11．(2019·南平市三模)已知(1－x ＋mx 2)6的展开式中x 4的系数小于90，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－5)∪(1，＋∞)B ．(－5,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1＋212∪⎝ ⎛⎭⎪⎫21－12，＋∞ D ．(－∞，－5)∪(5，＋∞) 答案 B解析 (1－x ＋mx 2)6的通项公式为T r ＋1＝C r 6(1－x )6－r(mx 2)r ，r ＝0,1， (6)(1－x )6－r 的通项公式为T l ＋1＝C l 6－r (－x )l ，l ＝0，1，…，6－r . 令l ＋2r ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝0，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝0.则展开式中x 4的系数为C 06C 46＋C 16C 25m ＋C 26m 2<90.即m 2＋4m －5<0，解得－5<m <1.故选B.12．(2019·黄冈调研)函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”．若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 答案 B解析函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0且a ≠1)是“半保值函数”，且定义域为R ，由a >1时，z ＝a x ＋t 2在R 上单调递增，y ＝log a z 在(0，＋∞)上单调递增，可得f (x )为R 上的增函数；同样当0<a <1时，f (x )仍为R 上的增函数， ∴f (x )在其定义域R 内为增函数，∵函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0且a ≠1)是“半保值函数”，∴y ＝log a (a x ＋t 2)与y ＝12x 的图象有两个不同的交点，即log a (a x ＋t 2)＝12x 有两个不同的根，∴a x ＋t 2＝a 12x ，a x －a 12x＋t 2＝0，可令u ＝a 12x，u >0，即有u 2－u ＋t 2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t 2>0，且t 2>0，解得t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·黄山质检)若整数x ，y满足不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，x ＋y －2>0，x －y ＋2>0，则z ＝yx 的最小值为________．答案 12解析画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点．由图可知，在点(2,1)处，目标函数取得最小值为12.14．(2019·广州模拟)阅读程序框图，如果输出的函数值在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12内，则输入的实数x的取值范围是________．答案 [－2，－1] 解析由题意可知，该程序的作用是计算分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈[－2，2]，2，x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)的函数值．又∵输出的函数值在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12内，∴x ∈[－2，－1]．15．(2019·福建毕业考试)某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，A ，B ，C ，D ，E 五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：A 团队说：C 第一，B 第二；B 团队说：A 第三，D 第四；C 团队说：E 第四，D 第五；D 团队说：B 第三，C 第五；E 团队说：A 第一，E 第四．如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是________团队．答案 D解析将五个团队的猜测整理成下表：第一名 C ，A 第二名 B 第三名 A ，B 第四名 D ，E 第五名D ，CA ，第三名为B ，从而第二名没有人猜对，不符合题意要求．故获得第五名的是D 团队．16．(2019·虹口二模)若函数f (x )＝x |x －a |－4(a ∈R )有3个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析函数f (x )＝x |x －a |－4有三个不同的零点，就是x |x －a |＝4有三个不同的根；当a >0时，函数y ＝x |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，ax －x 2，x <a与y ＝4的图象如图：函数f (x )＝x |x －a |－4(a ∈R )有3个零点，必须⎩⎨⎧a >0，a 22－a 24>4，解得a >4；当a ≤0时，函数y ＝x |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，ax －x 2，x <a与y ＝4的图象如图：函数f (x )＝x |x －a |－4(a ∈R )不可能有三个不同的零点，综上，a ∈(4，＋∞)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·抚顺一模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝10，角B 是最小的内角，且3c ＝4a sin B ＋3b cos A .(1)求sin B 的值； (2)若c ＝14，求b 的值．解 (1)由3c ＝4a sin B ＋3b cos A 且A ＋B ＋C ＝π，由正弦定理得3sin C ＝4sin A sin B ＋3sin B cos A ，即3sin(A ＋B )＝4sin A sin B ＋3sin B cos A ，由于sin A >0，整理可得3cos B ＝4sin B ，又sin B >0，∴sin B ＝35.(2)∵角B 是最小的内角，∴0<B ≤π3，又由(1)知sin B ＝35，∴cos B ＝45，由余弦定理得b 2＝142＋102－2×14×10×45＝72，即b ＝6 2.18．(本小题满分12分)(2019·六盘水中学模拟)某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：日需求量x (个)20304050天数 5 10 10 5(1)从这30(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E (X )＝3203；现有员工建议扩大生产一天制作45个，试列出生产45个时，利润Y 的分布列并求出期望E (Y )，并以此判断此建议该不该被采纳．解 (1)从这30天中任取2天，基本事件总数n ＝C 230，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m ＝C 210， ∴两天的日需求量均为40个的概率P ＝C 210C 230＝329.(2)由该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为Y ，得P (Y ＝－20)＝16，P (Y ＝60)＝13，P (Y ＝140)＝13，P (Y ＝180)＝16，∴Y 的分布列为Y －20 60 140 180 P16131316E (Y )＝－20×16＋60×13＋140×13＋180×16＝2803，∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E (X )＝3203，2803<3203， ∴此建议不该被采纳．19．(本小题满分12分)(2019·南开一模)如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AC ＝AB ＝SA ＝2，AC ⊥AB ，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，F 在SE 上且SF ＝2FE .(1)求证：AF ⊥平面SBC ；(2)求直线SA 与平面SBD 所成角的正弦值；(3)在线段DE 上是否存在点G ，使二面角G －AF －E 的大小为30°？若存在，求出DG 的长；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：如图，以A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (2,0,0)，S (0,0,2)，D (1,0,0)，E (1,1,0)，由SF ＝2FE 得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23，∴AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23，BC →＝(2，－2,0)，SC →＝(2,0，－2)， ∵AF →·BC →＝0，AF →·SC →＝0，∴AF →⊥BC →，AF →⊥SC →，∴AF ⊥平面SBC .(2)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面SBD 的一个法向量，由于DS →＝(－1,0,2)，DB →＝(－1,2,0)，则有⎩⎨⎧ n 1·DS →＝(x 1，y 1，z 1)·(－1，0，2)＝－x 1＋2z 1＝0，n 1·DB →＝(x 1，y 1，z 1)·(－1，2，0)＝－x 1＋2y 1＝0，令x 1＝2，则y 1＝1，z 1＝1，即n 1＝(2,1,1)．设直线SA 与平面SBD 所成的角为α，而AS →＝(0,0,2)，∴sin α＝|cos 〈n 1，AS →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·AS →|n 1||AS →|＝66. (3)假设满足条件的点G 存在，并设DG ＝t .则G (1，t,0)．∴AE →＝(1,1,0)，AG →＝(1，t,0)，设平面AFG 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AF →＝(x 2，y 2，z 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 ＝23x 2＋23y 2＋23z 2＝0，n 2·AG →＝(x 2，y 2，z 2)·(1，t ，0)＝x 2＋ty 2＝0，取y 2＝1，得x 2＝－t ，z 2＝t －1，即n 2＝(－t,1，t －1)．设平面AFE 的法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 3·AF →＝(x 3，y 3，z 3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 ＝23x 3＋23y 3＋23z 3＝0，n 3·AE →＝(x 3，y 3，z 3)·(1，1，0)＝x 3＋y 3＝0，取y 3＝1，得x 3＝－1，z 3＝0，即n 3＝(－1,1,0)，由二面角G －AF －E 的大小为30°，得cos30°＝|n 2·n 3||n 2||n 3|＝|－t ×(－1)＋1×1＋(t －1)×0|2×(－t )2＋1＋(t －1)2＝32，化简得2t 2－5t ＋2＝0，又0≤t ≤1，求得t ＝12，于是满足条件的点G 存在，且DG ＝12.20．(本小题满分12分)(2019·张家口一模)以P 为圆心的动圆经过点F (1,0)，并且与直线x ＝－1相切．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是曲线C 上的四个点，AB ⊥CD ，并且AB ，CD 相交于点F ，直线AB 的倾斜角为锐角．若四边形ACBD 的面积为36，求直线AB 的方程．解 (1)设圆P 与直线x ＝－1相切于点E ，则|PE |＝|PF |，即点P 到F 的距离与点P 到直线x ＝－1的距离相等，∴点P 的轨迹为抛物线，F 是焦点，x ＝－1是准线．∴C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2.同理，|CD |＝4＋4k 2.∴四边形ACBD 的面积S ＝12|AB |·|CD |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4k 2(4＋4k 2)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(1＋k 2)．由8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(1＋k 2)＝36，得k 2＝2或k 2＝12， ∴k ＝2或k ＝22.∴直线AB 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝22(x －1)．21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b .(1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．解 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3单调递减．若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0单调递减． (2)满足题设条件的a ，b 存在．①当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0,1]单调递增，所以f (x )在区间[0,1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.②当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0,1]单调递减，所以f (x )在区间[0,1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.③当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0,1]的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0＜a ＜3矛盾．若－a 327＋b ＝－1,2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0＜a ＜3矛盾．综上，当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·黄山质检)设极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α是参数)，直线l 的极坐标方程为3ρsin θ－ρcos θ＋1＝3m .(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设点P (1，m )，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|P A |＝8|PB |，求m 的值．解 (1)由题可得，曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.直线l 的直角坐标方程为3y －x ＋1＝3m ，即x －3y －1＋3m ＝0，由于直线l 过点P (1，m )，倾斜角为30°，故直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝m ＋12t (t 是参数)．(直线l 的参数方程的结果不是唯一的)(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程并化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t －12＋⎝⎛⎭⎪⎫m ＋12t 2＝1⇒t 2＋mt ＋m 2－1＝0. ∴|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|m 2－1|＝8，解得m ＝±3.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·上饶二模)已知函数f (x )＝|ax －1|(a >0)．(1)若不等式f (x )≤2的解集为A ，且A ⊆(－2,2)，求实数a 的取值范围；(2)若不等式f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋2a >32对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)由|ax －1|≤2，得－2≤ax －1≤2，又∵a >0，∴－1a ≤x ≤3a ，得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，3a . ∵A ⊆(－2,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1a >－2，3a <2，解得a >32，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. (2)由题意，|ax －1|＋|x ＋1|>32恒成立，设h (x )＝|ax －1|＋|x ＋1|，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)x (x <－1)，(1－a )x ＋2⎝⎛⎭⎪⎫－1≤x ＜1a ，(a ＋1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥1a ，①当0<a ≤1时，由函数单调性知h (x )min ＝h (－1)＝a ＋1，a ＋1>32，∴12<a ≤1，②当a >1时，h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ＋1a ，a ＋1a >32， ∴1<a <2，综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.。

2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练(课件+优选练)：专题十二多面体与球

解析
4．(2019·沈阳市东北育才学校模拟)将半径为 3，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( )
A．π B．2π C．3π D．4π
答案 B
答案
解析将半径为 3，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆的半径为 R，则有 2πR＝3×23π，所以 R＝1，设圆锥的内切球的半径为 r，结合圆锥和球的特征，可知内切球球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为 h，因为圆锥的母线长为 3，所以 h＝ 9－1＝2 2，所以h－r r＝R3，解得 r＝ 22，因此内切球的表面积 S＝4πr2＝2π.故选 B.
解析
∵∠PEC 与∠AEC 互补，∴3－4a2＝1，a＝ 22，故 PA＝PB＝PC＝ 2. 又∵AB＝BC＝AC＝2，∴PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC， ∴外接球的直径 2R＝ 22＋ 22＋ 22＝ 6， ∴R＝ 26，∴V＝43πR3＝43π× 263＝ 6π.故选 D.
解析
3．(2019·衡水中学模拟)四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上， AB⊥平面 BCD，△BCD 是边长为 3 的等边三角形，若 AB＝2，则球 O 的表面积为( )
A．4π B．12π C．16π D．32π
答案 C
答案
解析取 CD 的中点 E，连接 AE，BE， ∵在四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，△BCD 是边长为 3 的等边三角形． ∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD 是等腰三角形，设△BCD 的中心为 G，作 OG∥AB 交 AB 的中垂线于 O，则 O 为外接球的球心，∵BE＝3 2 3，BG＝ 3，∴外接球的半径 R＝ BG2＋12AB2＝ 3＋1 ＝2.∴四面体 ABCD 外接球的表面积为 4πR2＝16π.故选 C.

2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练(课件+优选练)：专题二十二推理与证明

专题二十二推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分80分，考试时间50分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·天津月考)用反证法证明命题“a，b∈N，若ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a能被5整除答案 B解析由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立从而进行推证．命题“a，b∈N，若ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a，b∈N，若ab可被5整除，那么a，b都不能被5整除”，故选B.2．(2019·武汉高三调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案 B解析由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说的是假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．3．(2019·景德镇模拟)将圆周20等分，按照逆时针方向依次编号为1,2，…，20，若从某一点开始，沿圆周逆时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，称这种走法为一次“移位”，如：小明在编号为1的点，他应走1段弧长，即从1→2为第一次“移位”，这时他到达编号为2的点，然后从2→3→4为第二次“移位”，若某人从编号为3的点开始，沿逆时针方向，按上述“移位”方法行走，“移位”a次刚好到达编号为16的点，又满足|a－2016|的值最小，则a 的值为()A．2015 B．2016 C．2017 D．2018答案 C解析若某人从编号为3的点开始，第一次“移位”到达6；第二次“移位”到达12；第三次“移位”到达4；第四次“移位”到达8；第五次“移位”到达16；第六次“移位”到达12；第七次“移位”到达4；第八次“移位”到达8；第九次“移位”到达16；第十次“移位”到达12；…从第二次开始，每4次移位为一组“移位”循环，“移位”a次刚好到达编号为16的点，则a－1应该能被4整除，又满足|a－2016|的值最小，则a＝2017.故选C.4．(2019·江西省樟树中学等九校联考)设[x ]为不超过x 的最大整数，a n 为[x [x ]](x ∈[0，n )，n ∈N *)可能取到所有值的个数，S n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋2n 前n 项的和，则下列结论中正确的有( )①a 3＝4；②190是数列{a n }中的项；③S 10＝56；④当n ＝7时，a n ＋21n 取最小值．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析 a n 为[x [x ]](x ∈[0，n ))可能取到所有值的个数，当n ＝1时，[x [x ]]＝0，即a 1＝1，S 1＝11＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＝13；当n ＝2时，[x [x ]]＝0,1，即a 2＝2，S 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＝12；当n ＝3时，[x [x ]]＝0,1,4,5，即a 3＝4，S 3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋14－15＝35；当n ＝4时，[x [x ]]＝0,1,4,5,9,10,11，即a 4＝7，S 4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝23； …，可得a n ＝1＋(1＋2＋3＋…＋n －1)＝12n (n －1)＋1.a 3＝4，故①正确；令a n ＝190，即n 2－n －378＝0，可得n 不为整数，故②错误；S 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋14－15＋15－16＋…＋111－112＝56，故③正确； a n ＋21n ＝n 2＋22n －12≥2n 2·22n －12，由于n ∈N *，故取不到等号，考虑n＝6时，有a6＋216＝3＋113－12＝376；n＝7时，a7＋217＝72＋227－12＝437<376，则当n＝7时，a n＋21n取最小值，故④正确．故选C.5．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙答案 A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.6．(2019·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是()A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人答案 C解析由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推出丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.7．(2019·重庆模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金( )A.120斤B.125斤C.130斤D.136斤答案 B解析假设原来持金为x ，则第1关收税金12x ；第2关收税金13⎝⎛⎭⎪⎫1－12x ＝12×3x ；第3关收税金14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝13×4x ；第4关收税金15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16－112x ＝14×5x ；第5关收税金16⎝⎛⎭⎪⎫1－12－16－112－120x ＝15×6x .依题意，得12x ＋12×3x ＋13×4x ＋14×5x ＋15×6x ＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x ＝1，56x ＝1，解得x ＝65，所以15×6x ＝15×6×65＝125.故选B.8．(2019·惠州调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下．依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A．答案 B解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.9．(2019·大同质检)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a”索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案 C解析要证b2－ac<3a，只需证b2－ac<3a2，即证(a＋c)2－ac<3a2，即证2a2－ac－c2>0，即证(2a＋c)(a－c)>0，即证[2a－(a＋b)](a－c)>0，即证(a－b)(a －c)>0，故索的因应是(a－b)(a－c)>0.10．(2019·南宁模拟)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……，根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作()A．31次B．32次C．33次D．34次答案 C解析由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个，……，由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n ＝33.故共需要操作33次．11．(2019·广东茂名五校联盟第一次联考)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91.参照上述方法，可求得500的所有正约数之和为()A．988 B．1032 C．1092 D．1182答案 C解析类比36的所有正约数之和的求法，可知500的所有正约数之和可按如下方法得到：因为500＝22×53，所以500的所有正约数之和为(1＋2＋22)(1＋5＋52＋53)＝1092.12．(2019·湖南省三湘名校第二次联考)2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想，在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈xln x的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.43429，计算结果取整数)() A．1089 B．1086 C．434 D．145答案 B解析由题意可知，π(10000)≈10000ln 10000＝2500ln 10，由对数的性质可得ln 10＝1lg e，即π(10000)≈1085.725≈1086.故选B.第Ⅱ卷(非选择题，共20分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2019·大连二模)观察下列等式：1－12＝12，1－12＋13－14＝13＋14，1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，…据此规律，第n个等式为________．答案1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n解析观察题中等式，可得规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2，…，2n，分子为1，奇数项为正，偶数项为负，即为1－12＋13－14＋…＋12n－1－1 2n ；等式右边共有n项且分母分别为n＋1，n＋2，…，2n，分子为1，即为1n＋1＋1 n＋2＋…＋12n.所以第n个等式为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.14．(2019·江西七校质量监测)设曲线y＝x n＋1(x∈N*)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点横坐标为x n，则log2020x1＋log2020x2＋log2020x3＋…＋log2020x2019的值为________．答案－1解析设f(x)＝y＝x n＋1，求导可得f′(x)＝(n＋1)·x n，设过点(1,1)的切线斜率为k，则k＝f′(1)＝n＋1，所以切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，可得x0＝nn＋1，∴x1·x2·…·x2019＝12×23×…×20192020＝12020，∴log2020x1＋log2020x2＋…＋log2020x2019＝log2020(x1x2…x2019)＝log202012020＝－1. 15．(2019·日照模拟)有下列各式：1＋12＋13>1，1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为________．答案1＋12＋13＋…＋12n＋1－1>n＋12(n∈N*)解析观察各式，左边为1n的和的形式，项数分别为3,7,15，…，故可猜想第n个式子左边应有2n＋1－1项，不等式右边分别写成22，32，42，故猜想第n个式子右边应为n＋12，故按此规律可猜想此类不等式的一般形式为1＋12＋13＋…＋12n＋1－1>n＋12(n∈N*)．16．(2019·黄冈市一模)自2019年来某市各重点高中开展了形式多样的各种选课走班活动，记者调查了该市某高中甲、乙、丙三位同学，在被问到是否参加过黄梅戏、黄梅挑花、岳家拳这三个特长班时，甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳；乙说：我没有参加过黄梅挑花；丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，由此判断乙参加过的特长班为________．答案黄梅戏解析甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳，可知，甲参加了黄梅戏或黄梅挑花．由乙说：我没有参加过黄梅挑花，可知乙参加了黄梅戏或岳家拳．由丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，可知乙没有参加岳家拳．即乙只参加了黄梅戏特长班，故答案为黄梅戏．。

2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练(课件+优选练)：专题二十三复数

A．－i B．1 C．－1 D．i
答案 C 解析由题意可知，z＝12＋i i＝1＋i，故－z ＝1－i，所以其虚部为－1.

答案
解析
19．(2019·山西吕梁一模)已知复数 z＝31＋＋42ii，则|－z |＝(
)
A. 5 B. 10 C．2 5 D．5
答案 A 解析解法一：z＝13＋＋24ii＝31＋＋42ii11－－22ii＝11－5 2i，所以 z ＝11＋5 2i，|－z |
答案
解析
10．(2019·日照模拟)已知复数 z＝a＋i(a∈R)，若|z|＝2，则 a 的值为( ) A．1 B. 3 C．±1 D．± 3
答案 D 解析 ∵z＝a＋i，|z|＝2，∴|a＋i|＝2 即 a2＋12＝4，∴a＝± 3.
答案
解析
11．(2019·全国卷Ⅱ)设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点位于 ()
A．－2－4i B．－2＋4i C．4＋2i D．4－2i
答案 B 解析由 z(－1＋2i)＝|1＋3i|2，得 z＝－|1＋1＋3i2|2i＝－11＋0－2i1－－12－i 2i＝－105－20i＝－2－4i，则复数 z 的共轭复数－z 为－2＋4i.故选 B.
答案
解析
15．(2019·新乡一模)若复数 z 满足 z(2－i)＝18＋11i，则 z 的实部为( ) A．－5 B．5 C．－8 D．8
答案
解析
7．(2019·临沂二模)设 z＝i3＋12＋－2ii，则 z 的虚部是(
)
A．－1 B．－45i C．－2i D．－2
答案 D
解析根据复数的乘法与除法运算，则 z＝i3＋12＋－2ii＝i2×i＋12＋－2ii11－－22ii＝－i－i＝－2i. 根据虚部定义，可知虚部为－2.所以选 D.

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基础巩固练(三)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷　(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·湖南衡阳三模)若集合{x |2x >2}＝{x |log(x －a )<0}，则实数a 的212值为( )A. B ．2 C. D ．11232答案　A解析　依题意知，Error!＝{x |x >a ＋1}，∴a ＋1＝，故a ＝.故选A.32122．(2019·黔东南州一模)＋＝( )1－2i 1＋i 1＋2i1－i A ．－1 B ．－i C ．1 D ．i 答案　A解析　＋＝＝－1，故答案为A.1－2i 1＋i 1＋2i 1－i －1－3i －1＋3i23．(2019·辽宁省辽南协作体一模)下列判断错误的是( )A ．“|a |<|b |”是“|am |<|bm |”的充分不必要条件B ．若綈(p ∨q )为真命题，则p ，q 均为假命题C ．命题“∀x ∈R ，ax ＋b ≤0”的否定是“∃x ∈R ，ax ＋b >0”D ．若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤3)＝0.72，则P (ξ≤－1)＝0.28答案　A解析　当m ＝0时，若“|a |<|b |”，则“|am |<|bm |”不成立，即充分性不成立，故A 错误；若綈(p ∨q )为真命题，则p ∨q 为假命题，则p ，q 都是假命题，故B 正确；命题“∀x ∈R ，ax ＋b ≤0”的否定是“∃x ∈R ，ax ＋b >0”正确，故C 正确；若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤3)＝0.72＝P (ξ>－1)，则P (ξ≤－1)＝1－P (ξ>－1)＝1－0.72＝0.28，故D 正确，故选A.4．(2019·衡水模拟)已知e 1＝(1,0)，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为30°，若e 1－e 2，e 13＋λe 2相互垂直，则实数λ的值是( )A ．－ B.33C ．3＋4 D ．－3＋433答案　A解析　因为e 1－e 2，e 1＋λe 2相互垂直，所以(e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)＝0，整理33得到e ＋(λ－1)e 1·e 2－λe ＝0，故＋(λ－1)×－λ＝0，故λ＝－，故3213233323选A.5．(2019·齐齐哈尔二模)函数f (x )＝的图象大致是( )6x2x ＋2－x答案　C解析　因为函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝＝－f (x )，∴－6x2－x ＋2x 函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ，当x >0时，f (x )>0，排除D ，故选C.6．(2019·银川一中二模)已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是( )A ．16＋B ．12＋2＋2226C ．18＋2D ．16＋222答案　B解析　根据三视图可知原几何体为四棱锥E －ABCD ，则它的表面积＝S △ADE ＋S △EDC ＋S △ABE ＋S △BEC ＋S 梯形ABCD ＝×2×2＋1212×2×4＋×2×＋×2×2＋×(2＋4)×2＝12＋2＋2.故选B.122123212267．(2019·哈六中模拟)实数x ，y 满足不等式组Error!若z ＝3x ＋y 的最大值为5，则正数m 的值为( )A ．2 B. C ．10 D.12110答案　A解析　如图，先由Error!画出可行域，发现y ≥0，所以由y (y －m )≤0可得y ≤m ，且m 为正数．画出可行域为△AOB (含边界)区域．将z ＝3x ＋y 转化为y ＝－3x ＋z ，它是斜率为－3的一簇平行线，z 表示在y 轴的截距，由图可知在A 点时截距最大，即m ＝－3·＋m25，解得m ＝2.故选A.8．(2019·洛阳三模)如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”，比如已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行程序框图，则输出的n ＝( )A ．62B ．59C ．53D ．50答案　C解析　正整数n 被3除余2，得n ＝3k ＋2，k ∈N ；被8除余5，得n ＝8l ＋5，l ∈N ；被7除余4，得n ＝7m ＋4，m ∈N ；求得n 的最小值是53.故选C.9．(2019·烟台一模)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向右平移(ω>0，|φ|<π2)π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且f ＝－，则当ω取最小值时，函(πω)12数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sinB ．f (x )＝sin (2x ＋π6)(2x －π6)C ．f (x )＝sin D ．f (x )＝sin (4x ＋π6)(4x －π6)答案　C解析　将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向右平移个单位长度(ω>0，|φ|<π2)π6后，可得y ＝sin 的图象，(ωx －ωπ6＋φ)∵所得图象关于y 轴对称，∴－＋φ＝k π＋，k ∈Z .ωπ6π2∵f＝－＝sin(π＋φ)＝－sin φ，即sin φ＝，(πω)1212∴φ＝，π6∴－＝k π＋，当ω取最小值时，取k ＝－1，ωπ6π3可得ω＝4，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ，故选C.(4x ＋π6)10．(2019·厦门一模)现有甲班A ，B ，C ，D 四名学生，乙班E ，F ，G 三名学生，从这7名学生中选4名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有1人，且A 必须参加的方法有( )A ．10种B ．15种C ．18种D ．19种答案　D解析　由题意按甲、乙班参加人数分情况讨论如下：若甲班1人，乙班3人，共1种方法；若甲班2人，乙班2人，共C C ＝9种方法；1323若甲班3人，乙班1人，共C C ＝9种方法；故甲、乙两班每班至少有1人，2313且A 必须参加的方法有1＋9＋9＝19种．故选D.11．(2019·青岛二中一模)设双曲线－＝1(a >b >0)的左、右两焦点分别为x 2a 2y 2b 2F 1，F 2，P 是双曲线上一点，点P 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，则双曲线的离心率是( )A.B.C.D.102625223答案　A解析　不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a .因为|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .由点P 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知，PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即9a 2＋a 2＝4c 2，得＝.所以双c 2a 2104曲线的离心率e ＝＝.故选A.ca10212．(2019·大同一中二模)已知定义在R 的函数y ＝f (x )对任意的x 满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x ＜1，f (x )＝x 3.函数g (x )＝Error!若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[－6，＋∞)上有6个零点，则实数a 的取值范围是( )A.∪(7，＋∞)B.∪[7,9)(0，17)(19，17]C.∪(7,9] D.∪(1,9][19，17)[19，1)答案　C解析　因为f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，故f (x )是周期函数且周期为2，如图f (x )的图象与y ＝－(x <0)的图象在[－6,0)上有两个不同的交点，故f (x )的图象与g (x )1x 的图象在(0，＋∞)上有4个不同的交点，故Error!解得7<a ≤9或≤a <，故选C.1917第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·贵阳二模)若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝________.答案　－14解析　∵(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为4C ＋8a C ＝20，∴a ＝－.25351414．(2019·永州市一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B ＋b tan A ＝－2c tan B ，且a ＝8，△ABC 的面积为4，则b ＋c 的值为________．3答案　5解析　∵b tan B ＋b tan A ＝－2c tan B ，∴sin B (tan B ＋tan A )＝－2sin C tan B .∴sin B (tan B ＋tan A )＝－2sin C ·.sin B cos B ∴cos B (tan A ＋tan B )＝－2sin C .∴cos B＝－2sin C .(sin A cos A ＋sin Bcos B)∴cos B ·＝－2sin C .sin A cos B ＋cos A sin Bcos A cos B ∴cos B ·＝＝－2sin C .sin (A ＋B )cos A cos B sin Ccos A 解得cos A ＝－，∴A ＝，122π3∵a ＝8，由余弦定理，得64＝b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ，又∵△ABC 的面积为4＝bc sin A ＝×bc ，3121232∴bc ＝16，b ＋c ＝4.515．(2019·保定市二模)如图所示，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为正方形且点C 的坐标为.抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点C .(1，12)在正方形ABCD 内随机取一点M ，则点M 在阴影区域内的概率为________．答案　23解析　由抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点C ，所以抛(1，12)物线Γ的方程为y 2＝x ，阴影区域的面积为2 d x ＝x Error!＝，又因为正方141∫12x 23 23形的面积为1，所以点M 在阴影区域内的概率为.2316．(2019·天津高考)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝5，∠A ＝330°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则·＝________.BD → AE →答案　－1解析　如图，∵E 在线段CB 的延长线上，∴EB ∥AD .∵∠DAB ＝30°，∴∠ABE ＝30°.∵AE ＝BE ，∴∠EAB ＝30°.又∵AB ＝2，∴BE ＝2.∵AD ＝5，∴＝.3EB → 25AD →∴＝＋＝－.AE → AB → BE → AB → 25AD → 又∵＝－，BD → AD → AB →∴·＝(－)BD → AE → AD → AB → (AB → －25AD→)＝·－2－2＋·AD → AB → 25AD → AB → 25AD → AB→ ＝||·||·cos 30°－×52－(2)275AD → AB → 253＝×5××－10－12＝21－22＝－1.75332三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·怀化市二模)已知各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 8＝15，且a 1，a 2，S 3成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式与S n ；(2)设b n ＝，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n<.1S n ＋2n 34解　(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 8＝a 1＋7d ＝15.由a 1，a 2，S 3成等比数列知a ＝a 1S 3，2即(a 1＋d )2＝a 1(3a 1＋3d )＝3a 1(a 1＋d )．所以(d －2a 1)(a 1＋d )＝0，因a 1＋d ＝a 2≠0，于是d ＝2a 1，解得a 1＝1，d ＝2，a n ＝2n －1，S n ＝＝n 2.n (1＋2n －1)2(2)证明：因b n ＝＝＝，1S n ＋2n 1n (n ＋2)12(1n －1n ＋2)所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝＝12(1－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1n ＋2)12<.所以原不等式成立．(32－1n ＋1－1n ＋2)3418．(本小题满分12分)(2019·石家庄模拟)某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如表：年份2012201320142015201620172018投资金额x (万元) 4.55.05.56.06.57.07.5年利润增长y (万元)6.07.07.48.18.99.611.1(1)请用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？(结果保留两位小数)(2)现从2012～2018年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额，求这两年都是λ≥2(万元)的概率？参考公式：＝＝，b ^ ∑ni ＝1(x i －x － )(y i －y － )∑n i ＝1 (x i －x － )2∑n i ＝1x i y i －n x － y － ∑n i ＝1x 2i －n x －2＝－.a ^ y － b ^ x －参考数据：x i y i ＝359.6，x ＝259.∑7i ＝1∑7i ＝12i 解　(1)由题意计算，得＝6，＝8.3,7＝348.6，x y x － y －又x i y i ＝359.6，x ＝259，∑7i ＝1∑7i ＝12i所以＝＝＝≈1.571，b ^ ∑ni ＝1x i y i －n x － y － ∑n i ＝1x 2i －n x － 2359.6－348.6259－7×36117所以＝－＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，a ^ yb ^x 所以回归直线方程为＝1.57x －1.13；y ^将x ＝8代入方程，得＝1.57×8－1.13＝11.43，y ^即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元．(2)由题意可知，年份2012201320142015201620172018λ1.521.92.12.42.63.6λ≥2(万元)的年份有2013,2015,2016,2017,2018，所以两年都是λ≥2(万元)的概率是P ＝＝.C 25C27102119．(本小题满分12分)(2019·长沙统测)已知三棱锥P －ABC (如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD 为边长等于的正方形，△ABE 和△BCF 均为2正三角形，在三棱锥P －ABC中：(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱PA 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求二面角P －BC －M 的余弦值．解　(1)证明：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .由题意，得PA ＝PB ＝PC ＝，PO ＝1，AO ＝BO ＝CO ＝1.2∵在△PAC 中，PA ＝PC ，O 为AC 的中点，∴PO ⊥AC ，∵在△POB 中，PO ＝1，OB ＝1，PB ＝，PO 2＋OB 2＝PB 2，∴PO ⊥OB .2∵AC ⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，AC ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面ABC ，∵PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC .(2)由(1)知，BO ⊥PO ，BO ⊥AC ，BO ⊥平面PAC ，∴∠BMO 是直线BM 与平面PAC 所成的角，且tan ∠BMO ＝＝，BO OM 1OM∴当OM 最短，即M 是PA 的中点时，∠BMO 最大．由PO ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，∴PO ⊥OB ，PO ⊥OC ，于是以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，C (1,0,0)，B (0,1,0)，A (－1,0,0)，P (0,0,1)，M ，(－12，0，12)＝(1，－1,0)，＝(1,0，－1)，＝.BC → PC → MC →(32，0，－12)设平面MBC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则由Error!得Error!令x 1＝1，得y 1＝1，z 1＝3，即m ＝(1,1,3)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由Error!得Error!令x 2＝1，得y 2＝1，z 2＝1，即n ＝(1,1,1)．cos 〈m ，n 〉＝＝＝.由图可知，二面角P －BC －M 的余弦值为m ·n|m ||n |53353333.333320．(本小题满分12分)(2019·烟台一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，|AB |＝4.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．解　(1)因为F ，在抛物线方程y 2＝2px 中，令x ＝，可得y ＝±p .(p 2，0)p2于是当直线与x 轴垂直时，|AB |＝2p ＝4，解得p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)因为抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，由已知可求得直线AB 的方程为y ＝x －1，所以M (－1，－2)．联立Error!消去x ，得y 2－4y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4.若点P (x 0，y 0)满足条件，则2k PM ＝k PA ＋k PB ，即2·＝＋，y 0＋2x 0＋1y 0－y 1x 0－x 1y 0－y 2x 0－x 2因为点P ，A ，B 均在抛物线上，所以x 0＝，x 1＝，x 2＝.y 204y 214y 24代入化简可得＝，2(y 0＋2)y 20＋42y 0＋y 1＋y 2y 20＋(y 1＋y 2)y 0＋y 1y 2将y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4代入，解得y 0＝±2.将y 0＝±2代入抛物线方程，可得x 0＝1.于是点P (1，±2)为满足题意的点．21．(本小题满分12分)(2019·湖南永州三模)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝(m1e mx 是常数)．(1)求函数h (x )＝f (x )g (x )－1的单调区间；(2)当x ∈(0,4e)时，函数h (x )＝f (x )g (x )－1有零点，求m 的取值范围．解　(1)由题意，知h (x )＝x 2e －mx －1(x ∈R )，则h ′(x )＝2x e －mx ＋x 2(－m )e －mx ＝e －mx (－mx 2＋2x )(x ∈R )．①当m ＝0时，令h ′(x )>0，有x >0；令h ′(x )<0，有x <0.故函数y ＝h (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．②当m >0时，令h ′(x )>0，有0<x <；令h ′(x )<0，有x <0或x >.2m 2m 故函数y ＝h (x )在上单调递增，在(－∞，0)和上单调递减．(0，2m )(2m，＋∞)③当m <0时，令h ′(x )>0，有x >0或x <；2m 令h ′(x )<0，有<x <0.2m故函数y ＝h (x )在(0，＋∞)和上单调递增，在上单调递减．(－∞，2m )(2m，0)综上所述，当m ＝0时，函数y ＝h (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；当m >0时，函数y ＝h (x )的单调递增区间为，单调递(0，2m)减区间为(－∞，0)和；(2m，＋∞)当m <0时，函数y ＝h (x )的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递(－∞，2m)减区间为.(2m，0)(2)①当m ＝0时，由h (x )＝0可得x ＝±1，有1∈(0,4e)，故m ＝0满足题意．②当m >0时，若∈(0,4e)，即m >时，由(1)知函数y ＝h (x )在上单2m 12e (0，2m)调递增，在上单调递减．(2m，4e )而h (0)＝－1<0，令h (x )max ＝h ＝e －2－1≥0，有－≤m ≤，∴<m ≤(2m )4m 22e 2e 12e，2e若∈[4e ，＋∞)，即0<m ≤时，由(1)知函数y ＝h (x )在x ∈(0,4e)上单调递2m 12e 增．而h (0)＝－1<0，令h (4e)＝16e 2e －4e m －1>0，解得m <ln 4e ，12e而ln 4e>，故0<m ≤.12e 12e 12e③当m <0时，由(1)知函数y ＝h (x )在x ∈(0,4e)上单调递增，由h (0)＝－1<0，令h (4e)＝16e 2e －4e m －1>0，解得m <ln 4e ，而ln 4e>0，故m <0.12e 12e 综上所述，m 的取值范围是m ≤}.{m |2e(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·湖南永州三模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数，α∈[0，π))，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝－4cos θ.(1)写出当α＝时的直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；3π4(2)已知点P (－1,1)，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求＋1|PA |1|PB |的取值范围．解　(1)当α＝时，直线l 的普通方程为y ＝－x ，3π4曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4x ＋y 2＝0.(2)将直线l 的参数方程Error!代入x 2＋4x ＋y 2＝0，整理得t 2＋(2sin α＋2cos α)t －2＝0，由参数t 的几何意义，有|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2，|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|，所以＋＝＝＝＝，1|PA |1|PB ||PA |＋|PB ||PA |·|PB ||t 1－t 2|212＋4sin2α23＋sin2α又sin2α∈[－1,1]，所以＋的取值范围是[，2]．1|PA |1|PB |223．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·湖南永州三模)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |.(1)当a ＝1，b ＝1时，求不等式f (x )≤4的解集；(2)若a >0，b >0，f (x )的最小值为2，求＋的最小值．1a 2b解　(1)当a ＝1，b ＝1时，f (x )＝Error!可得f (x )≤4的解集为[－2,2]．(2)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |≥|(x ＋a )＋(b －x )|＝|a ＋b |，又f (x )的最小值为2，所以|a ＋b |＝2，又a >0，b >0，a ＋b ＝2，所以＋＝(a ＋b )＝≥(3＋2)，1a 2b 12(1a ＋2b )12[3＋b a ＋2a b ]122当且仅当a ＝2－2，b ＝4－2时取等号，22故＋的最小值为.1a 2b 3＋22。